TEMA I Nvo - Diag. Bloques. Flujogramas

Sistemas DinmicosProfesor Luis Felipe Rojas

Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas

Dpto de Computacin y Sistemas

Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.

Ttulo

DIAGRAMAS DE BLOQUES,

FLUJOGRAMAS

Y SUS OPERACIONES

TEMA I

Universidad de OrienteNcleo de Anzotegui

Escuela de Ingeniera y Ciencias Aplicadas




Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 2

DIAGRAMAS DE BLOQUES, DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEAL

TEMA I Objetivos

Objetivo Terminal:

Aplicar las tcnicas de diagramas de bloques y flujogramas en larepresentacin y clculo de relaciones entre variables dentro de lossistemas de control.

Objetivos Especficos:

Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde bloques.

Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde flujo de seal.

Aplicar la tcnica de reduccin de diagramas de bloques en el clculo derelaciones entre variables dentro de los sistemas de control.

Aplicar la frmula de ganancia de mason en el clculo de relaciones entrevariables dentro de los sistemas de control.

Convertir diagramas de bloques a flujogramas y viceversa.





TEMA I Contenido

Elementos de un diagrama de bloques.

Ejemplos de diagramas de bloques.

Elementos de un diagrama de flujo de seales o flujogramas.

Ejemplos de diagramas de flujo de seal o flujogramas

Algebra de bloques

Aplicacin del algebra de bloques en la reduccin de bloques

Clculo de funciones de transferencia por reduccin de diagramas de bloques.

Frmula de ganancia de mason.

Elementos de la frmula de ganancia de mason.

Definicin de lazos individuales.

Definicin de lazos disjuntos.

Definicin de Trayectos directos.

Clculo de relaciones entre variables o funciones de transferencia.

Transformacin de diagramas de bloques en flujogramas.

Transformacin de flujogramas en diagramas de bloques.





Representan en forma grfica las funciones realizadas por los componentes queforman parte de una planta o proceso industrial. En l tambin se indica el flujo delas seales que intervienen.

BLOQUE FUNCIONAL:Representacin o smbolo de algn elementode la planta o proceso o controlador.

SUMADOR:Representan operaciones de adicin osustraccin de las seales que intervienen.Tambin se les llama comparadores. (laadicin o sustraccin depende del signocon que la seales entran)

BIFURCACION:Representan puntos de ruptura de unaseal especfica. Puntos de toma de seal.

G(s)

G(s)

+- +-- +

-

+

-

++

+

Diagramas de Bloques

Elementos de un Diagrama de Bloques





(s+3) +-1

(s+4)+--

Entrada

2(s)

s+5

2s-6

Diagramas de Bloques

Ejemplos de Diagramas de Bloques

G1(s) +- G2(s)+--

H3(s)

H1(s)

Entrada

H2(s)

+

G1(s) G2(s)+--

H3(s)

H1(s)

Y(s)

H2(s)

+-+ G3(s) +-

+

H4(s) H5(s)

R(s)





Medio grfico para representar las relaciones de entrada salida de unconjunto de elementos

Nodos: (Representa a una variable o seal)Puntos de unin que se utilizan para representar las variables de unsistema de control. Pueden representar la salida de una bifurcacin osuma de los diagramas de bloques.

Ramas:Segmentos lineales que conectan a dos nodos. Tienen ganancias(transmitancias) y direcciones asociadas a ellas. La seal que pasa por unarama, slo se puede transmitir en la direccin de la flecha.

Transmitancias:Representan una funcin de trasferencia, ganancia o constante, asociadasa las ramas.

Flechas:Indican la direccin de las seales en una rama.

s .s+5

G(s)

Grficas de Flujo de Seal o Flujogramas

Flujogramas:

Elementos que de un Diagrama de Flujo de Seales:





LAZOS (L):Caminos o trayectos cerrados con direccin y sentido,

sin pasar ms de una vez por un mismo punto o nodo. Laganancia del lazo es el producto de todas lastransmitancias de las ramas involucradas.

LAZOS DISJUNTOS:Son aquellos Lazos que no tienen ningn nodo ni otro

elemento en comn. Su ganancia es el producto de todaslas transmitancias de las ramas involucradas

TRAYECTOS DIRECTOS (T):Caminos o trayectos desde un nodo de inicio hasta un

nodo de salida, a travs de ramas con la misma direccin,sin pasar mas de una vez por un mismo nodo. Su gananciaes el producto de todas las transmitancias de las ramasinvolucradas

Grficas de Flujo de Seal o Flujogramas

Otros Elementos dentro de un Flujograma





1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .

S+1

-1/4 -4.25

1/s

0.75

S+1

0.45

Y(s)R(s) 1

1 1

1 S+1 5S 0.2 5S

s_

s+2

2S -3

-4/S

12

S+1 0.15S

C(s)X(s) 1

0.752

R(s) Y(s)

Ejemplos de Flujogramas





Trasformacin de Diagrama De Bloques a Flujograma

Premisas Generales:

Los sumadores de un DDB sern Nodos en el Flujograma.

Las bifurcaciones presentes en el DDB, sern nodos delflujograma

Las ganancias de los bloques funcionales, representantransmitancias en el Flujograma.

Los signos presentes en los sumadores presentes en elDDB, deben transferirse a las transmitancias en elflujograma.

Los puntos de seal de entrada y/o salida se puedenconsiderar como nodos del flujograma.





Trasformacin de Diagrama De Bloques a Flujograma

G1(s) +- G2(s)+--

H2(s)

H1(s)

R(s) Y(s)

1 G1 G2 1

-H1

-1

-H2

Y(s)R(s)

Ejemplo





Transformacin de Flujograma a Diagrama de Bloques

Premisas Generales

Las Transmitancias sern bloques funcionales del Diagramade Bloques.

Los Nodos del Flujograma sern:

a) Sumadores: Si entran varias seales y una o variasseales salen

b) Bifurcaciones: Si entra una sola seal y salen varias

Los signos asociados a las transmitancias se deben transferira los sumadores en el diag. de Bolques, en los caso que aplique.

Diap. I - 11





Transformacin de Flujograma a Diagrama de Bloques

Ejemplo

Diap. I - 12

1 1/S S (s+1) 1/S

-1/4

0.75

Y(s)R(s)

-1 1

1/s

S+1

-+-R(s) 1

s ++ s (s+1) 1

s

1

4

0.75

1

s

(s+1)

++





Se basa en el uso del lgebra de bloques para agrupar y sustituir partes de undiagrama inicial por equivalentes reducidos. Realizando esto en forma sucesiva, selogra llevar el problema inicial a un slo resultado o bloque, el cual representar lafuncin de transferencia entre las seales involucradas.

+- ++A

B

A-B A-B+C

C

++ +-A

C

A+C A-B+C

B

12

+-A

B

A-B+C+C

+- +A

C

A-B A-B+C

B

+

3

A AG1G1(s) G2(s)

AG1G2A

AG2G2(s) G1(s)

AG1G2AG1

G1(s) G2(s)AG1G2

4

G1(s)G2(s)AG1G2

5AG1

G1(s)A

++

G2(s)

AG1+ AG2

G1(s)+G2(s)

AG1+ AG26

AGG(s)

A+-

AG-B

B

+-A

G(s)AG-B

1/G(s) B

A-B/G

B/G

Reduccin de Diagramas de Bloques

Algebra de diagramas de bloques: Representa las equivalencia que existen entre un conjunto de elementos de un

diagrama de bloques agrupados en una forma especfica.





7

+-A G(s)

AG-BG

B

A-B

AGG(s)A +-

AG-BG

BGG(s)B

8AG

G(s)A

AG

AG

AGG(s)

A

G(s)AG

9AG

G(s)A

A

AGG(s)

A AG

A1/G(s)

10

A A-B

A-B

+-B

A

A-B

+-

+

B

-

B

A-B

11AG1+AG2

G1(s)A

G2(s)AG2

+-A

G2(s)G1(s)

+-

AG1+AG2G1(s)

AG1 +-A

G(s)B

H(s) B

12

+-

AH(s)

AG-B

B

G(s). 1 . H(s)

+-A

G(s)B

H(s) B

13

G(s) .1G(s)H(s)

BA

14

G(s) .G(s)+H(s)

BA+-A BG(s)

H(s)

Reduccin de Diagramas de Bloques Alg. De Bloques





G1(s)+--

H1(s)

G2(s) .1+G2(s)H2(s)

Cascada

R(s)

Y(s)

+--

H1(s)

G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)

R(s) Y(s)

G1(s) +- G2(s)+--

H2(s)

H1(s)

R(s)Realimentacin

Y(s)Y(s)

R(s)

+-

H1(s)

G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)

+-

Realimentacin

H1(s)

R(s) Y(s)

+- G1(s)G2(s) .

1+G2(s)H2(s))()(1

)()(1

)()(1

)()(

21

21

21

21

sHsG

sGsG

sHsG

sGsG

G1(s) +-+--

H2(s)

H1(s)

R(s) Y(s)

G2(s)

Ejemplo de Reduccin de Diagramas de Bloques





H1(s)

R(s)

Y(s)

+- G1(s)G2(s) .

1+G2(s)H2(s) )()()()(1

)()(

2121

21

sHsGsGsG

sGsG

Realimentacin

Y(s)G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s) )(

)()()()(1

)()(1

)()()()(1

)()(

1

2121

21

2121

21

sHsHsGsGsG

sGsG

sHsGsGsG

sGsG

R(s)

Y(s)R(s)

)()()()()()(1

)()(

1212121

21

sHGsGsHsGsGsG

sGsG

Solucin

Ejemplo de Reduccin de Diagramas de Bloques





Permite la determinacin de las relaciones entrada-salida o entre seales deun flujograma mediante cierta inspeccin.

kkT

sR

sY

)(

)(

Elementos de la frmula de Ganancia de MasonTk : K-simo trayecto directo desde R(s) (entrada) hasta Y(s) (salida).

Ganancia entre Y(s) y R(s).

k : K-simo cofactor del determinante para cada trayecto directo.: Determinante del flujograma.

Las siguientes ecuaciones se aplican para determinar Tk , k y

Trayecto:Tk = Ganancias de los trayectos directos que van desde R(s) a Y(s)

54321

GGGGGTk

Frmula de Ganancia de Mason

Frmula de Ganancia de Mason en el Clculo de Funciones de transferencias

1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .

S+1

-1/4 -4.25

1/s

0.7

5

S+1

0.4

5

Y(s)R(s) 1

1 1





gfedfedcbak LLLLLLLLLL1

*

L : Lazo que no toca al trayecto K

Cofactor:

k = 1 - de lazos individuales que no tocan al k-simo trayecto directo+Sumatoria de lazos disjuntos que no tocan al k-simo trayecto directo- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen entreellos y que no tocan al k-simo trayecto directo+ Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquenentre ellos y que no tocan al k-simo trayecto directo - ...

Determinante:= 1 - Sumatoria de lazos individuales + Sumatoria de lazos disjuntos

- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen + - Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquen + ...

gfedfedcba

LLLLLLLLLL1

Frmula de Ganancia de Mason





L3T1

L2L1

L4

s 1/s 0.25s 2.5 1/s

s

s+1

2s -4.25

1/s

0.75

0.45

Y(s)R(s) 1

11

Y(s)

R(s)=?

Ejemplo 1 de Frmula de Ganancia de Mason

Ejemplo de Aplicacin de la frmula Mason en el clculo de funcin de transferencia

Para la aplicacin de la frmula hay que hallar primero todos los lazos y trayectos.

L5

Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)

)1(625.01

1

15.225.0

11

s

s

s

s

ss

ssT





EJEMPLO (Cont)

Lazos individuales La:

ssss

L 25.125.225.01

1

1125.2)25.4.(

1

15.225.0

2

s

s

s

s

ssL

ssL 468.075.05.225.03

24

1625.01

11

15.225.0

1

ssss

sL

)1(

1281.01

145.0

1

15.225.0

15

ssss

s

ss

sL

Lazos Disjuntos LbLc:

No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en comn.

Productos Triples de lazos LbLcLd: No hay

Ejemplo 1 de Frmula de Ganancia de Mason (cont)





Determinante del flujograma ( )

gfedfedcba

LLLLLLLLLL1

En este problema los trminos de sumas de productos dobles, triples en adelante son cero por tanto el determinante se transforma en :

aL1

Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresin para el determinante

)(154321

LLLLL

)1(

1281.0

1625.0468.0

1125.225.11

2sss

ss

ss

)1(

281.0)1(625.0))1((468.0125.2))1((25.11

2

222

ss

ssssssssss

)1(

281.0625.0625.0468.0468.0125.225.125.1

2

3433423

ss

sssssssss

Agrupando trminos semejantes se obtiene:

)1(

625.0906.0843.2718.1

2

234

ss

ssss






Cofactores del Determinante del flujograma ( k )

Habrn tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe slo un trayecto directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)

El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto. Todos los lazos tocan alnico trayecto, por tanto: )(1

543211LLLLL

11

Aplicando la Frmula de Mason

kkT

sR

sY

)(

)( 11

)(

)( T

sR

sY

)1(

625.0906.0843.2718.1

1)1(

0625

)(

)(

2

234

ss

ssss

s

s

sR

sY

625.0906.0843.2718.1

625.0

234

3

ssss

s

625.0906.0843.2718.1

625.0

)(

)(

234

3

ssss

s

sR

sY






1 G1 G2 1

-H1

-1

-H2

Y(s)R(s)

T1

L1

L2L3

Ejemplo 2 de Frmula de Ganancia de Mason

Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)

2121111 GGGGT

Lazos individuales La:

1211211HGGHGGL

22222HGHGL

212131 GGGGL





Lazos Disjuntos LbLc ,Triples LbLcLd , etc :

No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en comn.

Determinante del flujograma

Este problema los trminos de sumas de productos dobles, triples en adelante tambin son cero por tanto el determinante se transforma en :

aL1

)(1321

LLL


gfedfedcba

LLLLLLLLLL1

0 0 0





Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresin para el determinante

)(12122121

GGHGHGG

21221211 GGHGHGG

Cofactores del Determinante del flujograma

Habrn tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe slo un trayento directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto T1. Por tanto, 1 queda dela siguiente forma ya que todos los lazos tocan al trayecto 1:

)(13211

LLL

11







Finalmente se Aplica la Frmula de Mason

kkT

sR

sY

)(

)(

11

)(

)( T

sR

sY

2122121

21

1

)1()(

)(

)(

GGHGHGG

GG

sR

sY

)(1)(

)(

12112

21

GHHGG

GG

sR

sYSolucin

TEMA I Nvo - Diag. Bloques. Flujogramas

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