9.1

Tema 9 Equacions en Diferències i Sistemes Dinàmics Lineals (9.A) Equacions en Diferències Finites Lineals. 9.0.- Introducció. Les equacions en diferències apareixen de forma natural en diversos àmbits de l’enginyeria (electrònica, economia, ...) i, en certa manera, podríem dir que constitueixen l’anàleg discret de les equacions diferencials ordinàries, però essent les incògnites funcions discretes, en lloc de funcions contínues. En aquest cas es tracta de trobar una fórmula explícita per al terme k-èsim d’una successió donada per recurrència. Les progressions aritmètiques i les progressions geomètriques són exemples d’equacions en diferències. No obstant que aquestes progressions eren conegudes de molt abans, sembla que el primer en considerar de forma general les equacions en diferències va ser B. Taylor en el seu llibre titulat “The Method of Increments” que data aproximadament de l’any 1715 (segons Le Marquis de Laplace). Potser la primera equació recurrent coneguda a la història apareix en el “Liber Abaci”, de 1202, recollint un problema sobre la cria de conills, plantejat i resolt per Leonardo de Pisa, més conegut com Fibonacci. La successió que apareix com a solució d’aquest problema és

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... anomenats “números de Fibonacci”. L’equació de Fibonacci és, doncs,

Fk = Fk-1 + Fk-2, 3k F1 = F2 = 1

Els números de Fibonacci verifiquen curioses propietats, com ara: (a) 2

1F ... + 2kF = kF 1kF

(b) Tot número natural és suma d’un nombre finit de números de Fibonacci, tots diferents.

(c) k

limk

k

F

F 1 = 2

51, la famosa “relació àuria” (fonamental en l’estètica

grega, i d’altra banda freqüent en fenòmens naturals com ara espirals de cargols, de ramificacions de plantes, ...).

9.2

9.1, 9.2.- Definició i exemples. Def. – (1) Indicarem per y(k), k , una funció de variable discreta (o simplement, “funció

discreta”), és a dir, y: . Pot identificar-se amb la successió ).),(,),1(),0(( kyyy

(2) Una equació en diferències (EED) lineal amb coeficients constants d’ordre n és una

equació de la forma

(k) y(k)a 1) y(k a ... 1)-n y(k a n) y(k 011-n (*)

on aj són constants 0 j 1 n , és una funció discreta donada i y és una funció discreta a determinar de forma que verifiqui la relació (*).

(2’) Es diu aleshores que y(k) és una solució de (*), amb condicions inicials

y(0), ..., y(n-1). (2’’) Si = 0 es diu que l’EED és homogènia. En cas contrari, s’anomena completa i

se’n diu homogènia associada la que resulta de substituir (k) per 0. (3) S’anomena polinomi característic de (*) al

011-n

1-nn a a ... a )Q(

Les seves arrels s’anomenen valors característics.

(3’) Si n’hi ha un simple real i de mòdul estrictament més gran que els altres, es diu

dominant (i el següent, si existeix, subdominant...). Obs. – Com hem dit a la introducció, (*) indica com construir la successió y(k) per

recurrència, i es tracta com primer objectiu de trobar-ne una expressió explícita del terme general y(k).

Exemple. – (l’equació geomètrica) Se’n diu equació geomètrica la de la forma

y(k + 1) = y(k) + C, k La seva solució és immediata:

- Si = 1: y(k) = y(0) + k C, k . - Si 1, C = 0: y(k) = k y(0), k .

9.3

- Si 1, C 0: y(k) =

1)0(

Cy k +

1

C, k

Observeu que hi ha una solució per a cada condició inicial y(0). Observeu igualment que hi ha un únic valor característic, . Aplicacions. – (1) Aquesta equació apareix, per exemple, en problemes de interessos i d’amortització.

Suposem que al començament de cada any s’ingressa en un compte bancari una quantitat constant b, més el rèdit produït durant l’any anterior a un interès anual i. Per a l’any k, designem per y(k) la quantitat acumulada al començament d’any, després de les operacions anteriors. La funció discreta y(k) verifica les relacions

y(1) = b y(k + 1) = y(k) + iy(k) + b = (1 + i)y(k) + b

que és una equació geomètrica amb = 1 + i, C = b. Per tant

i

bi

i

byky k

11)1()( =

i

ib

k 11

(2) De manera anàloga, considerem un procés d’amortització d’un deute D, a un interès

anual i, mitjançant l’abonament anual d’una quota constant B. Designem per d(k) el deute pendent al cap de k anys i procedint com en l’exemple anterior tindrem,

d(0) = D d(k + 1) = d(k) + id(k) – B = (i + 1)d(k) – B

d’on

d(k) = i

iBiD

i

Bi

i

Bd

kkk 11

)1(1)0(

Si es vol liquidar el deute en un termini de n anys, ha de ser d(n) = 0, d’on resulta la quota

Di

iiB

n

n

1)1(

)1(

9.3.- Existència i unicitat de les solucions. És evident que:

9.4

Prop. – Donada una EED com (*) i fixades les condicions inicials y0, ..., yn-1, existeix una única solució y(k) tal que: y(0) = y0, ..., y(n – 1) = yn-1.

Obs. – (1) De fet, la proposició és certa per a qualsevol EED de la forma

)),(),...,1(()( kkynkyFnky

sense condicions de linealitat ni de invariància.

Per exemple, (k + 1)y(k + 1) – ky(k) = 1 té com a solució

,1)( ky k 1 i y(0) = (arbitrari) (2) Si a la solució y(k) de (1) li exigim que verifiqui les condicions inicials següents:

kyNky )( , k = 0, ..., n – 1

aleshores la solució de (*) que verifica aquestes condicions existeix i és única, però definida per Nk .

Així en l’exemple anterior, si fixem y(1) = 0, la solució és k

kky

1)(

, per a 1k .

9.4, ... , 9.7.- Resolució de les EED homogènies. Prop. – Considerem l’EED homogènia

0)()1(...)1()( 011 kyakyankyanky n

(1) El conjunt de solucions 0S és un espai vectorial de dimensió n.

(1’) De forma més precisa, la correspondència amb les condicions inicials

)1(,),1(),0()( 0 nyyySky n

és un isomorfisme ( lineal bijectiva).

(2) N’és una base tot conjunt de n solucions y1(k), ..., yn(k), amb condicions inicials

l.i., és a dir:

9.5

0

)1(...)1(

..

..

..

)0(...)0(

det

1

1

nyny

yy

n

n

(3) Qualsevol altra solució, doncs, n’és una combinació lineal

)()()( 11 kyckycky nn

els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials:

)1()1()1(

)0()0()0(

11

11

nn

nn

ycycy

ycycy

Def. – En les condicions anteriors, es diu que )(,),(1 kyky n formen un sistema

fonamental de solucions.

Exemple – Un sistema fonamental de solucions de

0)()1(2)2( kykyky és:

0,)(

0,1)(

2

1

kkky

kky

ja que són solució:

0)1(2)2(

01121

kkk

i les condicions inicials són l.i.: det 011

01

Lema – En les condicions anteriors: (1) Si és un valor característic amb multiplicitat m, aleshores:

kmkk kk 1,...,,

són solucions, i són l.i. (2) Si (no real) és un valor característic (i per tant també ) amb multiplicitat m,

aleshores:

9.6

kkkkk

kkkkkkmkk

kmkk

sin,...,sin,sin

,cos,...,cos,cos

1

1

on indica l’argument de , són solucions, i són l.i.

Teorema – Donada l’EED homogènia

0)()1(...)1()( 011 kyakyankyanky n

suposem que els seus valor característics són:

p ,...,1 ; amb multiplicitats α1, ..., αp

qq ,,...,, 11 (no reals); amb multiplicitats β1, ..., βq

(1) Aleshores, un sistema fonamental de solucions és:

,,...,,

...

,,...,,

1

11

111

kp

kp

kp

kkk

pkk

kk

q

k

qq

k

qq

k

q

q

k

qq

k

qq

k

q

kkk

kkk

kkkkk

kkkkk

kkkkk

kkkkk

q

q

sin,...,sin,sin

,cos,...,cos,cos

...

,sin,...,sin,sin

,cos,...,cos,cos

1

1

111

1111

111

1111

1

1

on )arg(),...,arg( 11 qq .

(2) Qualsevol altra solució és, doncs, una combinació lineal de les anteriors, els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials. Obs. – (1) Les solucions que formen part de la base anterior, s’anomenen modes (bàsics,

fonamentals, ...). (2) En particular s’anomenen modes principals els de la forma k

i o els seus múltiples.

(2’) També, si )(ky és una solució combinació lineal dels modes anteriors, els sumands

de la forma kiic s’anomenen les parts principals de y(k).

9.7

(2’’) En particular si 1 és valor característic dominant, aleshores el sumand kc 11

s’anomena la part dominant de y(k) (i anàlogament, kc 22 la part subdominant,...). (3) Els corresponents a valors característics complexos (o a valors característics reals

negatius) són modes oscil·lants, de període 2j .

(3’) En particular, si 1i , els de la forma )cos( jk , )sin( jk i els seus múltiples són

oscil·lacions d’amplitud constant (que no s’amplifiquen ni s’esmorteeixen). Exemples – (1) A l’exemple anterior

0)()1(2)2( kykyky

el polinomi característic és t2 - 2t + 1, que té una única arrel: 1 , doble. Per tant, una base de l’espai de solucions és:

kkky

kyk

k

1)(

11)(

2

1

(les que ja havíem trobat).

(1’) Qualsevol altra solució serà de la forma:

kccky 21 1)( Per exemple, la de condicions inicials 1- y 2, y 10 :

3

2

11

20

2

1

21

1

c

c

cck

ck

Per tant: 3k-2 y(k)

En efecte

1)1(,2)0(

0)32())1(32(2))2(32(

yy

kkk

(1’’) En general: 211 c c y(1) ,c y(0) .

Per tant y(0))k-(y(1) y(0) y(k) . (2) Per la EED

0)()2( kyky Els valors característics són i . Una base de l’espai de solucions és:

9.8

2sin)(,

2cos)( 21

kkykky

Tota solució serà de forma:

2sin

2cos)( 21

kckcky

Les constants c1, c2 quedaran determinades per:

2

1

)1(

)0(

cy

cy

Corol. (solució general per valors característics reals simples) – En particular, si els valors característics són n ,...,1 , tots diferents ( simples),

aleshores tota solució és de la forma

knn

k ccky ...)( 11

on ncc ,...,1 queden determinades per les condicions inicials:

1111

11

1

...)1(

...

...)1(

...)0(

nnn

n

nn

n

ccny

ccy

ccy

Més explícitament:

)1(

...

)1(

)0(

....

......

....

1....1

...

1

111

12

1

ny

y

y

c

c

c

nn

n

n

n

on la matriu és efectivament invertible si n ,,1 són diferents (determinant de

Vandermonde). Exemple – Recordem que els números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... varen definir-

se mitjançant: Fk = Fk-1 + Fk-2, 3k F1 = F2 = 1

En termes de EED:

9.9

1)1(,0)0(

)()1()2(

yy

kykyky

Segons el corol·lari anterior

kk

ccky

tt

2

51

2

51)(

2

51,

2

51

01

21

21

2

2

51

2

511

0

21

21

cc

cc

5

15

1

2

1

c

c

En definitiva:

kk

kF2

51

2

51

5

1 , k = 1, 2, ...

No deixa de sorprendre que aquesta expressió doni números naturals per tot k : 1, 1, 2, 3, ... 9.8, ... , 9.10.- Resolució de les EED completes. Prop. – Donada una EED completa

)()()1(...)1()( 011 kkyakyankyanky n

Sigui:

)(0 ky una solució particular (qualsevol).

0S l’espai de solucions de la EED homogènia associada (és a dir, substituint

)(k per 0). Aleshores, el conjunt de solucions és: 00 )( SkyS

9.10

És a dir, tota solució y(k) és la suma de )(0 ky més una combinació lineal de les d’una

base de 0S , els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials

10 ,..., nyy .

Exemple – (1) Per l’equació geomètrica

Ckyky )()1(

és clar que una solució particular és

kCky )(0

i que una base de 0S és

11)(1 kky

Per tant, tota solució és de la forma:

1110 )()()( ckCkyckyky

El coeficient 1c queda determinat per k = 0:

1)0( cy En definitiva:

)0()( ykCky

(2) Per l’equació geomètrica general:

Ckyky )()1( , 1

resulta:

1

1

1

0

1)0(

1)(

)(

1)(

cC

y

cC

ky

ky

Cky

k

k

En definitiva:

9.11

kCy

Cky

11)( 0

(3) Sigui 1)()1(2)2( kykyky

Tenim:

21

1

21

21

0

)1(

)0(2

)1()(

)(;1)(2

)1()(

ccy

cy

kcckk

ky

kkyky

kkky

En definitiva:

kyyykk

ky ))0()1(()0(2

)1()(

Prop. (EED amb terme independent constant) - Una EDD completa del tipus 0,)()1(...)1()( 011 CCkyakyankyanky n

admet una solució particular de la forma skky )(0

amb s, adients.

Una metodologia per obtenir-la és assajar successivament 2,, kk Exemple – Apliquem aquesta metodologia als exemples anteriors: (1) 0,)()1( CCkyky

Assagem Cky :)(0 , incompatible.

Assagem, doncs, CCkkkky ;)1(:)(0

Per tant, una solució particular és: Ckky )(0

(2) 1,0,)()1( CCkyky

Assagem

1

;:)(0

CCky

9.12

Per tant, una solució particular és:

1

)(0

Cky

(3) 0,)()1(2)2( CCkykyky

Per Cky 2:)(0 , incompatible

Per Ckkkkky )1(2)2(:)(0 , incompatible

Per Ckkkkky 22220 )1(2)2(:)(

2

24)44()2(2

C

Ckk

Per tant, una solució particular és: 20 2

1)( kky .

Observem que no és la mateixa considerada abans: difereixen en 2k , que és solució

de la homogènia associada, i per tant dóna el mateix conjunt S.

Obs. (obtenció d’una solució particular) – En general per obtenir una solució particular hi ha diversos mètodes: (1) Avaluació directa.

Habitualment, amb condicions inicials nul·les. Així, en l’exemple (3) anterior:

)21(3121)1()2(2)3(

11)0()1(2)2(

0)1()0(

000

000

00

yyy

yyy

yy

...

)321(61)2()3(2)4( 000 yyy

Si assagem

)1(2

)1(...21)(0 kk

kky

Resulta:

1)2(2

1)1(

22)1(0

k

kk

kky

kk

kk

kkkk

2

1)(

2

1

)22322(2

1

2

22

quedant confirmat l’assaig. (2) La transformada Z.

9.13

La transformada Z podria dir-se que és l’anàleg discret a la transformada de Laplace i permet obtenir solucions particulars a partir d’una taula d’antitransformades.

(3) El mètode dels coeficients indeterminats Aquest mètode és també anàleg al emprat per trobar solucions particulars de les equacions diferencials lineals ordinàries. Consisteix a assajar solucions amb coeficients indeterminats del mateix tipus que )(k , de forma anàloga a com hem fet abans per al cas del terme independent constant:

)(~

)(0 kRkky km ,

si )()( kRk k on: m és la multiplicitat de com arrel del polinomi característic )(Q

( 0m si no n’és arrel), i )(~

tR és un polinomi del mateix grau que )(tR , amb coeficients a determinar.

)sincos()(0 ckckkky km ,

si ckk k sin)( ó ckk k cos)( on: m és com abans, i , són coeficients a determinar.

La taula adjunta ho detalla més explícitament:

)(k Solució a assajar

rrr ckckc ...1

10 rrr kk ...1

10

k )0)(( Q k

k (essent arrel de )(Q amb multiplicitat m)

kmk

)...( 110 r

rrk ckckc ( 0)( Q ) )...( 110 r

rrk kk

)...( 110 r

rrk ckckc (essent arrel

de )(Q amb multiplicitat m)

)...( 110 r

rrkm kkk

cksin ó ckcos ckck sincos

ckk sin ó ckk cos ( 0)( Q ) )sincos( ckckk

ckk sin ó ckk cos (essent arrel de )(Q amb multiplicitat m)

)sincos( ckckk km

9.14

Exemples – Vegem alguns exemples d’obtenció de solucions particulars seguint el mètode dels coeficients indeterminats. (1) kkykyky 35)(4)1(4)2(

0)3(,44)( 2 QQ

Per tant assagem kky 3)(0 de on obtenim 5 . Així doncs, kky 35)(0

(2) kkykyky 2)(4)1(4)2(

2)2()( Q

Per tant, 2 és arrel doble de )(Q . Assagem kkky 2)( 20 i obtenim 81 . Així

doncs, 32

0 2)( kkky

(3) kkyky 2sin3)()1(

Assagem kkky 2cos2sin)(0 i arribem al sistema

02cos2sin

32sin2cos

de on obtenim i . (4) Si 1 és arrel de )(Q , cal procedir com si en el terme independent )(k hi haguès

un factor k1 . Així, per l’EED

1)()1(2)2( kkykyky

els assajos amb kky )(0 i )()(0 kkky donen sistemes incompatibles

per i (0 = k + 1, 2 = k + 1, respectivament). Si assagem

)()( 20 kkky

resulta 6 k + 6 + 2 = k + 1

amb solucions =1/6, =0. En definitiva, una solució particular és

6)( 30 kky

9.11, 9.12.- Propietats dinàmiques: cas homogeni. (a) Comportament dels modes bàsics. Vegem en primer lloc el comportament de les solucions, a partir del dels modes bàsics: Prop. (comportament dels modes bàsics) –

9.15

Donada una EED homogènia, podem considerar esquemàticament tres tipus de comportament asimptòtic dels modes bàsics: (i) no acotat (monòtonament o oscil·lant). (ii) convergent (a l’origen o no; monòtonament o oscil·lant). (iii) acotat, no convergent. En efecte, sigui un valor característic (real o complex) i )(ky un mode bàsic associat. Aleshores: (1) )(1 ky és no acotat.

De forma més precisa: (1.1) Si 0 , és )(ky monòtonament.

(1.2) Altrament, )(ky oscil·la amb amplitud creixent ( )(ky ).

(2) 0)(1 ky .

(3) 1 :

(3.1) Els modes kc1 són constants (per tant, cky )( ).

(3.2) Els modes kc )1( i les oscil·lacions del tipus kcos i ksin (i els seus múltiples) són acotades, però no convergents. (3.3) Els altres modes són no acotats.

Exemple – Modes corresponents als tres tipus assenyalats són: (i) no acotats: - monòtons: rkrk kk ,2,2 .

- oscil·lants: kkkkk krrkr cos2,cos,)1( . (ii) convergents:

- a l’origen, monòtonament:k

rk

k

2

1,

2

1.

- a l’origen, oscil·lant: kkkk

rk

r cos2

1,

2

1

.

- a un límit diferent de l’origen: k1 . (iii) acotat, no convergent: kk cos,)1( . (b) Comportament de les solucions generals. El comportament de les altres solucions és pot estudiar com combinacions lineals dels modes bàsics de la proposició anterior, resultant els mateixos tres tipus esquemàtics. Vegem-ho en l’exemple següent.

9.16

Exemple – Considerem l’EDD

0)()1(2

3)2(

2

3)3( kykykyky

Calculem la solució general:

12

3

2

3)( 23 ttttP

arrels característiques:2

1,1,2 (totes simples).

k

kk cccky

2

1)1(2)( 321

Per tant: (i) )(01 kyc no acotada.

(ii) 0)(021 kycc

(iii) )(0,0 21 kycc acotada, no convergent. Podem expressar-ho en termes de les condicions inicials. De: 321)0( cccy

321 2

12)1( cccy

321 4

14)2( cccy

resulta:

))2(2)1()0((9

11 yyyc

))2(2)1(5)0(2(9

12 yyyc

))2()1()0(2(9

43 yyyc

Per tant: (i) solucions no acotades per condicions inicials fora del pla: 0)2(2)1()0( yyy (ii) solucions convergents (a 0) per condicions inicials en la recta:

9.17

0)2(2)1(5)0(2

0)2(2)1()0(

yyy

yyy

(iii) solucions acotades, no convergents, per les altres condicions inicials. (c) Convergència asimptòtica cap al mode dominant. Ara vegem, en segon lloc, que quan hi ha un dominant les solucions hi tendeixen asimptòticament: Prop. (convergència asimptòtica cap al mode dominant) – Donada una EED homogènia, suposem que existeix 1 valor característic dominant. Si

)(ky és una solució amb part principal kc 11 , 01 c , aleshores:

(1) kcky 11)( , per k , si 01 c . De forma més precisa:

1)(

lim11

kk c

ky

, si 01 c

(1’) En particular:

1)(

)1(lim

ky

kyk

, si 01 c

(2) Si a més 2 és el valor característic subdominant:

1)(

lim22

11

k

k

k c

cky

, si 02 c

Obs. – Es pot dir, doncs, que les solucions genèriques ( 01 c , 02 c ,...) tendeixen

asimptòticament cap a la seva part dominant kc 11 , i que la diferència tendeix asimptòticament cap a la seva part subdominant. Exemple – (1) Per als números de Fibonacci resulta

klim

k

k

F

F 1 = 2

51

(2) Anem a calcular el límit de la successió

,...29

70,

12

29,

5

12,

2

5,

1

2

9.18

És clar que es tracta de calcular

)(

)1(lim

ky

kyk

essent y(k) la solució de

)()1(2)2( kykyky , 0k

amb condicions inicials 2)1(,1)0( yy . El seu polinomi característic és

12)( 2 tttP

i els seus valors característics

211 , 212

Així doncs, la solució general és

kk ccky )21()21()( 21

les condicions inicials 2)1(,1)0( yy permeten calcular 1c i 2c .

Segons la proposició anterior, si prenem y(k) amb 01 c tindrem que

21)(

)1(lim

ky

kyk

Fem notar que de fet no cal calcular 1c i 2c , sinó verificar que per la solució donada

és 01 c . Altrament dir, només cal veure que si 01 c no tenim la successió

numèrica considerada. En efecte, si 01 c , kcky )21()( 2 que, clarament, és incompatible amb les condicions inicials 2)1(,1)0( yy .

9.13.- Punts d’equilibri. Estabilitat. Finalment, apliquem les proposicions anteriors a l’estudi de l’estabilitat dels punts d’equilibri. Def. – Suposem una EED completa, amb )(k constant:

Ckyakyankyanky n )()1(...)1()( 011

9.19

(1) Una solució constant eyky )( se’n diu un punt d’equilibri.

(2) Aleshores, el punt d’equilibri es diu:

(2.1) inestable si alguna solució no és acotada. (2.2) asimptòticament estable si per tota altra solució és

ek

yky )(lim

(2.3) marginalment estable si tota altra solució és acotada, però alguna no convergeix a ey .

Exemple – (1) Per l’equació geomètrica

1)(2

1)1( kyky

tenim un punt d’equilibri 2ey que és asimptòticament estable, ja que per tota altra

solució

222

1)2)0(()(

kyky

(2) Per l’equació geomètrica

2)(2)1( kyky tenim igualment 2ey , però ara inestable ja que

22)2)0(()( kyky

(3) Per l’EED

0)()2( kyky

és 0ey que és marginalment estable ja que les solucions

)2

sin()2

cos()( 21

kckcky

són totes acotades, però no convergeixen a 0. (4) Quan el punt d’equilibri no és asimptòticament estable, es pot estudiar com abans

quines solucions hi convergeixen, si n’hi ha.

9.20

Així, si refem l’exemple anterior considerant l’EED completa

2)()1(2

3)2(

2

3)3( kykykyky

és clar que presenta un únic punt d’equilibri 2ey

De forma anàloga al cas homogeni associat, estudiat abans, resulta: (i) solucions no acotades:

0,2

1)1(22)( 1321

ccccky

kkk

que corresponen a les condicions inicials: 0)2(2)1()0( yyy

(ii) solucions convergents a 2ey :

k

cky

2

12)( 3

que corresponen a les condicions inicials:

0)2(2)1(5)0(2

0)2(2)1()0(

yyy

yyy

(iii) solucions acotades, no convergents:

0,2

1)1(2)( 232

cccky

kk

que corresponen a les condicions inicials:

0)2(2)1(5)0(2

0)2(2)1()0(

yyy

yyy

Prop. (estabilitat d’un punt d’equilibri) – En les condicions de la definició anterior: (1) Si 0C , tenim un únic punt d’equilibri

0ey

9.21

si 0...1 011 aaan . En cas contrari, tots els punts són d’equilibri.

(1’) Si 0C , tenim un únic punt d’equilibri

011 ...1 aaa

Cy

ne

si 0...1 011 aaan . En cas contrari, no n’hi ha cap.

(2) Aleshores:

(2.1) Si 1 per algun valor característic , és inestable.

(2.2) Si 1 per tots els valors característics , és asimptòticament estable.

(2.3) Si 1 per a tots els valor característics i són simples els que 1 , és

marginalment estable.

(2’) En particular, si hi ha valor dominant 1 :

(2’.1) 11 inestable.

(2’.2) 11 asimptòticament estable.

(2’.3) 1 marginalment estable.

(2’’) Igualment si 1 , 1 són valors característics complexos simples, amb i 1 per

a tots els altres valors característics i :

(2’’.1) 11 inestable.

(2’’.2) 11 asimptòticament estable.

(2’’.3) Si 11 i 1arg , hi ha solucions oscil·lacions de període 2

kckcyky eosc sincos)( 21

i totes les altres )(ky hi tendeixen en el sentit que

0sincos)(lim 21 kckcyky ek

on kckc sincos 21 és la part dominant de )(ky .

9.22

Exemples – Verifiqueu-ho en els exemples anteriors. Aplicacions - (1) (El model de la teranyina)

(1.1) Suposem que la demanda D i la producció P d’un determinat producte depenen linealment del preu p segons

bpPpP

apDpD

0

0

)(

)(

on a, b, D0 són constants positives i P0 és una constant negativa. És evident que el preu d’equilibri és

ba

PDpe

00

(1.2) Considerem ara el cas d’una producció periòdica (agrícola...). La producció

P(k) en el moviment k vindrà donada per

)(ˆ)( 0 kpbPkP

on )(ˆ kp designa la previsió de preu feta pels productors. Però el preu real p(k) serà el que permeti vendre tota la producció, és a dir, el determinat per

)()(

)()(

0 kapDkD

kPkD

En definitiva resulta

)(ˆ1)( kpa

b

a

bpkp e

(1.3) Suposem, per exemple, que els productors determinin la seva producció segons

el preu del període anterior, és a dir

)1()(ˆ kpkp

El gràfic següent representa la cadena )()()()(ˆ)1( kpkDkPkpkp

9.23

L’equació resultant per a p(k) és

a

bpkp

a

bkp e 1)()1(

Resulta que pe és, efectivament, el punt d’equilibri i que és estable si b < a.

(1.4) Suposem ara una estratègia de previsió més complexa, segons la qual )(ˆ kp resulti d’extrapolar linealment l’evolució dels dos períodes immediatament anteriors:

)2()1(2)(ˆ kpkpkp

L’equació resultant per a p(k) serà ara

a

bpkp

a

bkp

a

bkp e 1)()1(2)2(

Observem que pe continua essent un punt d’equilibri, però ara és estable només si ab 3 . Doncs, aquesta estratègia de previsió més sofisticada pot inestabilitzar el sistema.

9.24

(2) El cicle del preu de la carn de porc. Durant gairebé un segle, varen observar-se oscil·lacions en la producció de carn de tocino als USA, amb cicles força regulars d’aproximadament 4 anys de durada. Es tracta de trobar una adaptació del model de la teranyina que s’ajusti a aquest comportament. Cal tenir present que hi ha dues temporades de producció cada any (a la primavera i a la tardor) i que el període de criança del tocino és aproximadament un any. Per tant, la variable k correspondrà a semestres i a la separació “decisió/obtenció de producció” serà de dos d’aquests períodes.

(2.1) L’adaptació del model anterior seria ara

)2()(ˆ kpkp

i per tant,

a

bpkp

a

bkp e 1)()2(

que no donaria oscil·lacions quadrimestrals sinó bianuals (ja que abi1 ,

és a dir, 2

o 2

3).

(2.2) Suposem ara que els productors utilitzen com a preu de referència la mitjana

dels dos darrers anys

))6()5()4()3()2((5

1)(ˆ kpkpkpkpkpkp

Resulten aleshores solucions oscil·latòries quadrianuals, d’amplitud constant

per a b=2,07a (valors característics dominants ( i1 ) 2 ).

(9.B) Sistemes Dinàmics Lineals Discrets. 9.14, ... , 9.16.- Definicions i exemples. Def. – (1) Un sistema discret lineal amb coeficients constants és una equació de la forma

)()()1( kbkAxkx , 0k

9.25

on nMA , ))(),...,(()( 1 kbkbkb n són n funcions discretes donades i

),...,( 1 nxxx són n funcions discretes a determinar de forma que verifiquin la

igualtat anterior. (1’) De forma més explícita, si )( ijaA :

)()()1(

)()()1(

11

11111

kxakxakx

kxakxakx

nnnnn

nn

(2) Es diu aleshores que x(k) és una solució amb condicions inicials

))0(),...,0(()0( 1 nxxx n.

(3) Si b(k) = 0, es diu que el sistema és homogeni, i en cas contrari, complet. Exemples – (1) Considerem el sistema

)()1( kAxkx ,

21

10A

o més explícitament

)(2)()1(

)()1(

212

21

kxkxkx

kxkx

És immediat comprovar que

kkx 1)(1 , kkx )(2

és la solució per a les condicions inicials 1)0(1 x , 1)0(2 x . (1’) Igualment, per a les condicions inicials 0)0(1 x , 1)0(2 x és: kkx )(1 , 1)(2 kkx (1”) En general, per a les condicions inicials qualssevol ))0(),0(()0( 21 xxx :

)0(1

1)( x

kk

kkkx

(2) Sistema associat a una EED

9.26

Donada una EED

)()(...)1()( 01 kkyankyanky n

si definim nxx ,...,1 per:

)1()(),...,1()(),()( 21 nkykxkykxkykx n

resulta

)()()1( kbkAxkx

1210

1000

..........

0100

0010

naaaa

A

,

)(

0

0

0

)(

k

kb

Per tant, la primera coordenada )(1 kx de la solució x(k) d’aquest sistema és la solució y(k) de l’EED inicial. Observem que A és una matriu del tipus “companion” (companya), amb polinomi característic el de la EED de sortida. Per tant, els VAPs de A són els valors característics de la EED, amb les mateixes multiplicitats. Aplicacions – (1) Model bidimensional de la teranyina Considereu dos productes parcialment sustitutoris, de forma que la disminució de la demanda d’un d’ells provoca un augment de la de l’altra. Per exemple, suposeu que les demandes d1, d2 i els preus p1, p2 de cada producte venen relacionats per

02

01

2

1

2

1

d

d

p

pD

d

d

D

on ,,, són positius, i 0 . Com en el cas unidimensional, suposeu que les produccions en cada període queden determinades pels preus del període anterior mitjançant

)(

)(

)1(

)1(

2

1

02

01

2

1

kp

kpE

s

s

ks

ks

amb E diagonal de coeficients positius, ja que suposem les produccions independents.

9.27

Com en el cas unidimensional, igualant la oferta i la demanda s’obtenen les equacions dinàmiques dels preus:

bkApkp )()1( , EDA 1 (2) Models poblacionals per cohorts Un model clàssic en estudis demogràfics considera la població dividida en grups d’edat (o “cohorts”) a intervals iguals. Per exemple, si es consideren intervals de 5 anys, s’indica per ),...(),( 10 kxkx la població que té entre 0 i 5 anys, entre 5 i 10 anys, ...,en el

k-èssim quinquenni. Sovint es suposa que la distribució entre homes i dones és idèntica, amb la qual cosa ens podem limitar a considerar només la població femenina. Si indiquem, per cada període: - i , taxa de supervivència de la cohort i-èssima.

- i , taxa de natalitat de la cohort i-èssima.

- )(kbi , balanç de migració de la cohort i-èssima.

resulta el model de Leslie

)()()1( kbkAxkx

0..00

..........

000

1

0

110

n

nn

A

(3) Sistemes de control En els sistemes de control, l’equació d’estats és de la forma:

)()()1( kBukAxkx on mnMB i ))(),...,(()( 1 kukuku m .

L’evolució de les variables d’estat x(k), doncs, depèn dels controls u(k) que s’apliquin. 9.17, ... , 9.19.- Resolució dels sistemes discrets. Prop. (Cas homogeni) – Considerem un sistema homogeni:

)()1( kAxkx

9.28

(1) Fixades unes condicions inicials 0x , existeix una única solució del sistema, que ve

donada per:

0)( xAkx k , 0k

(1’) El còmput de les potències Ak requereix habitualment simplificar la matriu A

mitjançant un canvi de base adequat:

11 SASAASSA kk

n

kk

c

c

ASxSASkx 1

01)(

on les constants ncc ,,1 queden determinades per les condicions inicials

mitjançant

nc

c

Sxx 1

0)0(

és a dir, són les coordenades de 0x en la base S.

(2) El conjunt de solucions, en variar 0x , forma un espai vectorial S0 de dimensió n.

(2’) Un subconjunt de solucions és l.i. sii ho són les seves condicions inicials.

Exemples – (1) Recordem que els números de Fibonacci són la solució de l’EED:

1)1(,0)0(

)()1()2(

yy

kykyky

El sistema associat és

)()1( kAxkx ,

11

10A

Els VAPs de la matriu A són:

2

51,

2

5121

i per tant diagonalitzant:

9.29

ASSA 1

2

1

0

0

, amb

21

11

S

1

2

1

0

0

SSA

k

kk

De fet ens interessa el valor de x1(k) per les condicions inicials 1)0(,0)0( 21 xx :

kk

kk

kk

k

k

k

k

SSkx

kx

21

121

21

1

21

12

1

2

122

1

21

1

2

1

2

1

1

1

11

1

0

1

11

0

011

1

0

0

0

)(

)(

Com que 512 , resulta:

kkkx 2115

1)(

que coincideix amb la trobada abans.

(2) Recordem que per la EED

0)()1(2)2( kykyky

havíem trobat com a solució general

kyyyky ))0()1(()0()(

El sistema associat és

)()1( kAxkx ,

21

10A

La matriu A no és diagonalitzable, però:

11

011 ASSA , amb

10

11S

1

01

11

01

kA

k

k

1

1

1

01 1

kk

kkS

kSAk

Per tant, la solució general és:

9.30

)0(1

1)( x

kk

kkkx

que coincideix amb la trobada abans: )1()0()1()0()0()1()()( 211 kyykkxxkkxky

Obs. – (1) En general, com els exemples anteriors, el còmput de les potències Ak requereix

reduir la matriu A a la seva forma de Jordan AJ. Aleshores

n

k

k

JJkJJJJJ

c

c

J

J

SxSASkxJ

J

ASSA

1

2

1

01

2

11 )()(

Recordem que

n

J

c

c

Sxx 1

0)0(

2

1

2

11

1

k

k

k

k

k

k

Especialment simple és el cas diagonalitzable, que detallarem de seguida. Tanmateix, recordem que les matrius “companion” i les de Leslie no diagonalitzen si tenen algun VAP múltiple.

(2) Si denotem n

kk AA )(,,)( 1 les columnes de kA , podem escriure la solució general

)0()()0()()( 11 nn

kk xAxAkx

la qual cosa palesa que les columnes de kA formen una base de 0S .

Per exemple, per a:

10

01

00

A

una base de 0S és:

9.31

kk

k

k

k

k

kkk

k

0

0

,

0

,

)1(2

1 12

1

Corol·lari (cas homogeni diagonalitzable) – En les condicions anteriors: (1) Si vx 0 és un VEP de A amb VAP , la solució corresponent és:

vkx k)(

(2) Si A diagonalitza, i v1,...,vn és una base de VEPs, amb VAPs respectius n ,...,1 tots

reals, tota solució és de la forma:

nknn

k

nkn

k

n vcvc

c

c

vvkx

...)()( 111

11

1

on els coeficients ncc ,...,1 queden determinats per:

nnvcvcxx ...)0( 110

és a dir, són les coordenades de 0x en la base de VEPs:

Def. – (1) Les solucions de la forma anterior

vkx k)( , k

on v és un VEP, de VAP , s’anomenen modes propis del sistema. (2) Si 1 és un VAP simple real i de mòdul més gran que la resta de VAPs

,..., 321

s’anomena VAP dominant i el mode propi corresponent

11)( vkx k

mode dominant. Per tota altra solució de la forma

...)( 111 vckx k , 01 c

9.32

aquests primer sumand es diu la seva part dominant.

(2’) Anàlogament, si 2 és un VAP simple i

,..., 4321

s’anomena VAP subdominant i el mode propi corresponent, mode subdominant.

Observació – El corol·lari anterior es generalitza al cas de VAPs complexos conjugats. Suposem per exemple 12 . Aleshores podem prendre 12 vv , i ha de ser 12 cc per

tal que 0x tingui coordenades reals.

De forma més precisa, si iwuvei 111 , , prenent 11211 ' ccccc ,

)()(' 11212 cciccic , resulta:

wkckc

ukckc

kwkuc

kwkuc

vecvecvcvc

k

k

k

k

ikkikkkk

121

121

12

11

111111222111

)cos'sin'(

)sin'cos'(

sincos'

sincos'

Els nous coeficients poden determinar-se directament per les condicions inicials:

nnvcvcwcucxx ...'')0( 33210

Si 0...3 ncc , la solució por expressar-se en la base ),( wu simplement com:

)0(ˆ)(ˆ 1 xekx ikk

Exemples – (1) Considerem el sistema discret

464

100

010

),()1( AkAxkx

És diagonalitzable, amb els VAPs i VEPs següents:

9.33

21

4

2

1

1v

i 12

i

iv

2

1

1

2

i 13

i

iv

2

1

1

3

La solució general és:

i

iic

i

iicckx kkk

2

1

1

)1(

2

1

1

)1(

4

2

1

2)( 321

(1’) Escrivint

2

1

0

,

0

1

1

,2 wuiwuv

la solució general es pot escriure:

2

1

0

24

cos4

sin

0

1

1

24

sin4

cos

4

2

1

2)( 32321

kkk kckckckcckx

Els coeficients 321 ,, ccc queden determinats per:

2

1

0

0

1

1

4

2

1

3210 cccx

(2) El VAP 21 és dominant. Doncs, la part dominant de )(kx és:

4

2

1

2)( 1k

DOM ckx

(2’) Per 01 c , resulten les espirals:

9.34

2

1

0

2

4cos

4sin

0

1

1

2

4sin

4cos

)( 3232

kk

ROT

k

kcc

k

kcckx

Prop. (Cas complet) – Donat un sistema complet

)()()1( kbkAxkx el conjunt de solucions és

00 )( SkxS

on: - S0 és l’espai de solucions del sistema homogeni associat, )()1( kAxkx .

- )(0 kx és una solució particular qualsevol; per exemple, la corresponent a

0)0( x :

)1(...)1()0()( 210 kbbAbAkx kk

9.20, ... , 9.25.- Comportament dinàmic: cas homogeni. Com en el cas de les EDDs

- el comportament d’una solució general es pot estudiar com combinació lineal del modes bàsics

- les solucions genèriques tendeixen asimptòticament cap al mode propi dominant.

(a) Comportament dels modes bàsics Vegem en primer lloc que els modes propis són solucions invariants (o estacionàries) Def. – (1) Donat un sistema homogeni

)()1( kAxkx

un subespai F n es diu que és (dinàmicament) invariant si tota solució que arrenca en F es manté dins de F:

9.35

FkxFx )()0( , k

És obvi que equival a la condició de “algebraicament invariant”:

FFA )( (2) Especialment interessants són els casos particulars següents:

(2.1) S’anomena de sortida (o escapament) si tota solució (no nul·la) en F és no acotada.

(2.2) S’anomena de entrada si tota solució en F tendeix a l’origen. Analitzem ara amb més detall els subespais invariants uni-dimensionals, que són precisament els generats per VEPs reals de A i que per tant corresponen a modes propis reals del sistema. El cas bi-dimensional, correspon a VAPs complexos conjugats, com veurem després. Prop. (comportament dels modes propis reals) – Sigui un sistema homogeni

)()1( kAxkx (1) Si v n és un VEP (i només en aquest cas) es verifica la propietat de invariància:

FkxvFx )()0( , k (1’) De forma més precisa, recordem que:

vckxcvx k )()0(

on és el VAP de v. (2) Aleshores:

(2.1) Si vF ,1 és “de sortida”, és a dir:

{x(k), k } no acotada, 0)0(,)0( xFx .

(2.2) Si vF ,1 és una recta “de entrada”, és a dir:

0)( kx , Fx )0( . (2.3) Si vF ,1 és una recta de “punts fixos”, és a dir: )0()( xkx , Fxk )0(, . (2.4) Si 1 , totes les solucions en vF són oscil·lants:

9.36

)0()1()( xkx k , Fxk )0(, . Obs. – (1) Altrament dit, els modes propis són les úniques solucions en les quals es conserva la

proporció entre les diferents coordenades )(),...,(1 kxkx n . Per exemple, la

distribució per cohorts d’edats, la distribució d’espècies vives, etc. En aquest sentit s’anomenen de vegades modes estacionaris. Aquesta distribució estacionària ve donada per les coordenades del VEP corresponent.

(1’) Aleshores el VAP és la taxa de creixement, la mateixa per a totes les coordenades

(cohorts d’edat, espècies,...), i per tant la global per al conjunt de la població. (2) Veurem de seguida que genèricament les solucions tendeixen cap al mode dominant.

Per tant, les coordenades del VEP dominant donen la distribució asimptòtica estacionària i el VAP dominant, la taxa de creixement asimptòtica.

Exemple – Considerem el model simplificat presa/depredador

kkk

kkk

PDP

PDD

1'1125'0

4'05'0

1

1

on kk DP , indiquen el nombre de preses i de depredadors, respectivament, l’any k.

Podem plantejar-ho en forma d’un sistema discret:

1'1125'0

4'05'0,)();()1( A

P

DkxkAxkx

k

k

Els VAPs i VEPs de A són:

11

5

41v

6'02

1

42v

El primer indica una distribució estacionària de 4 depredadors per cada 5 preses, que manté la població total constant )1( 1 . El segon indica una altra distribució estacionària (4 depredadors per cada presa), amb una disminució del total de població del 40% anual )6'0( 2 . Concorda amb l’apreciació que un excés de depredadors provoca la disminució de preses, i de retruc també de depredadors. Veurem de seguida que, essent 11 dominant, genèricament es tendeix cap a la primera situació.

9.37

Com anunciaven abans, els VEPs de VAPs complexos conjugats generen subespais invariants bi-dimensionals, amb comportaments rotatoris: Prop. ( VAPs conjugats: modes rotatoris) – Sigui un sistema homogeni

)()1( kAxkx i suposem VAPs complexos conjugats i VEPs corresponents:

ie11 , ie 112

iwuv 1 , iwuvv 12 Recordem que:

21 ,vvF n wu,

2211)0( vcvcx n 12 cc

wcucx '')0( 21 , on 211 ' ccc , )(' 212 ccic (1) El pla F és invariant:

kFkxFx ,)()0(

(1’) De forma més precisa, en la base ),( wu : )0(ˆ)( 1 xekx kik . Per tant:

(1’.1) Si 11 , F és un pla d’escapament (de fet, les solucions són espirals

divergents). (1’.2) Si 11 , F és un pla d’entrada (de fet, les solucions són espirals convergents

a l’origen). (1’.3) Si 11 , F és un pla de girs.

(2) Si 1 és simple, i ,...,, 431 les solucions anteriors són dominants, i les altres

hi tendeixen asimptòticament. (b) Comportament de les solucions generals. Convergència al mode dominant. Com per les EEDs, el comportament dinàmic d’una solució general pot estudiar-se com una combinació lineal dels modes bàsics. Vegem alguns exemples d’anàlisi modal. Exemples –

9.38

(1) Per al sistema

464

100

010

),()1( AkAxkx

havíem vist en un exemple anterior: 21 ; )4,2,1(1 v

32 1 i ; )2,1,0(),0,1,1(,32 wuiwuvv

Tenim, doncs:

(i) Si 1)0( vx , la solució )(kx s’escapa al llarg d’aquesta recta: 1111 )0(,2)( vcxvckx k (ii) Si wux ,)0( , la solució )(kx és una espiral divergent en aquest pla. De

forma més precisa, com que 4

arg 2

, l’espiral fa una volta completa en

passar de k a 8k , amb factor radial 16288

2 :

wuxkxkx ,)0(),(16)8( (iii) Per )0(x general, la solució )(kx serà una “helicoide” al voltant de la recta

1v , tenint com projecció sobre el pla wu, una espiral com a (ii). De forma més precisa, si

wuxvxxxx ,ˆ,ˆ;ˆˆ)0( 21121

serà, per kk 8 :

212

8

18 ˆ16ˆ256ˆ2ˆ2)8()( xxxxkxkx kkkk

La component dominant és clarament el primer sumand, concordant amb que

1 és el VAP dominant. (2) Per al sistema

21

10),()1( AkAxkx

tenim

9.39

1

1,

0

1),(

11

01

vwvwS

A

j

j

Per tant, la solució general és

vckvwcc

c

kvwkx 21

2

1 )(1

01)()(

Tenim, doncs, dues possibles dinàmiques:

(i) vckxvcxc 221 )()0(0 , constant

(ii) )()0(01 kxvxc no acotada Hem fet diverses referències a que, com per les EED, les solucions genèriques tendeixen asimptòticament cap al mode propi dominant. Prop. (Convergència asimptòtica cap al mode dominant) – Sigui un sistema discret homogeni

)()1( kAxkx amb A diagonalitzable. Siguin n ,...,1 els VAPs, i ),...,( 1 nvv una base de VEPs.

Suposem 1 VAP dominant i )(kx una solució, amb condicions inicials

nnvcvcx ...)0( 11

Aleshores:

(1) 111)( vckx k , per k , si 01 c .

De forma més precisa:

111

)(lim vc

kxkk

, si 01 c

(1’) En particular, si 01 c :

1)(

)1(lim

kx

kxk

9.40

1

11 )sgn(

)(

)(lim

v

vc

kx

kxk

(2) Si a més 2 és VAP subdominant:

2

11

11

111

)1(

)(lim

vckx

vckxk

k

k, si 02 c

Obs. – Es pot dir, doncs, que x(k) tendeix asimptòticament cap a la seva part dominant

111 vc k , amb velocitat d’aproximació 2 .

Exemple – Continuem amb el model presa/depredador de l’exemple anterior. (1) Les solucions són de la forma 222111)( vcvckx kk

amb 11 VAP dominant. La convergència cap al mode dominant, si 01 c , afirmada en la proposició anterior és en aquest cas clar ja que:

02

122222

vcvc

kk

La condició 01 c depèn de les condicions inicials: 2211)0( vcvcx (1.1) 01 c només quan la distribució poblacional inicial és la 4/1 de 2v . Aleshores

)(kx manté aquesta distribució, amb una disminució anual del 40% per ambdues espècies, tendint cap a l’extinció.

(1.2) Per a qualsevol altra distribució inicial és 01 c , i aleshores )(kx tendeix cap

al mode dominant. Però cal distingir els casos 01 c i 01 c , que corresponen a que la proporció inicial de depredadors sigui inferior o superior, respectivament, a la 4/1 anterior:

0444205

44

)0(

)0(

1

412121

21

21

2

1

ccccccc

cc

x

x

Quan la proporció inicial de depredadors és inferior a 4/1, la solució tendeix cap a l’estabilització de la població total, amb una distribució poblacional asimptòtica 4/5. Quan la població inicial de depredadors és superior a 4/1, aleshores 01 c i la solució tendeix cap a coordenades negatives, el que significa l’extinció

9.41

d’ambdues espècies a curt termini. Per exemple, per )1,20()0( x resulta

11 c , 62 c i )3(x té coordenades negatives.

(2) Considerem ara el cas més general

1'1

4'05'0

A

on representa la voracitat dels depredadors. El VAP dominant és

4'09'08'01 El mode dominant comporta l’estabilització de les poblacions quan 11 , que correspon al valor 125'0 vist abans. Per voracitats superiors, el VAP dominant és menor que 1, i les poblacions tendeixen a l’extinció per qualssevol condicions inicials. Per voracitats inferiors, el mode dominant suposa el creixement de les poblacions, amb una major proporció de preses que en el cas 125'0 . Per exemple, per

104'0 és 02'11 i )13,10(1 v : les poblacions creixen un 2% anual, i la proporció preses/depredadors és 1’3 (en lloc de la 1’25 quan 125'0 ).

(c) Aplicació al càlcul del VAP i del VEP dominants. Una important aplicació de la proposició anterior és el següent corol·lari, base de molts algoritmes numèrics per al càlcul de VAPs i VEPs. La hipòtesi d’existència de VAP dominant es pot garantir, per exemple, mitjançant els teoremes de Perron-Frobenius per a matrius de coeficients positius, com veurem més endavant. Aleshores, a més, el VAP dominant resulta real positiu (per tant, 11 ). Una aplicació ben rellevant és el

cercador google. Corol. (mètode de la potència per al càlcul del VAP i el VEP dominant) – Suposem que una matriu A diagonalitzable té VAP dominant 1 . Aleshores:

1

1

lim

wA

wAk

k

k

wA

wAk

k

klim és un VEP dominant.

9.42

per w n genèric (de forma més precisa: que en una base de VEPs tinguin la primera coordenada no nul·la). Exemple – Considerem

32

10A

Tenim: )2,1(,2 11 v

)1,1(,1 22 v Tanmateix, il·lustrem el corol·lari anterior:

1222

122211 kk

kkkA

Per ),( baw , resulta:

)2(2)(6)2(24)(5 222baabbaabwA kkk

Observem que ba equival a 2vw , és a dir, a que w tingui la primera coordenada

nul·la en la base ),( 21 vv . 9.26.- Punts d’equilibri. Estabilitat. Finalment, estudiem el comportament de les solucions respecte a un punt d’equilibri. Def. – Considerem un sistema discret de la forma

bkAxkx )()1( (1) Una solució constant cx se’n diu un punt d’equilibri

bAxx ee

(2) Suposem un únic punt d’equilibri ex . S’anomena:

(2.1) Inestable si alguna altra solució no és acotada (2.2) Asimptòticament estable si tota altra solució tendeix a ex .

ek

xkx )(lim

9.43

(2.3) Marginalment estable si tota altra solució és acotada, però alguna no

convergeix a ex .

Exemples – (1) El punt d’equilibri 0ex de

)(20

01)1( kxkx

és inestable, ja que alguna solució no és acotada:

kkxx

2

0)(

1

0)0(

(2) El punt d’equilibri 0ex de

)(21

10

2

1)1( kxkx

és asimptòticament estable, ja que tota solució

ekxx

kk

kkkx

0)0(

1

1

2

1)(

(3) El punt d’equilibri 0ex de

)(31

13

2

1)1( kxkx

és marginalment estable, amb totes les solucions girant al voltant de l’origen

)0(

6cos

6sin

6sin

6cos

)( xkk

kkkx

(4) El punt d’equilibri 0ex de

)(210

01)1( kxkx

és marginalment estable, amb alguna solució no convergent a 0ex i altres que si:

9.44

0

)1()(

0

1)0(

k

kxx

021

0)(

1

0)0(

kkxx

Prop. (estabilitat d’un punt d’equilibri) – Considerem un sistema discret de la forma

bkAxkx )()1( (1) Existeix un únic punt d’equilibri ex sii 1 no és VAP de A, i aleshores

bAIxe

1)(

(2) Aleshores:

(2.1) Si 1 per algun VAP de A, és inestable.

(2.2) Si 1 per tots els VAPs de A, és asimptòticament estable.

(2.3) Si 1 per tots els VAPs de A, el sistema és marginalment estable sii els

VAPs amb 1 tenen la mateixa multiplicitat geomètrica que algebraica;

altrament, és inestable. (2’) En particular, si hi ha VAP dominant 1 :

(2’.1) 11 inestable.

(2’.2) 11 asimptòticament estable.

(2’.3) 11 marginalment estable.

Obs. – Anàlogament a (2’) anterior, si 1 és un VAP simple complex, amb 12 i

,, 431 :

(1) 11 inestable

(2) 11 asimptòticament estable

(3) 11 marginalment estable

De fet, les solucions dominants són girs al voltant de ex , i les altres solucions

genèriques hi tendeixen asimptòticament.

0

9.45

Exemples. – Verifiqueu-ho en el exemples anteriors. Aplicacions.- (1) En una ETS molt exigent només aproven el 30% dels estudiants en cada curs del

grau. La resta repeteixen curs, excepte a primer, on el 50% del total abandonen. Si cada any ingressen 600 estudiants nous, les equacions que regeixen el nombre d’estudiants )(kxi , 41 i , en el curs i-èsim i l’any k són:

)(7'0)(3'0)1(

)(7'0)(3'0)1(

)(7'0)(3'0)1(

600)(2'0)1(

434

323

212

11

kxkxkx

kxkxkx

kxkxkx

kxkx

és a dir

bkAxkx )()1(

on

0

0

0

600

,

7'03'000

07'03'00

007'03'0

0002'0

,

)(

)(

)(

)(

)(

4

3

2

1

bA

kx

kx

kx

kx

kx

Com que 1 no és VAP de A, hi ha un únic punt d’equilibri bAIxe

1)( . En

aquest cas és fàcil calcular-lo directament:

4,3,2,)(7'0)(3'0)(

600)(2'0)(

1

11

ixxx

xx

ieieie

ee

té com solució única

4,,1,750)( ix ie

Per tant, en règim estacionari hi haurà 750 estudiants per curs, amb un total de 3000. Com que els VAPs de A són 0’7, triple, i 0’2, tots dos menors que 1, el punt d’equilibri és asimptòticament estable, de manera que s’hi tendeix qualsevol que siguin les condicions inicials. Per exemple: 600)1(0)0( 1 xx , 720)2(1 x , 744)3(1 x , 749)4(1 x , ...

(2) Considerant una massificació excessiva, un canvi dràstic en el sistema pedagògic va

invertir els percentatges, de manera que aprovaven un 70% dels estudiants a cada

9.46

curs. Aquestes millors expectatives van fer baixar els abandons al primer curs fins al 10%, de manera que el nou sistema és:

3'07'000

03'07'00

003'07'0

0002'0

,)()1( ABkxAkx

Tanmateix, el nou d’equilibri resulta ser el mateix que abans, i també asimptòticament estable. Però ara el nombre anual de titulats és 525, en lloc dels 225 d’abans.

9.27, ... , 9.30.- Matrius positives. Acabem de veure que, en el comportament dinàmic d’un sistema discret juga un paper important l’existència d’un VAP dominant. Vegem que això queda garantit per a matrius de coeficients positius: Teor. (Perron, 1907) – Considerem el sistema discret

)()1( kAxkx amb A estrictament positiva, és a dir:

0),( ijij aaA nji ,1

Aleshores: (1) Existeix un VAP dominant 1 , amb 01 . (2) El VEP corresponent té també coordenades estrictament positives. Obs. – (1) El VAP dominant 1 s’acostuma a anomenar “arrel Perron”, i una seva acotació és:

j

iji

jij

iaa maxmin 1

(1’) Com a VEP Perron s’acostuma a prendre el que té suma de coordenades igual a 1

(de vegades anomenat VEP “estocàstic”). (2) La condició 0A és freqüent en models poblacionals, on les variables han de ser

positives. Aleshores:

9.47

el VAP Perron dóna la taxa de creixement asimptòtica. les coordenades del VEP estocàstic dóna la distribució poblacional

asimptòtica.

(3) El teorema s’aplica en particular a les matrius estocàstiques ( la suma dels coeficients de cada columna és 1). Aleshores l’arrel Perron és 1. A més es pot assegurar que existeix

k

kAA lim

i que és una matriu estocàstica positiva de rang 1. De fet totes les columnes són iguals al VEP estocàstic.

(4) El teorema de Frobenius (1912) generalitza el de Perron a una àmplia família de

matrius 0A , les anomenades “primitives”. (4’) Un exemple destacat és la matriu de transició de Brin and Page (google). Partint de

la matriu de connexions P entre pàgines web (milers de milions de files i columnes!), es modifica per tal que sigui estocàstica per files. Per exemple:

000

010

2/12/10

P ,

3/13/13/1

010

2/12/10

P

la qual té VAPs: 1, 0’6076, -0’2743. Finalment, la matriu de Brin and Page és de la forma

Un

PP

1

(on U és la matriu amb tots els coeficients 1), que és estocàstica primitiva. El vector PageRank és el VEP dominant per a 85'0 , que es calcula pel mètode de la potència (en 10050 iteracions).