TEMA 9: Value at Risk (VAR) - RUA: Principalrua.ua.es/dspace/bitstream/10045/16066/16/Tema 9...

A ttAppuunn eess ddee IInnggeenniieerrííaa FFiinnaanncciieerraa

TTEEMMAA 99:: VVaalluuee aatt RRiisskk ((VVAARR))

© CARLOS FORNER RODRÍGUEZ

Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE

En este tema vamos a estudiar una forma alternativa de medir el riesgo

de una cartera de inversión: el Valor en Riesgo (VAR). El VAR es la pérdida

máxima que puede tener una inversión en un determinado horizonte temporal y

con un determinado nivel de confianza. Por ejemplo, una “VAR a 1 mes con un

nivel de confianza del 99%” de 1.000 € significa que con una probabilidad del

99% no vamos a perder más de 1.000 € durante los próximos 30 días; o lo que

es lo mismo, la probabilidad de sufrir pérdidas superiores a 1.000 € durante los

próximos 30 días es tan sólo del 1%.

Esta forma de medir el riesgo tiene dos atractivos. Primero, es más

intuitiva y por tanto más fácil de interpretar por parte de inversores con

menores conocimientos en valoración de carteras. Es más fácil entender que “la

probabilidad de sufrir pérdidas superiores a 1.000 € durante los próximos 30

días es tan sólo del 1%” que “este bono tiene una duración de 1 año”, “esta

acción tiene una varianza de 0,15” o “esta opción tiene una sensibilidad Delta

del 0,20”. Segundo, permite calcular en nivel de riesgo de una cartera que

combina distintos tipos de productos financieros: renta variable, renta fija y

derivados.

1

Apuntes de Apuntes de IngenierIngenieríía Financieraa Financiera

TEMA 9: VALUE AT RISK (VAR)TEMA 9: VALUE AT RISK (VAR)

© Carlos Forner Rodríguez

Universidad de AlicanteDepartamento de Economía Financiera y Contabilidad

22

Tema 9: VARTema 9: VARApuntes de IngenierApuntes de Ingenieríía Financiera Carlos a Financiera Carlos FornerForner

1. Introducción

2. Cálculo del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas2.1. VAR de una acción2.2. VAR de una opción2.3. VAR de un bono2.4. VAR de una cartera2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas-Covarianzas

Apéndice 1: Duración y Convexidad de un bono

Apéndice 2: Cálculo de la matriz de correlaciones con Excel.

ÍÍndicendice

Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner

2

33


VARVAR ⇒⇒ Forma alternativa de medir el riesgo:Forma alternativa de medir el riesgo:

¿¿CuCuáánto puedo llegar a perder?nto puedo llegar a perder?

DefiniciDefinicióón:n: ppéérdida mrdida mááxima que puede tener una inversixima que puede tener una inversióón en un n en un determinado horizonte temporal y con un determinado nivel de determinado horizonte temporal y con un determinado nivel de confianzaconfianza

EjemploEjemplo: VAR(1 d: VAR(1 díía)a)99%99%= 100.000= 100.000€€ ⇒⇒

–– La probabilidad (pLa probabilidad (péérdidas en un drdidas en un díía > 100.000) = 1%a > 100.000) = 1%

–– La probabilidad (pLa probabilidad (péérdidas en un drdidas en un díía < 100.000) = 99%a < 100.000) = 99%

Nos referimos a Nos referimos a ppéérdidas relativasrdidas relativas al resultado esperado:al resultado esperado:

Siguiendo el ejemploSiguiendo el ejemplo: Si el beneficio esperado es de 70.000: Si el beneficio esperado es de 70.000€€ ⇒⇒

–– La probabilidad (pLa probabilidad (péérdidas absolutas en un drdidas absolutas en un díía > 30.000a > 30.000€€) = 1%) = 1%

1. Introducci1. Introduccióónn

44


¿¿CCóómo medimos el riesgo de los activos financieros?:mo medimos el riesgo de los activos financieros?:

–– Acciones Acciones ⇒⇒ volatilidad (volatilidad (σσ))

–– Opciones Opciones ⇒⇒ Sensibilidades (Delta y Gamma) Sensibilidades (Delta y Gamma) ⇒⇒ Carteras Carteras homoghomogééneasneas

–– Bonos Bonos ⇒⇒ DuraciDuracióón y Convexidadn y Convexidad

El VAR nos permite obtener una medida global del riesgo El VAR nos permite obtener una medida global del riesgo de una cartera heterogde una cartera heterogéénea compuesta por distintos tipos nea compuesta por distintos tipos de activos financieros (acciones, opciones con distintos de activos financieros (acciones, opciones con distintos subyacentes, bonos)subyacentes, bonos)

1. Introducci1. Introduccióónn


3

55


2.1. C2.1. Cáálculo del VAR de una accilculo del VAR de una accióónnVAR para un horizonte temporal [TVAR para un horizonte temporal [T--t] con un nivel de confianza t] con un nivel de confianza ““cc””::

( ) ( )( ) ( )

( )

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[

Prob º Prob º 1

Prob [ ] 1 Prob (1 ) (1 [ ]) 1

Prob ( [ ]) 1 Prob [ ] 1

[ ]Prob

T t T t

T T t T t t T t

t T t T t T t T tt

T t T t

R T

B VAR c B VAR c

P E P VAR c P R P E R VAR c

VARP R E R VAR c R E R c

P

R E R

σ

− −

− −

− − − −

− −

> − = ⇒ < − = −

− < − = − ⇒ ⋅ + − ⋅ + < − = −

⎛ ⎞⋅ − < − = − ⇒ − < − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

−1 1 [ ]

] [ ] [ ]

1 c c t R T tt t R T t t R T t

VAR VARc VAR P

P Pα α σ

σ σ − − −− − −

⎛ ⎞< − = − ⇒ − = ⇒ = − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

[ ]( ) / Prob( )asc T tVAR T t P VAR c−− < =

[ ]acción c t R T tVAR Pα σ −= ⋅ ⋅

Si suponemos que:Si suponemos que: ( )[ ] [ ] [ ][ ];T tT t T t R T t

t

P PR N E R

Pσ− − −

−=

Donde αx es el percentil x de la distribución normal estándar

( )( )acción c t R diariaVAR P T tα σ= ⋅ ⋅ ⋅ −

2. C2. Cáálculo del VAR: Modelo de lculo del VAR: Modelo de VarianzasVarianzas--CovarianzasCovarianzas

66


2.2. C2.2. Cáálculo del VAR de una opcilculo del VAR de una opcióónn

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

[ ] [ ]Prob º Prob º 1

Prob [ ] 1 Prob ( ) [ ] 1

Prob [ ] 1 Prob ( [ ])

Sa

1

bemo

Prob

s que

T t T t

T T T T

T t T t T

T t T t

t

T

t

T

B VAR c B VAR c

Call E Call VAR c Call E Call V

Call Call P P

Ca AR c

P P E P P VAR c P E P VAR c

P

ll Call

− −> − = ⇒ < − = −

− < − = − ⇒ − < − = −

∆

− ∆ − ⇒

− − ∆ − < − = − ⇒ ∆ − < − = −

−

− −

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] 1 Prob (1 ) (1 [ ]) 1

Prob ( [ ]) 1 Prob [ ] 1

[ ]Prob 1

T t T t t T t

t T t T t T t T tt

T t T t

R t R

VAR VARE P c P R P E R c

VAR VARP R E R c R E R c

P

R E R VAR Vc

Pσ σ

− −

− − − −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞< − = − ⇒ ⋅ + − ⋅ + < − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ − < − = − ⇒ − < − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ∆ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞< − = − ⇒ −⎜ ⎟∆ ⋅ ⋅⎝ ⎠

1 1c c t Rt R

ARVAR P

Pα α σ

σ − −= ⇒ = − ⋅∆ ⋅ ⋅∆ ⋅ ⋅


opción c opción t RVAR Pα σ≈ ⋅∆ ⋅ ⋅



4

77


2.3. C2.3. Cáálculo del VAR de un bonolculo del VAR de un bono

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

[ ] [ ]

Sabemos que donde es la Duración modificad

Prob º Prob º 1

Prob [ ] 1 P

a

rob ( ) [ ] 1

Prob

T t T t

T T T

T t M T t t M

T

M t

t

T t

tBono B

B VAR c B VAR c

Bono E Bono VAR c

Bon

Bono E Bono VAR c

D i i B

o

o Bon

no

on

o D i i Bo

E

no

o

D

− −> − = ⇒ < − = −

− < − = − ⇒ − < −

−

= −

−

−

−

− ⇒

−

−

− ( )( )( )( )( )

( )Si suponemos

[ ] 1

Prob ( ) [ ] 1

Prob ( ) [ ]

( ) [ ]Pr

que

ob

( ) [ ];

M T t t

M t T t T t

T t T tM t

T t T t

i M t

T T t

i

t

M t

i

D i i Bono VAR c

D Bono i i E i i VAR c

VARi i E i i c

D Bono

i i E i i VAR VARc

D Bono D Bo

N

n

E i i

o

i i

σ

σ

σ

− − < − = −

− ⋅ − − − < − = −

⎛ ⎞− − − < =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞− − −< = ⇒⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅

− ⇒

⎠

−

⎝c c M t i

i

VAR D Bonoα α σσ

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅⋅


bono c M t iVAR D Bonoα σ≈ ⋅ ⋅ ⋅


88


2.4. C2.4. Cáálculo del VAR de una carteralculo del VAR de una cartera

1/ 2,

,1 1 ,

1/ 2

, ,1 1

,( )(

n ni i t

Rcartera i j Ri Rj Ri Rj ii j cartera t

n n

cartera c i j Ri Rj Ri Rj cartera ti j

cartera c i Ri cartera t c j Rj ca

n Pw w donde w

Valor

VAR w w Valor

VAR w Valor w Valor

σ σ σ ρ

α σ σ ρ

α σ α σ

= =

= =

⋅⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∑∑

∑∑1/ 2

, ,1 1

)n n

rtera t Ri Rji j

ρ= =

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦∑∑

,cartera c cartera t RcarteraVAR Valorα σ≈ ⋅ ⋅( )cartera, [T-t] ,[ ]

Si suponemos que:

R [ ];cartera T t RcarteraN E R σ− ⇒

Podemos expresarlo en funciPodemos expresarlo en funcióón del VAR de cada uno de los activos n del VAR de cada uno de los activos financieros incluidos dentro de la cartera:financieros incluidos dentro de la cartera:



5

99


1/ 2

,,, , ,

1 1 , ,

1/ 2

, , ,1 1

( )( )

( )( )

n nj j ti i t

cartera c Ri cartera t c Rj cartera t Ri Rji j cartera t cartera t

n n

cartera c i i t Ri c j j t Rj Ri Rji j

n Pn PVAR Valor Valor

Valor Valor

VAR n P n P

α σ α σ ρ

α σ α σ ρ

= =

= =

⎡ ⎤⋅⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

∑∑1/ 2

,1 1

( )( )n n

cartera i i j j Ri Rji j

VAR n VAR n VAR ρ= =

⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∑∑

Matricialmente:Matricialmente: 1,2 1, 1 1

2,1 2, 2 2

1, ,2

1 ... 0 ... 01 ... 0 ... 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...... 1 0 0 ...

N

N

N N N N

VAR n

VAR nC VVAR Q

VAR n

ρ ρρ ρ

ρ ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]1/ 2'carteraVAR VVAR Q C Q VVAR= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


1010


2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas--CovarianzasCovarianzas

•• Las rentabilidades de los activos financieros no siempre se Las rentabilidades de los activos financieros no siempre se distribuyen como una Normaldistribuyen como una Normal

•• El VAR de las opciones y de los Bonos los hemos El VAR de las opciones y de los Bonos los hemos aproximado con la primera derivada (Delta y Duraciaproximado con la primera derivada (Delta y Duracióón)n)

Existen modelos mExisten modelos máás complejos para calcular el s complejos para calcular el VAR que tratan de resolver estos inconvenientesVAR que tratan de resolver estos inconvenientes



6

1111


La renta fija (bono y obligaciones) cotizan en % y en excupón.

Ejemplo:

Plazo entre cupones: Plazo entre cupones: cuponescupones anuales = 365 danuales = 365 dííasas

Tiempo transcurrido desde el pago del Tiempo transcurrido desde el pago del úúltimo cupltimo cupóón = 51 dn = 51 díías (del as (del 27/03/2006 al 17/05/2006)27/03/2006 al 17/05/2006)

CupCupóón corrido en %= (51/365)n corrido en %= (51/365)××3,9% = 0,54% 3,9% = 0,54% ×× 601,01601,01€€ = 3,28= 3,28€€

Precio del bono en %= 100,50%+0,54%=101,04% Precio del bono en %= 100,50%+0,54%=101,04% ×× 601,01601,01€€ = 607,30= 607,30€€

Fuente: Fuente: www.bolsamadrid.eswww.bolsamadrid.es

ApApééndice 1: Duracindice 1: Duracióón y convexidad n y convexidad de un bonode un bono

1212


VV00

iii*i*

P*P*BB

( )( ) ( )=

= ++ +

∑01 1 1

T

t Tt

C NV ii i

DuraciDuracióón:n:

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

− − −+ + + +

= + + +1 2

0 0 0

1 1 11 * 2 * ... *

TC i C i C N i

D TV i V i V i



7

1313


Ejemplo:

PPbb(%)=101,04%(%)=101,04%××601,01601,01€€=607,30=607,30€€

años1,82V0

días666,281607,31€

654,540,962562584,56624,4568027/03/2008

11,750,03743722,7323,4431427/03/2007

-(hoy) 17/05/2006

t * %%

=VA/V0

VA=FC(1+i)-t/365FC

t(días)

Fecha

i inv.equivalente=3,6%anual

CupCupóón = n = 0,039*601,01=23,440,039*601,01=23,44€€


1414


La duración nos permite aproximar la variación en el precio de un bono antes cambios en el tipo de interés:

∆= − ∆ ⇒ ∆ = − ∆ ×

+ +123 123

00 0

0 (1 ) (1 )Duración Duracióncorregida corregida

V D Di V i VV i i

5.35Aprox. Duración = -1,765*(-0,005)*607,30=

5.45Variación=612.76VA=↓ tipo interés del 0,005 ⇒

-5.35Aprox. Duración = -1,765*0,005*607,30=

-5.25Variación=602.05VA=↑ tipo interés del 0,005 ⇒

1,82 1,756 1,036

Duración corregida años= =Ejemplo:Ejemplo:

( )( ) ( )=

= ++ +

∑01 1 1

T

t Tt

C NV ii i

PPbb==607,30607,30€€

AproximaciAproximacióón n pesimistapesimista

Tipo interés (i) y Duración (D) expresados en la misma

unidad de tiempo



8

1515


VV00

ii3,6%3,6%

( )( ) ( )=

= ++ +

∑01 1 1

T

t Tt

C NV ii i

607,30607,30€€

4,1%4,1%

602,05602,05€€601,95601,95€€

--5,255,25€€--5,355,35€€

0,5%0,5%

3,1%3,1%

0,5%0,5%

612,66612,66€€

612,76612,76€€

5,455,45€€5,355,35€€

Convexidad:Convexidad:

( )∆= − ∆ + ∆

20

0

1* * *

2C

VD i Convexidad i

V


1616


11ºº

22ºº

ApApééndice 2: Cndice 2: Cáálculo de la matriz de lculo de la matriz de correlaciones con Excelcorrelaciones con Excel


9

1717


11ºº 22ºº

33ºº

ApApééndice 2: Cndice 2: Cáálculo de la matriz de lculo de la matriz de correlaciones con Excelcorrelaciones con Excel


10

APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER

EJERCICIOS Ejercicio 9.1 Calcular a fecha de cierre del 17/05/2006 el VAR con un nivel de confianza del 99% a cinco días de una cartera compuesta por:

‐ 500 acciones compradas de BSCH ‐ 40 acciones vendidas en descubierto de FERROVIAL ‐ 5 OBLIG. BONIF. AUTOPISTAS DEL ATLANTICO CONCE. ESPAÑOLA S.A.

EM.27.03.98/27.03.08 comprados. Dado el nivel de riesgo de crédito de esta obligación, se le exige una prima por riesgo sobre el tipo de interés del 0,0031

‐ 120 PUTs compradas s/BSCH con precio de ejercicio 12 € y vto. 16/06/2006

Fuente: www.bolsamadrid.es

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12


Fuentes: www.meff.es y www.bolsamadrid.es

13


Fuente: www.bde.es

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