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Programa de Ingeniería Química.

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCSCO DE MIRANDA”

ÁREA DE TECNOLOGÍA

DEPARTAMENTO DE MECÁNCA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

TEMA Nº 2.

SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER

ORDEN

PROFESOR: ING. CARLOS A. PÉEZ M.-

Punto Fijo; abril de 2016


2 Sistemas Dinámicos de primer orden

Prof. Ing. Carlos A. Pérez M.- Esp.

TEMA N° 2 SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER ORDEN

2.1 Definición de un sistema de primer orden:

Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) es modelada

mediante una ecuación diferencial de primer orden. Así en el caso de un sistema

lineal o linealizado, se tiene:

a1*y(t) + aO*y = b * x(t )

Donde x(t) es la entrada (función forzada). Si se divide toda la expresión

entre ao quedaría de la forma siguiente, aplicando el teorema de diferenciación

real propuesto por Laplace, queda la ecuación de la manera siguiente:

t p dy

+ y = K p x(t )

dt

Tp Es conocida como constante de tiempo y Kp es conocida como ganancia

de estado estable o ganancia del proceso.

Un proceso de primer orden con una función de transferencia dada por la

ecuación es también conocido como Sistema de primer orden, retardo de primer

Orden ó retardo lineal.

2.2 Modelamiento de procesos como sistemas de primer orden.

• Tiene capacidad para almacenar materia o energía.

• Presentan una resistencia asociada con el paso del flujo de masa ó

energía.

2.3 Balance de materia

2.2.1 Ley de conservación de la materia

Si no hay generación o consumo de materia dentro del sistema

Acumulación = Entradas – Salidas

Si no existe acumulación o consumo de materia dentro del sistema, se dice

que Estamos en estado estacionario o uniforme.




Entradas = Salidas

Si no existen flujos de entrada y salida, se reduce al concepto básico la

conservación de la materia dentro de un sistema cerrado o aislado.

Para todo balance de materia debe definirse un sistema, se entiende por

este a cualquier porción arbitraria o total de un proceso.

El método general para resolver balances de masa (BM) es simple:

1. Definir el sistema. Dibujar un diagrama de proceso.

2. Colocar en el diagrama los datos disponibles.

3. Observar cuales son las composiciones que se conocen, o que pueden

calcularse fácilmente para cada corriente.

4. Determinar las masas (pesos) que se conocen, o que pueden definirse

fácilmente, para cada corriente. Una de estas masas puede usarse como base de

cálculo.

5. Seleccionar una base de cálculo adecuada. Cada adición o sustracción deberá

hacerse tomando el material sobre la misma base.

6. Asegurarse de que el sistema esté bien definido.

Una vez logrado lo anterior, se estará preparado para efectuar el número

necesario de balances de materia.

2.4 Balance de energía

2.4.1 Conceptos básicos:

1. Sistema:

Cualquier masa de material o parte de equipo especificados arbitrariamente.

Un sistema se define circundándolo con una frontera. Un sistema cerrado por el

cual no hay transferencia de masa se denomina sistema cerrado o sistema sin

flujo, en contraposición a un sistema abierto o sistema con flujo, en el cuál se

permite el intercambio de masa. Toda masa o equipos externos al sistema

definido se designan como entorno. Al resolver un problema se debe definir

claramente el sistema y su entorno.

2. Propiedad:

Es una característica de un materia la cuál se puede medir, como volumen,

presión, temperatura etc.., o que se puede calcular




3. Propiedad extensiva(variable, parámetro):

Es aquella cuyo valor depende de la cantidad de material y es aditiva, por

ejemplo el volumen y la masa son propiedades extensivas.

4. Propiedad intensiva (variable, parámetro):

Es aquella cuyo valor no es aditivo y no varía con la cantidad de material,

ejemplo temperatura, presión, densidad.

5. Estado:

Es el conjunto de propiedades de los materiales en un momento dado. El

estado de un sistema no depende de la forma o la configuración del sistema sino

sólo de sus propiedades intensivas como la temperatura, la presión y la

composición.

Dos propiedades son independientes una de la otra, si existe por lo menos una

variable de estado del sistema en la que una propiedad varíe y la otra se

mantenga fija

6. Proceso Adiabático:

Proceso en que no hay intercambio de calor, el sistema está aislado. También

puede considerarse como adiabático el proceso, si Q(calor transferido) es muy

pequeño o cuando el proceso ocurre con tal rapidez que no hay tiempo de

transferir calor.

7. Capacidad calorífica:

Se definen las capacidades caloríficas a volumen constante (Cp) y a presión,

para rangos no demasiado amplios de temperatura se puede considerar a las

capacidades caloríficas como independientes de la temperatura. Para líquidos y

sólidos Cv y Cp se pueden considerar prácticamente iguales. Para los gases ideales

Cp = Cv +R

Con objeto de dar un significado físico a la capacidad calorífica, se puede

pensar que representa la cantidad de energía necesaria para elevar en un grado la

temperatura de la unidad de masa de una sustancia.

Si consideramos la dependencia de la capacidad calorífica a presión constante

Cp, con la temperatura y teniendo en cuenta que casi todas las ecuaciones para

Cp de sólidos y líquidos son empíricas, se expresa mediante una serie de

potencias, con constantes a, b b, c, etc. por ejemplo:

Cp = a + bT + cT2 + dT

3




2.5 Tipos de energía:

1. Trabajo (W):

Es una forma de energía que representa una transferencia entre el sistema y

el entorno. El trabajo no puede almacenarse. Es positivo si se efectúa sobre el

sistema, el trabajo hecho por el sistema es negativo.

2. Calor:

Se define como la parte del flujo total energía que cruza a través de la frontera

de un sistema debido a una diferencia de temperatura entre el sistema y el

entorno. Se conoce en ingeniería también como flujo calórico

El calor es positivo cuando es transferido al sistema, este puede ser

transferido por conducción, convección y radiación.

Para evaluar cuantitativamente la transferencia de calor, se puede utilizar una

fórmula empírica:

.

Q = UADT (1)

.

Q = Velocidad de transferencia de calor

A = área de transferencia

U = coeficiente de transferencia de calor (dato empírico)

DT = diferencia efectiva de temperatura entre el sistema y el entorno

3. Energía cinética (Ec):

Es la energía que tiene el sistema asociada a su velocidad relativa al

entorno en reposo

Ec = ½ mv2 (2)

4. Energía potencial(P):

Es la energía que posee el sistema debido a la fuerza ejercida sobre su masa

por un campo gravitacional o electromagnético con respecto a un plano de

referencia

Energía potencial debida a un campo gravitacional: P = mgh

h = distancia al plano de referencia, medida a partir del centro de masa del

sistema

m = masa del sistema

g = aceleración de gravedad




5. Energía interna:

La energía interna (U), es la medida macroscópica de las energías moleculares,

atómicas, y subatómicas, lo cual sigue reglas microscópicas definidas para los

sistemas dinámicos. La energía interna se mide indirectamente a través de la

medición de otras variables, tales como presión, volumen, temperatura y

composición. La energía interna se calcula como en relativa a un estado de

referencia, pero no en forma absoluta

6. Entalpía:

La entalpía se expresa como H = U + PV (3), donde E es la energía interna, P es

la presión y V el volumen. .

Al igual que en el caso de la energía interna, la entalpía no tiene un valor

absoluto, sólo se miden los cambios de entalpía. Para determinar la entalpía se

considera un estado de referencia:

Estado inicial del sistema Estado final del sistema

Entalpía = H1 - Href H2 - Href

Cambio neto de entalpía del sistema al pasar del estado inicial al estado final:

(H2 - Href ) – (H1 - Href ) = H2 – H1 = DH (4)

Se tiene que del primer principio de la termodinámica: DU = Q – W (5)

Siendo Q el calor absorbido y W el trabajo realizado, W = PDV.

Si consideramos un proceso a presión constante tenemos:

DH = DU + PDV, en este caso DH corresponde al calor absorbido por el sistema,

luego

DH = Qp

Si el proceso se verifica a volumen constante DV = 0, luego Qv = DU = DH

La entalpía es una función de estado y sólo depende de los estados inicial y final y

no del camino recorrido

2.6 Ecuación general del balance de energía

La ecuación general del balance de energía se expresa de la siguiente forma:




Acumulación de energía = transferencia de energía - transferencia de energía

Dentro del sistema a través de la frontera fuera de la frontera

del sistema del sistema

+ Energía generada dentro - energía consumida dentro (6)

del sistema del sistema

Esta ecuación puede ser aplicada a un equipo individual o a toda una planta

En la ecuación (6) se pueden introducir algunas simplificaciones:

1. No hay acumulación de energía dentro del sistema

2. No hay generación de energía dentro del sistema

3. No se consume energía dentro del sistema

Si introducimos esas simplificaciones la ecuación (6) se reduce a:

Transferencia de energía a través =

Transferencia de energía

fuera

de la frontera del sistema de la frontera del sistema

2.7 Reacciones exotérmicas; endotérmica y catalizadas:

El sufijo térmico se aplicaba antes solo para energía calorífica, pero

modernamente se ha extendido a cualquier tipo de energía.

Como la energía liberada o absorbida en una reacción química es

usualmente calor, esto se expresa escribiendo a la derecha de la ecuación el valor

H, con signo negativo (-) para las raciones exotérmicas y signo (+) positivo para las

reacciones endotérmicas

2.7.1 Procesos endotérmicos

Se denomina proceso endotérmico a cualquier proceso en que se absorbe

energía.

Si hablamos de entalpía (H), una reacción endotérmica es aquélla que tiene

un incremento de entalpía o _H > 0. Es decir, la energía que poseen los productos

es mayor a la de los reactivos.




Las reacciones endotérmicas y especialmente las relacionadas con el

amoníaco impulsaron una próspera industria de generación de hielo a principios

del siglo XIX. Actualmente el frío industrial se genera con electricidad en máquinas

frigoríficas.

2.7.2 Procesos exotérmicos

Se denomina proceso exotérmico a cualquier proceso en que se desprende energía, es decir con una variación negativa de entalpía. Por ejemplo, cuando

reaccionan entre sí dos átomos de hidrógeno para formar una molécula, el

proceso es exotérmico. Son cambios exotérmicos el paso de gas a líquido

(condensación) y de líquido a sólido (solidificación). Un ejemplo de reacción

exotérmica es la combustión.


EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Considérese el proceso de mezclado que se ilustra en la figura, donde se

supone que la densidad de la corriente de entrada y la de salida son muy similares

y que las tasas de flujo FI y F2 son constantes. Obténganse las funciones de

transferencia que relacionan la concentración a la salida con cada concentración a

la entrada; se deben indicar las unidades de todas las ganancias y las constantes

de tiempo.

2.- Considérese el reactor isotérmico, que se muestra en la figura, donde la tasa

de reacción se expresa mediante:

Donde k es una constante.

Se supone que la densidad y todas las otras propiedades físicas de los productos y

los reactivos son semejantes, también se puede suponer que el régimen de flujo

entre los puntos 2 y 3 es muy turbulento (flujo de acoplamiento), con lo que se

minimiza la mezcla hacia atrás.

Obténganse las funciones de transferencia que relacionan:

a. La concentración de A en 2 con la de A en 1.




b. La concentración de A en 3 con la de A en 2.

c. La concentración de A en 3 con la de A en 1.

3.- Considérese el proceso mostrado en la figura, en el cual el tanque es esférico

con un radio de 4 pies; el flujo nominal de entrada y de salida del tanque es de

30,000 lbm/hr; la densidad del líquido es de 70 lbm/pies3; y el nivel de estado

estacionario es de 5 pies. El volumen de una esfera es 4Π r3/3, y la relación entre

volumen y altura se expresa mediante

El flujo a través de las válvulas es:

Donde:

r = radio de la esfera, pies

V(t) = volumen del líquido en el tanque, pies3

Vr = volumen total del tanque, pies3

h(t) = altura del líquido en el tanque,

pies w(t) = tasa de flujo, lbm/hr

Cv = coeficiente de la válvula, gpm/psi1/2

Cv1 = 20.2 y Cv2 = 28.0

Δp = caída de presión a través de la

válvula psi. Gf = gravedad específica del

fluido.

vp(t) = posición de la válvula, fracción de apertura de la válvula

La presión sobre el nivel del líquido se mantiene al valor constante de 50 psig.

Obténganse las funciones de transferencia que relacionan el nivel del líquido en el

tanque, con los cambios de posiciones de las válvulas 1 y 2., También se deben

graficar las ganancias y las constantes de tiempo contra los diferentes niveles de

operación cuando se mantiene constante la posición de las válvulas.




4.- Considérese el tanque de calentamiento que se muestra en la figura. El fluido

que se procesa se calienta en el tanque mediante un agente calefactor que fluye a

través de los tubos; la tasa de transferencia de calor, q(t), al fluido que se procesa

se relaciona con la señal neumática, m(t), mediante la expresión:

Se puede suponer que el proceso es adiabático, que el fluido se mezcla bien en el

tanque y que la capacidad calorífica y la densidad del fluido son constantes.

Obténganse las funciones de transferencia que relacionan la temperatura de

salida del fluido con la de entrada, Ti(t), la tasa de flujo del proceso F(t) y la señal

neumática, m(t). Se debe dibujar también el diagrama de bloques completo para

este proceso.

5.- Considérese el proceso de mezclado que se muestra en la figura. La finalidad

de este proceso es combinar una corriente baja en contenido del componente A

con otra corriente de A puro; la densidad de la corriente 1, ρ1, se puede

considerar constante, ya que la cantidad de A en esta corriente es pequeña.

Naturalmente, la densidad de la corriente de salida es una función de la

concentración y se expresa mediante:




El flujo a través de la válvula 1 está dado por

El flujo a través de la válvula 2 está dado por

Finalmente, el flujo a través de la válvula 3 está dado por

La relación entre la posición de la válvula y la señal neumática se expresa con

Donde:

a1, b1, d1, a2, b2, d2, a3, b3 = constantes conocidas.

Cv1; Cv2; Cv3 = coeficientes de las válvulas 1, 2 y 3 respectivamente, m3/(s-psi

1/2) vp1(t), vp2(t) = posición de las válvulas 1 y 2 respectivamente, fracción sin

dimensiones.

Δp1, Δp2 = caída de presión a través de las válvulas 1 y 2, respectivamente, la cual

es constante, psi

Δp3(t) = caída de presión, a través de la válvula 3, psi.

G1, G2 = gravedad especifica de las corrientes 1 y 2, respectivamente, la cual es

constante y sin dimensione

G3 (t) = gravedad especifica de la corriente 3, sin dimensiones

Se debe desarrollar el diagrama de bloques para este proceso; en él deben

aparecer todas las funciones de transferencia y la forma en que las funciones de

transferencia m1 (t), m2 (t) y CA1 (t) afectan a las variables de respuesta h(t) y

CA3(t).

6.- Considere la temperatura del sensor esbozado en la figura. El bulbo y sus

alrededores están a una temperatura uniforme, Tb (t), °C, y los alrededores

también a una temperatura uniforme, T(t). El intercambio de calor entre el

entorno y el bulbo está dada por




Donde

q (t) = velocidad de transferencia de calor, J / s

h = coeficiente de película de transferencia de calor, J / s-m2 - °C

A = área de contacto entre el bulbo y sus alrededores, m2

Sea M, en kg, la masa del bulbo y termopozo, y Cv, J/kg- °C, siendo su capacidad

calorífica. Obtener la función de transferencia que representa la respuesta de la

temperatura del bulbo cuando cambia la temperatura de los alrededores. Dibujar

el diagrama de bloques para el bulbo. Expresar la constante de tiempo y la

ganancia en términos de los parámetros del bulbo. Nota: La función de

transferencia derivados aquí por lo general representa la respuesta dinámica de la

mayoría los sensores de la temperatura, independientemente de su tipo.

7.- En casa del Dr. Corripio, la tubería de agua caliente entre el calentador de agua

y su ducha es de 1/2 tubos de cobre (área de sección transversal = 0,00101 m2) y

alrededor de 30 metros de agua caliente en la ducha totalmente abierto y el flujo

era de 2 galones por minuto. ¿Cuánto tiempo tienen que esperar para que el agua

caliente llegue a la ducha. Escriba la función de transferencia T(s)/Th(s) de la línea

de agua caliente, donde T(t) es la temperatura en la ducha, y Th (t) es la

temperatura en el calentador de agua caliente, cuando la válvula de agua caliente

se abre. Dibujar el diagrama de bloques para el agua caliente de la línea. ¿Cuál es

la función de transferencia cuando la válvula de agua caliente se cierra? ¿Podría

usted predecir este caso por su respuesta anterior?

8.- Considere del tambor se muestra en la figura. Aquí z (t), x (t), y y (t) son el tope

fracciones del componente más volátil en el alimento, líquido y vapor del

destilado, respectivamente. La masa total del líquido y el vapor acumulado en el

tambor, la temperatura y presión, se supone constante. Si el equilibrio entre las

fases de vapor y líquido que sale del tambor se asume, entonces lo siguiente

relación entre y (t) y x (t) se puede establecer el estado de equilibrio y la

información es otro proceso.

M = 500 kmoles, F = 10 kmoles / s, L = 5 kmoles / s, α = 2,5, y x (O) = 0.4. Obtener

la función transferencia que relaciona la salida de la composición del líquido, x (t),




a la composición de la alimentación, z (t). Determine también el valor numérico de

todos los términos de la función de transferencia.

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