Tema2 0

Contenidos del cursoContenidos del curso

Tema 0: IntroducciónBLOQUE 1

Tema 1: Capitalización y descuento simple

Tema 2: Capitalización y descuento compuesto

BLOQUE 2

Tema 3: Rentas

BLOQUE 3

Tema 4: Préstamos

Tema 5: Empréstitos

SUMARIO1. Concepto de interés compuesto2. Los tantos

1. Relación entre los tantos2. Conversión de tantos anuales en periodales3. Distinción entre tantos efectivos y nominales

3. La TAE4. Comparación entre el interés simple y el interés

compuesto5. Descuento compuesto6. Tanto único equivalente7. Criterios de selección de inversiones: El VAN y el

TIR

1-Concepto de interés compuesto

Un banco nos presta a 800€ durante 3 años cobrándonos

un interés del 6%, que se va acumulando al principal cada

año.

¿Cuánto nos pagará?

Operación financiera

Los intereses producen intereses, pasan a engrosar

el capital principal en cada periodo

Solución

Gráfica financiera

Capital: C=800interés: i=6%Tiempo: t=3 añosM1=800*(1+0,06)M2=800*(1+0,06)*(1+0,06)=800*(1+0,06)2

M3=M=800*(1+0,06)2*(1+0,06)=800*(1+0,06)3=952,81

800

0 1 2 3

¿Vf=M?

Otra pregunta:¿cuántos intereses habrá pagado?

Gráfica financiera

Capital: C=800Montante: M=952,81Intereses=M-C=952,81-800=152,8128

800

0 1 2 3

M

Generalizando....

El Montante en capitalización compuesta:M=C(1+i)t

El Interés en capitalización compuestaI=M-C=C(1+i)t-C=C[(1+i)t-1]

La capitalización compuesta es un Ley Financiera a en la que los intereses se acumulan al capital: Los intereses producen nuevos intereses cada periodo

Observaciones

Es necesario que el tiempo y el rédito vengan dados en la misma unidad temporal y de no ser así deben ser trasladados:

El tiempo lo puedo trasladar de la forma habitual: 11 meses 11/12 añosEl interés no puede ser trasladado de la forma habitual: Un interés mensual del 1% NO ESun interés anual del 12%

Ejercicio 17 (Carlos Gimeno)

Obtener el montante de un capital de 125.000 € invertido durante 10 años y 5 meses a una tasa de interés efectivo compuesto del 6,32%

Solución

Gráfica financiera

Capital: C=125.000interés: i=6,32%Tiempo: t=10 años y 5 meses (5/12 años)M1=125.000*(1+0,0632)M2=125.000*(1+0,0632)*(1+0,0632)=125.000*(1+0,0632)2................................

M10=M=125.000*(1+0,0632)10+(5/12)=236.673,30€

125.000

0 1 2.............10+5/12

¿Vf=M?

Observaciones

Si cada periodo tiene un tipo de interés distinto habrá que calcular el montante capitalizando periodo por periodo

M=800*(1+0,02)*(1+0,03)*(1+0,04)==874,0992

800

0 1 2 3i=2% i=3% i=4%

¿Vf=M?

Observaciones

Diremos que:Dos capitalesUn capital con un conjunto de capitalesDos conjuntos de capitales

...son equivalentes en un momento t si sus valores en ese momento coinciden

2-Los tantos

i=efectivo anual

i(m)=efectivo periodal (por periodo)i(12)= efectivo mensuali(4)=efectivo trimestrali(3)=efectivo cuatrimestrali(2)=efectivo semestrali(6)=efectivo bimensual

j(m)=nominal, sólo me sirve de referencia, SIEMPRE ES ANUAL

2.1-Relación entre los tantos

i(m)*m=j(m) por tanto =i(m) i(2)*2=j(2)Si tengo el nominal y quiero obtener un efectivo periodal puedo dividir el nominal para el número de periodos.

i(m)*m≠i por tanto i(m) ≠Si tengo el efectivo anual y quiero obtener el efectivo periodal NO PUEDO dividir el efectivo anual para el número de periodos

( )j mm

im

2.2- Conversión i en i(m)

Para 12 meses:M=C*(1+i(12))12

Para un año M=C*(1+i)1

Como es lo mismo un año que 12 mesesC*(1+i(12))12=C*(1+i)1

(1+i(12))12=1+iEn general: 1+i=(1+i(m))m

Como i(m)= 1+i=(1+ )m

A partir de aquí despejo lo que me haga falta

( )j mm

( )j mm

EJEMPLO

Se plantean dos alternativas de inversión: la primera genera intereses semestrales a un tanto i1(2)=6% la segunda genera intereses trimestrales a un tanto i2(4)=3,75%.

¿Qué valor debería tener i1(2) para representar la misma rentabilidad efectiva que la segunda alternativa?

Solución

i1(2)=6% 1+i=(1+i(m))m

--------> i1=(1+0,06)2-1=0,1236=12,36%

i2(4)=3,75%. 1+i=(1+i(m))m

----> i2=(1+0,0375)4-1=0,15865=15,865%

1+i=(1+i(m))m 0,15865=(1+i2(2))2-1

-----> i2(2)=(1,15865)1/2-1

i2(2)=7,64%

2.3-Cómo distinguir entre j(m), i , i(m)

El interés nominal (j(m)) me lo pueden enunciar de las siguientes formas:

Interés nominalInterés convertibleInterés devengableInterés capitalizable...con abono de intereses cada...Capitalización periodal (semestral, bimensual...)

El interés efectivo anual (i) me lo pueden enunciar de las siguientes formas:

InterésInterés efectivoTasa efectivaCapitalización anual

Cómo distinguir entre j(m), i , i(m)

El interés efectivo periodal (i(m)) me lo pueden enunciar de las siguientes formas:

Tasa periodal (semestral, mensual...)Interés periodal (bimensual, trimestral...)

Ejercicio 1

Se deben 100.000€ pagaderos en 2 años y 300.000€ pagaderos en 5 años. El acreedor consiente en la liquidación de estas deudas mediante un pago único al cabo de tres años, valorando la operación a un 6% convertible semestralmente.

Determinar el importe de este pago único.

Solución al ejercicio 1

100.000 (X) 300.000

0 1 2 3 4 5 j(2)=0,06i(2)=0,03

X=100.000*(1+0,03)1*2+300.000*(1+0,03)-2*2=106.090+266.546,1143X=372.636,1143€

Ejercicio 2

Una persona tiene las siguientes deudas:50.000€ con vencimiento dentro de 1 año sin intereses65.000€ con intereses al 4% convertible cuatrimestralmente, con vencimiento dentro de 5 años.

¿Cuál es el importe del pago único que se debería hacer dentro de 3 años, si el tanto aplicable es el 7% convertible trimestralmente?


X=50.000*(1+ )2*4+65.000*(1+ )5*3*(1+ )-2*4

X=126.455,8209€

0,074

65.000 50.000 X

0 1 2 3 4 5

0,043

0,074

Ejercicio 3

Una persona adquiere un bien por 15.000€. Inicialmente desembolsa 3.750€ y al cabo de un año y medio entrega 6.000€.

¿Cuál será el pago final que se deberá hacer al cabo de 3 años suponiendo un interés del 4,5% efectivo semestral?.


15.000-3.750=6.000*(1+0,045)-3+X*(1+0,045)-6

X=7.803,43€

(15.000-3.750) 6000 X

0 1 1,5...............................3 i(2)=0,045

Ejercicio 4

Se invierte un capital X en una entidad financiera que abona un interés del 9,75% nominal trimestral durante 3 años. Al mismo tiempo otro capital inferior en 25.000€ a X es invertido en otra entidad financiera generando un interés nominal bimensual del 3%. Esta segunda inversión se mantendrá 4,5 años.

¿Qué importes se han invertido si a los dos años el interés generado por el primer capital es superior al generado por el segundo en 100.000€?


X Valorado en 2

X2=X(1+ )2*4=1,21247214*X

Ix=1,21247214*X-X=0,21247214*X

y Valorado en 2

Y2=(X-25.000)*(1+ )2*6=(X-25.000)*1,06167781

Iy=(X-25.000)*1,06167781-(X-25.000)=(X-25.000)*0,06167781

Ix=Iy+100.000

0,21247214*X=(X-25.000)*0,06167781+100.000

X=652.929,58Y=627.929,58

0,09754

Xy

0 1 2

X2

y2

0,036

EJERCICIOS A RESOLVER

Manual de “Gestión Financiera”(tema 3)

1 a 1012 a 1824 a 283234, 35

3- LA TAE

Se denomina TAE (Tasa anual equivalente), al total producido por 1 € que se invierte un año, después de descontados gastos y comisiones de la operación.

Si no existen gastos ni comisiones i=TAE

EJEMPLO 1

Invirtiendo hoy 1.000.000 €, dentro de 4 años me devuelven 1.500.000 €.

¿Cúal es la TAE de la operación?

Solución

Gráfica financiera

M4=1.000.000*(1+i)4=1.500.000

(1+i)4= =1,5

i=1,51/4-1=0,1066819=10,67%=TAE

1.000.000

0 1 2 3 4

1.500.000

1.500.0001.000.000

EJEMPLO 2

invierto hoy y durante 4 años, 1.000.000 €, siendo el interés que me produce la inversión del 5% efectivo anual. La operación la realizo a través de una entidad financiera que me cobra por cada gestión un 1%. ¿Cuál es la TAE de la operación?

Solución

Gráfica financiera

M4=1.000.000*(1+0,05)4=1.215506

1.000.000*1,01*(1+i)4= 1.215.506*0,99

(1+i)4=1,1914366 i=TAE=1,19143661/4-1=4,47%

1.000.000

0 1 2 3 4

¿M?

1.000.000*1,01 1.215.506*0,99

0 1 2 3 4

Ejercicio 1

Determinar la TAE de las siguientes operaciones:A presta a B, 15.000€ y se compromete a devolver 18.000€ al cabo de un año y medioA presta a B, 15.000€, A cobra una comisión de por la operación de 100€ y B devolverá18.000€ al cabo de 485 díasA presta a B 15.000€ y éste devolverá8.000€ al cabo de un año y 9.150€ al cabo de 2.


18.000=15.000(1+i)1,5

i=TAE=12,9243%

15.000 18.000

0 1 1,5 años


14.900(1+i)485/365=18.000

i=TAE=15,285912%

15.000-100 18.000

0 1............................... 485 días


15.000=8.000*(1+i)-1+9.150*(1+i)-2

despejando resulta ecuación de segundo grado, tomamos la solución +i=TAE=9,196%

15.000 8.000 9.150

0 1 2

Nomenclaturas

TAE: tasa (o tanto) anual efectiva, tasa (o tanto) anual equivalente

TAEC: tasa anual efectiva de coste (para operaciones de pasivo)TAER: tasa anual efectiva de rendimiento de una inversión (para operaciones de activo)

En las operaciones simples:TASC: Tasa anual simple de coste de negociación

EJEMPLO 1 (manual gestión financiera)

Un efecto de 30.000€, que vence dentro de 90 días, se presenta hoy a negociar en una institución bancaria con las siguientes condiciones:

Tanto de negociación 10%Comisión 0,7% mínimo 3€

ObtenerEl líquido de la negociaciónEl TASC de la operación

Solución

Gráfica financiera

VL=30.000-30.000*0,1* - *30.000=29.040€

TASC

30.000=29.040*(1+r* )

r=TASC=0,1322

90360

¿VL?

0 1 2 3 4

30.000

71.000

90360

29.040

0 1 2 3 4

30.000

EJEMPLO 2 (manual gestión financiera)

Un efecto de 30.000€, que vence dentro de 90 días, se presenta hoy a negociar en una institución bancaria con las siguientes condiciones:

Tanto de negociación 10%Comisión 0,7% mínimo 3€

ObtenerEl líquido de la negociaciónLa TAEC de la operación

Solución

Gráfica financiera

VL=30.000-30.000*0,1* - *30.000=29.040€

TAEC

30.000=29.040*(1+i)90/360

i=TAEC=0,1389

90360

¿VL?

0 1 2 3 4

30.000

71.000

29.040

0 1 2 3 4

30.000



13 a) c) y d)(tema 3)

38 a 4049 a 53

4- Interés simple-Interés compuesto

M=1

t=1

Simple

Compuesto

Para periodos inferiores al año capitaliza mas la ley simple que la compuesta: t<1 simple

Para periodos superiores al año capitaliza mas la ley compuesta que la simple: t>1 compuesta

Para periodos de un año capitalizan lo mismo

Interés simple-Interés compuesto

Para periodos que incluyan años, meses y días: 2 años, tres meses y 20 días:

Convenio LinealLos periodos completos los capitalizo en compuesto (2 años)Los periodos restantes en simple

Convenio exponencialCapitalizo todo en compuestoEn la práctica es el que mas se usa

Ejemplo

Invertimos un capital de 500.000 € en una operación que devenga el 8% trimestral (i(4))durante 3 años, 2 meses y 15 días.

¿Cuál será el montante obtenido?

Solución Convenio lineal

Gráfica financiera

Tiempo completo: 12 trimestres

Resto trimestres

M=500.000*(1+0,08)12*(1+0,08* )=1.343.024 €

7590

500.000

0 1 2 3 3 años, 2 meses y 15 días

M

7590

Solución Convenio exponencial

Gráfica financiera

Tiempo completo: 12 trimestres

Resto 0,83333 trimestres

M=500.000*(1+0,08)12,833=1.342.481 €

Ejercicio 19 T3 Gestión financiera

500.000

0 1 2 3 3 años, 2 meses y 15 días

M

5- Descuento Compuesto

Por cuestiones operativas, dado que las operaciones comerciales suelen ser a corto o medio plazo, el que se utiliza es el descuento compuesto racionalEs la operación matemáticamente inversa a

la capitalización compuesta

C=E*(1+i)t E=C*(1+i)-t

E C

0 1 2 3

¿Si tuviéramos d?

De forma análoga a la de la capitalización compuesta (el descuento de cada periodo se acumula al siguiente) podemos comprobar que:

E=C*(1-d)t

Por tanto igualando descuento comercial y racional:

C*(1-d)t=C*(1+i)-t i= 1d

d−

6-TANTO ÚNICO EQUIVALENTE

Hemos obtenido 600.000 € de una herencia y realizamos las siguientes inversiones:

100.000 € hoy y durante 4 años al 2%200.000 € el segundo año y durante 3 años al 3%300.000 € el tercer año y durante 2 años al 4%

¿A que tanto % deberíamos invertir los 600.000 €para que nos proporcione el mismo rendimiento?

Solución

Gráfica financiera

M=100.000*(1+0,02)4+200.000*(1+0,03)3+300.000*(1+0,04)2==651.268,62

651.268,62=600.000*(1+i)4 i=0,0207096=2,2%

100.000 200.000 300.000

0 1 2 3 4

M

600.000 651.268,62

0 1 2 3 4

Generalizando...

Se denomina tanto medio al tanto al que hay que invertir un capital suma matemática de otros capitales de forma que su inversión nos proporcione el mismo rendimiento que la suma de los rendimientos de los capitales invertidos independientemente a distintos tipos de interés



2830, 3136

Manual de “Valoración de las operaciones financieras”

(tema 2)5 a 812 a 1418

7-Criterios de selección de inversiones: El VAN y el TIR

Una inversión supone hoy un desembolso único de 5.978,07 € y un cobro de 8.000 €dentro de 5 años. Si el tanto de valoración es el 4% compuesto anual, averiguar:

El valor actual de cobros y pagos(ejemplo del manual de Gestión financiera)

Solución

Gráfica financiera

V.A(pagos) = 5.978,07

V.A(cobros) =8.000*(1+0,04)-4= 6.575,42

Como VA(cobros)>VA(pagos) Diremos que el Valor Actual Neto (VAN)

de esta inversión es positivo

5.978,07

0 1 2............................5

8.000

0 1 2 3 4

Generalizando....

Se llama Valor Actual Neto (VAN) de una inversión a la diferencia entre los cobros actualizados que genera y los pagos actualizados que exige:

VAN= VA(cobros)-VA(pagos)Para que una inversión sea rentable es necesario que el valor actualizado de los cobros que genera sea superior al valor actualizado de los pagos que exige o sea que su VAN>0

Generalizando....

El caso límite para realiza una inversión estará en VAN=0, o sea

VA(cobros)=VA(pagos)Al tanto de interés compuesto anual que hace que los cobros actualizados se igualen a los pagos actualizados, o sea que hace que el VAN sea igual a 0 se le denomina Tanto Interno de rendimiento (TIR)

Ejemplo (manual de gestión financiera)

Una inversión supone hoy un desembolso único de 40.000 € y reportará unos cobros de 27.000 € dentro de 1 año y 20.000 dentro de 2 años. averiguar:

La tasa de interés compuesto anual a partir de la cual es rentable la inversión

Solución

Gráfica financiera

V.A(pagos) = 40.000

V.A(cobros) =27.000*(1+i)-1+ 20.000*(1+i)-2

VA(cobros)=VA(pagos)27.000*(1+i)-1+ 20.000*(1+i)-1 = 40.000--------- i=12,1%

40.000

0 1 2............................n

27.000 20.000

0 1 2............................n



3741 a 48

Concluimos...

El VAN se mide en unidades monetarias, y tiene distinto valor según el tanto de valoraciónEl TIR tiene un único valor por cada inversión y se mide en pocentajesEl TIR hace que el VAN sea igual a 0Una inversión será mas rentable cuanto Mayor sea su TIRUna inversión será rentable siempre que su TIR sea superior al tanto de mercado

Tema2 0

Education

Transcript of Tema2 0