Tema3Hoja7_intervalos_Soluciones

7/26/2019 Tema3Hoja7_intervalos_Soluciones

1/19

Inferncia: Intervals de confiana

Pg 1

Problemes Intervals de confiana Fulla 7.

INTERVALS DE CONFIANA PER ALS PARMETRES DUNA POBLACI

INTERVAL PER A LA MITJANA DUNA POBLACI NORMAL AMB DESVIACITPICA POBLACIONAL CONEGUDA

nzx

nzx

21

21

,

Exemple 1

Volem fer un estudi del nombre dhores que dormen els estudiants de certaUniversitat.

Definim X= nombre dhores de son diries com la variable a estudiar i sabem queaquesta es distribueix seguint un model normal de mitjana desconeguda, per peraltres treballs podem considerar que la seva desviaci tpica s coneguda i el seuvalor s 3.

Per estimar aquest valor de caldr triar una mostra; per a tal fi, farem una enquesta

a 25 alumnes triats aleatriament i desprs de preguntar-los el nombre dhores de sonde cadascun el dia de lenquesta, obtenim una mitjana de 7 hores. Aquesta dada ladenotarem per x = 7 i cal distingir que aquest s un parmetre mostral ja que lhemcalculat amb les dades obtingudes en lenquesta dels individus de la mostra.

Hem decidit fer una estimaci mitjanant intervals, treballant amb un nivell deconfiana del 95%.

Per la qual cosa necessitem aplicar la frmula segent, per tractar-se de lestimacidel parmetre mitjana poblacional coneguda la seva desviaci tpica (=3)

Cal insistir en que aquesta desviaci s un parmetre poblacional que ja el coneixemper treballs anteriors i no obtingut a partir de les dades de lenquesta de la mostra.

nzx

nzx

21

21

,


2/19


Pg 2

Podem observar que coneixem tots els valors a substituir llevat del valor2

1z

. Per

calcular-lo comenarem per deduir fcilment el valor de2

1 ja que com hem dit

abans, 1-s el nivell de confiana que establim a priori per fer el treball

97502

102502

0509501 ,,,, =

i en la taula de la distribuci acumulada de la variable normal tipificada, busquem elvalor de la variable x tal que 9750xZP .)( = . s en realitat, el valor dun percentil,que podem obtenir de la taula de la funci de distribuci de la variable normaltipificada. Aquest valor es x = 1.96 per la qual cosa, utilitzant la notaci en aquesttema

2

1z

=1,96 o tamb 9750z , =1,96

I ara, substituirem tots el valors en la formula per obtenir linterval

1768824525

39617

25

39617

nzx

nzx

21

21

.,.,,,, =

Podem concloure que amb una probabilitat del 95%, la mitjana del nombre de horesde son diries dels alumnes de la Universitat est dins daquest interval.

Donat que lamplitud de linterval es 352282451768 ,.. = hores, lerrada en la nostra

estimaci es de 17612

3522

2

abE ,

,==

Si aquesta errada la considerem excessiva, podem comprovar la diferncia si la nostramostra augmentara a 30 individus. Suposarem que el valor de la mitjana mostralhagus estat la mateixa x = 7.

0748926530

39617

30

39617

nzx

nzx

21

21

.,.,,,, =

Tamb podem observar lefecte que es produeix en lamplitud de linterval sirebaixem el nivell de confiana al 90% per exemple, i mantenim la grandria de lamostra en n=25 per contrastar lefecte daquest darrer canvi.

En aquests cas caldr tornar a buscar a les taules el valor de2

1z


3/19


Pg 3

9502

10502

10901 ,,,, =

Aix buscarem a la taula de la distribuci acumulada de la variable normal tipificada

aquesta probabilitat i obtenim 21z

= 1,65, la qual cosa ens dona linterval:

99701625

36517

25

36517

nzx

nzx

21

21

,,.,,,, =

Com es pot observar aquest interval es ms menut i la resposta es ms ajustada, perles conclusions han perdut nivell de confiana.

NOTA

Si la grandria de la mostra n es major o igual a 30, podem utilitzar la frmuladaquest apartat, considerant que la desviaci tpica poblacional , encara que fosdesconeguda, coincideix amb el valor de la quasidesviaci tpica de la mostra Sn-1.

INTERVAL PER A LA MITJANA DUNA POBLACI NORMAL AMB DESVIACITPICA POBLACIONAL DESCONEGUDA

n

Stx

n

Stx 1n1n

21

1n1n

21

,

Exemple 2

Volem confirmar el funcionament duna mquina envasadora de fruita en almvar ,per comprovar que la capacitat dels pots envasats de 1 Kg sajusta a letiquetatge i lanormativa. Per portar a terme el treball vam seleccionar 20 pots triats aleatriament ivam calcular la mitjana aritmtica dels pesos que es x =995g i la seva desviaci tpicaS=5g.

Volem estimar el pes mitj dels pots envasats, per la quals cosa utilitzarem el intervalper a la mitjana poblacional, per desconeguem el valor de la desviaci tpica de lapoblaci.

Tamb cal considerar que el grandria de la mostra, n=20, es inferior a 30 i no podemestimar aquesta desviaci a partir del valor de la quasidesviaci tpica mostral 1nS

.

nStx

nStx 1n1n

21

1n1n

21

,


4/19


Pg 4

Treballarem amb 99% de nivell de confiana en les nostres estimacions.

Com podem veure, cal calcular la quasidesviaci tpica 1nS

, a partir del valor que

coneguem de S= 5 i n=20.

1305519

20S

1n

nS 1n ,

Tamb cal esbrinar el valor de 1n2

1t

a la taula de la variable T de Student o amb lajut

dalgun programa. En primer lloc, calcularem el valor de2

1 ja que

995021005020109901 ,,,, =

i en la taula de la distribuci acumulada de la variable T de Student amb 19 graus dellibertat, busquem el valor de la variable x tal que 9950xtP 19 .)( = . Aquest valor es

x = 2,861 per la qual cosa, utilitzant la notaci en aquest tema 8612tt 1999501n2

1., =

I substitum aquests valors en la frmula per obtenir:

282998718991

20

13058612995

20

13058612995

n

Stx

n

Stx 1n1n

21

1n1n

21

.,.

,,,

,,, =

Aquest interval ens indica que la mquina no est ben ajustada, ja que el valor de1Kg=1000g no est dintre de linterval. La conclusi que podrem extraure s que lamitjana del pes dels pots envasats, t un 99% de probabilitat de ser lleugerament

inferior a 1Kg.

Podem comentar que si la mostra fora de 100 pots i els valors de la mitjana i desviacitpica coincidiren amb els anteriors, podrem haver aplicat la formula de lapartatanterior. Ja hem indicat que si la mostra es de grandria igual o major que 30, laquasidesviaci tpica mostral 1nS

, pot considerar-se una bona estimaci de ladesviaci tpica poblacional .

Aix podem veure que els resultats canviarien un poc. Apliquem-la


5/19


Pg 5

321996679993

100

13055762995

100

13055762995

nzx

nzx

21

21

.,,

,,,

,,,

=

Podem veure que els resultats varien una mica per hem arribat a la mateixaconclusi.

Us convidem a comprovar que en el primer cas i amb una mostra de 20 potsarribarem a la mateixa conclusi si treballem amb el 95% de nivell de confiana, jaque al disminuir aquest, linterval disminueix la seva amplitud i els valors de lamitjana queden encara ms allunyats del valor de 1000g.

En aquest cas, donat que 1- = 0,95, cal consultar a les taules aquest valor de la

variable T de Student , 0932tt 1997501n2

1 ., =

i amb la resta de les dades conegudes

sobt linterval:

401997599992

20

13050932995

20

13050932995

n

Stx

n

Stx 1n1n

21

1n1n

21

.,.

,,,

,,, =

per la qual cosa la nostra conclusi no canvia.

INTERVAL PER A LA PROPORCI DUNA POBLACI BERNOULLI

n

p1pzp

n

p1pzp

21

21

)(,

)(

p

Exemple 3

Per estudiar la proporci de persones interessades en adquirir cert producte nou quees va llanar al mercat, es fa un estudi passant una enquesta a 100 persones, de lesquals 87 han respost afirmativament. Calculem un interval de confiana per a laquota de mercat de la poblaci amb un nivell de significaci del 1%, si suposem queels individus que han donat resposta a lenquesta sn una mostra representativa dela poblaci.

Entenem que la quota de mercat a estimar s la proporci de individus de la poblacip que estaran interessats en adquirir el nou producte, per la qual cosa utilitzarem laformula anterior.

Per obtenir linterval plantejat hem utilitzat una mostra de grandria n = 100 i a partir


6/19


Pg 6

de les seves respostes, podem calcular la proporci en la mostra 870100

87p ,

Com que el plantejament s treballar amb un nivell de significaci del 1%, aix

implica que 99502100502010 ,,, = per la qual cosa caldr

obtenir de la taula de la distribuci acumulada de la normal tipificada el valor

21

z

= 2,58 que substituirem a la frmula anterior:

95807830

100

130870582870

100

130870582870

n

p1pzp

n

p1pzp

21

21

.,.

,,,,,

,,,,

)(,

)(=

p

Es a dir, amb un nivell de confiana del 99% podem estimar que la proporci de lapoblaci que estar interessada en adquirir el nou producte est entre el 78,3% i el95,8%.

INTERVAL PER A LA VARINCIA DUNA POBLACI NORMAL

1n2

2

2

1n

1n2

21

2

1n2 S1nS1n

,

Exemple 4

En aquest cas aprofundirem en lexemple 2 dels apartats anteriors, i farem unaestimaci de la varincia dels pesos de la maquina envasadora de pots de fruita.

Per a tal fi, considerarem els mateixos valors mostrals: el grandria de la mostra n=

20, la mitjana aritmtica dels pesos que es x =995g i la seva desviaci tpica S=5g.

Estimarem un interval per a la varincia 2amb un nivell de confiana del 95%, per ala qual cosa utilitzarem la frmula dabans.

Necessitem calcular la quasivarincia de la mostra i la podem obtenir a partir de lavarincia de la mostra:

3162625

19

20S

1n

nS

22

1n ,


7/19


Pg 7

En aquest cas el nivell de confiana escollit es del 95%, per la qual cosa 1-= 0,95 i

aix 97502

102502

0509501 ,,,, =

i en la taula de la distribuci acumulada de la variable Chi-quadrat amb 19 graus dellibertat, busquem els valors de 192

97501n

2

21

,

i de 192

02501n

2

2

, ja que al no

ser la variable simtrica obtenim dos valors diferents en valor absolut per a cadaprobabilitat.

En el nostre cas obtenim 32,8523192

9750 =, i per a 8,90652192

0250 =, si ara

substitum tots aquests valors en la formula de linterval obtenim

1395622015906528

3162619

852332

3162619S1nS1n

1n

2

2

21n

1n

2

21

21n2 .,.

,

,,

,

,,

=

=

Per poder comparar aquest parmetre amb el valor mostral de lenunciat, podemcalcular linterval per estimar la desviaci tpica dels pesos dels pots, tan solscalculant larrel quadrada dels extrems de linterval anterior.

492790131395622015 .,..,. =

Aix podem estimar amb un nivell de confiana del 95% que la desviaci tpica delspesos envasats en la mquina te un valor que est dintre del darrer interval que hemtrobat.

INTERVALS DE CONFIANA PER ALS PARMETRES DE DUES POBLACIONS

Fins ara, hem abordat estimacions dels parmetres duna poblaci i hem pogutcalcular intervals dintre dels quals es troba el valor del parmetre a estimar (mitjana,

proporci, varincia) amb una probabilitat que anomenem nivell de confiana i quepren valors, generalment, per damunt del 90%.

En aquest apartat, anem a comparar els parmetres de dues poblacions; per a portara terme el treball, necessitem les dades de dues mostres diferents, extretes cadascunade les respectives poblacions, ja que volem inferir conclusions al respecte dels valorsdels seus parmetres poblacionals.

Cal detallar que en aquestos casos no podrem estimar els valors dels parmetres deles poblacions, si ms bepodem comparar-los i concloure quin dels dos s major i en

quina mesura. Es a dir, podrem comparar-los i estimar el interval en el que es mouenels valors de la seva diferncia, i en els cas concret de la comparaci de varincies,


8/19


Pg 8

podrem estimar linterval corresponent als valors del seus quocients. Aquestacircumstncia ens permetr estimar quin es major i fins a quin punt s significativa ladiferncia o no.

Per el que respecta a la notaci, hem utilitzat el subndex X per als valors mostrals ipoblacionals duna de les poblacions a considerar i el subndex Y per a laltra;

Cal observar que en alguns casos les dades de les dues poblacions, estaran referits ala mateixa variable a estudiar i volem extraure conclusions de la magnitud de lesdiferncies o no en el valor dels parmetres a comparar. Per exemple, si volemestimar si les qualificacions mitjanes de lassignatura dEstadstica del grup del mat idel grup de la vesprada sn significativament diferents, podrem denotar per x lanota mitjana dels alumnes del mat que hem seleccionat aleatriament per a la mostrai per 2xS la varincia daquestes dades. Denotarem per y i per

2

YS els mateixos

parmetres referits a les qualificacions dels estudiants triats al grup de la vesprada.Es clar que les dades a treballar corresponen, igualment a la variable Qualificacionsen la assignatura de Estadstica.

En altres casos, voldrem comparar les diferncies en els parmetres de dues variablesamb les dades extretes dels individus duna mateixa poblaci. Per exemple podremestudiar si hi ha mes dispersi en les dades de lalada o en les del pes dels neonatsdun hospital. En aquest cas, podrem parlar de la comparaci de varincies de lavariable X que seria el pes i la variable Y que seria lalcada de cada nen.

Si seguim amb el tema de la notaci, mantenim el parallelisme amb els valors de lesmitjanes x , y per a cadascuna de les poblacions i els smbols

2

x ,2

Y per a denotar

les varincies.

En el cas duna poblaci Bernoulli, denotem per Xp , Yp les proporcions obtingudes apartir dels valors de les mostres i per

xp ,

yp les proporcions poblacionals a estimar

de les poblacions respectives.

En quant a les notacions dels valors de les variables, totes coincideixen amb els delapartat anterior, llevat de la variable F de Snedecor amb n-1 i m-1 graus de llibertatque denotarem per 1m1nf

, . Cal recordar que lordre daquests subndex no es

commutatiu.

La resta daspectes son iguals als tractats a lapartat anterior, i anirem comentant-losmitjanant els exemples de cada cas.

s important ressaltar en aquests casos que ara estudiem, una certa particularitat alhora de interpretar els resultats de linterval trobat i ens referirem amb msprofunditat en cadascun dels casos; pot ser seria adient fixar-se en el cas del quocientde varincies per la diferncia amb la resta dels intervals en aquests aspecte.


9/19


Pg 9

INTERVALS PER A LA DIFERNCIA DE MITJANES

Per comentar, abordarem el cas de la diferencia de mitjanes i caldr saber si estemamb el cas de mostres independents de dues poblacions (alumnes de dos grupsdiferents, treballadors de dos seccions diferents, homes versus dones per estudiaralgun comportament lligat o no amb el gnere, etc.) o si es tracta de mostresrelacionades o aparellades (si estudiem el desgast en la roda dreta i esquerra dunvehicle, la duraci dun material de sola dun calcer esportiu per al qual shadissenyat un model, proporcionant a cada individu, una sabata de cada peu ambcada material, les mesures de la pressi arterial preses en cada malalt abans i desprsde seguir un tractament farmacolgic, etc.)

En el primer cas, amb les mostres independents, no s necessari que el grandria deles dues mostres coincideixca, per en el cas de les mostres aparellades, es obvi que el

nombre de les dues mostres s el mateix, ja que a cada individu, li anotem un pardobservacions que ens permetr definir una nova variable a treballar, D, quecalcularem amb la diferncia de les dues observacions de cada element del qualobtenim les dades, aix di = xi- yi .

INTERVAL PER A LA DIFERNCIA DE MITJANES DE POBLACIONSINDEPENDENTS AMB VARIANCES POBLACIONALS CONEGUDES

mn

zyx

mn

zyx2

Y

2

x

21

2

Y

2

x

21

yx

,

Exemple 5

Volem comparar la eficincia de dues empreses de missatgeria internacional, atenental temps que tardem en rebre les seves remeses. Sabem que el nmero dhores quetarden en arribar els enviaments de lempresa A segueix una distribuci normal de laqual coneixem la seva desviaci tpica de 25 hores, i els de lempresa B tamb segueixuna distribuci normal amb desviaci tpica de 30 hores.

Per estudiar la situaci, anotem en 10 enviaments de lempresa A, un temps mitj de80 hores, mentre que en la mostra dels 15 enviaments de lempresa B el temps mitjs de 75 hores.

Estimarem amb un interval al 99% de nivell de confiana, quina empresa t unamitjana inferior utilitzant la formula que hem presentat anteriorment:

mn

zyx

mn

zyx2

Y

2

x

21

2

Y

2

x

21

yx

,


10/19


Pg 10

Per a la poblaci A, podem anotar el parmetre de la poblaci 2x = 252=625, iamb lesdades de la mostra n=10, x =80

Per a la poblaci B, podem anotar el parmetre de la poblaci 2Y = 302=900, iamb les

dades de la mostra m=15, y =75

Com que treballem amb un nivell de confiana del 99%, podrem calcular 1-= 0,99 i

calcularem el valor de2

1

ja que

99502

100502

0109901 ,,,, =

i en la taula de la distribuci acumulada de la variable normal tipificada, busquem elvalor de la variable x tal que 9950xZP .)( = . Aquest valor es x = 2,57583 per la qualcosa, utilitzant la notaci en aquest tema 2,57583zz 9950

21

=

,

Substitum aquestes dades en la formula i obtenim:

511335112315

900

10

62557627580

15

900

10

62557627580

mnzyx

mnzyx

2

Y

2

x

21

2

Y

2

x

21

yx

.,.,,,

,

=

En tots els intervals que ens plantegem la diferncia de parmetres cal considerar trespossibilitats per interpretar la soluci. Considerem que linterval soluci s

bayx ,

Si ba0 , , interpretarem que la diferncia entre els parmetres no es

significativa i podrem estimar que yx

Si 0bi0a >, , interpretarem que la diferncia es positiva en una altaprobabilitat, per la qual cosa podrem estimar que yxyx 0 >

Si 0bi0a


11/19


Pg 11

En el cas del nostre exemple, com el valor 0 est dintre de linterval soluci,estimarem que la diferncia de 5 hores que hi ha entre les mitjanes mostrals, no essignificativa com per a estimar que el temps mitj dels enviaments s menor en una ualtra empresa, i estimarem que ambdues sn igualment eficaces.

INTERVAL PER A LA DIFERNCIA DE MITJANES DE POBLACIONSINDEPENDENTS AMB VARIANCES POBLACIONALS DESCONEGUDESPERO IGUALS.

m

1

n

1

2mn

S1mS1ntyx

m

1

n

1

2mn

S1mS1ntyx

2

Y

2

x

2mn

21

2

Y

2

x

2mn

21

yx

1m1n

1m1n

,

Exemple 6

Aplicarem aquesta frmula quan no coneixem les varincies poblacionals 2x ni2

Y ,

per podem afirmar que sn iguals. Si no fos el cas, podem fer un interval per estimarla igualtat entre les dues varincies com es veur un poc ms endavant en aquestmateix apartat i si la interpretaci ens permet estimar que sn iguals continuaremcalculant aquesta diferncia de mitjanes.

En una mesura de control de qualitat en la fabricaci dunes peces, volem compararsi dos processos de producci sn equivalents i mantenen en el seu procs elsmateixos estndards de qualitat. Considerarem que les varincies de les duespoblacions son iguals.

Per a realitzar el nostre treball, agafem unes quantes peces de cada lnia i lesclassifiquem amb lajut dun ndex de qualitat que resumeix la informaci de diversosindicadors. Les dades de les mostres figuren en la segent taula:

Lnea X 10 9 7 6 12 3 7 9 10 6

Lnea Y 12 8 5 11 9 10 13 7 12 9 8 13

Amb aquesta informaci volem estimar mitjanant un interval de confiana si laqualitat mitjana s la mateixa en els dos processos de fabricaci. Treballarem amb unnivell de confiana del 95%

Per portar a terme els clculs, identificarem els valors dels parmetres de cadascunade les mostres, ja que com diu lenunciat suposarem que 2x =2

Y .


12/19


Pg 12

De la mostra de la poblaci X, anotarem n = 10, x =7,9 , 2x 1nS

= 6,77

De la mostra de la poblaci Y, anotarem m = 12, y = 9,75 , 2Y 1nS = 6,39

En les taules podrem buscar la dada que ens falta 2mn2

1t

i com que treballem amb

un nivell de confiana del 95%, tenim que 1-= 0,95 i a partir daix el valor de2

1

97502

102502

0509501 ,,,, =

Aix, cal calcular en les taules de la distribuci acumulada de la variable T de Student

amb 20 graus de llibertat, el valor de la variable =

2097502mn

21

tt , 2,086 i ara

substitum aquests valors en la frmula

43801384

12

1

10

1

20

396117769086275997

12

1

10

1

20

396117769086275997

m

1

n

1

2mn

S1mS1ntyx

m

1

n

1

2mn

S1mS1ntyx

2

Y

2

x

2mn

2

1

2

Y

2

x

2mn

21

yx

1m1n

1m1n

.,.

,,,,,

,,,

,,,

,

=

=

Podem concloure que com el 0 est dintre daquest interval la diferncia entre lesmitjanes no s significativa i que les dues lnies de producci tenen un nivell dequalitat semblant, la qual cosa podem afirmar amb un nivell de confiana del 95% .

INTERVAL PER A LA DIFERNCIA DE MITJANES DE DUES POBLACIONSAMB MOSTRES RELACIONADES

Per a aquest cas cal definir prviament la variable D=X-Y i denotarem per SD la sevadesviaci tpica mostral on di=xi-yi . El grandria de les dues mostres necessriamentcoincideix i el denotarem per n.


13/19


Pg 13

n

Styx

n

Styx

2

D

1n

21

2

D

1n

21

yx

1n1n

,

Exemple 7Per millorar el grau de satisfacci dels clients del banc A shan plantejat eliminar lamajor part de les comissions que cobraven als seus clients per alguns serveis. Peravaluar leficcia de dit plantejament, sha passat a 8 clients una enquesta dissenyadaper esbrinar el grau mitj de satisfacci abans i desprs de leliminaci de lescomissions en una escala de 0 a 3. Els resultats es detallen a la taula que presentem acontinuaci

Abans 1,2 1,3 1,5 1,4 1,7 1,9 1,4 1,2Desprs 1,4 1,7 1,5 1,3 2 2,1 1,7 1,6

Calculem un interval de confiana al 95% per veure si ha donat resultat la mesuraadoptada pel banc.

A tal fi necessitem calcular els valors de la variable D=X-Y, restant els valorsemparellats tal i com es veu a la segent taula:

X= valors abans de la mesura 1,2 1,3 1,5 1,4 1,7 1,9 1,4 1,2

Y= valors desprs de la mesura 1,4 1,7 1,5 1,3 2 2,1 1,7 1,6

D = X Y -0,2 -0,4 0 0,1 -0,3 -0,2 -0,3 -0,4

Amb la calculadora, esbrinem els valors segents de les mostres de les variables X, Yn = 8, x = 1,45, y = 1,6625 i amb les dades de la variable D, calculem 2D 1nS = 0,0327

Com que treballem amb un nivell de confiana del 95%

97502

102502

0509501 ,,,, =


14/19


Pg 14

Aix, cal calcular en les taules de la distribuci acumulada de la variable T de Student36462tt 797501n

21

., =

. Amb la resta de les dades conegudes substitum aquests

valors i sobt linterval:

06130363708

032703646266251451

8

032703646266251451

n

Styx

n

Styx

2

D

1n

21

2

D

1n

21

yx

1n1n

,,,,

,,,,,

,,,

,

=

Com que els dos valors dels extrems de linterval son negatius podem inferir que

yxyx 0 < per la qual cosa interpretarem que la mitjana de les

enquestes de satisfacci s ms gran en les que han estat realitzades desprs de lamesura establerta per satisfer als clients. Podem estimar que la mesura de eliminarcomissions s ha aconseguit els objectius per al que havia estat dissenyada.

INTERVAL PER A LA DIFERNCIA DE PROPORCIONS DE DUESPOBLACIONS BERNOULLI

m

p1p

n

p1pzpp

m

p1p

n

p1pzpp YYxx

21

yx

YYxx

21

yx ,yx pp

Exemple 8

Realitzant un control de qualitat en la maquinria duna empresa, volem conixer siles dues mquines que tenim sn igualment eficient, considerant la proporci depeces defectuoses que ixen de cadascuna delles en el seu procs delaboraci. Per aportar a terme el nostre treball seleccionem aleatriament una mostra de 200 peces dela mquina A, de les quals 15 eren defectuoses i 250 peces de la mquina B de lesquals han eixit 16 defectuoses.

Si volem treballar amb un nivell de confiana del 95%, calcularem el interval anterioramb les dades del nostre problema:

En primer lloc calculem les dades que necessitem de la mostra de la mquina A

n = 200 0750200

15pX ,

i les dades de la mostra de la mquina B


15/19


Pg 15

m = 250 0640250

16pY ,

Com que treballarem amb un nivell de confiana del 95%, podem calcular el valor de

21

ja que 975021025020509501 ,,,, =

i en la taula de la distribuci acumulada de la variable normal tipificada, busquem elvalor de la variable x tal que 9750xZP .)( = . Aquest valor es x = 1.96 per la qualcosa

21

z

= 1,96.

Substitum aquestes dades a la frmula de linterval i obtenim:

05800360

250

93600640

200

9250075096106400750

250

93600640

200

9250075096106400750

m

p1p

n

p1pzpp

m

p1p

n

p1pzpp YYxx

21

yx

YYxx

21

yx

.,.

,,,,,,,,

,,,,,,,

,

=

=

yx pp

La conclusi que podem extraure daquest interval s que treballant amb un nivell de

confiana del 95%, es que la diferncia entre les proporcions mostrals que hemobtingut no s significativa, i podem estimar que la proporci de peces defectuosesen la producci de les dues mquines es la mateixa. Aquesta afirmaci la basem enque el valor 0 est dintre de linterval, ja que per tractar-se duna diferncia t lesmateixes conclusions que els casos abans treballats de la diferncia de mitjanes.

INTERVAL PER AL QUOCIENT DE DUES VARIANCES DE DUESPOBLACIONS NORMALS.

1,1

2

2

2

1,1

21

2

2

2

2 1,

1

1

1

1

1

mnY

X

mnY

X

Y

X

fS

S

fS

S

n

n

n

n

Exemple 9

Per estudiar aquest interval, prendrem com exemple les dades de lexemple 6, on percompara les mitjanes de dues poblacions havem utilitzat les dues mostres quepresentem a continuaci. Recordem que en aquell apartat ja vam comentar que es

tractava de dues mostres on necessitaven pressuposar que les dues poblacions tenienles varincies iguals. Si no ho coneixem a priori per treballs anteriors aquesta


16/19


Pg 16

circumstncia, caldr comenar per fer el treball que presentem a continuaci enaquest apartat i en el cas que la inferncia ens permeta estimar que sn iguals,podrem portar a terme el treball que ja van fer al exemple 6.

Recordem que es tractava de unes quantes peces agafades de dues lnies deproducci i estaven classificades amb lajut dun ndex de qualitat que resumeix lainformaci de diversos indicadors. Les dades de les mostres figuren en la segenttaula:

Lnea X 10 9 7 6 12 3 7 9 10 6

Lnea Y 12 8 5 11 9 10 13 7 12 9 8 13

Amb aquesta informaci volem estimar mitjanant un interval de confiana si lavariabilitat en la qualitat de les dues lnies de producci s la mateixa. Entenem pervariabilitat el valor de les varincies que s la mesura de dispersi que utilitzaremcom a indicador de la dispersi, en tant que volem comprovar si els indicadors dequalitat permeten comprovar que estan igualment propers a la seva mitjana en elsdos processos.

Per portar a terme els clculs, identificarem els valors dels parmetres de cadascunade les mostres,

De la mostra de la poblaci X, anotarem n = 10, x =7,9 , 2x 1nS = 6,77

De la mostra de la poblaci Y, anotarem m = 12, y = 9,75 , 2Y 1nS = 6,39

Treballarem amb un nivell de confiana del 95%, per la qual cosa 1-= 0,95 i aix

97502

102502

0509501 ,,,, =

Cal buscar en la taula de la distribuci acumulada de la variable F de Snedecor, els

percentils que corresponen al valors de 02502

,

i 97502

1 ,

. Cal comentar que si

utilitzem taules cal trobar el primer valor en funci del segon que podrem trobar a lestaules que solen publicar-se, aplicant una propietat de la funci de distribucidaquesta variable F de Snedecor.

Aix, a les taules o amb un programa estadstic trobem el valor del percentil58793ff 11997501m1n

21

,,,, =

i per calcular laltre valor farem us de la propietat


17/19


Pg 17

segent1n1m

21

1m1n

2f

1f

=

,

,

que aplicada al nostre cas seria

2556190912073

1

f

1f

9119750

1190250 ,,,,

,, =

Si substitum tots aquests valors a la expressi de linterval obtindrem com a resultat

1447,4,2953,091207,339,6

77,6,

5879,3

1

39,6

77,6

255619,0

1

39,6

77,6,

5879,3

1

39,6

77,61,

1

1,1

2

2

2

1,1

21

2

2

2

2

1

1

1

1

=

=

mnY

X

mnY

X

Y

X

fS

S

fS

S

n

n

n

n

Aquests valors dels extrems de linterval ens permeten inferir que les varincies deles poblacions de les quals provenen les mostres son iguals, es a dir, els diferentsproductes de cadascuna de les lnies de fabricaci que comparem, presenten el mateixcomportament respecte a la dispersi dels valors de qualitat respecte a la mitjana decadascuna delles.

Aquesta inferncia est basada en el fet que el valor 1 s dintre de linterval calculat,ja que com que estem comparant les varincies mitjanant la seva ratio o quocient,els valors dels extrems ens diu que els quocients estan al voltant de la unitat, iaquesta soluci permet inferir igualtat entre les dues mesures comparades perdivisi.

En general, quan comparem les varincies de dues poblacions mitjanant lexpresside linterval que hem mostrat en aquest apartat, podem arribar a tres possiblesresultats dels quals comentem a continuaci la seva interpretaci sempre tenint encompte que es tracta de lanlisi duns quocients.

Si considerem que linterval soluci s ba2Y

2

X ,

Si ba1 , , interpretarem que la diferncia entre els parmetres no es

significativa i podrem estimar que 2Y2

X

Si 1bi1a >, , interpretarem que el quocient es major que 1 en una alta

probabilitat, per la qual cosa podrem estimar que 2Y2X2

Y

2

X 1

>


18/19


Pg 18

Si 1bi1a


19/19


Podem concloure que amb una probabilitat del 95%, la mitjana del nombre de horesde son diries dels alumnes de la Universitat est dintre daquest interval.

Donat que lamplitud de linterval es 352282451768 ,.. = hores, lerrada en la nostra

estimaci es de 1761235222 abE ,, ==

Si nosaltres volem acotar aquesta errada i que siga de 0,5 hores, podrem esbrinar, apiori la grandria de la mostra amb el que deguem treballar i aix conixer elnombre de individus que cal fer lenquesta. Aix,

50

n

3961

n

z

2

nz2

2

nzx

nzx

2

abE

21

21

21

21

,, =

==

Don podem allar el valor de n, 301387611n761150

3961n

2 ,,,,

,==

,es a dir,

amb 139 individus podem extraure linterval amb lerrada que ens havem plantejat.

Tema3Hoja7_intervalos_Soluciones

Documents

Transcript of Tema3Hoja7_intervalos_Soluciones