0

1

TEMA 5: CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Primer Caso (L.A.L)

Segundo Caso (A.L.A)

Tercer Caso (L.L.L)

Cuarto Caso (A.L.LM)

PROPIEDADES DE LA BISECTRIZ

Siendo

OP la

bisectriz de

AOB se

cumple

PROPIEDADES DE LA MEDIATRIZ

Siendo: L mediatriz de

AB se cumple:

PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES

Altura

Mediana

Bisectriz

Segmento de

mediatriz

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

Si: M es punto medio

de AB y MN // AC

Se cumple:

PA = PB OA = OB

º º

º

º

º

º

º

º

P

A

O

B

º º

EA = BE

BH

BN = NC

A M B

E

L

C H A

B

º º

A C

N M

B

2

Si: E y F son puntos medios.

Se cumple:

PROPIEDAD DE LA MEDIANA EN EL

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Si: BM es mediana

relativa a AC.

Se cumple:

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

=

P

E

Q

F

R

A M C

B

45º

a a

a 45

º

a 2a

60

º

30

º a

b b

2b 53º/2

k k

3k 37º/2

3a

4a

5a 53º

37º

n n

4n 14º

76

7a

24a

25a 74

º

16º

75

a

15º A H

B

C

4a

BM =

3

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

NIVEL 1

1. Calcular “x”, en cada caso.

a) 24, 12 2 , 5 d) 6 2 , 5, 18

b) 5, 10, 2 e) 3 2 , 12, 5

c) 16, 6 2 , 5

2. Calcular “x”

a) 127º

b) 135º

c) 45º

d) 40º

e) 30º

3. Calcular “x”

a) 16

b) 20

c) 12

d) 15

e) 5

4. Calcular “x”; 21 LL son mediatrices de BCyAB

respectivamente.

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

5. Calcular “AC”, si PQ = 6

a) 6

b) 3

c) 12

d) 24

e) 48

NIVEL 2

6. Si: AB = BC; Calcular “AH”

Si; además : PQ = 4 y PR = 6

a) 6

b) 4

c) 2

d) 10

e) 12

7. Dado el triángulo ABC isósceles (AB = BC) se toma

un punto de la prolongación de AC y se traza las

distancias hacia los lados iguales del triángulo

isósceles, calcular la altura. Trazada de uno de los

vértices de los ángulos iguales. Si dicho punto dista

de los lados iguales 8 y 3. Respectivamente.

a) 11 b) 8 c) 5

d) 4 e) 3

53º 20

x

45º

x 6

30º

x

10

A

º º xº

B

a

c

a + b

b D

A

º 53º

B

16

C

x

º

70º B

xº

A P Q C

L2 L1

M

B

N

A C

Q P

A

Q

P C

R

H

B

4

8. Calcular “x”.

Si : AB = 6 , AH = 2

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 3

9. En el gráfico 21 LL son mediatrices de ACyBD

, respectivamente.

Si : m∢BOA = m∢COD, Calcular : CD

AB

a) 3

1

b) 2

1

c) 3

d) 1

e) 2

10. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB = a,

calcule HP.

a) 2

10a d) 13a

b) 10

130a e)

5

10a

c) 3

10a

NIVEL 3

11. Según la figura; MNBQ

Si : BQ = AN, MN = a y QN = b

Calcule “AC”

a) a+b

b) 2a+b

c) 2b+a

d) 2b–a

e) 2a–b

12. En la figura AC = CD = DE y BM = MC. Además si :

BE = 20 y MQ = 6.

Calcule “x”

a) 37º

b) 2

º45

c) 2

º53

d) 2

º37

e) 15º

13. En la región exterior y relativa a BC , de un

triángulo ABC, se construye un triángulo equilátero

BCP. Si : m∢BAC = 60º, AB = 10 y AC = 30. Calcule

la suma de las distancias de “P” a ACyAB .

a) 40 3 b) 20 3 c) 15 3

d) 18 3 e) 10 3

14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM , luego

se traza la perpendicular BMaAH , si : AH = 16m

y HM = 15m. Calcule “HC”

a) 30m b) 31 c) 16

d) 34 e) 17

0 A

D

B C

L2 L1

A H C

P

M B

N

37º/2

º A

M

Q N C

B

º

A

º º

B

D x

C

A C D E

M

Q

B

xº

H

5

15. De la figura mostrada.

Calcular “x”

Si : AD = CD

(Sugerencia : Prop. Cuadrilátero cóncavo).

a) 10º

b) 5º

c) 15º

d) 30º

e) 18º

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Calcular “x”

a) 120º - º d) 120º + 2º

b) 120º + º e) 120º - 3º

c) 120º - 2º

2. Calcular “x” ; AC = 16 , AB = 10

a) 3

b) 2

c) 6

d) 5

e) 10

3. Calcular “x”

a) 12

b) 6 2

c) 3 2

d) 4

e) 3

4. Determine “x”; AB = 4, AD = 8 y CD = 3

a) 115

b) 135

c) 127

d) 143

e) 153

5. Calcular “x”

a) 18

b) 9

c) 3

d) 6

e) 12

NIVEL 2

6. Calcular “BN”. Si : AF = 5, BC = 17.

( MN : Mediatriz de AC ).

a) 16

b) 12

c) 8

d) 6

e) 3

7. Calcular el perímetro de la región triangular MNP;

AB = 6, BC = 8 y AC = 12

a) 6

b) 8

c) 10

d) 13

e) 26

xº

2xº

A

B

D C

2xº

º º

xº

x P Q

A

º º

C

B

A

B

M

C N

45º

B

A

C

D

º

º

xº

º º

B

A M P C

E

N

º 3

B

A

F

N

M C

B

M

A P

N

N 6

x

x

6

8. Del gráfico, Calcular “x”

a) 3

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

9. Si : AB = BC , AP = 2 , BM = 8 y CQ = 4

Calcular “PQ”

a) 10

b) 6

c) 8

d) 12

e) 5

10. Si : AB = 10, BC = 8, BP = 1

Calcular : “MP”

a) 2

b) 4

c) 6

d) 7

e) 8

NIVEL 3

11. Calcular “x” ; Si : AB = BC = AD

a) 120º

b) 112º

c) 132º

d) 122º

e) 142º

12. Del gráfico, calcular “DH”.

Si : BE = 2

a) 1

b) 2

c) 1,5

d) 0,5

e) 2,5

A D F

30º

8 5 5

B

x

B A

M

C

P

A

P M Q

B

C

60º

96º

xº

A

B C

D

º º

A

D

C

E

B

H