1. TEMA 5: PROBABILIDAD 2. ndice1.- Experimentos aleatorios. Espacios muestrales2.- Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos:2.1.-Sucesos elementales2.2.-Suceso seguro2.3.-Suceso imposible2.4.-Suceso contrario2.5.-suceso compatible e incompatible3.-Operaciones con sucesos:3.1.-Unin de sucesos3.2.-Interseccin de sucesos3.3.-Diferencia de sucesos4.-Leyes de Morgan5.-Regla de La Place6.-Definicin axiomtica de probabilidad7.-Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes eindependientes8.- Teorema de la probabilidad total9.-Teorema de Bayes 3. 1. Experimentos aleatorios. Espaciosmuestrales. Experimentos o fenmenos aleatorios son losque pueden dar lugar a varios resultados, sinque pueda ser previsible enunciar con certezacul de stos va a ser observado en larealizacin del experimento. Espacio muestral es el conjunto formado portodos los posibles resultados de unexperimento aleatorio. En adelante lodesignaremos por E. 4. 2. Sucesos aleatorios Un suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurriro no, dependiendo del azar.- Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de loselementos que forman parte del espacio muestral.- Suceso seguro: El suceso seguro es aquel que est formadopor todos los resultados posibles, esto es, todo el espaciomuestral entendido como un suceso aleatorio. Se llama sucesoseguro porque es el suceso que siempre ocurre.- Suceso imposible: El suceso imposible es aquel que estformado ningn resultado esto es, el conjunto vaco. Se llamasuceso imposible porque es el suceso que nunca ocurre. 5. 2. Sucesos aleatorios - Suceso contrario: El - Suceso compatible e suceso contrario a A es otro incompatible: Dos sucesos, suceso que se realizaA y B, son compatibles cuando no se realiza A.cuando tienen algn sucesoelementalcomn.Dossucesos, A y B, sonincompatibles cuando notienen ningn elemento encomn. 6. 3. Operaciones con sucesos3.1 Unin de sucesosEs el suceso formado por todos los elementos de A ytodos los elementos de B:3.2 Interseccin de sucesosEs el suceso formado por todos los elementos que son, ala vez, de A y de B:3.3 Diferencia de sucesosEs el suceso formado por todos los elementos de A queno son de B: 7. 4. Leyes de Morgan1. El contrario de la unin es la interseccin delos contrarios:2. El contrario de la interseccin es la unin delos contrarios: 8. 5. Regla de Laplace Si un espacio muestral es equiprobable, esdecir, si consta de un nmero finito de sucesossimples y todos ellos tienen la mismaposibilidad de suceder; entonces laprobabilidad de un suceso A es: 9. 6. Definicin axiomtica deprobabilidad La definicin axiomtica de probabilidad se basa en la relacin queexiste entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidadcuando el nmero de pruebas es muy grande. Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A, deun espacio de sucesos, un nmero real que llamamos probabilidadde A y representamos por P(A), que cumple los siguientesaxiomas: 1. La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula: 2. La probabilidad del suceso cierto es igual a la unidad: P(A) = E 3. La probabilidad de la unin de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos: P(A U B)=P(A)+P(B) 10. 7.Probabilidad condicionada.Sucesos dependientes eindependientes Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, sellama probabilidad de B condicionada a A,P(B/A), a la probabilidad de B tomando comoespacio muestral A, es decir, la probabilidad deque ocurra B dado que ha sucedido A. 11. 7.Probabilidad condicionada.Sucesos dependientes eindependientes Dos sucesos A y B son dependientes si:p(A/B) p(A) Dos sucesos A y B son independientes si:p(A/B) = p(A) 12. 8. Teorema de la probabilidadtotal El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular laprobabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas La frmula para calcular esta probabilidad es: Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestroejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicarcada una de las probabilidades condicionadas de este suceso conlos diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuandollueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cadasuceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir unrequisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, esdecir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de susprobabilidades debe ser el 100%). 13. 9.Teorema de Bayes El Teorema de Bayes viene a seguir el procesoinverso al que hemos visto en el Teorema de laprobabilidad total:- Teorema de la probabilidad total: a partir de lasprobabilidades del suceso A deducimos la probabilidaddel suceso B.- Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido elsuceso B deducimos las probabilidades del suceso A. La frmula del Teorema de Bayes es: