Tema 9: Problemas métricos en el plano. -...

Ejercicio 1. Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden

33 cm y 56 cm, respectivamente.

Solución:

6542255633 2222222 ==+=+=→+= cbacba

La hipotenusa mide 65 cm.

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para resolver este ejercicio, contamos con dos datos, a los que les daremos un nombre,

concretamente: b y c. Para obtener la longitud, debemos calcular a. Para darle nombre un valor,

debemos escribir el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor.

Figura 1.

2. Ahora repetimos el procedimiento con el otro dato. Ahora, siempre que, dentro del mismo bloque,

escribamos las letras b o c, será como escribir los valores a los que se refieren. Es importante saber, que

si escribimos estas letras en otro bloque, Wiris interpretará que son simples incógnitas.

Tema 9: Problemas métricos en el plano.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

2

Figura 2.

3. Finalmente, para obtener el valor de a, resolveremos una ecuación. Para plantear una, pinchamos en la

pestaña ‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá el

siguiente esquema.

Figura 3.

4. Ahora sólo nos queda rellenar ambos miembros de la ecuación y pinchar en el icono igual para

conocer el resultado. Asimismo, debemos recordar que para insertar una potencia debemos pinchar en

el icono ‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 4.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.

3

Ejercicio 2.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 97 cm, y uno de los catetos, 72 cm. Calcular la longitud del otro cateto. Solución:

6542257297 22 ==−=b

El cateto desconocido mide 65 cm.


1. De la misma manera que en el ejercicio anterior, daremos nombre a nuestros datos. En este caso, esos

nombres serán a y c puesto que conocemos la hipotenusa. Para darle nombre un valor, debemos escribir

el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos este proceso con cada

uno de los dos datos, recordando que si escribimos estas letras o la operación en otro bloque, Wiris

interpretará que son simples incógnitas.

Figura 5.

2. Para obtener el valor de b, resolveremos una ecuación. Para ello, pinchamos en la pestaña

‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá el siguiente

esquema.

Figura 6.


4

3. Por último, sólo nos queda rellenar ambos miembros de la ecuación y pinchar en el icono igual para

conocer el resultado. Recordaremos que para insertar una potencia debemos pinchar en el icono

‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 7.


Ejercicio 3.

En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos catetos y se pide la hipotenusa (si su medida no es exacta, dala con una cifra decimal):

a) 37 cm y 45 cm b) 16 cm y 30 cm

Solución:

a) 2,5833944537 2222222 ==+=+=→+= cbacba

La hipotenusa mide 58,2 cm.

b) 3411563016 2222222 ==+=+=→+= cbacba

La hipotenusa mide 34 cm. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para resolver este ejercicio, contamos con dos datos, a los que les daremos un nombre,

concretamente: b y c. Para obtener la longitud, debemos calcular a. Para darle nombre a un valor,

debemos escribir el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos el


5

proceso con las dos letras recordando que tanto estas dos como las operaciones en las que nos

refiramos a estos valores, deben estar en el mismo bloque.

Figura 8.

2. Para obtener el valor de a, resolveremos una ecuación. Para plantear una, pinchamos en la pestaña

‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá el siguiente

esquema.

Figura 9.

3. Rellenaremos ambos miembros de la ecuación y después pincharemos en el icono ‘igual’ para conocer

el resultado. También, debemos recordar que para insertar una potencia debemos pinchar en el icono

‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 10.


6

5. Repetiremos todos los pasos para el apartado b. Debemos tener en cuenta, que si bien los valores y la

operación deben estar en el mismo bloque, todo esto puede estar en uno diferente a las operaciones del

apartado a.

Figura 11.


Ejercicio 4.

En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se pide el otro cateto (exactamente o con una cifra decimal):

a) 45 cm y 37 cm b) 39 cm y 15 cm

Solución:

a) 6,256563745 2222222 ==−=−=→+= cabcba

El cateto desconocido mide 25,6 cm.

b) 3612961539 2222222 ==−=−=→+= cabcba El cateto desconocido mide 36 cm.


1. De la misma manera que en el ejercicio anterior, daremos nombre a nuestros datos. En este caso, esos

nombres serán a y c puesto que conocemos la hipotenusa. Para darle nombre un valor, debemos escribir


7

el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos este proceso con cada

uno de los dos datos, recordando que si escribimos estas letras o la operación en otro bloque, Wiris

interpretará que son simples incógnitas.

Figura 12.


‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Rellenamos ambos miembros del

esquema de la ecuación y pinchar en el icono igual para conocer el resultado. Recordaremos que para

insertar una potencia debemos pinchar en el icono ‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la

pestaña ‘Operaciones’.

Figura 13.

3. Repetiremos todos los pasos para el apartado b. Debemos tener en cuenta, que si bien los valores y la

operación deben estar en el mismo bloque, todo esto puede estar en uno diferente a las operaciones del

apartado a.


8

Figura 14.


Ejercicio 5.

De un rombo conocemos una diagonal, 24 cm, y el lado, 13 cm. Halla la otra diagonal. Solución:

Figura 15.

Como podemos observar, las dos diagonales cortan el rombo en cuatro triángulos. Si analizamos

uno de los cuatro triángulos, observamos que uno de los lados del rombo coincide con la hipotenusa,

mientras que los catetos se corresponden con la mitad de las diagonales.

Por lo tanto, debemos calcular uno de los catetos siguiendo el siguiente procedimiento:


9

5251213 2222222 ==−=−=→+= cabcba

El cateto desconocido mide 5 cm pero como hemos dicho que los catetos suponen la mitad del

total de las diagonales (por lo que hemos utilizado 12 en la ecuación y no 24), y por lo tanto, la diagonal

es el doble del resultado: .105*2 cmDiagonal ==


1. Daremos nombre a nuestros datos. En este caso, esos nombres serán a y c puesto que conocemos la

hipotenusa. Para darle nombre un valor, debemos escribir el nombre, en este caso es una letra y después

un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos este proceso con cada uno de los dos datos, recordando que si

escribimos estas letras o la operación en otro bloque, Wiris interpretará que son simples incógnitas.

Figura 16.


‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Rellenamos ambos miembros del

esquema de la ecuación y pinchar en el icono igual para conocer el resultado. Recordaremos que para

insertar una potencia debemos pinchar en el icono ‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la


Figura 17.


10

3. Finalmente, para saber el valor de la diagonal, multiplicamos el resultado por 2. Para introducir el

signo de multiplicación utilizamos el asterisco que encontramos en el teclado (*). Cuando tengamos

planteada la multiplicación, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 18.


Ejercicio 6.

Averigua cómo son los triángulos de lados:

a) 7 cm, 8 cm, 11 cm b) 11 cm, 17 cm, 15

cm c) 34 m, 16 m, 30

m

d) 65 m, 72 m, 97 m Solución:

a) 7 cm, 8 cm, 11 cm

12111;11387 222 ==+ Como 222 8711 +> , entonces el triángulo es obtusángulo.

b) 11 cm, 17 cm, 15 cm

28917;3461511 222 ==+ Como 222 151117 +< , entonces el triángulo es acutángulo.

c) 34 cm, 16 cm, 30 cm

115634;11563016 222 ==+ Como 222 301634 += , entonces el triángulo es rectángulo.


11

d) 65 cm, 72 cm, 97 cm

940997;94097265 222 ==+ Como 222 726597 += , entonces el triángulo es rectángulo. - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para saber qué tipo de triángulo son, realizamos dos operaciones aritméticas muy simples.

Para ello, tenemos que saber sólo dos cosas. En primer lugar, que el signo de suma es el que

encontramos en el teclado (+) y en segundo lugar, que para obtener una potencia, escribimos la

base, después pinchamos en el icono potencia y por último, rellenamos el hueco obtenido con

el dato de la potencia como veremos a continuación.

Figura 19.

2. Apartado a.

Figura 20.


12

3. Apartado b.

Figura 21.

4. Apartado c.

Figura 22.

5. Apartado d.

Figura 23.



13

Ejercicio 7.

Halla el radio de la circunferencia sabiendo que:

cmOP 39= cmPT 36=

Figura 24.

Solución:

El segmento tangente, PT, es perpendicular al radio, OT. PT y OT son catetos del triángulo PTO.

PO es la hipotenusa. Por lo tanto:

1536393639 22222222222

=−=→+=→+=→+= TOTOTOPTPOTOPTPO cm - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Resolveremos una ecuación, pinchando en el icono ‘Resolver’, que se encuentra en la pestaña

‘Operaciones’.

Figura 25.


14

2. Después, rellenamos los dos miembros del esquema con los datos del ejercicio, y pinchamos

en el icono ‘=’ para saber el resultado. Para insertar una potencia, pinchamos en el icono

‘Potencia’, dentro de la pestaña ‘Operaciones.

Figura 26.


Ejercicio 8.

,15 cmr = cmr 6'=

cmOO 41' =

Figura 27.

Halla la longitud del segmento 'TT


15

Solución:

Figura 28.

40941941''941 22222222 =−=→−=→+= TTT

Por lo tanto, podemos decir que el trozo de tangente común mide 40 centímetros. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos una ecuación, pinchando en el icono ‘Resolver’, que se encuentra en la pestaña

‘Operaciones’.

Figura 29.

2. Después, rellenamos los dos miembros del esquema con los datos del ejercicio, y pinchamos

en el icono ‘=’ para saber el resultado. Para insertar una potencia, pinchamos en el icono

‘Potencia’, dentro de la pestaña ‘Operaciones.

Figura 30.


16


Ejercicio 9.

En un triángulo de lados 4 cm, 6 cm y 8 cm, calcular la altura sobre el lado mayor.

Figura 31.

Solución:

La altura h divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos. Aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos:

( ) ( ) ( )

=+−+−−=

=−=+

+ 3664161616

684

22

22

22

222

2 xxxxh

xhx

h

75,23616641636641616 22 =→−+=→=+−+− xxxxx

Conocido x , calculamos h:

cmhhh 9,275,21675,216 222 =→−=→−= Este procedimiento permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la medida de sus

lados, pues, al conocer la base y la altura, el cálculo del área resulta obvio.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para obtener el valor de h y el de x, resolveremos un sistema de ecuaciones. Para ello, pinchamos en la

pestaña ‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver sistema’. Entonces nos aparecerá una


17

ventana en la que indicaremos que queremos que tenga dos ecuaciones y pincharemos en el icono

‘Aceptar’.

Figura 32.

2. Finalmente rellenaremos los huecos con nuestras ecuaciones y pincharemos en el icono ‘=’ para

conocer el resultado. Sin embargo, debemos tener en cuenta que para insertar una potencia, pinchamos

en el icono ‘Potencia’ que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones, asimismo como que para que los

resultados sean decimales, no tenemos más que escribir un punto (que es el equivalente a la coma

decimal en Wiris) en alguna parte de la orden que demos.

Figura 33.



18

Ejercicio 10.

Los lados paralelos de un trapecio miden 17 m y 38 m. Los otros dos, 13 m y 20 m. Hallar su altura.

Figura 34.

Solución:

La altura a es cateto de los dos triángulos señalados. La suma de los otros dos catetos señalados.

La suma de los otros dos catetos es: 38 - 17 = 21 m.

Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos:

( )

=+=+

− 22

222

2 2013

21 aax

x Restando: ( ) →−=−− 2222 201321 xx

( ) 5210422314414240016942441 22 =→=→−=−→−=+−−→ xxxxxx

maaa 12144513135 222222 =→=−=→=+

La altura pedida mide 12 m.


1. Plantearemos un sistema de ecuaciones para resolver el ejercicio. Para ello, pinchamos en el icono

‘Resolver sistema’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento, aparecerá la

siguiente ventana en la que señalaremos que nuestro sistema es de dos ecuaciones y pinchamos en el

icono ‘Aceptar’:


19

Figura 35.

2. El siguiente paso es escribir las dos ecuaciones tal y como están planteadas en la resolución del

ejercicio. Recordaremos que para insertar una potencia, pinchamos en el icono ‘Potencia’, que se

encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 36.

3. Cuando tengamos planteado el sistema, pinchamos en el icono ‘=’, y obtendremos la solución para

nuestro ejercicio.

Figura 37.



20

Ejercicio 11.

Averigua si el triángulo de lados 29 cm, 35 cm y 48 cm es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. Halla la longitud de la altura sobre el lado mayor. Solución:

Figura 38.

Para saber qué tipo de triángulo es, utilizamos la siguiente fórmula, en la que a es el lado mayor:

222 cba += Si los dos términos son iguales, el triángulo es rectángulo, si el del mayor es mayor que la suma de

los otros dos, es obtusángulo, mientras que si sucede al contrario, el triángulo es acutángulo.

Por lo tanto, sustituimos los valores en la función para conocer el tipo de triángulo:

20662304293548 222 >→+= Por lo tanto, sabemos que el triángulo es obtusángulo.

La altura h divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos. Aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos:

( ) ( ) ( )

=+−+−−=

=−=+

+ 1225230496841841

354829

22

22

22

222

2 xxxxh

xhx

h

2012258412304961225230496841 22 =→−+=→=+−+− xxxxx

Conocido x , calculamos h:

cmhhh 212084120841 222 =→−=→−=


21

Este procedimiento permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la medida de sus

lados, pues, al conocer la base y la altura, el cálculo del área resulta obvio.


1. Para saber qué tipo de triángulo es, elevamos al cuadrado cada uno de los lados menores y los

sumamos. Después, elevamos al cuadrado el lado mayor:

Figura 39.

2. Para calcular la altura del triángulo sobre el lado mayor, plantearemos un sistema de ecuaciones. Para

ello, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. En ese

momento, aparecerá la siguiente ventana en la que señalaremos que nuestro sistema es de dos

ecuaciones y pinchamos en el icono ‘Aceptar’:

Figura 40.





22

Figura 41.


nuestro ejercicio.

Figura 42.


Ejercicio 12.

Los lados de un trapecio miden 13 m, 20 m, 19 m y 40 m. Los dos últimos son paralelos. Halla la altura del trapecio. Solución:

( )

=+=+

− 22

222

2 2013

21 aax

x

La altura a es cateto de los dos triángulos señalados. La suma de los otros dos catetos señalados. La suma de los otros dos catetos es: 40 - 20 = 20 m. Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos:


23

( )

=+=+

− 22

222

2 2013

21 aax

x Restando: ( ) →−=−− 2222 201321 xx

( ) 5210422314414223142441 22 =→=→−=−→−=+−−→ xxxxxx

maaa 12144513135 222222 =→=−=→=+

La altura pedida mide 12m.


1. Plantearemos un sistema de ecuaciones para resolver el ejercicio. Para ello, pinchamos en el icono

‘Resolver sistema’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento, aparecerá la

siguiente ventana en la que señalaremos que nuestro sistema es de dos ecuaciones y pinchamos en el

icono ‘Aceptar’:

Figura 43.




Figura 44.


24


nuestro ejercicio.

Figura 45.


Ejercicio 13.

Calcular el área del triángulo de lados 11 cm, 13 cm y 20 cm. Solución:

Aplicaremos la fórmula de Herón: Perímetro: cmscmp 2244201311 =→=++=

( ) ( ) ( ) 2664356291122 cmcsbsassA ==⋅⋅⋅=−⋅−⋅−⋅= - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. En primer lugar, sumamos todos los lados del triángulo. Para ello, sólo tenemos que escribir los

números con los correspondientes signos de suma que encontramos en el teclado (+). Cuando esté todo

planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 46.


25

2. El siguiente paso es darle nombre a los tres lados y al perímetro. Para eso, escribimos el nombre que

queramos darle, después un signo = y por último el valor correspondiente.

Figura 47.

3. Ahora sólo nos queda realizar una operación aritmética usando los nombres de los valores en vez de

estos. Recordamos que para referirnos a un valor, figura, función… a los que les hemos dado un nombre,

debemos hacerlo siempre dentro del mismo bloque. Además, vemos que para insertar una raíz cuadrada,

pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Raíz cuadrada’. Cuando esté planteada,

pinchamos en el símbolo ‘=’ para resolverla.

Figura 48.



26

Ejercicio 14.

Hallar el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.

Figura 49.

Solución:

( ) cm92:3755 =−

cma 7,10115914 22 ==−=

22,4927,102

5537 cmA =⋅+

=


1. Para resolver este ejercicio, debemos saber varias cosas. En primer lugar, que para insertar paréntesis,

potencias, raíces cuadradas y fracciones, debemos pinchar en sus respectivos iconos, dentro de la


Figura 50.

2. Los signos de suma y resta los insertamos con el teclado (+ y -). Cuando tengamos las operaciones

planteadas, pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos el resultado.


27

Figura 51.


Ejercicio 15.

Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 10 m, 17 m y 21 m. Solución:

Aplicaremos la fórmula de Herón: Perímetro: cmscmp 2448211710 =→=++=

( ) ( ) ( ) 2847056371424 cmcsbsassA ==⋅⋅⋅=−⋅−⋅−⋅= - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. En primer lugar, sumamos todos los lados del triángulo. Para ello, sólo tenemos que escribir los

números con los correspondientes signos de suma que encontramos en el teclado (+). Cuando esté todo

planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 52.


28

2. El siguiente paso es darle nombre a los tres lados y al perímetro. Para eso, escribimos el nombre que

queramos darle, después un signo = y por último el valor correspondiente.

Figura 53.

3. Ahora sólo nos queda realizar una operación aritmética usando los nombres de los valores en vez de

estos. Recordamos que para referirnos a un valor, figura, función… a los que les hemos dado un nombre,

debemos hacerlo siempre dentro del mismo bloque. Además, vemos que para insertar una raíz cuadrada,

pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Raíz cuadrada’. Cuando esté planteada,

pinchamos en el símbolo ‘=’ para resolverla.

Figura 54.



29

Ejercicio 16.

Halla el área del hexágono regular en el que cada uno de sus lados mide 10 cm. Solución:

En primer lugar, calculamos el perímetro: cmLnp 60106 =⋅=⋅= Para calcular el área, tenemos que calcular primero la apotema. En un hexágono regular, el lado y

el radio miden lo mismo, por lo que r=10 cm. El radio, la mitad del lado y la apotema forman un

triángulo rectángulo:

Figura 55.

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

66,8752510010025105 22222222 =→=→−=→=+→=+→=+ aaaaacba La apotema mide 8,66 centímetros, por lo que el área será:

28,2592

66,8602

cmapA =⋅

=⋅

=


1. El primer paso es realizar una multiplicación. Para hacerlo, usamos el asterisco (*) como signo de

multiplicar. Cuando tengamos los datos y el signo, pinchamos en ‘=’ para conocer el resultado.


30

Figura 56.

2. Lo siguiente es resolver una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’ que se encuentra en

la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, sólo nos quedará rellenar los huecos con los miembros de nuestra

ecuación, pinchando en el icono ‘Potencia’ en la pestaña ‘Operaciones’. Al pinchar en ‘=’ conocemos el

valor de a.

Figura 57.

3. Finalmente, para averiguar cuánto es el área, resolvemos una fracción, la cual insertaremos pinchando

en el icono ‘Fracción’, y luego rellenamos tanto el numerados como el denominador y pinchamos en ‘=’

para obtener la solución.

Figura 58.


31


Ejercicio 17.

Halla el área de un rombo de lado 3 dm, sabiendo que una diagonal mide 46 cm. Solución: En primer lugar, debemos observar que los datos de nuestro ejercicio no están en la misma unidad de

medida, y que (pasando los dos a la unidad menor), el lado es de 30 cm.

Si dibujamos el rombo, vemos que se forman cuatro triángulos. Cada triangulo está formado por un

lado, y la mitad de ambas diagonales. Por lo tanto, utilizando el Teorema de Pitágoras averiguaremos la

longitud de la mitad de la otra diagonal que es uno de los catetos.

Figura 59.

26,193715299009005293023 22222222 =→=→−=→=+→=+→=+ aaaaacba

Por lo tanto, la segunda diagonal es igual a 19,26*2=38,52 cm. Con las dos diagonales calculamos el área:

296,8852

4652,382

cmDdA =⋅

=⋅

=


32


1. El primer paso es realizar una división para obtener uno de los catetos. Para hacerlo, usamos la barra

que encontramos en el teclado (/) como signo de dividir. Cuando tengamos los datos y el signo,

pinchamos en ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 60.

2. Lo siguiente es resolver una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’ que se encuentra en

la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, sólo nos quedará rellenar los huecos con los miembros de nuestra

ecuación, pinchando en el icono ‘Potencia’ en la pestaña ‘Operaciones’. Al pinchar en ‘=’ conocemos el

valor de a.

Figura 61.





33

Figura 62.


Ejercicio 18.

Dos de los lados de un triángulo isósceles miden 30 cm y 13 cm. Halla su área. Solución: En primer lugar, averiguaremos la altura:

29,2975,85725,4290090025,42302

13 2222

2222 =→=→−=→=+→=

+→=+ hhhhhcbh

Con la base y la altura calculamos el área:

2385,1902

29,29132

cmhbA =⋅

=⋅

=


1. En primer lugar, resolveremos una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’ que se

encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, sólo nos quedará rellenar los huecos con los miembros

de nuestra ecuación, pinchando en el icono ‘Potencia’ en la pestaña ‘Operaciones’. Al pinchar en ‘=’

conocemos el valor de h.


34

Figura 63.




Figura 64.



35

Ejercicio 19.

Halla el área de las figuras coloreadas.

a) Figura 65.

Solución: A partir de la diagonal se forman dos triángulos. De esos triángulos, conocemos la hipotenusa y además

sabemos que los dos catetos son iguales. Por lo tanto, planteamos el Teorema de Pitágoras con lo que

sabemos:

cmllllllhll 07,7502

100100210 22222222 =→=→=→=→=+→=+

Ahora calculamos el área del cuadrado:

222 5007,7 cmladoA === - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. El primer paso es resolver una ecuación, para lo que pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y

después en el icono ‘Resolver ecuación’. Después rellenamos los huecos del esquema que se plantea y

pinchamos en ‘=’ para obtener la solución.

Figura 66.


36

2. Para calcular el área, resolvemos una potencia. Lo primero es escribir la base de la potencia

recordando que la coma decimal en Wiris se sustituye por un punto. Después, pinchamos en el icono

‘Potencia’ que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’ y rellenamos el hueco. Cuando esté planteada,

pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 67.


b)

Figura 68.

Solución: Como es un trapecio isósceles, los dos triángulos que se forman son iguales. Estos triángulos tienen

como uno de los lados la altura (que tendremos que calcular), parte de la base del trapecio (que sale de:

(22-12)/2) y el lado que comparte con el trapecio (13 cm). Por lo tanto, tenemos dos de los tres lados de

un triángulo rectángulo, así que aplicamos el Teorema de Pitágoras:


37

cmaaaaacba 1214414416925135 22222222 =→=→=→=+→=+→=+ Ahora calculamos el área del trapecio:

2204122

22122

' cmabbA =⋅+

=⋅+

=


1. El primer paso es resolver una ecuación, para lo que pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y

después en el icono ‘Resolver ecuación’. Después rellenamos los huecos del esquema que se plantea y

pinchamos en ‘=’ para obtener la solución.

Figura 69.

2. Para calcular el área, resolvemos una operación aritmética. Lo primero es escribir el esquema de la

fracción, pinchando en el icono ‘Fracción’, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Cuando ya

tengamos el esquema planteado, lo rellenamos con los datos, recordando que para sumar usaremos el

signo de suma del teclado y para multiplicar, el asterisco (*) . Cuando esté planteada, pinchamos en el

icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 70.



38

c)

Figura 71.

Solución: Sabemos que: mAC 93= , mBH 52= , mDK 23= .

Podemos ver que a partir de la línea horizontal se forman dos triángulos. De esos triángulos, conocemos

la base y la altura, así que calcularemos las áreas:

2

sup_ 24182

52932

cmhbA eriortriángulo =⋅

=⋅

=

2

inf_ 5,10692

23932

cmhbA eriortriángulo =⋅

=⋅

=

Por lo tanto, el área de la figura es:

25,34875,10692418 cmA =+=


1. Para calcular las áreas de los triángulos, resolvemos una operación aritmética. Lo primero es escribir el

esquema de la fracción, pinchando en el icono ‘Fracción’, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.

Cuando ya tengamos el esquema planteado, lo rellenamos con los datos, recordando que para

multiplicar usamos el asterisco (*) del teclado. Cuando esté planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para

conocer el resultado.


39

Figura 72.

2. El segundo paso es una suma, para lo que escribimos ambos sumandos y el signo (+) que

encontramos en el teclado. Cuando esté lista la suma, pinchamos en el símbolo ‘=’ y obtenemos la

solución.

Figura 74.



40

d) Figura 75.

Solución: Como podemos ver, el cálculo de la zona amarilla es bastante complejo, pero podemos calcular el área

de los dos triángulos iguales que están coloreados de blanco y al área del cuadrado, para que restando

el primero al segundo, obtengamos el área que resta.

Cálculo de uno de los triángulos blancos: Uno de los catetos es igual a un lado del cuadrado y el otro es la diferencia entre un lado y 8

centímetros. Por lo tanto, tenemos la base y la altura del triángulo:

2120

22012

2cmhbA =

⋅=

⋅=

Ahora calculamos el área del cuadrado:

222 40020 cmlA === Finalmente, el área coloreada de amarillo es igual a:

( ) 21602120400 cmA =⋅−= - Ahora lo resolveremos con Wiris:




multiplicar usamos el asterisco (*) del teclado. Cuando esté planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para



41

Figura 76.

2. Para calcular el área, resolvemos una potencia. Lo primero es escribir la base de la potencia

recordando que la coma decimal en Wiris se sustituye por un punto. Después, pinchamos en el icono

‘Potencia’ que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’ y rellenamos el hueco. Cuando esté planteada,

pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 77.

3. Finalmente, realizamos un cálculo usando los paréntesis, el signo de resta y el de multiplicación que

encontramos en el teclado. Pinchamos en ‘=’ para obtener la solución.

Figura78.


42


Ejercicio 20.

Calcular el área de un segmento circular de 60º de amplitud en un círculo de 12 cm de radio.

Figura 79.

Solución:

El área del segmento circular se halla restando, del área del sector, el área del triángulo.

• Área del sector: 22

4,75º360

º6012 cm=⋅⋅π

• Área del triángulo. Observa que es equilátero, ya que OBOA = y º60ˆˆˆ =BOA

Altura: cmh 4,10612 22 ≈−=

Área: 24,622

4,1012 cm=⋅

• Calcula el área del segmento circular:

2134,624,75 cm=−


43





multiplicar usamos el asterisco (*) del teclado, para la potencia usamos la función ‘Potencia’ que se

encuentra también en la pestaña ‘Operaciones’. Para insertar π , pinchamos en el icono correspondiente,

que se encuentra en la pestaña ‘Símbolos’. Cuando esté planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para


Figura 80.

2. Para obtener la altura y el área del triángulo calculamos una raíz y una fracción. Para ello, pinchamos

en los iconos correspondientes de la pestaña ‘Operaciones’. Después pinchamos en el icono ‘=’ para


Figura 81.


44

3. Finalmente, para calcular el área del segmento circular restamos dos valores. Para el signo de restar,

utilizamos el guión del teclado (-).

Figura 82.


Ejercicio 21.

Calcula la altura de este triángulo, aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos que aparecen. Después, halla su área.

Figura 83.

Solución:

Planteamos un sistema de ecuaciones:


45

( )

−=−=→+=

−−=−=→+=2222222

2222222

17

2825

xcabcba

xcabcba

84485628956784625 22 =→=→−=+−− xxxxx

Cuando ya tengamos el valor de x, sustituimos en una de las dos ecuaciones para obtener la altura:

15817 22 =−=b La altura, que es igual al cateto, vale 15 cm.


1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’ que se encuentra en

la pestaña ‘Operaciones’. Después, indicamos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pinchamos en

el botón ‘Aceptar’.

Figura 84.

2. Después rellenamos el esquema planteado recordando que para insertar una potencia pinchamos en

el icono ‘Potencia, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Cuando esté planteada, pinchamos en

el icono ‘=’ para conocer el resultado.


46

Figura 85.


Ejercicio 22.

Halla la altura del trapecio siguiente. Después, calcula su área.

Figura 86.

Solución:

Planteamos un sistema de ecuaciones:

( )

−=−=→+=

−−=−=→+=2222222

2222222

17

2825

xcabcba

xcabcba

84485628956784625 22 =→=→−=+−− xxxxx Cuando ya tengamos el valor de x, sustituimos en una de las dos ecuaciones para obtener la altura:

15817 22 =−=b


47

La altura, que es igual al cateto, vale 15 cm.

Para calcular el área del trapecio, obtendremos primero los valores de las áreas de las tres figuras

que lo componen, para después sólo tener que sumarlos. Para ello, sólo nos faltan dos datos que

son las bases de los dos triángulos, que al ser rectángulos los obtendremos de aplicar el teorema

de Pitágoras.

BASE DEL TRIÁNGULO 1:

.2040015251525 22222222 cmcccba ==−=→+=→+= BASE DEL TRIÁNGULO 2:

.86415171517 22222222 cmcccba ==−=→+=→+= ÁREA DEL TRIÁNGULO 1:

21302

13202

cmabA =⋅

=⋅

=

ÁREA DEL TRIÁNGULO 2:

2522138

2cmabA =

⋅=

⋅=

ÁREA DEL CUADRADO:

21561312 cmladoladoA =⋅=⋅= ÁREA DEL TRAPECIO:

233815652130321 cmAAAAT =++=++=


1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’ que se encuentra en

la pestaña ‘Operaciones’. Después, indicamos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pinchamos en

el botón ‘Aceptar’.


48

Figura 87.

2. Después rellenamos el esquema planteado recordando que para insertar una potencia pinchamos en

el icono ‘Potencia, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Cuando esté planteada, pinchamos en

el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 88.


Tema 9: Problemas métricos en el plano. -...

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