Tema 6. Medición de la gravedad.

128

TEMA 6 MEDICIONES ABSOLUTAS Y RELATIVAS DE LA GRAVEDAD

129

6.1. Medidas de la gravedad. La gravedad en la tierra puede ser medida como mínimo de cuatro formas diferentes:

(1) Mediante la caída libre de una carga testigo.

(2) también mediante la oscilación de un péndulo en libre oscilación.

(3) o mediante el análisis de la oscilación de una masa pareja a un muelle.

(4) o bien mediante el análisis de las oscilaciones de una masa testigo solidaria a una

fibra.

Los principios físicos que rigen las medidas de estos fenómenos son bastante simples, no

podemos decir lo mismo del diseño de los aparatos para cuantificarlos y obtener una

medida del evento lo suficientemente buena como para que tenga una eficacia técnica, y

una precisión del valor de la gravedad acorde con el trabajo a realizar.

Actualmente debido a la alta precisión con que se realizan los cálculos en cualquier

trabajo de gravimetría, y debido a la tecnología que se utiliza y el destino que va a tener,

independientemente de el campo de aplicación (ya sea prospección o la geodesia física)

se hace recomendable trabajar con una precisión de entre 10 y 100 µGal. Otra

característica que se le debe pedir a un gravímetro es que el diseño del mismo permita la

portabilidad, ya que en otro caso este gravímetro sería inútil, excepto para centros de

investigación o estudios especiales. También hay que considerar que el tiempo empleado

para obtener una medida de la gravedad se halle en un periodo razonable.

Todo estos requerimientos hace que el diseño de un gravímetro, a pesar de la simplicidad

de los principios físicos en que se basan, sea complicado si se tienen que cumplir todos

los requerimientos vistos.

6.2. Medidas en caída libre.

Supongamos que una pequeña masa testigo es abandonada al vacío desde una posición

fija. La atracción gravitacional de la tierra g produciría que dicha masa se precipitase al

vacío realizando una trayectoria de x m en un tiempo t, según la conocida ecuación:

despejando g

12 )1.6(21 tgx=

21

2

1;.;:;; atxdtvdx

dt

dxvtavdtadv

dt

dva ======

Tema 6. Medición de la gravedad.

130

Ésta fórmula establece que el valor de la gravedad se determina midiendo, t el tiempo de

caída del objeto, y x la distancia recorrida. En el supuesto de que esta masa fuese lanzada

desde un metro de altura tardaría en recorrer dicha distancia algo menos que medio

segundo lo cual estaría indicando una aceleración aproximada de 980 gals, en el caso que

nos encontremos sobre la superficie terrestre.

Generalmente no se conoce con precisión la posición inicial de la masa en caída libre ni

el tiempo exacto de despegue, esto hace obligatorio la toma de al menos tres medidas de

tiempo t y de la posición de la masa x, ya que (6.1) pasa a (6.3)

)3.6(2

200 tgtvxx ++=

En estas medidas la precisión de la distancia y del tiempo debe ser muy alta. Si en (6.1)1

despejamos la aceleración y la obtenemos en función de t y x se obtiene

)4.6(22txg =

que aplicando la ley de propagación de errores se resuelve (Torge1989).

)5.6(2tdt

xdx

gdg

−=

Esto implica que para obtener una medida de g con precisión de 0.1 mgal se hace

necesario medir la distancia con una precisión de 10-5 cm, y el tiempo debería ser medido

con una precisión cercana a los 10-8 s. Ésta precisión en las medidas no fue posible hasta

pasados los 60 cuando la tecnología electrónica y el láser permitieron dichas operaciones.

Otro factor a tener en cuenta es que la gravedad no es homogénea, o lo que es lo mismo

la aceleración no es constante debido a que un cambio de posición implica un cambio en

los valores de la gravedad, quiere decir esto que conforme el objeto descienda los valores

de la gravedad van en aumento como hemos visto en el tema 4 (reducción aire-libre), la

corrección se puede encontrar en Torge, 1989 y en Cook, 1965.

)2.6(2 2txg =

131

Otros factores a tener en cuenta en la medición de la gravedad por caída libre es el efecto

producido por la fricción de la atmósfera y los movimientos del suelo, eventos que

alteran la medición y las condiciones de caída.

La fricción atmosférica depende del material, forma y de la velocidad de caída, del

cuerpo y de la densidad de la atmósfera. Normalmente bajo condiciones atmosféricas

estándar se obtiene una precisión en la medida de los valores de la gravedad de 10-3 g, lo

cual implica una precisión muy baja. En condiciones de vacío la fricción de la atmósfera

se ve disminuida, las partículas de la atmósfera se comportan como partículas simples,

oponiendo estas partículas una fuerza a la caída de la masa de forma lineal, lo cual

posibilita el cálculo de esta fuerza de resistencia. Existen diferentes métodos para reducir

los efectos de la presión atmosférica. Una es la medición en cámaras de alto vacío, siendo

este proceso muy costoso y puede provocar interferencias sobre los sistemas de medida.

Otra solución es la de establecer cámaras de vacío controladas por un servo, a través del

cual posteriormente se calcula el efecto provocado por la atmósfera.

El efecto provocado por microsismos tiene una repercusión sobre los sensores ya que les

produce un movimiento o lo que es lo mismo una aceleración la cual se traduce en unas

medidas de la aceleración erróneas. La forma de evitar este error es, mediante la

realización de series de medidas, o bien mediante la inclusión en el proceso de medidas

de un sismómetro o acelerógrafo que registre las aceleraciones y eliminarlas de las

medidas Torge,1989.

Veamos un diseño de estos tipos de gravímetros basados en la caída libre de una masa, el

cual ha sido confeccionado mediante dos prisma de reflexión troncocónicos (fig.6.1.). El

Prisma en caida libre

Prisma fijo emisor laser

Fotomultiplicador y contador

Lente de fusión

Lente de escisión

Fig.6.1.

Tema 6. Medición de la gravedad.

132

gravímetro expuesto en fig 6.1 opera de la siguiente forma. El haz láser es emitido por un

diodo láser el cual se ve escindido en dos haces en la lente de escisión mediante un

partidor (beam splitter), tomando cada haz una dirección perpendicular entre ellos, uno

toma la dirección hacia un prisma móvil superior y el otro haz una dirección hacía el

prisma estático. Ambos haces sufren reflexiones internas en ambos primas volviendo a

ser fundidos finalmente en un nuevo haz de determinadas características. Debido al

diferente recorrido de los haces (conviene recordar que la luz láser es una luz coherente

en longitud y fase, el desfase de ambos haces produce un patrón diferente de brillo),

cuando de nuevo se vuelven a fundir los dos haces en un mismo haz, genera un nuevo

haz con unas características diferentes al primero (por lo que se refiere a patrón de

brillo). Ésta composición diferente determina unas características de brillo en el haz, y

será cambiante en el tiempo ya que el prisma superior sometido a una caída libre va

cambiando su posición. Esto provoca en el haz resultante una variación del brillo, dichas

variaciones de brillo (Luz, no Luz) una vez contadas, nos permite obtener la distancia

recorrida por el prisma y el tiempo tardado en recorrerlo, este conteo se realiza mediante

un sistema contador y multiplicador.

Este tipo de medición se realiza en unas condiciones medioambientales estrictamente

controladas. Las medidas se realizan en una cámara al vacío. Como cualquier pequeño

micromovimiento del suelo puede producir errores es necesario que el experimento sea

repetido en varias ocasiones, usualmente en este tipo de gravímetros la repetición es del

orden de unas 50. La instrumentación montada debe ser manejada con un gran cuidado.

A pesar de que este instrumento puede ser desmontado para su transporte el montaje

requiere de una gran precisión y de una calibración, lo cual revierte en un gran consumo

de tiempo.

Estos tipos de aparatos proporcionan valores absolutos de la gravedad.

Otros tipos de aparatos fundamentados en el mismo principio miden el movimiento de un

objeto en libre caída mediante un interferómetro láser. Otro tipo de gravímetro tiene

perfectamente medido la distancia entre dos haces de luz, entre los cuales en un momento

dado se halla una masa en movimiento afectada por la fuerza de la gravedad, midiendo

este aparato el tiempo que tarda en recorrer la masa dicha distancia.

Aunque este principio fundamental de la medida del tiempo de caída de un objeto, da

muchas posibilidades a la hora de diseñar un gravímetro, en ningún caso es posible

construir en la actualidad un gravímetro portátil bajo estas premisas, con lo cual estos

instrumentos tan especiales se suelen hallar en centros para el control de los valores de la

133

gravedad. Para resolver valores de la gravedad en ubicaciones diferentes a estas se opta

generalmente por medir los incrementos del valor de la gravedad entre estos puntos y los

puntos de los cuales se quiere resolver la gravedad, ya que esta operación se puede

realizar con aparatos con una alta portabilidad en comparación con los gravímetros que

dan los valores absolutos de la gravedad, como veremos en las siguientes secciones.

6.3 Medidas con péndulo.

6.3.1. Medidas absolutas de la gravedad. Se entiende como péndulo al dispositivo compuesto por una masa de libre oscilación

sobre un eje estático. El péndulo matemático es un punto material que oscila suspendido

en un hilo inextensible y sin peso, este péndulo es ideal ya que no se puede construir.

Apartamos el péndulo de su posición de

equilibrio A, trasladandolo a B y el péndulo

debido a su tendencia de adquirir su posición de

mínima energía potencial alcanza de nuevo A.

Debido a la energía potencial suministrada al

colocarlo en B (mgh) esta se convierte en energía

cinética, la cual empuja a la masa a C,

convirtiéndose esta de nuevo en energía potencial.

La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso (mg) , que puede descomponerse en

dos componentes, una de ellas tangente a la trayectoria

)6.6(senϕmgFt −=

indicando el signo menos que la fuerza tiene sentido contrario al desplazamiento angular

Podemos aproximar (6.6) por

)7.6(ϕmgFt −=

Se demuestra que el periodo de oscilación de un m.v.s se obtiene por (Burbano, 1984)

)8.6(2KMπτ =

φ

φ

A

B C

mg

h x

Fig.6.2.

Tema 6. Medición de la gravedad.

134

siendo M la masa del péndulo y K la constante de la fuerza que provoca el movimiento

del péndulo.

Para el caso que estamos estudiando K se puede considerar en (6.7) que se puede

aproximar por

)9.6(;l

mgKKxxl

MgF =−=−=

Que aplicado a (6.8) obtenemos finalmente un periodo para el péndulo de

)10.6(22gl

lMg

M ππτ ==

Se conoce como periodo del péndulo al tiempo requerido por la masa en suspensión para

realizar un ciclo completo (partida de una posición determinada y llegada de nuevo al

mismo punto). La ecuación que establece la relación entre los valores de la gravedad y el

periodo del péndulo físico, ya que el matemático es imposible resolver su construcción:

Donde m es la masa del péndulo

I es el momento de inercia respecto el punto de suspensión (el sumatorio de las masas

por la distancia al cuadrado respecto de un eje)

h es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa.

Tras una conveniente reordenación obtenemos que:

Conociéndose K como la constante del péndulo. Observando el periodo del péndulo se

resuelve el valor de la gravedad según (6.12). El problema es que hasta la fecha nadie ha

podido determinar con suficiente precisión la constante del péndulo K, para poder

resolver los valores de la gravedad con una precisión mayor a 0.1 mgals. Esto implica

que nos podemos encontrar con el caso de dos instrumentos construidos de la misma

forma, y sin embargo obtener en ambos, valores de la gravedad diferentes, no existiendo

forma de resolver cual de los dos da un valor de la gravedad más exacto.

)11.6(2mgh

Iπτ =

)12.6(4:2

2 hmIKKg π

τ==

135

6.3.2. Medida relativa de los valores de la gravedad.

Aun así, los péndulos han demostrado una auténtica utilidad para medir incrementos en

los valores de la gravedad (∆g), entre diferentes puntos. Para este último propósito

partimos de la asunción de un valor de K constante, este, teóricamente es el mismo

mientras no cambiemos el péndulo y no varíen las condiciones físicas del entorno. Por

ello tan solo conociendo el valor del periodo de oscilación del péndulo se puede resolver

el ∆g a partir de (6.12):A pesar de tener un valor de K impreciso los valores relativos de

la gravedad se pueden obtener con una precisión buena. Cuando se miden los valores de

la gravedad en dos puntos diferentes con el mismo péndulo y bajo las mismas

condiciones físicas el error cometido en la medida de la gravedad es el mismo y con el

mismo signo, bajo esta suposición el valor del incremento de la gravedad será más

preciso que el valor absoluto de la gravedad. Algunos péndulos trabajan con una

precisión en g de 20 mgal y en ∆g de 0.1 mgal

Los péndulos portátiles fueron usados con fines prospectivos durante los años 30. Un

ejemplo práctico de péndulo es el que

se muestra en la figura 6.2., en este la

función de péndulo la realiza una

varilla de cristal suspendida por un

soporte de cuña, el cual descansa

sobre dos planos de cristal solidarios

a una pesada y consistente basada. El

periodo de estos tipos de péndulos es

ligeramente menor a un segundo.

Durante los procesos de medición

mediante péndulo se observó que la

oscilación de un péndulo simple producía ciertas vibraciones en los soportes, lo cual

producía alteraciones en el periodo natural del péndulo, por lo cual se optó por fabricar

péndulos opuestos, los cuales podían ser ajustados para provocar exactamente el mismo

periodo de oscilación, lo cual reducía en gran medida las vibraciones provocadas por la

oscilación del péndulo.

)13.6(222

211 tgtg =

Fig.6.3

Tema 6. Medición de la gravedad.

136

Los péndulos suelen funcionar bajo condiciones termoestables para evitar expansiones

térmicas y cambios de presión, por la misma razón suelen ir montados en cámaras de

vacío y controladas termostaticamente.

Las operaciones previas para realizar las medidas de gravedad con un péndulo son, la

nivelación del instrumento, comprobación del vacío, de los relojes, y de la temperatura,

en definitiva una medición de la gravedad suele tardar del orden de una hora como

mínimo, y usualmente el registro que se obtenía quedaba gravado en un registro

fotográfico, que después mediante un recuento de ciclos y con la medida del tiempo total

se obtenía el valor del periodo.

6.4 Gravímetros de muelles

6.4.1. Gravímetro de equilibrio de muelle vertical

Los gravímetros son aparatos diseñados

expresamente para la obtención de los

valores de los incrementos de la

gravedad, entre dos puntos de

observación. La mayoría de estos

instrumentos consisten en una

disposición de masas pendientes de

muelles. El principio básico de

funcionamiento de estos gravímetros es

bastante simple, este consiste en una

masa m suspendida de un muelle tal

como aparece en la figura 6.4, la cual

produce una elongación de la longitud

del muelle x, esta elongación es

producida por la fuerza actuante sobre la

masa, que es la fuerza de la gravedad mg. La fuerza ejercida por la gravedad se ve

compensada, por una fuerza de reacción ejercida por el muelle, kx, así pues podemos

establecer:

k.x=mg (6.14)

kx

mg

x

∆x

Fig.6.4.

137

Siendo k la constante del muelle. Cuando este sistema es trasladado de un emplazamiento

a otro, conlleva un cambio de la gravedad ∆g, este cambio produciría un cambio en la

longitud del muelle, ∆x, por tanto se puede decir que:

k. ∆x = m ∆g (6.15)

Como ya hemos visto cualquier perturbación a la cual se vea sometida la masa, tendrá

como resultado el movimiento de la masa hacía arriba y hacía abajo, describiendo un

m.v.a., según hemos visto en (6.8) este periodo se puede obtener, el periodo natural τ de

este movimiento estará relacionado con la masa y la contante del muelle.

Ya con estos principios se trata de construir un instrumento práctico a los efectos,

pequeño, portátil, de lectura fácil y que tenga como mínimo una sensibilidad a las

diferencias de gravedad entorno 0.01 mgal. Obviamente la masa no debe ser muy pesada,

ni el muelle excesivamente largo, ya que en caso contrario la portabilidad desaparecería,

una guía buena para el diseño de las partes del gravímetro es fijarnos en las ecuaciones

(6.14), (6.15) y (6.16). Por ejemplo supongamos que nosotros queremos obtener un

gravímetro con un periodo menor de 10 s en vistas de no dilatar mucho el tiempo

ocupado para una lectura, si a ésta condición le añadimos una masa menor de 10 gramos,

a partir de estos datos obtendríamos el resto de los condicionantes y parámetros a los

cuales hemos sujeto el resto de los componentes del gravímetro, si los resolviésemos

veríamos que es inviable por la longitud del muelle ;

que hay que buscar otra vía más factible en el diseño del gravímetro.

Gravímetro de equilibrio muelle-palanca.

Otros diseños de gravímetros basados en el mismo mecanismo de compensación de la

fuerza de la gravedad fueron ideados para resolver el problema de la longitud del muelle

que en el caso del gravímetro de muelle vertical requería una longitud muy larga para

obtener precisión, lo cual era poco práctico.

)16.6(2kmπτ =

)5.6(:: ggxxm

xgK

kmgx

∆∆

=∆∆

==

Tema 6. Medición de la gravedad.

138

A este respecto los gravímetros de equilibrio muelle-palanca han resuelto en gran medida

este problema. Este tipo de gravímetros utilizan muelles de torsión y helicoidales,

proporcionado estos muelles la fuerza que contrarresta la fuerza de la gravedad.

6.4.2.Los gravímetros de equilibrio

muelle-palanca con mecanismo de

compensación mediante muelle de

torsión están compuestos por una masa m

localizada al final de la palanca de longitud

a pudiendo rotar esta alrededor de un eje

horizontal denominado O. El ángulo entre

la línea de la plomada y la palanca es α. Un

cambio de la gravedad (g) se ve

correspondido con una fuerza de

compensación generada por el muelle provocando un cambio de la posición de la palanca

(α). La ecuación de equilibrio la podemos escribir de esta forma.

)6.6()(sen 0 ααα −= Tagm

Siendo T la constante de torsión, la cual es función de la longitud, grosor y elasticidad del

muelle de torsión.

Un cambio de la gravedad se ve correspondido con un cambio angular. Este dos cambios

no presentan una correspondencia lineal (6.6). Diferenciando (6.6) obtenemos la relación

existente entre una cambio de la gravedad y su repercusión en el cambio de la posición

de la palanca, o sea la sensibilidad.

)7.6()cot)(1( 0

0

αααααα

ggdgd

+−+

=

Esta ecuación que expresa la sensibilidad del sistema pone de manifiesto que

disponiendo la palanca en ciertas posiciones de partida (α0), podemos obtener un sistema

más sensible. De particular importancia son las posiciones de α0=0º, adquiriendo el

sistema una disposición de péndulo invertido y α0=90º.

a

α m

mg

T(α-α0)

O

Fig.6.5.

139

6.4.3. Los gravímetros de equilibrio

muelle-palanca con mecanismo de

compensación mediante muelle se

diferencian de los de torsión en que la fuerza

del muelle que contrarresta la fuerza de la

gravedad, no se aplica sobre el eje O, si no

sobre la palanca.

La fuerza que contrarresta a la de la gravedad

es K(l-l0) y se puede hacer que actué sobre la

palanca bajo un ángulo arbitrario. La línea

que une el punto de anclaje del muelle con el punto de giro de la viga tiene un ángulo

respecto a la vertical δ. Veamos el momento generado por el muelle en esta disposición.

)8.6(sen)()( 00 αldbllKhllKM F −=−=

En este caso la condición de equilibrio es

)9.6(sen)sen( 0 αδαllldbkagm −

=+

Diferenciado apropiadamente (6.9) obtenemos de nuevo la sensibilidad del sistema:

( ))10.6(

)cos(sencos

)sen(2

20 δααα

δαα

+−

+−

+=

mgalbdll

lkbd

madgd

esta ecuación pone de manifiesto que con una correcta elección de los parámetros que

configuran el dispositivo podemos alcanzar una mayor sensibilidad de medida y

precisión en concreto los parámetros importantes son α,δ y l0.

De especial importancia es l0 , este es la longitud inicial del muelle, cuanto más pequeña

sea esta más sensibilidad presentara el gravímetro, lo deseable en estos muelles es que

partieran de una longitud 0. Esto no es posible por que los muelles están confeccionados

con un material lo cual no hace posible el lograr este objetivo. Sin embargo varios

desarrollos han conseguido mediante diversas técnicas constructivas obtener muelles con

comportamiento parecido a muelles de longitud 0.

a

mα

δ

b

h

K(l-l0 )

l

Fig.6.6

Tema 6. Medición de la gravedad.

140

Otras preguntas que nos podemos formular en cuanto al diseño del gravímetro, es como

reducir el tiempo requerido para realizar una lectura, y como mínimo mantener una

precisión en la lectura de 0.1 mgal, lo cual ha sido objeto de largos desarrollos y

experimentaciones hasta encontrar una solución idónea al problema, para este fin los

fabricantes realizaran pruebas completas y severas a los gravímetros, finalmente se

obtuvieron gravímetros con una gran sensibilidad. A través de estos esfuerzos en la

actualidad nos encontramos con gravímetros con un periodo natural entre 5 y 10 s y con

precisiones entorno a los 0.001 mgal, y con pesos inferiores a 2.5 Kg., y con una alta

portabilidad.

En contrapartida los gravímetros presentan una gran desventaja y es que son mucho mas

sensibles al medio en el cual trabajan, esto es debido a que los parámetros de medición

están basados en sistemas completamente mecánicos, esto es, la fuerza de la gravedad es

compensada por una fuerza mecánica buscada, este sistema mecánico que compensa la

fuerza es muy sensible a cualquier cambio de las condiciones térmicas y de presión, ya

que se producirían dilataciones, contracciones, etc.

Por lo tanto en los gravímetros el control termostático es de alta importancia ya que

cualquier cambio influye de gran manera sobre estos, ya que cualquier contracción o

expansión de las diferentes partes que componen el microgravímetro pueden modificar

las condiciones de equilibrio de la viga, en virtud de esto una de las grandes precauciones

que se toman en la construcción del gravímetro es que el mecanismo sensible se halle

bien aislado, por lo general estos suelen estar controlados por termostatos con una

precisión de 0.002º.

Todos las gravímetros deben de ser calibrados para encontrar exactamente la relación

existente entre las desviaciones de la viga y los incrementos de la gravedad, para lo cual

existen dos métodos utilizados. Uno de ellos consiste en la inclinación del gravímetro

respecto a la vertical lo cual implica un cambio en la dirección en la cual actúa la

gravedad sobre la viga, el cual es el equivalente a ∆g= g-g*cos θ, donde la plataforma es

inclinada un ángulo θ respecto a la horizontal. La otra vía para resolver la relación

existente entre desviaciones e incrementos es mediante la medición de las desviaciones

entre los sitios de los cuales conocemos los valores exactos de la gravedad.

En cuanto a los diseños de este tipo de gravímetros, han sido varios los diseñados y

utilizados, en la actualidad los más extendidos son los Lacoste&Romberg, Worden,

Sodin y el Scintrex.

141

6.5 Gravímetro Lacoste&Romberg. El diseño básico del gravímetro

Lacoste&Romberg es el que se

observa en la figura 6.5. Este consta

de una viga goznada mediante un

muelle amortiguador, la cual va

sujeta mediante un muelle de

longitud cero, el cual es el elemento

sensible del aparato, sobre este se

actúa hasta que adquiere una

posición de equilibrio. La forma de

actuar sobre el muelle en este tipo

de gravímetro es mediante una

palanca, los movimientos que le

imprimimos a la palanca son

medidos por un tornillo

micrométrico sobre el cual

actuamos directamente, hasta que el

muelle se encuentre en su posición

de equilibrio. El principio de

funcionamiento de este gravímetro

se conoce como astatización, este consiste en igualar el momento de la gravedad con el

momento del muelle lo cual produce un aumento de la sensibilidad del gravímetro, lo

cual se traduce en unas mediciones muy precisas de los incrementos de la gravedad.

La lectura se obtendrá directamente a través del propio tornillo micrométrico, la lectura

que se obtiene es el número de vueltas, requeridas para alcanzar la posición de equilibrio.

Con lo cual todas las lecturas se realizaran con la viga en la misma posición, lo cual se

produce mediante el ajuste del muelle. Los cambios en la gravedad finalmente son

hallados multiplicando las diferencias en dial por la constante del gravímetro. Esta

construcción es una de las más precisas que se tiene en la actualidad, y uno de los

gravímetros con menor periodo de lectura, pudiéndose obtener incrementos de la

gravedad medidos con precisión de microgal.

Fig.6.7

Tema 6. Medición de la gravedad.

142

Los gravímetros Lacoste&Romberg son construidos con metales con un bajo

comportamiento térmico, y por su diseño es uno de los microgravímetros más ligeros del

mercado.

6.6 Gravímetro Worden.

El instrumento Worden se halla construido íntegramente por barras de cristal de cuarzo,

fibras y muelles. Y su funcionamiento también está basado en la astatización. El

mecanismo es el que se muestra en la figura 6.8.

El muelle de longitud cero y los muelles invertidos soportan la viga, en este caso es muy

pequeña. Todas las lecturas se realizan con la viga en la misma posición. El observador

ajusta dicha viga mediante el ajuste de un tornillo micrométrico al cual va unido a un

muelle de ajuste. La posición de equilibrio se alcanza cuando la viga se halla en

equilibrio. En este caso el dial muestra el número de vueltas del tornillo micrométrico,

hasta que el muelle de longitud cero ha alcanzado la posición de equilibrio. Las

diferencias de lecturas de este microgravímetro son convertidas en incrementos de los

valores de la gravedad, a través de la constante del gravímetro. En este caso se podría

Fig.6.8.

143

llegar a medir diferencias de hasta 5200 mgal, claro esta en el caso que el ajuste del

muelle se halle en los extremos.

Este sistema tiene una gran ventaja, y es el reducido espacio necesario para su ubicación.

Este al igual que los gravímetros de este tipo se halla ubicado dentro de un recipiente con

un alto aislamiento térmico, para reducir las fluctuaciones en la temperatura, en este caso

para reducir los efectos derivados de los cambios térmicos, los cuales siempre son

inevitables, para compensarlos se le dota de un resorte de fibra el cual actúa como

compensador térmico, esta fibra la función que cumple es la de contrarrestar los efectos

producidos por el cambio de temperatura, y es que la barra y la fibra tienen procesos de

respuesta contrarios a un cambio de temperatura. En virtud de lo cual estos se combinan

de tal forma que finalmente estos movimientos se ven compensados, este

comportamiento se da siempre que nos movamos en un margen y un cambio de

temperatura no muy acusado, claro está.

6.7. Fuentes de error en los gravímetros

A lo largo del texto hemos podido ir viendo la multitud de factores que repercuten sobre

los sistemas ideados para medir el valor de la gravedad, este número de efectos

perturbadores es mucho mayor en los gravímetros de muelle, este comportamiento se

traduce en un largo número de precauciones en el diseño de los gravímetros (se diseñan

los dispositivos de tal forma que el efecto no deseado no aparezca, en el caso de

dilataciones por temperatura, se produce un aislamiento para que no se produzca). Aún

así, se produce la aparición de efectos residuales, ya que como ocurre en casi todos los

instrumentos existe un rango de precisión mecánica difícilmente superable, lo cual no

permite controlar el efecto no deseado de una forma total (siguiendo con el ejemplo

anterior, el efecto debido al cambio de temperatura se controla mediante un termostato, el

cual tiene una precisión y un error, este error en el control de la temperatura provoca un

error en las medidas de la gravedad). La manifestación de estos tipos de errores, puede

ser de forma aleatoria o de carácter sistemático dependiendo de la fuente del error.

Además de una clasificación de los errores por su carácter, se puede establecer una en

función de su origen, la cual puede ser de carácter instrumental o por efectos externos.

Tema 6. Medición de la gravedad.

144

6.7.1 Los errores instrumentales Los errores instrumentales tienen su origen en la propia construcción del gravímetro, y en

estos también se incluyen los provocados por errores en la lectura, errores en la

nivelación del instrumento, voltaje inestable, cambio de propiedades elásticas y errores

en la función de calibración.

El error de lectura es función de dos aspectos, el primer aspecto es la sensibilidad con

la que el sistema indica que la masa se encuentra en la posición de equilibrio, cada

gravímetro nos indicara que la masa se halla en una posición de equilibrio, sin embargo

esta posición es función de la sensibilidad del dispositivo de lectura, una vez alcanzada,

el muelle se hallara no en la posición exacta si no ligeramente desplazado. Esta diferencia

es la que se traduce en la lectura como un error. El segundo aspecto a considerar es el

factor de conversión de este factor, para lo cual hay que multiplicar el desplazamiento

introducido por la constante de transformación de lecturas a valores de la gravedad.

El gravímetro L&R tiene una precisión en la lectura de 0.03 a 0.05 µms-2 mediante un

dispositivo de coincidencia óptico y de 0.02 a 0.03 µms-2 con un sistema capacitivo (este

sistema busca la zona de equilibrio mediante la medidas de diferencia de potencial).

Dentro del sistema de lectura otro factor que puede introducir un error de lectura es el

provocado por la existencia de holguras en el tornillo de ajuste, para evitar este error se

recomienda siempre ajustar las lecturas siempre en el mismo sentido, la aproximación al

equilibrio del muelle siempre se realiza con el tornillo girando en el mismo sentido. Este

error puede llegar a ser de 0.5 µms-2.

La precisión de la nivelación del instrumento depende de la calibración de los niveles así

como de la precisión con la cual realicemos el centrado. Para niveles bien calibrados

(10’’) y un error de centrado de la burbuja de 10´´ se suele establecer un error menor a 2

µms-2.

Un error instrumental importante, es el debido a un cambio en las propiedades

elásticas del sistema de forma temporal. Este error suele aparecer cuando la fuerza

compensadora que restaurá la posición del muelle a su posición original esta lejana de la

posición de equilibrio (hay que darle varias vueltas al tornillo del dial para alcanzar la

posición de equilibrio), este proceso produce un cambio momentáneo de las constantes

elásticas. El mismo efecto se observa durante los primeros movimientos de oscilación del

muelle. Para evitar este problema se recomienda realizar una aproximación al equilibrio

de forma paulatina y con movimientos del tornillo del dial esperando que la oscilación

del muelle sea mínima.

145

El error por la disminución del voltaje de la batería viene motivado porque dicha caída

provoca un descenso de la temperatura el cual motiva un cambio en la física del

gravímetro dándose muchas veces esta caída de una forma no lineal, produciendo errores

no lineales. Los L&R se estima que la caída de un voltio provoca un error de entre –0.05

a 0.25 µms-2.

Los errores producidos o introducidos en la tabla de calibración del instrumento

afectan de diferente forma a las medidas de la gravedad, dependiendo del tipo y el

tamaño del error. Normalmente los valores de las diferencias de la gravedad de mayor

tamaño, el error que se produce tienen componentes lineales y no lineales, mientras que

los valores relativos de la gravedad de menor tamaño el error que se produce tiene un

carácter periódico. El margen de variación de estos errores puede ser de 0.1 µms-2 hasta

de 1000 µms-2. La mejor forma de controlar dichos errores es mediante la re-calibración

periódica del gravímetro en líneas de calibración.

6.7.2. Efectos debido a errores externos. Se consideran como errores externos los cambios de temperatura del sistema, cambios en

las condiciones de presión del sistema (cambios de presión atmosférica) y también la

influencia magnética que se pueda generar en el terreno, también se consideran errores

ambientales los provocados al gravímetro por movimientos bruscos.

Los cambios de temperatura que se producen en el exterior del recinto aislado del

gravímetro, tienen una repercusión en la medida de la gravedad a pesar del aislamiento

en el que se encuentra la parte sensible del gravímetro, esto viene motivado por que no se

puede producir un aislamiento perfecto. Particularmente críticos son los cambios

producidos de una forma brusca, y aquellos que se producen de una forma diferenciada,

existen partes del gravimetro con una temperatura y otras con otra temperatura diferente,

estos cambios de temperatura producen un cambio en las constantes elásticas del sistema,

debido a que existe un cambio en la cinética de las partículas del sistema.

No existe una forma exacta de corregir estos cambios de gravedad debido a los cambios

de temperatura, con lo cual la mejor recomendación es evitarlos. Se establece que un

cambio de temperatura de 1º produce un cambio en los valores de la gravedad de 1µms-2

Los instrumentos con termostato ven reducidos estos efectos, estimándose que con la

precisión de los termostatos se puede producir un error de unos pocos 0.01 µms-2.

Tema 6. Medición de la gravedad.

146

Los cambios de presión atmosférica afectan al gravímetro cuando el recipiente estanco

al vacío no se halla lo suficientemente sellado. Más aún, las variaciones de presión

provocadas por la atmósfera pueden incluso llevar a la deformación del recipiente donde

se halla la parte sensible del gravímetro, produciendo cambios en las lecturas. Estas

influencias pueden ser investigadas en el laboratorio, y generalmente pueden ser

aproximadas mediante una ecuación. Con lo cual se pueden realizar correcciones por

presión atmosférica llegado un caso de alta precisión, o simplemente que hayamos tenido

una alta variabilidad en la presión.

Los errores provocados por una variación en el campo magnético pueden producirse

en gravímetros con componentes metálicos, y dicho efecto supera las contramedidas

magnéticas que tienen los gravímetros para evitar dichas influencias. En particular estos

dispositivos son muy sensibles a los movimientos bruscos pudiendo quedarse

desarmados los gravímetros en un momento dado. Para evitar las influencias provocadas

por las variaciones del campo magnético se suele recomendar, el testeo del gravímetro.

Una forma de detectar si el gravímetro se halla influenciado por dicho campo es realizar

diferentes lecturas de la gravedad en un mismo punto pero con diferentes orientaciones

del gravímetro, en el caso que no exista una influencia, todos los valores deberían salir

iguales. Se considera que el error máximo introducido puede llegar a 0.1 µms-2 en zonas

con una alta variabilidad magnética, normalmente este error se suele considerar

despreciable.

Los movimientos bruscos que sufre el gravímetro durante el transporte pueden provocar

cambios de lectura, siendo estos función del tipo y magnitud del movimiento. El motivo

es que dichos movimientos producen cambios en las constantes elásticas del sistema, ya

que esos momentos de fuerza quedan residentes en el sistema sensible, mediante

vibraciones o dislocaciones temporales del muelle. En función de lo expuesto nos

podemos imaginar lo complicado que es establecer una corrección por estos efectos, ya

que cad movimiento produce un efecto completamente distinto. La única medida que se

puede tomar es la de dejar descansar al gravímetro hasta que desaparezcan estos efectos y

transportar el gravímetro de forma que se produzcan el menor número de aceleraciones

indeseables. Después de un largo viaje nos podemos encontrar con errores del orden de

entre 0.01 a 0.1 µms-2.

147

6.8. Clasificación de los gravímetros. En los apartados anteriores hemos podido ver diferentes formas de medir los valores de

la gravedad, se puede realizar una clasificación de los métodos de medida de la gravedad

en función del proceso al cual se ha visto sometida la carga testigo, sobre la cual actúa la

gravedad y es parte del sistema sensible del gravímetro.

6.8.1 Método Dinámico. Los métodos dinámicos son aquellos métodos donde la carga testigo cuando se ve

sometida a la fuerza de la gravedad, describe la trayectoria o movimiento producido por

la fuerza de la gravedad. Posteriormente mediante un análisis de este movimiento, se

obtienen los valores de la gravedad. En los capítulos anteriores los métodos dinámicos

vistos han sido, dentro de la medida absoluta de la gravedad el método de caída libre, y el

de libre oscilación de un péndulo. En las medidas relativas de la gravedad el método de

libre oscilación del péndulo.

6.8.2 Los métodos estáticos. Los métodos estáticos se definen como aquellos métodos donde a la carga testigo que por

hallarse sometida a la aceleración de la gravedad se encuentra en un estado, inestable,

dispuesta a describir una trayectoria, se le proporciona una fuerza equivalente a la fuerza

de la gravedad de tal forma que la contrarreste y la carga quede en equilibrio. De los

métodos vistos, los pertenecientes a esta tipología son los gravímetros de muelles, el

gravímetro Lacoste&Romberg y el gravímetro Worden.

6.9. Obtención de valores de la gravedad mediante gravímetro.

6.9.1Correcciones por marea y deriva.

En el capítulo anterior vimos que para obtener las lecturas de la gravedad (Lg) en los

gravímetros relativos bastaba con multiplicar las diferencias de las lecturas del dial por la

constante del gravímetro. Esta operación en principio tan sencilla no se puede llevar a

cabo directamente, en verdad con esta operación se obtiene un valor relativo de la

gravedad, pero este valor no se corresponde exactamente con el incremento del valor de

Tema 6. Medición de la gravedad.

148

la gravedad entre dos puntos, si no con la variación de la gravedad entre dos puntos (δg).

Esta variación de la gravedad esta conformada por la lectura relativa de la gravedad

propiamente dicha (Lg) y un valor de la gravedad variable con el tiempo (gd y

gM,componentes temporal), variando esta componente en función de la hora de

observación. debido a factores externos e intrínsecos al instrumental.

δg=Lg+gd+gM :Lg= δg-gd-gM:Lg= δg+Cd+CM (6.11)

Para resolver correctamente las Lg, en primer lugar hay que realizar una corrección la

cual tenga en cuenta como influye la atracción gravitacional de la luna y el sol (gM) sobre

el punto en el cual estamos realizando la medición . Y en segundo lugar tendremos que

tener en cuenta como varía los δg debido a un cambio en las propiedades mecánicas del

sistema (gd).

Ahora planteemos como resolver la influencia de las dos componentes, para ello en un

primer momento podemos plasmar en una gráfica las variaciones de la gravedad que se

obtienen en un punto fijo y como varían estas con el tiempo, más concretamente para

poder resolver las dos componentes hay que realizar un seguimiento de la evolución de la

gravedad como mínimo con una cadencia de entre 3 y 1 horas. Observando esta

evolución en la figura 6.9., podemos establecer en un primer momento dos tipos de

cambios uno cíclico y otros no cíclicos.

Los cambios cíclicos son debidos a la posición de la luna y el sol, estos cuerpos celestes

describen una órbita alrededor de la Tierra o la Tierra alrededor de ellos (depende de

donde ubiquemos al observador) lo cual provoca cambios en los valores de la gravedad

observada sobre la superficie de la Tierra (gm). Debido a que este movimiento se realiza

alrededor siguiendo unas órbitas, los cambios en los valores de la gravedad van a

presentar una secuencia o lo que es lo mismo van a ser cambios cíclicos.

19 Marzo 17 Marzo 18 Marzo 20 Marzo 21 Marzo 22 Marzo

0.5mGal

Fig.6.9.

δg

149

En la fig.7.1 estos valores cíclicos son mucho más claros si los consideramos respecto a

una línea ligeramente inclinada, esta línea representa los cambios no cíclicos en los ∆g,

el origen de esta fluctuación de la gravedad no es real si no que esta provocada por el

mismo gravímetro en concreto por el elemento sensible, “el muelle”, este sufre un

“cansancio”, tensiones diferenciales y cambios de temperatura durante el proceso de

medición, estos procesos repercuten en la cinética de las partículas del muelle,

produciendo ligeros cambios en sus propiedades elásticas.

Los valores de la gravedad relativos que aparecen en la figura 7.1 se han obtenido por la

multiplicación de las lecturas del dial por la constante del gravímetro. Ahora si

observamos como varia la componente cíclica de la gravedad respecto a la línea de

deriva del gravímetro veremos que esta lo hace en un rango menor que unas pocas

decenas de miligales, y aún más podemos observar que los valores picos de la función

(ya sean máximos o mínimos) se encuentran en un intervalo de 6,.25 horas, y que

cambian la amplitud del periodo es cambiante conforme pasan los días.

En el caso de disponer de la misma gráfica en diferentes puntos no muy lejanos de este,

observaríamos gráficas muy similares, aunque veríamos como cambia esta, conforme la

distancia superara unos pocos centenares de kilómetros.

Se plantea que para obtener los Lg de manera precisa hay que corregir, la componente

gravitatoria introducida por la Luna y el Sol, para lo cual se utiliza una ecuación que

tenga en cuenta la masa de la Luna, el Sol, así como la posición de los mismos respecto

al punto de observación, siendo esta:

Siendo R el radio terrestre Mm y Ms la masa lunar y solar respectivamente, y rm y rs las

distancias de las mismas al centro de la tierra. El valor σ = 1.16 es una constante la cual

tiene en cuenta la propia deformación que sufre la Tierra bajo esta atracción luni-solar, ya

que esta se también se ve deformada por las mareas. Los ángulos θm y θs son los que se

forman en el centro de la tierra (este coincide con el origen del sistema geocéntrico) y es

el comprendido entre las rectas 1 generada por el punto de observación y el centro de la

Tierra y la recta 2 generada por el astro considerado y el centro de la Tierra. En el tema 7

trataremos con mayor profundidad las mareas gravimétricas.

)12.6(312cos

312cos

23

33

++

+= s

s

sm

m

mm r

Mr

MGRg θθσ

Tema 6. Medición de la gravedad.

150

La deriva del gravímetro.

Los gravímetros de muelle cuando realizan la medición de los valores de la gravedad de

forma constante muestran que con el tiempo la posición de equilibrio del muelle se va

desviando, siendo esta desviación ajena a la influencia ejercida por la atracción de los

planetas. Esta desviación se conoce como deriva del gravímetro. Esta es causada por el

“cansancio” del muelle de tensión y por efectos externos no compensados o no

suficientemente aislados por el recinto estanco donde se halla el muelle. La magnitud y el

tipo de deriva depende de:

Del tipo de instrumento y características del muelle. Los gravímetros de muelle de

cuarzo presentan una mayor deriva que los metálicos debido a sus propiedades

termoelásticas.

De la edad y uso del instrumento. Los gravímetros LCR pueden partir de una deriva

diaria de 0.5 µms-2 al principio de su utilización y en pocos años alcanzar

correcciones de 0.1 µms-2. Los gravímetros de cuarzo presentan correcciones mucho

más altas.

De la fluctuación de la temperatura externa, así como del tipo de transporte que sufra

el gravímetro y vibraciones que reciba.

Cambios de presión atmosférica o de voltaje.

Generalmente la deriva suele ser descompuesta a su vez en una parte estacionaria

(cambios de periodo largo, meses) y una parte por transporte (cambios de periodo corto,

horas) se suele considerar que esta parte de la deriva tiene un comportamiento lineal.

Pero a los efectos nosotros vamos a considerar la deriva sin descomponer en estas partes

y con un comportamiento lineal (gd).

En cuanto a las correcciones a aplicar para eliminar los efectos producidos por la

deriva del gravímetro, no existe una forma exacta de predecirlos. En virtud de esto la

única forma de corregirla es pues conociéndola, para lo cual es preciso visitar puntos de

gravedad conocidos. Quiere decir esto que no existe una fórmula establecida la cual dé el

valor de la deriva, si no que cada gravímetro tiene una gráfica de deriva, además esta

gráfica se ve afectada por las condiciones ambientales en las cuales se realiza la

medición. Este factor establece que en cada proceso de medición se halle la deriva del

gravímetro para el periodo de tiempo en que se realiza la medición (gd).

Es decir una vez hemos observado los incrementos de la gravedad que existe entre los

puntos volvemos a observar la gravedad en punto de gravedad conocida, una vez

151

realizada esta operación lo que hacemos es corregir por efecto luni-solar los δg

obtenidos. Una vez realizada esta operación veremos que existe una diferencia en el valor

de la gravedad del punto la cual es atribuible a la deriva del gravímetro que como hemos

visto es lineal en el tiempo (no siempre), con lo cual basta aplicar esta corrección lineal al

resto de los puntos teniendo en cuenta por supuesto el tiempo.

Veamos una secuencia de observación y corrección de este efecto.

Para ello en primer lugar vamos a suponer una secuencia de observación con partida de

un punto y llegada al mismo (B1), del cual conocemos el valor de la gravedad y

queremos resolver el valor de la gravedad en el resto de los puntos intermedios (1,2,3,4):

Secuencia de observación: B1-1-2-3-B1-4-B1 en esta se han obtenido las lecturas del dial

del gravímetro y el tiempo en el que se han realizado las lecturas.

Secuencia de conversión de los valores del dial en δg: Para lo cual tan solo hace falta

convertir lecturas del dial en valores de la gravedad δg, lo cual se hace multiplicando

estos valores por la contante del gravímetro, en el caso del LCR existen unas tablas de

calibración, en las cuales en función del rango de la lectura le corresponde una constante.

Una vez multiplicado este valor disponemos ya de valores de la gravedad.

δg=Ldial*K (6.13)

Secuencia para corrección del efecto Luni-Solar: A los valores obtenidos en el proceso

anterior hay que aplicarles la fórmula 7.1 la cual eliminara el efecto de la marea.

δg-gM= δg-CM (6.14)

Secuencia para corrección del efecto de deriva: Los valores obtenidos en el proceso

anterior se corrigen ahora por el efecto de deriva, para lo cual en primer lugar se realiza

el cierre en el itinerario. El cierre del itinerario viene dado sobre un punto en el cual se ha

realizado dos lecturas separadas por un intervalo de tiempo. En nuestro caso el cierre

vendría dado por la diferencia en el valor de la gravedad obtenida sobre B1 entre los

tiempos tB1 y tB1’.

d= [δgB1’-gMB1’]-[ δgB1-gMB1] (6.15)

Si no existiese deriva d seria 0 ya que en un mismo punto no existiría variación de la

gravedad (una vez hemos eliminado el efecto luni-solar). Para resolver el valor de la

Tema 6. Medición de la gravedad.

152

corrección de deriva (Cdx) de cualquier punto que se halla dentro del intervalo del

itinerario hay que calcular la deriva del gravímetro en el instante de la observación tx.

Para el caso del punto 3 aplicaríamos.

Siendo t3 la hora sobre la cual se realiza la observación del punto, tB1 la hora a la cual se

realiza la primera observación del punto de referencia (en este caso la primera

observación del punto B1), y tB1’ la hora en que finalmente se cierra el itinerario sobre el

punto de referencia.

Para resolver el valor de la corrección por deriva de el punto 4, no es valido realizar una

extrapolación a partir del valor d obtenido en el primer itinerario. En este caso hay que

realizar el cierre sobre tB1’’, el cual da mayor garantías sobre el comportamiento de la

deriva.

Secuencia para obtener los valores absolutos de la gravedad: En este caso como ya

conocemos los valores relativos de la gravedad entre un punto (B1) y el resto de puntos

bastara con sumar estos incrementos para obtener valores absolutos de la gravedad:

g3= gB1+ IB13 (6.17)

siendo IB13 según

IB13=Lg3-LgB1

Lg3=δg3-gM3-gd3= Lg3=δg3+CM3+Cd3

Vg1=δg1-gM1-gd1

δg-gm

B1

B1

B1

1

2

3

4

Cd3

∆g3

tB1 t1 t2 t3 tB1’ tB1´´ t4

d

Fig.6.10. tiempo

)16.6()()(

1'1

133

BB

Bd tt

ttdC−−

=