Tema IIIEl campo magnético

1.- Ley de Biot y Savart. Campo magnético creado por un elemento decorriente. Unidades y dimensiones2.- Fuerza experimentada por un elemento de corriente en un campomagnético.3.- Forma diferencial de la ley de Biot y Savart. Ley de Ampère.4.- Campo creado por un circuito en un punto distante. Momento dipolarmagnético.5.- Energía de una espira en un campo magnético.6.- El dipolo magnético en la ciencia de materiales: dipolo magnético deuna carga en una órbita estacionaria. El spin.7.- Respuesta de medios materiales a campos magnéticos. El vectormagnetización. Intensidad magnética.8.- Medios magnéticos lineales: diamagnéticos y paramagnéticos.9.- Medios ferromagnéticos.

Bibliografía:P.A. Tipler, Física (Vol II) Cap. 28 y 29Reitz – Mildford – Christy, Fundamentos de la teoría electromagnética. (4ª Edición), Cap. 8 y 9

Ley de Biot y SavartSi tenemos una corriente I sobre un hilo G,crea en todo el espacio un fenómeno llamadoCAMPO MAGNÉTICO B. Es un campovectorial. GEl campo magnético lo crean las corrientes.La contribución de un elemento infinitesimal decorriente dl -colocado en el punto r’ y orientadoen la dirección de la corriente I- al campocreado en el punto r es:

rr’

r-r’

†

dB =m04p

I dl ¥ (r - r' )r - r' 3

dl

donde m0 es una constante. En el sistema MKS

†

m04p

= 10-7 N.s2C-2

La unidad de campo es la Tesla (T)

El campo total creado por todo el circuito es la suma de las contribuciones de loselementos de corriente dl:

Para definir el campo magnético se requiere un “sacacorchos”, esto quiere decir que enrealidad es un pseudovector.

(1)

(2)

†

B(r ) =m04p

IGÚ dl ¥ (r - r' )

r - r' 3

†

dF = Idl ¥ B

Efecto del campo magnético.Una elemento dl de corriente en un campomagnético experimenta una fuerza G

dl

†

dF = Idl ¥ B

donde I es la intensidad que pasa por el conductor, yB el campo en el punto donde está el elementoconsiderado.

B

De nuevo en la expresión de la fuerza aparece un producto vectorial. Sin embargo en estecaso ho hay ambigüedad: si se cambia el sentido de giro del sacacorchos, cambia el signo deB y también el del producto vectorial que define dF, por lo tanto el sentido de dF no cambia.La fuerza es un vector.

(3)

es equivalente a una corriente.

Un caso interesante es el de una carga puntualmoviéndose con una velocidad v.

vq

Si consideramos un elemento de longitud dl de estecircuito:

I dl = I v dt = q vya que Idt es la carga que pasa por el circuito“equivalente” en el tiempo dt

Substituyendo este resultado en la expresión (1) delcampo, se obtiene el campo creado por la carga:

r

r’

r-r’

†

B(r ) =m04p

q v ¥ (r - r' ) r - r' 3

Análogamente, a partir de la ecuación (3), se puede calcular la fuerza queexperimenta la carga bajo la acción de un campo magnético externo:

†

F = qv ¥ B

(4)

(5)

Efectos magnéticos en cargas en movimiento

q

Problemas propuestos:

1. Se tienen dos cargas puntuales q1 y q2 moviéndose con velocidadconstante v sobre dos rectas paralelas separadas una distancia d.

a) Calcular la fuerza magnética entre ambas cargas.b) Compararla con la fuerza electrostática entre las

mismas. ¿Para qué velocidades ambas fuerzas son comparables?

Nota: Utilizar el hecho de que de los valores experimentales de m0 y e0, seobtiene que m0e0 = c-2, donde c=3. 108 m s-1 es la velocidad de la luz en elvacío

q1

v

q2

v

d

2. Calcular el campo creado por una corriente I que circula por un hilo recto e indefinido, enun punto cualquiera del espacio.

3. Un hilo circular de radio a y por el cual circula una corriente Iyace en el plano XY, con su centro en el origen decoordenadas. (ver la figura)Calcular el campo magnético que crea en un punto del eje Z.

XY

Z

I

a

Nota: los problemas 2 y 3 están resueltos en el libro de labibliografía (Reitz Milford), pgs 199 y 200.

Problemas propuestos (continuación):

4. Un circuito cuadrado de lado 2a y por el cual circula unacorriente I yace en el plano XY, con su centro en el origen decoordenadas. (ver la figura)Calcular el campo magnético que crea en un punto del eje Z.

Nota:Como en el problema 3, debido a la simetría del problema, el camposolo tiene componente Z, anulándose las otras dos.Los cuatro lados contribuyen lo mismo, por lo tanto el campo total será4¥la contribución de un lado.Utilizar la siguiente integral:

X

Y

Z

I

2a

†

dx

x2 + a23 =

1a2

x

x2 + a2Ú

5. Calcular la fuerza por unidad de longitud que ejercen doshilos conductores paralelos separados una distancia d, y porlos cuales circula unas intensidades I1 e I2 .¿Cómo es la fuerza si ambas intensidades tienen el mismosentido?¿Y si son de sentido contrario (tal como lo muestra la figura)?

I1 I2

d

Formas diferenciales de ley de Biot y Savart

Hemos visto

†

B(r ) =m04p

IGÚ dl ¥ (r - r' )

r - r' 3

Si calculamos la divergencia del campo se obtiene fácilmente:

div B=0

El sentido físico de esta expresión se comprendemejor si utilizamos el teorema de la divergencia:tomamos una superficie gaussiana S,arbitraria.La expresión anterior implica que

†

divBVÚ dV = B

SÚ ds = 0

el flujo de B es nulo en todo el espacio, es decir:

la contribucion de las lineas de campo que penetran (contribución negativa al flujo)

ds

B

ds

y la de las lineas salientes se compensa exactamente.Eso implica que el campo magnético no tiene fuentes (puntos donde se origina) nisumideros.No existen monopolos magnéticos (equivalente en magnetismo a la carga enelectrostatica)

(6)

Ley de Ampère

donde J(r) es la densidad de corriente.La corriente puede ser extensa, no sólo un hilo.

†

rot B = m0 J(r ) (6)

La ecuación (6) es la ley de Ampere en forma diferencial.

†

GÚ B dl = rotB ds = m0 J(r ) ds

sÚ

SÚ

Aplicando el teorema de Stokes sobre una linea G Gds

J

por la definición de J(r), J(r) ds =dI, la intensidad (infinitesimal)que pasa por ese elemento de superficie ds.

†

GÚ B dl = m0I

(7)

es la ley de Ampere en forma integral. Ecc. (6) y (7) son equivalentes.En esta ley hay que tener en cuenta que I y G están relacionados, como se ha visto.

se puede calcular el

rotacional de B(r). Se obtiene(*):

†

B(r ) =m04p

IGÚ dl ¥ (r - r' )

r - r' 3Partiendo de la ley de Biot y Savart

(*) El desarrollo es bastante tedioso (pg 205 del Reitz Milford). Sin embargo conviene señalar que se hace uso dela condición —J=0, es decir que las corrientes son estacionarias.

La integral es la intensidad total que pasa por dentro de la curva G.

dl

B

Aplicaciones de la ley de AmpèreLa ley de Ampere se puede utilizar en casos en los que la corriente tenga una gransimetría. tal que podamos encontrar una curva G de integración, en los que todoslos puntos sean equivalentes, de forma que se pueda calcular la circulación delcampo magnético

†

GÚ B dl

Campo creado por un hilo infinitoI

Elegimos G como una circunferencia de radio r, en un planonormal a la corriente, y con centro en ella.

Todos los puntos de son equivalentes, por lo tanto elmódulo del campo será el mismo en todos ellos.

Si se toma un punto r, la geometría del problema definetres posibles direcciones:

r

Como el campo magnético B es un pseudovector, para definir su sentido se requiere unsacacorchos fi B esta orientado en la dirección de uq.. (las otras dos direcciones se puedendefinir con referencia al hilo, sin sacacorchos)

La del eje uz.

uz

La radial ur.ur

La del eje uq.

uq.

Al calcular la circulación se ve que dl = dl uq ,

dl

por lo tanto B dl = B dl

†

GÚ B dl =

GÚ B dl

†

= BGÚ dl

†

= 2prB

†

= m0I

†

B(r ) =m0I2pr

ur

B kte

Problemas propuestos

I

a

6. Un hilo coaxial -como los usados en lasantenas de TV- consiste en un hilo fino, rodeadode otro conductor cilíndrico de radio a, por loscuales circula la misma corriente, con direccionescontrarias.Calcular el campo magnético creado por uncoaxial infinito dentro y fuera del cilindro.

7. Calcular el campo creado por un solenoide infinito,quetenga n espiras por unidad de longitud y por el que circulauna corriente I, en todo el espacio..I

Sugerencia: utilizar la ley de Ampère en los siguientescircuitos de integración:

G1

G2

G3

En este caso B ha de tener ladirección del eje del solenoide.

Utilizar que a grandesdistancias del solenoide B=0

Campo magnético creado por un circuito en un puntodistante. Momento dipolar magnético.

r’

r-r’

dl

El campo creado por un circuito de forma arbitraria G enun punto r

†

B(r ) =m04p

I dl ¥GÚ (r - r' )

r - r' 3

Se ha visto que:

†

r - r' r - r' 3 = -grad 1

r - r'

†

B(r ) = -m04p

I dl ¥GÚ grad 1

r - r'ª -

m04p

I dl ¥GÚ grad 1

r+

rr'r 3

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

r

I

G

De forma que en un punto distante -comparado con lasdimensiones del circuito (r’<<r) si se utiliza el desarrollomultipolar (ver tema I)hasta el 2º orden

†

1 r - r'

ª1r

+rr'r 3 + 0( r'

r)3

El primer término grad (r-1)= -rr--2 es cte sobre el circuito fi

†

dl ¥GÚ grad 1

rÏ Ì Ó

¸ ˝ ˛

= - dlGÚ

È

Î

Í Í

˘

˚

˙ ˙

¥rr2 = 0

ya que

†

dlGÚ = 0

†

B(r ) = -m04p

I dl ¥GÚ grad rr'

r 3Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛ En consecuencia

sigue

Este término se puede calcular directamente, y el campo así obtenido se puedeescribir como:

†

B(r ) = -m04p

3 (m r )r5 r -

mr3

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

donde m es un vector definido como:

que contiene toda la información sobre el circuitoque origina el campo.

r’dl

I

G

El vector m=IS, caracteriza totalmente al circuito.A largas distancias, el campo creado por un circuito no depende de la formageométrica exacta, ni de la corriente sino precisamente del producto IS.

†

m =12

I r' ¥GÚ dl

El módulo de es el área del triangulo infinitesimal, de lados dl y r’.

†

12

r' ¥dl = ds

La integral es el área (vector) del circuito.

†

12

GÚ r' ¥dl = S

Es un vector normal a la superficie del circuito

ds

B

Si se coloca un dipolo en un campo. experimenta unafuerza en cada elemento dl del circuito.

†

dF = Idl ¥ BSea un pequeño circuito cuadrado, por el que circula unaintensidad I -representado por su momento dipolar m-,

I

m

dl

B

dF

dl

dF

dl dF

dl

dF

Se demuestra que la fuerza total ejercida por el campo B sobre el circuito se puede escribir en función

del momento dipolar m del mismo:

†

F = grad mB[ ]es decir que se deriva de una función energía potencial

†

F = -grad U fi U = -mB

Una consecuencia es que un dipolo en un campo constante -dado que las dimensionesdel circuito son pequeñas fiB=cte- , tiene energía potencial mínima cuando B y m sonparalelos.

m

F

F

F

F

Energía de un dipolo en un campo magnético externo

Las fuerzas en cada lado serán:en un campo B.

Un dipolo magnético tiende a orientarse paralelo al campo magnético.

Al estudiar un circuito pequeño, vemos que, como ocurría en electroestática, que elmomento dipolar magnético es una magnitud que permite calcular:

†

B(r ) = -m04p

3 (m r )r5 r -

mr3

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

a) El campo magnetico creado por el circuito:

b) La interacción con un campo magnético externo.

Es decir, describe totalmente todas las propiedades magnéticas del circuito.Por lo tanto en física se utiliza esta magnitud para describir el circuito, ya quesimplifica enormemente la descripción del mismo.

†

F = -grad U fi U = -mB

Momento dipolar de una carga que orbita en un estadoestacionario

Consideramos una carga que gira en una órbita bajola acción de fuerzas centrales.

Ya hemos visto que es equivalente a una corriente.Por lo tanto el circuito es equiparable a un dipolomagnético. Para calcularlo utilizamos la relación

I Ú dl = qv

q

v

De forma que el momento dipolar magnético:

r’

Si el origen se toma en el centro de fuerzas, el producto v¥r’ está relacionado conel momento angular , que es una constante del movimiento

†

L = M r' ¥v fi m =q

2ML

†

m =12

I r' ¥GÚ dl fi m =

12

qr' ¥v

El momento dipolar magnético es característico del sistema.

Este resultado se ha obtenido en un modelo clásico de la carga.En el caso de los electrones atómicos, el modelo clásico -o semiclásico de Bohr- no esaplicable. Sin embargo en Mecánica Cuántica se demuestra que el momento angulares también una constante del estado (número cuántico), y la teoría es válida.

Si el momento angular de un electrón se expresa en unidades de la constante dePlanck racionalizada

†

h, L = lh

†

m =eh

2mel

Al factor se le llama magnetón de Bohr

†

mB =eh

2me= 9.2732 10-24 JT -1

†

h =h

2p; h = 1.05459 10-34 J.sdonde me es la masa del electrón y

El SpinLas partículas que constituyen los átomos -electrones, protones y neutrones-

tienen un momento angular “intrínseco” llamado spin s. Es un vector, y obviamentetiene dimensiones de momento angular.

Las evidencias experimentales señalan que el electrón no tiene estructura, porlo tanto no es debido a grados internos de libertad. Este es un resultado cuántico, noreproducible por ningún modelo clásico.

En el caso de las partículas anteriores (fermiones)

†

h

†

s =12

h

y el momento dipolar magnético mspin es proporcional al momento angular intrínseco s

†

mspin = gse

2mes

gs es una magnitud adimensional llamada razón giromagnética.Experimentalmente se encuentra que para el electrón gs =2

La expresion anterior es valida para las otras partículas, poniendo la masacorrespondiente. Los factores giromagnéticos son:para el protón fi gs = 5.59para el neutrón fi gs = -3.83Nótese que aun sin carga el neutrón se comporta como un dipolo magnético y porconsiguiente crea campo magnético, e interacciona con campos magnéticos.

Problemas propuestos:

8. Se tiene una espira cuadrada por la que circulauna intensidad I1, en las proximidades de un hilo muylargo, por el cual circula una intensidad I2. Ambascorrientes son coplanares. - Calcular la fuerza que experimenta el circuitocuadrado. - Comparar esta expresión con la obtenida alconsiderar el circuito cuadrado como un dipolo.

I2

X

Y

Z

I1

9. Se tienen dos pequeños circuitos tal como muestra la figura,por los que circulan las intensidades I1 e I2. Calcular en la aproximación dipolar la fuerza que actúa sobrecada circuito ¿Verifican la ley de acción-reacción?

10. Compara el campo magnético creado por una espira circularde radio a por la que circula una intensidad I, en un punto del eje(problema 3 de este tema), con el creado por el dipoloequivalente.¿Cuál es el error de la aproximación dipolar?

s1 = pa1

2uz

s2 = pa2

2u2

I1

I2

r

10. Correcciones magnéticas en el modelo de BohrEn el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, éste consiste enun protón, en reposo, y en un electrón que describe una órbitacircular en torno al protón de radio a, con velocidad v. Según seha visto ambas partículas tienen un momento dipolar magnéticointrínseco, m=geh/4M, donde h es la constante de Plank, e, M yg respectivamente son la carga, el factor giromagnético y lamasa de la partícula considerada. La dirección del momento esnormal al plano de la órbita. (ver figura)

Problemas propuestos (continuación):

Se pide:1º. Calcular la fuerza que experimenta el electrón debido al campo magnético creado porel protón (despreciar la interacción dipolo-dipolo).2º. Compararla con la fuerza coulombiana entre ambas partículas. ¿Justifica su valor elque el modelo de Bohr no incluya la contribución magnética?

Datos:Suponer conocidas las masas de ambas partículas, Me y Mp=1836Me, el factor giromagnéticodel protón gp=5.6, la carga del electrón, e, la constante de Plank, h y las constantes e0 y m0 , queverifican (e0 m0) -1= c2 (c es la velocidad de la luz).Los parametros a y v del modelo de Bohr verifican:

m

vap e

†

v =c

137 ; a =

h2pMev

El dipolo magnético en la ciencia de materiales

Hemos visto que los electrones ligados en los átomos tenían un momento dipolarmagnético

†

m =e

2M eL + gs

e2me

s

donde el primer término corresponde al momento angular orbital (L), y el segundo alspin (s).El término de spin esta presente también en los núcleos.

Por lo tanto la materia está compuesta de una gran cantidad de dipolos magnéticos,que también crean campo.Los campos magnéticos son creados por las corrientes macroscópicas, y también porlos momentos magnéticos de las cargas constitutivas.

Hemos visto que el momento dipolar magnético sirve para representar tanto el campomagnético que crea la partícula, como las fuerzas magnéticas que experimenta.Por lo tanto en el estudio de las interacciones magnéticas se substituirá la carga porun momento dipolar magnético.

¿Porque en la mayor parte de los materiales no se observa el efecto de estosmomentos dipolares? En la mayoría de los casos, la mecánica cuántica hace que los momentos dipolares delos constituyentes se anulen (en el estado fundamental). En los átomos, el momentoangular total de las capas internas (cerradas) se anula, y el enlace tiende a que seanulen los momentos de los electrones de valencia.

Respuesta de los medios materiales al campo magnéticoLos medios materiales bajo un campo magnético tienden a alinear sus dipolos en ladirección del campo, y en consecuencia adquieren un momento dipolar en todos lospuntos, creando un campo magnético inducido. A este fenómeno se le llama MAGNETIZACIÓN

Para caracterizar este fenómeno se defineuna nueva magnitud la Magnetización M(r). En el punto r tomamos un volumeninfinitesimal DV

r DV

Se define el vector magnetización como:

†

M = limDV Æ0DmDV

donde Dm es el momento dipolar magnéticocontenido en el volumen DV.

Este momento dipolar inducido es equivalente a unacorriente: densidad de corriente de magnetización.Sin embargo esta corriente no es física, es una formade describir el efecto de las corrientes electrónicas.

I

La suma de los momentos dipolares delvolumen DV, es equivalente a calcular el momentodipolar de un circuito equivalente m=Is

I

Las dimensiones son [M]=[Q][T ]-1[L] -1

Fuentes del campo magnético: Intensidad magnéticaEl campo magnético tiene dos fuentes:

1.- Las corrientes macroscópicas J(r)2.- Las corrientes de polarización.

Estas ultimas corrientes son una forma de describir la formacion de dipolosmagnéticos en el material, y en general dependen de la respuesta del medio alcampo magnético aplicado. Estas corrientes son desconocidas.

Para resolver el problema, se construye un nuevo campo, la IntensidadMagnetica H(r):

†

H(r ) =1

m0B(r ) - M(r )

y entonces las ecuaciones de los campos se reducen a:

†

rot H = J(r ) div B = 0La primera ecuación indica que las corrientes macroscópicas -que son conocidas-son las fuentes de la intensidad magnética.

El campo físicamente relevante es el campo magnético B, ya que es el que describe lainteracción (de él se derivan fuerzas y energía),mientras que H(r) se utiliza porque sepuede calcular ya que no depende de las corrientes de magnetización (desconocidas)

Las dimensiones de H son las mismas de M: [H]=[Q][T ]-1[L] -1 Las unidades son A.m -1

es la permeabilidad del medio.

Medios lineales: susceptibilidad y permeabilidad magnéticasUna gran cantidad e medios verifican que la magnetización M(r) es proporcional a laintensidad magnética H(r)

la constante cm es la susceptibilidad magnética, es característica del medio.Los medios que verifican esta relación se llaman lineales.

†

H(r ) =1

m0B(r ) - M(r )De la relación

†

fi B(r ) = m0 (1 + cm )H (r ) = mH(r )

†

m = m0 (1 + cm )

193.5 10-8O2 (1 atm)

-0.67 10-8N2 (1 atm)

-0.22 10-8H2 (1 atm)

-1.19 10-8CO2 (1 atm)

-2.2 10-5Diamante

-2.4 10-5Plata

-0.98 10-5Cobre

2.1 10-5Aluminio

cm

En la tabla se ve que el efecto de la magnetizaciónes pequeño.- Medios cm>0, fi el efecto de la magnetización esreforzar el campo externo. Paramagnéticos- Medios cm<0, fi el efecto de la magnetización esapantallar el campo externo. Diamagnéticos

La explicación de la respuesta magnetica de unmedio depende de la estructura de spin de loselectrones. Requiere pues la teoría cuántica.

†

M(r ) = cm H(r )

H

FerromagnetismoExiste un pequeño número de materiales, donde la magnetización no es función delcampo aplicado, sino que depende de la historia magnética del material en cuestión.Una de las características mas importante es que pueden presentar magnetizaciónen ausencia de campo externo (imanes permanentes)

Característico de estos medios es el ciclode histéresis. que da la relación entre elcampo externo aplicado y B.

1. Sea un material sin magnetizar, sin campo H

2. Cuando se le aplica una campo externo,se magnetiza.

3. Si se sigue aumentando el campo externo,llega un momento que M se satura (todos losdipolos orientados)

4. Si ahora vamos disminuyendo H vemos quecuando el campo externo (H) es nulo, hay uncampo magnético Br en el medio. Es debido aque los dipolos magnéticos quedan orientadospermanentemente. Es un imán.Al campo Br se llama Campo remanente.

5. Para desmagnetizar el material hay queaplicar un campo Hc , Campo coercitivo.

Hc