MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO

Tema A1a Diseño: Honeycomb

“Análisis estructural en variaciones de celda constitutiva de un arreglo en panal”

Corro Hernández Humberto*, Vidal Lesso Agustín, Ledesma Orozco Elías Rigoberto

Departamento de Ingeniería Mecánica, División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca,Universidad de Guanajuato. Valle de Santiago Km. 3.5 +

1.8. Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Gto. C.P. 36885, México

*h.corrohernandez@ugto.mx

RESUMEN

Basado en un desarrollo previo de un arreglo en panal con celdas constitutivas con rigidez negativa para amortiguamiento y

absorción de energía, se presentan variaciones geométricas del mismo. La celda constitutiva correspondiente al modelo

original es modificada en dimensiones, construcción y proporciones, en busca de la aplicación de su principio de

funcionamiento a una escala menor. Adicionalmente, un cambio del material original a polietileno de ultra alto peso

molecular (UHMWPE) grado quirúrgico GUR1050 es empleado, con miras a una aplicación biomédica.

Los resultados son generados por medio de análisis por elemento finito (FEA), poniendo énfasis en el nivel de esfuerzos

generados. Se encuentra la relación entre geometrías, desplazamientos, deformaciones y esfuerzos y se verifica la factibilidad

del cambio de rigidez del concepto original para una aplicación distinta.

ABSTRACT

Based on a previous negative stiffness cell-pattern honeycomb for damping and energy absorption, geometrical variations are

developed. Constitutive cell pattern is modified on dimensions, building, and proportions, looking for the application of the

concept on a smaller scale. In addition, a change of original material to surgical grade Ultra High Molecular Weight

Polyethylene (UHMWPE) GUR1050 is proposed in order for future development of a biomedical application.

Results are generated by finite element analysis (FEA), with focus on generated stress levels. A correlation among

geometry, deformation, strain and stresses is found, so the feasibility of stiffness variation from the original concept for a

different application.

1. Introducción

Los arreglos en panal (honeycomb) son arreglos

materiales de unidades o celdas en un patrón repetitivo,

usados en aplicaciones varias debido a su capacidad para

soportar cargas de forma eficiente [1].

Dichos arreglos trabajan bien a compresión, y se les

considera más eficientes para la absorción de energía que

las espumas de semejante densidad [2] de ahí que se les

emplee en amortiguamiento.

Por otro lado, la elasticidad negativa se puede entender

como la ocurrencia, en un elemento, de la existencia de una

fuerza en la misma dirección en la que se impone un

desplazamiento, favoreciéndolo [3-4]. Así, el sistema

requiere una disminución de la carga para incrementar su

desplazamiento [5].

El uso de esta propiedad ha sido estudiado sobre todo en

el campo de la reducción de vibraciones mecánicas [5],

sobre todo por la gran capacidad de recuperación de la

forma original de dichos elementos ante grandes

deformaciones [6]

De la unión de ambos conceptos, se espera que el uso de

un patrón repetitivo de una figura que tienda a exhibir

elasticidad negativa absorba más energía, sea un mejor

amortiguador, y sobre todo, sea relevante en aplicaciones

en las que se desea disminuir el desgaste debido a esas

causas y así aumentar la vida útil.

1.1. Desarrollos previos

Debe destacarse en este sentido la investigación de

Correa et. al. [6-8], siendo el obligado punto de partida de

este trabajo.

A partir del análisis de una viga pandeada en forma de

“S” y suficiente restricción lateral en los extremos, se

encontró que la misma tenía posiciones de equilibrio fijas.

De esta manera, al aplicarle una carga perpendicular, la

viga usaba la energía almacenada por la deformación

original y mostraba propiedades de rigidez negativa [8].

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Con esto en mente, se llegó a la propuesta de celda

repetitiva y geometría de arreglo en panal mostrada en la

Figura 1.

Figura 1 Geometría propuesta para arreglo en panal (honeycomb)

con rigidez negativa (Correa, 2015).

Se observa que la celda constituyente tiene unas

dimensiones máximas de 55.88 mm en horizontal

Específicamente, se considera la siguiente función para las

curvas de los travesaños:

( ) ( ) ( ( )) ⁄ (1)

Donde la función w(x) indica la distancia respecto a un

eje de referencia horizontal a partir del cual se mide la

distancia que es la variable x; l indica la longitud de celda

y h es la altura de la misma. De esta manera se aseguraba

una geometría de deformación única [8].

Con base en lo anterior, se llevó a cabo una prueba

experimental del modelo tridimensional. Basado en la

geometría mostrada, el material de prueba fue nylon 11, y

la aplicación específica fue como amortiguador en el

asiento de una bicicleta [8].

En el mismo trabajo se discute también la posible

aplicación de un diseño derivado para un casco de

combate, en la cual la absorción de energía por parte de

dicho patrón alrededor de la geometría original permita

disminuir los efectos de un proyectil [8].

Si bien es de esperar que las condiciones específicas

varíen el desempeño, se estima que la construcción del

arreglo en panal propuesta en la Fig. 1. puede restituirse sin

problemas de una compresión vertical que lo reduzca hasta

el 50% de su altura original [8].

1.2. Aportaciones esperadas

De la experiencia anterior [6-8] y trabajos relacionados [3-

4] se considera que el enfoque combinado de arreglos en

panal y rigidez negativa es efectivo para la absorción de

energía. Y por tanto, susceptible de utilización en otros

campos.

En particular, para que la aplicación del concepto sea

compatible con aplicaciones biomédicas, se consideró un

cambio hacia un material biocompatible.

Esto implica también que las dimensiones de la

geometría deben reducirse para poder funcionar a una

escala más acorde al cuerpo humano.

Figura 2. Escalamiento de la geometría de celda.

En la Figura anterior, si bien la geometría original se

respeta en proporciones, la dimensión máxima horizontal

es de apenas 2.20 mm.

De tal suerte, a partir de la anterior se busca obtener

una variación geométrica del concepto para aplicaciones

que requieren absorción de energía en un espacio

restringido.

2. Métodos de simulación

La primera aproximación para obtener este tipo de

diseños se hace a partir de un análisis de elemento finito

(FEA). El software empleado fue ANSYS 15®

2.1. Modelo de material

El modelo de material fue ajustado a partir de los

valores de las propiedades mecánicas de GUR1050, una

variedad de polietileno de ultra alto peso molecular

(UHMWPE) grado quirúrgico, de amplio uso en implantes

ortopédicos [9].

Para simular dicho material se empleó un modelo

hiperelástico de Mooney-Rivlin de 9 parámetros [10]. Los

mismos fueron obtenidos a partir del ajuste de datos

obtenidos por pruebas mecánicas de tensión y compresión

[11-12] en el propio software de análisis por elemento

finito [13].

Tabla 1 – Ajuste de modelo de Mooney-Rivlin de 9

parámetros Parámetro Parámetro

C10 -5.718 E+08 Pa C30 3.7987 E+05 Pa

C01 6.4729 E+08 Pa C21 -5.2756 E+06 Pa

C20 8.6457 E+09 Pa C12 -2.1332 E+09 Pa

C11 -1.852 E+10 Pa C03 1.3183 E+09 Pa

C02 1.0361 E+10 Pa D1 1 E-12 Pa^-1

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Dicho modelo de material tiene un error de hasta 20%

en deformaciones inferiores al 10%, pero en el rango de

deformación de 20 a 44% ajusta con un error de menos de

10% en esfuerzos [9].

De la información previa [8], se espera que este rango

de deformación sea la que predomine en la estructura de

cada celda, por tanto el modelo de material es válido para

su aplicación.

A partir de las mismas pruebas, se estableció el valor de

20 MPa como el límite de fluencia para el material [9].

2.2. Análisis por elemento finito

La geometría empleada es bidimensional. Por tanto, la

formulación se dio en base al elemento PLANE 162[13].

En cuanto a las condiciones de frontera, se fijó la arista

del extremo inferior, mientras que en el extremo superior

es desplazado verticalmente 0.252 mm en dirección

negativa. Entre tanto, se restringe el desplazamiento

horizontal de toda la estructura

Figura 3. Condiciones de frontera comunes entre simulaciones

Las anteriores son las características comunes a todas

las simulaciones.

Los resultados a obtener para cada geometría son:

desplazamiento máximo total de la estructura, la

deformación unitaria total calculada, el esfuerzo máximo

de von Mises calculado y la energía de deformación

vinculada.

3. Cambio en el espesor de las vigas horizontales

La primera opción para modificar la rigidez es modificar la

altura de los travesaños en curva. En la celda base, cada

uno de los travesaños tiene una espesor h de 0.025 mm.

a) h=0.025 mm

b) h=0.05 mm

c) h=0.02 mm

Figura 4. Geometrías modificadas en espesor de viga

Es de esperar que a mayor espesor de cada travesaño, la

rigidez del mismo aumente. Por otro lado, hay que

considerar que un travesaño más delgado puede ser más

difícil de fabricar, pero sería más fácil de deformar. Esto

puede ser una ventaja considerando que la estructura

original está planeada para operar con una gran

deformación; por otro lado hay que considerar que la

misma carga terminaría por aumentar el nivel de esfuerzo.

Los resultados se reportan en la Tabla subsiguiente:

Tabla 2 – Comparativa de resultados. Cambio en el espesor de la viga

Modelo h=0.025 h=0.05 h=0.02

Desplazamiento máximo

total 0.28308 0.27055 0.28464

Deformación total

equivalente máxima 0.028636

5.1484e-

002

2.2303e-

002 ---

Esfuerzo máximo 14.732 30.045 10.77

Energía de deformación 1.344e-

008

1.1896e-

004

5.9429e-

006

Debe de tomarse en cuenta que los valores son los

máximos, por tanto podrían referirse a concentradores de

esfuerzos dentro de la estructura debidos a la

discretización. Sin embargo, el esfuerzo es un indicador

para considerar si la estructura o no trabaja dentro de

límites seguros.

4. Cambio en el periodo de la función de la viga

La razón primordial para que la curva de los travesaños

fuera dada por la ec.(1) fue para asegurar una deformación

específica de la estructura al ser sometida a una carga. Se

observa que esta es de tipo trigonométrico.

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Otra posibilidad planteada para generar variaciones de

la celda base fue ajustar la fórmula de tal forma que la

curva del travesaño es ahora dada por la ec. (2):

( ) ( ) ( ( )) ⁄ (2)

Donde el parámetro A controla el periodo de la función

trigonométrica. En el caso A=1, se obtiene la celda base.

La Figura 5 muestra las geometrías simuladas.

a) A=1

b) A=1/2

c) A=1/4

d) A=4/3

Figura 5. Geometrías modificadas en la función de viga

La Tabla 3 muestra los resultados máximos de forma

análoga.

Tabla 3 – Comparativa de resultados. Cambio en el espesor de la viga

Modelo A=1 A=1/2 A=1/4 A=4/3

Desplazamiento

máximo total 0.28308 0.25205 0.252 0.252

Deformación

total

equivalente

máxima

0.028636 1.0096e-

002

1.8199e-

002

1.5421e-

002 ---

Esfuerzo

máximo 14.732 4.9628 7.1242 3059.8

Energía de

deformación

1.344e-

008

1.8901e-

006

7.3139e-

006

1.2979e-

003

Los resultados muestran que el desplazamiento total

entre las celdas modificadas es más cercano al valor del

desplazamiento de las condiciones de frontera. Las

deformaciones equivalentes se encuentran en rangos muy

próximos (1-2 %).

En cuanto a los esfuerzos máximos, la discrepancia es

mayor. En particular para el último caso si bien existen

concentradores de esfuerzos; el valor demasiado elevado (y

por consiguiente el de energía de deformación) indica con

gran probabilidad un error numérico.

5. Cambio en el soporte de los travesaños

Por último, se considera una opción adicional para

rigidizar los travesaños.

Análisis anteriores mostraron que la distancia entre los

travesaños es prácticamente invariable a pesar de la

deformación; pero la existencia de elementos tipo columna

garantizaría esa distancia, la ausencia de contacto entre

travesaños y aumentarían la rigidez general de la

estructura.

La Figura muestra las adecuaciones hechas a la celda

original.

Figura 6. Geometría modificada con elementos tipo

columna

Los resultados obtenidos nuevamente se listan como

Tabla:

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Tabla 4 – Comparativa de resultados. Adición de elementos columna

Modelo Celda base Columnas

Desplazamiento

máximo total 0.28308 0.26804

Deformación total

equivalente

máxima

0.028636 3.5576e-002 ---

Esfuerzo máximo 14.732 16.669

Energía de

deformación 1.344e-008 1.3432e-005

La evidencia indica que si bien los soportes adicionales

en sí no se deforman ni se esfuerzan particularmente, la

rigidez sí aumenta para toda la estructura, teniendo un

desplazamiento menor, un esfuerzo ligeramente mayor,

pero sobre todo un aumento de la energía de deformación.

6. Resultados generales

Del escalamiento empleado en la geometría original, si

bien obviamente la deformación y el nivel de energía

absorbidos no son iguales, se verifica que el mecanismo de

rigidez negativa funciona de manera normal aún con el

cambio de dimensiones al permitir una deformación

completa de la celda con mayor facilidad.

Sin embargo, la escala manejada dificultaría una

reducción excesiva de esta dimensión, en caso de que se

decidiera llevar a cabo experimentación con una geometría

real.

El cambio de la curva del travesaño tiene un efecto más

importante para la rigidez general de la estructura. La

geometría de la deformación también cambia.

Teóricamente la mayor sinuosidad sería favorable al

permitir una mayor deformación; sin embargo los

resultados muestran concentradores de esfuerzos y valores

peligrosos para una operación segura.

La adición de elementos de soporte a los travesaños

parece favorable para la operación, puesto que no modifica

la geometría ni la deformación de forma radical pero

aumenta la energía de deformación. Sin embargo, no se

sabe cómo puede interactuar con las otras modificaciones.

Por otro lado, falta analizar el comportamiento de las

celdas como un arreglo completo, como el propuesto

originalmente en la Figura1.

7. Conclusiones

El objetivo de los cambios propuestos a la geometría de

Correa (2015) fue la de aumentar la absorción de energía

en una escala más pequeña, compatible con la

implementación en aplicaciones biomédicas. Por otro lado,

el cambio de material también se hizo con miras al fácil

desarrollo de un prototipo rápido, con la perspectiva de la

comprobación experimental de los resultados obtenidos.

Los valores obtenidos muestran una relación entre la

construcción de la celda y su rigidez, por tanto su

desempeño. Dependiendo de la futura aplicación que se le

dé, puede o no ser deseable tener más rigidez.

En el caso de la absorción de energía, a mayor

deformación, esta se incrementa, aunque el riesgo de llegar

a la falla del material aumenta. Por otro lado, la

rigidización excesiva implica que un mismo

desplazamiento de la estructura conlleva un esfuerzo

mayor.

Puesto que algunas geometrías mostradas operan dentro

del límite de desplazamiento y esfuerzos, se verifica la

factibilidad del cambio de rigidez del concepto original

para una aplicación distinta.

Agradecimientos

Se agradece a la Universidad de Guanajuato el acceso a la

licencias de SolidWorks y ANSYS 15®

REFERENCIAS

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