PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

1. Un coche tarda 4 horas en recorrer 360 km. Si mantiene esa velocidad, cunto recorrer en 5 horas?

2. Si el AVE tarda 2 horas en llegar desde Madrid a Crdoba, que distan 400 kilmetros, cunto recorrer en 3 horas?

3. Si una persona recorre 20 km. en 40 minutos en bicicleta, cunto recorrer en 1 hora (60 minutos)?

4. Si una botella de gaseosa cuesta 0,45 , cunto cuesta una caja que contiene 12 botellas?

5. Si un da tiene 24 horas, cuntas horas hay en una semana?

6. Un paquete de 5 chicles cuesta 0,75 . Cunto cuestan 3 paquetes? Cuntos paquetes te puedes comprar con 3 ?

7. Si un euro vale 166,386 pesetas, cunto valen 5 euros? Y cuntos euros nos darn con 1000 pesetas?

8. En el colegio se quiere organizar una excursin en primavera. Se contrata un autobs con conductor que dispone de 80 plazas y cuesta 360 . Si se llena el autobs, cunto debe pagar cada alumno? Y si slo se cubren la mitad de las plazas?

9. Cuando se llevaba la mitad del escrutinio de las quinielas del domingo, la radio inform que haban aparecido 6 acertantes de 15 resultados que cobraran 108.000 cada uno. Al terminar el escrutinio, los acertantes fueron 9. Cunto cobrar entonces cada uno de ellos?

10. Un albail tarda 5 das en levantar una pared de 84 m. Cunto tardarn 3 albailes trabajando al mismo ritmo que el primero?

Magnitudes proporcionales

1) El agua de un depsito se extrae en 200 veces con un bidn de 15 litros. En cuntas veces se extraer con un bidn de 25 litros?.

2) Las ruedas traseras y delanteras de un coche tienen un dimetro de 1,3 metros y 1 metro, respectivamente. Cuando las primeras han dado 370 vueltas, cuntas han dado las segundas?.

3) Cada pgina de un libro tiene 32 lneas. El libro tiene 70 pginas. Cuntas pginas ocupara el mismo libro si en cada pgina se colocarn 35 lneas?.

4) Un grupo de jubilados contrata un autocar a un precio fijo. En principio se apuntan 42 ancianos y calculan que cada uno deber pagar 6,10 euros. Finalmente slo van 35 personas. Cunto deber pagar cada uno?.

5) Llenamos un camin con 1.215 sacos de 4 kg de patatas cada uno y otro camin de igual capacidad se llena con sacos de 5 kg. Cuntos sacos cabrn en el segundo camin?.

6) Una tela metlica, que pesa 45 kg, tiene 36 metros de larga por 1,20 metros de ancha. Cul sera su longitud si su anchura fuera de 0,90 metros sin variar el peso?.

7) Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un da se retrasa al salir y tiene que llegar al colegio en 20 minutos. Cuntos pasos deber dar por minuto?.

8) Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto.

a) cuntas horas tardar si el grifo arroja 90 litros?;

b) cuntos litros tienen que salir por minuto para que tarde 36 horas en llenar la piscina?.

9) Son directamente proporcionales los radios de dos crculos y sus correspondientes reas?.

Si un crculo tiene 20 cm2 de rea qu rea tendr otro crculo cuyo radio mide el doble que el del primero?.

10) Hemos pasado en coche ante el km 100 a las 11 horas 25 minutos y ante el km 200 a las 12 horas 10 minutos. A qu hora llegaremos al km 275?.

11) Un grifo abierto 9 horas diarias durante 8 das ha arrojado 5400 litros. Cuntos litros arrojar durante 18 das a 8 horas diarias?

12) Una persona leyendo 4 horas diarias, a razn de 15 pginas por hora, tarda en leer un libro 10 das. Si leyendo a razn de 10 pginas por hora tardase 20 das cuntas horas diarias leera?.

13) Un barco lleva vveres para alimentar durante 45 das a su tripulacin, formada por 60 hombres. Si acogen a 30 hombres ms de un barco averiado, cuntos das durarn los vveres?.

14) Se ha excavado la mitad de un foso en 35 das con 120 obreros. Habindose aumentado stos en 30 obreros, en cuntos das acabarn el trabajo?.

15) Tres amigos han ido a comprar CDs. El primero compr dos CDs, otro compr tres y el ltimo cinco CDs. Si el lote completo vale 120 euros y todos los CDs valen lo mismo cunto deber pagar cada uno?.

16) Antiguamente un tendero empleaba una balanza de brazos desiguales que medan 22 cms y 20 cms. Un cliente compr 4 kgs de caf poniendo el tendero las pesas sobre el brazo menor. El cliente, descontento, compr al da siguiente otros 4 kgs pero obligando al tendero a poner las pesas en el otro brazo. Cuntos kgs de caf realmente se habr llevado?.

17) Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 2100 euros. La manada del primero la componen 40 vacas y la del segundo 300 ovejas. Cunto ha de pagar cada uno si una vaca come como 10 ovejas?.

18) Mara, Paloma y Sara han cobrado por un trabajo 208 euros. Mara ha trabajado 7 horas, Paloma 5 horas y Sara 4 horas. Qu le corresponde cobrar a cada una, proporcionalmente a su trabajo?.

Porcentajes

19) Luis hace limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limn. Cul es el porcentaje de zumo que hay en la limonada?.

20) En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, quedando 164. Cuntos han muerto?.

21) Un banco prest a otro 300.000 euros al 18 % mensual. La cantidad devuelta ha sido de 462.700 euros Cunto tiempo ha tardado el segundo banco en devolver el prstamo?.

22) Una impresora cuesta 215 euros sin IVA y 249,40 euros con IVA. Qu porcentaje de IVA presenta?.

23) En la ltima subida de precios del autobs el billete sencillo ha pasado de 1,10 euros a 1,16 euros y el bonobus de diez viajes ha pasado de 4,70 euros a 4,91 euros. Qu tanto por ciento de subida han sufrido el billete sencillo y el bonobus?.

24) Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la cantidad que hay al principio de cada ao, qu ganancia obtendremos al cabo de un ao? y despus de 4 aos?.

25) Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros. Cunto costaba antes de la subida?.

26) Un poster costaba 4,80 euros. Tras una subida, este precio es el 80 % del precio final. Cul es el precio final del poster?.

27) Un burro atado a un rbol puede comer 35 m2 de hierba. Cunta podr comer si se incrementa en un 20 % la longitud de la cuerda?.

28) Una mercanca se encareci en un 10 % y luego se abarat tambin un 10 %. Cundo vale menos, antes o despus de todo el proceso?.

29) Se compra un coche de 15.600 euros pagando los 2/5 al contado y el resto con un aumento del 8 % anual en mensualidades durante dos aos. Cunto se debe pagar cada mes?.

30) Un cultivo de bacterias tiene 120.000 bacterias y, por la accin de un frmaco, se produce la muerte del 16 % de la poblacin. Tratadas las bacterias supervivientes con otro producto se aumenta la poblacin en un 14 %. Cuntas bacterias forman la poblacin finalmente? Podras hacerlo hallando un solo porcentaje?.

31) Durante la primera cuarta parte de la Liga, un equipo de ftbol ha ganado el 40% de los puntos posibles. Qu porcentaje de puntos debe ganar en el resto de la Liga para que al finalizarla tenga el 70 % de los puntos posibles?.

32) La produccin de cebollas y zanahorias en Espaa est en una relacin de 8 a 5. Si la produccin de cebollas disminuye en un 15 % y la de zanahorias aumenta en un 20 %, en qu relacin queda la produccin?.

33) En un supermercado tienen tres marcas de tomate en bote. Los botes de azul cuestan un 50% ms que los de verde, pero contienen un 10 % menos de tomate que los de rojo. Los botes de la marca rojo pesan un 50 % ms que los de la marca verde y cuestan un 25 % ms que los de azul. Cul es el bote con el precio ms alto y el ms bajo? Qu marca resulta ms econmica?

SOLUCIONES

1) El procedimiento ms sencillo consistira en comprobar cul es la capacidad del depsito: 200 x 15 = 3000 litros, a lo que habra que dividir entre 25 litros de cada extraccin posterior: 3000 : 25 = 120 extracciones.

Mediante la regla de tres, resultara una inversa:

200 veces -------- 15 litros/extraccin

x veces -------- 25 litros/extraccin

x = 200 x 15 / 25 = 120 veces

2) Se cuentan los metros recorridos por el coche: 1,3 pi . 370 = 481 pi metros, que habr que dividir despus por la circunferencia de las ruedas posteriores: 481 pi / 1 pi = 481 vueltas, resultado que se puede obtener tambin con la regla inversa:

1,3 metros -------- 370 vueltas

1 metro -------- x vueltas x = 1,3 . 370 / 1 = 481 vueltas

3) El nmero total de lneas del libro es: 32 . 70 = 2240 lneas, que en el nuevo libro ocuparan 2240 / 35 = 64 pginas

32 ------- 70

35 ------- x x = 32 . 70 / 35 = 64

4) El coste total del autocar ser de 42 . 6,10 = 256,20 euros que finalmente hay que repartir entre las 35 personas que van: 256,20 : 35 = 7,32 euros

5) La capacidad del primer camin ser de 1215 . 4 = 4860 kgs, por lo que el nmero de sacos del segundo camin ser: 4860 : 5 = 972 sacos.

6) Suponiendo el peso constante y uniforme, sea el que sea, la superficie de la tela se obtendr: 36 . 1,20 = 43,2 m2 de manera que si la anchura se redujese sin variar el peso, quedara de

longitud: 43,2 : 0,90 = 48 metros

7) El total de pasos dados por Jorge es: 25 . 100 = 2500 pasos, pero como tiene que recorrer la misma distancia en 20 minutos: 2500 : 20 = 125 pasos/minuto

8) En este caso, 12 . 180 no tiene sentido por no ser posible combinar estas unidades. Habra que transformar los 180 litros/min en litros/hora, lo que se conseguira multiplicando por: 180. 60 = 10800 litros. Sin embargo, considerado directamente como una proporcionalidad inversa, se planteara:

a) 12 horas ----- 180 litros/minuto

x horas ----- 90 litros/minuto x = 12 . 180 / 90 = 24 horas

b) 12 horas ----- 180 litros/minuto

36 horas ----- x x = 12 . 180 / 36 = 60 litros/minuto

9) Sea un crculo de radio R y rea A = Pi.R2, as como otro crculo de radio R y rea

A = Pi.R2 . Pues bien, se cumple R/R = A/A?. Ello garantizara que estas magnitudes

(radio y rea del crculo) seran directamente proporcionales. Sustituyendo su valor habra de ser

R/R = Pi.R2 / Pi.R2 = R2 / R2 pero esto no tiene por qu ser cierto. As, para R = 1, R = 2, 1/2

no es igual a 12 / 22 = 1/4.

Si con un radio R se tiene un crculo de 20 cm2 de rea, con un radio 2R, resultar que la relacin R/R = De modo que, en aplicacin de lo anterior, las reas estarn en la relacin 1/4 por lo que el nuevo rea ser de 4 . 20 = 80 cm2

10) Suponiendo una velocidad uniforme los 100 kms recorridos desde el 100 al 200 se han realizado en 45 minutos. Es necesario averiguar cunto tardar en los 75 kms restantes a esa velocidad.

100 kms ---- 45 minutos

75 kms ---- x min x = 33,75 minutos = 33 min 45 sg

de manera que pasar a las 12 h 10 min + 33 min 45 sg = 12 h 43 min 45 sg

11) Este problema puede reducirse a uno de proporcionalidad directa sin ms que traducir a horas totales las cantidades que se dan. As, 9 . 8 = 72 sern las horas que permiten arrojar 5400 litros.

72 horas -------- 5400 litros

144 horas ------ x x = 5400 . 144 / 72 = 10.800 litros

donde 5400/72 = 75 tienen el sentido de litros/hora.

12) Este problema, en su traduccin a uno simple de proporcionalidad inversa, presenta ms dificultad. As, lo lgico desde el punto de vista dimensional, es considerar el nmero de pginas al da que se leen: 4 . 15 = 60 pginas/da estableciendo su relacin con una tardanza de 10 das. Pero al ser la incgnita el nmero de horas diaria, el planteamiento debe ser distinto del anterior:

60 pginas/da -------- 10 das

10 x pgs/da -------- 20 das 10 x = 60 . 10 / 20 = 30 pginas/hora

13) 60 hombres ----- 45 das

90 hombres ----- x das x = 60 . 45 / 90 = 30 das

14) 120 obreros ------- 35 das

150 obreros ------- x das x = 120 . 35 / 150 = 28 das

15) En total han comprado 10 Cds. Si el lote completo cuesta 120 euros quiere decir que cada CD vale 120 : 10 = 12 euros. Entonces el go se repartir del siguiente modo:

El primero 2 . 10 = 20 euros El segundo 30 euros El tercero 50 euros

16) La ley de la balanza indica que el producto de la longitud del brazo por el peso es constante en ambos lados de la balanza. Por tanto, en la primera pesada se cumplir

20 . 4 = 22 x x = 20 . 4 / 22 = 3,636 kgs

En la segunda pesada, sin embargo, es al contrario:

22 . 4 = 20 x x = 22 . 4 / 20 = 4,4 kg

de donde en total el cliente, en vez de 8 kg, se ha llevado 8,036 kgs

17) En primer lugar, se uniformiza el consumo de ambos tipos de ganado. Mientras en la segunda

manada hay 300 ovejas, las vacas de la primera equivalen a 400 ovejas, de manera que puede admitirse un reparto equitativo entre un total de 700 ovejas.

2100 : 700 = 3 euros/oveja, de manera que el reparto es de

Primera manada: 400 . 3 = 1200 euros Segunda manada: 300 . 3 = 900 euros

18) El total de trabajo efectuado es de 7 + 5 + 4 = 16 horas, de modo que los euros cobrados se repartiran del siguiente modo por hora de trabajo: 208 : 16 = 13 euros/hora. As, el reparto se hara:

Mara: 7 . 13 = 91 euros Paloma: 5 . 13 = 65 euros Sara: 4 . 13 = 52 euros

19) Hay 8 litros de zumo en 20 litros de limonada (12 + 8), por lo que en 100 litros de limonada habr: 8/20 = x/100 x = 40 %

20) Si ha muerto el 18 % sobrevive el 82 % de la cantidad inicial, es decir, 164 animales. Puede calcularse esa cantidad:

82 % ----- 164 animales

100 % ---- x x = 205 animales

para pasar a calcular el 18 % de dicha cantidad: 18/100 . 205 = 36,90, aprox. 37.

21) La cantidad de intereses mensual es 18/100 . 300.000 = 54.000 euros/mes

Los intereses abonados son de 462.700 - 300.000 = 162.000 euros, por lo que el nmero de das resultar de 162.000 / 54.000 = 3 meses.

22) La diferencia de precios es de 249,40 - 215 = 34,40 euros, cantidad que tenemos que averiguar qu porcentaje representa considerando la cantidad inicial (215 euros) como 100.

215 euros ----- 100 %

34,40 eur. ----- x x = 16 %

23) 1,10 euros ----- 100 %

0,06 euros ----- x x = 5,45 %

4,70 euros ----- 100 %

0,21 euros ----- x x = 4,46 %

24) Primer ao: 300 euros ------ 100 %

x ------ 2,5 % x = 7,5 euros

Segundo ao: 307,50 euros ---- 100 %

x ----- 102,5 % x = 315,18 euros

Tercer ao: 315,18 euros ----- 100 %

x ----- 102,5 % x = 323,05 euros

Cuarto ao: 323,05 euros ----- 100 %

x ----- 102,5 % x = 331,12 euros

25) 120 % ----- 4,08 euros

100 % ----- x x = 3,40 euros

26) 4,80 euros ----- 80 %

x ----- 100 % x = 6 euros como precio final

27) El rea que poda comer era de Pi.R2 = 35 m2 pero ahora podr comer

Pi (120/100 R )2 = (120/100)2 Pi.R2 = 1,22 . 35 = 50,4 m2

28) Si se encarece un 10 % del precio original x, su precio ser entonces del 110/100 x, es decir,

1,1 x. Si luego se abarata un 10 % quiere decir que valdr finalmente el 90 % del precio antes

de la bajada, es decir, 90/100 1,1 x = 0,9 1,1 x = 0,99 x

En otras palabras, finalmente quedar un precio que ser el 99 % del inicial.

29) La cantidad que se debe tras la entrada ser de 3/5 . 15600 = 9360 euros

El incremento anual ser de 8/100 . 9360 = 748,8 euros que en dos aos supone una cantidad de intereses de 748,8 . 2 = 1497,6 euros. En total ha de pagar 9360 + 1497,6 = 10857,6 que, dividido entre los 24 meses, 10857,6 : 24 = 452,4 euros/mes

30) 120.000 bacterias ---- 100 %

x ---- 84 % x = 100.800 bacterias sobreviven

100.800 bacterias ---- 100 %

x ---- 114 % x = 114.912 bacterias finales

120.000 . 84/100 . 114/100 = 120.000 . 9576/10000 = 114.912

31) Si el mximo de puntos a ganar es x, en la primera cuarta parte de la Liga podra ganar x/4 como mximo. En ese intervalo, los puntos ganados realmente han sido

40/100 . x/4 = 0,1 x

Se pretende alcanzar el 70 % de los puntos posibles en la Liga, o sea, 70/100 x = 0,7 x luego en las tres cuartas partes de la Liga que quedan debe obtener 0,7 x - 0,1 x = 0,6 x as que el

porcentaje ser, sobre 3/4 x posibles,

3/4 x ------ 100 %

0,6 x ------ ? ? = 80 %

32) Si es C la produccin de cebollas y Z la de zanahorias, se afirma que C/Z = 8/5. Lo que se plantea entonces con las variaciones es qu relacin resulta de

85C/100 / 120Z/100 = 85C/120Z = 85/120 . 8/5 = 680/600 = 17/15

33) Escribiendo P el precio y C el contenido de las marcas a (azul), v (verde) y r (rojo), los datos del problema son:

1) Pa = 150 % de Pv, 2) Ca = 90 % de Cr, 3) Cr = 150 % Cv y 4) Pr = 125 % Pa

Combinando 1) y 4) Pr = 125/100 . 150/100 Pv = 1,25 . 1,5 Pv = 1,875 Pv

Considerando 3) Cr = 1,5 Cv Resulta que el Rojo tiene el 50 % ms de contenido que el verde pero cuesta el 87,5 % ms, de manera que resulta ms econmico el verde que el rojo. Por otro lado, por 2) y estos ltimos datos

Ca = 90/100 Cr = 90/100 150/100 Cv = 0,9 . 1,5 Cv = 1,35 Cv

Teniendo en cuenta 1), ser Pa = 1,5 Pv de manera que el azul tiene un 35 % ms de contenido que el verde pero cuesta un 50 % ms, luego el verde resultar ms econmico que el azul.

La marca ms econmica, por tanto, es el verde. Adems, tomando como referencia el precio del verde, el azul es el 50 % ms caro pero el rojo es el 87,5 % ms caro, luego el rojo es la marca ms cara.