Tema 7: Regresión Simple y Múltiple. EJEMPLO: Aproxima bien el número de préstamos que efectúa...

Tema 7: Regresión Simple y Múltiple

EJEMPLO:

Aproxima bien el número de préstamos que efectúa una biblioteca a lo largo de su primer año de vida.

Nos dicen que la fórmula

Si damos valores a la variable Días (nº días transcurridos desde la apertura de la biblioteca…

DíasprestamosN 3'025º

0 100 200 300 400

Días

0

20

40

60

80

100

120

Nºp

rest

amos

DíasprestamosN 3'025º

Si dos variables X e Y está relacionadas mediante una expresión del tipo Y=a+bX, la gráfica que relaciona los valores de X e Y es una línea recta, y se dice que Y=a+bX es la ecuación de dicha recta; el recíproco es cierto, es decir, si la gráfica que relaciona X e Y es una recta, entre ambas existe una relación del tipo Y=a+bX. En ese caso, decimos que entre X e Y hay una relación de tipo lineal.

PROBLEMA: Dadas dos variables continuas X e Y, ¿podemos decir que entre ellas hay aproximadamente una relación lineal? Si la respuesta es afirmativa, ¿podemos encontrar los valores a y b que proporcionan la mejor aproximación para Y, a partir delos valores de X?

DíasNº

prestamos

5 25

20 32

35 40

50 39

65 47

80 51

95 56

110 54

135 69

150 72

165 76

180 77

195 86

210 90

235 98

250 102

265 105

280 110

295 113

310 120

EJEMPLO: Supongamos que una bibliotecaproporcionó los siguientes datos, a lo largo de su primer año de vida

Días

Nº

pres

tam

os

0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

120

En el ejemplo anterior se ve que, aunque las variables no respondan EXACTAMENTE a una expresión del tipo Y = a+bX, sí responden APROXIMADAMENTE a una expresión de este tipo. En concreto,utilizando técnicas estadísticas puede verse que

Nº prestamos = 24,5529 + 0,301579*Días

es una aproximación “suficientemente buena” del Nº préstamos.

PROBLEMAS: Dadas dos variables X e Y, continuas

1.- [Correlación] ¿Existe una cierta relación entre ellas, o por el contrario son independientes? En el primer caso, hablamos de que entre X e Y hay correlación; en el segundo, decimos que son incorreladas

2.- [Correlación lineal] Suponiendo que entre X e Y hay correlación, ¿están linealmente correlacionadas, es decir, funciona suficientemente bien un modelo del tipo Y = a+bX para predecir Y a partir de X? ¿Cuáles son los “óptimos” valores para a y b, es decir, los que producen “mejores” esti- maciones?

3.- [Otros tipos de correlación] ¿Hay algún modelo mejor que el lineal que permita estimar Y a partir de X? Por ejemplo,

Cuadrático: Y=a+bX+bX2

Exponencial: Y=a bx

…

1. Distribuciones bidimensionales. Correlación.

Cuando en una población registramos simultáneamente los valores de dos variables X e Y, decimos que estamos ante una distribución BIDIMENSIONAL (PIZARRA: distribuciones marginales)

Los datos relativos a una distribución bidimensional se pueden representar gráficamente mediante una NUBE DE PUNTOS, o DIAGRAMA DE DISPERSION (PIZARRA)

Si la nube de puntos se ajusta aproximadamente a una curva, diremos que las variables están correlacionadas, es decir, que existe una cierta relación entre ellas (y buscaremos cuál es la expresión, la “fórmula” que mejor aproxima una de ellas partir de la otra); en caso contrario, decimos que las variables son incorreladas, es decir, que no tienen relación.

0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

120

0 100 200 300 4000

3

6

9

12

15

Hay correlación

Incorreladas

Además de la “inspección” de la nube de puntos, hay métodos más exactos para evaluar la existencia

o no de correlación.

Si la nube de puntos parece ajustarse en torno a alguna curva (es decir, si hay correlación), la forma de dicha curva nos indica el tipo de correlación. Si la nube de puntos parece agruparse en torno a una recta, diremos que hay correlación lineal, o que las variables están linealmente correlacionadas.

0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

120

Si las variables están linealmente correlacionadas, entonces tiene sentido buscar la recta que “mejor se ajusta” a la nube de puntos, es decir, la recta que globalmente está más cerca del conjunto de puntos. Si nuestra intención al hacer eso es la de estimar Y a partirde X, entonces encontrar dicha recta es equivalente a encontrar la mejor aproximación

Y=a+bX (RECTA DE REGRESION DE Y SOBRE X)

¿Cómo tomar a, b para que la aproximación sea“óptima”?

Statgraphics

2. Regresión lineal sobre un conjunto de puntos.

PROBLEMA 1: Dada una distribución bidimensional (X,Y), determinarsi las variables X e Y están o no linealmente correlacionadas, y la fuerza de dicha correlación lineal.

PROBLEMA 2: Suponiendo que X e Y están linealmente correlacionadas,determinar la recta de regresión de Y sobre X, es decir, a y b de modo que, aproximadamente, Y=a + bX.

PROBLEMA 1: Dada una distribución bidimensional (X,Y), determinarsi las variables X e Y están o no linealmente correlacionadas, y la fuerza de dicha correlación lineal.

- Concepto de COVARIANZA (PIZARRA)- Coeficiente de correlación lineal de Pearson. (PIZARRA)- Coeficiente de correlación lineal de Spearman. (PIZARRA)

PROBLEMA 2: Suponiendo que X e Y están linealmente correlacionadas,determinar la recta de regresión de Y sobre X, es decir, a y b de modo que, aproximadamente, Y=a + bX.

bXaY

xbya

Media marginal de Y

Media marginal de X

2x

xy

S

Sb

Varianza marginalde X

Covarianza

(Ecuación recta de regresión de Y sobre X)

Conocida la recta de regresión, podemos estimar los valores de Ycorrespondientes a distintos valores de X.

ii bxay ˆ

Valor predicho, o estimado

0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

120

iy :valor real

0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

120

iy

Valor predicho: ii bxay ˆ

0 100 200 300 4000

20

40

60

80

100

120

iy

Valor predicho: ii bxay ˆ

Residuo: diferenciaentre el valor realy el valor predicho

Statgraphics

3. El modelo de regresión lineal.

Sabemos decidir si, aproximadamente, un conjunto (xi,yi) de puntos(datos) se ajusta o no a Y=a+bX. Pero, teniendo en cuenta que esosdatos son una MUESTRA de una población…

¿SIGUE SIENDO “APROXIMADAMENTE” VALIDO Y=a+bX cuando tomamos

NO una muestra (xi,yi), sino cuando consideramosTODA LA POBLACION? ¿Qué queremos

decir por “aproximadamente”?

Modelo de regresión lineal:

iii bxay

Y: variable explicada X: regresor

residuo

Decimos que dos variables (poblacionales!) están linealmente correlacionadas, si:

1.

2. Los residuos tienen media 0.3. La varianza de los residuos no depende de xi (homocedasticidad)4. Los residuos son normales.5. Los residuos son aleatorios.

2+ 4+ 5= Residuos siguen una normal N(0,σ)

Gráfico del Modelo Ajustado

Semanas

Pre

stam

os

8 12 16 20 24 28 3226

31

36

41

46

51

56

“La varianza de los residuos no depende de xi (homocedasticidad)”


iii bxay


residuo

Hipótesis básicas:

1.


2, 4 y 5 pueden contrastarte guardando los residuos, y procediendocomo en otras ocasiones.


iii bxay


residuo


1.


3 es difícil de contrastar con Statgraphics; por tanto, Simplemente inspeccionaremos el diagrama de dispersión

(OBSERVACION: si para un mismo valor de xi sólo tenemos un punto, este requisito se cumple trivialmente)

Gráfico del Modelo Ajustado

Semanas

Pre

stam

os

8 12 16 20 24 28 3226

31

36

41

46

51

56

Si la homocedasticidad es dudosa, siempre podemos eliminarResiduos atípicos.

Homocedasticidad“aceptable”


iii bxay


residuo


1.


¿Cómo CONTRASTAR?

a.- Inspección del diagrama de dispersión, valores de los coeficientes de correlación de Pearson y Spearman (si el ajuste no funciona bien para la muestra, difícilmente lo hará para la población).

b.- Contraste tipo ANOVA sobre la existencia o no de correlación lineal. COEFICIENTE DE DETERMINACION.

c.- Contraste sobre la pendiente de la recta de regresión.

d.- ¿Cómo podemos estar seguros de que, en la población, los coeficientes de Pearson y Spearman no serían 0 (en cuyo caso, no habría correlación lineal)? Contraste de hipótesis.

¿Cómo CONTRASTAR?

(Explicación: PIZARRA)

- Eliminación de parámetros (simplificación del modelo): PIZARRA

- Puntos influyentes (PIZARRA)

Statgraphics

4. El modelo de regresión múltiple.

PROBLEMA: Hemos recogido datos sobre usuarios de mediana edadde una biblioteca en la que además se realizan actividades tanto para niños como para adolescentes y adultos, y estamos interesados en analizar cuáles son las variables que determinan el nivel de satisfacción de sus usuarios; las variables recogidas son: afición a la lectura, al cine, a la música, número de hijos, renta… y, por supuesto, nivel de satisfac-ción.

Aficion_lectura Num_hijos Aficion_cine Aficion_musica renta_mens Nivel_estudios Aficion_TV Satisfaccion4 0 3 5 1200 4 4 43 0 3 4 1500 5 4 35 1 4 1 1800 3 5 52 2 1 3 1000 2 2 34 1 5 3 1300 3 4 43 1 3 4 1900 1 4 35 3 4 5 1300 4 5 53 0 2 3 1200 4 4 33 1 4 1 1600 2 5 41 3 2 1 1400 2 1 24 0 5 4 1700 3 4 45 0 5 5 2500 4 5 55 2 4 4 1100 5 3 55 2 5 3 1400 3 4 52 1 1 4 1800 4 3 34 2 5 4 2000 4 5 53 3 2 4 1500 4 3 31 1 2 3 1000 2 2 22 1 2 2 1300 3 3 31 0 2 5 1600 4 4 25 1 4 4 1800 3 4 42 2 3 3 1200 4 4 44 1 5 5 1700 2 5 44 1 4 3 1500 5 4 45 2 4 5 1100 5 5 5

El modelo de regresión simple es, a priori, poco realista (parece poco probable que el nivel de satisfacción dependa de una única variable, más bien lo natural es que en él intervengan varias variables). En con-secuencia, ensayamos no con

sino con

Y=a+bX

Y=a+b1X1+ … +bnXn

Variable respuesta(en nuestro caso,“nivel de satisfacción”)

regresores

Satisfaccion = 0,686829 + 0,134472*Aficion_cine +0,436889*Aficion_lectura - 0,0904825*Aficion_musica +0,234494*Aficion_TV + 0,113699*Nivel_estudios + 0,206893*Num_hijos -0,0000595998*renta_mens

Por ejemplo, en el problema anterior, la fórmula a la que llegaremoses:

Aquí, Y=Satisfacción, X1=Afición_cine, X2=Aficion_lectura, etc.

Sirve para:- predecir.- detectar influencias (qué variables tienen más “poder” sobre la variable que nos interesa, etc.)

Modelo de regresión múltiple:

1.

2. Los residuos tienen media 0.3. La varianza de los residuos no depende de xi (homocedasticidad)4. Los residuos son normales.5. Los residuos son aleatorios.6. Las variables x1, x2, etc. no están linealmente correlacionadas entre sí.

inni xbxbay 11

residuo


1.


2+ 4+ 5= Residuos siguen una normal N(0,σ)

inni xbxbay 11

residuo


1.


inni xbxbay 11

residuo

La homocedasticidad (IDEA: PIZARRA) se puede comprobar gráficamente (residuo frente a predicho);hay métodos más sofisticados, también más laboriosos.


1.


inni xbxbay 11

residuo

Si algunas de las variables Xi están correlacionadas linealmente entre sí, se dice que hay MULTICOLINEALIDAD.Más llanamente, se trata de un modelo “redundante” donde ciertas variables “sobran”. Se puede detectar parcialmente Inspeccionando la matriz de correlaciones (PIZARRA)


1.


inni xbxbay 11

residuo

La “fuerza” de la correlación lineal se mide mediante el R-cuadrado(porcentaje de variabilidad explicada por el modelo); razonamientossobre variabilidad también llevan a la construcción de un contrastesobre la existencia o no de correlación lineal (PIZARRA)

Como en el caso de regresión simple, si alguna hipótesis no se cumple, podemos tratar de “depurar” los datos; en este sentido,medidas habituales son:

-Detección (y en su caso, eliminación) de datos que producen residuos atípicos.-Detección (y en su caso, eliminación) de datos “influyentes”-Detección de multicolinealidad (y en su caso, eliminación de regresores).-Detección (y, en su caso, eliminación) de variables “superfluas” (es decir, con poco “poder”sobre la variable respuesta)

Statgraphics

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