TEMA I Nvo - Diag. Bloques. Flujogramas

Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas

Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas

Dpto de Computación y Sistemas

Tema I: Diag Bloques, Flujogramas.

Título

DIAGRAMAS DE BLOQUES,

FLUJOGRAMAS

Y SUS OPERACIONES

TEMA I

Universidad de OrienteNúcleo de Anzoátegui

Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas




Tema I: Diag Bloques, Flujogramas. Diap. I - 2

DIAGRAMAS DE BLOQUES, DIAGRAMAS DE FLUJO DE SEÑAL

TEMA I – Objetivos

Objetivo Terminal:

Aplicar las técnicas de diagramas de bloques y flujogramas en larepresentación y cálculo de relaciones entre variables dentro de lossistemas de control.

Objetivos Específicos:

Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde bloques.

Identificar las descripciones de sistemas de control por medio de diagramasde flujo de señal.

Aplicar la técnica de reducción de diagramas de bloques en el cálculo derelaciones entre variables dentro de los sistemas de control.

Aplicar la fórmula de ganancia de mason en el cálculo de relaciones entrevariables dentro de los sistemas de control.

Convertir diagramas de bloques a flujogramas y viceversa.





TEMA I – Contenido

Elementos de un diagrama de bloques.

Ejemplos de diagramas de bloques.

Elementos de un diagrama de flujo de señales o flujogramas.

Ejemplos de diagramas de flujo de señal o flujogramas

Algebra de bloques

Aplicación del algebra de bloques en la reducción de bloques

Cálculo de funciones de transferencia por reducción de diagramas de bloques.

Fórmula de ganancia de mason.

Elementos de la fórmula de ganancia de mason.

Definición de lazos individuales.

Definición de lazos disjuntos.

Definición de Trayectos directos.

Cálculo de relaciones entre variables o funciones de transferencia.

Transformación de diagramas de bloques en flujogramas.

Transformación de flujogramas en diagramas de bloques.





Representan en forma gráfica las funciones realizadas por los componentes queforman parte de una planta o proceso industrial. En él también se indica el flujo delas señales que intervienen.

BLOQUE FUNCIONAL:Representación o símbolo de algún elementode la planta o proceso o controlador.

SUMADOR:Representan operaciones de adición osustracción de las señales que intervienen.También se les llama comparadores. (laadición o sustracción depende del signocon que la señales entran)

BIFURCACION:Representan puntos de ruptura de unaseñal específica. Puntos de toma de señal.

G(s)

G(s)

+- +-- +

-

+

-

++

+

Diagramas de Bloques

• Elementos de un Diagrama de Bloques





(s+3) +-1

(s+4)+--

Entrada

2(s)

s+5

2s-6

Diagramas de Bloques

• Ejemplos de Diagramas de Bloques

G1(s) +- G2(s)+--

H3(s)

H1(s)

Entrada

H2(s)

+

G1(s) G2(s)+--

H3(s)

H1(s)

Y(s)

H2(s)

+-+ G3(s) +-

+

H4(s) H5(s)

R(s)





Medio gráfico para representar las relaciones de entrada salida de unconjunto de elementos

Nodos: (Representa a una variable o señal)Puntos de unión que se utilizan para representar las variables de unsistema de control. Pueden representar la salida de una bifurcación osuma de los diagramas de bloques.

Ramas:Segmentos lineales que conectan a dos nodos. Tienen ganancias(transmitancias) y direcciones asociadas a ellas. La señal que pasa por unarama, sólo se puede transmitir en la dirección de la flecha.

Transmitancias:Representan una función de trasferencia, ganancia o constante, asociadasa las ramas.

Flechas:Indican la dirección de las señales en una rama.

s .

s+5

G(s)

Gráficas de Flujo de Señal o Flujogramas

Flujogramas:

Elementos que de un Diagrama de Flujo de Señales:





LAZOS (L):Caminos o trayectos cerrados con dirección y sentido,

sin pasar más de una vez por un mismo punto o nodo. Laganancia del lazo es el producto de todas lastransmitancias de las ramas involucradas.

LAZOS DISJUNTOS:Son aquellos Lazos que no tienen ningún nodo ni otro

elemento en común. Su ganancia es el producto de todaslas transmitancias de las ramas involucradas

TRAYECTOS DIRECTOS (T):Caminos o trayectos desde un nodo de inicio hasta un

nodo de salida, a través de ramas con la misma dirección,sin pasar mas de una vez por un mismo nodo. Su gananciaes el producto de todas las transmitancias de las ramasinvolucradas

Gráficas de Flujo de Señal o Flujogramas

Otros Elementos dentro de un Flujograma





1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .

S+1

-1/4 -4.25

1/s

0.75

S+1

0.45

Y(s)R(s) 1

1 1

1 S+1 5S 0.2 5S

s_

s+2

2S -3

-4/S

12

S+1 0.15S

C(s)X(s) 1

0.752

R(s) Y(s)

Ejemplos de Flujogramas





Trasformación de Diagrama De Bloques a Flujograma

• Premisas Generales:

Los sumadores de un DDB serán Nodos en el Flujograma.

Las bifurcaciones presentes en el DDB, serán nodos delflujograma

Las ganancias de los bloques funcionales, representantransmitancias en el Flujograma.

Los signos presentes en los sumadores presentes en elDDB, deben transferirse a las transmitancias en elflujograma.

Los puntos de señal de entrada y/o salida se puedenconsiderar como nodos del flujograma.





Trasformación de Diagrama De Bloques a Flujograma

G1(s) +- G2(s)+--

H2(s)

H1(s)

R(s) Y(s)

1 G1 G2 1

-H1

-1

-H2

Y(s)R(s)

• Ejemplo





Transformación de Flujograma a Diagrama de Bloques

• Premisas Generales

Las Transmitancias serán bloques funcionales del Diagramade Bloques.

Los Nodos del Flujograma serán:

a) Sumadores: Si entran varias señales y una o variasseñales salen

b) Bifurcaciones: Si entra una sola señal y salen varias

Los signos asociados a las transmitancias se deben transferira los sumadores en el diag. de Bolques, en los caso que aplique.

Diap. I - 11





Transformación de Flujograma a Diagrama de Bloques

• Ejemplo

Diap. I - 12

1 1/S S (s+1) 1/S

-1/4

0.75

Y(s)R(s)

-1 1

1/s

S+1

-+-R(s) 1

s ++ s (s+1)

1

s

1

4

0.75

1

s

(s+1)

++





Se basa en el uso del “álgebra de bloques“ para agrupar y sustituir partes de undiagrama inicial por equivalentes reducidos. Realizando esto en forma sucesiva, selogra llevar el problema inicial a un sólo resultado o bloque, el cual representará lafunción de transferencia entre las señales involucradas.

+- ++A

B

A-B A-B+C

C

++ +-A

C

A+C A-B+C

B

12

+-A

B

A-B+C+C

+- +A

C

A-B A-B+C

B

+

3

A AG1G1(s) G2(s)

AG1G2A

AG2

G2(s) G1(s)

AG1G2

AG1

G1(s) G2(s)AG1G2

4

G1(s)G2(s)AG1G2

5AG1

G1(s)A

++

G2(s)

AG1+ AG2

G1(s)+G2(s)

AG1+ AG26

AGG(s)

A+-

AG-B

B

+-A

G(s)AG-B

1/G(s) B

A-B/G

B/G

Reducción de Diagramas de Bloques

Algebra de diagramas de bloques:• Representa las equivalencia que existen entre un conjunto de elementos de un

diagrama de bloques agrupados en una forma específica.





7

+-A G(s)

AG-BG

B

A-B

AGG(s)A +-

AG-BG

BGG(s)B

8AG

G(s)A

AG

AG

AGG(s)

A

G(s)AG

9AG

G(s)A

A

AGG(s)

A AG

A1/G(s)

10

A A-B

A-B

+-B

A

A-B

+-

+

B

-

B

A-B

11AG1+AG2

G1(s)A

G2(s)AG2

+-A

G2(s)G1(s)

+-

AG1+AG2

G1(s)AG1 +-

AG(s)

B

H(s) B

12

+-

AH(s)

AG-B

B

G(s). 1 . H(s)

+-A

G(s)B

H(s) B

13

G(s) .1±G(s)H(s)

BA

14

G(s) .G(s)+H(s)

BA+-A BG(s)

H(s)

Reducción de Diagramas de Bloques Alg. De Bloques





G1(s)+--

H1(s)

G2(s) .1+G2(s)H2(s)

Cascada

R(s)

Y(s)

+--

H1(s)

G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)

R(s) Y(s)

G1(s) +- G2(s)+--

H2(s)

H1(s)

R(s)Realimentación

Y(s)Y(s)

R(s)

+-

H1(s)

G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)+-

Realimentación

H1(s)

R(s) Y(s)

+- G1(s)G2(s) .

1+G2(s)H2(s))()(1

)()(1

)()(1

)()(

21

21

21

21

sHsG

sGsG

sHsG

sGsG

G1(s) +-+--

H2(s)

H1(s)

R(s) Y(s)

G2(s)

Ejemplo de Reducción de Diagramas de Bloques





H1(s)

R(s)

Y(s)

+- G1(s)G2(s) .

1+G2(s)H2(s) )()()()(1

)()(

2121

21

sHsGsGsG

sGsG

Realimentación

Y(s)G1(s)G2(s) .1+G2(s)H2(s)

)()()()()(1

)()(1

)()()()(1

)()(

1

2121

21

2121

21

sHsHsGsGsG

sGsG

sHsGsGsG

sGsG

R(s)

Y(s)R(s)

)()()()()()(1

)()(

1212121

21

sHGsGsHsGsGsG

sGsG

Solución

Ejemplo de Reducción de Diagramas de Bloques





Permite la determinación de las relaciones entrada-salida o entre señales deun flujograma mediante cierta inspección.

kkT

sR

sY

)(

)(

Elementos de la fórmula de Ganancia de MasonTk : K-ésimo trayecto directo desde R(s) (entrada) hasta Y(s) (salida).

Ganancia entre Y(s) y R(s).

k : K-ésimo cofactor del determinante para cada trayecto directo.: Determinante del flujograma.

Las siguientes ecuaciones se aplican para determinar Tk , k y

Trayecto:Tk = Ganancias de los trayectos directos que van desde R(s) a Y(s)

54321

GGGGGTk

Fórmula de Ganancia de Mason

• Fórmula de Ganancia de Mason en el Cálculo de Funciones de transferencias

1 1/S 0.25S 1.25 1/SS .

S+1

-1/4 -4.25

1/s

0.7

5

S+1

0.4

5

Y(s)R(s)1

1 1





gfedfedcbakLLLLLLLLLL1

*

L : Lazo que no toca al trayecto “K”

Cofactor:

k = 1 - de lazos individuales que no tocan al k-ésimo trayecto directo+Sumatoria de lazos disjuntos que no tocan al k-ésimo trayecto directo- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen entreellos y que no tocan al k-ésimo trayecto directo+ Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquenentre ellos y que no tocan al k-ésimo trayecto directo - ...

Determinante:= 1 - Sumatoria de lazos individuales + Sumatoria de lazos disjuntos

- Sumatoria del producto de grupos de tres lazos que no se toquen + - Sumatoria del producto de grupos de cuatro lazos que no se toquen + ...

gfedfedcba

LLLLLLLLLL1

Fórmula de Ganancia de Mason





L3

T1

L2L1

L4

s 1/s 0.25s 2.5 1/s

s

s+1

2s -4.25

1/s

0.75

0.45

Y(s)R(s) 1

11

Y(s)

R(s)=?

Ejemplo 1 de Fórmula de Ganancia de Mason

• Ejemplo de Aplicación de la fórmula Mason en el cálculo de función de transferencia

Para la aplicación de la fórmula hay que hallar primero todos los lazos y trayectos.

L5

Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)

)1(625.01

1

15.225.0

11

s

s

s

s

ss

ssT





EJEMPLO (Cont)

Lazos individuales La:

ssss

L 25.125.225.01

1

1125.2)25.4.(

1

15.225.0

2

s

s

s

s

ssL

ssL 468.075.05.225.03

24

1625.01

11

15.225.0

1

ssss

sL

)1(

1281.01

145.0

1

15.225.0

15

ssss

s

ss

sL

Lazos Disjuntos LbLc:

No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en común.

Productos Triples de lazos “LbLcLd”: No hay

Ejemplo 1 de Fórmula de Ganancia de Mason (cont)





Determinante del flujograma ( )

gfedfedcba

LLLLLLLLLL1

En este problema los términos de sumas de productos dobles, triples en adelante son cero por tanto el determinante se transforma en :

aL1

Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresión para el determinante

)(154321

LLLLL

)1(

1281.0

1625.0468.0

1125.225.11

2sss

ss

ss

)1(

281.0)1(625.0))1((468.0125.2))1((25.11

2

222

ss

ssssssssss

)1(

281.0625.0625.0468.0468.0125.225.125.1

2

3433423

ss

sssssssss

Agrupando términos semejantes se obtiene:

)1(

625.0906.0843.2718.1

2

234

ss

ssss






Cofactores del Determinante del flujograma ( k )

Habrán tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe sólo un trayecto directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)

El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto. Todos los lazos tocan alúnico trayecto, por tanto: )(1

543211LLLLL

11

Aplicando la Fórmula de Mason

kkT

sR

sY

)(

)( 11

)(

)( T

sR

sY

)1(

625.0906.0843.2718.1

1)1(

0625

)(

)(

2

234

ss

ssss

s

s

sR

sY

625.0906.0843.2718.1

625.0

234

3

ssss

s

625.0906.0843.2718.1

625.0

)(

)(

234

3

ssss

s

sR

sY






1 G1 G2 1

-H1

-1

-H2

Y(s)R(s)

T1

L1

L2

L3

Ejemplo 2 de Fórmula de Ganancia de Mason

Trayectorias Directas Tk: (caminos desde la entrada hasta la salida)

2121111 GGGGT

Lazos individuales La:

1211211HGGHGGL

22222HGHGL

212131 GGGGL





Lazos Disjuntos LbLc ,Triples “LbLcLd” , etc :

No existen lazos disjuntos ya que todos los lazos individuales tienen al menos un nodo en común.

Determinante del flujograma

Este problema los términos de sumas de productos dobles, triples en adelante también son cero por tanto el determinante se transforma en :

aL1

)(1321

LLL


gfedfedcba

LLLLLLLLLL1

0 0 0





Sustituyendo las ganancias se obtiene la expresión para el determinante

)(12122121

GGHGHGG

21221211 GGHGHGG

Cofactores del Determinante del flujograma

Habrán tantos cofactores como trayectos directos existan.En este ejemplo existe sólo un trayento directo, por tanto hay nada mas un cofactor ( 1)El cofactor es igual al pero sin los lazos que tocan al trayecto T1. Por tanto, 1 queda dela siguiente forma ya que todos los lazos tocan al trayecto 1:

)(13211

LLL

11







Finalmente se Aplica la Fórmula de Mason

kkT

sR

sY

)(

)(

11

)(

)( T

sR

sY

2122121

21

1

)1()(

)(

)(

GGHGHGG

GG

sR

sY

)(1)(

)(

12112

21

GHHGG

GG

sR

sYSolución

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