TEMA VIII

Definición general

Clasificación

Diseño de medidas repetidas simple. Modelo estructural y componentes de variación

Diseño de medidas repetidas de Cuadrado Latino. Modelo estructural y componentes de variación

Diseño de medidas repetidas factorial. Modelo estructural y componentes de variación

DISEÑOS DE MEDIDAS REPETIDAS

ESQUEMA GENERAL

Diseño de medidas repetidas

El diseño de medidas repetidas es una extensión del diseño de bloques, en que el sujeto sustituye al bloque y actúa de control propio. Con este formato, los sujetos de la muestra reciben todos los tratamientos y repiten medidas o registros de respuesta; asimismo, la comparación de los tratamientos es intra-sujeto. ..//..

De este modo, el uso del procedimiento de medidas repetidas proporciona un control más efectivo de las fuentes de variación extrañas asociadas, por lo general, a las características individuales; es decir, se consigue una reducción de la variancia del error. ..//..

Esto es así porque, al actuar el sujeto de bloque, la variabilidad debida a las diferencias individuales es eliminada del error. De este modo, el diseño de medidas repetidas una estructura más potente que los diseños completamente aleatorizados.

Efectos de orden

Los efectos de orden (order effects) se derivan de la propia estructura del diseño de medidas repetidas, y deben ser neutralizados para que confundan los efectos de los tratamientos.

Tipos de efectos de orden

A) Efecto de período (period effect)

B) Efecto residual (carry-over effect)

Efecto de período

Los efectos de período ocurren cuando, independientemente del tratamiento aplicado, el sujeto responde al período o posición que, en la secuencia, ocupa el tratamiento (período de administración). Cabe, por lo tanto, la posibilidad de que el sujeto responda mejor al período que al tratamiento en sí mismo. Cuando esto ocurre, el efecto de período confunde la acción del tratamiento

Efecto residual

El efecto residual, conocido por error progresivo, se caracteriza por la persistencia de la acción de un tratamiento más allá del período o tiempo de aplicación. Representa tanto la progresiva acumulación tanto de los efectos facilitadores de la respuesta (efecto de la práctica, aprendizaje, etc.) como de los efectos obstaculizadores (como la fatiga mental, cansancio físico, etc.). ..//..

Cuando, como es frecuente en esos casos, se produce una persistencia del efecto del tratamiento anterior sobre el tratamiento siguiente, se corre el riesgo de que los efectos queden contaminados.

Clasificación del diseño en función de los factores

Simple (SxA)

Diseños de medidas repetidas

Factorial (SxAxB, SxAxBxC, etc.)

Clasificación del diseño en función de los grupos

De un grupo o muestra

(SxA)

Diseños

de medidas

repetidas

Multimuestra (S(A)xB)

Diseño de medidas repetidas simple de un grupo

Concepto

El diseño simple de medidas repetidas es prototípico en esa clase de experimentos, al incorporar la estrategia de comparación intra-sujeto. Lindquist (1953) se refiere a estas estructuras como diseños de Tratamientos x Sujetos, ya que los sujetos se cruzan o combinan con los tratamientos. Así mismo, es un diseño simple o unifactorial porque sólo se evalúa la acción de una variable independiente o de tratamientos. ..//..

La principal ventaja del diseño, dada su especial disposición, es la posibilidad de extraer del error una de sus fuentes de variación más importante: la variación atribuida a las diferencias individuales.

Estructura del diseño

La estructura el diseño de medidas repetidas simple es similar al formato factorial de dos variables independientes. A diferencia del diseño factorial, la variable de sujetos no es manipulada ya que se trata de un pseudo-factor. La variable de tratamientos está manipulada por del experimentador y es considerada como un auténtico factor. ..//..

Supóngase, por ejemplo, que la variable sujetos, simbolizada por S, actúa a n valores, y que el factor A -variable de tratamiento-, a a valores que son aplicados, de forma secuencial, a los sujetos de la muestra. Nótese la similitud entre este diseño y el diseño bifactorial dado que, analíticamente, la variable de sujetos actúa como si fuera un factor. La diferencia estriba sólo en la naturaleza y objetivo de las dos variables. ..//..

La variable S representa la variabilidad entre sujetos y no es, por lo tanto, un factor manipulado sino de control. La variable A es una dimensión de variación manipulada por el investigador. El propósito del experimento sigue siendo el análisis del posible impacto de la variable de tratamiento sobre la variable de respuesta. ..//..

Con este formato, no sólo se controlan las diferencias individuales, por el pseudo-factor de sujetos, sino que se minimiza la variancia del error al sustraer una de sus principales fuentes. ..//..

Así, el diseño de medidas repetidas simple es el procedimiento más eficaz para probar el efecto del tratamiento. Al controlar las diferencias interindividuales, este diseño es, también, un potente procedimiento de análisis, porque al reducir el error se aumenta la precisión y efectividad en probar los efectos de la variable de tratamiento.

Formato del diseño de medidas repetidas. Diseño de medidas repetidas simple, S x A.

Y..

TratamientosA1 A2 A3 Aj…

S1

S2

Sn

.

.

Y11 Y12 Y13 … Y1j

Y21 Y22 Y23 … Y2j

………………………………………………………………………………………………

Yn1 Yn2 Yn3 … Ynj

Medias

Su

jetos

Medias

Y1.

Y2.

.

.

Yn.

Y.1 Y.2 … Y.3 Y.j

Caso paramétrico. Ejemplo

Sea, al nivel ilustrativo, la siguiente situación experimental. Se pretende estudiar el efecto de la frecuencia de tres tonos auditivos, o variable A, de igual intensidad (65 db). Para ello, se decide registrar los tiempos de reacción, en milésimas de segundos, a la presentación de los tonos. De la variable independiente -frecuencia de tono-, se eligen tres valores: 300 cps. (condición A1), 600 cps. (condición A2) y 1200 cps. (condición A3).

Modelo de prueba de hipótesis

Paso 1. Se asume, por hipótesis de nulidad, que los efectos de los tratamientos son nulos. Es decir,

H0: μ1 = μ2 = μ3

Paso 2. Según la hipótesis experimental o hipótesis de efectividad se asume que, uno o más tratamientos o efectos es significativo (distinto de cero). En términos estadísticos se afirma que:

H1: μ1 μ2, o μ1 μ3, o μ2 μ3

H1: por lo menos una desigualdad

Paso 3. Se asume un modelo ANOVA de aditividad. El estadístico de la prueba es la F normal, a un nivel de significación de α = 0.05. El tamaño de la muestra experimental es N = n = 3.

Paso 4. El cálculo del valor empírico de F se realiza a partir de la correspondiente matriz de datos, una vez ejecutado el experimento.

DISEÑO DE MEDIDAS REPETIDAS

TRATAMIENTOS

N. Sujeto A1 A2 A3 TOTALES

1

2

3

3.8

4.4

6.9

3.6

5.0

4.5

2.5

2.3

3.0

9.90

11.70

14.40

TOTALES 15.1 13.1 7.8 36

MEDIAS 5.03 4.37 2.6 4

ANOVA de medidas repetidas

MODELO ESTRUCTURALMODELO ADITIVO

ijjiijY

Descripción y supuestos

Yij = la puntuación del i sujeto bajo la j condición experimental o tratamiento μ = la media global de todos los datos del

experimento

ηi = μi – μ = el efecto asociado al iésimo sujeto

αj = μj – μ = el efecto de jésimo nivel de la variable de tratamiento A

εij = el error experimental asociado al i sujeto bajo el j tratamiento

Asimismo, para que el modelo sea válido, se asume que:

a) ηi NID(0,ση²)

b) εij NID(0,σε²)

c) Σ = ση²11' + σε²I

Cálculo de las sumas de cuadrados

SCtotal = SCsuj. + SCtrat. + SCsuj.xtrat.

Con los datos del ejemplo, se tiene:

SCtotal = [(3.8)² + (4.4)² + ... + (3)²] – [(36)²/9] = 16.16

SCsuj. = [(9.9)²/3 + (11.7)²/3 + (14.4)²/3] – [(36)²/9] = 3.42

SCtrat. = [(15.1)²/3 + (13.1)²/3 + ... + (7.8)²/3] – [(36)²/9] = 9.49

SCsuj.xtrat. = SCtotal – SCsuj. – SCtrat = 16.16 – 3.42 – 9.49 = 3.25

CUADRO RESUMEN DEL ANOVA: DISEÑO MEDIDAS REPETIDAS

F0.95(2/4) = 6.94

an-1=816.16Total (T)

>0.05

5.86

1.71

4.75

0.81

(n-1)=2

(a-1)=2

(n-1)(a-1)=4

3.42

9.49

3.25

Suj (S)

Trat (A)

SujxTrat (SxA)

pFCMg.lSCF.V.

Modelo de prueba de hipótesis

Paso 5. Dado que el valor empírico de F es menor que el teórico, se acepta la hipótesis de nulidad relativa a la variable de sujetos y a la de tratamiento, a un nivel del riesgo del cinco por ciento.

Supuesto de uniformidad o simetría compuesta

Según esta restricción, conocida por condición de uniformidad o simetría compuesta, se asume una variancia común para las distintas medidas repetidas y una covariancia común para los diferentes pares de medidas (prueba de Box (1950)).

H0 : = S = Matriz poblacional

S = Matriz muestral

233231

232221

131221

233231

232221

131221

sss

sss

sss

233231

232221

131221

sss

sss

sss

233231

232221

131221

sss

sss

sss

. . .

S1 S2 Sn

Prueba de ajuste

Prueba de simetría combinada (Box, 1950)

H0: S = Σ

Pasos de la prueba de Box (1950)

Paso 1. Se calculan, en primer lugar, las variancias y covariancias de los datos muestrales; es decir, se obtiene la matriz S.

Cálculo de las variancias

(ΣYij)²

ΣYij² – --------- n

VarAj = ---------------------------- n – 1

Valor empírico de las variancias

81.41 – (15.1)²/3 VarA1 = ------------------------- = 2.70 3 – 1

58.21 – (13.1)²/3 VarA2 = -------------------------- = 0.50 3 – 1

20.54 – (7.8)²/3 VarA3 = ------------------------- = 0.13 3 – 1

Cálculo de las covariancias

(ΣYij)(ΣYik)

(YijYik) – ---------------- n

CovAjAk = ----------------------------------- n – 1

Valor empírico de las covariancias

66.73 – (15.1)(13.1)/3

CovAjAk = -------------------------------- = 0.396

3 – 1

40.32 – (15.1)(7.8)/3

CovAjAk = --------------------------------- = 0.53

3 – 1

34.00 – (13.1)(7.8)/3

CovAjAk = --------------------------------- = -0.03

3 – 1

Matriz de variancia/covariancia muestral

2.70 0.39 0.53

S = 0.39 0.50 -0.03

0.53 -0.03 0.13

Valores estimados

Paso 2. Se estima de σ² y σjk -elementos de la matriz S0-, asumiendo la igualdad de las variancias y covariancias. Su estimación es la media de las variancias y covariancias muestrales. _

s0 = 1/3[2.70 + 0.50 + 0.13] = 1.11 _

s00 = 1/3[0.39 + 0.53 - 0.03] = 0.29

Matriz poblacional estimada

Con estos valores se forma la matriz S0, que es la mejor estimación de Σ:

1.11 0.29 0.29

S0 = 0.29 1.11 0.29

0.29 0.29 1.11

Cálculo del valor del estadístico

Paso 3. Asumiendo n sujetos y a niveles de tratamiento o medidas repetidas, la prueba de Box (1950) requiere el cómputo del estadístico B cuya distribución es aproximada al chi-cuadrado.

B = (1 – C)M

donde

|S| M = –(n – 1) ln----------

|S0|

Valor del estadístico M

|S| = (2.7)(0.5)(.13) + (0.39)(– 0.03)(0.53) +

(0.53)(0.39)(–0.03)–(0.53)²(0.5)–(–0.03)²(2.7)

–(0.13)(0.39)² = 0.0006

|S0| = (1.11) + (0.29) + (0.29) – 3(1.11)(0.29)² =

1.1119

Con ello,

0.0006

M = –(3 – 1) ln------------- = 15.2

1.1119

Cálculo de C

Paso 4. El cálculo de C es, a(a+1)²(2a-3) C = ------------------------------

6(n-1)(a-1)(a²+a-4)

Con los datos del ejemplo, se tiene

3(4)²(6-3)C = ---------------------- = 0.75 6(2)(2)(9+3-4)

Decisión estadística

Paso 5. Por último, se computa B con distribución aproximada a chi-cuadrado con [a² + a - 4]/2 grados de libertad:

B = (1 - C)M = (1 - 075)(15.2) = 3.8 y

[3² + 3 - 4]/2 = 4 g.l.

El valor teórico de chi-cuadrado es

χ0.95 (4) = 9.49

Puesto que este valor es mayor que el valor empírico, 3.8 < 9.49, se infiere la aceptación de la hipótesis de nulidad y, por tanto, que la matriz de variancia y covariancia muestral se ajusta al patrón específico asumido en la población.

Supuesto de esfericidad

Huynh y Feldt (1970) y Rouanet y Lepine (1970) han mostrado que es suficiente el cumplimento de una condición más débil o condición de esfericidad (circularidad). Esta condición sólo requiere que las variancias de las diferencias entre todos los pares de medidas repetidas sean iguales (prueba de esfericidad de Mauchley (1940))

Supuesto de homogeneidad del ejemplo

Uniformidad Circularidad

Box(1950) Mauchley (1940)

χo2 = 3.8 χo

2 = 0.479

g.l.= [p2+p-4]/2 =4 g.l.=[p(p-1)/2]-1=2

χ20.95(4) =9.49 χ2

0.95(2) =5.99

A(H0)--------> p>0.05

Alternativas de análisis del diseño de medidas repetidas

F normal

ANOVA F conservadora

F ajustada

Diseño de

medidas

repetidas

MANOVA

Fórmulas para el cálculo de los grados de libertad de las F's.

Grados de libertad de F

F normal F conservadora

F ajustada

Numerador (a-1) 1 (a-1)

Denominador (n-1)(a-1) n-1 (n-1)(a-1)

Factores de ajuste

Epsilón de:

Greenhouse y Geisser (1959)

Huynh y Feldt (1970)

Épsilon de Greeenhouse y Geisser (1959).

= 0.72

Valores teóricos de las F's de las distintas pruebas, a un nivel de significación de 0.05.

Tipo de Grados de libertad Valor teórico de

prueba Numerador Denominador F para α = 0.05 Normal 2 4 6.94 Ajustada 1 3 10.13 Conservadora 1 2 18.51

A B C D

B C D A

C D A B

D A B C

Sujetos

S1

S2

S3

S4

O1 O2 O3 O4 Orden

Formatos del diseño de medidas repetidas: Diseño de medidas repetidas de cuadrado latino, S x A

Formatos del diseño de medidas repetidas: Diseño de medidas repetidas factorial, S x A x B.

Y111 Y11k Y121 Y12k … Y1j1 Y1jk

Y211 Y22k Y221 Y22k … Y2j1 Y2jk

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Yn11 Yn1k Yn21 Yn2k … Ynj1 Ynjk

Medias

S1

S2

Sn

.

.

Su

jetos

Medias

Y1..

Y2..

.

.

Yn..

Y…

…Tratamientos

A1 A2 AjB1 Bk…

B1 Bk…

B1 Bk…

…

..

..

..

..

..

..

..

.. ..

Y.11 Y.12 … Y.21 Y.j1 Y.jkY.2k.. .. ..