Alonso Fernández Galián

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TEMA 9: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Utilizando todas las técnicas que hemos aprendido hasta ahora podemos dibujar la gráfica de

cualquier función de forma bastante precisa.

9.1 PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

Las características más significativas que puede presentar una función son las siguientes:

i. Dominio y continuidad

El dominio de una función es el conjunto de valores en los que está definida. En particular:

-El dominio de una función racional es igual al conjunto de todos los números reales excepto

aquellos en los que se anula el denominador.

)(

)()(

xQ

xPxf fD ℝ 0)(/ xQx

-El dominio de una función con una raíz cuadrada, o en general con una raíz de índice par, es

igual al subconjunto de números reales para los que el radicando es mayor o igual que 0.

)()( xgxf 0)(/ xgxfD

-El dominio de una función logarítmica es igual al subconjunto de números reales para los

que el argumento del logaritmo es mayor que 0.

)(log)( xgxf a 0)(/ xgxfD

Se sabe además que las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio.

ii. Puntos de corte con los ejes

Los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas se calculan haciendo la coordena-

da correspondiente igual a 0:

Con el eje de ordenadas:

0

)(

x

xfy

La gráfica de una función puede cortar,

como mucho, una vez al eje de ordenadas.

Con el eje de abscisas:

0

)(

y

xfy

La gráfica de una función puede cortar

varias veces al eje de abscisas.

Matemáticas I

- 2 -

iii. Asíntotas

Se dice que una recta r es una asíntota de la función f si la distancia entre la gráfica de la

función y la recta se hace arbitrariamente pequeña. Una función puede tener asíntotas verticales,

horizontales u oblicuas:

-Asíntotas verticales ( 0xx ): La recta vertical de ecuación 0xx es una asíntota de la función

f si el límite de la función cuando 0xx , o al menos uno de los límites laterales, es infinito:

)(lim0

xfxx

La recta 0xx es una asíntota vertical.

-Asíntotas horizontales ( 0yy ): La recta horizontal de ecuación 0yy es una asíntota de la

función f si el límite de f cuando x tiende a ó a es igual a 0y :

0)(lim yxfx

La recta 0yy es una asíntota horizontal a la izquierda.

0)(lim yxfx

La recta 0yy es una asíntota horizontal a la derecha.

Si no hay asíntotas horizontales, la función puede tener asíntotas oblicuas.

-Asíntotas oblicuas ( nmxy ): Una función sólo puede tener asíntotas oblicuas si no tiene

asíntotas horizontales.

•Ejemplo: Calcula los puntos de corte con los ejes de la función 44)( 23 xxxxf .

Con el eje de abscisas:

2

2

1

...0440

44

3

2

1

2323

x

x

x

xxxy

xxxy

La gráfica corta al eje x en los puntos 0,1 , 0,2 y 0,2 .

Con el eje de ordenadas:

4404000

44 2323

y

x

xxxy

La gráfica corta al eje y en el punto 4,0 .

Tema 9: Estudio y representación de funciones

- 3 -

Los coeficientes m y n se calculan con los siguientes límites:

mxxfn

x

xfm

x

x

)(lim

)(lim

La recta nmxy es una asíntota oblicua por la derecha.

(Y, análogamente, con x , se calcula la asíntota oblicua por la izquierda)

•Ejemplo: Determina las posibles asíntotas de la función 2

)(2

x

xxf :

Asíntotas verticales: Debemos determinar en qué puntos el límite de la función es infinito:

202

lim 0

2

0

xk

x

x

xx

La recta 2x es una asíntota vertical. […]

•Ejemplo: Determina las posibles asíntotas

de la función 2

6)(

2

xxf :

Asíntotas verticales: Como el denominador

no se anula en ningún punto, el límite

nunca puede ser infinito:

02 2

6lim

0

xxxx

ℝ

La función no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales: Debemos calcular

los límites en el infinito de la función.

02

6lim

2

xx 0

2

6lim

2

xx

La recta 0y es una asíntota horizontal

tanto a la izquierda como a la derecha.

Asíntotas oblicuas: Como la función tiene

asíntotas horizontales, no puede tener

asíntotas oblicuas.

•Ejemplo: Determina las posibles asíntotas

de la función 1

32)(

x

xxf :

Asíntotas verticales: Debemos determinar

en qué puntos el límite de la función es in-

finito:

101

32lim 0

0

x

k

x

x

xx

La recta 1x es una asíntota vertical.

Asíntotas horizontales: Debemos calcular

los límites en el infinito de la función.

21

32lim

x

x

x 2

1

32lim

x

x

x

La recta 2y es una asíntota horizontal

tanto a la izquierda como a la derecha.

Asíntotas oblicuas: Como la función tiene

asíntotas horizontales, no puede tener

asíntotas oblicuas.

Matemáticas I

- 4 -

iv. Monotonía y extremos relativos

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de una función f se es-

tudian, según vimos en el tema anterior, mediante la derivada primera, f .

v. Otras cuestiones

Hay otros aspectos que también pueden ser útiles a la hora de representar una función. Por

ejemplo: el signo de la función, la periodicidad, las simetrías, la concavidad y convexidad,…

[…]

Asíntotas horizontales: Debemos calcular los límites en el infinito de la función:

2

lim:. 2

x

xizdalaPor

x

2lim

:. 2

x

xdchalaPor

x

La función no tiene asíntotas horizontales ni por la izquierda ni por la derecha.

Asíntotas oblicuas:

Por la izquierda:

2

22

2lim·1

2lim)(lim

12

lim)2(

lim)(

lim

222

2

22

xy

x

xxxx

x

xmxxfn

xx

x

xx

x

x

xfm

xxx

xxx

Por la derecha:

2

22

2lim·1

2lim)(lim

12

lim)2(

lim)(

lim

222

2

22

xy

x

xxxx

x

xmxxfn

xx

x

xx

x

x

xfm

xxx

xxx

La recta 2 xy es una asíntota oblicua tanto por la izquierda como por la derecha.

Tema 9: Estudio y representación de funciones

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9.2 EJEMPLO A

•Ejemplo: Estudiar y representar gráficamente la función xxxf 3)( 3 .

Se trata de una función polinómica de grado 3.

Podemos observar, además, que se trata de una función impar:

)(3)(3)()( 33 xfxxxxxf

i. Dominio y continuidad.

-El dominio de una función polinómica son todos los números reales, ℝ.

-La función es continua en toda la recta real.

ii. Puntos de corte con los ejes.

•Con el eje de abscisas, 0y .

3

3303

00303

3

22

123

x

xxx

xxxxx

La función corta al eje de abscisas en los puntos 0,0 , 0,3 y 0,3 .

•Con el eje de ordenadas, 0x .

00303 y

La función corta al eje de ordenadas en el punto 0,0 .

iii. Asíntotas.

•Verticales: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales.

•Horizontales: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales.

•Oblicuas: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas oblicuas.

iv. Monotonía y extremos relativos.

Calculemos los puntos en los que se anula la función derivada.

-Función derivada: 33)( 2 xxf .

-Puntos críticos: 10330)( 2 xxxf .

Determinamos el signo de )(xf dando valores:

[…]

Matemáticas I

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9.3 EJEMPLO B

•Ejemplo: Estudiar y representar gráficamente la función 1

4)(

2

2

x

xxf

Observemos que la función es par:

)(1

4

1)(

4)()(

2

2

2

2

xfx

x

x

xxf

i. Dominio y continuidad.

El denominador de la función no se anula. Por tanto:

-El dominio de la función son todos los números reales, ℝ.

-La función es continua en toda la recta real.

ii. Puntos de corte con los ejes.

•Con el eje de abscisas, 0y .

20401

4 2

2

2

xx

x

x.

La función corta al eje de abscisas en los puntos 0,2 y 0,2 .

[…]

[…]

Por tanto, la función es:

Creciente en ,11, .

Decreciente en 1,1 .

Además, la función tiene un máximo relativo en 1x y un mínimo relativo en 1x .

2)1(3)1()1( 3 f 2,1 Max

2131)1( 3 f 2,1 Min

Finalmente, representamos la función utilizando toda la información de que disponemos:

Tema 9: Estudio y representación de funciones

- 7 -

[…]

•Con el eje de ordenadas, 0x .

410

402

2

y La función corta al eje de ordenadas en el punto 4,0 .

iii. Asíntotas.

•Verticales: Como el denominador no se anula, el límite en un punto nunca es infinito.

02

2

1

4lim

0

xx

x

xxℝ. La función no tiene asíntotas verticales.

•Horizontales: Debemos calcular los límites en .

11

4lim

2

2

x

x

x 1

1

4lim

2

2

x

x

x

La recta 1y es una asíntota horizontal tanto por la izquierda como por la derecha.

•Oblicuas: Como tiene asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.

iv. Monotonía y extremos relativos.

Calculemos los puntos en los que se anula la función derivada.

-Función derivada:

2222

22

1

10

1

2412)(

x

x

x

xxxxxf .

-Puntos críticos:

001

100)(

22

x

x

xxf .

Marcamos sobre el dominio de la función el punto crítico y determinamos el signo de f .

Por tanto, la función es decreciente en 0, y creciente en ,0 , y tiene un mínimo

relativo en el punto de abscisa 0x .

410

40)0(

2

2

f 4,0 Min

La gráfica de la función es:

Matemáticas I

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9.4 EJEMPLO C

•Ejemplo: Estudiar y representar gráficamente la función xx

xf4

8)(

2 .

La función no es par ni impar.

i. Dominio y continuidad.

El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos para los

que se anula el denominador.

004042 xxxxx ó 4x

-El dominio es fD ℝ 4,0 .

-La función es continua en toda la recta real excepto en 0x y 4x .

ii. Puntos de corte con los ejes.

•Con el eje de abscisas, 0y .

04

82

xx

. La ecuación no tiene soluciones.

La función no corta al eje de abscisas.

•Con el eje de ordenadas, 0x .

El punto 0x no pertenece al dominio de la función.

La función no corta al eje de ordenadas.

iii. Asíntotas.

•Verticales: Debemos observar para qué valores de x el límite es infinito.

04

8lim 02

0

xxxxx

ó 40 x

Las rectas 0x y 4x son asíntotas verticales de la función.

•Horizontales: Debemos calcular los límites en .

04

8lim

2

xxx 0

4

8lim

2

xxx

La recta 0y es una asíntota horizontal tanto por la izquierda como por la derecha.

•Oblicuas: Como tiene asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.

iv. Monotonía y extremos relativos.

Calculemos los puntos en los que se anula la función derivada.

-Función derivada:

22 4

428)(

xx

xxf

.

[...]

Tema 9: Estudio y representación de funciones

- 9 -

9.5 EJEMPLO D

•Ejemplo: Estudiar y representar gráficamente la función 1

)(2

x

xxf .

La función no es par ni impar.

i. Dominio y continuidad.

-El dominio es fD ℝ 1 .

-La función es continua en toda la recta real excepto en 1x .

ii. Puntos de corte con los ejes.

•Con el eje de abscisas, 0y .

0001

22

xxx

x

[...]

[…]

-Puntos críticos:

20

4

4280)(

22

x

xx

xxf .

Marcamos sobre el dominio de la función el punto crítico y determinamos el signo de f .

Por tanto, la función es:

Creciente en 2,00, .

Decreciente en ,44,2 .

Además, tiene un máximo relativo en 2x .

2242

8)2(

2

f 2,2 Max

La gráfica de la función es:

Matemáticas I

- 10 -

[…]

La función corta al eje de abscisas en el punto 0,0 .

•Con el eje de ordenadas, 0x .

010

02

y .

La función corta al eje de ordenadas también en el punto 0,0 .

iii. Asíntotas.

•Verticales: Debemos observar para qué valores de x el límite es infinito.

11

lim 0

2

0

xx

x

xx

La recta 1x es una asíntota vertical de la función.

•Horizontales: Debemos calcular los límites en .

1

lim2

x

x

x

1lim

2

x

x

x

Como los límites son infinitos, la función no tiene asíntotas horizontales.

•Oblicuas:

Por la izquierda:

1

11

lim·11

lim)(lim

1lim)1(

lim)(

lim

222

2

22

xy

x

xxxx

x

xmxxfn

xx

x

xx

x

x

xfm

xxx

xxx

Por la derecha:

1

11

lim·11

lim)(lim

1lim)1(

lim)(

lim

222

2

22

xy

x

xxxx

x

xmxxfn

xx

x

xx

x

x

xfm

xxx

xxx

La recta 1 xy es una asíntota oblicua tanto por la derecha como por la izquierda.

iv. Monotonía y extremos relativos.

Calculemos los puntos en los que se anula la función derivada.

-Función derivada: 2

2

2

2

)1(

2

)1(

1·)1(2)(

x

xx

x

xxxxf .

[…]

Tema 9: Estudio y representación de funciones

- 11 -

[…]

-Puntos críticos:

2

0020

)1(

20)( 2

2

2

x

xxx

x

xxxf .

Veamos el signo de f .

Por tanto, la función es:

Creciente en ,20, .

Decreciente en 2,11,0 .

Además, tiene un máximo relativo en 0x y un mínimo relativo en 2x .

010

0)0(

2

f 0,0Max

412

2)2(

2

f 4,2Min

La gráfica de la función es:

Matemáticas I

- 12 -

ANEXO: FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

Veamos algunas indicaciones para representar funciones polinómicas y funciones racionales.

Funciones polinómicas: Son aquellas cuya expresión analítica es un polinomio:

...)( 1 nn bxaxxf (grado n)

-Su dominio son todos los números reales, fD ℝ.

-No tienen asíntotas de ningún tipo.

-Cortan al eje x, como mucho, n veces.

-Tienen, como mucho, 1n extremos relativos.

Por ejemplo, veamos las gráficas de algunas funciones polinómicas de grado 3:

Funciones racionales: Son aquellas cuya expresión analítica es un cociente de polinomios:

)(

)()(

xQ

xPxf

-Su dominio son todos los números reales excepto las raíces del denominador:

fD ℝ 0)(/ xQx

-Asíntotas:

-Tienen asíntotas verticales en los puntos en los que se anula el denominador.

-Tienen asíntotas horizontales cuando QgrPgr . En tal caso, la asíntota por la izquierda

coincide con la asíntota por la derecha.

-Tienen asíntotas oblicuas cuando QgrPgr 1 . En tal caso, la asíntota por la izquierda

coincide con la asíntota por la derecha.

Por lo demás, las gráficas de las funciones racionales son muy diferentes unas de otras (pueden

cortar o no cortar a los ejes, pueden tener extremos relativos o no tenerlos,…). Por ejemplo:

Tema 9: Estudio y representación de funciones

- 13 -

Asíntotas

1. Calcula las asíntotas de la siguiente función:

2. Calcula las asíntotas de la siguiente función:

3. Calcula las asíntotas de la función:

4. Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f:

5. Se sabe que la recta 9y es una asíntota horizontal de la función 4

)(2

2

ax

xxf . Calcula

el valor del parámetro aℝ.

6. De la función xa

baxxf

2

)( , con a, bℝ, sabemos que pasa por el punto )2,1( , y que

tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es –6.

(a) Determina los valores a y b de la función.

(b) Determina, si existen, las asíntotas verticales de dicha función.

Representación gráfica de funciones

7. Representa gráficamente la siguiente función polinómica:

8. Representa gráficamente la siguiente función racional:

9. Representa gráficamente las siguientes funciones:

10. Representa gráficamente las siguientes funciones:

EJERCICIOS DEL TEMA 9

Matemáticas I

- 14 -

11. Representa gráficamente las siguientes funciones:

12. Representa gráficamente las siguientes funciones:

13. Representa gráficamente las siguientes funciones:

14. Representa gráficamente las siguientes funciones:

Varios

15. La función tiene un máximo relativo en , indica razonadamente cuál de las

siguientes gráficas corresponde a su función derivada, ?