Contenido

Mtodos Numricos

para Ingenieros Qumicos

Prof. Carlos Sanchez

Sem I-2015

Mtodos de

Resolucin

Sist. Iterativos

Introduccin

Gauss-Siedel

Gauss-Jacobi

Matriz Inversa

Mtodos de

Resolucin

Sist. Iterativos

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Gauss-Siedel

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Matriz Inversa

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Contenido Previo

Cifras significativas: La misma representa la cantidad decifras o trminos que aportan informacin a una medicin

experimental y que permite durante un clculo aportar

informacin confiable.

Precision: Por otra parte

la misma se hace

referencia a que tan

cercano est algn

valor individual en

relacin a otros

Exactitud: Har

referencia a que tan

cercano se encuentra

un valor individual

medido respecto al

verdadero

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Error:

Al hacer referencia al concepto de error, se deber tener en cuenta que

al realizar cualquier aproximacin para representar las operaciones

matemticas, se introducirn a dichas operaciones desviacin del valor

exacto tanto por redondeo como por truncamiento.

Error = Valor Verdadero - Aproximacin

Mientras que en el caso de los mtodos numricos donde la

respuesta no se conoce a priori, la mejor aproximacin al valor

verdadero nos permite normalizar el error como:

Para algunos casos en los que se emplean mtodos iterativos, el

error a menudo depende de la forma como sucesivamente se van

obteniendo mas y mejores aproximaciones, por lo cual se definir en

funcin de la diferencia entre la aproximacin previa y la actual

como:

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Resolucion

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En primera instancia para aquellos casos donde sevuelve imprctico en uso de las tcnicas directascomo las presentadas en la clase anterior.

Se vuelva mas vital la implementacin de tcnicasiterativas o indirectas como El mtodo de Gauss-Siedel y el mtodo de Jacobi los cuales se ilustrarana continuacin.

Vale la pena tener en consideracin que los mismorepresenta una solucin correcta al implementarlosen matrices que presenten una forma diagonalmentedominante.-

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Antes de iniciar vale la pena recalcar queuna matriz diagonalmente dominante aquella quecontiene en todos los elementos de diagonalprincipal para el cual la suma del valor absoluto delos mismos representa la mayor suma respecto a losdems elementos de la matriz.-

Con i=1, 2, 3

De cumplirse la condicin anterior es de esperarque los mtodos citados a continuacin secumplan, de no ser as es posible que no secumpla su convergencia.-

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Gauss - Siedel

En principio y para lo sucesivo se considerara como ejemplo deformulacin un sistema de ecuaciones lineales general como elsiguiente

A11X1 + A12X2 + A13X3 = B1

A21X1 + A22X2 + A23X3 = B2

En donde si tambin se cumple con el criterio de suficiencia, serrazn suficiente para despejar de cada ecuacin la incgnita cuyocoeficiente satisfacen las otras:

A31X1 + A32X2 + A33X3 = B3

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Mtodo de Gauss-Siedel

Este viene a se el mtodo mas comnmente empleado en casosdonde se espere iterar para sistemas de n ecuaciones. Para lo cualse considerara el siguiente procedimiento:

1. Se supondrn los valores iniciales para realizar las iteraciones (de

acuerdo al caso).

2. Luego se har uso de la informacin mas reciente de cada uno, es

decir:

Primero se determinara con la informacin de las otras dos variables,

X1i+1

X2i=X20 X3i=X30

Se determinara con la informacin de las otras dos variables, X2i+1

X1i+1=X1i+1 X3i=X30

Luego determinar con la informacin de las otras dosvariables,

X3i+1

X1i+1=X1i+1 X2i+1=X2i+1

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3. Finalmente se comprobaran todos los trminos (empleando la norma

general) o todos los valores obtenidos en la dos ultimas iteraciones, es

decir:

De forma iterativa a razn de la formulacin a emplear se puede

presentar simplificar como:

X1i+1 - X1i

X2i+1 - X2i

X3i+1 X3i

Nota: Reconsiderar el paso 1,- del procedimiento o el planteamiento de

la matriz caso de coeficientes y verificar que en efecto se cumpla el

criterio de suficiendcia.

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Mtodo de Jacobi

Durante la aplicacin de este mtodo siempre se empleara lainformacin de la iteracin anterior, para lo cual el procedimiento aemplear ser el siguiente:

1. Se supondrn los valores iniciales para realizar las iteraciones (de

acuerdo al caso).

2. Luego se resolvern las ecuaciones planteadas en principio a objeto

de obtener los valores del o de los siguientes pasos de iteracin:

Primero se determinara con la informacin de las otras dosvariables,

X1i+1

X2i=0 X3i=0

Se determinara con la informacin de las otras dos variables,X2i+1

X1i+1=0 X3i=0

Luego determinar con la informacin de las otras dosvariables,

X3i+1

X1i+1=0 X2i+1=0

X3i=X30X2i=X20X1i=X10

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3. De igual forma se comprobaran los valores obtenidos de la dos ultimas

iteraciones, es decir:

En forma anterior a como se vio para el mtodo de Gauss-Seidel la

formulacin a emplear se puede presentar simplificar como:

X1i+1 - X1i

X2i+1 - X2i

X3i+1 X3i

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Para fines prcticos se definir como criterio de para en el

ciclo de iteraciones el uso de la norma bajo la forma

siguiente:

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Diferencias entre los Mtodos

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Matriz Inversa

Matriz Inversa (Caso Especial)

Por ultimo para aquellas situaciones en las cuales se tenga unsistema presentado por una matriz de coeficientes de tamao nxn,la cual presente un determinante no singular (det0), es posibleobtener las soluciones de sistema de ecuaciones linealesconsiderando el siguiente producto de matrices.-

a11 a12 a13 X1 C1

a21 a22 a23 X2 C2

a31 a32 a33 X3 C3

x =

X1 C1 a11 a12 a13

X2 C2 a21 a22 a23

X3 C3 a31 a32 a33= x

-1

Matriz de

Coeficientes

Incognitas

Vector de

Soluciones