Tema_3a_ANOVA_I

Diseos con una fuente de variacin (I):Diseo con un factor completamente aleatorizado

Tema 3 (I)

Estadstica 2

Curso 08/09

Tema 3 (I) (Estadstica 2) ANOVA I Curso 08/09 1 / 63

Introduccin

Diseo con un factor completamente aleatorizadoIntroduccin

En cursos anteriores (ver tema 1) se describieron mtodos para hacerinferencias sobre medias y varianzas de dos poblaciones. En estetema se plantea el problema extender estos mtodos para el casode ms de dos poblaciones bajo hiptesis similares.

El anlisis de la varianza (ANOVA) es una herramienta quepermite descomponer la variabilidad de un experimento encomponentes independientes que pueden asignarse a distintascausas reconocibles, y utilizar esta informacin para contrastarhiptesis de inters (comparando varianzas entre s).

Ronald A. Fisher fue el innovador del uso del anlisis de la varianza(en la Estacin Agrcola Experimental Rothamsted durante los aostreinta).


Introduccin

El objetivo principal del diseo de experimentos: estudiar losefectos que una o ms variables cualitativas (factores) tienen sobreuna variable cuantitativa de inters (respuesta). Los valores que tomaun factor se denominan niveles o tratamientos.

En este tema se tratar el problema ms sencillo: Se dispone de nelementos (u.e.) y para cada uno de ellos se observa el valor de unavariable respuesta y nivel que presentan para un nico factor. Elpropsito del estudio es la comparacin de las medias de la variablerespuesta correspondientes a cada uno de los niveles del factor.

Diseo completamente aleatorizado: los niveles se asignan alazar a las unidades experimentales.


Introduccin Ejemplo

Ejemplo

En un estudio (e.g. Hix y Hartson, 1986) para evaluar la utilidad de unentorno interactivo para el diseo de cuadros de dilogo (user-interfacemanagement system) frente al mtodo tradicional de escribir el cdigofuente, se midi el tiempo (en horas) de desarrollo de interfaces empleandodistintos mtodos (UIMS, Programacin, UIMS+Programacin).

MtodoProgramacin UIMS UIMS+Programacin

1.92.41.12.3

0.81.50.41.0

1.20.80.20.6

NOTA: Se supone que los programadores y las tareas se asignaron al azarde forma que no inuyen en los resultados.


Introduccin Ejemplo

Grco descriptivo: Diagrama de cajas o Box Plot


Introduccin Notacin

Notacin

I numero de niveles (tratamientos)

Yij , i = 1, ....I , j = 1, ...., ni , variable aleatoria que representa larespuesta de la j-sima observacin en el i-simo nivel del factor.yij valor observado.

ni , nmero de elementos de la muestra que presentan el i-simo niveldel factor.

n = n1 + n2 + ...+ nI , numero total de observaciones.

i , i = 1, ....I , media terica o respuesta esperada para el i-simonivel del factor.

, media terica o respuesta esperada ignorando los niveles del factor,o equivalentemente, media de la poblacin que resulta de lacombinacin en una nica poblacin de las I poblacionescorrespondientes a cada uno de los niveles del factor.

.Tema 3 (I) (Estadstica 2) ANOVA I Curso 08/09 6 / 63

Introduccin Notacin

La inferencia sobre las medias se realizar a traves de las correspondientesmedias muestrales (estimadores mnimo-cuadrticos):

Nivel! ! ! i ! ! !

! ! !Yi1...

Yini

! ! ! Totales

Sumas ! ! ! Yi !=nij=1

Yij ! ! ! Y!!=Ii=1

Yi !=Ii=1

nij=1

Yij

Tamaos ! ! ! ni ! ! ! nMedias

muestrales! ! ! Yi !=Yi !ni =

1ni

nij=1

Yij ! ! ! Y!!=Y!!n =1n

Ii=1

nij=1

Yij


Introduccin Notacin

EjemploTiempo de desarrollo de interfaces

MtodoProg UIMS UIMS+Prog1.92.41.12.3

0.81.50.41.0

1.20.80.20.6

Totales

Sumas y1!= 7.7 y2!= 3.7 y3!= 2.8 y!!= 14.2Tamaos n1= 4 n2= 4 n3= 4 n = 12Medias

muestralesy1!= 1.925 y2!= 0.925 y3!= 0.7 y !!= 1.183


Introduccin Notacin

Contraste principal

Se quiere contrastar la hiptesis nula de que los niveles del factor tienen lamisma respuesta media:!

H0 : 1 = 2 = ... = IH1 : i 6= j para algn i 6= j

Equivalentemente:!H0 : El factor no inuye en la respuesta (media)H1 : El factor si inuye en la respuesta (media)


El modelo del ANOVA I

Modelo

Se supone:

Yij i .i .d . N"i , s

2# ,i = 1, ....I , j = 1, ...., ni

Hiptesis del modelo:

Normalidad: Yij # N"i , s

2#, 8i , j .

Independencia: Cov(Yij ,Ykh) = 0, si i 6= k o j 6= h (bajo normalidad)Igualdad de varianzas (homocedasticidad): Var (Yij ) = s2, 8i , j .



Equivalentemente:

Yij = i + (Yij % i )Yij|{z}

aleatorio

= i|{z}determinista

+ #ij ,|{z}aleatorio

donde #ij = Yij % i es el error aleatorio.

Suposiciones:

Normalidad: #ij # N"0, s2

#, 8i , j .

Independencia: Cov(#ij , #kh) = 0, si i 6= k o j 6= h (bajo normalidad)Igualdad de varianzas (homocedasticidad):Var (#ij ) = Var (Yij ) = s2, 8i , j .



Yij # N"i , s

2#

Generacion datos (Click!)


Camila Francisca


Parametrizacin alternativa

Yij = + (i % ) + (Yij % i )Yij|{z}

aleatorio

= + ai| {z }determinista

+ #ij ,|{z}aleatorio

donde ai = i % es el efecto del nivel i del factor.En este caso es necesario (sobreparametrizacin) incluir la restriccin:

I

i=1

piai = 0

donde pi es la proporcin de individuos en el nivel i . Si el diseo esequilibrado (p1 = . . . = pI = p), esta condicin es

I

i=1

ai = 0


Camila Francisca

Camila Francisca


El contraste principal ser:!H0 : a1 = ... = aI = 0H1 : ai 6= 0 para algn i

En cualquier caso el nmero de parmetros a estimar es I + 1:

1, . . . , I , s2.

En el modelo alternativo:

, a1, . . . , aI%1,s2.

Los estimadores (mnimo-cuadrticos) de las medias/efectos se obtendranreemplazando las medias tericas por las correspondientes muestrales:

i = Y i ! = Y !!ai = Y i ! % Y !!,


El contraste ANOVA I

El contraste ANOVA IIdea

i 1 2 3

yij

20.118.919.921.1

22.121.922.221.8

23.724.323.624.4

y i ! 20 22 24

i 1 2 3

yij

45.20.810.523.5

8.430.637.511.5

15.244.81.434.6

y i ! 20 22 24

444N =

Envase

321

Vent

as

25

24

23

22

21

20

19

18444N =

Envase

321

Vent

as

50

40

30

20

10

0



Los datos de ambas tablas presentan las mismas diferencias en lasmedias de los niveles del factor, sin embargo en el primer caso,parece que estas medias son diferentes y en el segundo caso no estclaro si las diferencias son reales o si se deben a la variabilidad delexperimento.Las diferencias en las medias en el primer caso son grandescomparadas con la variabilidad experimental, mientras que en elsegundo ejemplo las diferencias en las medias son pequeas si secomparan con la variabilidad de los datos.

Lo que sugiere como estadstico del contraste, un cociente:

Variabilidad entre gruposVariabilidad dentro de grupos

si resulta "signicaticamente grande aceptaremos que hay diferenciasentre las medias de los grupos.



Identidad de la suma de cuadrados

Las diferencias entre los datos observados y la media global:

(Yij % Y!!)pueden expresarse mediante la siguiente identidad:

(Yij % Y!!) = (Yi ! % Y!!) + (Yij % Yi !)a partir de la cual se obtiene la denominada identidad de la suma decuadrados:

I

i=1

ni

j=1

(Yij % Y!!)2| {z }VTotal

=I

i=1

ni (Yi ! % Y!!)2| {z }VTr

+I

i=1

ni

j=1

(Yij % Yi !)2| {z }VR



En esta identidad pueden identicarse tres componentes:

1 La variabilidad total o suma total de cuadrados:

VTotal = SSTotal =I

i=1

ni

j=1

(Yij % Y!!)2 =I

i=1

ni

j=1

Y 2ij %Y 2!!n

mide la variabilidad de los datos respecto a la media global.2 La variabilidad explicada por los tratamientos o suma de

cuadrados de los tratamientos:

VTr = SSTr =I

i=1

ni (Yi ! % Y!!)2 =I

i=1

Y 2i !ni% Y

2!!n

mide las diferencias entre los niveles del factor.3 La variabilidad no explicada o residual o suma de cuadrados del

error:

VR = SSR =I

i=1

ni

j=1

(Yij % Yi !)2 = SSTotal % SSTr

mide la variabilidad dentro de los niveles del factor.Tema 3 (I) (Estadstica 2) ANOVA I Curso 08/09 18 / 63


VTotal = VTr + VR



Los valores esperados de las sumas de cuadrados dependen del nmero desumandos, es preferible utilizar otras medidas de variabilidad: varianzas.

Dividiendo por los correspondientes grados de libertad (nmero desumandos - restricciones que verican) se obtienen las varianzas ocuadrados medios:

S2Y = MSTotal =SSTotaln% 1 =

1n% 1

I

i=1

ni

j=1

(Yij % Y!!)2

S2Tr = MSTr =SSTrI % 1 =

1I % 1

I

i=1

ni (Yi ! % Y!!)2

S2R = MSR =SSRn% I =

1n% I

I

i=1

ni

j=1

(Yij % Yi !)2


El contraste ANOVA I Distribucin del estadstico del contraste

Distribucin del estadstico del contraste

Puede verse que:

E (MSR ) = s2

E (MSTr ) = s2 +

Ii=1

ni (i % )2

I % 1

Por tanto:

MSR es siempre un estimador insesgado de s2:

MSR =Ii=1(ni % 1)S2iIi=1(ni % 1)

siendo S2i =1

ni % 1ni

j=1

(Yij % Yi !)2

MSTr es un estimador insesgado de s2 slo si la hiptesis nulade igualdad de medias es cierta (en caso contrario cuanto mayor seanlos efectos de los niveles mayor ser su esperanza).


El contraste ANOVA I Distribucin del estadstico del contraste

Puede verse adems que:SSRs2

# c2n%Iy bajo la hiptesis nula:

SSTrs2

# c2I%1Por tanto:

F0 =

SSTrs2

I%1SSRs2

n%I

=SSTrI%1SSRn%I

=MSTrMSR

#Si.H0 cierta

FI%1,n%I

El estadstico del contraste F0 tiende a tomar valores pequeos(prximos a 1) cuando la hiptesis nula es cierta y grandes cuando esfalsa (ms grandes cuanto mayores sean los efectos de los niveles delfactor ai = i % ).


El contraste ANOVA I Realizacin del contraste

Realizacin del contraste

Teniendo en cuenta las observaciones anteriores, se rechaza H0 al nivel designicacin a si:

F0 =msTrmsR

> FI%1,n%I ,1%a

en caso contrario se acepta.Conviene obtener el nivel crtico del test o p-valor (probabilidad de obtenerun resultado tan extrao o ms que el observado bajo H0):

p = P"FI%1,n%I & F0

#Este valor proporciona mayor informacin, en el sentido de que cuantomayor sea este nivel crtico (comparado con a), ms seguros estaremos enla aceptacin de la hiptesis nula y viceversa.



Los resultados se suelen presentar en la tabla del ANOVA I:

Fuente de

variacinSS gl MS F p-valor

Tratamiento ssTr I % 1 msTr= ssTrI%1 F0=msTrmsR pResidual ssR n% I msR= ssRn%ITotal ssTotal n% 1 msTotal= ssTotaln%1

Como medida de la variabilidad debida al factor se utiliza normalmente elcoeciente de determinacin:

R2 =ssTrssTotal

proporcin de variabilidad de la respuesta explicada por el factor (debida adiferencias entre niveles).




MtodoProg UIMS UIMS+Prog1.92.41.12.3

0.81.50.41.0

1.20.80.20.6

Totales

yi ! y1!= 7.7 y2!= 3.7 y3!= 2.8 y!!= 14.2ni n1= 4 n2= 4 n3= 4 n = 12y i ! y1!= 1.925 y2!= 0.925 y3!= 0.7 y !!= 1.183bai=y i !%y !! ba1= 0.742 ba2= %0.258 ba3= %0.484 0



ssTr =I

i=1

ni (y i ! % y !!)2 = 43

i=1

ba2i= 4' "0.7452 + 0.2552 + 0.4802# = 3.406

ssTot = ij(yij % y !!)2 =

ijy2ij % ny2!! =

= 22.4% 12' 1.1832 = 5.606

ssR = ije2ij = ssTot % ssTr =

= 5.606% 3.406 = 2.2



F. var. SS gl MS F p-valorMtodo 3.406 2 1.703 6.98 p = P (F2,9 & 6.98) = 0.015Residual 2.2 9 0.244Global 5.606 11 0.51

Como F0 = 6.94 > F2,9,0.95 = 4.26) Rechazamos H0 (al nivel designicacin a = 0.05)

El p%valor (a partir de las tablas):0.01 = P (F2,9 & 8.02) < p < P (F2,9 & 5.71) = 0.025

p ) a = 0.05) Rechazamos H0.

R2 ("Mtodo") =3.4065.606

= 0.61

El modelo explica un 61% de la variabilidad de la respuesta (debida adiferencias entre mtodos).



En caso de que el contraste sea estadsticamente signicativo (p ) a),aceptamos H1 : i 6= j para algn i 6= j , se suele estudiar entre queniveles hay diferencias signicativas utilizando algn mtodo decomparaciones mltiples: (

Hij0 : i = jHij1 : i 6= j

se comparan todos los pares de niveles (en total m = (I2) =I (I%1)

2comparaciones posibles).

En el caso de aceptar H0 no tienen sentido (e incluso se puede pensar enutilizar mtodos estadsticos univariantes).

Hay que tener en cuenta tambin que el resultado del test puede no serestadsticamente signicativo debido a no haber considerado factoresadicionales o a tamaos muestrales pequeos.


Inferencia sobre los parmetros Estimaciones puntuales y por IC

Inferencia sobre los parmetros

Los estimadores mnimo-cuadrticos de las medias tericas son las mediasmuestrales:

i = Y i !=1ni

ni

j=1

Yij

Puede verse fcilmente que:

i = Y i ! # N*i ,

s2

ni

+y adems son independientes.

Adicionalmente, por el teorema de Gauss-Markov, estos estimadores sonlos estimadores lineales insesgados de varianza mnima (los msecientes).



i = Y i ! # N*i ,

s2

ni

+




Con la parametrizacin alternativa:

= Y !!ai = Y i ! % Y !!,

sin embargo estos estimadores no son independientes.

= Y !! # N*,

s2

n

+En el caso de diseos equilibrados:

ai # N*ai , s

2 (I % 1)n

+NOTA: Diferencias en las medias equivalen a diferencias en los efectos:

i % j = ai % aj , 8i , ji % j = ai % aj , 8i , j



Como ya se vi anteriormente, un estimador insesgado de la varianza es lavarianza residual:

S2R =SSRn% I =

1n% I

I

i=1

ni

j=1

(Yij % Yi !)2

y el estadstico pivote asociado es:

(n% I ) S2Rs2

=SSRs2

# c2n%IA partir del cual, p.e. obtendramos las estimaciones por intervalo deconanza, de nivel 1% a, de s2:

(n% I ) S2Rc2n%I , a2

;(n% I ) S2Rc2n%I ,1% a2

!=

SSRc2n%I , a2

;SSR

c2n%I ,1% a2

!NOTA: Si denotamos por Yij = i = + ai = Y i ! las predicciones con elmodelo estimado, se denominan residuos a las diferencias:

eij = Yij % Yij = Yij % Y i !Tema 3 (I) (Estadstica 2) ANOVA I Curso 08/09 33 / 63


Como (normalmente) la varianza es desconocida, las distribucionestericas de los estimadores de los parmetros no son de utilidad en laprctica. Sustituyendo la varianza por su estimador insesgado, obtenemoslos correspondientes estadsticos pivote:

Yi ! % is (Yi !)

# tn%I

donde:

s2 (Yi !) =S2Rni

Se pueden utilizar, siguiendo el procedimiento habitual, para construirintervalos de conanza:

IC(1%a) (i ) =.Yi ! * tn%I ,1% a2 s (Yi !)

/o realizar contrastes de hiptesis.




MtodoProg UIMS UIMS+Prog

i = y i ! y1!= 1.925 y2!= 0.925 y3!= 0.7 = y !!= 1.183bai=y i !%y !! ba1= 0.742 ba2= %0.258 ba3= %0.484

F. var. SS gl MS F p-valorMtodo 3.406 2 1.703 6.98 p = P (F2,9 & 6.98) = 0.015Residual 2.2 9 0.244Global 5.606 11 0.51

s2 = s2R = 0.244



IC0.95(s2) =

ssR

c29,0.975,

ssRc29,0.025

!=

*2.219.02

,2.22.7

+= (0.116, 0.815)

IC0.95 (i ) =

0@y i ! * t9,0.95s

s2Rni

1A = y i ! * 2.262r0.2444!

= (y i ! * 2.262 ! 0.247 ) = (y i ! * 0.559)

IC0.95 (1) = (1.925* 0.559) = (1.366, 2.484)IC0.95 (2) = (0.925* 0.559) = (0.366, 1.484)IC0.95 (3) = (0.7* 0.559) = (0.141, 1.259)


Comparaciones mltiples

Comparaciones mltiples

Cuando en el contraste del ANOVA se acepta H1 : i 6= j para algni 6= j , se suele estudiar entre que niveles hay diferencias signicativas, p.e.realizando los contrastes:(

Hij0 : i = j + ai = ajHij1 : i 6= j + ai 6= aj

, 8i < j

En total hay m = (I2) =I (I%1)

2 comparaciones posibles, las cualesaumentan considerablemente al aumentar el nmero de niveles, porejemplo, si I = 6 entonces m = 15.

Hay una gran cantidad de mtodos disponibles en la actualidad. Hay quetener en cuenta que resulta importante tener controlada la probabilidadglobal de error tipo I, i.e.:

P (aceptar que hay alguna diferenciaj no hay diferencias) ) aTema 3 (I) (Estadstica 2) ANOVA I Curso 08/09 37 / 63

Comparaciones mltiples LSD

El mtodo LSD

El mtodo LSD o mtodo de la mnima diferencia signicativa esequivalente a realizar mltiples test t entre los pares de medias (con nivelde signicacin a cada una).Se utiliza el estadstico pivote:

T ij0 =Y i . % Y j .

SRq

1ni+ 1nj

#Si i=j

tn%I

rechazndose la hiptesis nula Hij0 : i = j + ai = aj , si:777tij0 777 =77y i . % y j .77sRq

1ni+ 1nj

& tn%I ,1% a2

El p%valor ser:p = 2P

.tn%I &

777tij0 777/Tema 3 (I) (Estadstica 2) ANOVA I Curso 08/09 38 / 63



tn%I ,1% a2 = t9,0.975 = 2.262

Diseo equilibrado ) s "Y i . % Y j .# = sRq 24 =r

0.2442

= 0.349

H120 : 1 = 2 + a1 = a2y1. % y2. = 1.925% 0.925 = 1.077t120 77 = j1.0j0.349 = 2.865 & 2.262) rechazamos H120p12 = 2 ! P (t9 & 2.865) = 0.0192 ! 0.005 < p12 < 2 ! 0.01 (tablas)



H130 : 1 = 3 + a1 = a3y1. % y3. = 1.925% 0.7 = 1.22577t130 77 = j1.225j0.349 = 3.510 & 2.262) rechazamos H130p13 = 2 ! P (t9 & 3.510) = 0.007p13 < 2 ! 0.005 (tablas)

H230 : 2 = 3 + a2 = a3y2. % y3. = 0.925% 0.7 = 0.22577t230 77 = j0.225j0.349 = 0.645 < 2.262) aceptamos H230p23 = 2 ! P (t9 & 0.645) = 0.535p23 > 2 ! 0.25 (tablas)



El principal problema del mtodo LSD es que la probabilidad de errortipo I puede ser mucho mayor que a cuando el nmero de niveles esgrande.Si denotamos los sucesos:

A = rechazar alguna Hij0 siendo 1 = . . . = I "

Aij = rechazar Hij0 siendo i = j"

entonces P(Aij ) = a, y si suponemos (por simplicidad) que sonindependientes:

P(A) = P"[mij Aij# = P .\mij Aij/ = 1% P "\mij Aij#

= 1% (1% a)m / aPor ejemplo, si a = 0.05 e I = 6 entonces m = 15 yP(A) = 1% 0.9515 = 0.54/ 0.05.


Comparaciones mltiples Bonferroni

El mtodo de Bonferroni

Este mtodo es una ligera modicacin del LSD para controlar a un nivela, la probabilidad global de error tipo I (P(A) ) a).

El estadstico es el empleado en el mtodo LSD, diferencindose en que laspruebas se realizan con un nivel de signicacin:

a0 =a

m

considerando como punto crtico:

tn%I ,1% a02= tn%I ,1% a2m

con lo que la diferencia entre dos promedios muestrales tiene que sermayor para ser considerada signicativa (pudiendo aparecer problemascuando el nmero de niveles es grande).


Comparaciones mltiples Sche

El mtodo de Sche

El mtodo de Sche controla tambin la probabilidad global de error tipoI (P(A) = a).

En este caso se considera como punto crticoq(I % 1) FI%1,n%I ,1%a

rechazndose la hiptesis nula si:77Y i . % Y j .77sRq

1ni+ 1nj

&q(I % 1) FI%1,n%I ,1%a

Este mtodo es "coherente" con el contraste del ANOVA e independientedel nmero de comparaciones (adecuado tambin para otros contrastes).

NOTA: Otro mtodo que puede ser de inters (especialmente para el casode diseos equilibrados) es el mtodo de Tukey.


Comparaciones mltiples Ejemplo


Equivalentemente, rechazamos Hij0 si77y i . % y j .77 & wasR

s1ni+

1nj

LSD: wa = tn%I ,1% a2 = t9,0.975 = 2.262) d = 2.262 ! 0.349 = 0.789Bonferroni: wa = tn%I ,1% a2m = t9,0.9916 = 2.95 (' 2.9, tablas)) d = 2.95 ! 0.349 = 1.029Sche: wa =

p2 ! F2,9,0.95 =

p2 ! 4.26 = 2.919

) d = 2.919 ! 0.349 = 1.019

y i . % y j . LSD Bonferroni ScheH120 : 1 = 2 1.0 1 6= 2 1 = 2 1 = 2H130 : 1 = 3 1.225 1 6= 3 1 6= 3 1 6= 3H230 : 2 = 3 0.225 2 = 3 2 = 3 2 = 3


Comparaciones mltiples Intervalos de conanza

Intervalos de conanza

Anlogamente:

IC(1%a).i % j

/= IC(1%a) (ai % aj )=

"Y i . % Y j . *was

"Y i . % Y j .

##=

Y i . % Y j . *waSR

s1ni+

1nj

!

Considerando como puntos crticos wa:

LSD: wa = tn%I ,1% a2Bonferroni: wa = tn%I ,1% a2mSche: wa =

p(I % 1) FI%1,n%I ,1%a




1 % 2y1. % y2. = 1.925% 0.925 = 1.0

I LSD0.95 (1 % 2) = (1.0 3 2.262 ! 0.349) = (1.0 3 0.789)= (0.211, 1.789)

I Bonferroni0.95 (1 % 2) = (1.0 3 2.95 ! 0.349) = (1.0 3 1.029)= (%0.029, 2.029)

I Sche e0.95 (1 % 2) = (1.0 3 2.919 ! 0.349) = (1.0 3 1.019)= (%0.019, 2.019)



1 % 3y1. % y3. = 1.925% 0.7 = 1.225

I LSD0.95 (1 % 3) = (1.225 3 0.789) = (0.436, 2.014)I Bonferroni0.95 (1 % 3) = (1.2253 1.029) = (0.196, 2.254)I Sche e0.95 (1 % 3) = (1.225 3 1.019) = (0.206, 2.244)

2 % 3y2. % y3. = 0.925% 0.7 = 0.225

I LSD0.95 (2 % 3) = (0.225 3 0.789) = (%0.564, 1.014)I Bonferroni0.95 (2 % 3) = (0.2253 1.029) = (%0.76, 1.21)I Sche e0.95 (2 % 3) = (0.225 3 1.019) = (%0.804, 1.254)


Caso general: Contrastes


Las comparaciones mltiples son un caso particular de inferencia sobrecontrastes.Se denomina contraste q, a una combinacin lineal de la forma:

q =I

i=1

biai , conI

i=1

bi = 0

El estimador puntual (lineal insesgado de varianza mnima) del contraste qes

q =I

i=1

bi ai =I

i=1

biY i !

de donde se deduce que:

q =I

i=1

biY i # N

I

i=1

biai , s2I

i=1

b2ini

!



Principales contrastes:

Contrastes a pares (pairwise):

q b1 b2 b3a1 % a2 1 -1 0a1 % a3 1 0 -1a2 % a3 0 1 -1

Tratamientos frente a control:q b1 b2 b3

a1 % a3 1 0 -1a2 % a3 0 1 -1

Diferencias entre grupos:q b1 b2 b3

a1 % (a2%a3)2 1 -12 - 12

Contrastes polinmicos: Cuando el factor es ordinal (p.e. nivelesequiespaciados) puede interesar contrastar si hay una tendencia lineal,cuadrtica,...



A partir del estadstico pivote:

q % qs(q)

# tn%I

siendo:

s(q) = SR

vuut Ii=1

b2ini

se pueden construir intervalos de conanza y realizar contrastes dehiptesis, considerando distintos puntos crticos wa:

LSD: wa = tn%I ,1% a2Bonferroni (m contrastes simultneos): wa = tn%I ,1% a2mSche: wa =

p(I % 1) FI%1,n%I ,1%a



Los intervalos de conanza son de la forma:

"q *was(q)

#=

0@ Ii=1

bi ai *waSR

vuut Ii=1

b2ini

1ASe rechaza la hiptesis nula H0 : q = 0 si:77q77

s(q)=

777Ii=1 bi ai 777SRqIi=1

b2ini

& wa


Caso general: Contrastes Ejemplo


Constrastar si hay diferencias al considerar UIMS(H0 : 1 =

2+32 + a1 = a2+a32

H1 : 1 6= 2+32 + a1 6= a2+a32q = y1. % 12y2. % 12y3.

= 1.925% 0.925% 0.7 = 0.3s2(q) = s2R

1+ 1/4+ 1/44

= 0.244 ! 38= 0.092

jt0j = j0.3jp0.092

= 0.989 < 2.262) aceptamos H0


Diagnosis del modelo

Diagnosis del modelo

Es importante recordar que las conclusiones obtenidas con este mtodose basan en las hiptesis bsicas del modelo:

normalidad (homogeneidad)

homocedasticidad

independencia

Si alguna de estas hiptesis no es cierta, las conclusiones obtenidaspueden no ser ables, o incluso totalmente erroneas.

Es importante vericar si las hiptesis bsicas del modelo son adecuadaspara los datos: Diagnosis del modelo.

Para ello se pueden emplear desde mtodos descriptivos (p.e. el grco decajas) hasta contrastes de hiptesis, como por ejemplo los descritos en elcaptulo 1 (principalmente aplicados sobre los residuos).


Diagnosis del modelo Observaciones

Observaciones

La falta de normalidad tiene poca inuencia en el contraste F delANOVA (tctica robusta frente a desviaciones de la normalidad).Aunque si el nmero de observaciones es pequeo, la distribucin delos datos debera ser simtrica. Por el contrario, si que puede verseafectada la estimacin de la varianza (y la inferencia sobre losparmetros).

El efecto de varianzas desiguales, depende en gran medida delnmero de observaciones por grupo, si el diseo es ms o menosequilibrado, los resultados obtenidos con el test F son vlidos. Sinembargo, si el nmero de observaciones vara mucho entre losdistintos grupos (p.e. ni / 2nj ), el efecto puede ser bastanteacusado. Inuye sobre todo en la estimacin de la varianza.

La dependencia entre observaciones puede tener un efectomucho ms grave, el procedimiento ms adecuado para prevenir ladependencia es hacer uso de la aleatorizacin.


Diagnosis del modelo Residuos y datos atpicos

Residuos y datos atpicos

Como los errores tericos son desconocidos, se puede pensar en chequearhiptesis sobre su distribucin a partir de la de los residuos eij = yij % y i !.Por ejemplo, los residuos estandarizados:

rij =eijsR

,

deberan seguir una distribucin prxima a la normal estandar.Un dato atpico (outlier) es una observacin "rara" comparada con elresto de observaciones (anormalmente ms grande o ms pequea de loesperado). Se detectan cuando el correspondiente residuo es un valorinusual (poco probable) en relacin a la distribucin asociada. Uncriterio general bastante aceptado es considerar un valor atpico cuando:

jrij j > 3.Si las conclusiones obtenidas dependen en gran medida de una observacinatpica, esta se denomina inuyente y debe ser examinada con cuidadopor el experimentador.


Diagnosis del modelo Mtodos descriptivos

Mtodos descriptivos

Una de las formas para llevar la diagnosis del modelo es a partir degrcos. Entre ellos, estn:

Los diagramas de cajas:

Estos grcos son de utilidad para detectar heterocedasticidad (alturade las cajas), falta de normalidad (simetra de las cajas) o presencia dedatos atpicos



Los grcos de residuos y residuos estandarizados (histogramas,dispersin, residuos frente al indice temporal (t, et ), residuos frente aresiduos retardados (et%1, et ) , etc).

Es especialmente recomendable generar el grco de residuos tipicados"rij = eij/SR

#frente a predicciones (yij ) ser til para detectar

heterocedasticidad y valores atpicos (falta de normalidad):

o el efecto de un factor omitido: mala especicacin del modelo.Tema 3 (I) (Estadstica 2) ANOVA I Curso 08/09 57 / 63


Si se quiere chequear con mayor detalle la normalidad, se puedenemplear los grcos de probabilidad normal (P-P plot, Q-Q plot)



Para chequear la igualdad de varianzas se puede utilizar tambin elgrco varianzas-medias dispersin-nivel:



Estadsticos descriptivos

Es recomendable calcular estadsticos bsicos (media,mediana, varianza,desviacin tpica, coeciente de asimetra y de curtosisestandarizados) de la variable respuesta (o de los residuos) para cadanivel del factor.Pueden proporcionar una idea sobre la inuencia del factor, la normalidadde los datos, la presencia de datos atpicos, detectar heterocedasticidad ysu inuencia en las conclusiones obtenidas con el ANOVA.

Por ejemplo, si los tamaos muestrales de los grupos son similares y:

S2maxS2min

< 3

es de esperar que la heterocedasticidad no afecte al test F , ni a losmtodos de comparaciones mltiples.


Diagnosis del modelo Contrastes de hiptesis

Contrastes de hiptesis

Si se quiere llevar a cabo un contraste formal sobre las hiptesis delmodelo pueden emplearse contrastes de normalidad:

Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors.

Shapiro-Wilks.

Test chi-cuadrado de bondad de ajuste.

Contrastes de asimtra y curtosis...

Para contrastar independencia se pueden utilizar:

contrastes de aleatoriedad basados en rachas.

contrastes basados en autocorrelaciones (p.e. el test de Ljung-Box),...


Diagnosis del modelo Contrastes de hiptesis

Para contrastar la igualdad de varianzas:!H0 : s21 = s22 = ... = s2IH1 : s2i 6= s2j para algn i 6= j

es recomendable emplear el test de Levene.

Es un contraste para la homogeneidad de varianzas menos dependiente delsupuesto de normalidad que la mayora de las pruebas.

Para cada caso, se calcula la diferencia entre el valor de dicho caso y lamedia (o uno de los estimadores robustos) del grupo correspondiente y selleva a cabo un anlisis de varianza de un factor sobre estas diferencias envalor absoluto.


Diagnosis del modelo Alternativas

Alternativas

Cuando no se satisfacen los supuestos bsicos puede llevarse a cabouna transformacin de los datos para corregir la heterocedasticidady/o falta de normalidad (normalmente "suelen ocurrir en la mismaescala"). El grco dispersin-nivel puede ayudar a seleccionar latransformacin.

Como contrastes de hiptesis no paramtricos alternativos sepuede pensar en utilizar el test de Kruskal-Wallis, como alternativaal test F (y la prueba de la suma de rangos de Wilcoxon para lascomparaciones mltiples, Bonferroni).

Si no se cumple la hiptesis de independencia, puede ser adecuadoutilizar modelos ANOVA para medidas repetidas.


Diseo con un factor completamente aleatorizadoIntroduccinEjemploNotacin

El modelo del ANOVA IEl contraste ANOVA IDistribucin del estadstico del contrasteRealizacin del contraste

Inferencia sobre los parmetrosEstimaciones puntuales y por IC

Comparaciones mltiplesLSDBonferroniScheffEjemploIntervalos de confianza

Caso general: ContrastesEjemplo

Diagnosis del modeloObservacionesResiduos y datos atpicosMtodos descriptivosContrastes de hiptesisAlternativas

Tema_3a_ANOVA_I

Documents

Transcript of Tema_3a_ANOVA_I