TEMA 1. PRODUCTOS NOTABLES

Objetivos:1. Definir el concepto de producto notable. 2. Explicar y ejemplificar los tipos de productos notables.Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.Casos de productos notables:

a) Cuadrado de la suma de dos cantidadesb) Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesc) Cubo de la adición de dos cantidadesd) Cubo de la sustracción de dos cantidadese) Producto de la suma de la diferencia de dos cantidadesf) Producto de dos binomios de la forma (x+ a) (x+ b)

a) Cuadrado de la suma de dos cantidadesElevar al cuadrado a +b equivale a multiplicar ese binomio por símismo, es decir:(a + b)2 = (a + b) (a + b) Resolviendo (a + b) (a + b)=(a) (a) + (a) (b) + (a) (b) + (b) (b) = a2 + 2ab + b2

Podemos concluir que (a + b)2= a2 + 2ab + b2

Por tanto el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.Ejercicio1Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la suma de dos cantidades.1. (m+3)2 5. (1 +3x2)2

2. (5+ x)2 6. (2x + 3y)2

3. (6a + b)2 7. (a2x + by2)2

4. (x + y)2 8. (am+ an)2

b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesElevar al cuadrado a - b equivale a multiplicar estadiferencia por sí mismo, es decir:(a - b)2 = (a - b) (a - b) Resolviendo (a - b) (a - b)=(a) (a) - (a) (b) - (a) (b) + (b) (b) = a2 - 2ab + b2

Podemos concluir que (a - b)2= a2 - 2ab + b2

Por tanto el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.Ejercicio 2.Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la diferencia de dos cantidades.1. (a – 3)2 5. (10x3 – 9xy5)2

2. (x- 7)26. (xm - yn)2

3. (2a – 3b)27. (10x3 – 9xy5)2

4. (3a4– 5b2 )28. (a7 – b7)2

c) Cubo de la adición de dos cantidadesSi elevamos (a+ b) al cubo Tendremos: (a + b)3=(a + b)(a + b)(a + b) =(a + b)2(a + b)= (a2 + 2ab + b2) (a+ b) = (a2) (a) + (a2) (b) + (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b2) (a) + (b2) (b)= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2+ b3

Podemos concluir que: (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Po tanto el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo de del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado dela segunda, más el cubo de la segunda.

Ejemplo1.(X+3)3=(x+3) (x+ 3)(x + 3) =(x+3)2 (x+3) = (x2 + 2(x) (3) + (3)2) (x+ 3)= (x2 + 6x + 9) (x+ 3) = (x2) (x) + (x2)(3) + (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) + (9)(3) = x3 + 3x2 + 6x2 + 18x + 9x + 27 = x3 + 9x2 + 27x + 27Por tanto: (X+3)3= x3 + 9x2 + 27x + 27Nota: Este problema lo podemos resolver de manera más abreviada, el cuál llamaremossimple inspección. Para ello debemos utilizar la fórmula obtenida: (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Observe:(X+3)3=(x)3 + 3(x)2 (3) + 3(x) (3)2 + (3)3

=x3 + 9x2 + 27x + 27Ejemplo 2.(2x+ 5)3= (2x+ 5)(2x+ 5) (2x+ 5) = (2x+ 5)2 (2x+ 5) = ((2x)2 + 2 (2x) (5) + (5)2) (2x+ 5) = (4x2 + 20x + 25) (2x+ 5) = (4x2) (2x) + (4x2) (5) + (20x) (2x) + (20x) (5) + (25) (2x) + (25) (5) = 8x3 + 20x2 + 40x2 + 100x + 50x + 125 = 8x3 + 60x2 + 150x + 125Por simple inspección seria:(2x+ 5)3= (2x)3 + 3(2x)2 (5) + 3(2x) (5)2 + (5)3

= 8x3 + 60x2 + 150x + 125Ejercicio 3Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por procedimiento y por simple inspección).

1. (a + 2)35. (4n+3)3

2. (m + 3)36. (2x + 3y)3

3. (2x + 1)3

4. (2 + y2)3

d) Cubo de la diferencia de dos cantidadesSi elevamos (a - b) al cubo Tendremos: (a - b)3=(a - b)(a - b)(a - b) =(a - b)2(a - b) = (a2 - 2ab + b2) (a- b) = (a2) (a) - (a2) (b) - (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b2) (a) - (b2) (b)= a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + ab2 - b3

= a3 - 3a2b + 3ab2- b3

Podemos concluir que: (a - b)3= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Po tanto el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo de del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda.

Ejemplo1.(X-3)3=(x-3) (x- 3) (x - 3)=(x-3)2 (x-3) = (x2 - 2(x) (3) + (3)2) (x- 3)= (x2 -6x + 9) (x- 3) = (x2) (x) - (x2) (3) - (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) - (9)(3) = x3 - 3x2 - 6x2 + 18x + 9x - 27 = x3 - 9x2 + 27x - 27Por tanto: (X-3)3= x3 - 9x2 + 27x - 27

Por simple inspección seria(X-3)3=(x)3 - 3(x)2 (3) + 3(x) (3)2 - (3)3

=x3 - 9x2 + 27x - 27

Ejercicio 4Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por procedimiento y por simple inspección).1. (x – 1)34. (1 – 2n)3

2. (n – 4)3 5. (a2 – b)3

3. (1- 3y)3 6. (1 – a2)3

e) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.Sean los términos (a + b)(a – b) resolviendo el producto se tiene que:(a + b) (a – b)=(a) (a) - (a) (b) + (a) (b) – (b) (b) = a2 –ab – ab - b2

= a2 – b2

Podemos concluir que (a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual: al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.Desde ahora en adelante resolveremos `por simple inspecciónEjemplo 1

(3 + x) (3 – x)= (3)2 –(x)2

= 9 – x2

Ejemplo2(6 +3x) (3x – 6) = (3x + 6) (3x – 6) = (3x)2 – (6)2

= 9x2 - 36Ejercicio 5Resuelva los siguientes problemas1. (x + y) (x – y) 6. (6x2 – m2x) (6x2 + m2x)2. (m – n) (m + n) 7. (am+bn) ( am – bn)3. (2a – 1) (1 + 2a)8. (2m + 9) (2m – 9)4. ( n – 1) (n + 1)5. (y2 – 3y) (y2 + 3y)

f) Producto de dos binomios de la forma (x + a) (x + b)Para resolver este tipo de producto notable por simple inspección, debes aplicar los siguientes pasos:

1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos delos binomios.

2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la parte literal esta elevada a un exponente que es la mitad del que tiene la parte literal del primer término del producto.

3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejemplo 1(x – 7) (x - 6)= x2 + (-7 -6) x+ (-7) (-6) =x2 – 13x + 42

Ejemplo 2(x2 – 12) (x2 – 3) = x4 + (-12 – 3)x2 + (-12) (-3) = x4 -15x2 + 36

Ejemplo 3(y - 11) (y + 9)= y2 + (-11 + 9)y + (-11) (9)= y2 – 2y – 99Ejercicio 6

1. (x + 2) ( x + 3)2. (n + 3) (n + 5)3. (a2 + 8) (a2 -7)4. (m -8)(m + 12)5. (x3 + 6) (x3 – 8)6. (x4- 2) (x4 + 5)7. (a3 + 12) (a3 – 15)8. (x4 + 7) ( x4 – 11)