Tema8.2ºbachillerato.física

Tema 7: Física Cuántica Eric Calvo Lorente1

Tema: Física Cuantica y Relativista .

1. Antecedentes de la Hipótesis Cuántica .1.1 Introducción .

Al final del siglo XIX, en el año 1890, William Thomson, más tarde conocido como LordKelvin, el físico más notable de esa época en Inglaterra, declaró en una conferencia que laFísica había logrado desentrañar todos los misterios del mundo material, y que tan sóloquedaban “dos pequeñas nubes” por resolver. Lord Kelvin invitaba a los estudiantes graduadosen Física a que buscaran otros campos del conocimiento, ya que en tal ciencia no quedaba nadapor hacer. Los pequeños problemas a los que se hacía mención eran, por un lado el problemade la radiación del cuerpo negro denominado CATÁSTROFE ULTRAVIOLETA, y el resultadonegativo de los experimentos de Michelson y Morley, para detectar el éter luminífero.

Estos dos problemas que parecían pequeños para muchos físicos, condujeron a las dosgrandes revoluciones en la Física del siglo XX, la Mecánica Cuántica y a la Teoría de laRelatividad, respectivamente

1.2 Espectros Atómicos .Cuando se vaporiza una sustancia y se calienta observamos que emite luz de diversas

longitudes de onda que, tras separarlas en un prisma óptico, pueden registrarse, constituyendoel espectro de emisión de la sustancia estudiada. Es posible que predomine un único color,como el amarillo de las lámparas de vapor de sodio, el rojo de las lámparas de neón o el azulverdoso de mercurio. En cualquier caso, el espectro está formado por varias líneas de longitudesde onda determinadas, separadas por regiones de oscuridad total y, lo más importante,características de cada elemento, por lo que es un método muy bueno de análisis químico, yaque lo identifica inequívocamente. Puesto que el grosor (intensidad) de las líneas espectrales esproporcional a la concentración de dicho elemento en la muestra, su aplicación en análisiscuantitativo también está muy extendida.

Cuando queremos obtener el espectro de absorción de un elemento, éste se vaporiza eilumina con luz blanca, la cual pasa a través de la muestra, recogiéndose las radiacionestransmitidas en una placa fotográfica. Este espectro de absorción está formado por rayasoscuras sobre el espectro de la luz blanca, de modo que su posición (longitud de onda ofrecuencia) se corresponde con la línea equivalente en el espectro de emisión del mismoelemento.

Balmer estudió con detenimiento el espectro del hidrógeno y halló una relación matemáticaentre las longitudes de onda de las diferentes líneas. Posteriormente, Lyman, Paschen, Bracketty Pfund observaron nuevas series de líneas espectrales que mostraban una relación análoga.Rydberg unificó en una sola fórmula todas las series anteriores:

donde R es una constante igual a 1,097·107 m-1 y n1 y n2 son números naturales, de modoque para n1 = 1 y dando valores a n2, obtenemos las líneas de la serie de Lyman. Haciendo igualcon n1 = 2 se consigue la serie de Balmer, con n1 = 3 la de Paschen, con n1 = 4 la de Brackett ycon n1 = 5 la de Pfund

Las diferentes líneas que aparecieron en el espectro del hidrógeno se podían agrupan endiferentes series cuya longitud de onda es más parecida:


Serie Lyman: zona ultravioleta del espectro. Serie Balmer: zona visible del espectro. Serie Paschen zona infrarroja del espectro. Serie Bracket: zona infrarroja del espectro. Serie Pfund: zona infrarroja del espectro.

1.3 Leyes de la Radiación .El término radiación se refiere a la emisión continua de energía desde la superficie de

cualquier cuerpo, esta energía se denomina radiante y es transportada por las ondaselectromagnéticas que viajan en el vacío a la velocidad de 3·108 m/s. Las ondas de radio, lasradiaciones infrarrojas, la luz visible, la luz ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma,constituyen las distintas regiones del espectro electromagnético.

Propiedades de la Superficie de un Cuerpo .Sobre la superficie de un cuerpo incide constantemente energía radiante, tanto desde el

interior como desde el exterior, la que incide desde el exterior procede de los objetos que rodeanal cuerpo. Cuando la energía radiante incide sobre la superficie una parte se refleja y la otraparte se transmite.

Ya sabemos que cuando hacemos pasar la luz a través de un prisma óptico se produce el efectollamado dispersión que consiste en la separación de las distintas longitudes de onda que forman el rayoincidente.

La luz blanca produce al descomponerla lo que llamamos un espectro continuo, que contiene el conjuntode colores que corresponde a la gama de longitudes de onda que la integran.

Sin embargo, los elementos químicos en estado gaseoso y sometidos a temperaturas elevadas producenespectros discontinuos en los que se aprecia un conjunto de líneas que corresponden a emisiones de sóloalgunas longitudes de onda. El siguiente gráfico muestra el espectro de emisión del Na (sodio):

El conjunto de líneas espectrales que se obtiene para un elemento concreto es siempre el mismo, inclusosi el elemento forma parte de un compuesto complejo, y cada elemento produce su propio espectrodiferente al de cualquier otro elemento. Esto significa que cada elemento tiene su propia firma espectral.

Si hacemos pasar la luz blanca por una sustancia antes de atravesar el prisma sólo pasarán aquellaslongitudes de onda que no hayan sido absorbidas por dicha sustancia y obtendremos el espectro deabsorción de dicha sustancia. El gráfico siguiente muestra el espectro de absorción del sodio:

Observa que el sodio absorbe las mismas longitudes de onda que es capaz de emitir.

La regularidad encontrada en los espectros discontinuos supone un apoyo muy importante paracomprender la estructura de los átomos.


Consideremos la energía radiante que incidedesde el exterior sobre la superficie del cuerpo. Sila superficie es lisa y pulimentada, como la de unespejo, la mayor parte de la energía incidente serefleja, el resto atraviesa la superficie del cuerpo yes absorbido por sus átomos o moléculas.

Si r es la proporción de energía radiante quese refleja, y a la proporción que se absorbe, sedebe de cumplir que r+a=1.

La misma proporción r de la energía radiante queincide desde el interior se refleja hacia dentro, y setransmite la proporción a=1-r que se propaga haciaafuera y se denomina por tanto, energía radianteemitida por la superficie.

En la figura, se muestra el comportamiento de lasuperficie de un cuerpo que refleja una pequeña partede la energía incidente. Las anchuras de las distintasbandas corresponden a cantidades relativas deenergía radiante incidente, reflejada y transmitida através de la superficie.

Comparando ambas figuras, vemos que un buen absorbedor de radiación es un buenemisor, y un mal absorbedor es un mal emisor. También podemos decir, que un buen reflectores un mal emisor, y un mal reflector es un buen emisor.

Una aplicación práctica está en los termos utilizados para mantener la temperatura de loslíquidos como el café. Un termo tiene dobles paredes de vidrio, habiéndose vaciado de aire elespacio entre dichas paredes para evitar las pérdidas por conducción y convección. Para reducirlas pérdidas por radiación, se cubren las paredes con una lámina de plata que es altamentereflectante y por tanto, mal emisor y mal absorbedor de radiación.

Comparando ambas figuras, vemos que un buen absorbedor de radiación es un buenemisor, y un mal absorbedor es un mal emisor. También podemos decir, que un buen reflectores un mal emisor, y un mal reflector es un buen emisor.

Una aplicación práctica está en los termos utilizados para mantener la temperatura de loslíquidos como el café. Un termo tiene dobles paredes de vidrio, habiéndose vaciado de aire elespacio entre dichas paredes para evitar las pérdidas por conducción y convección. Para reducirlas pérdidas por radiación, se cubren las paredes con una lámina de plata que es altamentereflectante y por tanto, mal emisor y mal absorbedor de radiación.

El Cuerpo Negro .

La superficie de un cuerpo negro es un caso límite, enel que toda la energía incidente desde el exterior esabsorbida, y toda la energía incidente desde el interior esemitida.

No existe en la naturaleza un cuerpo negro, incluso elnegro de humo refleja el 1% de la energía incidente.

Sin embargo, un cuerpo negro se puede sustituir congran aproximación por una cavidad con una pequeñaabertura. La energía radiante incidente a través de laabertura, es absorbida por las paredes en múltiplesreflexiones y solamente una mínima proporción escapa (se

refleja) a través de la abertura. Podemos por tanto decir, que toda la energía incidente esabsorbida


Consideremos una cavidad cuyas paredes están a una cierta temperatura. Los átomos quecomponen las paredes están emitiendo radiación electromagnética yal mismo tiempo absorben la radiación emitida por otros átomos de lasparedes. Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanzael equilibrio con los átomos de las paredes, la cantidad de energía queemiten los átomos en la unidad de tiempo es igual a la que absorben.En consecuencia, la densidad de energía del campo electromagnéticoexistente en la cavidad es constante.

A cada frecuencia corresponde una densidad de energía quedepende solamente de la temperatura de las paredes y esindependiente del material del que están hechas.

Si se abre un pequeño agujero en el recipiente, partede la radiación se escapa y se puede analizar. Elagujero se ve muy brillante cuando el cuerpo está a altatemperatura, y se ve completamente negro a bajastemperaturas.

La radiación del cuerpo negro representa el valormáximo de radiación que una sustancia real puedeemitir a una temperatura dada.Los trabajos que elaboró Wilhelm Wien (1864 – 1928) influyeron en el desarrollo de la teoría

cuántica introducida por Max Planck.Wien centró su actividad científica, a partir del año 1890, en los campos teórico y

experimental, en la investigación referida a las leyes de la irradiación de calor y en larealización de investigaciones encaminadas a la medición de temperaturas muy bajas yextremadamente altas.

Su principal descubrimiento es la ley del desplazamiento «Ley de Wien», descubierta en1894. Se trata de una ley que permite expresar cuantitativamente los cambios que seproducen, con las variaciones de la temperatura, en el espectro de un cuerpo. Esos cambioscuantificados se expresan como sigue:

3102890290

290

.´.:

)(´

)(

)(´

)(TSIEn

KTcm

cmKT

MAX

MAX

MAX

La ley de Wien nos dice cómo cambia el color de la radiación cuando varía la temperaturade la fuente emisora, y ayuda a entender cómo varían los colores aparentes de los cuerposnegros:

Los objetos con una mayor temperatura emiten la mayoría de su radiación en longitudes deonda más cortas; por lo tanto aparecerán ser más azules.


Los objetos con menor temperatura emiten la mayoría de su radiación en longitudes deonda más largas; por lo tanto aparecerán ser más rojos.

Además, en cualquiera de las longitudes de onda, el objeto más caliente irradia más (esmás luminoso) que el de menor temperatura.

Ejemplo:El wolframio es el metal que tiene a la vez la temperatura más alta de fusión 3680 K y el

menor grado de evaporación. El carbono soporta temperaturas más elevadas antes defundirse pero se evapora rápidamente.

En la práctica, la temperatura más alta quesoporta una lámpara incandescente ordinariafabricada con filamento de volframio es de2900 K. A estas temperaturas solamente, unapequeña fracción de de la energía emitida estáen la región visible, menos del 11%, la mayorparte es radiación infrarroja. Por lo que laslámparas incandescentes son poco eficientesen la emisión de luz visible.

Por otro lado, se conocía la relación teórica (matemática) que relacionaba la intensidadirradiada (es decir, la energía irradiada por unidad de superficie y de tiempo) por el cuerponegro, con la temperatura absoluta del cuerpo. Es la expresión conocida como Ley de Stefan-Boltzmann, según la que:

4TI ., donde:

StefandeUniversalConstantellamada),.K(Watt/m5´67.10

(K)absolutaatemperaturT

)(Watt/mIntensidadI

428-

2

A principios de siglo se hicieron cálculos de la densidad de energía de la radiación de uncuerpo negro (es decir, se realizaronintentos para deducir la ley queexplicase la forma de las gráficas dela radiación del cuerpo negro, comoya hemos dicho, independiente de lanaturaleza del cuerpo); pero losresultados señalaron un serioconflicto entre la física clásica y losresultados experimentales.

Lord Rayleigh y James Jeansdedujeron una ley capaz de explicarlos resultados de longitudes de ondalargas, pero predecía que el cuerpodebería tener una emisión masiva deenergía a longitudes de onda cortas.Un sinsentido conocido como

''catástrofe ultravioleta''.El problema surge porque al estudiar la radiación electromagnética de un cuerpo negro, que

no es otra cosa que una cavidad con ondas electromagnéticas dentro y a la cual se ha hechoun agujerito por donde pueda escapar la radiación. Si para estudiar este problema, se unen lamecánica a la teoría electromagnética y a la mecánica estadística clásicas, resulta que, cuantomayor sea la frecuencia de las ondas mayor es la energía emitida por el cuerpo negro. Esto noconcuerda con lo observado experimentalmente y repugna desde el punto de vista teórico. Poreso constituye una catástrofe. Como además, ocurre a frecuencias altas, como la de la luz


ultravioleta, tal desastre de la física decimonónica recibió el sugerente apelativo de catástrofeultravioleta.

1.4 Efecto Fotoeléctrico .En 1887, Hertz, y más tarde Hallwachs, realizaron el siguiente experimento. Colocaron una

placa de cinc en un electroscopio al que iluminaban con la luz procedente de la chispa quesaltaba en un arco voltaico y observaron lo siguiente:

Si el electroscopio y la lámina de cinc estaban cargados negativamente, se descargabanal iluminarlos (se juntaban las láminas del electroscopio).

Si el electroscopio y la lámina de cinc estaban cargados positivamente, no se descargabaal iluminarlo.

Si estaban cargados negativamente y se interpone un cristal entre el arco y la lámina decinc, no se produce descarga aunque se aumente la intensidad de la luz.

Aplicando la teoría de la mecánica clásica sobre las ondas luminosas estos hechos notienen explicación.

Una posible explicación-resumen, en aquel momento (finales del siglo XIX, conociendo ya laexistencia de los electrones -1899 J.J. Thomson-), sería:

"El cátodo debe tener electrones" "La luz es capaz de extraer los electrones cuando hay exceso de ellos sobre el metal

(cargado negativamente). Si el electroscopio tiene cargas positivas puede que la luzextraiga algunos electrones pero no logra arrancarlos y alejarlos. Vuelven a las láminas delelectroscopio y por lo tanto su carga no varía. "

"El cristal absorbe la luz ultravioleta y al interponerlo entre la luz y la lámina delelectroscopio la componente más energética de la radiación es eliminada y por ello laradiación que pasa no es capaz extraer electrones".

La explicación según la teoría de la mecánica clásica sería: La energía de una onda estárepartida sobre el frente de onda y es proporcional al cuadrado de la amplitud y a la frecuencia.

dE=½ dm V2 =½ ·4 r2v·dt· w2A2=½ ·4 r2v·dt· (2 )2· A2

La intensidad tSEI LUMINOSA . también mantiene la misma proporcionalidad.

La luz incidente aporta una cantidad de energía sobre la superficie de de la placa tantomayor cuanto más potente sea el foco o mayor el número de focos, pero aunque esta energíaaumente mucho, si no es de la calidad adecuada (frecuencia adecuada), no es capaz dearrancar electrones.

Además el cristal interpuesto no evita que llegue una gran cantidad de energía, ya que sóloretiene alguna (el cristal no se calienta hasta fundirse, como sucedería si absorbiera toda). Amás tiempo de exposición a la radiación más energía incidente sobre la placa y al final seproduciría la extracción repentina de todos los electrones. Pero esto no sucede.


La teoría clásica no encuentra explicación y lo más que puede decir es que la extracción nodepende "sólo" de la intensidad (I) de la luz incidente.

Si el campo eléctrico ( E

) de la onda electromagnética (E equivale a amplitud) fueraresponsable de la extracción, tendríamos que pensar que al incrementar la intensidad de laradiación la energía cinética de los electrones extraídos también se incrementaría (I |E|2).Como no es así, hay que buscar otra teoría que explique el fenómeno.

En 1902, Lenard realizó una experiencia similar a la realizada por Thomson y observó quehay un potencial de corte de emisión que es independiente de la intensidad de la luz queincide. Duplicando la intensidad, solo se duplica el número de electrones extraídos, pero no suenergía.

Einstein rompe con la mecánica clásica y en 1905 explica que la luz privada de lasradiaciones de mayor frecuencia (las más energéticas) al ser absorbidas por el cristalinterpuesto (ver el primer ejemplo) no es capaz de arrancar los electrones. No es tanimportante la cantidad de energía que llega a la superficie del metal, como la calidad de esaenergía.

El estudio cuantitativo del fenómeno fotoeléctrico se realizó a través de un montajesemejante al esquema de la figura,

La ventana se construyó de cuarzo y se tomaron las siguientes precauciones: El tubo de vacío fue cocido previamente para que desprendiese la mayor cantidad de

gas. Este gas luego podría ser ionizado por la luz e interferir en el proceso. El ánodo se recubrió de óxido de cobre (II) de color negro, para que no desprendiese

electrones al ser iluminado, de este modo todos procederían de la extracción efectuadasobre el cátodo.

Las superficies del cátodo debían estar limpias, bien orientadas, etc.

Al realizar primero la conexión que se observa en la figura superior, colocando elpotenciómetro de manera que la parte negativa (cátodo) se halle conectada a placa iluminada.De esta manera un aumento de potencial hará que los electrones arrancados seanencaminados por un campo eléctrico hacia la otra placa (ánodo). Cuanto mayor sea elpotencial aplicado más cantidad de electrones llegarán al ánodo (atraviesan el tubo).

Si se hace variar el voltaje que suministrado por el potenciómetro y se registra la intensidadde corriente ( CORRIENTEI ) para una intensidad de radiación luminosa fija ( LUMINOSAI ) y paraluz de una determinada frecuencia de radiación (utilizamos luz monocromática, de un solocolor cada vez), se obtiene una tabla de valores que representados originan la grafica que estáarriba en la gráfica la derecha.

Incluso para V=0 , algunos de los electrones arrancados del metal son capaces de atravesarel tubo y puede detectarse una intensidad de corriente CORRIENTEI . Al aumentar el potencial,el número de electrones que atraviesan el tubo aumenta, pero alcanza un momento en quetodos los electrones arrancados del metal son captados por el ánodo y, a partir de ese punto,aunque se aumente el potencial, la corriente eléctrica CORRIENTEI no aumenta.


Los fotones con energía insuficiente (frecuencia inferior a la umbral), no consiguen arrancarelectrones, reflejándose o transformándose en otras formas de energía. No generan corrienteeléctrica.

Si se mantiene la polaridad y el tipo de luz (la misma frecuencia) pero se utiliza mayorpotencia de iluminación (bombilla más potente o varias bombillas) el nº de electrones extraídoes mayor y llegan más al amperímetro. Mayor intensidad de luz ( LUMINOSAI ) significará mayorflujo de fotones y la corriente en el circuito externo ( LUMINOSAI ) aumenta.

Si se invierten las conexiones del potenciómetro (figura 3), se conseguirá hacer que el metaldel cual la luz arranca electrones sea ahora positivo y muchos electrones arrancadosretornarán a él. Los más rápidos llegan al otro lado y el amperímetro indica conducción. Alaumentar el potencial con esta conexión invertida llegará un momento en que todos loselectrones arrancados retornen, y no cruce ninguno, con lo que CORRIENTEI =0. El valor delpotencial en ese punto se conoce como POTENCIAL DE CORTE (Vo).

Al repetir la experiencia con el mismo tipo de luz pero con de doble intensidad, lo quesupone tener luz de la mismas características pero mayor número de fotones, se lograarrancar más electrones. Se observa que, a mayor intensidad de luz ( LUMINOSAI ) mayornúmero de electrones ( CORRIENTEI ), pero no electrones más rápidos. Y, al invertir la polaridadse obtiene el mismo potencial de corte (Vo) para todas las intensidades de luz. Como yahemos dicho, para ese potencial de corte la intensidad de corriente es cero ( CORRIENTEI =0).(ver figura derecha anterior).

Si ahora se realiza la misma experiencia pero cambiando el tipo de luz (variando su frecuencia),aunque manteniendo siempre la misma intensidad, el gráfico obtenido es parecido a los anteriorespero ahora el potencial de corte es distinto, mayor (más a la izquierda), cuánto mayor sea lafrecuencia de la luz. Figura 5.


2. Hipótesis Cuántica .La distribución espectral del cuerpo negro fue determinada por el físico alemán Max Planck

(1858-1947) en el año 1900, según la ecuación conocida como ley de distribución de Planck:

1e

1.

λ2.π.π.hT)P(λ(

λkThc5

2

En esta ley aparecen la constante de Boltzmann, k = 1,38066 · 10-23 J K-1, muy conocida entermodinámica, y una constante nueva h = 6,62618 · 10-34 J s, que pasó a denominarseconstante de Planck.

Para asegurar la coherencia de su ley, Planck se vio obligado a introducir una hipótesisrevolucionaria, según la cual la energía asociada a la radiación de una frecuencia dada tomabasólo valores múltiplos de un cuanto elemental que era proporcional a la frecuencia de laradiación. La constante de proporcionalidad entre la energía de este cuanto y la frecuencia eraprecisamente h. Esta hipótesis de Planck permitió deducir leyes clásicas de la termodinámicaque sólo habían podido establecerse por medios experimentales, y dio origen a una nuevaconcepción de la física: la mecánica cuántica.

Pero, qué¿Qué aportaba la ley de Planck que no se hallase ya implícito en las leyes deWien y de Rayleigh-Jeans? Un ingrediente tan importante como novedoso. Tanto que es elresponsable de la primera gran crisis provocada por la Teoría Cuántica sobre el marcoconceptual de la Física Clásica. Ésta suponía que el intercambio de energía entre la radiacióny la materia ocurría a través de un proceso continuo, es decir, una radiación de frecuencia fpodía ceder cualquier cantidad de energía al ser absorbida por la materia.

Lo que postuló Planck al introducir su ley es que la única manera de obtener una fórmulaexperimentalmente correcta exigía la novedosa y atrevida suposición de que dicho intercambiode energía debía suceder de una manera discontinua, es decir, a través de la emisión yabsorción de cantidades discretas de energía, que hoy denominamos “quantums” de radiación.La cantidad de energía E propia de un quantum de radiación de frecuencia f se obtienemediante la relación de Planck: hE ,siendo h la constante universal de Planck =

3410626 .´ J.sg (unidades de “acción”).Puede entenderse la relación de Planck diciendo que cualquier radiación de frecuencia υ se

comporta como una corriente de partículas, los quantums, cada una de ellas transportandouna energía E = h υ, que pueden ser emitidas o absorbidas por la materia.

La hipótesis de Planck otorga un carácter corpuscular, material, a un fenómenotradicionalmente ondulatorio, como la radiación. Pero lo que será más importante, supone elpaso de una concepción continuista de la Naturaleza a una discontinuista, que se poneespecialmente de manifiesto en el estudio de la estructura de los átomos, en los que loselectrones sólo pueden tener un conjunto discreto y discontinuo de valores de energía.

La hipótesis de Planck quedó confirmada experimentalmente, no sólo en el proceso deradiación del cuerpo negro, a raíz de cuya explicación surgió, sino también en lasexplicaciones del efecto fotoeléctrico, debida a Einstein (1905), y del efecto Compton, debida aArthur Compton (1923), como veremos más adelante.

3. Interpretación Cuántica del Efecto Fotoeléctrico .A partir de los resultados obtenidos en la experiencia detallada del fenómeno fotoeléctrico,

se desprende que:1.- La intensidad de la corriente fotoeléctrica ( CORRIENTEI , amperios, reflejo del número deelectrones liberados) que origina una radiación de una determinada longitud de onda queincide sobre una superficie metálica, aumenta si aumentamos la intensidad de radiación( LUMINOSAI ) (watios/m2).2.- La emisión es prácticamente instantánea y no depende de la Intensidad de la luzincidente. El tiempo es del orden de 10 –9 s (1ns ).3.- Cada metal requiere, para que se produzca la extracción, una radiación con unafrecuencia mínima ( 0 ). Cualquier otra radiación de menor frecuencia, no será capaz de


arrancar electrones. Por debajo de la frecuencia mínima la intensidad de corriente será cero.No hay efecto fotoeléctrico.

Einstein, en 1905, explicó este fenómeno afirmando que la energía no se transmiterepartida en toda la onda (como se suponía en la teoría clásica), sino agrupada en unospaquetes de energía que llamó fotones (partícula sin masa en reposo, pero con unacantidad de movimiento y energía) que se mueven con la onda. O mejor aún, que almoverse son guiados por una onda que es la que se detecta en determinadas experiencias.Cuando la luz llega a la superficie del metal la energía no se reparte equitativamente entrelos átomos que componen las primeras capas en las que el haz puede penetrar, sino quepor el contrario sólo algunos átomos son impactados por el fotón que lleva la energía y, siesa energía es suficiente para extraer los electrones de la atracción de los núcleos, losarranca del metal.4.- La energía cinética de los electrones emitidos depende de la frecuencia de la radiaciónincidente y de la posición que ocupa ese electrón en el metal.

20 mv

21hh νν .

(La energía incidente menos el trabajo deextracción es igual a la energía cinética delelectrón extraído). Ecuación de Einstein.5.- Existe un potencial de corte (Vo) o potencial defrenado para el que CORRIENTEI =0. Este potencialde corte es independiente de la intensidad de laradiación ( LUMINOSAI ), pero depende de sufrecuencia.El producto del potencial por la carga es trabajo

(por la definición de potencial V=W/q). El trabajo defrenado ( qV .0 ) debe ser suficiente para frenar a loselectrones más rápidos, que son los que estaban menos ligados al metal.

20 mv

21

qV .

Por lo que:

000

000hhh

hh νννν

νν

..

qV

qVqV

Según la teoría de conducciónmetálica de Sommerfeld los electrones deconducción tienen diferentes energías deunión al metal. Se puede establecer ladistribución de electrones por energíasaplicando la teoría estadística de Fermi-Dirac.

En el gráfico vemos varios electrones(bolas rojas). El electrón ligado al metal con una energía Em (máxima) al ser extraído alcanza

qh 0


una energía cinética máxima entre la de todos los electrones. Otro electrón más ligado, situadoen Ei requerirá más energía de extracción y por lo tanto alcanza una energía cinética menor.Un electrón muy ligado no puede ser extraído, quizá pueda sólo ser promocionado a un nivelsuperior.

La explicación de Einstein coincide con los hechos experimentales. Si se repartiese laenergía de la onda entre los trillones de átomos en los que incide la radiación, tardarían añosen acumular la energía necesaria para ser extraídos y todos los electrones superficiales de losátomos de la superficie abandonarían de golpe el metal, al cabo de ese tiempo. Por elcontrario, se comprueba experimentalmente, que desde que incide la radiación hasta laextracción de los electrones transcurren solamente algunos nanosegundos y sólo sonextraídos unos pocos electrones de los millones que componen las capas superficiales.

La energía emitida es discontinua, va en paquetes, tal como había enunciado Plank (que sinembargo creía que se propagaba repartida en la onda, como lo suponía la teoría clásica). Laaportación original de Einstein es que la energía se transmite e impacta de manera discontinuao discreta, en paquetes.

La emisión de electrones es casi instantánea.

4. Modelo de Böhr .

Físico danés, galardonado con el Premio Nobel, que hizo aportaciones fundamentales en elcampo de la física nuclear y en el de la estructura atómica.Bohr nació en Copenhague el 7 de octubre de 1885; era hijo de un profesor de fisiología yestudió en la universidad de su ciudad natal, donde alcanzó el doctorado en 1911. Esemismo año fue a la Universidad de Cambridge (Inglaterra) para estudiar física nuclear conJ.J. Thomson, pero pronto se trasladó a la Universidad de Manchester para trabajar conErnest Rutherford.

La teoría de la estructura atómica de Bohr, que le valió el Premio Nobel de Físicaen 1922, se publicó en una memoria entre 1913 y 1915. Su trabajo giró sobre el modelonuclear del átomo de Rutherford, en el que el átomo se ve como un núcleo compactorodeado por un enjambre de electrones más ligeros. El modelo de átomo de Bohr utilizó lateoría cuántica y la constante de Planck. El modelo de Bohr establece que un átomo emiteradiación electromagnética sólo cuando un electrón del átomo salta de un nivel cuántico aotro. Este modelo contribuyó enormemente al desarrollo de la física atómica teórica.

En 1916, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague como profesor de física, y en 1920 fue nombrado directordel Instituto de Física Teórica de esa universidad, recién constituido. Allí, Bohr elaboró una teoría que relaciona losnúmeros cuánticos de los átomos con los grandes sistemas que siguen las leyes clásicas, y realizó otras importantesaportaciones a la física teórica. Su trabajo ayudó a impulsar el concepto de que los electrones se encuentran en capas yque los de la última capa determinan las propiedades químicas de un átomo.

En 1939, reconociendo el significado de los experimentos de la fisión de los científicos alemanes Otto Hahn y FritzStrassmann, Bohr convenció a los físicos en una conferencia en Estados Unidos de la importancia de estosexperimentos. Más tarde, demostró que el uranio 235 es el isótopo del uranio que experimenta la fisión nuclear. Bohrregresó posteriormente a Dinamarca, donde fue obligado a permanecer después de la ocupación alemana del país en 1940.Sin embargo, consiguió llegar a Suecia con gran peligro de su vida y de la de su familia. Desde Suecia, la familia Bohrviajó a Inglaterra y por último a los Estados Unidos, donde Bohr se incorporó al equipo que trabajaba en la construcciónde la primera bomba atómica en Los Álamos (Nuevo México), hasta su explosión en 1945. Bohr se opuso, sin embargo, aque el proyecto se llevara a cabo en total secreto, y temía las consecuencias de este siniestro nuevo invento. Deseaba uncontrol internacional.

En 1945, Bohr regresó a la Universidad de Copenhague donde, inmediatamente, comenzó a desarrollar usospacifistas para la energía atómica. Organizó la primera conferencia 'Átomos para la paz' en Ginebra, celebrada en 1955, ydos años más tarde recibió el primer premio 'Átomos para la paz'. Bohr murió el 18 de diciembre de 1962 en Copenhague.

Los experimentos desde Faraday hasta Rutherford condujeron al establecimiento de unmodelo atómico nuclear constituido por:


un núcleo de carga positiva en el que se concentraba además la masa del átomo y cuyoradio es aproximadamente 10-14 cm. En el núcleo se encuentran los protones ( mp =1.672.10-27 kg y qp = +1,602.10-19 C)

Una envoltura extra nuclear difusa constituida por los electrones que giran alrededor delnúcleo como los planetas alrededor del Sol.

Sin embargo, el modelo propuesto por Ernest Rutherford poseía serias, puesto que: De acuerdo con los principios de la física conocidos en aquella época, el átomo de

Rutherford debía ser inestable, ya que una partícula cargada moviéndose en unatrayectoria cerrada (como estaba planteado para el electrón) se acelera constantementey debe ceder energía de manera continua debiendo describir una espiral hasta caersobre el núcleo.

El modelo no explicaba algunas propiedades de los átomos como sus espectros. Deacuerdo con lo planteado en el párrafo anterior, los espectros atómicos debían sercontinuos. Sin embargo, se ha comprobado que los espectros atómicos son discretos,presentándose como una serie de líneas o rayas de frecuencias definidas.

Se hacía necesaria la elaboración de un modelo que solucionara tales problemas, a saber: ¿Cómo explicar la estabilidad del átomo? ¿Cómo explicar los espectros de líneas de los átomos?

El encargado de continuar profundizando en estas interrogantes fue el danés Niels Bohr.Böhr propuso un nuevo modelo atómico, que respondiese a las cuestiones anteriormenteplanteadas. Su modelo se basaba en tres postulados. Estos postulados de Bohr aparecencomo una forma de explicar las evidencias experimentales de los espectros atómicos a la luzde los conocimientos que se tenían después de la aceptación de la cuantización en elmicromundo pero antes de la formalización de la mecánica cuántica. Veámoslos:

1. Primer Postulado: Los electrones giran alrededor del núcleo en órbitas estacionariassin emitir energía.

2. Segundo Postulado:Los electrones solo pueden girar alrededor del núcleo en aquellasórbitas para las cuales el momento angular del electrón es un múltiplo entero de h/2p.

,siendo "h" la constante de Planck, m la masa del electrón, v su velocidad, r el radio de laórbita y n un número entero (n=1, 2, 3, ...) llamado número cuántico principal, que vale 1 parala primera órbita, 2 para la segunda, etc.

3. Tercer postulado:Cuando un electrón pasa de una órbita externa a una más interna, ladiferencia de energía entre ambas órbitas se emite en forma de radiación electromagnética.Mientras el electrón se mueve en cualquiera de esas órbitas no radia energía, sólo lo hacecuando cambia de órbita. Si pasa de una órbita externa (de mayor energía) a otra másinterna (de menor energía) emite energía, y la absorbe cuando pasa de una órbita interna aotra más externa. Por tanto, la energía absorbida o emitida será:

En resumen podemos decir que los electrones se disponen en diversas órbitas circularesque determinan diferentes niveles de energía.

Bohr describió el átomo de hidrógeno con un protón en el núcleo, ygirando a su alrededor un electrón.

En éste modelo los electrones giran en órbitas circulares alrededordel núcleo; ocupando la órbita de menor energía posible, o sea laórbita más cercana posible al núcleo.


Cada órbita se corresponde con un nivel energético que recibe el nombre de númerocuántico principal, se representa con la letra " n " y toma valores desde 1 hasta 7 .

La teoría de Bohr predice los radios de las órbitas permitidas en un átomo de hidrógeno.0

2 anrn . , donde n= 1, 2, 3, ... y 0a =0.53 Å (53 pm)

La teoría también nos permite calcular las velocidades del electrón en estas órbitas, y laenergía. Por convenio, cuando el electrón está separado del núcleo se dice que está en el cerode energía. Cuando un electrón libre es atraído por el núcleo y confinado en una órbita n, laenergía del electrón se hace negativa, y su valor desciende a

RH es una constante que depende de la masa y la carga del electrón y cuyo valor es 2´179 ·10-18 J.

Normalmente el electrón en un átomo de hidrógeno se encuentra en la órbita más próximaal núcleo (n=1). Esta es la energía permitida más baja, o el estado fundamental. Cuando elelectrón adquiere un cuanto de energía pasa a un nivel más alto (n=2,3, ...) se dice entoncesque el átomo se encuentra en un estado excitado. En este estado excitado el átomo no esestable y cuando el electrón regresa a un estado más bajo de energía emite una cantidaddeterminada de energía, que es la diferencia de energía entre los dos niveles.

La energía de un fotón, bien sea absorbido o emitido, se calcula de acuerdo con la ecuaciónde Planck.

Representación de las órbitas n distancia

1 0,53 Å

2 2,12 Å

3 4,76 Å

4 8,46 Å

5 13,22 Å

6 19,05 Å

7 25,93 Å

El electrón puede acceder a un nivel de energía superior pero para ello necesita "absorber"energía. Cuando vuelve a su nivel de energía original, el electrón necesita emitir la energíaabsorbida (por ejemplo en forma de radiación).


Un átomo tiene una dimensión del orden de 10-9 m. Está compuesto por un núcleorelativamente pesado (cuyas dimensiones son del orden de 10-14 m) alrededor del cual semueven los electrones, cada uno de carga –e (1.6 10-19 C), y de masa me (9.1·10-31 kg).

El núcleo está compuesto por protones y neutrones. El número Z de protones coincidecon el número de electrones en un átomo neutro. La masa de un protón o de un neutrón esaproximadamente 1850 veces la de un electrón. En consecuencia, la masa de un átomo es

prácticamente igual a la del núcleo.Sin embargo, los electrones de un átomo son los responsables de la mayoría de las propiedades atómicas

que se reflejan en las propiedades macroscópicas de la materia.El movimiento de los electrones alrededor del núcleo se explica, considerando solamente las interacciones

entre el núcleo y los electrones (la interacción gravitatoria es completamente despreciable).

Consideremos dos electrones separados una distancia d, ycomparemos la fuerza de repulsión eléctrica con fuerza de atracciónentre sus masas.

La intensidad de la interacción gravitatoria es despreciable frente a la interacción electromagnética.El modelo de Bohr es muy simple y recuerda al modelo planetario de Copérnico, los planetas describiendo

órbitas circulares alrededor del Sol. El electrón de un átomo o ión hidrogenoide describe también órbitascirculares, pero los radios de estas órbitas no pueden tener cualquier valor.

Consideremos un átomo o ión con un solo electrón. El núcleo de carga Ze es suficientemente pesado paraconsiderarlo inmóvil,

Si el electrón describe una órbita circular de radio r, por la dinámica del movimientocircular uniforme

En el modelo de Bohr, solamente están permitidas aquellas órbitas cuyo momentoangular está cuantizado:

, donde n es un número entero que se denomina número cuántico, y h es la constante de Planck 6.6256·10-34

J.sLos radios de las órbitas permitidas son

,donde a0 se denomina radio de Bohr. a0 es el radio de la órbita del electrón del átomo de Hidrógeno Z=1 ensu estado fundamental n=1.

La energía total es

En una órbita circular, la energía total E es la mitad de la energía potencial

La energía del electrón aumenta con el número cuántico n.La primera energía de excitación es la que lleva a un átomo de su estado fundamental a su primer (o más

bajo) estado excitado. La energía del estado fundamental se obtiene con n=1, E1= -13.6 eV y la del primerestado excitado con n=2, E2=-3.4 eV. Las energías se suelen expresar en electrón-voltios (1eV=1.6 10-19 J)

La frecuencia f de la radiación emitida cuando el electrón pasa del estado excitado E2 al fundamental E1 es


4. Efecto Compton .El efecto Compton es un fenómeno por el cual la radiación electromagnética que incide

sobre ciertas superficies sale con una longitud de onda mayor que la de entrada. Se trata deuna demostración más directa de los fotones actuando como partículas.

Este fenómeno, observadoen 1923 por el físicoestadounidense Arthur HollyCompton (1892-1962) en elcurso de investigacionesrealizadas sobre la difusión delos rayos X, sólo puedeexplicarse a partir de losprincipios de la mecánicacuántica. El fenómeno, enpocas palabras, era elsiguiente: los rayos X cuandorebotaban en superficies decristales, salían irradiados conuna longitud de onda mayor, lo cual es lo mismo que una frecuencia menor. Lo que se habíaobservado es que cuando con los rayos X (que son una radiación electromagnética de altafrecuencia), se bombardean ciertos cristales, estos rayos cambiaban su longitud de onda,dependiendo del ángulo de reflexión, medido entre la dirección cuando chocan contra el cristaly la dirección cuando salen rebotados del mismo.

Cuando se analiza la radiación electromagnética que ha pasado por una región en la quehay electrones libres, se observa que además de la radiación incidente, hay otra de frecuenciamenor. La frecuencia o la longitud de onda de la radiación dispersada depende de la direcciónde la dispersión.

Se explica el efecto Compton en términos de la interacción de la radiación electromagnéticacon electrones libres, que suponemos inicialmente en reposo en el sistema de referencia delobservador.

Compton concluyó que este fenómeno se podía entender si se piensa a los rayos X comofotones individuales, es decir como pequeñas bolas de billar que golpean contra otras comoser los núcleos y los electrones del elemento que compone al cristal. Así, si se considera quela radiación electromagnética está constituida por cuantos de energía llamados fotones, en suinteracción con la materia puede absorberse parte de estos fotones. En tal caso, la energíaglobal de la radiación disminuiría, y también su frecuencia, con lo que aumentaría la longitudde onda. Este cambio es fácilmente medido y corrobora la idea de que la energía esproporcional a la frecuencia. Con la teoría ondulatoria de la luz, no existían razones quepudieran explicar porqué hay un cambio de frecuencia en la interacción entre ciertasradiaciones electromagnéticas y la materia (los electrones que la componen). Por este trabajoCompton también recibió el premio Nobel en 1927.

El efecto Compton puede cuantificarse dentro del marco teórico ofrecido por Planck yEinstein acerca de la energía electromagnética. Considerando que la masa de los cuantos de


esta radiación (fotones) es Ef = h, que también se puede escribir como fE , siendo

2h

, el momento lineal de cada fotón viene definido por:

Mediante las leyes de conservación del momento lineal y de la energía se obtiene que ladiferencia entre las longitudes de onda de entrada y salida del fotón en la interacción vienedada por:

)cos( 112 C

,siendo θ el ángulo de desviación de la trayectoria del fotón y λC una constante llamadalongitud de onda de Compton del electrón, cuyo valor viene dado por:

El efecto fotoeléctrico se aprovecha en numerosos campos de la ciencia y la técnica. Losdispositivos llamados fotodiodos y fotomultiplicadores que se basan en este principio,intervienen en procesos como el control de productos industriales, las transmisiones por fax,los tubos de televisión o los amplificadores de imágenes. Entre las más conocidas aplicacionesde este efecto cabe citar, las células fotoeléctricas usadas para la detección de presencia y losequipos fotovoltaicos de los paneles de energía solar.

La explicación que del efecto Compton proporciona la mecánica cuántica ofrece una de laspruebas experimentales más convincentes de la validez de suspostulados teóricos. Este fenómeno suministra una ilustracióndeterminante de las propiedades de onda y partícula de la radiaciónelectromagnética.

Arthur Compton (1892- 1962), físico estadounidense, obtuvo el premioNobel de física de 1927 por su descripción y explicación del fenómeno decambio en la longitud de onda de los rayos X cuando colisionan con loselectrones de la materia, conocido en la ciencia con el nombre de efectoCompton.

5. Hipótesis de De Broglie. Dualidad Onda-Corpúsculo .El hecho de que a la luz presente tanto propiedades ondulatorias como de partícula sugirió a

Louis De Broglie que una partícula pequeña como un electrón puede tener propiedades de ondaen circunstancias adecuadas. En 1924, el físico francés hizo el siguiente razonamiento:

1. La naturaleza es sorprendentemente simétrica de muchas maneras.2. Nuestro universo observable está compuesto totalmente de luz y de materia.3. Teniendo en cuenta la dualidad onda-corpúsculo de la luz (Young-Einstein),

quizás también la materia goce de esta cualidad.La sugerencia de de Broglie quizás no hubiera recibido seria atención si no hubiera

predicho cuál debía ser la longitud de onda asociada a las llamadas ondas de materia.Recordemos que en 1680, Huygens propuso una teoría ondulatoria de la luz que no recibióaceptación general, en parte porque Huygens no pudo precisar cuál era la longitud de onda de laluz. Cuando Thomas Young rectificó este defecto en 1800, comenzó a aceptarse la teoríaondulatoria. De Broglie supuso que la longitud de onda de las ondas de materia predichas debíaestar dada por la misma relación aplicable a la luz, o sea:

m.vh

phλ

, que relaciona la longitud de onda de una onda luminosa con la cantidad de movimiento delos fotones asociados con ella. La doble naturaleza de la luz se muestra de una manerasorprendente en esta ecuación y también en la de Planck (E=hυ ). Ambas expresiones contieneen su estructura tanto el concepto de onda (λ,υ) como un concepto de partícula (E,p). De Brogliepredijo que las longitudes de ondas de las materias también debían estar dadas por la ecuaciónanterior, en la cual "p" tendría que ser la cantidad de movimiento de la partícula de materia.

Esta conclusión se extendió y generalizó para toda la materia de manera que no solo losfotones llevan asociada una onda sino que toda la materia presenta esta dualidad, para


cualquier tipo de materia. Esta teoría fue confirmada experimentalmente cuando se consiguiórealizar la difracción de electrones.

Todos los objetos de la vida cotidiana presentan un comportamiento ondulatorio aunque nolo observamos. Esto es debido a que la masa es muy grande y por tanto λ es muy pequeña. Sinembargo las partículas atómicas tienen masas comparables a la cte de Planck y por tanto suslongitudes de onda son apreciables.

Louis de Broglie, era un aristócrata francés que ganó el premioNobel de Física de 1929 por una tesis doctoral que elucidaba las propiedadesondulatorias de los orbitantes electrones. Se trató de un trabajo que ayudó aresolver una antigua paradoja al mostrar que los electrones pueden serdescritos ya sea como partículas o como ondas, según las circunstancias.

El punto de partida que tuvo de De Broglie para desarrollar su tesisfue la inquietante dualidad en el comportamiento de la luz, que en ciertosfenómenos se manifiesta como onda, en otros como partícula. Estedesconcertante aspecto doble de la luz, estrechamente vinculado con laexistencia misma de los cuantos, le sugirió la pregunta de si no podíaesperarse hallar una dualidad del mismo orden en los movimientos delelectrón, en el átomo regido por el cuanto.

Cuando de Broglie publicó sus ideas, en 1923, jamás –al menos hasta entonces– el electrón habíamanifestado características ondulatorias análogas a las de la luz; no obstante, a pesar de ello, habíados indicios que parecían apoyar, en los razonamientos de De Broglie, la idea de ese paralelismo.Hay una analogía, conocida desde Jacobi y Hamilton, entre las trayectorias posibles de laspartículas, concebida según la dinámica clásica, y los rayos de propagación de ondas, estudiadospor la geometría óptica. Y esta profunda analogía se establece por intermedio de la «acción», esdecir, precisamente por la magnitud física cuyas dimensiones son las del cuanto de Planck. Parecíaque en esta conexión había un indicio de que el cuanto forma el vínculo, enigmático y oculto, entrelos dos aspectos complementarios: la naturaleza granular y ondulatoria de las partículas de lamateria. Ese paralelismo fue el que motivó a de Broglie a embrionar los inicios que dieron paso a lamecánica ondulatoria. Pero también había algo más que influyó en ese embrionage. En efecto, lasórbitas estables del electrón, en el átomo, están caracterizadas por números enteros. Ahora bien, laintervención de números enteros es insólita en la dinámica clásica de las partículas, mientras esintrínseca a la teoría de los fenómenos ondulatorios: un motivo más que sugería admitir unaestrecha conexión, ajena a la antigua mecánica newtoniana, entre partículas y ondas, e hizosospechar que al movimiento de las partículas subyace tal vez una propagación ondulatoria.Esas reveladoras analogías y algunas otras sencillas consideraciones propuestas por la teoría de larelatividad, llevaron a de Broglie a considerar que, como las pústulas de luz –los fotones– tambiénlos de la materia –electrones y protones– deberían estar acompañados en sus movimientos porondas. Ligadas inseparablemente a las partículas de la materia, serían estas ondas las que guían ygobiernan –por lo menos estadísticamente– sus movimientos. La longitud de onda que de Broglieatribuye a las «ondas piloto», asociada a la partícula, es igual al cociente de la constante de Planckpor el impulso del corpúsculo; es, pues, la misma que Einstein adjudicara a la onda luminosa delfotón. De Broglie escribió al respecto: “Son como dos ríos que por largo espacio corrieron separadosterminan por mezclar sus aguas, dos grandes doctrinas (mecánica de los corpúsculos y teoría de lasondas) han llegado a su confluencia".


Pero no obstante, existe una importante diferencia entre la onda adjunta a los fotones y aquellasasociadas a las partículas materiales. Mientras las pústulas de luz y sus correspondientes ondastienen la misma velocidad, esta identidad no se asocia a las partículas materiales y suscorrespondientes ondas asociadas. Pero aunque partículas y ondas tienen velocidades disímiles,éstas no son independientes una de la otra; su producto tiene un valor constante. Sin entrar endetalles aquí, ya que lo haremos en nuestra descripción matemática de la hipótesis de De Broglie,agreguemos que los corpúsculos y sus sistemas de ondas, como quedará demostrado, soninseparables y forman una estructura permanente.

La idea de ligar lo continuo de la onda con lo discontinuo del corpúsculo otorgó una importanteprueba sobre su posible viabilidad, cuando de Broglie, al aplicarla a los movimientos de loselectrones en el interior de un átomo, consiguió hallar la razón de las órbitas cuantificadas de Bohr.Éste, en su modelo del átomo, todo ocurre como si estuviera regido por las prescripciones de unenigmático gobierno microcósmico, que permitía a los electrones trayectorias cuantificadas, y lesprohibía las demás. Era obvio que ello correspondía a una cuestión que quedaba abierta por sucarencia de precisión, pese a que era un postulado. Pero entonces la humanidad contaba con unabrillante mente como la de Broglie, ya que éste con su ponencia logró aclarar la curiosa selección delas imprecisas órbitas de Bohr. Siendo la órbita del electrón estable, su onda asociada también loserá: será una onda estacionaria, comparable a las ondas sonoras de un tubo o las de las cuerdasde una guitarra. Pero para que se pueda dar el hecho de que las ondas puedan continuarestacionarias, es necesario que ellas se cierren, volviéndose sobre sí mismas.En consecuencia, la trayectoria de una onda es invariable, si su perímetro es igual a un múltiploentero de la longitud de onda, permitiendo a la onda asociada al electrón encontrarse después decada recorrido en la misma fase. Sobre todas las otras trayectorias la onda no podría subsistir, susfases discordantes la destruirían. Ahora bien, las únicas trayectorias que responden a la condiciónde la onda estacionaria, las únicas en las cuales las ondas pueden conservarse, son exactamentelas órbitas, permitidas del modelo atómico de Bohr. Así la mecánica ondulatoria proporciona la llavede la curiosa selección de las órbitas en el átomo. El postulado de Bohr deja de ser arbitrario y seconvierte, con de Broglie, en una exigencia lógica, impuesta al electrón por el carácter estacionariode su onda asociada.

Ahora bien, según esa idea imperativa de De Broglie, la razón por la cual la materia permite lacoexistencia de esos dos aparentemente irreductibles fenómenos es precisamente la condiciónestacionaria de las ondas de la materia: lo estático de la partícula y lo vibratorio de la onda. Con estainterpretación que hace de Broglie para el átomo, es obvio que se aleja más que Bohr, de la la minidescripción planetaria de la idea atómica de Rutherford. Todo ocurre como si el electrón seencontrara, no en un punto determinado de su trayectoria, sino simultáneamente sobre toda lacircunferencia de su órbita. Su circulación en tomo del núcleo deja de asimilarse a la traslación de unplaneta en torno al Sol, asemejándose más bien a la rotación de un anillo simétrico que, a pesar desu movimiento, continúa ocupando el mismo lugar en el espacio. En otro aspecto, las ondaselectrónicas se comportan como minúsculos circuitos oscilantes, acordados sobre longitudes deondas determinadas.Por otra parte, al igual que el electrón, otros constituyentes de la materia, protones y neutrones, estántambién acompañados en sus movimientos por ondas. La onda integra –según el pensamiento de DeBroglie –cada partícula material. La estructura particulada es el atributo evidentemente manifiesto dela materia; junto a él cohabita su otro carácter no menos fundamental, poco más escondido: su serondulatorio, que sólo se revela en ciertos momentos. Siempre que el movimiento se asocia a lamateria, la onda lo hace también. Puesto que no existe en el universo un punto material en reposo, entodas las partes donde hay materia hay ondas. Los dos aspectos, particulados y vibratorios, sonindispensables, siendo su ligamento el cuanto elemental de Planck; no obstante, no es posiblehallarlos juntos. Si la naturaleza exhibe en un fenómeno dado uno de sus aspectos, esconderigurosamente el otro.Tales son las ideas principales de la hipótesis de Louis de Broglie. Con ellas, se demuestra que esposible establecer una correspondencia entre las ondas y los corpúsculos, tal que las leyes de lamecánica correspondan a las leyes de la óptica geométrica. Sin embargo, como es sabido, en lateoría ondulatoria la óptica geométrica es solamente una aproximación; ésta tiene sus límites devalidez y, en particular, cuando están implicados los fenómenos de interferencia y de difracción,resulta ser enteramente inadecuada cuando se trata de partículas clásicas. No obstante lo anterior,Existen pruebas directas y significativas del comportamiento ondulatorio de las partículas delmicrocosmos como el electrón. Se basan en el fenómeno de interferencia característico de las ondasy ausente en las partículas clásicas. Uno de los experimentos más directos y conclusivos fue el deDavisson y Germer en el año 1927.


.Aunque realizado después de la creación de la mecánica cuántica, permanece hasta hoy día como elindicador más claro y profundo de las manifestaciones cuánticas en el movimiento de las partículas.

Davisson y Germer estudiaron la reflexión de un haz de electrones incidente sobre un monocristal,siguiendo una idea usada anteriormente para la investigación de la naturaleza de los rayos X. Un hazde electrones procedente de un filamento calentado se acelera en un potencial electrostático e incidesobre el monocristal bajo cierto ángulo. Se observan los electrones reflejados mediante un detectorcuya posición puede ser variada. También se puede variar el potencial acelerador y cambiar así lavelocidad de los electrones. Los electrones experimentan reflexiones en los diversos planos paralelosde la red cristalina. La figura que insertamos a continuación del párrafo explica lo que ocurre alconsiderar sólo dos de estos planos. El haz que sale del monocristal se compone de dos hacesreflejados por los dos planos diferentes (en realidad serían muchos). Los electrones recorren caminosdistintos en los dos haces y la diferencia de camino es L=L1+L2 (véase la figura de abajo). De lageometría de la figura hallamos cosdL 2 , 21 cos.LL , donde d es la distancia entre los planosy de ahí cos.dL 2 . Si los haces fueran dos ondas planas, como sucede con los rayos X, habríainterferencia entre ellas con un máximo de intensidad correspondiente a una diferencia de fasemúltiplo de 2π, o sea, para

[07]

donde λ es la longitud de onda y n es un entero. La ecuación [07] es la condición de Bragg para losmáximos de rayos X reflejados por un monocristal. Cambiando el ángulo α se puede pasar de unmáximo a otro y así medir la longitud de onda a partir de la diferencia en ángulo y d. Por otra parte,con partículas no se esperaría ver interferencia alguna ni, por lo tanto, máximos ni mínimos.

El experimento realizado por Davisson y Germer produjo resultados inequívocos: los electronesprodujeron una interferencia clara con máximos según la fórmula de Bragg [07]. La longitud de ondade electrones con velocidades diferentes se mostró también de acuerdo con el postulado de DeBroglie.

Esquema del experimento de Davisson y Germer.

La interferencia de dos haces reflejados en dos planosde una red cristalina.


Louis de Broglie propuso que todas las partículas, incluyendo alelectrón, en su movimiento poseen asociada una onda, cuya longitud de ondaes:

mvh

λ

(h es la constante de Planck; m, la masa y v, la velocidad de lapartícula).

En ello consiste la hipótesis de la dualidad onda-corpúsculo, admitiendo que toda partículasubatómica, como el electrón, presenta una doble naturaleza, de onda y de materia, ofreciendo encada circunstancia experimental una de ambas y nunca las dos al mismo tiempo (principio decomplemetariedad).Pues bien, si suponemos que el electrón en su movimiento alrededor del núcleo del átomo dehidrógeno no cambia de órbita –y no pierde energía–, se le puede asociar una onda estacionaria demanera que su longitud de onda debe cumplir la condición:

nR 2 (n=1,2,3,…)ya que la longitud de la trayectoria del electrón tiene que ser un múltiplo de la longitud de onda de laonda asociada.Si en la fórmula anterior sustituimos la longitud de onda dada por la ecuación de De Broglie,tendremos:

mvh2 nR

Y, moviendo términos, llegamos fácilmente a la expresión del primer postulado:

Por otra parte, si partimos de la ecuación del segundo postulado, hE , y recordamos laequivalencia masa-energía dada por Einstein, llegamos a:

mch

νchνmc 2

Y puesto que la frecuencia se relaciona con la longitud de onda por:

c

Tendremos:mch

, es decir,ph

, que es la ecuación de De Broglie aplicada a un fotón, donde

p es su cantidad de movimiento.Como vemos, mediante unos sencillos cálculos algebraicos hemos establecido unas interesantesrelaciones entre las ecuaciones de Böhr y la de De Broglie. Con esto se pretende mostrar no sólo lapermanente interrelación entre los conceptos cuánticos sino la importancia de los postulados delfísico sueco, que consciente o inconscientemente, llevaban implícita la idea de la naturaleza dual dela materia.La exigencia matemática, por decirlo de un modo gráfico, de la hipótesis onda-partícula, nosconsuela, en cierto modo, de la dificultad conceptual que supone imaginar este fenómeno, ideacentral en el desarrollo de la mecánica cuántica y clave en el estudio de las interacciones que afectana las partículas fundamentales.


6. Física Cuántica .Los fenómenos descritos anteriormente obligaron a la comunidad científica a plantearse que

algo fallaba en la concepción del Universo, en lo que había sido considerado válido hasta esosprimeros años del Siglo XX. Se hacía necesario enfocar las cosas de una manera diferente, deuna forma en la que se tuviera en cuenta la nueva luz que se había arrojado sobre la esencia dela naturaleza.

Se trataba de encontrar unas leyes diferentes; pero antes de entrar en ello, vamos a vercómo eran las imperantes hasta ese momento, las que se incluían dentro de la llamadamecánica clásica:

La mecánica es el estudio matemático del movimiento. Dicho de otra manera, su funciónconsiste en comprobar la velocidad y la posición de un objeto, o conjunto de objetos, con el finde predecir su comportamiento futuro a partir de ciertas leyes.

Ya desde los griegos hubo intentos de aproximarse al problema, pero la falta en aquellaépoca de un buen método experimental provocó que los resultados fueran escasos. Hubo queesperar hasta la aparición de gigantes de la talla de Galileo Galilei o Johanes Kepler, pero sobretodo hasta que su sucesor, Isaac Newton, publicó en 1687 la obra“Principios Matemáticos de Filosofía Natural”, conocidacorrientemente como “Principia”.

Este libro es considerado por muchos el más decisivo de lahistoria de la ciencia, y en sus páginas se exponían los tres principiosde la mecánica:

1. Todo cuerpo permanece en reposo o continúa su movimiento enlínea recta con velocidad constante si no está sometido a unafuerza exterior.2. La fuerza que mueve un cuerpo es igual a la masa de dichocuerpo por su aceleración3. A toda acción se opone una reacción, igual en módulo ydirección, pero de sentido contrario.A partir de estos tres preceptos, durante los Siglos XVIII y XIX,

varios grandes matemáticos (Laplace, Lagrange, Hamilton, etc.) elaboraron toda una doctrinapara describir y predecir el movimiento de los objetos, la cual, hoy en día, se conoce comomecánica clásica o mecánica de Newton.

Llegados a este momento, se creía que ya se sabía lo suficiente como para estar endisposición de, a partir de las posiciones y velocidades de los objetos de un sistema, y delconocimiento de fuerzas como la gravedad, calcular las posiciones y velocidades en cualquiermomento futuro. El propio Universo es un sistema, el mayor de todos, y por tanto se pensabaque la física se hallaba cerca de explicarlo todo.

Pero las cosas no serían tan fáciles. Aunque todo esto sigue siendo válido en nuestros díassi observamos los sucesos que se dan en nuestra vida cotidiana, los avances del Siglo XXindicaron que esta mecánica no funcionaba en tres casos:

1. En el mundo de lo muy pequeño (átomos, moléculas, partículas fundamentales, etc.).Hubo que sustituirla por la mecánica cuántica2. Cuando los objetos se mueven a velocidad cercana a la de la luz, hay que tener encuenta la relatividad especial.3. En presencia de grandes masas gravitatorias, como estrellas, hay que aplicar larelatividad general.

Es a la primera frontera, a la de lo muy pequeño, a la que se dedica la mecánica cuántica.Varios descubrimientos de principios del Siglo XX, entre los cuales ya hemos visto los más

importantes (los cuantos, el efecto fotoeléctrico, las órbitas del electrón y la dualidad onda-partícula) revelaron que en el mundo de las moléculas, de los átomos y de los objetos aún máspequeños, la mecánica clásica no es más que una aproximación.

El alemán Werner Heisenberg y el austriaco Erwin Schrödinger fueron los ilustres físicosque, de manera independiente, tomaron estos hallazgos y los integraron en una nueva teoríapara crear una mecánica distinta.


Heisenberg y Schrödinger

En las décadas iniciales del siglo XX, cada uno de ellos utilizó unas herramientasmatemáticas diferentes para elaborar la nueva teoría. El primero se basó en lo que se llamanmatrices, y el segundo en un sistema que se conoce como función de onda. Poco despuésSchrödinger demostró que ambos métodos eran equivalentes, de forma que cualquiera de ellosse puede deducir a partir del otro.

Resulta extremadamente curioso el camino que utilizó Heisenberg. Tomó las energíasposibles de los electrones en el átomo y elaboró algo a lo que llamó tablas, compuestas porunas operaciones matemáticas que daban resultados acerca de la posición o la velocidad delelectrón. Después se percató de que este método de “tablas” ya era utilizado ampliamente porlos matemáticos, quienes llamaban matrices a dichas tablas. Este es uno de los ejemplos deabstracciones matemáticas que con el tiempo encuentran aplicación en el mundo real.

Sin embargo, es el procedimiento basado en la función de onda de Schrödinger el que seestudia principalmente hoy en día en las universidades, así como el que utilizan físicos yquímicos en sus trabajos, por tratarse de un método más manejable. De hecho, el premio Nobelde física Steven Weinberg, confiesa que él mismo no consigue entender las motivaciones quéllevaron a Heisenberg a dar los pasos mentales con los que desarrolló su entramadomatemático.

Schrödinger y Heisenberg, a partir de los descubrimientos de otros, pusieron los ladrillos dela mecánica cuántica, cada uno de ellos mediante una herramienta matemática distinta, peroambas equivalentes entre sí. Profundicemos en la que se utiliza comúnmente por ser la máscómoda, la FUNCIÓN DE ONDA DE SCHRÖDINGER.

Los descubrimientos de principios del Siglo XX habían culminado con la sorprendenteconclusión, por parte de Louis de Broglie, de que la materia se comporta a la vez como cuerpoy como onda, y esto es especialmente decisivo cuando nos referimos a partículas subatómicas.Esta doble condición de las partículas tenía que ser utilizada para profundizar en el estudio del

mundo de lo muy pequeño.Así las cosas, Schrödinger, entre los años 1925 y 1926, introdujo

la función de onda, también llamada ecuación de Schrödinger, queno es otra cosa que una ecuación que describe la forma en que unapartícula cambia con el paso del tiempo. Por tanto, se trata deestudiar las partículas del mismo modo en que se estudian lasdemás ondas que sentimos a nuestro alrededor, como las sonoras olas producidas en el agua cuando se lanza una piedra a un charco.

Típica onda sobre el agua

Cualquier tipo de onda queda descrita en cualquier instantemediante una lista de números, un número por cada punto del espacio por el que viaja la onda.Por ejemplo, en el caso de la onda sonora, lo números nos darán la presión del aire en cadapunto del espacio (porque es el aire quien transmite el sonido). Otro caso cotidiano es la ondaque produce un músico sobre la cuerda de una guitarra cuando la hace sonar, la cual estaríadescrita por números que nos darían la tensión de dicha cuerda en cada uno de sus puntos.


Y del mismo modo, la función de onda de las partículas nos da números concernientes aestas partículas. La peculiaridad de estos números es que son probabilidades, es decir, el valorde la función de onda en cualquier punto nos da la probabilidad de que la partícula se halle enese punto.

A estas alturas, se empezó a entrever que la naturaleza no era tan simple como se creíahasta poco tiempo atrás. Hasta entonces cualquier resultado en física había consistido en undato preciso, pero a partir de ahora intervenía el azar. Esta concepción que se vislumbraba delUniverso no convencía a casi nadie, pero al año siguiente Heisenberg aportó un nuevoargumento decisivo: EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG.

Heisenberg consideró la dificultad que había en medir la posición y la trayectoria de unelectrón. El problema consistía en que para obtener una medida precisa era necesario utilizar luzpara ver el electrón. Lo que ocurre es que la luz, al igual que la materia, tiene una doblenaturaleza de onda y partícula. Entonces, un electrón al ser iluminado sería golpeado por losfotones (las partículas de la luz), de forma que si su posición era claramente establecida, poco onada se podría saber sobre su trayectoria, puesto que habría sido desviada por la acción de laluz.

A partir de estos argumentos, Heisenberg enunció su principio, que viene a decir que “no esposible conocer a la vez la posición y la trayectoria de una partícula”. Esto parecía lógico visto elproblema del fotón golpeando al electrón, pero no lo fue tanto cuando varios físicos, entre losque destacó Niels Bohr, llegaron a la conclusión de que el principio de incertidumbre se cumplíaindependientemente de si la partícula era iluminada o no.

Este principio es una característica intrínseca de la materia, de la cual el caso expuesto porHeisenberg sólo es un ejemplo. Partiendo de la función de onda y de los resultados que nos daen forma de probabilidades, se concluye que no es posible conocer en cada observación másque un número limitado de características de las partículas, dado que la medición de algunaspropiedades nos oculta lo referente a las demás.

Matemáticamente, el principio queda descrito por la ecuación: px.

(Cuanto mayor es la precisión en la determinación de la posición, mayor será laincertidumbre o error producido en la determinación de su velocidad (y viceversa)

Esta idea nos conduce a otro concepto clave en mecánica cuántica, y aún más insólito sicabe:La SUPERPOSICIÓN

Niels Bohr dirigía el Instituto Universitario de Física Teórica de Copenhague, y fue allí dondese dieron algunos de los avances más significativos en esta nueva concepción del mundo queera la mecánica cuántica. Hacia 1930, en esa ciudad danesa ya se manejaban funciones deondas mucho más complejas que las que describían partículas individuales, de forma que seanalizaban y se realizaban predicciones sobre sistemas de numerosas partículas.

La interpretación que se llevó a cabo en aquel instituto se basaba en una estricta separaciónentre el sistema estudiado y el propio estudio que se hacía sobre él, es decir, un sistema tieneunas características definidas, pero estas no se manifiestan hasta que no son observadas. Paraentender esto vamos a ver un pequeño ejemplo. Supongamos un sistema formado por una solapartícula que cuenta como característica única con su posición. Esta partícula puedeencontrarse en dos posiciones posibles, la posición Cerca y la posición Lejos, entonces sufunción de onda nos dará la probabilidad de que se halle en la posición Cerca o por el contrarioen la posición Lejos. Todo esto, que suena a Barrio Sésamo, es tremendamente simple desde elpunto de vista de la mecánica clásica. La partícula estará Cerca o Lejos y si está en un lugar oen otro dependerá de alguna ley física concreta.

Sin embargo, la cosa es más complicada en mecánica cuántica. Cuando miramos si estáCerca o Lejos veremos que, efectivamente, estará posicionada en uno de los dos sitios. Pero lorealmente extraordinario ocurre cuando nadie está mirando, en esos momentos la partículapuede estar Cerca, Lejos o, más habitualmente, a la vez Cerca y Lejos.

Es aquí cuando se dice que hay una superposición entre los estados Cerca y Lejos y, dehecho, es esa la situación en la que se hallan todos los posibles estados de las partículas queforman los átomos y en definitiva la materia del Universo cuando nadie la está mirando.

Entonces, la realidad es que los electrones no se encuentran en órbitas como los planetasalrededor del Sol. Se dice que ocupan orbitales, los cuales son esferas que rodean al núcleo yque se componen de los puntos donde es más probable encontrar al electrón, y cuando nadielos está buscando se hallan difuminados por todo el orbital.

Como conclusiones, podemos, en las condiciones en las que nos hallamos, que:


La mecánica cuántica nos presenta una concepción de la naturaleza que se puede resumiren unos pocos puntos:

1. De todos los estados posibles de las partículas (posición, trayectoria, etc.) sólo sepueden conocer algunos de ellos en cada observación, y nunca todos a la vez, es decir,que la esencia última de la materia no se puede conocer más que en pequeñas“porciones” .2. Estos estados solamente se manifiestan cuando alguien está observando laspartículas, cuando no hay nadie realizando mediciones, se están dando todos los estadosposibles a la vez, es decir, nosotros al observar las partículas provocamos que semanifiesten esos estados. Lo cual quiere decir que:3. Para describir los componentes de la materia no es apropiado referirse a magnitudescomo velocidad o posición, lo que describe a un electrón o a cualquier otra partícula enun momento dado es una función de onda.

Hay un ejemplo que es todo un clásico y que propuso Schrödinger en 1935, con el fin deilustrar el enorme embrollo en que la mecánica cuántica había convertido a la física; es lallamada PARADOJA DEL GATO DE SCHRÖDINGER:

Imaginemos una caja con un átomo radiactivo en su interior, cuya función de onda prediceque tiene un cincuenta por ciento de probabilidades de desintegrarse al cabo de una hora. Enesa caja también se encuentra un detector que capta el momento de la desintegración y queestá conectado a un circuito eléctrico que acciona un martillo. Además, dentro de la caja tambiénhay un gato y un frasco cerrado lleno de gas venenoso. Cuando el átomo se desintegre, seaccionará el circuito y el martilló romperá el frasco y liberará el gas.

Nos preguntamos si, transcurrida una hora, el gato sigue vivo o ha muerto. Si alguien abre lacaja podrá comprobarlo por si mismo, pero si nadie lo hace, el estado del átomo se hallará enuna situación de superposición entre los estados “desintegrado y “no desintegrado”, es decir,estará desintegrado y sin desintegrar a la vez. Entonces sólo podemos concluir que el gatoestá vivo y muerto a la vez.

Nadie ha visto un gato vivo y muerto a la vez, pero siendo estrictos, esto es porque alefectuar la observación, el sistema manifiesta uno de los dos posibles estados: “vivo” o “muerto”.Lógicamente, esto no tiene sentido, y ahí es a donde quería llegar Schrödinger. Ni el mismocreía las consecuencias a las que había llevaba su propia función de onda.

Lo que es indudable es que la mecánica cuántica no ha dejado de cosechar éxitos a la horade describir el funcionamiento de la materia. La función de onda puede utilizarse para estudiartodos los átomos, moléculas o metales, y encuentra numerosas aplicaciones, de forma quepuede predecir el color de un cierto tinte, la energía liberada en una combustión, el magnetismode un nuevo material o incluso la velocidad a la que se descompone el ozono en la atmósfera.Tanto es así que un 20 por ciento del Producto Interior Bruto de los Estados Unidos se debe aaplicaciones de la mecánica cuántica.

Mientras algunos científicos se dedican simplemente a aplicar la física cuántica, obteniendograndes logros, otros no pueden evitar filosofar sobre lo que supone todo esto. StephenHawking opina que lo de menos es comprender el funcionamiento íntimo de la naturaleza, quelo realmente importante es contar con una herramienta que nos permita hacer predicciones, y lamecánica cuántica nos sirve a la perfección. Otros anteriores, como Richard Feynmanargumentaron de la misma manera.

Albert Einstein nunca pudo digerir esta interpretación de la naturaleza y pronunció sufamosa frase “Dios no juega a los dados”, no aceptaba que la teoría que describía el mundosubatómico se basara en probabilidades. Sin embargo Hawking opina que “no sólo juega a losdados sino que además los arroja donde nadie puede verlos”.

Aunque a Einstein la física cuántica le quedó grande, a pesar de que fue uno de sus padrescon la descripción del efecto fotoeléctrico, él solito elaboró el otro gran pilar de la Físicamoderna: la Teoría de la Relatividad.

Física por ordenador. Excelente curso de física con actividades interactivas.Contiene una sección de mecánica cuántica.http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm Curso de mecánica cuántica. (pdf )

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7. Espacio y Tiempo antes de 1900 .7.1.Características del Espacio y el Tiempo .El método científico, apoyado en hipótesis, es el instrumento mediante el cual se desarrolla y

adquiere nuevo conocimiento en las ciencias naturales.La homogeneidad e isotropía del espacio y la homogeneidad del tiempo son otras

hipótesis de trabajo no empíricas que se establecen en la física clásica.La homogeneidad del tiempo se refiere a la equivalencia entre cualesquier dos instantes de

tiempo, independientemente de en que momento se tomen. El concepto de homogeneidad deltiempo se introduce en forma práctica al utilizar marcos de referencia donde el origen decoordenadas puede seleccionarse arbitrariamente. Una forma equivalente de expresar lahomogeneidad del tiempo es plantear que las leyes de la física son las mismas ahora que hacemil años. La aplicabilidad de este principio se lleva a cabo al observar los fenómenos queocurren en estrellas o galaxias lejanas y usamos los conocimientos de física actuales parainterpretarlos.

La información que nos llega del espacio exterior, es radiación electromagnética (luz visible,ondas de radio, microondas, rayos X, etc.), la cual fue emitida hace miles o millones de años,dependiendo de la distancia de la estrella o galaxia que estemos observando. Las conclusionesque obtenemos se realizan basadas en nuestro conocimiento actual de la física, y esto llevaimplícito la suposición de que las leyes de la física hace miles o millones de años, cuando seemitió la radiación, son las mismas que las de ahora. La homogeneidad del tiempo, está implícitaen el hecho de que el origen del tiempo es completamente arbitrario

Similarmente, la hipótesis de isotropía del espacio aparece en el hecho de que la orientaciónde los ejes de coordenadas, los cuales nos sirven de marco de referencia para analizar unfenómeno físico, es arbitraria.

Por su parte, el concepto de homogeneidad del espacio significa que las leyes de la físicatienen validez en todos los lugares del Universo. La isotropía del espacio nos dice que si unexperimento es efectuado en un laboratorio donde el equipo experimental tenga una ciertaorientación espacial, los resultados obtenidos serán los mismos si la orientación de todos losinstrumentos, el sistema que se va a analizar y el medio ambiente se modifica.

Las hipótesis de homogeneidad del tiempo y del espacio, así como la de isotropía delespacio, son utilizadas permanentemente en toda la física y la ingeniería. En el diseño de unaconstrucción no se piensa que dentro de 10 años se pueda colapsar debido a que los principiosfísicos y ecuaciones utilizadas en los cálculos vayan a cambiar.

La homogeneidad e isotropía del espacio así como la homogeneidad del tiempo, sonhipótesis de trabajo para iniciar la construcción de un cuerpo de doctrina que permita explicar losfenómenos de la naturaleza.

Estas hipótesis conducen a las leyes de conservación sobre los que se apoya toda la física:conservación del momento lineal, del momento angular y de la energía. Estos resultados tienenhasta el momento validez universal, no se ha encontrado hasta hoy ningún hecho experimentalque los ponga en duda.

Por otra parte, existen hipótesis en la física prerelativista acerca del espacio y el tiempodonde se considera a estos como absolutos, es decir con propiedades que no dependen ni de lapresencia de materia ni de los observadores que midan estas propiedades. Para Newton, elespacio es absoluto, es el escenario donde ocurren los fenómenos naturales y permanecesiempre idéntico e inmóvil, sin relación a las cosas externas, y el tiempo es algo que fluye sinrelación con nada, independientemente de la materia y su movimiento. Estas ideas permitieronel desarrollo de la física clásica. Sin embargo, con el advenimiento de la teoría de la relatividaddesarrollada por Einstein, estos conceptos sufrieron modificaciones no sin provocar grandesconcierto entre los físicos debido a que estos conllevan un cambio que está más allá denuestra experiencia inmediata.

Un principio de la física clásica conocido como Relatividad Galileana, establece la formacomo dos observadores que se encuentran en movimiento relativo a velocidad constante,relacionan sus observaciones de los fenómenos físicos. Este principio nos lleva a que las leyesde la mecánica son las mismas para todos los observadores, y está apoyado en los conceptosde espacio y tiempo absolutos.


7.2.Sistemas de Referencia Inerciales y No Inerciales .Cualquier método o mecanismo de medida necesita un sistema de referencia, un punto

origen sobre el que basar las diferentes mediciones. Podríamos decir que es la consecuencia delprincipio tautológico de que todo movimiento es relativo.

Bajo el marco de la Mecánica Clásica, los fenómenos fisicos pueden explicarse bajo el marcodado por el Principio de Relatividad de Galileo, del siglo XVII, que dice que “CUALQUIEREXPERIMENTO MECÁNICO TENDRÁ LAS MISMAS CARACTERÍSTICAS EN UN SISTEMAEN REPOSO QUE EN UNO CON VELOCIDAD CONSTANTE RESPECTO AL PRIMERO”.

En un sistema espacial, un punto se puede determinar fácilmente dentro de su sistema dereferencias o cambiar de sistema mediante unajuste del origen del nuevo sistema respecto delprimero en cada instante o momento. Lasmagnitudes correspondientes de un sistema aotro se pueden obtener con sencillez a partir delas transformaciones de Galileo. Estudiaremos,a la luz de lo anteriormente expuesto, ladescripción de un mismo fenómeno físico queharán dos observadores en movimiento rectilíneouniforme uno respecto a otro. Si se prefiere,puede pensarse que el sistema S (O,X,Y,Z) está"fijo" y el sistema S' (O',X',Y',Z,) se mueverespecto al anterior con una velocidad constanteu.

Escogiendo el eje de las X en la dirección delmovimiento, y suponiendo que el origen deambos sistemas es común inicialmente,podemos escribir, mirando simplemente la figura,

que las coordenadas de un punto P descritas por el observador fijo en el sistema S y lasdescritas por un observador que acompaña al sistema móvil S' están relacionadas por lasecuaciones siguientes:

zz´yy´

utxx´

Pero, además de estas tres ecuaciones que relacionan las coordenadas espaciales, y queson evidentes, los dos observadores deben tomar medidas de tiempos, en cuanto quieran hacercomparaciones entre sus resultados de posición, velocidad, etc. Dado que el tiempo es unavariable independiente, no podemos extraer conclusiones válidas sobre los valores que puedanmedir los dos observadores a partir de razonamientos basados en otras variables. Newtonmismo aborda posteriormente esta dificultad, y escribe:

"El tiempo matemático, verdadero, absoluto, transcurre en sí y por su propia naturaleza demodo uniforme sin estar referido a ningún otro objeto externo".

Es decir, se supone que: tt´

Esta hipótesis es compatible con nuestra experiencia cotidiana, pero más adelante veremosque es sólo una aproximación válida en el marco galileano de velocidades pequeñas, pero quese deberá cambiar en el marco de la Teoría de la Relatividad restringida de Einstein.

Las cuatro ecuaciones anteriores forman lo que se ha dado en llamar Transformación deGalileo entre dos sistemas de referencia inerciales. Y, de acuerdo con el Principio deRelatividad de Galileo, podemos afirmar que las leyes físicas son invariantes bajo unatransformación de Galileo.

Este último enunciado no es equivalente al Principio de Relatividad de Galileo, ya que lahipótesis t'=t restringe su validez general. Podemos pensar que el Principio de Invarianza de las


leyes físicas es cierto, pero que las ecuaciones de la transformación de Galileo sólo seránválidas en un determinado entorno.

Sistemas inerciales y no inerciales.Cuando los sistemas de referencia se mueven con velocidad constante unos respecto de otros, se denominansistemas inerciales. En caso contrario, lógicamente, se denominan sistemas no inerciales. Todos los sistemasno inerciales están acelerados respecto a los inerciales.Las magnitudes citadas de fuerza, masa, espacio y tiempo no cambian al pasar de un sistema inercial a otro ypor ello reciben el nombre de invariantes de Galileo.El sistema no inercial es aquél en que la inercia no sigue los principios o comportamientos clásicos,básicamente la segunda ley de Newton o ley fundamental de la dinámica relativa a la proporcionalidadentre fuerza y aceleración representada por la masa de un cuerpo y a la tercera ley de Newton o principiode acción y reacción.En un sistema no inercial siempre existirán fuerzas que soporten la aceleración y aparecerán las denominadasfuerzas ficticias porque no responden al principio de acción y reacción.También, en los sistemas no inerciales la masa varía con la velocidad, luego una fuerza constante no produceuna aceleración constante; éste efecto será muy importante cuando la velocidad empieza a ser comparable ala de la luz, es el efecto de la llamada masa relativista.El sistema clásico funcionaba perfectamente hasta la aparición del electromagnetismo y las propiedades de laluz con su velocidad no aditiva.

Teniendo en cuenta pues que es imposible decidir por procedimientos mecánicos el movimiento uniforme delsistema de referencia para un observador ligado al mismo y aislado de las referencias exteriores, Galileoenuncia lo que hoy llamamos el Principio de Relatividad de Galileo:"Las leyes físicas son las mismas para un observador que está en reposo que para uno que se muevecon movimiento rectilíneo y uniforme".O bien, si se prefiere evitar el problema del concepto de reposo,"Las leyes físicas son las mismas para dos observadores que se mueven con movimiento rectilíneo yuniforme uno respecto del otro".

Esta idea de invarianza de las leyes básicas de la física introducida por Galileo fue de las primeras ideasimportantes establecidas sólidamente en la física. No puede explicarse la idea de Newton sobre el Universosin hacer referencia continua a este Principio de Galileo.Hay que decir que Galileo pensaba, evidentemente, en la Mecánica y que, además, las velocidadesimplicadas en los experimentos que proponía siempre eran muy pequeñas. En estas condiciones, su Principiode Relatividad es perfectamente válido, y sólo aparecieron problemas cuando se estudiaron fenómenos convelocidades significativamente grandes, en los dominios de la Óptica o el Electromagnetismo. Comoveremos más adelante, el Principio entró en crisis al final del siglo XIX, y Einstein lo tuvo que integrar enuna teoría de la relatividad que fuese compatible con algunos fenómenos observados.


7.3.Consecuencias de la Transformación de Galileo . La longitud de un Objeto.

La intuición y la experiencia cotidianas nos hacen suponer que la longitud de un objeto nocambia si se mide por un observador en reposo o por un observador móvil. Por ejemplo, unvagón de tren tendrá una longitud L medida por un observador en S y una longitud L' medida porun observador en S', y lo que normalmente afirmamos es que L=L'.

Por supuesto, la transformación de Galileo confirma ese resultado, ya que el único términoque podría afectar al cálculo de la longitud es ut, que desaparece al hacer la diferencia de lascomponentes x de los extremos del segmento que medimos. Las longitudes determinadas pordos observadores en movimiento relativo serán:

12

12-x´x´LÓ´:ReferenciadeSistemax-xL:OReferenciadeSistema

Si consideramos la primera ecuación de la transformación de Galileo utxx´ , tendremosque:

L´L:quelocon

x-xutx-utxLÓ´:ReferenciadeSistemax-xL:OReferenciadeSistema

1212

12

En el momento en que la transformación de Galileo deje de ser válida, tendremosinevitablemente que revisar nuestras evidencias intuitivas al respecto.

Composición de velocidades.Sin más que derivar las tres primeras ecuaciones de la transformación de Galileo , teniendo

en cuenta también la cuarta ecuación se obtiene que:

zz

yy

xx

vv

vvuvv

dtdz

dtdz´

dtdy

dtdy´

dtudt

dtdx

dtdx´

o bien su equivalente vectorial generaluv´v

[5]

Por ejemplo, una persona que se desplaza a 4 km/h (=v') por el interior de un tren que semueve a 100 km/h (=u) es observada desde fuera del tren por otra persona que afirma verlamoverse a 104 km/h (=v)

Aceleración y fuerzasDerivando:

z´z

yý

x´x

zz

yy

xx

aa

aa

aa

dtdv

dtvd

dt

dv

dt

vddt

dvdtvd

, o, en forma vectorial,aá

[6]ya que u es constante.Por consiguiente, multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por la masa m,

tendremos que:F´Famám

[7]Esta última ecuación esconde la hipótesis de que ambos observadores miden la misma

masa para un cuerpo, lo cual, a pesar de ser "intuitivo" para nosotros, se verá más adelante quesólo es una aproximación a la realidad.


De acuerdo con la ecuación anterior, todos los observadores en movimiento rectilíneo yuniforme observan las mismas fuerzas, independientemente de ese movimiento relativo entre lossistemas de referencia. Puede concluirse, por tanto, que las leyes de la dinámica en las queintervienen las fuerzas serán invariantes bajo una transformación de Galileo. Dicho de otromodo,

“Todos Los Sistemas Inerciales Verifican La Segunda Ley de Newton”

Teoremas de conservaciónLos tres teoremas clásicos de conservación en la física se refieren a la masa, la cantidad de

movimiento y la energía.En una colisión entre dos partículas, interacción típica en la mecánica, tanto si es elástica

como si no, se conservan la masa y la cantidad de movimiento:

[9])pp()pp([8])m(m)m(m

FINAL21INICIAL21

FINAL21INICIAL21

, en donde se ha definido vm.p

[10]Y respecto a la energía

ΔE.vm21.vm

21.vm

21.vm

21 2

2FINAL221FINAL1

22INICIAL2

21INICIAL1 [11]

en donde E es la variación de la energía de excitación interna de las partículas que puedeprovocar el choque. Esta variación puede ser nula (choque elástico perfecto), pero en general esdiferente de cero.

Si hemos escrito las ecuaciones anteriores pensando en un observador fijo, ¿que dirá unobservador ligado a un sistema inercial respecto al anterior?

La primera ecuación es consecuencia de postular la conservación de la masa en el sistemaque sea. Como además se postula que la masa es un invariante galileano, no hay nada más queañadir de momento.

La segunda de las ecuaciones se demuestra frecuentemente a partir de la 3ª ley de Newton,el conocido principio de acción y reacción. A pesar de advertir que no todas las fuerzas sonsiempre tan "newtonianas", la misma demostración puede hacerse en el sistema móvil, y dadoque ya sabemos que las fuerzas son invariantes galileanas, el resultado que se obtiene es que lacantidad de movimiento también se conserva en este sistema.

En cuanto a la última ecuación de las cuatro anteriores, sucede lo mismo que con la masa:es un postulado general en cualquier sistema de referencia, y si se añade la hipótesis de que laenergía interna de las partículas es un invariante galileano, la conservación de la energía semantiene bajo una transformación de Galileo.

En el siguiente anexo puede verse detalladamente cómo la cantidad de movimiento y laenergía se mantienen invariantes bajo una transformación de Galileo.

No debe entenderse en absoluto que ambos observadores vean la misma cantidad demovimiento y la misma energía; sólo se afirma que los dos ven que esas magnitudes seconservan en su sistema, así como la masa y la energía interna de las partículas. Sin embargo,estas dos magnitudes, masa y energía interna, sí que son medidas por igual por ambosobservadores.

A) Conservación de la cantidad de movimiento en un sistema inercialSea un sistema de referencia que suponemos en reposo respecto a otro. En ausencia de fuerzas

exteriores en un choque, se cumple el principio de conservación de la cantidad de movimiento:

FINALINICIAL pppp )()( 2121

Es decir,FINAL22FINAL11INICIAL22INICIAL11 v.mv.mv.mv.m

Sea ahora un sistema de referencia que se mueve con velocidad u

respecto al anterior. De acuerdocon la ley de composición de velocidades [5] determinada por la transformación de Galileo se puede escribirla expresión anterior de la forma

u´v.mu´v.mu´v.mu´v.m FINAL22FINAL11INICIAL22INICIAL11

que una vez cancelados los términos repetidos queda simplemente como

FINAL22FINAL11INICIAL22INICIAL11 ´v.m´v.m´v.m´v.m

, poniéndose así de manifiesto que un observador en este otro sistema también verá conservarse la

cantidad de movimiento, aunque los valores de las velocidades observadas sean diferentes.Ello permite pues afirmar que la conservación de la cantidad de movimiento es un invariante

galileano.


7.4.El Problema del Éter y el Experimento de Michelson-Morley .La Tierra se mueve en el espacio como un grano de polvo en un vendaval: gira alrededor del

Sol a 30 kilómetros por segundo, y este astro se mueve a su vez a 30 000 kilómetros porsegundo alrededor del centro de la Vía Láctea, que es sólo una galaxia entre los millones degalaxias que efectúan un baile cósmico enlazadas por sus mutuas atracciones gravitacionales.Y, sin embargo, no percibimos ninguno de estos movimientos; la Tierra parece ser lo único firmee inmutable a nuestro alrededor. La distancia entre dos puntos fijos de la Tierra o la altura deotro con respecto a la superficie son tipos de medición bien definidos, que pueden repetirsetantas veces cuanto sea necesario, pues la Tierra es un excelente sistema de referencia.

La inmovilidad y la inmutabilidad de nuestro planeta eran evidentes a los hombres de laAntigüedad, y sólo recientemente hemos podido aceptar que se mueve en el espacio. El hechode que el movimiento de la Tierra sea prácticamente imperceptible en la experiencia cotidiana sedebe a un principio fundamental que Galileo Galilei enunció claramente en el siglo XVII: las leyesde la física son independientes de cualquier sistema de referencia.

Galileo fue sin duda el fundador de la física como ciencia que estudia las leyes de lanaturaleza para aprender a servirse de ellas; contribuyó, más que nadie, a romper con los viejosesquemas aristotélicos que, en su época, se habían vuelto dogmas de fe. Galileo insistió en queel mejor camino al conocimiento era la experimentación y la observación directa de losfenómenos naturales, y no la interpretación de los textos escritos en la Antigüedad. Como esbien sabido, esta actitud le acarreó serios problemas con las instituciones de su época... peroeso ya es otra historia.

Si bien Galileo contribuyó notablemente a aclarar muchos conceptos que antes permanecíanen la oscuridad (la relatividad del movimiento es sólo un ejemplo), hacía falta un sistema preciso,basado en axiomas claros, que permitiera estudiar matemáticamente todos los fenómenosfísicos en forma unificada. Tal fue la obra de Isaac Newton, nacido en 1642, el mismo año enque murió Galileo.

Los fundamentos de la física teórica aparecieron por primera vez en la obra cumbre deNewton, los PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE LA FILOSOFÍA NATURAL (1687), donde Newtonexpone los principios básicos de la mecánica (sus famosas tres leyes) la ley de la gravitaciónuniversal y un eficacísimo sistema matemático que permitía resolver los problemas más

B) La energía en un sistema inercialUn observador situado en el sistema de referencia supuestamente fijo establecerá el siguiente balance

energético,

ΔE.vm21.vm

21.vm

21.vm

21 2

2FINAL221FINAL1

22INICIAL2

21INICIAL1

Haciendo la misma substitución que en el apartado anterior escribiremos

ΔEuv.muv..muv.muv.m2´

2FINAL22´

1FINAL12´

2INICIAL22´

1INICIAL1

en donde ya hemos hecho la hipótesis de que la energía interna de las partículas es un invariante galileano.Desarrollando los binomios:

ΔEv.u2.uv.mv.u2.uv.m

v.u2.uv.mv.u2.uv.m´2INICIAL

2´22INICIAL2

´1INICIAL

2´21FINAL1

´2INICIAL

2´22INICIAL2

´1INICIAL

2´21INICIAL1

, que una vez cancelados los términos repetidos y agrupados los dobles productos queda como

ΔEvmvmvmu2.v.m

vmvmvmu2.v.m´22FINAL2

´2FINAL2

´1FINAL1

´21FINAL1

´22INICIAL2

´2INICIAL2

´1INICIAL1

´21INICIAL1

Los términos entre paréntesis son idénticos, ya que son las cantidades de movimiento antes y después del choque.Eliminándolos queda simplemente

Evmv.mvmv.m ´22FINAL2

´21FINAL1

´22INICIAL2

´21INICIAL1 Δ

, expresión estructuralmente idéntica a la de partida, lo que nos permite pues afirmar que la conservación de laenergía es un invariante galileano, poniéndose de manifiesto que un observador en este otro sistema también veráconservarse la energía, aunque los valores de las velocidades observadas sean diferentes.


importantes de la mecánica. El resultado más espectacular que obtuvo fue, sin duda, ladeducción exacta del movimiento de los planetas —en perfecto acuerdo con las observacionesastronómicas—, a partir de la ley de la gravitación universal. Al parecer, el Universo habíarevelado finalmente sus secretos; todos los cuerpos materiales, desde un grano de polvo hastalas estrellas, se movían por el espacio de acuerdo rigurosamente con las leyes de la mecánicadescubiertas por Newton. El Universo era una inmensa máquina cuyas piezas interactuabanentre sí a través de la fuerza universal de la gravitación.

La primera ley de Newton, que afirma que todos los cuerpos se mueven en línea recta y convelocidad constante mientras no actúen fuerzas externas sobre ellos, es otra manera deexpresar el principio de relatividad de Galileo. Newton nunca rechazó este principio, pero insistióen postular la existencia de un espacio absoluto, que equivaldría a un sistema de referenciaespecial y único, con respecto al cual el Universo en su conjunto estaría en reposo. Hay queinsistir en que la existencia de un sistema de referencia universal no contradice el principio derelatividad de Galileo. Este principio únicamente postula que las leyes de la física son lasmismas en cualquier sistema de referencia inercial, sea éste un sistema universal y absoluto, ocualquier otro: no se puede determinar por medio de experimentos físicos si uno se encuentra enreposo o en movimiento con respecto al hipotético espacio absoluto.

Por otra parte, la existencia de un espacio absoluto parece bastante natural. Después detodo, el sistema de referencia en el que las estrellas están fijas es un sistema universal, desde elcual el comportamiento global del Universo debe tener una apariencia más simple que desdeotro sistema de referencia en movimiento, como la Tierra.

Existe otra razón, relacionada con el problema de la gravitación, por la que Newton recurrió aun espacio absoluto. A pesar de que toda su mecánica funcionaba a la perfección, Newtonsiempre estuvo insatisfecho por lo que consideraba un hueco importante de su teoría: laausencia de una explicación física del fenómeno de atracción gravitatoria.

La ley de la gravitación de Newton precisa cómo se comporta cuantitativamente la fuerzagravitacional entre los cuerpos masivos, pero no aclara la naturaleza de dicha fuerza. LosPrincipios matemáticos de Newton contestan brillantemente la pregunta ¿cómo se atraen doscuerpos?, Pero no a ¿por qué se atraen? Newton propuso, como solución transitoria, laexistencia de una acción a distancia entre los cuerpos masivos, pero insistió en que dicha acciónera un concepto provisional, en espera de una mejor teoría. Incluso llegó a sugerir que laatracción gravitacional, sin causa mecánica aparente, demostraba la existencia de Dios, pues deotra forma un cuerpo no podía "conocer" la presencia de otro para interactuar con él. En unplano menos místico, Newton especuló que el vacío no está realmente vacío, sino que todo elespacio está permeado por una sutil sustancia, el éter, imperceptible para los humanos, pero através del cual se produce la atracción gravitacional.

La idea de un éter que llena todo el Universo había sido propuesta por diversos filósofosantes de Newton. Así, el filósofo francés René Descartes había intentado explicar el movimientode los planetas por medio de torbellinos en el éter: los planetas serían arrastrados en círculosalrededor del Sol tal como corchos que flotan en un remolino de agua. Por supuesto, lostorbellinos de Descartes fueron desechados a favor de la atracción gravitacional propuesta porNewton, pero el éter siguió seduciendo a los sucesores de Descartes y Newton.

Una vez aceptada la existencia del éter, era natural suponer que existe un sistema dereferencia único en el Universo, que es el sistema en el que el éter está en reposo. Todos losmovimientos de los cuerpos celestes pueden referirse, en última instancia, a ese sistemacósmico.

La situación en el siglo pasado era tal que ningún físico dudaba de la existencia del éter,pero nadie tenía la más remota idea de qué clase de sustancia podía ser. Si todo lo penetrabasin que nada pudiera influir sobre él, ¿cómo detectarlo? Se pensaba que la única posibilidad realde confirmar, aun indirectamente, su existencia era a través de experimentos con la luz.

Una interpretación clásica de la naturaleza de la luz afirmaba que las ondas luminosas sepropagaban mediante la vibración elástica de un medio material, que se designó como éter, queimpregnaba toda la materia. La existencia de este medio universal se aceptó durante muchotiempo, ya que explicaba coherentemente fenómenos ondulatorios como la difracción y lainterferencia.

Es bien cierto que tras la publicación de la Teoría del Electromagnetismo por Maxwell en elaño 1864, confirmada experimentalmente de forma rotunda por Hertz en 1887, se hizoinnecesario suponer la presencia del éter en muchos fenómenos en los que antes parecía ser laúnica forma de explicarlos. Sin embargo, la idea de que el éter servía al menos para que la luz


El experimento de Michelson-Morley fue uno de los más importantes y famosos de la historia de la física. Se

pudiese propagarse por él siguió en pie algunos años más, ya que era muy cómodo imaginarlocomo un cierto sistema de referencia, universal, respecto al cual, y mediante el cual, la luz sepropagaba ondulatoriamente

Si la luz tiene una velocidad bien definida con respecto al éter, entonces esta velocidad debevariar según el movimiento de quien la mida. Si un barco se mueve con una cierta velocidad fijacon respecto al agua en reposo, ese mismo barco navegando por un río se moverá con respectoa la tierra firme con mayor o menor velocidad según si sube o baja la corriente. Para unobservador en tierra firme, la velocidad del barco será menor si se mueve río arriba porque hayque restar la velocidad del agua a la del barco, mientras que si el barco se mueve río abajo, lasdos velocidades se adicionan.

Figura. La velocidad de la luz debería variar según la dirección de un rayo luminoso, debidoal movimiento de la tierra.

Lo mismo debe suceder con la luz, cuya velocidad es fija con respecto al éter. La Tierra giraalrededor del Sol con una velocidad aproximada de 30 kilómetros por segundo. De acuerdo conel razonamiento anterior, un rayo de luz emitido en el sentido de movimiento de la Tierra debemoverse, con respecto a la Tierra misma, con una velocidad menor que un rayo emitido en ladirección contraria, siendo la diferencia de velocidades entre los dos rayos luminosos de 60kilómetros por segundo (Figura anterior). Si se pudiera medir esa variación de la velocidad seconfirmaría indirectamente la existencia del éter, o al menos la de un sistema de referenciaabsoluto.

La velocidad de la luz es de aproximadamente 300 000 kilómetros por segundo;evidentemente, la medición de la velocidad luminosa debe ser extremadamente precisa parapoder detectar una variación de sólo 60 kilómetros por segundo. Tal era el reto para los físicosexperimentales del siglo pasado.

El primer experimento confiable para medir la velocidad de la Tierra con respecto al éter fuerealizado en 1887 por los norteamericanos Albert Abraham Michelson y Edward W. Morley Elaparato que utilizaron fue un interferómetro, que permite medir distancias y velocidades conenorme precisión utilizando haces de luz en interacción. El experimento consistía en dividir, pormedio de un espejo semitransparente, un haz luminoso en dos haces perpendiculares, que sereflejaban en sendos espejos para volver a unirse y calibrar, así, el aparato. Luego se girabatodo el aparato: cualquier cambio en la velocidad de la luz debería producir una interferenciaentre los dos haces luminosos que podía detectarse directamente.

El experimento se llevó a cabo con todo el cuidado necesario, pero, sorprendentemente,Michelson y Morley no detectaron ningún cambio en la velocidad de la luz. A pesar delmovimiento de la Tierra, la luz se movía con la misma velocidad en todas las direcciones.

¿Cómo explicar el resultado negativo del experimento? Tanto Michelson y Morley, comootros físicos, propusieron varias hipótesis: quizás la Tierra arrastra consigo al éter en sumovimiento; quizás los cuerpos se contraen en la dirección de su movimiento, cancelando así elefecto debido a la diferencia de velocidades de los dos haces luminosos del experimento; quizás


El experimento de Michelson-Morley fue uno de los más importantes y famosos de la historia de la física. Serealizó en 1887 y está considerado como la primera prueba contra la teoría del éter. El resultado negativo delexperimento constituiría posteriormente la base experimental de la teoría de la relatividad especial de Einstein.La teoría física del final del siglo XIX postulaba que, al igual que las olas y el sonido necesitan un medio paratransportarse (agua y aire), la luz también necesitaría un medio, llamado "éter". Como la velocidad de la luz estan grande, diseñar un experimento para detectar la presencia del éter era muy difícil.El propósito de Michelson y Morleyera medir la velocidad relativa a laque se mueve la Tierra con respectoal éter. Razonaron que, si el éter erareal, la Tierra se movería por él comoun avión por el aire, produciendo un"viento del éter" detectable. El efecto delviento del éter sobre las ondas de luz seríacomo el de una corriente de un río en unnadador que se mueve constantemente afavor o en contra de la corriente. En algunosmomentos el nadador sería frenado y en otrosimpulsado. Esto es lo que se creía que pasaríacon la luz al llegar a la Tierra con diferentesposiciones con respecto al éter, llegaría condiferentes velocidades.Cada año,la Tierra recorre una distancia enorme en su órbita alrededor del Sol, a una velocidad de 30 km/s,más de 100.000 km/h. Se creía que la dirección del "viento del éter" con respecto a la posición de la estrellavariaría al medirse desde la Tierra, y así podría ser detectado. Por esta razón, y para evitar los efectos quepodría provocar el Sol en el "viento" al moverse por el espacio, el experimento debería llevarse a cabo envarios momentos del año.El efecto del viento del éter sobre las ondas de luz sería como el de una corriente de un río en un nadador quese mueve constantemente a favor o en contra de la corriente. En algunos momentos el nadador sería frenado yen otros impulsado. Esto es lo que se creía que pasaría con la luz al llegar a la Tierra con diferentes posicionescon respecto al éter, llegaría con diferentes velocidades.

Interferómetro de Michelson:A - Fuente de luz monocromáticaB - Espejo semirreflectanteC - EspejosD - Diferencia de camino

La clave es que, en viajes circulares, la diferencia develocidades es muy pequeña, del orden de la millonésimade la millonésima de un segundo. Sin embargo,Michelson, muy experimentado con la medición de lavelocidad de la luz, ideó una manera de medir estamínima diferencia.

En la base de un edificio cercano al nivel del mar,Michelson y Morley construyeron lo que se conoce comoel interferómetro de Michelson.Se compone de una lente semiplateada, que divide la luzmonocromática en dos haces de luz que viajan en undeterminado ángulo el uno respecto al otro.

Al abandonar la división, cada haz se refleja varias veces entre unos determinados espejos (para que tenganmás recorrido o camino óptico). Finalmente se vuelven a unir, creando un patrón de interferencia que dependede la velocidad de la luz en los dos brazos del interferómetro. Cualquier diferencia en esta velocidad(provocada por la diferente dirección de movimiento de la luz con respecto al movimiento del éter) seríadetectada.

la velocidad de la luz es constante con respecto a la fuente que la emite, etc. Durante algunasdécadas, el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley fue uno de esos detallesmolestos que no encajan en ninguna teoría bien establecida, y que no cobran verdaderaimportancia hasta que se produce una revolución científica. En este caso, la revolución científicafue la Teoría De La Relatividad.


8. Introducción a la Teoría de la Relatividad Especial .El inesperado resultado del experimento de Michelson-Morley tuvo, de entrada, unas

consecuencias que sólo posteriormente lograrían encajarse en una teoría más general.En primer lugar, la imposibilidad de detectar el éter arrojó a éste fuera de los dominios de la

Física, ya que era absolutamente innecesario para explicar la propagación de la luz, dado queno la afectaba.

En segundo lugar, quedaba probado experimentalmente que la luz se propaga con la mismavelocidad en todas direcciones, independientemente de si la fuente o el observador están enreposo o en movimiento. Esta invarianza de c tiene una consecuencia clave para comprendermejor el desarrollo de la teoría posterior. Analicémosla brevemente:

Si desde un punto P se emite luz en todasdirecciones, al cabo de un tiempo t esa luzhabrá recorrido, en todas direcciones, unadistancia ct, formando alrededor de P unaesfera de ese radio. Aplicando dos veces elteorema de Pitágoras a las coordenadas (x, y,z) de uno de los puntos alcanzados por unrayo de luz tendremos que

.tczyxctzyx 222222222 [13]Pero sabemos experimentalmente que c

es medida igual por cualquier otro observador,así que pensemos qué ve una personasituada en un sistema inercial S' que sedesplaza paralelamente al anterior con

velocidad u a lo largo del eje X. Para este observador, el frente de ondas luminosas debe seguirsiendo esférico, puesto que ello sólo depende de cómo vea el radio, y lo ve idéntico que elobservador fijo, pues c no cambia. En el sistema inercial S', por tanto, el frente de ondas vendríadescrito, con toda certeza, por una ecuación semejante a la anterior:

222222222 .t´czyxct´zyx [14]En este momento estamos en condiciones de comprender la sacudida que sufrió la física

clásica a finales del siglo XIX debida al descubrimiento de que la velocidad de la luz es uninvariante absoluto.

Para empezar, la ecuación ÉTERvcc´ [12]no se cumple, ya que c es constante paracualquier observador en un sistema inercial. Por tanto, la ley de composición de velocidades quesurge de la transformación de Galileo no se cumple, al menos en fenómenos donde la luz se veainvolucrada.

Pero más aún, la transformación de Galileo no permite pasar de una a otra ecuación.Podemos verlo fácilmente aplicando a la ecuación:

22222 .tczyx la transformación de Galileo definida por las ecuaciones:

Irónicamente, tras toda esta preparación, el experimento fue fallido, aunque exitoso. En vez de mostrarlas propiedades del éter, no se produjo ninguna alteración de velocidad de la luz y, por tanto, ninguno de losefectos que el "viento del éter" tenía que producir. El aparato se comportó como si no hubiese "viento deléter". Este asombroso resultado no podía ser explicado por la teoría de las ondas vigente en la época. Seintentaron muchas explicaciones, como que la Tierra arrastraba de alguna forma al propio éter, pero todasellas resultaron ser incorrectas.

Ernst Mach fue uno de los primeros físicos en considerar que el resultado del experimento era correcto ysugirió una nueva teoría. Las investigaciones iniciadas a raíz del experimento llevaron a una teoría alternativaconsistente, la contracción de Lorentz, que explicaba el resultado nulo obtenido. El desarrollo de esta teoríadesembocó en la relatividad especial de Einstein


tt´zzýy´

utxx´

, se tendrá que:

2222222

222222222222

.tćx2.u.t..tuzý´x´

.tćzý´x2.u.t..tux´.tćzýútx´

ecuación que se diferencia notablemente de22222 .tćzyx

poniendo así en evidencia una profunda incompatibilidad entre la transformación de Galileoy la invarianza de c.

En resumidas cuentas, cuando se estudian fenómenos en los que interviene la velocidad dela luz, las teorías físicas clásicas fracasan totalmente. Es fácil imaginar el impacto que tuvo estehecho en la comunidad científica, aunque inicialmente no se le dio toda la importancia queposteriormente adquirió.

No se tardó mucho en buscar alguna transformación que hiciese posible el cambio correctode la ecuación

222222222222 .tćzý´x´.tćx2.u.t..tuzý´x´ como

, y que además fuese compatible con la transformación de Galileo cuando las velocidadesimplicadas fuesen pequeñas. Esta transformación debía pues anular el paréntesis x2.u.t..tu 22 , y tener como límite la transformación de Galileo cuando u fuese pequeña.

La transformación la dedujo Lorentz, y lleva su nombre, aunque está documentado que fue J.Larmor quien la usó por vez primera en 1900 para "explicar" por qué no funcionó el experimentode Michelson-Morley. Ponemos el verbo "explicar" entre comillas porque realmente no seexplicaba nada; simplemente se había deducido la condición matemática para mantener lacoherencia con el resultado experimental, pero no se tenía una idea clara respecto a qué estabapasando realmente.

La deducción de la transformación de Lorentz, bastante simple en realidad, puede verse enel Anexo II. Aquí nos limitamos a exponer las ecuaciones que la definen:

2

2

2

2

2

c

u1

c

uxtt´

zzýy´

c

u1

utxx´

[15]

Estas ecuaciones transforman la ecuación(a)en la (b)], como puede también verse en elAnexo II, y además se convierten en la transformación de Galileo si u es pequeña, puesto queentonces u2/c2 y u/c2 tienden a cero, y las ecuaciones de Lorentz se convierten en lasecuaciones de Galileo .

Con el único fin (de momento) de simplificar un poco la escritura de la transformación deLorentz usaremos la siguiente notación:

( <1, >1)

, de forma que las ecuaciones anteriores podemos escribirlas como


cxtt´

zz´yy´

tcxx´

βγ

βγ

[16]

También podemos dar la vuelta a esas ecuaciones, sin más que intercambiar las variablescon prima por las sin prima, y tener en cuenta que la u debemos considerarla -u. Tendremos asíla transformación inversa de Lorentz:

cx´tt

zz´yy´

tcx´x

βγ

βγ

[17]

Las matemáticas implicadas hasta ahora no deben hacernos perder la perspectiva histórica:en el año 1900 se acepta inevitablemente que c es invariante, y para poder mantener en pie lainvarianza de las leyes físicas en los sistemas inerciales hay que recurrir a la transformación deLorentz. Ésta daba correctamente la condición matemática para esa invarianza, pero nointerpretaba en absoluto los hechos integrándolos en una teoría más general que la galileana.

La situación estaba suficientemente madura como para que alguien diera un paso más en lahistoria de la física, incorporando los hechos experimentales conocidos en una teoría másamplia que las anteriores. Ese paso lo inició A. Einstein en 1905 con la publicación de un(aparentemente) discreto artículo titulado "Sobre la electrodinámica de los medios enmovimiento". La simplicidad de sus tesis fue extremadamente engañosa, y la teoría que fuedesarrollando a continuación puso en crisis - y obligó a cambiar- los más (aparentemente)sólidos principios físicos. Los conceptos primarios de espacio y tiempo, de simultaneidad, depasado y futuro, de estabilidad de la masa, relaciones masa/energía/velocidad,... fueron cayendouno a uno, y la física clásica dio paso a la física del siglo XX. En sus propias palabras:

"Se sabe que la electrodinámica de Maxwell...cuando se aplica a cuerpos móviles conduce a asimetrías que no parecen serinherentes a los fenómenos. Consideremos, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca entre un imán y un

conductor. El fenómeno observable aquí depende únicamente del movimiento relativo del conductor y del imán, mientrasque según nuestro modo de ver acostumbrado existe una diferencia radical entre los dos casos según sea uno u otro elcuerpo en movimiento. Si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, surge en la vecindad del imán un campo

eléctrico con una energía definida, que produce una corriente en los lugares donde están situadas las partes delconductor. Pero si el imán es estacionario y el conductor está en movimiento, no aparece ningún campo eléctrico en las

proximidades del imán. En el conductor, sin embargo, encontramos una fuerza electromotriz, a la que en sí mismo nocorresponde energía, pero que da lugar - suponiendo la igualdad del movimiento relativo en los dos casos discutidos - acorrientes eléctricas de la misma trayectoria e intensidad que los producidos por las fuerzas eléctricas en el primer caso.

Ejemplos de este tipo, junto con los intentos fracasados de descubrir cualquier movimiento de la Tierra relativo al<<medio de la luz>> sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, igual que los fenómenos de la mecánica, no poseenpropiedades que correspondan a la idea del reposo absoluto. Sugieren más bien que (como ya se ha demostrado hasta el

primer orden en magnitudes pequeñas) las mismas leyes de la electrodinámica y óptica serán válidas para todos lossistemas de referencia en los que se mantengan correctas las ecuaciones de la mecánica. Elevaremos esta conjetura (cuyo

significado, en lo sucesivo, se denominará <<Principio de la Relatividad>>) a la categoría de un postulado eintroduciremos, además, otro postulado, que es irreconciliable en apariencia únicamente con el anterior, a saber, que la luzse propaga siempre en el espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento delcuerpo emisor. Estos dos postulados bastan para obtener una teoría sencilla y consistente de la electrodinámica de los

cuerpos móviles basada en la teoría de Maxwell para cuerpos estacionarios. Se demostrará que es superflua laintroducción de un <<éter luminífero>> puesto que el cuadro a desarrollar aquí no requerirá ningún <<espacio


absolutamente estacionario>> provisto de propiedades especiales ni exigirá asignar un vector velocidad a un punto delespacio vacío en que los procesos electromagnéticos tengan lugar.

La teoría a desarrollar está basada - como toda la electrodinámica - en la cinemática del sólido rígido, puesto que lasaseveraciones de cualquier teoría tienen que apoyarse en las relaciones entre los sólidos rígidos (sistemas de

coordenadas), relojes y procesos electromagnéticos. La consideración insuficiente de esta circunstancia constituye la raízde las dificultades con que se tropieza en el momento actual en la electrodinámica de los cuerpos móviles."

(De "Sobre la electrodinámica de los cuerpos móviles", A. Einstein, Anales de Física, 1905; traducción en "Mechanics.Berkeley Physics Course I", Reverté, 1968)

7.4. Postulados de la T.R.E. Consecuencias .La Teoría especial de la Relatividad se basa en los siguientes postulados:

Podemos preguntarnos inicialmente por qué estos (aparentemente) sencillos postulados hansupuesto tanto en la física moderna.

En primer lugar, la independencia del valor de c elimina la existencia de un marco dereferencia universal, por lo que debemos abandonar la idea de referir los movimientos a algouniversalmente aceptado y reconocible: los movimientos sólo existen (sólo pueden ser descritos)en relación (relativo a) con la persona que los observa. ( Ver Nota 1 )

Para entenderlo de forma intuitiva, valdrá un ejemplo sencillo. Si tenemos dos globosflotando en un denso mar de niebla, que se cruzan con una velocidad muy pequeña, elobservador situado en el que baja dice que el otro está subiendo, pero diría lo mismo si élestuviera quieto y el otro subiera, o si él bajara y el otro también pero más despacio, o si élestuviera quieto y el otro subiera,...En resumidas cuentas, sólo podemos hablar de movimientosrelativos de uno respecto del otro, abandonando por completo la idea de un marco de referenciaabsoluto.

Además, algo bien extraño está pasando con el espacio, una vez que ya no intentamosreferir a él los movimientos. Piénsese por ejemplo en dos balsas flotando a la deriva en un martranquilo, con una niebla densa borrando toda referencia del cielo. Una de ellas lanza unabengala, cuyo resplandor ven ambas por igual, independientemente del movimiento que tengan,por lo que no les vale para saber cuál se mueve o cuál está quieta. Sin embargo, basta meter lamano en el agua para deducir sin lugar a muchas dudas si se está quieto o en movimiento.¿Resulta así que el agua es un "buen" sistema de referencia y el espacio no lo es? De lo que nocabe duda es que nuestras ideas intuitivas sobre el espacio y el tiempo deben ser revisadas.

La teoría de la relatividad restringida fue surgiendo poco a poco al estudiar lasconsecuencias derivadas de la no existencia del marco universal de referencia. Veremosalgunas de esas consecuencias a fin de poder valorar en sus justos términos las sacudidasconceptuales introducidas por Einstein en el tranquilo mundo de la física clásica. Consecuencia 1: Contracción de la longitud. Longitud en reposo.

Una primera consecuencia de la teoría de la relatividad es que un objeto no presenta lamisma longitud en diferentes sistemas de referencia inerciales.

Por la forma de las ecuaciones de la transformación de Lorentz podemos ver que en lascomponentes y y z no sucederá nada especial. Miremos pues la dimensión de un objeto que seaparalela al eje de las. x y calculemos su longitud observada desde S y desde S'. Para centrarnuestras ideas, pensemos en un tramo recto de autopista, y fijémonos en un determinado tramode la valla metálica lateral de protección, colocada paralelamente a la calzada. ¿Ese tramo midelo mismo cuando lo observa una persona desde el suelo que cuando lo observa una personadesde un coche que pasa velozmente por delante?

En el sistema en reposo, la longitud es, por definición, L=x2-x1De acuerdo con las ecuaciones de transformación de Lorentz, podemos escribir que:

1º. Todas las leyes físicas pueden escribirse de forma idéntica en todos lossistemas inerciales.

2º. La velocidad de la luz presenta el mismo valor para cualquier observador,independientemente del estado de movimiento del observador o de la fuenteluminosa.


L = (x2'+ct') - (x1'+ct') =(x2'-x1')Según la definición de longitud, en el sistema que se mueve la varilla medirá L'=x2'-x1', y

podemos concluir que:γ.L ´L [18]

Recordando que el factor es mayor que la unidad, resulta que el observador fijo "mide" unalongitud mayor que la que "mide" el observador en movimiento. Y teniendo en cuenta el carácterrelativo del movimiento mutuo valla-coche (no se puede decidir realmente cuál está quieto y cuálestá en marcha), podemos hacer también la afirmación anterior desde el punto de vistacontrario: para un observador en reposo (o en movimiento uniforme), la longitud de un objetoque se mueve respecto a él se hace más corta cuanto más deprisa vaya.

Pero además el efecto anterior es simétrico: en la ecuación [18] la velocidad de los ejesaparece como u2 dentro de , por lo que es indiferente a qué sistema se llame S o S'. Dicho deotra manera, desde el coche diremos que el tramo de valla medido se ha acortado, pero desdeel suelo dirán también que nuestro coche es más corto.

En resumen, la llamada "contracción de Lorentz-Fitzgerald" afirma que la longitud de unobjeto cualquiera es la máxima posible cuando se le observa desde un sistema en reposorespecto a él, y va disminuyendo a medida que aumenta su velocidad relativa respecto alsistema de referencia desde el cual se le observa. Podemos considerar este hecho como elúltimo empujón a la idea de un espacio absoluto, con propiedades independientes delobservador, idea que ha quedado substituida por la concepción relativista expuesta. ( Ver Nota2 )

La contracción relativista de la longitud, plenamente real y confirmada de formaexperimental, no es apreciable a velocidades normales en nuestra experiencia diaria, pero sepone plenamente de manifiesto, por ejemplo, en el estudio de colisiones en un acelerador departículas, en el estudio de los movimientos estelares lejanos,... Dilatación del tiempo. Tiempo propio.

Según las ecuaciones de transformación de Lorentz, los intervalos temporales se veránafectados por el movimiento relativo, de una forma similar a como se han visto afectados losintervalos espaciales (longitudes) por la contracción de Lorentz-Fitzgerald.

No es complicado deducir qué sucede a partir de las ecuaciones

cx´tt

zz´yy´

tcx´x

βγ

βγ

cuando se estudian dos acontecimientos que suceden en la posición x' del sistema enmovimiento:

t = t2-t1 = (t2'+x'/c) - (t1'+x'/c) = (t2'-t1')o sea,

γ.Δt ´Δt [19]Sin embargo, la interpretación de este resultado ha de hacerse con sumo cuidado. De

entrada, se puede decir que un reloj situado en el sistema estacionario mide unos intervalos detiempo más grandes entre dos acontecimientos que ocurren en un sistema inercial en movimientoque los que mide un reloj situado en el propio sistema en movimiento.

Por ejemplo, supongamos que una nave espacial muy rápida, girando alrededor de la Tierra,alcanza un valor de la velocidad que origina un valor de =1´2. Por cada hora de tiempo de lanave (reloj en el sistema móvil), desde la Tierra (reloj en el sistema estacionario) se medirán 1´2.1=1´2 horas. Desde la Tierra aparece un efecto de dilatación del tiempo, y se dice que los relojesde la nave van más despacio, retrasándose respecto a los de la Tierra.

Podemos verlo con unos esquemas, pensando que estamos situados en la Tierra.Inicialmente, sincronizamos el reloj de la nave y el terrestre R'1 y R1, de manera que t = t' = 0.

A lo largo de la superficie terrestre tenemos una red de observatorios con una serie derelojes R1, R2, R3,... que podemos suponer que están sincronizados entre sí permanentemente.


La nave empieza a moverse con una velocidad u, y cuando pasa por encima del primerobservatorio se hacen las medidas de los relojes R'1 y R2. Si el reloj de tierra marca t, ¿que marcael de la nave? De acuerdo con la ecuación del tiempo de la transformación directa de Lorentz(16),y teniendo en cuenta que x = L= ut, pondremos:

t '= (t-x/c) = (t-ut/c) = t(1-2)=t/

,que es el mismo resultado obtenido en la ecuación vista más arriba, con t'<t.Debido a que en la ecuación [19] el signo de u no tiene ninguna trascendencia, el efecto

descrito será simétrico: desde la nave, al observar el intervalo entre dos acontecimientos en laTierra, haremos una medida más larga que la que se haría en la propia Tierra. Visto desde lanave, son los relojes terrestres los que van más lentos, retrasándose. Debido a esta simetría,parece conveniente definir lo que se llama el tiempo propio τ , que no es más que la medida deun intervalo de tiempo en el sistema respecto al cual el reloj está fijo (es lo que estábamosllamando hasta ahora t́ ).

Por lo tanto, la medida t de este intervalo de tiempo propio visto desde cualquier otrosistema inercial será, de acuerdo con la ecuación [19],

γ.τΔt [20]

Así, el tiempo propio, medido en el sistema respecto al cual un reloj está quieto, es elmás corto de todos, alargándose la medida si se hace desde otro sistema inercial enmovimiento. (Obsérvese que es exactamente lo contrario de lo que sucedía con la longitud,máxima en el reposo).

No debe verse nada extraño en esta dilatación del tiempo, que evidentemente no es culpa delos relojes, sino de la invarianza de c. Puede costar entender cómo suceden las cosas, perodesde luego está claro que nuestras ideas intuitivas sobre el tiempo también deben serrevisadas. Un reloj quieto en S indicará el tiempo propio si se le observa por una persona enreposo también en S; el mismo reloj en reposo en S' medirá el mismo tiempo propio cuando loobserve una persona en reposo en S'; pero cuando observemos desde un sistema un intervalode tiempo en el otro sistema, la medida será mayor que el tiempo propio, esencialmente debidoa que la luz tarda un cierto tiempo en llegarnos con la información temporal. ( Ver Nota 3 )

Evidentemente, cuando se consideraba en la física clásica que la velocidad de la luz tenía unvalor infinito, este efecto de dilatación temporal no podía considerarse teóricamente.

Desde un punto de vista práctico, tenemos muchos ejemplos que demuestran experimentalmente la dilatación deltiempo, a veces junto con la contracción de la longitud. Uno de los más clásicos es el de la desintegración de losmesones .Estas partículas se producen en lo alto de la atmósfera debido a la acción de otras partículas cósmicas muyrápidas, y son fácilmente detectables a nivel del mar en cantidades significativas. Los mesones son partículasinestables, que se desintegran en 2 10-6 s por término medio desde su creación, y que tienen una velocidad mediade 2.994 108 m/s, que supone casi la velocidad de la luz.En principio, con esa velocidad y con ese tiempo de vida podrían , como mucho, bajar desde una altura h = ut =2.994108210-6= 600 m aproximadamente. Sin embargo, sabemos que se producen a una altura muy superior.¿Cómo puede explicarse esta contradicción?


La crisis de la simultaneidad.En los dos últimos apartados hemos estudiado un fenómeno, la contracción de la longitud,

en el que hemos supuesto que las longitudes se medían a la vez, y otro fenómeno, la dilatacióndel tiempo, en el que hemos supuesto que las medidas de tiempo se hacían en el mismo punto.

En ambos casos hemos visto cómo no es posible esquivar el carácter relativo del tiempo ydel espacio. Una consecuencia inmediata de ello, y trascendental, es el tener que abandonar elconcepto de simultaneidad absoluta que manejaba la física clásica. ( Ver Nota 4 ) Debido a laforma de las ecuaciones de la transformación de Lorentz, hemos visto que relojes sincronizadoscon su tiempo propio no tienen por qué estarlo cuando se observan desde otro sistema dereferencia. Por supuesto, sigue teniendo sentido decir que dos sucesos son simultáneos para unobservador, pero otro que se mueva respecto al anterior ya no dirá que sean simultáneos paraél.

Una consecuencia directa del abandono de la simultaneidad absoluta es que todas las leyesque exijan la simultaneidad de sucesos en sitios alejados deben ser descartadas o reformuladas.( Ver Nota 5 ) En particular, el principio universal de conservación de la energía sale bastantemalparado desde este punto de vista, ya que no podemos ir más allá de su conservación aescala local.

La causalidad y la cuarta dimensión. El cono del tiempo.En la física clásica estaba muy claro lo que quería decir que dos sucesos estaban separadosen el tiempo o en el espacio, ya que ambas magnitudes se usaban en sentido absoluto, yeran independientes entre sí. Pero esta idea cambia a la luz de la teoría de la relatividad,donde el tiempo y el espacio dependen del sistema de referencia desde donde se observan,y además tienen relaciones mutuas dadas por la transformación de Lorentz.Para describir un suceso cualquiera debemos pues situarlo en el espacio y también en el tiempo.Como según la ecuación [13] el producto ct tiene las dimensiones físicas de una longitud, se leasigna la representación de la posición en el tiempo, la famosa "cuarta dimensión".

Observemos el acontecimiento desde el sistema de referencia del mesón, en el que la vida de éste es de 210-6 s(tiempo propio) y la máxima distancia que puede recorrer es de 600 m. El mesón ve afectada la distancia arecorrer debido a la contracción de Lorentz-FitzGerald, y de acuerdo con la ecuación [18] pondremos:

m

c

u

hhh 9486

103

1099421

600

128

28

2

2

.

.´

´´.

que es lo que nosotros observamos desde la Tierra.Sea ahora un observador en la Tierra el que describe el fenómeno. Observa que el mesón se forma a unos 9500 mde altura, pero al medir su tiempo de vida lo ve dilatado, puesto que, de acuerdo con la ecuación [20],pondremos:

sg6

28

28

2

210631

103

1099421c

u1

τγ.τΔt

.´

.

.´

-62.10

y en ese tiempo el mesón puede recorrer una distancia en el sistema de referencia de la Tierra dada por

muth 946110631109942 68 .´..´, lo cual está totalmente de acuerdo con la experiencia.Debe hacerse notar que ambas interpretaciones conducen a una interpretación correcta desde el punto de vistaexperimental, pero que son radicalmente diferentes en cuanto al razonamiento empleado:

El mesón tiene una percepción de su tiempo propio de vida, y si logra llegar a la Tierra sólo puedeinterpretarlo diciendo que la distancia a recorrer se ha acortado.

El observador terrestre tiene una percepción de la distancia a recorrer, y si ve llegar al mesón al suelo sólopuede interpretarlo diciendo que éste ha alargado su tiempo de vida.


De acuerdo con ello, un suceso tendrá como coordenadas en el espacio-tiempo(x1, y1, z1, ct1) o más resumidamente, (r1,ct1). Otro suceso diferente estará representadopor (r2,ct2). En general, no se dará la casualidad de que para un suceso se verifique laecuación 22222 .tczyx (13), ya que la posición espacio-temporal del suceso puede sercualquiera. Por tanto, en general podremos poner que

y restando ambas

pero como hemos visto, esta expresión es invariante bajo una transformación de Lorentz,y entonces podemos poner su igualdad en dos sistemas S y S', definiendo el intervalo

generalizado entre dos sucesos S como:

[21]Este intervalo espacio-temporal generalizado entre dos sucesos cualesquiera vale lomismo en cualquier sistema de referencia inercial desde el que se observe, e introduceimportantes consecuencias en los principios de temporalidad y causalidad, como vamosa ver a continuación estudiando las tres situaciones posibles:

1ª posibilidad: Si c t < r se verifica que ( S)2 < 0Decimos entonces que los dos sucesos están separados de "forma espacial"absolutamente. Ninguno de los dos sucesos puede considerarse ni causa ni efecto delotro, ya que ninguna señal puede llegar a tiempo desde uno hasta el otro.

2ª posibilidad: Si c t > r se verifica que ( S)2>0Decimos entonces que los dos sucesos están separados de "forma temporal". En estascircunstancias, la señal procedente del primero sí puede llegar al segundo a tiempo deinfluirle, y podemos imaginar la posibilidad de establecer alguna relación causa-efectoentre ambos.

3ª posibilidad: Si c t = r se verifica que ( S)2=0Decimos entonces que los dos sucesosestán separados de "forma luminosa".

Los sucesos están separados lo justopara ser posible su conexión por unaseñal luminosa, y nada más.Estas consideraciones podemos verlasmás claramente si representamos lo que

se suele llamar el cono de luz o el conodel tiempo de un suceso.

Sea el suceso S que suponemos ocurreen x=0 y t=0. Los sucesos en la posiciónT están separados espacialmente de S deforma que es imposible entre ellos ningunainfluencia causal (suele decirse que Testá fuera del cono de luz de S). Elsuceso F está en la parte de delante del

cono de luz de S, y sólo están separados temporalmente, pudiendo existir alguna relacióncausa-efecto entre ellos, ya que uno se sitúa en el futuro del otro. La situación invertida seda entre los sucesos S y P, también separados temporalmente pero al contrario que antes.Por último, un suceso como L está justo en el cono de luz de S, de forma que ambospueden intercambiar una señal luminosa.Las definiciones conceptuales de pasado, presente y futuro coinciden plenamente con lasclásicas. El pasado está formado por todos los sucesos que hayan podido influir


causalmente en S, el futuro está formado por todos los sucesos que pueden ser influidoscausalmente por S, y el presente está formado por todos los demás sucesos que ni puedeninfluir en S ni ser influidos por S. Sin embargo, el aspecto del cono de luz es muydiferente en la física clásica, ya que si c , las líneas límite del cono del tiempodescienden hasta confundirse con el eje espacial r, y el presente se reduce a este ejeespacial, ampliándose el presente y el futuro. Como es fácil comprender, todas lasdiferencias que están surgiendo se deben estrictamente al haber postulado que c esinvariante.Podemos ver ahora que la velocidad de la luz pone un tope a la velocidad de propagaciónde efectos debidos a cualquier causa. Para poder establecer una relación causa-efecto,hemos visto que se precisa que c t > r . Sea ve la velocidad de propagación decualquier efecto que se origine debido a un suceso causal. Se tendrá quec t > r =ve t, y simplificando, c > ve. No hay posibilidad de trasmitir nada amayor velocidad que c, igual que ya sabíamos por las transformaciones de Lorentzque c era la máxima velocidad posible para un movimiento (si u c, y la

transformación deja de ser válida).

Cualquier cadena de acontecimientosunidos causalmente debe mantenersedentro del cono de luz, dado que la velocidadde la luz no puede superarse. Si consideramoscomo un suceso nuestro "aquí y ahora",podemos afirmar que todos losacontecimientos que ya han pasado ennuestras vidas están ineludiblemente ennuestro cono del pasado, y los que vendránlo están en nuestro cono del futuro.( Ver Nota 6 )Y podemos acabar este apartado comentandolas posibilidades de viajar en el tiempo. Paracentrar el tema, imaginemos que quiero viajar

a lo largo del eje temporal desde "aquí-ahora" hasta "aquí-mañana", dejarme un mensaje paraser leído "mañana/ahora", y volver a "aquí-ahora/ayer". La ecuación [21] me dice que tengopor delante un camino espacio-temporal de S=c t =3 108 m/s 86400 s = 2.592 1013 m.Como lo más deprisa que puedo viajar es a la velocidad de la luz, es evidente que tardarét=2.592 1013 m / 3108 m/s = 86400 s = un día en llegar a "aquí-mañana", pero ya no estaráallí, sino en "aquí-pasado mañana", puesto que el tiempo transcurre para todos los sucesos, yno solo para mi viaje. Dicho de otra manera, ya estamos viajando por el tiempo con la mayorvelocidad posible (recuérdese que el tiempo propio es el más corto que observamos). Parapoder llegar a "mañana" antes de que se produzca el fenómeno de "ser mañana",tendríamos que viajar más deprisa que la luz, lo cual es, de momento, impensable.( VerNota 7 )Otro viaje imposible es el instantáneo entre dos posiciones (las novelas y películas de cienciaficción están llenas de teleportaciones instantáneas, comunicaciones instantáneas entregalaxias lejanas,... buenos recursos narrativos, pero imposibilidades totales), ( Ver Nota 8 )ya que la máxima velocidad posible, c, impone un límite inferior en el tiempo que setarda en cambiar de posición espacial, t=r/c. Sencillamente, no puede evitarse el tardaralgo de tiempo ¡o mucho!. Una de las estrellas más cercanas, Alfa Centauro, está a unadistancia tal que su luz tarda 4 años en llegarnos; pues bien, un mensaje de radio tardaría8 años en ir y volver , y no podemos actualmente hacer nada para disminuir este tiempo.


Composición de velocidades.¡Todo empezó por aquí! La luz no se sumaba a la velocidad de la Tierra en el experimento

de Michelson-Morley.Recordemos las ecuaciones de transformación de la velocidad (directas e inversas), que se

deducen de las ecuaciones de transformación de Lorentz :

(Su demostración se hace detalladamente en el Anexo III)Obsérvese en primer lugar que cuando u<< c, será cero y valdrá 1, con lo que estas

ecuaciones de transformación de Lorentz se reducirán a las galileanas.Visto el aspecto de las ecuaciones, no es difícil imaginar por qué nadie se esperaba el

resultado negativo del experimento de Michelson-Morley. Para interpretarlo, pensemos en un rayode luz en el sistema de referencia móvil (v'x=c), que se acerca hacia un observador en el sistemafijo. Éste medirá, de acuerdo con la primera ecuación de [23],

que era lo que se obtenía experimentalmente.

Esta transformación de la velocidad origina curiosos efectos cuando las velocidades implicadasson elevadas. Por ejemplo, los adelantamientos en el tráfico intergaláctico serán bien raros... Imagínese una naveque se mueve a una velocidad de 0.5 c, y otra la quiere adelantar con una velocidad relativa entre ellas de 0.5 c.En mecánica clásica, la segunda nave debería alcanzar en total una velocidad de c. Pero la composición relativistada un resultado bien diferente:

¡sólo llevando 3 décimas de c más, se adelanta con 5 décimas de c más!.Tenemos en estas ecuaciones de transformación de la velocidad otra manera de ver que c es un tope superior paracualquier velocidad. Veamos, por ejemplo, con qué velocidad chocan de frente dos fotones que se mueven a lavelocidad de la luz:

No hay forma pues, de acuerdo con la transformación de Lorentz, de superar el valor de la velocidad de la luz...Afortunadamente para la sencillez de nuestros cálculos, en la vida diaria la composición de velocidades galileana esuna aproximación más que suficiente a la realidad


Cantidad de movimiento relativista. La relatividad de la masa.En este apartado entramos realmente en materia (y nunca mejor dicho). Hasta ahora no nos

hemos preocupado más que de aspectos cinemáticos y cuasi-filosóficos de la teoría de larelatividad restringida. Pero los cuerpos que se desplazan suelen tener masa, y empieza a sermomento (y nunca mejor dicho) de mirar qué sucede con ella...

¿Seguirá siendo la masa una propiedad característica propia de cada cuerpo, o sufrirácontracciones, dilataciones, o vaya usted a saber qué?...

Un ejemplo nos sacará de dudas (!). Tomaremos como punto de partida un choqueperfectamente elástico entre dos masas idénticas, que se acercan la una a la otra convelocidades iguales, pero de sentidos contrarios. En esas condiciones, el centro de masas deambas partículas está quieto, y pondremos allí el origen de nuestro sistema de referencia fijo S.Como puede demostrarse fácilmente estudiando las ecuaciones del choque, las componentes x

de las velocidades de ambas partículas nocambian, mientras que las componentes ysimplemente cambian de signo. En la figuraque se acompaña se ha prescindido del ejeZ por comodidad de dibujo, ya queestudiamos el choque en dos dimensionessolamente.

Visto desde el sistema en reposo, no hayninguna duda relativista. Las componentesvx no cambian, luego se conserva la cantidadde movimiento px. En el eje Y se verifica que:

py1 = mvy-(-mvy) = 2mvy

py2 = -mvy-mvy = -2mvy

Y sumando, py=0, tal como debe ser.Miremos ahora las cosas desde el punto

de vista de un observador que se desplazaen un sistema inercial S', con una velocidadu que, por comodidad de cálculo, tomamosigual a la componente vx de las partículas.

Respecto a las variaciones de p en el eje X', poco hay que decir. Los Δvx eran nulos en S, ylo seguirán siendo en S', según la ecuación:

y si los Δv'x son nulos, también lo son las variaciones de la cantidad de movimiento...Hasta aquí todo parece ir bien, pero al analizar las variaciones de py, las cosas se tuercen

"un poco"...Usamos la ecuación segunda de [22], y ponemos vx negativo para la partícula 1 y positivo

para la partícula 2, de acuerdo con sus valores.

Las variaciones de la cantidad de movimiento para la componente y no son ni mucho menosiguales (véanse los denominadores), y al no anularse, obligan a reconsiderar nuestras ideassobre la conservación de p.


El dilema es decidir si aceptamos que el principio de conservación de la cantidad demovimiento es incompatible con la transformación de Lorentz, o bien si queremos cambiar ladefinición de p de forma que sí lo sea.

De acuerdo con la coherencia de la teoría de la relatividad, no hay duda de que debemosoptar por la segunda posibilidad, y redefinir p de forma que la ley de conservación sea invariantebajo una transformación de Lorentz. Si se consigue esta definición, la ley de conservación de pserá válida en todos los sistemas inerciales, que es lo que deseamos para todas las leyes de lafísica.

Para cambiar la definición de p, pensemos de dónde vienen nuestras dificultades con loobservado anteriormente.

Parece claro que la cuestión radica en la medida de la velocidad en esa dirección ; peroel problema no está en el numerador, ya que sabemos que todos los observadores medirán lomismo, sea cual sea el sistema inercial en que se encuentren, de acuerdo con las ecuaciones [16].Por tanto, la dificultad radica en que cada observador mide un tiempo diferente t desde susistema. Pero vimos que existe una medida de tiempo, el tiempo propio , realizada por un relojque acompaña al suceso observado, que vale lo mismo para cualquier sistema de referencia

cuando se observa desde él mismo y no desde otro. Así que el cociente valdrá siempre lomismo, se mire en el sistema de referencia que se mire. Y recordando la ecuación [20]

pondremos [24]

Esta ecuación nos garantiza que la componente y de v será la misma en todos los sistemasinerciales, que sólo se diferencian entre sí en un factor constante de la velocidad según el eje X.Por lo tanto, parece razonable utilizar este valor para redefinir la cantidad de movimiento desde elpunto de vista relativista como

p=Mv [25]

o en módulo

p=Mc [26]

La ecuación [25] permite una interpretación más compleja que la de la simple definición de p paraque se adecue a la transformación de Lorentz.

Pensemos en un observador que realmente ve un valor de v, y que la ecuación [25] quieremantenerla en la forma no relativista p=Masa v.

Está en su perfecto "derecho" de interpretar que es la masa la que está variando con la velocidadde la forma p=(M )v=M(v) v, en donde la masa observada es una función de la velocidad. Estarelación

M(v)=M [27]

afirma que la masa de una partícula depende de la velocidad que lleva. En reposo vale M, yaumenta a medida que aumenta su velocidad. En el caso límite de v c, la masa tiende a infinito,otra prueba más del valor límite de c. ( Ver Nota 9 )


Las figuras siguientes nos pueden ayudar a visualizar las diferencias entre los conceptosclásicos y relativistas de la cantidad de movimiento y de la masa.

El aumento de la masa en movimiento ha sido comprobado experimentalmente enrepetidas ocasiones y fenómenos, constituye una pieza clave en el funcionamiento de losaceleradores rápidos de partículas, y es una de las predicciones de la teoría de la relatividadque más ha contribuido a la confirmación de su validez.

La energía relativista.Veremos a continuación cómo definir una expresión general para la energía de un cuerpo

dentro del marco relativista.Aunque hay varias formas de llegar a esa expresión, elegimos aquella que parte de la

definición clásica de energía cinética de una cuerpo como el trabajo a desarrollar para hacerlepasar desde el reposo hasta la velocidad que lleve en ese momento.

Recordemos pues que en el mundo de la física clásica teníamos que:

La dificultad en la deducción relativista de esta fórmula es que la masa no es constante, sinoque depende de la velocidad, y entonces tendremos que poner:

Y aplicando la fórmula de la integración por partes pondremos:


Escribimos el valor de la integral inmediata:

Y sustituimos los límites de integración:

Resultando por último:

[28]

Esta ecuación, posiblemente la más "famosa" en la historia de la física moderna, objetotambién de innumerables artículos de divulgación científica en periódicos y revistas - no todosacertados - simplemente afirma que la energía cinética relativista de una partícula es igual alproducto de la variación relativista de su masa por el cuadrado de la velocidad de la luz.

Para estudiar algunas de las consecuencias que se derivan de la ecuación [28], podemos

empezar viendo si esta fórmula relativista tiende a la fórmula clásica cuando v<<c. Paraello, desarrollamos la ecuación [28] en serie de Taylor


alrededor de β =0:

Y si <<1 (v<<c) podemos quedarnos con el primer término del desarrollo:

Resultado que está de acuerdo con lo esperado en el límite de bajas velocidades.También podemos definir la energía total de una partícula a partir de la ecuación [28]. En

efecto, escribámosla de la formaMc2=Ec+Mc2

y usémosla para definir la energía total de una partícula como la suma de su energía cinéticamás un término de valor constante Mc2, presente siempre, incluso cuando el cuerpo está parado.(Recuérdese que M representa la masa en reposo del cuerpo).

O sea,ET=Mc2=Ec + Mc2 [29]

Esta ecuación ha hecho correr ríos de tinta, pero es que realmente lo merece. Sin entrar enmuchos detalles, afirma, por ejemplo, que si comprimimos un muelle aumentando su energía enΔE su masa aumenta en un valor ΔE/c2. Por supuesto que este aumento de masa esimperceptible, pero ello no impide que deba considerarse teóricamente. Donde realmente sepone de manifiesto la realidad de la ecuación [28] es en las reacciones nucleares, en donde lasaltísimas energías implicadas sólo pueden explicarse correctamente mediante esta ecuación detransformación de masa en energía (y viceversa) de Einstein.

Podemos, como hicimos con la cantidad de movimiento y la masa, hacer una gráficacomparativa entre los conceptos clásico y relativista de la energía.

A velocidades pequeñas, la forma de ambas expresiones es casi igual, pero a partiraproximadamente de 0.5c, se separan decididamente. De todas maneras, la diferenciafundamental es que la teoría clásica afirma que una partícula en reposo no tiene energía,mientras que en el marco de la teoría relativista nos vemos obligados a admitir que uncuerpo en reposo tiene una energía Mc2. La fuente de todos los procesos energéticos, tantofísicos como químicos, es precisamente la conversión de parte de esta materia en energía.

Los resultados anteriores conducen inevitablemente a cambiar nuestro principio deconservación de la masa. Tal y como hemos visto, la masa y la energía no son entes físicosindependientes, y por tanto cada uno de ellos puede variar a expensas del otro. Por ejemplo, enun choque inelástico, en el cual la teoría clásica afirma que se pierde energía, la interpretaciónrelativista demuestra que esa energía aparece en forma de aumento de masa de las partículasdespués del choque. Lo que sucede es que nos es más fácil medir la variación de energía que lavariación de masa, dado que el factor de conversión es, nada más ni nada menos, c2.

La cantidad de movimiento y la energía.Para ir cerrando esta introducción a la teoría de la relatividad restringida de Einstein,

podemos ver cómo se observan los valores de la cantidad de movimiento y de la energía endiferentes sistemas de referencia. Debe recordarse que hemos definido la cantidad de movimientode forma que se conserve en una transformación de Lorentz, pero aún no hemos escrito la formaconcreta de esta transformación de Lorentz aplicada a la cantidad de movimiento y a la energía.

A partir de la ecuación [25] podemos poner:

y análogamente para las otras componentes, con lo cual:


[30]

En la ecuación [29] escribimos el valor dado por [20]:

[31]

En estas cuatro ecuaciones dadas por [30] y [31] vemos que px depende de M, τ y x. Como M y τ soninvariantes en cualquier sistema inercial, px variará como lo haga x. Lo mismo podemos decir para py,pz y E/c2, con lo cual bastará con recopiar las ecuaciones de transformación de Lorentz [16] y [17],sustituyendo (x, y, z, t) por (px, py, pz, E/c2), con lo que resultará:

Aún podemos ver algún resultado interesante a partir de [30] y [31]:

, y para todas las componentes:

[34]

La ecuación [34] así deducida es otra manera de llegar a establecer la relación entre la masay la energía vista antes, ya que dimensionalmente se aprecia que M(v)=E/c2.

Ya sabemos pues que una partícula en reposo tiene asociada una cantidad respetable deenergía, y que cuando se mueve la va aumentando, así como su masa, tendiendo a infinitocuando su velocidad tiende a c. Debido a todo ello, consideramos que c es un límite inalcanzablepara los fenómenos físicos...

Pero suele olvidarse -perdidos en la jungla de la física relativista- que la propagación de laluz es también un fenómeno físico, pero que sin embargo sí que ha podido alcanzar ese límiteque es inalcanzable para los otros fenómenos. No cabe duda de que algo especial debe estarsucediendo con la luz. Veámoslo.

Puede verse en el Anexo IV cómo se demuestra la fórmula siguiente:

E2=p2c2+M2c4 [35]

Expresión ésta que nos relaciona la energía con el momento de una manera diferente a la[34], pero que es extremadamente reveladora de lo que sucede en dos situaciones especiales.

La primera situación ya la conocemos. Un cuerpo en reposo tiene una cantidad demovimiento p nula, y la expresión [35] queda como E2=M2c4, o lo que es lo mismo, E=Mc2,relación que ya habíamos deducido por otros caminos.

La segunda situación es imposible desde el punto de vista clásico, pero la relatividad tienemuchas imposibilidades superadas. En la expresión [35] supongamos que el segundo sumando


es nulo, o sea, hablemos de una partícula sin masa pero con energía. Ésta valdrá E2=p2c2, osimplemente E=pc.

Si sustituimos en la expresión [34] quedará que:

; esto es, si aceptamos que pueda haber una partículasin masa pero con energía, sólo puede moverse a la velocidad de la luz, y como la luz es el únicofenómeno que puede alcanzar esa velocidad, concluimos que la luz está formada por partículassin masa.

La comprobación experimental de la existencia de los fotones -así se llaman esas partículascomponentes de la luz- está perfectamente fundamentada, y lo que es más, se ha comprobadotambién que los fotones no son las únicas partículas que se mueven a la velocidad de la luz,pues en muchas reacciones nucleares se desprenden partículas con masa en reposo cero.

9.-A modo de conclusión.No dejemos que la hojarasca matemática, desde luego fructífera e inevitable, nos haga

perder de vista qué ha sucedido realmente.Al estudiar fenómenos en los que aparece implicada la velocidad de la luz, la física clásica de

Galileo , Newton, Maxwell,... empieza a chirriar.En el paso del siglo XIX al XX se tiene que aceptar un cambio conceptual aparentemente

sencillo: la velocidad c de la luz es un absoluto en cualquier sistema de referencia, y ningunapartícula puede moverse con esa velocidad.

Este postulado, junto con la exigencia de que siga siendo válido el principio de relatividad deGalileo, para que todas las leyes físicas sean observadas igual sea cual sea el sistema dereferencia inercial desde el que se observan, dio lugar a la teoría de la relatividad restringida deEinstein, de la que hemos dado unas ideas introductorias.

Los conceptos físicos más estables en la física clásica quedan "bastante" modificados en lateoría relativista. La longitud de un objeto cambia cuando se mueve, el tiempo no corre por igualpara todo el mundo, los cuerpos no conservan su masa cuando se mueven, un cuerpo sinvelocidad tiene energía, la energía y la masa son la misma cosa en el fondo, partículas ¡sinmasa! se mueven a la velocidad de la luz, dos fenómenos simultáneos para un observador no loson para otro,...

No hay duda de que la física, en las primeras décadas del siglo XX, hizo un profundo cambioconceptual, que aún sigue dando resultados claves para nuestra interpretación de las leyes delmundo físico en el que vivimos (relativamente hablando, por descontado...)


Anexo II

La transformación de Lorentz AMPLIACIÓN

Lo que buscamos es una transformación entre las coordenadas espaciales y la temporal de manera que unobservador fijo y uno móvil vean la misma ecuación de la esfera de propagación de la luz, y que ademássea compatible con la transformación de Galileo en un entorno de baja velocidad.Ya hemos visto que si se aplica la transformación de Galileo a la ecuación de dicha esfera de luz vistapor un observador fijo

x2+y2+z2=c2t2 (a)se obtiene que

x'2+y'2+z'2+(u2t'2+2x'ut')=c2t'2 (b)expresión que no tiene la misma estructura, ni mucho menos, que la anterior.En realidad, lo que nos gustaría ver es, simplemente,

x'2+y'2+z'2=c2t'2 (c)Observando la expresión (b) y comparándola con la (c), se puede pensar que la transformación de lasvariables z e y ha de ser trivial, como en la transformación de Galileo, ya que en ambas expresionesaparecen sin ningún cambio.También puede observarse que nuestra transformación buscada ha de ser de primer grado en x y deprimer grado en t, ya que se precisa de una velocidad constante de propagación de c.De acuerdo con esas observaciones, ensayemos la transformación dada por las siguientes ecuaciones, enlas cuales realmente sólo hacemos un cambio respecto a las de Galileo:

x' = x - ut ; y' = y ; z' = z ; t' = t + Qx (d)siendo Q un valor supuestamente constante a determinar.Si aplicamos las relaciones (d) a la expresión (c) obtendremos que

x2-2xut+u2t2+y2+z2 = c2t2+c22tQx+c2Q2x2

Los términos cruzados en xt desaparecen de esta ecuación si hacemos que -2xut = c22tQx , o sea, que elvalor de Q sea

Q = (-u / c2)quedando pues la ecuación anterior como

x2+u2t2+y2+z2 = c2t2+c2Q2x2

que podemos ir modificandox2(1-c2Q2)+y2+z2 = t2(c2-u2)

y sustituyendo el valor de Qx2(1-u2/c2)+y2+z2 = c2t2(1-u2/c2)

Esta expresión es ya casi igual que (a)... basta con añadir a las variables x y t el adecuado factor deescala que las multiplica en esta última ecuación, de manera que la transformación definida en (d) quedafinalmente así:x' = (x - ut)/(1-u2/c2)1/2 ; y' = y ; z' = z ; t' = (t - ux/c2)/(1-u2/c2)1/2

Si, como es habitual, utilizamos la notación21

1 y

cu obtendremos la forma definitiva

de la transformación de Lorentz:

)c

bx-g.(tt´

zz´yy´

bct)g.(xx´

Dada la forma en que se ha construido, es evidente que esta transformación (o su inversa) logra elpropósito de relacionar entre sí las ecuaciones (a) y (b) como deseábamos, lo que también puedecomprobarse directamente por sustitución...


Anexo III

La transformación de Lorentz para las velocidades AMPLIACIÓN

Ya conocemos la transformación de Lorentz para las coordenadas:

x=(x'+ct')y=y'z=z't=(t'+x'/c)

Diferenciando la primera y la cuarta:

dx = dx' + cdt'dt = dt' + dx'/c

Dividiendo:

vx = (dx/dt) = (dx' + cdt') / (dt' + dx'/c)Dividiendo numerador y denominador por gdt' :

vx = (dx/dt) = (v'x + c) / (1 + v'x/c) = (v'x + u) / (1 + v'x/c)Y operando análogamente con las coordenadas y y z obtenemos

Lo que buscamos es una transformación entre las coordenadas espaciales y la temporal de manera que unobservador fijo y uno móvil vean la misma ecuación de la esfera de propagación de la luz, y que además seacompatible con la transformación de Galileo en un entorno de baja velocidad.Ya hemos visto que si se aplica la transformación de Galileo a la ecuación de dicha esfera de luz vista por unobservador fijo

x2+y2+z2=c2t2 (a)se obtiene que

x'2+y'2+z'2+(u2t'2+2x'ut')=c2t'2 (b)expresión que no tiene la misma estructura, ni mucho menos, que la anterior.En realidad, lo que nos gustaría ver es, simplemente,

x'2+y'2+z'2=c2t'2 (c)Observando la expresión (b) y comparándola con la (c), se puede pensar que la transformación de las variables z ey ha de ser trivial, como en la transformación de Galileo, ya que en ambas expresiones aparecen sin ningún cambio.También puede observarse que nuestra transformación buscada ha de ser de primer grado en x y de primer grado ent, ya que se precisa de una velocidad constante de propagación de c.De acuerdo con esas observaciones, ensayemos la transformación dada por las siguientes ecuaciones, en las cualesrealmente sólo hacemos un cambio respecto a las de Galileo:

x' = x - ut ; y' = y ; z' = z ; t' = t + Qx (d)siendo Q un valor supuestamente constante a determinar.Si aplicamos las relaciones (d) a la expresión (c) obtendremos que

x2-2xut+u2t2+y2+z2 = c2t2+c22tQx+c2Q2x2

Los términos cruzados en xt desaparecen de esta ecuación si hacemos que -2xut = c22tQx , o sea, que el valor de Qsea

Q = (-u / c2)


Anexo III

,quedando pues la ecuación anterior comox2+u2t2+y2+z2 = c2t2+c2Q2x2

que podemos ir modificandox2(1-c2Q2)+y2+z2 = t2(c2-u2)

y sustituyendo el valor de Qx2(1-u2/c2)+y2+z2 = c2t2(1-u2/c2)

Esta expresión es ya casi igual que (a)... basta con añadir a las variables x y t el adecuado factor deescala que las multiplica en esta última ecuación, de manera que la transformación definida en (d) quedafinalmente así:x' = (x - ut)/(1-u2/c2)1/2 ; y' = y ; z' = z ; t' = (t - ux/c2)/(1-u2/c2)1/2

Si, como es habitual, utilizamos la notación21

1 y

cu obtendremos la forma definitiva

de la transformación de Lorentz:

)c

bx-g.(tt´

zz´yy´

bct)g.(xx´

Dada la forma en que se ha construido, es evidente que esta transformación (o su inversa) logra elpropósito de relacionar entre sí las ecuaciones (a) y (b) como deseábamos, lo que también puedecomprobarse directamente por sustitución...


Anexo IV

Demostración de la fórmula [35] AMPLIACIÓN

Empecemos la demostración, exclusivamente "técnica", con la definición de energía dada en laecuación [29] :

ET=Mc2

Elevando al cuadrado:

E2T=M22c4

Sumando y restando M2u2c2:

E2T = 2[M2c4 - M2u2c2 + M2u2c2] = 2[M2c4 - M2(u2/c2)c4 + M2u2c2]

Sacando factor común:

E2T = 2[M2c4 (1 -(u2/c2)) + M2u2c2] = M2c4 + 2M2u2c2

Y de acuerdo con la ecuación [25] poniendo u = v podemos concluir que

E2=p2c2+M2c4 [35]

como queríamos demostrar.


Notas

Nota 1:Dicho de otra forma: Si antes el Universo en toda su inimaginable extensión era el campo de batalla de los sucesos,de los diferentes accidentes de la materia, desde su hipotético inicio, ahora hemos de abordar la vertiginosaposibilidad de que todo el conjunto de la materia (aquella antigua "physis" clásica) no sea más que un conjunto demateria inercial y referencial -y por tanto, dependiente del observador-, un universo que se mueve a unavelocidad determinada, lo que no excluye, por ejemplo, la posibilidad de que existan otros "universos", o inclusopartes del nuestro, que se muevan dentro de un sistema de referencia diferente (y con todas las variableselementales alteradas: masa, tiempo, tamaño,...). De hecho, la convivencia de diferentes sistemas de referenciaes el supuesto básico de la revolución que el siglo XX aportará a la historia del conocimiento.

Nota 2:Einstein acaba así con la concepción estática del espacio, con la vieja idea -válida más o menos desde Platón yreafirmada por Newton- de que el "espacio absolutamente estacionario" es el fondo invariable donde suceden losfenómenos. Salvo las interpretaciones subjetivistas del espacio, iniciadas por Kant y de carácter más bienmetafísico, siempre se había creído en un "habitáculo", un telón de fondo invariable donde los hechossucedían. Ahora se descubre que ese fondo varía de perspectiva y que, por tanto, no hay un espacio sinomuchos, con propiedades que dependen de la propia velocidad del conjunto y, en última instancia, de lasituación y movimiento del propio observador.

Nota 3:De nuevo, el concepto clásico de tiempo como extensión a lo largo de la cual, y ordenadamente, suceden los fenómenos,desaparece. Existen diferentes tiempos, sistemas de referencia compatibles donde el orden sobrevive y se mantiene, pero conuna definición relativa.

Nota 4:O aceptar el sistema de referencia "terrestre", aceptando así que la física ha perdido su pretendida validez universal.

Nota 5:Si esa lejanía supone una velocidad por encima de la cinemática newtoniana, es decir, "terrestre", los cálculosdeberán ser revisados.

Nota 6:Si toda la física, e incluso toda la ciencia, descansó siempre en el supuesto empirista de la sucesión inmediata decausa y efecto de los fenómenos, así como en la conexión regular en la materia que, una vez probada, siempre serepetiría y deberíamos esperar del comportamiento de ésta, ahora tendremos que limitar nuestras esperanzas aun sistema de referencia, teniendo buen cuidado de que las variables conectadas se mantengan dentro del "conode luz", del tiempo referencial posible.

Nota 7:Sin embargo, las consecuencias de viajar más deprisa que la velocidad de la luz ya están siendo pensadas poralgunos escritores de ciencia ficción. Puede verse, por ejemplo, cómo la protagonista femenina de la novela"Rimrunners" (C.J. Cherryh, Ediciones B, Col. Nova Ciencia Ficción, nº 36, Barcelona, 1991), maquinista de navesespaciales convencionales, pasa a engrosar las listas del paro cuando aparecen las naves MRL (Más Rápidasque la Luz)Nota 8:Puede verse, por ejemplo, la novela "La mano izquierda de la oscuridad" (Úrsula K. Le Guin, Ed. Minotauro

(Edhasa), Barcelona, 1980); en las páginas 40 y ss. se hace una descripción teórico-práctica del "ansible", curiosoartefacto que permite la comunicación instantánea a cualquier distancia.

Nota 9:Si en un cierto momento la materia tuvo o bien una esencia, o una sustancia o, más modernamente, uncomportamiento regular que nuestra razón podía captar (haciendo más o menos caso de la observación, lainferencia y el razonamiento, según los diferentes estilos cognitivos), ahora se deshace el concepto de identidad. Loque un cuerpo sea, su esencia, su "ser", viene determinado por lo que siempre se había considerado accidental osecundario: la velocidad a la que se mueve. Lo que fue una característica despreciable y secundaria, desdeAristóteles a Descartes, o un mero fenómeno que le sucede a los objetos, según Galileo y Newton, ahora seconvierte en el núcleo mismo de su definición, en su esencia previa. Será la velocidad lo que determinará lamasa y, con ella, la propia definición del objeto, su ser. Un golpe más a la experiencia cotidiana.

Tema8.2ºbachillerato.física

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