TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES

7.1 Ecuaciones lineales con dos incógnitasActividades página 1111. Obtén dos soluciones de cada ecuación y representa las rectas correspondientes.

b) x � y � 4Esto se lee como que tenemos dos valores que al sumarlos nos da cuatro.Elegimos primero un valor para una de las variables y luego calculamos el otro en función delelegido.� si x � 3 � 3 � y � 4 � y � 4 � 3 � 1 �punto A � �3, 1�� si x � 7 � 7 � y � 4 � y � 4 � 7 � �3 �punto B � �7,�3�

Ya tenemos dos puntos, y sabemos que una recta queda univocamente determinada siconocemos dos de sus puntos. Por lo tanto, estamos en condiciones de representarla.

Tareas 24-03-2014: 1 a, 2

7.2 Sistemas de ecuaciones linealesDado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se clasifica según su solución en:� Sistema compatible determinado: tiene un única solución.

Gráficamente es:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Es decir, las dos rectas se cortan en un punto.� Sistema compatible indeterminado: tenemos infinitas soluciones.

1

Gráficamente es:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Es decir, tenemos dos rectas superpuestas que coinciden en todos sus puntos.� Sistema incompatible: no tiene solución.

Gráficamente es:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Es decir, tenemos dos rectas paralelas.Tareas 24-03-2014: 1 de la página 112

7.3 Resolución de sistemas de ecuaciones .

7.3.1 Método de sustituciónActividades página 1132 Resuelve, por el método de sustitución, los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)4x � y � 9

3x � 2y � 8

Elegimos una incógnita, por ejemplo la x y la primera ecuación. Despejamos la x en dichaecuación:

4x � y � 9 � 4x � 9 � y � x �9 � y

4Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación.

39 � y

4� 2y � 8 �

2

Se trata de una ecuación de 1º grado en la incógnita y.

�27 � 3y

4�

4 � 2y4

� 4 � 84

�

Como tenemos una igualdad con los mismos denominadores a ambos lados, se puedeneliminar.� 27 � 3y � 8y � 32 �

� 5y � 32 � 27 �

� 5y � 5 �

� y � 55

� 1

Ahora, hemos de sustituir este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:

x � 9 � 14

� 84

� 2

El sistema es compatible determinado con una única solución �x,y� � �2, 1�Tareas 25-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 2

7.3.2 Método de igualaciónActividades página 1143 Resuelve, por el método de igualación, los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)x � 5y � 4

x � 3y � �4

Elegimos la incógnita y. En las dos ecuaciones para despejarla.

5y � 4 � x

x � 4 � 3y�

�y � 4 � x

5x � 4

3� y

Igualamos las dos expresiones obtenidas.4 � x

5� x � 4

3�

� 3�4 � x� � 5�x � 4� �

� 12 � 3x � 5x � 20 �

� 12 � 20 � 5x � 3x �

� �8 � 8x �

� x � �88

� � 1

Ahora sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:

y �4 � ��1�

5� 5

5� 1

Es un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � ��1, 1�Tareas 25-03-2014: todos los ejercicios que faltan del 3

7.3.2 Método de reducciónActividades página 1154 Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)2x � 5y � 4

3x � 7y � 2

Elegimos una incógnita, la x. Multiplicamos la segunda ecuación por el coeficiente de la x en laprimera ecuación, mientras que multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de x en lasegunda ecuación.

3

�2x � 5y � 4�3

�3x � 7y � 2�2�

�6x � 15y � 12

6x � 14y � 4

Restando en columna nos queda:0x � 15y � ��14y� � 12 � 4 �

� 29y � 8 �

� y � 829

Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valorde x.

2x � 5 � 829

� 4 �

� 2x � 4029

� 4 �

� 58x29

� 4029

� 11629

�

Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son cero, los podemos quitar.� 58x � 40 � 116 �

� x � 116 � 4058

� 3829

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � 3829

, 829

Tareas 27-03-2014: 4

7.4 Sistemas de ecuaciones lineales más complejosNO!

7.5 Sistema no linealesActividades página 1171. Resuelve los siguientes sistemas

d)y � x � 1

y � 5 � x

Por la forma que tiene, lo resolvemos por el "método de igualación"5 � x � x � 1 �

� �5 � x�2 � x � 12�

� 52 � 2 � 5 � x � x2 � x � 1 �

� 25 � 10x � x2 � x � 1 � 0 �

� x2 � 11x � 24 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �11

c � 24

que se resuelve aplicando la fórmula

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���11� � ��11�2 � 4 � 1 � 24

2 � 1�

11 � 252

� 11 � 52

�

11 � 52

� 162

� 8

11 � 52

� 62

� 3

Ahora hemos de hallar los valores correspondientes de y, para lo cual sustituimos estos valoresde x.� si x � 8 � y � 5 � 8 � � 3 �tenemos el punto �x,y� � �8,�3�� si x � 3 � y � 5 � 3 � 2 �tenemos el punto �x,y� � �3, 2�

Ahora hemos de realizar la comprobación pues hemos elevado al cuadrado para resolver.

4

� si �x,y� � �8,�3� ��3 � 8 � 1

�3 � 5 � 8�

�3 � 9

�3 � �3�

�3 � 3

�3 � �3

La primera no se cumple, entonces no es solución.

� si �x,y� � �3, 2� �2 � 3 � 1

2 � 5 � 3�

2 � 4

2 � 2�

2 � 2

2 � 2

Se cumplen las dos, entonces es solución.Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �3, 2�

Tareas 27-03-2014: 1(a b c)Examen del tema 6 : Jueves 03 -04-2014

7.6 Resolución de problemas mediante sistemasActividades página 1182 La suma de dos cifras de un número es 5. Si invertimos el orden de las cifras, el número es 9

unidades menor que el inicial. ¿De qué número se trata?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es la cifra de las decenas

y es la cifra de las unidades

Tenemos que:� suma de dos cifras de un número es 5� x � y � 5� Si invertimos el orden de las cifras, el número es 9 unidades menor que el

inicial� 10 � x � y � 9 � 10 � y � x

RESOLUCIÓN

x � y � 5

10x � y � 9 � 10y � x�

Aplicamos el método de igualación.Elegimos la incógnita x para despejarla en ambas ecuaciones.

�x � 5 � y

10x � x � 9 � 10y � y�

�x � 5 � y

9x � 9 � 9y�

�x � 5 � y

x � 1 � y

Ahora igualamos las dos expresiones obtenidas.5 � y � 1 � y �

� 5 � 1 � 2y �

� y � 42

� 2

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 1 � 2 � 3Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �3, 2�

SOLUCIÓN

El número es 32Atención , recuerda que como estamos trabajando en el sistema decimal e s:98 � 90 � 8 � 9 � 10 � 889 � 80 � 9 � 8 � 10 � 9

5

4 Sofía tiene un capital de 200000 euros. Deposita parte en un banco, al 4% anual. El resto loinvierte en acciones, con las que pierde el 11%. Al final del año ha ganado 4250 euros.¿Cuánto destinó a cada inversión?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx a la parte que deposita en el banco

y a la parte que invierte en acciones

Tenemos que:� un capital de 200000 euros� x � y � 200000� Deposita parte en un banco, al 4% anual�Deposita x en un banco, al 4% anual�Al final

de año le dan� x � 4% de x � x � 0. 04x � 1. 04x� El resto lo invierte en acciones, con las que pierde el 11%�y invierte en acciones, con

las que pierde el 11%�Al final le dan� y � 11% de y � y � 0. 11y � 0. 89y� Al final del año ha ganado 4250 euros� 1. 04x � 0. 89y � 200000 � 4250

RESOLUCIÓN

x � y � 200000

1. 04x � 0. 89y � 204250

Aplicamos el método de sustitución.Elegimos la incógnita x en la primera ecuación para despejarla.x � 200000 � ySustituimos este valor de x en la segunda ecuación.1. 04�200000 � y� � 0. 89y � 204250 �

Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita y.� 208000 � 1. 04y � 0. 89y � 204250 �

� 208000 � 204250 � 1. 04y � 0. 89y �

� 3750 � 0. 15y �

� y � 37500. 15

� 25000

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 200000 � 25000 � 175 000Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �175000, 25000�

SOLUCIÓN

Deposita en el banco 175000 euros en el banco y 25000 en acciones.Tareas 31-03-2014: 1,3,5

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA1. Comprueba si el par �3,�1� es solución de alguno de los siguientes sistemas.

a)2x � y � 5

3x � 2y � 11

Sustituimos el punto dado en las dos ecuaciones.

2 � 3 � ��1� � 5

3 � 3 � 2 � ��1� � 11�

�6 � 1 � 5

9 � 2 � 11

Cierto!Entonces es solución.

Tareas 01-04-2014:1 b

6

2 Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como soluciónx � �1

y � 2

a)x � 3y � _

2x � y � _

Sustituir los valores de las incógnitas y operar.

�1 � 3 � 2 � _

2��1� � 2 � _�

��1 � 6 � _

�2 � 2 � _�

��7 � _

0 � _

Finalmente esx � 3y � �7

2x � y � 0, Solution is: �x � �1,y � 2�

Tareas 01-04-2014: 2 (b c d)3 Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las rectas

correspondientes.b) 2x � y � 4Como se trata de una recta, basta con conocer dos de sus puntos para que quedeunívocamente determinada.Vamos a desarrollar una tabla de valores.

x 0 3

y

Vamos a hallar los correspondientes valores para la y.

� si x � 0 � 2 � 0 � y � 4 � �y � 4 � y � 4�1

� �4

� si x � 3 � 2 � 3 � y � 4 � 6 � y � 4 � 6 � 4 � y � y � 2

La tabla me queda x 0 3

y �4 2�Hemos de pintar los puntos A � �0,�4�,B � �3, 2�

Tareas 01-04-2014: 3 a, 47 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución.

7

a)3x � 5y � 5

4x � y � �1

Elegimos la incógnita y en la segunda ecuación para despejarla.y � �1 � 4xSustituimos este valor de y en la primera ecuación.3x � 5��1 � 4x� � 5 �

� 3x � 5 � 20x � 5 �

� 23x � 5 � 5 �

� x � 023

� 0

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y.y � �1 � 4 � 0 � �1 � 0 � �1Es un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �0,�1�

Tareas 01-04-2014: 7 (b c d)8 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación.

d)4x � 5y � �2

3x � 2y � 10

Elegimos la incógnita x para despejarla en las dos ecuaciones.

4x � �2 � 5y

3x � 10 � 2y�

�x �

�2 � 5y4

x �10 � 2y

3Ahora igualamos las dos expresiones obtenidas para x.�2 � 5y

4�

10 � 2y3

�

Nos ha quedado una ecuación de 1º en la incógnita y.� 3��2 � 5y� � 4�10 � 2y� �

� �6 � 15y � 40 � 8y �

� 15y � 8y � 40 � 6 �

� 23y � 46 �

� y � 4623

� 2

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.

x � �2 � 5 � 24

� �2 � 104

� 82

� 4

Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �4, 2�Tareas 07-04-2014: 8 (a b c)9 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.

d)5x � 2y � 3

10x � 3y � �1

Elegimos la incógnita y. Multiplicamos por 3 (coeficiente de y en la segunda ecuación) laprimera ecuación; mientras que multiplicamos por 2 (opuesto del coeficiente de y en la primeraecuación) la segunda ecuación.

�5x � 2y � 3�3

�10x � 3y � �1�2�

�15x � 6y � 9

20x � 6y � �2

8

Sumando en columna, obtenemos:15x � 20x � 6y � 6y � 9 � 2 �

� 35x � 7 �

� x � 735

� 15

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y.

5 � 15

� 2y � 3 �

� 1 � 2y � 3 �

� 1 � 3 � 2y �

� y � �22

� �1

Se trata de un sistema compatible determinado con soluición única �x,y� � 15

,�1

Tareas 07-04-2014: 9 ( a b c)12 Halla las soluciones de este sistema.

d)3x � y � 3

2x2 � y2 � 9

Elegimos la incógnita y en la primera ecuación para despejarla.3x � 3 � ySustituimos este valor de y en la segunda ecuación.2x2 � �3x � 3�2 � 9 �

� 2x2 � �3x�2 � 2 � 3x � 3 � 32 � 9 �

� 2x2 � 9x2 � 18x � 9 � 9 �

� 11x2 � 18x � 0 �

� x�11x � 18� � 0 �

Como tenemos un producto, será cero si alguno de los multiplicandos es cero.

�

x � 0

Ó

11x � 18 � 0

�

�

x � 0

Ó

11x � 18

�

�

x � 0

Ó

x � 1811

Sustituimos estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y.� si x � 0 � y � 3 � 0 � 3 � � 3 �solución �0,�3�

� si x � 1811

� y � 3 � 1811

� 3 � 54 � 3311

� 2111

�solución 1811

, 2111

El sistema tiene dos soluciones.Gráficamente sería:

9

Se trata de la intersección de una elipse con una recta.Tareas 07-04-2014: 12 (a b c)13 Resuelve los sistemas siguientes por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro

soluciones.

b)3x2 � 5y2 � 7

2x2 � 11y2 � �3

Elegimos la incógnita x. Multiplicamos la primera ecuación por 2 (coeficiente de la x en lasegunda ecuación), y multiplicamos la segunda ecuación por 3 (coeficiente de la x en laprimera ecuación).

�3x2 � 5y2 � 7�2

�2x2 � 11y2 � �3�3�

�6x2 � 10y2 � 14

6x2 � 33y2 � �9

Ahora si restamos en columna nos queda:6x2 � 6x2 � 10y2 � ��33y2� � 14 � ��9� �

� 23y2 � 23 �

� y2 � 2323

� 1 �

� y � � 1 � �1Sustituimos estos valores de y para hallar los correspondientes valores de x.� si y � 1 � 3x2 � 5 � 12 � 7 �

� 3x2 � 5 � 7 �

� 3x2 � 7 � 5 �

� x2 � 123

� 4 �

� x � � 4 � �2Es decir, tenemos los puntos �2, 1� y ��2, 1�

� si y � �1 � 3x2 � 5 � ��1�2 � 7 �

� 3x2 � 5 � 7 �

� 3x2 � 7 � 5 �

� x2 � 123

� 4 �

� x � � 4 � �2Es decir, tenemos los puntos �2,�1� y ��2,�1�

Finalmente, es cierto que quedan cuatro puntos.Gráficamente sería:

10

Tareas 08-04-2014: 13 (a)14 Resuelve los siguientes sistemas (no olvides comprobar las soluciones).

a)y � x � 2

x � 2y � 1

Aplicamos el método de sustitución: utilizamos la primera ecuación en la segunda.x � 2 x � 2 � 1 �

� x � 1 � 2 x � 2 �

Elevamos al cuadrado en ambos lados de la igualdad para eliminar la raíz cuadrada.� �x � 1�2 � �2 x � 2 �2 �

� x2 � 2 � x � 1 � 12 � 22� x � 2 �2 �

� x2 � 2x � 1 � 4�x � 2� �

� x2 � 2x � 4x � 1 � 8 � 0 �

� x2 � 6x � 7 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �6

c � �7

que se resuelve aplicando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���6� � ��6�2 � 4 � 1 � ��7�2 � 1

�6 � 64

2�

� 6 � 82

�

6 � 82

� 6 � 82

� 142

� 7

6 � 82

� �22

� �1

� ��6�2 � 4 � 1 � ��7� � 36 � 28 � 64Ahora, hemos de sustituir estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y.� si x � 7 � y � 7 � 2 � 9 � 3� si x � �1 � y � �1 � 2 � 1 � 1

Por ahora tenemos los puntos �7, 3� y ��1, 1�Vamos a comprobarlos:

� si �x,y� � �7, 3� �3 � 7 � 2

7 � 2 � 3 � 1es cierto en ambas, entonces si vale!!!!

� si �x,y� � ��1, 1� �1 � �1 � 2

�1 � 2 � 1 � 1es falsa la segunda, entonces no vale!

Finalmente sólo tenemos una solución �x,y� � �7, 3�

11

Gráficamente sería:

Tareas 08-04-2014: 14 (b c d)18 Encuentra dos números tales que añadiendo tres unidades al primero se obtenga el segundo y,

en cambio, añadiendo dos unidades al segundo se obtenga el doble del primero.

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número mayor

y es el número menor

Tenemos que:� añadiendo tres unidades al primero se obtenga el segundo� x � y � 3� añadiendo dos unidades al segundo se obtenga el doble del primero� x � 2 � 2y

RESOLUCIÓN

x � y � 3

x � 2 � 2y

Aplicamos el método de sustitución.Sustituimos el valor de x de la primera ecuación en la segunda.y � 3 � 2 � 2y �

� 5 � 2y � y �

� y � 5Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 5 � 3 � 8Se trata de un sistema compatible deteminado con solución única �x,y� � �8, 5�

SOLUCIÓN

Los números buscados son 5 y 8.20 Una empresas aceitera ha envasado 3000 litros de aceite en 1200 botellas de 2 litros y 5 litros.

¿Cuántas botellas de cada clase ha utilizado?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número de botellas de 2 litros

y es el número de botellas de 5 litros

Tenemos que:� envasado aceite en 1200 botellas� x � y � 1200� envasado 3000 litros en botellas de 2 litros y 5 litros� 2x � 5y � 3000

RESOLUCIÓN

12

x � y � 1200

2x � 5y � 3000

Aplicamos el método de igualación.Elegimos la incógnita x para despejarla en las dos ecuaciones.

x � 1200 � y

2x � 3000 � 5y�

�x � 1200 � y

x �3000 � 5y

2Igualamos las dos expresiones obtenidas para x.

1200 � y �3000 � 5y

2�

� 2�1200 � y� � 3000 � 5y �

� 2400 � 2y � 3000 � 5y �

� 5y � 2y � 3000 � 2400 �

� 3y � 600 �

� y � 6003

� 200

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 1200 � 200 � 1000Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �1000, 200�

SOLUCIÓN

Se han utilizado 1000 botellas de 2 litros y 200 botellas de cinco litros.22 Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0.80 euros por cada pieza que sale de su

taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 euro por cada pieza defectuosa que deberetirar. En un día ha fabricado 2255 bombillas, obteniendo unos beneficios de 1750 euros.¿Cuántas bombillas válidas y defectuosas se fabricaron ese día?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el número de bombillas válidas

y es el número de bombillas defectuosas

Tenemos que:� un beneficio de 0.80 euros por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero sufre

una pérdida de 1 euro por cada pieza defectuosa que debe retirar. Obteniendo unosbeneficios de 1750 euros� 0. 8x � y � 1750

� un día ha fabricado 2255 bombillas� x � y � 2255

RESOLUCIÓN

0. 8x � y � 1750

x � y � 2255

Aplicamos el método de reducción.Sumamos en columna para obtener.0. 8x � x � y � y � 1750 � 2255 �

� 1. 8x � 4005 �

� x � 40051. 8

� 2225

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y.2225 � y � 2255 �

� y � 2255 � 2225 � 30Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �2225, 30�

13

SOLUCIÓN

Ha fabricado 2225 bombillas válidas y 30 defectuosas.24 La diferencia de dos números es 6, y la de sus cuadrados es 144. Halla los números.

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es un número

y es el otro número

Tenemos que:� La diferencia de dos números es 6� x � y � 6� la diferencia de sus cuadrados es 144� x2 � y2 � 144

RESOLUCIÓN

x � y � 6

x2 � y2 � 144

Aplicamos el método de sustitución.Despejamos la x en la primera ecuación.x � y � 6Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación.�y � 6�2 � y2 � 144 �

� y2 � 2 � y � 6 � 62 � y2 � 144 �

� 12y � 144 � 36 �

� y � 10812

� 9

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 9 � 6 � 15Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �x,y� � �15, 9�

SOLUCIÓN

Los números son 9 y 15.

ATENCIÓN.EL JUEVES 24 DE ABRIL A LAS 08:00 EXAMEN DEL TEMA 7: SISTEMAS

DE ECUACIONES.

14