1Tema 2: Fundamentos de la Física .

1. Fundamentos de CinemáticaLa descripción del movimiento de un cuerpo se reduce al estudio del movimiento de

su centro de masas (cuya definición no daremos), que simplifica las dimensiones delcuerpo hasta reducirlas a un punto material, aunque conservando toda su masa.

Además, resulta indispensable para tal descripción el establecimiento de unSistema de Referencia, a partir del que realizar la descripción del movimiento delmóvil. Este hecho es importante, puesto que todos los movimientos tienen uncarácter relativo, y por tanto, dependen del sistema de referencia elegido.

Para determinar la POSICIÓN de un objeto, se utiliza el vector de posición: k.tzj.tyi.tx(t)r

, que, como vemos, es función del tiempo.A partir de este concepto, podrá decirse que “un cuerpo se mueve cuando cambia

su vector de posición en el tiempo”.

La TRAYECTORIA descrita por un móvil equivale al camino recorrido por el. Seobtendría a través de la unión de los puntos correspondientes a los vectores deposición para los diferentes tiempos (Ver figura).

Tomemos 2 instantes, 21 tyt . Estos podrán asociarse con dos vectores de

posición, a los que llamaremos 21 ryr

. Se denomina VECTORDESPLAZAMIENTO “al vector que une la posición inicial y la final”.Matemáticamente:

),,(),,(),,( zyxzyxzyxrrr 11122212

Por otro lado, llamaremos ESPACIO RECORRIDO (o distancia recorrida), a unamagnitud escalar, representada por s , medida sobre la trayectoria. En generalno coincide con el módulo del vector desplazamiento, salvo para trayectoriasrectilíneas sin cambio de sentido. Además, se trata de una magnitud, siempreacumulativa (siempre se suma), independientemente de los desplazamientos delmóvil.

X

Z

Y

r

1r

2r

P1

P2

s

Trayectoria

2 Pero en un movimiento no basta con conocer el vector de posición y la

trayectoria. Interesa saber la rapidez con la que se desplaza el móvil. Se conocecomo VELOCIDAD MEDIA (vector) en el intervalo Δt a:

tr

mv

Del mismo modo, para intervalos de tiempo infinitesimales,

kvjviv

kdtdz

jdtdy

idtdx

dtrd

tr

zyx

tLim

...

0

v

Gráficamente, la velocidad instantánea en un punto resulta ser un vectortangente a la trayectoria en cada instante (mientras que el vector velocidad mediaresulta ser secante). Por ello la velocidad instantánea puede representarse como:

tguv.v

(, donde tgu

es el vector unitario tangente a la trayectoria en ese punto)

Como hemos hecho mención, cuando hablamos de velocidad, nos estamosrefiriendo siempre a vectores. Se denomina RAPIDEZ, al módulo de la velocidadcon la que se mueve un móvil, sobre la trayectoria. Así:

dtds

ts

ts

Limt

0

m

v

v

Ojo!!!

La velocidad instantánea se simboliza simplemente como v , y no

como iv

3

Es decir, el valor de la velocidad instantánea resulta ser, en una gráfica svs t, el valor de la pendiente de la recta tangente a dicha curva en un instantedeterminado.

A partir de la rapidez de un móvil (en función del tiempo), es posible calcular ladistancia recorrida por él en cualquier intervalo de tiempo, considerando que:“la distancia recorrida equivale al área delimitada por la línea que representa lavelocidad en función del tiempo, y las líneas verticales t1 y t2”

En el primero de los gráficos, el área encerrada será el área del triángulocoloreado de azul más el área del rectángulo rojizo. En ese caso:

m37515022510152

3015 .

.s

El segundo de los gráficos representaría un caso general (en el que tendría cabidael caso anterior, claro está), cuyo desarrollo se llevará a cabo por integración de lafunción en el intervalo de tiempo. Es decir:

2

1

t

t

v(t).dts

Como ya sabemos, la velocidad puede permanecer constante a lo largo delmovimiento, o, por el contrario, variar. La primera de las situaciones indica un

4MOVIMIENTO UNIFORME, en tanto que el segundo de los casos se manifiestapara un MOVIMIENTO VARIABLE.

La magnitud que describe las variaciones de velocidad a lo largo del tiempo seconoce como ACELERACIÓN:

ΔtvΔa m

(, magnitud vectorial)

, o, para intervalos de tiempo infinitesimales:

tv

tva

0 dd

Limt

De otro modo:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zyxzyx

zyx

dtd

dtd,

dtdz)y,(x,

dtd

dtrda

)a,a,(a)dt

dv,

dtdv

,dt

dv()v,v,(v

dtd

dtvda

zyx

o

,

,

Desde luego, 222zyx aaaa

Pero existe otro modo de descomponer la aceleración (además de sudescomposición cartesiana). La aceleración puede presentarse como la sumavectorial de sus componentes intrínsecas. Este tipo de descomposición resultaser muy útil ya que analiza separadamente los cambios temporales en el módulode la velocidad y los cambios (temporales) en la dirección de la velocidad.

)u(v.dtd

dtvda t

, donde tu

es el vector unitario tangente a la trayectoria)

Derivando el producto, resulta:

dtudv.u.

dtdva t

t

i) El primer sumando, tu.dtdv

se conoce como aceleración

tangencial:

tt u.dtdva

, y representa la rapidez con la que varía el módulo de la velocidad

ii) El segundo de los sumandos, dtud

v. t

, es conocido como

aceleración normal o centrípeta ca

, y representa los cambios enla dirección de la velocidad. Esta aceleración es perpendicular a latrayectoria en cada punto en cualquier instante; es decir, tienedirección radial, dirigida hacia el interior de la curva.Por otro lado, el módulo de esta aceleración resulta ser, para unmovimiento circular, igual a :

5

Nota: Recuerda que:

TipoMovimiento

Aceleracióntangencial

Aceleraciónnormal

Dirección Rapidez

MRU 0 0 Cte CteMRUA Cte 0 Cte CteMCU 0 Cte Variable VariableMCUA Cte Variable Variable Variable

Rva

2

c

,

,donde v es el módulo de la velocidad en ese punto, y R el radio decurvatura en dicho punto

ALGUNOS MOVIMIENTOS (I).

1. MRUt.vrr 0

2. MRUA

t.avv

t.a.21t.vrr

0

200

ΔΔ

3. Tiro Parabólico

j.gt21.t.sen αvyy

i..t.cos αvxr

j.gt.senαvv

i..cosαvvv

j..senvv

i..cosvvv

200

0

0y

0x

0y,0

0x,00

α

α

(SR, el punto de lanzamiento)

4. Tiro Horizontal

j.gt21yy

i.v.txr

jgt.v

iv.vv

j0.v

iv.vv

20

y

x

y,0

x,00

(SR, un observador en el suelo, en la perpendicular al punto inicial delanzamiento).

6

ALGUNOS MOVIMIENTOS (II).

5. Movimientos CircularesLos movimientos circulares se describen a

través de magnitudes angulares:

Se define como la rapidez angular media alángulo descrito por un móvil en un intervalo detiempo determinado:

Por extensión:

, expresadas ambas en rad/s.

Existe, desde luego, una relación entre lasmagnitudes lineales y las angulares, obtenidade la propia definición de radián. Puesto que, enuna circunferencia arco y ángulo estánrelacionados a través de la expresión:

.Rs, resultará que:

R.ωvΔt

.ΔRΔtΔs

Esta ecuación no considera el sentido delrecorrido; si se tiene en cuenta, tan sólo existendos posibilidades de giro, el levógiro (sentidohorario), o el dextrógiro (antihorario), y adopta un carácter vectorial, cuyascaracterísticas vendrán dadas por:

R

v, donde R

es el vector radial de origen el

centro de la circunferencia de giro y final elpunto de la circunferencia en el que seencuentra el móvil. Como podemosapreciar, es perpendicular al plano sobre elque gira el cuerpo, y su sentido vendrá dado porla regla del sacacorchos o de la mano derecha.

Para el caso de un MCUA, existe otra magnitud, la aceleración angular,

dtd ,

cuya dirección es perpendicular al plano de la trayectoria, como puedeobservarse en la figura 3.3 . Su unidad es el rad/s2

No nos queda sino indicar las ecuaciones propias de movimientos circulares. Enesta ocasión las presentaremos junto a sus análogas correspondientes almovimiento rectilíneo

tm

dtd

tLimt

0

72. Fundamentos de Dinámica

El estado dinámico de un cuerpo queda definido en el momento en el que la masade ese cuerpo y su velocidad quedan relacionadas. La magnitud física que pone demanifiesto tal relación se conoce como CANTIDAD DE MOVIMIENTO o MOMENTOLINEAL, magnitud vectorial definida como:

vm.p

Esta magnitud sólo varía (para un determinado cuerpo) si existe una interacción

con otro u otros cuerpos. La intensidad de tal interacción tendrá mayor o menorintensidad según la rapidez con la que varíe la cantidad de movimiento.Como ya se ha apuntado, el factor que provoca un cambio en el momento lineal es lamagnitud FUERZA, de naturaleza vectorial. La relación matemática entre la fuerza y lacantidad de movimiento viene de la mano de la Segunda Ley de Newton:

ΔtpΔFm

, que, para interacciones casi instantáneas se transforma en:

tpF

tpF

0 d

d

ΔΔ

Lim

t

, lo que constituye la Ecuación Fundamental de la DinámicaDesarrollando la expresión anterior,

ttttpF

d

dmv

d

vd

d

)vd(m.

d

d .m

En el caso en el que la masa sea un valor constante (como sucede en la mayoríade los casos):

amm

.. Ft

Fd

vdExpresión habitual de la 2ª Ley de Newton

Leyes de la DinámicaComo ya hemos estudiado en cursos anteriores, la Dinámica de una partícula sefundamenta en 3 enunciados conocidos como Leyes de la Dinámica deTraslación (o Leyes de Newton). Estos son:

a) Primera Ley de Newton, o “Ley de la Inercia”“Si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna o la resultante de estasresulta ser nula (se trata de un sistema aislado), su momento linealpermanecerá constante”.De esta definición se desprende que tal cuerpo se hallará en reposo obien se moverá con movimiento rectilíneo y uniforme (MRU), siempre,desde luego, que su masa permanezca constante.

ctevctep0tpF

d

d

b) Segunda Ley , o “Ley Fundamental”De la que ya hemos hablado anteriormente. “La aceleración de uncuerpo de masa m es directamente proporcional a la fuerza neta, einversamente proporcional a la masa del cuerpo”:

mFF

tF

aamm ..

d

vd

8c) Tercera Ley, o “Ley de Acción y Reacción”

Ya se ha indicado que cuando un cuerpo experimenta un cambio ensu cantidad de movimiento, esto indica la existencia de una interaccióncon otro cuerpo; este último, a su vez, experimentará asimismo uncambio en su momento lineal debido a la existencia del primero.Supongamos un sistema compuesto por 2 partículas. La cantidad demovimiento correspondiente al sistema antes de la interacción será:

221121 vmvmppp

Tras la interacción, ambos cuerpos habrán modificado su estado demovimiento. En ese momento, la nueva cantidad de movimiento delsistema vendrá dada por:

221121 ´vm´vm´p´p´p

Sucede entonces que, en ausencia de interacciones externas(SISTEMA AISLADO), la cantidad de movimiento es una magnitudque permanece constante:

21221122221111

22112211221121

221121

ppvmvmvm´vmvm´vm

´vm´vmvmvm´pp´vm´vm´p´p´pvmvmppp

ΔΔΔΔ

..

Es decir, “en un sistema aislado constituido por dos partículas, lavariación de la cantidad de movimiento de una de las partículas es igualy de sentido contrario a la variación de la cantidad de movimiento de laotra”.

Dicho de otro modo, la interacción entre partículas se producemediante un intercambio de momento lineal.

Pero, puesto que toda interacción se produce en un intervalo detiempo, podemos dividir por t :

21122121 pppp

FFdtdtt

dd

t

(La fuerza que actúa sobre1 debido a 2 es igual en módulo, dirección perosentido contrario a la fuerza que actúa sobre2 debido a 1)

Esta expresión constituye la LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN.

Fuerza de RozamientoEs la fuerza que se opone al deslizamiento entre dos superficies. Siempre esparalela a la superficie de contacto y tiene sentido contrario al movimiento. Al tirarde un cuerpo colocado sobre una superficie se observa que sólo se desliza si lafuerza aplicada tiene un determinado valor.Esta observación nos obliga a diferenciar dos situaciones: una cuando no haymovimiento y otra cuando las superficies se deslizan.Cuando no hay movimiento se observa que el módulo de la fuerza de rozamientotiene cualquier valor desde cero hasta un valor máximo. Es decir, si no haymovimiento la fuerza de rozamiento es, en módulo, igual a la fuerza aplicada.

Importante!!!Debe tenerse muy en cuenta que la acción y la reacciónACTÚAN SOBRE CUERPOS DIFERENTES, y por lotanto NO SE ANULAN, y sus efectos dependen en cadacaso de LA MASA DEL CUERPO.

9A esta fuerza de rozamiento se le denomina fuerza de rozamiento estático

)( reF

y toma su máximo valor cuando el movimiento es inminente.

Al iniciarse el movimiento se observa que lafuerza de rozamiento disminuye, permaneciendoconstante durante todo el movimiento.Esta fuerza de rozamiento no depende del áreade contacto, y su módulo es proporcional al de lafuerza normal a las superficies en contactoA la fuerza de rozamiento una vez puesto elmóvil en movimiento se le denomina fuerza derozamiento dinámico )( rdF

A la constante de proporcionalidad entre lafuerza de rozamiento dinámico y la fuerzanormal, se le denomina coeficiente de

rozamiento dinámico d , y a la constante de proporcionalidad entre la fuerzade rozamiento estático máxima y la normal, se le denomina coeficiente de

rozamiento estático e ,. Son dos números sin dimensiones y dependenexclusivamente de la naturaleza de la superficie de contacto.El módulo de la fuerza de rozamiento estático es: NFF erere .

El módulo de la fuerza de rozamiento dinámico es: NFF drdrd .

En general se cumple: ed

Sistemas de ReferenciaEn Dinámica resulta imperativa la elección de un sistema de referencia a partirdel cual realizar nuestras observaciones.Un primer problema se plantea si se intenta elegir un sistema de referencia quese encuentre en reposo absoluto, puesto que, como ya apuntó Galileo: “Esimposible conocer, a través de experimentos físicos o químicos, si un sistema seencuentra en reposo o dotado de MRU.”Por lo tanto, para dos observadores en cuyo movimiento relativo sea del tipoanteriormente señalado (MRU), las leyes de la Física serán iguales.En este sentido se denomina Sistema de Referencia Inercial a aquellossistemas que se encuentren en reposo o dotados de MRU. En estos sistemas secumplen perfectamente las leyes de Newton.Del mismo modo, los Sistemas de Referencia No Inerciales serán aquellosotros que estén dotados de aceleración; en ellos no son válidas las leyes de laDinámica, y para poder aplicarlas, deben introducirse las llamadas FUERZAS DEINERCIA, que no son producto de ninguna interacción, sino que son un artilugiopara poder aplicar las leyes de Newton en este tipo de sistema. (Por ejemplo, laintroducción de la fuerza centrífuga). Sin embargo, al observador no inercia leparecen fuerzas reales (poner como ejemplo la propia fuerza centrífuga). Loscálculos, es este tipo de sistemas, se realizan aplicando la fórmula:

)D´Alembertde(Principio0inerciareales FF

10 Fuerza CentrípetaCuando un móvil describe un movimiento curvilíneo, su velocidad se modificacontinuamente en dirección y sentido.Si se trata de un movimiento circular uniforme, el módulo de la velocidadpermanecerá constante, por lo que la aceleración tangencial será nula.En cambio, existe, como sabemos, aceleración normal no nula, cuyo valor vendrádado por:

N

2

NN u.Rvaa

La partícula estará, pues, sometida a la acción de una fuerza dirigida hacia elcentro de la trayectoria, la fuerza normal, centrípeta o central:

N2

N

2

NN u.R.m.ωu.Rvm.am.F

, donde v es la velocidad lineal de la partícula, y ω la velocidad angular, R elradio de curvatura y uN el vector unitario perpendicular a la trayectoria y dirigidohacia el interior de la misma.Como ya sabemos del curso anterior, esta fuerza es la causante de cualquiermovimiento curvilíneo

Impulso MecánicoAl integrar la ecuación fundamental de la dinámica entre dos instantes,tendremos:

p

p

d

dd

d

0

00

p

t

0

0p

t

t

p.dtF

0ts(Supongamo,p.dtFtpF

)

El primer miembro se conoce como IMPULSO LINEAL ( I

), y expresa el efectorealizado por una fuerza que actúa durante un intervalo temporal.

)v-vm(

)v-vm(pp-ppp.dtF

0

00p

t

00

0

I

I pp

pd

Es decir:

“El impulso que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación de la cantidad demovimiento sufrida por dicho cuerpo”

Fuerzas ElásticasLos sólidos elásticos se deforman al ser sometidos a fuerzas. El valor de taldeformación resulta ser proporcional a la fuerza aplicada (hasta un determinadolímite, a partir del cual el cuerpo deja de ser elástico y no recupera su formaoriginal).La fuerza necesaria para deformar un muelle de longitud 0x hasta otra x tendráun valor dado por la expresión:

ixxkFaplicada

)..( 0

Y el resorte se opone a esa deformación realizando una fuerza igual a:ixxkFelástica

)..( 0 (de sentido opuesto a la causa deformadora)

11, ecuación conocida como LEY DE HOOKE, donde k es la constanterecuperadora del muelle.

Dinámica de RotaciónEn la Naturaleza, además de movimientos puramente de traslación, se producenotros en los que están implicados giros.

Para describir el movimiento de una partícula que giraen un plano alrededor de un punto fijo del mismo, serecurre a la introducción de una magnitud que recibe elnombre de momento angular, llamada tambiénmomento cinético o momento de la cantidad demovimiento. Esta magnitud desempeña el mismo papelen el movimiento de rotación que el que desempeña lacantidad de movimiento o momento lineal en elmovimiento de traslación.

“Se define el momento angular L

de una partículade masa m animada con una velocidad lineal v

y,por tanto, con una cantidad de movimiento p

,respecto de un punto O, al momento de lacantidad de movimiento”.Matemáticamente:

vmrprL

Es un vector perpendicular al plano determinadopor r

y v , cuyo sentido viene indicado por la regla

del tornillo al voltear r sobre v por el camino máscorto. Su módulo es:

r.m.v.sen θL

Siendo el ángulo formado por el vector deposición y el vector velocidad. En general, elmomento angular de la partícula cambia enmagnitud y dirección durante el movimiento. Sinembargo, si la partícula se mueve en un plano y elpunto O está situado en él, la dirección del

momento angular permanece invariante; éste es el caso del movimiento circularcuando O es el centro del círculo.

En este último caso, considerando a la velocidad angular como una magnitudvectorial perpendicular al plano de la circunferencia que describe la partícula yque, por tanto, se cumple que rωv

, el momento angular se puede expresar

como:ωω

.( 2mr)rmrvmrL

El vector posición r y la cantidad de movimiento de la partícula p

pueden variarcon el tiempo y, por tanto, también lo puede hacer el momento angular L

.

Veamos la variación del momento angular con respecto al tiempo:

MFrdtLd

dtpd

rdtpd

rpvdtpd

rpdtrd

dtprd

dtLd

0)(

12Por tanto, “la variación del momento angular de una partícula con respecto altiempo es igual al momento de la fuerza que actúa sobre la de ella”.En el caso en el que:

cteLdtLd

0

, y esto sucede cuando el momento de la fuerza que actúa sobre lapartícula, 0M

, es decir:

- Cuando no actúa ninguna fuerza sobre la partícula.- Cuando la fuerza es paralela al vector de posición de la partícula.- Cuando el vector posición es nulo.

La dinámica de traslación precisa, pues, junto a las magnitudes masa, cantidadde movimiento y fuerza, el radio de giro, a partir del cual surgen magnitudesnuevas (momento de inercia, momento angular y momento de una fuerza).Resumiendo:

TRASLACIÓN ROTACIÓNm Masa I Momento de inerciap Cantidad de movimiento L

Momento angularv Rapidez Rapidez angular

atg Aceleración tangencial Aceleración angularF fuerza M

Momento de una fuerzavmp

.

dtpd

F

prL

dtLd

M

Cuando una partícula está sometida a la acción de FUERZAS CENTRALES, esdecir, fuerzas que convergen en un punto o centro (como sucede con las fuerzasgravitatorias, interacciones electrostáticas,...), r y F resultan ser paralelos, por loque su producto vectorial es nulo; por lo tanto M es nulo, lo que se traduce enque L será un vector constante en módulo, dirección y sentido. La consecuenciaes que una partícula sometida tan sólo a la acción de fuerzas centralesdescribirá una trayectoria plana (como veremos en el caso del movimientoplanetario).

3. Energía Trabajo

Partiremos del caso en el que un cuerpo está sometido a la acción de unafuerza constante, y por la que se desplaza, siguiendo una trayectoriarectilínea, desde A hasta B; Se define como TRABAJO realizado por talfuerza a una magnitud escalar definida por:

cos... rFrFW BA

, donde es el ángulo que forman los vectores F

y r

.El significado físico del signo que adopte es muy claro: si el trabajo espositivo, indica que la fuerza aplicada es favorable al desplazamiento. Si elsigno es negativo, la fuerza se opondrá a dicho desplazamiento. Por último,en caso de ser nulo, fuerza y desplazamiento resultarán perpendiculares.La unidad SI de trabajo se denomina JULIO (simbolizado por J, y equivalentea 1 newton. Metro)

13En el caso en el que actúen varias fuerzas sobre el mismo cuerpo, el trabajototal será la suma algebraica de los trabajos individuales realizados por cadauna de las fuerzas que actúan.Si, por otro lado, la fuerza que actúa no es constante, o si el punto deaplicación describe una trayectoria cualquiera, dividiremos esta trayectoria endesplazamientos elementales rd

, de modo que cada uno de ellos pueda ser

considerado rectilíneo, y la fuerza sea prácticamente constante en cada unode ellos. En tales circunstancias ,dlrd

y el trabajo elemental realizado por lafuerza será:

cos..cos... dlFrdFrdFdW

, siendo el ángulo entre la fuerza y la tangente a la trayectoria en cada unode sus puntos.Para un desplazamiento entre los puntos A y B,

1

0

1

0

1

0

z

z

z

y

y

y

x

x

x

B

A

BA dzFdyFdxFrdFW ....

, aunque, en el caso de que la fuerza y el ángulo que forma con eldesplazamiento sean constantes la primera integral queda como:

2

1

cos... drFrdFWB

A

BA

Energía CinéticaPartamos de un cuerpo de masa m, que pasa por A y se mueve inicialmentecon una velocidad Av

. Instantes posteriores, y por acción de una fuerza F sedesplaza por un punto B con una velocidad Bv

.El trabajo realizado por esa fuerza para llevar la m de A hasta B será:

KAKBK

B

A

EEE

,,2

A2

B

2B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

ABA

mv21mv

21

2mvvd..vm.

vd..vm.vd.dt

rdm.r.ddtvdm.r.dam.r.dFW

Podrá definirse la energía cinética (de un cuerpo), a partir del desarrolloanterior, como la capacidad de ese sistema para realizar un trabajo debido asu velocidad. Su unidad de medida, lógicamente, será el Julio.

Ejemplo: Calcular el trabajo realizado por la fuerza kzjyixF

23 aldesplazar una partícula desde A(0,0,0) hasta B(3,-1,2)

Jzyx

zdzydyxdxdzdydxkzjyixrdFWB

A

B

A

BA

17000421

227

223

2323

20

21

0

23

0

2

2

0

1

0

3

0

)()(

),,)((.

“El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpoes igual a la variación de la energía cinética del mismo”

(Teorema de la Energía Cinética)

14 Fuerzas Conservativas

Supongamos que queremos elevar un cuerpo de masa m desde un punto A(situado a una altura hA) hasta otro B(situado a una altura hB).Para elevar el cuerpo (Fig. superior),deberemos realizar una fuerza igual alpeso, pero de sentido contrario a él( jm.g.F

). La elevación se producirá a

velocidad constante (en un procesoinfinitamente lento), puesto que alser PF

la fuerza neta es nula y la

velocidad del movimiento, como acabamosde indicar, constante. Es decir, durante laelevación no se produce cambio en laenergía cinética.El trabajo realizado por el peso, durante laascensión, vendrá dado por:

B

A

B

A

B

A

PESO drgmrdgmrdPW cos......

(Ver figura)Pero si miramos el dibujo,

)cos(cos 180, y cos.)cos(. drdrdh 180Por lo tanto, siguiendo con la integral:

hgmhhgmdhgmW AB

B

A

PESO ..).(... (indicando el signo negativo que el peso y

el desplazamiento son de distinto signo)

Cuando el cuerpo cae en un procesoinfinitamente lento, aplicando hacia arriba lafuerza estrictamente necesaria para que elcuerpo no acelere en su caída (velocidadconstante), el trabajo realizado por el pesoserá:

A

B

A

B

A

B

PESO drgmrdgmrdPW cos......

(Ver figura inferior)Pero si miramos de nuevo el dibujo

central,, y cos.drdh

hgmhhgmdhgmW BA

A

B

PESO ..).(... , positivo en este caso por ser el peso y el

desplazamiento del mismo signo. Sumandoahora el trabajo realizado en todo elciclo,

150 mghmghWW ABBA

Como vemos, el trabajo resulta ser nulo, para un ciclo completo. A partir deeste hecho, se define como:

Vayamos a la figura inferior de la página anterior. Tomemos 2 caminos paracompletar el ciclo:a) Desde A hasta B siguiendo el camino a, y vuelta a A siguiendo cb) Desde A hasta B siguiendo el camino b, y vuelta a A siguiendo cPodemos deducir que:

“En presencia de fuerzas conservativas, el trabajo desde A a B esel mismo independientemente del camino realizado (a o b); tansólo depende de la posición inicial y final.”

Energía Potencial GravitatoriaComo hemos visto anteriormente, el trabajo realizado por el peso para llevarun cuerpo desde un punto A hasta otro B viene dado por:

ABAB

B

A

B

A

PESO mghmghhhmgrdgmrdPW )(...

Cada término mgh se conoce con el nombre de ENERGÍA POTENCIALDe este modo, a las fuerzas conservativas se les puede asignar una función(la energía potencial), que depende de la posición inicial y final.De este modo, el trabajo realizado por una fuerza conservativa puedecuantificarse como la variación en la energía potencial entre los puntos inicialy final, sin tener en cuenta el recorrido realizado. De modo que, el trabajorealizado por una fuerza conservativa será igual a la variación de la energíapotencial cambiada de signo:

pPESO EW

Vamos a concluir diciendo que las fuerzas que no cumplen estascaracterísticas son fuerzas no conservativas, como la fuerza derozamiento, cuyo trabajo si es función de la trayectoria recorrida.

Energía Potencial ElásticaComo ya se ha comentado más arriba, el estiramiento de un resorte vieneexpresado por la LEY DE HOOKE (hasta que se rompe el comportamientoelástico del resorte).Si un cuerpo de masa m está unido a un resorte de constante recuperadorak, al estirar el muelle de forma infinitamente lenta, de modo que no semodifique su velocidad, la fuerza recuperadora tiende a llevar al muelle a suposición de equilibrio. Si consideramos el eje X como eje de desplazamiento,

FUERZA CONSERVATIVA: aquella fuerza que realizada alo largo de un ciclo cerrado da como resultado un trabajonulo.

16y la posición inicial de la masa como origen de coordenadas, el valor de lafuerza elástica será:

ixKFelástica

..

, siendo x el alargamiento del muelle, y correspondiendo el signo negativo alhecho de ser de sentido contrario fuerza elástica y desplazamiento.El trabajo desarrollado por esta fuerza será:

222

21

21

21

BA

B

A

B

A

B

A

B

A

elástica KxKxKxdxKxxdxKrdFW

).().(.

, negativo, puesto que el desplazamiento y la fuerza recuperadoratienen distinto sentido.Al volver el muelle a su posición de equilibrio, el trabajo que realiza ahora lafuerza elástica vendrá dado por:

222

21

21

21

AB

A

B

A

B

A

B

A

B

elástica KxKxKxdxKxxdxKrdFW

).().(.

, positivo, por ser en este caso del mismo sentido desplazamiento y fuerzarecuperadora.Al sumar el trabajo realizado por la fuerza elástica para el ciclo completo, seobserva que su valor es cero.

Cada uno de los términos2

21Kx

se denomina Energía Potencial Elástica,dependiente tan sólo de la posición del resorte respecto a la de equilibrio (ytambién de la constante del muelle).Durante el estiramiento:

elasticapBAelástica EKxKxW , 22

21

21

En tanto que en la recuperación:

elasticapABelástica EKxKxW , 22

21

21

Podemos concluir indicando que “las fuerzas elásticas son de naturalezaconservativa”

17

Teorema de Conservación de la Energía MecánicaImaginemos una fuerza conservativa que actúa sobre un cuerpo,desplazándolo desde A hasta B.- Según el teorema de la Energía Cinética:

CBA EW

- Pero, por otro lado, por tratarse de fuerzas conservativas:PBA EW

Por tratarse de la misma situación, resultará que:

APACBPBCAABB

ABABPC

EEEEmghmvmghmv

mghmghmvmvEE

,,,,

)(

22

22

21

21

21

21

La suma PC EE recibe el nombre de ENERGÍA MECÁNICA.Así:

“En presencia únicamente de fuerzas conservativas, la energíamecánica de un sistema es una magnitud que permanece constante”

Matemáticamente:0 MECPCMEC EcteEEE

En el caso en el que además aparezca alguna fuerza no conservativa, comoocurre cuando surgen fuerzas de rozamiento:

CVACONSERVATIFUERZAVACONSERVATIFUERZATOTAL EWWW NO

, según el teorema de la energía cinéticaPero, además:

PVACONSERVATIFUERZA EW

Con lo que nos queda, para el trabajo total:

PCVACONSERVATIFUERZA

CVACONSERVATIFUERZAPTOTAL

EEW

EWEW

NO

NO

Es decir:“El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (fuerza no conservativa)

transforma en calor parte de la energía inicial del cuerpo”.

PotenciaEs la magnitud que pone de manifiesto la velocidad con la que seintercambia energía, ya sea en forma de calor o bien en forma de trabajo.Matemáticamente:

mm v.FΔt

r.ΔFΔtWP

, expresión que indica la potencia mediaLa unidad de esta magnitud en SI se conoce con el nombre de watt (w),equivalente a 1 Julio/segundoLa potencia instantánea, por su lado, será igual a:

v.Ftr.F

tdWPm

d

d

dPor último, recordar que el rendimiento de una máquina es la relaciónexistente entre el trabajo útil y la energía consumida por el aparato (en tantopor uno o en tanto por ciento):

18

100consumidaEnergía

WconsumidaEnergía

Wη

util

util

.

%η

ChoquesSupongamos dos cuerpos de masas y velocidades respectivas Av

ymA ,

Bv

ymB que sufren una interacción.Si tratamos al sistema formado por las dos masas como un sistema aislado,en el que no existen fuerzas externas, la variación del momento lineal delsistema como consecuencia de la interacción deberá ser nula (puesto que lamagnitud se conserva). En tal caso.

B1,BA1,AB0,BA0,Afinalinicial v.mv.mv.mv.mpp

Existen 3 posibilidades:a) Choque elástico: no se produce deformación de las masas, con lo que la

energía cinética del sistema se conserva.b) Choque no elástico: se produce deformación de las masas, con lo que la

energía cinética del sistema no se conservac) Choque inelástico: es un tipo de choque no elástico en el que las masas

quedan adheridas tras el choque.