Tema 5 Teoremas Fund Amen Tales de Las Redes

5/16/2018 Tema 5 Teoremas Fund Amen Tales de Las Redes - slidepdf.com

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Tema 5: TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LASREDES.

5.0 OBJETIVOS5.1 SUPERPOSICIÓN Y LINEALIDAD.

5.2 REGLA DE SUSTITUCIÓN.

5.3 TEOREMA DE THEVENIN.

5.4 TEOREMA DE NORTON.

5.5 TEOREMA DE MILLMAN.

5.6 TEOREMA DE COMPENSACIÓN.

5.7 TEOREMA DE RECIPROCIDAD.

5.8 BIBLIOGRAFIA



2

• Entender la importancia de los teoremas en la resolución de cuestionestanto teóricas como prácticas.

• Distinguir cuando un circuito es lineal o no.• Saber identificar cuando un circuito es o no reciproco.• Comprender porque el principio de superposición es solo válido en

sistemas lineales.

• Valorar la superposición en la resolución de circuitos lineales confuentes de distinto carácter.• Asumir que la regla de sustitución es solo aplicable si no se modifica el

circuito.• Conocer casos reales donde se utiliza el teorema de compensación.

5.0 OBJETIVOS



3

5.1 SUPERPOSICIÓN Y LINEALIDAD. (1)

Linealidad:

Este principio se puede aplicar directamente en circuitos en forma de escaleras alimentadospor una única fuente situada al principio del circuito.Ejemplo:

Suponemos la señal de salida de valor unitario (1A).Obtendremos el valor de la señal de entrada para el valor de salida unidad elegido.

Definimos el valor de la constante K (las soluciones se obtienen multiplicando por K).

entradadeK·SeñalSalidaEntradaSalidaK =→=

En un circuito lineal, la señal de salida es proporcional a la de entrada.

83

K

K30V

1A80V

=

→

→

1 5

8

2

6

3

8 8

2

10Eg =30V

+

1

80V

16V

16A5

8

40V

64V

8A

8A

2

6

8V

24V

4A

4A

3

8

6V

16V

2A

2A

8

2

10 8V

1A

2V

10V

1A

Eg =30V

+



4

1

30V

6V

6A 5

8

15V

24V

3A

3A

2

6

3V

9V

1,5A

1,5A

3

8

2,25V

6V

0,75A

0,75A

8

2

10 3V

0,375A

0,75 V

3,75V

0,375A

Eg =30V

+




5

Superposición:

Para un circuito alimentado por varias fuentes de alimentación la señal de salida

se puede obtener como suma de varias señales, es decir como suma de las señales de varios circuitos. Cada uno de estos circuitos, tendrá todas las

fuentes pasivizadas excepto una.Para pasivizar las fuentes de tensión se cortocircuitan y las de corriente se dejan a circuitoabierto.Ejemplo: En el circuito de la figura, calcúlese el valor de la corriente I 1.

1

J 2=10AE 1=120 V

r 1=1 1

E 2=80 V

1

1

E 3=80 V

+

+

+I 1’




6

1 E 1=120 V

1 1

1

1

+I 1’ I 2’

I 4’

I 3’=0A

1

1 1

E 2=80 V

1

1

+

I 1’’ I 2’’

I 4’’

I 3’’=0A

1

r 1=1 1

1

1

E 3=80 V

+

I 1’’’ I 2’

I 4’

I 3’=0A

A72

2121

1

120'1 =

+

⋅+

=I A3221

2

1212

1

80"1 =

+⋅

+

⋅+

=I

A1621

211

2

80'''1 =⋅

⋅+

=I

CIRCUITO Nº 1: Obtenemos la resistencia total vista por la

fuente que no es más que dos resistencias de 1Ω

y 2Ω

en paralelo y con una tercera de 1Ω en serie. La corrienteque circula por la fuente es la tensión de la fuente divididapor la resistencia total del circuito.

CIRCUITO Nº 2: Se calcula igual que antes la

corriente que la fuente proporciona al circuito,calculando para ello la resistencia total delcircuito vista por la fuente, en este caso lafuente E 2. A continuación se aplica la fórmuladel divisor de corriente. Nótese que lacorriente I 1” a cambiado de sentido.

CIRCUITO Nº 3: Se hace igual que elcircuito nº 2. Obteniendo previamente lacorriente total del circuito y calculando I 1’’’seguidamente empleando la formula del

divisor de corriente.




7

1

J 2=10A

r 1=1 1

1

1

I 1IV I 2IV

I 4IV

I 3IV=10A

A4102

10

2IV

1

IV1IV

1IV

1

IV4

IV2

IV1

IV1IV

4

IV2

IV1

=→=++→

=++

=

=

I I

I I

I I I

I I

I I

CIRCUITO Nº4: Lo resolvemos teniendo en cuenta lapropiedad proporcionalidad Las ramas de lascorrientes I 1

IV, I 2IV e I 4

IV están en paralelo. Lascorrientes I 1

IV e I 2IV son iguales por tener sus ramas la

misma resistencia y la corriente I 4IV es la mitad por

tener el doble de resistencia. Con estos datos

formamos el sistema de ecuaciones que nos permitadeterminar el valor de la corriente I 1IV que se persigue:

RESPUESTA :Como la superposición de las cuatro señales. A204163272'''"' IV11111 =−−−=−−−= I I I I I




8

Solo se emplea cuando los circuitos resultantes son realmente sencillos.

Cuando existan fuentes de diferente naturaleza o de diferente frecuencia se debe aplicarforzosamente este teorema.

1

J 2=10A

r 1=1 1

1

1

I 1’’ I 2’’

I 4’’

I 3’’=10A

A4"10

2

"""

10""" 2

''''

''''

11

11

421

14

21

=→=++→

=++

=

=

I I

I I

I I I

I I

I I

=

−

−=

−

−

0

40

8080

80120·

31

12

B

A

I

I

A2416120

31

1230

140

'1 =−

=

−

−

−

== I I A

Lo resolvemos igual que antes se ha resuelto el circuitonº4, ya que como se puede apreciar es el mismo.

1

E 1=120 V

r 1=1

E 2=80 V

1

1

E 3=80 V

I 1’ I 2’ I 4’

I A

I B

+

+

+CIRCUITO Nº 1 ( Solo fuentesde tensión)

CIRCUITO Nº 2 ( Solo fuentesde corriente)

RESPUESTA :Como la superposición de las dos señales. A20424"' 111 =−=−= I I I

En lugar de superponer cuatro circuitos uno por cada fuente. Otra opción es, superponer dos: un circuitotendrá todas las fuentes de tensión y otro todas las de corriente, así se evita hacer la transformación defuentes.




9

Nota:

21

21

21

12

21

212211

·

·

····

R R

R i i

R R

R i i

R R

R R

i R i i R U

S

S

S

+=

+=

+===

U R 1

i S

i1

i 2

R 2

U S

R 1

i

U 1

U 2 R 2S

S

S S

U R R

R i R U

U R R

R i R U

R R

U i R i i R U

21

221

21

111

2121 o ··

+=⋅=

+=⋅=

+=+=

En este ejercicio del ejemplo para resolver los subcircuitos dos y tres, se ha empleado eldivisor de corriente recordemos en que consiste:

Igualmente podemos hablar del divisor de tensión :




10

5.2 REGLA DE SUSTITUCIÓN (1)

Conocida la relación u(t)=Z(D)·i(t) ó i(t)=Y(D)·u(t) entre los terminales de un

elemento pasivo, podremos sustituir el elemento por una fuente de tensión de valor u(t)o por una fuente de corriente de valor i(t) ya que al aplicar las leyes de Kirchhoff en el circuito, las ecuaciones de definición no variarán; estas fuentes serán fuentes dependientes.

CIRCUITO

ELÉCTRICOI o

Cortocircuito

Fuente de corriente

CIRCUITO

ELÉCTRICO

u(t)= 0 ig(t)=I 0

Se sustituye el elemento pasivo poruna fuente de tensión cuyo valor esla caída de tensión en bornes delelemento pasivo. Pero la corrienteen ambos circuitos ha de ser lamisma.

Se sustituye el circuitoabierto por una fuente detensión cuyo valor es latensión en bornes delcircuito abierto. La corrienteen ambos circuitos es nula.

Se sustituye el cortocircuitopor una fuente de corrientecuyo valor es la corriente delcortocircuito. Siendo latensión en ambos circuitos lamisma y nula.

Como se puede observar cuando el elemento ha sido sustituido por una fuente de tensión la corriente debía adquirir un valordeterminado y cuando se ha sustituido por una fuente de corriente, esta estaba supeditando a una tensión determinada. A estoes a lo que se refiere cuando en el enunciado se dice que la fuente es dependiente.

CIRCUITO

ELÉCTRICO

u (t )

i (t )

Z (D )

u(t) = Z(D)·i(t)

CIRCUITO

ELÉCTRICO

eg(t)

i (t )

u (t )Elemento pasivo

Fuente de Tensión

+

CIRCUITO

ELÉCTRICOu 0

i(t)=0

CIRCUITO

ELÉCTRICOeg(t)= u 0

i(t)=0

Circuito abierto

Fuente de Tensión

+



11

Esta regla puede emplearse para la representación de una bobina o un condensadorcargados inicialmente, veámoslo:

a) Caso del condensador cargado inicialmente :u 0

u(t)

i(t)

u(t )

u 0

u 0 =0

i(t)+

≡

El condensador previamente cargado tienen en sus bornes la tensión u 0 que sesustituye por una fuente ideal de tensión de valor u

0

, en serie con uncondensador sin carga. De modo que el comportamiento del conjunto es elmismo que el de el condensador con carga.

∫∫∫∫ +=+==

∞−∞−

t t t

t t i C

u t t i C

t t i C

t t i C

t u

00

0

0d)(

1d)(

1d)(

1d)(

1)(

∫∫∫∫ +=+==∞−∞−

t t t

t t u Li t t u Lt t u Lt t u Lt i 0

00

0

d)(1

d)(1

d)(1

d)(1

)(

b) Caso de la bobina con carga inicial :

≡

i 0

u (t )

i (t )

i 0=0

i 1(t )=i 0

i (t )

u (t )Ambos circuitos

cumplen la mismaecuación:

La bobina previamente cargada se puede sustituir por una bobina sin carga enparalelo con una fuente ideal de corriente cuya corriente es la corriente quepreviamente tenía la bobina.

5.2 REGLA DE SUSTITUCIÓN (2)



12

5.3 TEOREMA DE THEVENIN.

El circuito equivalente de un circuito activo entre dos cualesquiera de sus

puntos, constará, según Thevenin, de una fuente de tensión y una impedancia en serie con la fuente, conectados entre los puntos mencionados.

El valor de la fuente de Tensión: u TH(t)

será aquel valor de tensión que apareceentre los bornes del dipolo cuando este

está a circuito abierto.

La impedancia Z TH(D): será la impedancia de entradaque hay entre los bornes del dipolo. Para calcularlo sedeben pasivizar las fuentes ( cortocircuitar las fuentes

de tensión y dejar a circuito abierto las de corriente).

CIRCUITO

ELÉCTRICO

u TH(t )

i(t)=0A

B

CIRCUITO

PASIVO

Z TH(D)

A

B

B

Z TH(D)

A

u TH(t )CIRCUITOACTIVO

A

B

≡

•Cuando en el circuito haya fuentes dependientes, se coloca cualquier tensión entre los bornes deldipolo, se determina la corriente i(t) entre A y B, y posteriormente se obtiene el valor de Z TH(D) con laexpresión:

)()(

t i

t u

•Si en el circuito hay acoplos magnéticos entre las partes del circuito que se encuentran a la izquierda y la

derecha de A y B (bornes entre los que se calcula el equivalente) no se puede aplicar Thevenin.



13

5.4 TEOREMA DE NORTON. (1)

El circuito equivalente de un dipolo activo (circuito eléctrico con dos bornes accesibles), según Norton, consta de una fuente de corriente ideal y una

admitancia en paralelo con esta.

Valor de la fuente de corrientei N(t ), es la corriente en bornes del

dipolo, cuando está en cortocircuito,y manteniendo su sentido.

Valor de la admitancia, es la admitancia deentrada al circuito cuando el circuito estápasivizado.

CIRCUITO

PASIVO

Y N(D)

A

B

i N(t )CIRCUITO

ELÉCTRICO

A

B

CIRCUITO

ACTIVO

A

B

Y N(D)

A

B

I N(t )



14

Al aplicar los teoremas de Norton y Thevenin a un mismo dipolo, los dos circuitos

que se obtienen serán equivalentes, veámoslo:a) Ambos equivalentes a circuito abierto:

)D(

)()(

N

N

TH Y

t i t u =

b) Cortocircuitando ambos circuitos:

)D()(

)(TH

THN

Z

t u t i = (2)

(1)

)D()D(1)D()D()(

)D()(

)( NTHN

TH

TH

N

NTH Y Z

Y

Z

t u

Y

t i t u ⋅=→==De las expresiones (1) y (2)

)D(1

)D(N

THY

Z =

)D(1

)D(TH

NZ

Y =

)()(

)D(N

THTH

t i

t u Z =

Relación entreparámetros de

amboscircuitos

)()( TH t u t u =

u (t )

B

Z TH(D)

A

u TH(t )

)D()(

)(N

NY

t i t u =

u (t )Y N(D)

A

B

I N(t )

)D()()(

TH

THZ

t u t i =

i (t )

B

Z TH(D)A

u TH(t )

)()( N t i t i =

i (t )Y N(D)

A

B

I N(t )

5.4 TEOREMA DE NORTON. (2)



15

5.5 TEOREMA DE MILLMAN (1)

Gracias a este teorema, para conocer la tensión u AB (t) entre dos puntos A y B de un

circuito basta con conocer las impedancias de las ramas que confluyen en B y las tensiones de las ramas que confluyen en A.

Z 1(D)i 1(t )1

u 1A(t )Z 2(D)i 2(t )2

Z 3(D)i 3(t )3

Z i (D)i i(t )i

Z N(D)i N(t )N

u AB(t )

AB

u 2A(t )

u 3A(t )

u iA(t )

u NA

(t )

Vamos a modificar el circuito empleando la regla de la sustitución de forma que resulte máscómodo para la demostración :-Las impedancias de las ramas se sustituyen por fuentes de tensión.-Las tensiones que se han representado se sustituyen por impedancias.



16

B

A

Z 1(D)

i 1(t )

1

u 1A(t ) Z 2(D)

i 2(t )

2

u 2A(t ) Z3(D)

i 3(t )

3

u 3A(t ) Z i(D)

i i(t )

i

u iA(t ) ZN(D)

i N(t )

N

u NA(t )

......u AB(t )

eg 1(t )

+eg 2(t )

+eg N(t )

+eg i(t )

+eg 3(t )

+

La 1ª LK en el nudo A:

)()()(

....................................

)()()(

....................................

)()()(

)()()(

)()()(

33

22

11

t u t e t u

t u t e t u

t u t e t u

t u t e t u

t u t e t u

AB gN NA

AB gi iA

AB g A

AB g A

AB g A

−=

−=

−=

−=

−=

)()()()(

)(

..............................................

)()()()(

)(

..............................................

)()()()(

)(

)()()()(

)(

)()()()(

)(

333

33

222

22

111

11

t u D Y D Z

t u t i

t u D Y D Z

t u t i

t u D Y D Z

t u t i

t u D Y D Z

t u t i

t u D Y D Z

t u t i

NAN N

NAN

iAi i

iAi

AA

AA

AA

⋅==

⋅==

⋅==

⋅==

⋅== ( )( )

( )

( )

∑

∑∑∑∑

=

=

===

⋅

=⇒⋅−⋅==

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

⋅−⋅=−⋅=

n

i i

gi

N

i i

AB

N

i i AB gi

n

i i

n

i i

AB n gn n AB gn n n

AB i gi i AB gi i i

AB g AB g

AB g AB g

AB g AB g

D Y

t e D Y

t u D Y t u t e D Y t i

t u D Y t e D Y t u t e D Y t i





1

1

111

333333

222222

111111

)(

)()(

)()()()()(0)(

)()()()()()()()(

..............................................

)()()()()()()()(

..............................................

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

La 2ª LK en cada rama:

La ley de Ohm en lasimpedancias de cada rama:

5.5 TEOREMA DE MILLMAN (2)



17

5.6 TEOREMA DE COMPENSACIÓN (1)

Gracias a la aplicación sucesiva de la regla de la sustitución se establece un teoremaque nos va a permitir conocer de forma muy sencilla, ( solamente resolviendo doscircuitos) como varían las corrientes de todas las ramas de un circuito al variar laimpedancia de una rama.

• Es muy útil, para analizar los efectos de las tolerancias de los elementos, es decir,para analizar los errores que las tolerancias inducen en el cálculo de las corrientes.• Mediante este teorema se pueden calcular las variaciones que las corrientes de lasramas sufren al cambiar el valor de una de las impedancias del circuito, permitiendo enel diseño de un circuito tantear hasta lograr la impedancia adecuada de diseño.

DESARROLLO:

i 2

i 1

CIRCUITOELECTRICO Z (D)

i n

Al aumentarel valor de

Z (D)i n+∆i n

CIRCUITOELECTRICO Z (D)+ ∆Z (D)

i 2+∆i 2

i 1+∆i 1



18

CIRCUITOELECTRICO Z (D)+ ∆Z (D)

i n+∆i n

i 2+∆i 2

i 1+∆i 1

Se separan Z (D) y ∆

Z (D) en dosimpedancias distintas, conectadas en serie.

i n+∆i n

CIRCUITOELECTRICO

∆Z (D)

i 2+∆i 2

i 1+∆i 1

Z (D)

1

Aplicando la regla de la sustitución en elelemento ∆Z (D), aparece la fuente de valor ∆Z (D)(i 1+ ∆i 1) en la rama modificada:

2

CIRCUITOELECTRICO

∆Z (D)[i 1+∆i 1]i n+∆i n

i 2+∆i 2

i 1+∆i 1

Z (D)

+




19

Se aplica el Teorema de superposición:Por un lado se analiza el circuito que posee todas las fuentes del circuito excepto la de valor ∆Z (D)(i 1+ ∆i 1) , el circuito del principio. Y por otro el circuito que solo tienen la fuente: ∆Z (D)(i 1+ ∆i 1)

3

+

i 2

i 1

CIRCUITOELÉCTRICO Z( D)

i n

Circuito del principio Circuito pasivo que solo tiene como elemento activo aquellafuente de alimentación obtenida de aplicar la ley de lasustitución. ∆Z (D)(i 1+ ∆i 1)= ∆Z (D)·i 1+ ∆Z (D)· ∆i 1 donde los dosúltimos sumandos son fuentes de tensión

CIRCUITOPASIVO

∆Z (D)[i 1+∆i 1]∆i n

∆i 2

∆i 1

Z (D)

+




20

4

→

∆Z (D)[ ∆i 1] ∆Z (D)

=

Aplicando de forma inversa la reglade la sustitución.

El circuito que finalmente se resolverá:

En este circuito se calcula directamente todas las ∆i n. Es decir, las variaciones de corriente en las

ramas al añadir una impedancia de valor ∆

Z (D) enuna de las ramas.

CIRCUITOPASIVO

∆Z (D)[i 1]

∆i n

∆i 2

∆i 1

Z (D)

∆Z (D)[ ∆i 1]+

+

+

5

CIRCUITOPASIVO

∆Z (D)

∆i n

∆i 2

∆i 1

Z (D)

∆Z (D)[i 1]+




21

5.7 TEOREMA DE RECIPROCIDAD (1)5.7.1 PRIMER ENUNCIADO.

Sea un circuito pasivo con cuatro terminales. Si se inserta una fuente de corriente ideal entre dos de sus terminales ( 1 y 1’) aparece una tensión u

22’

(t) entre los puntos 2 y 2’ a circuito abierto. Por otro lado, si se conecta la anterior fuente de corriente entre los terminales 2 y 2’ la tensión que aparecerá entre 1 y 1’ u 11’(t) será del mismo valor que la u 22’(t) anterior.

u 22’(t )CIRCUITOPASIVO

1

2’

2

1’

i (t ) = u 11’(t )CIRCUITOPASIVO

1

2’

2

1’

i (t )



22

Sea un circuito pasivo con cuatro terminales (1, 1’, 2, 2’) accesibles. Supongamos que entre los terminales 1 y 1’ se interpone una fuente de tensión y que se cortocircuitan los terminales 2 y 2’, así aparece una corriente de 2 a 2’ que vale

i 22’ (t) . Sin embargo si se coloca la fuente anterior entre los terminales 2 y 2’ y se cortocircuitan los terminales 1 y 1’ la corriente que circulará de 1 a 1’, i 11’ (t) será de igual valor que la i 22’ (t).

=i 22’ (t )+

i 11’(t )CIRCUITOPASIVO

1

2’

2

1’

eg (t )CIRCUITOPASIVO

1

2’

2

1’

eg (t )+

5.7 TEOREMA DE RECIPROCIDAD (2)5.7.2 SEGUNDO ENUNCIADO.



23

5.8 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación aDistancia. Madrid 1990. Tema XVI.

• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.

Capitulo 7, lecciones 17, 18 y 19..• R.L. Boylestad, Análisis Introductorio de Circuitos, Prentice Hall, México 1998.Capítulo 9.

• A. Gómez, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madrid1990. Capitulo 3.

• P. Sánchez Barrios y otros, Teoría de Circuitos, Pearson Educación, Madrid 2007.

Capitulo 1.

Tema 5 Teoremas Fund Amen Tales de Las Redes

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