Profesora: Dolores Garca Martos

E-mail:mdgmarto@est-econ.uc3m.es

Procesos autorregresivos

Este documento es un resumen/modificacin de la

documentacin elaborada por D. Antoni Espasa

Econometra II

Grado en finanzas y contabilidad

Descomposicin de Wald

Todo proceso estocstico estacionario se puede descomponer como la

suma de dos procesos no correlacionados, donde:

Un proceso estacionario singular lineal (una constante, una funcin lineal del tiempo, etc.)

Un proceso estacionario regular. En concreto una funcin lineal de variables aleatorias

{X}= {Y}+ {W}

Ej: X(t) = + 1 a(t) + 2 a (t-1) + 3 a (t-2) +..

Descomposicin de Wald

Esta condicin significa que los shocks pasados afectan cada vez menos sobre

el presente de la serie temporal. Es la condicin de estacionariedad

Esta condicin implica que el

proceso tiene varianza finita

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

X (t)= funcin del pasado de la serie + a (t)

El proceso autorregresivo es un modelo de regresin en el que las variables explicativas son la misma variable

dependiente retardada

Un modelo autorregresivo no siempre es estacionario.

Un paseo aleatorio es un proceso autorregresivo con una raz unitaria (coeficiente que acompaa a X (t-1)) y no es

estacionario

Xt = X t-1+ a t

El proceso ms simple es el autorregresivo de orden 1 AR(1)

Xt = X t-1 +a t

Donde X t-1 es conocido en t y a t no. atconstituye un shock o innovacin

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

La condicin para que el proceso sea estacionario es que

| | < 1

Supongamos que = 0.5

Wt = 0.5 W t-1 + at

Wt-1 = 0.5 W t-2 + a t-1

Wt = 0.52 Wt-2 + 0.5 a t-1 +at

Wt-2 = 0.5 W t-3 + a t-2

Wt = 0.53 W t-3 + 0.5

2 a t-2 +0.5 a t -1 + a t.En general:

Como el parmetro es menor que la unidad la suma anterior es finita

La expresin en trminos de a t se denomina Proceso de

Medias Mviles, MA

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Caso 1: -1>>1

El efecto sobre W t de una innovacin distante no es exactamente cero, pero es despreciable.

Menor a medida que nos alejamos en el

tiempo.

Un AR(1) se puede aproximar por un modelo de medias mviles de orden q, MA(q)

q es el nmero de at que permiten aproximar el AR(1)

En un AR(1), la innovacin a t-j tiene un efecto restringido a j

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Caso 1: >1

A partir de un valor inicial w el proceso es explosivo.

Las innovaciones pasadas son ms importantes que las recientes

De manera similar ocurre con 1

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Caso 1: =1

Esta situacin no es explosiva

Es la situacin que se ha considerado para tendencias que presentan oscilaciones locales

de nivel.

Pero ahora no estamos hablando de la tendencia. Ahora se est trabajando con series

estacionarias, Wt (desviaciones con respecto a

la tendencia). Por ello, trabajamos con

procesos en los que ||

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

||

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

En definitiva, podemos expresar el modelo de la siguiente manera

Propiedades1:

E (Wt ) = 0 es, por tanto, constante

Var (W t ) = 0 = 2 /(1-2), donde 2 es la varianza de at

Cov (W t , W t-k )= k=k 0 = k-1

Corr (W t , Wt-k )= k = k/ 0= k

La funcin de autocorrelacin no se anula, pero decrece, se dice que

tiene memoria infinita.

El correlograma tendr estructura. Depender del valor del parmetro .

Cuanto mayor sea, mayor ser la relacin entre el presente y el

pasado y viceversa.

A partir de un determinado retardo los rk sern prcticamente cero1. Demostracin en anexo

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

El modelo autorregresivo de primer orden AR(1)

Si en la ltima expresin hacemos s=12, tendremos que una diferencia estacional es

equivalente a tomar una diferencia regular por un polinomio suma

Es por ello que al tomar una diferencia estacional sobre la serie original, se corrige parte de la tendencia.

Procesos ARI (1,1)

Sea X t una serie no estacionaria y al aplicar una primera diferencia regular se consigue que la serie si sea estacionaria en la parte regular (no se han

puesto logaritmos por simplificar). Entonces:

X t = X t-1 +Wt

Wt = Xt - Xt-1

Y Wt sigue un proceso AR(1)

(1-L) Wt = Wt Wt-1 = at

En definitiva tendremos

(1-L) (Xt - X t-1 )= (1-L) X t = at

Es decir

Xt = Xt-1 + (Xt-1 -Xt-2 )+ at

Este proceso de llama integrado de orden 1 y autorregresivo de orden 1 ARI(1,1)

Xt es un proceso no estacionario

Procesos ARI (1,1)

Recurdese que en general se aplican logaritmos para

conseguir estacionariedad en varianza.

Adems, el trabajar con la transformacin logartmica nos

permite relacionar las tasas de crecimiento con las

transformaciones de estacionariedad en media.

(1-L) log Xt =(log X t -log X t-1) se aproxima a una tasa de crecimiento.

Es decir, tenemos

(1-L) log Xt =Wt , y Wt es un proceso AR(1)

La serie original sigue un modelo ARI(1,1)

La serie de tasas sigue un proceso AR(1)

El modelo de la serie de tasas de crecimiento se deriva del de la serie original,

ya que las tasas son iguales a la primera diferencia de la serie expresada en

logaritmos

Procesos AR (p)

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

Z2 1 Z-2 =0

1

1. Ver ms detalles en anexo

(1-G1 L) (1-G2 L) Wt = a t

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

1

(1-G1 L) (1-G2 L) Wt = a t

Estacionariedad en funcin de los parmetros:

|1 +2 |

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

El modelo autorregresivo de segundo orden AR(2)

p

El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)

Otra forma de verlo escrito es:

Wt -1 W t-1 -2 Wt-2 -.-p Wt-p = at

(1-1 L- 2 L2 -.-p L

p) W t = p (L) Wt =at

Las races son funcin de los parmetros

El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)

El modelo autorregresivo de orden p, AR(p)

El modelo autorregresivo de orden p AR(p)

cero

El modelo autorregresivo de orden p AR(p)

La forma de la funcin de autocorrelacin depender del valor de las races ms elevadas o dominantes.

Si hubiera races complejas, tendramos que la serie presenta un ciclo y la forma del correlograma sera sinusoidal.

Para la determinacin del orden del autorregresivo, es decir, p, se utiliza

el criterio de informacin de Akaike (no es el nico criterio).

Se estiman los correspondientes modelos

Se escoge el modelo (retardo) con menor valor del criterio de Akaike.

Donde N es el nmero de observaciones, 2a es la varianza residual y k el nmero de parmetros

Procesos ARI (2,1)

Significa que incluir una constante en el modelo, por tanto, el

proceso estacionario tendr una media distinta de cero

(1-1 L-2 L2 ) (1-L) X t = c+ a t

ANEXO

Caractersticas del proceso AR(1)

Esperanza

W = W t-1 + at

E (W t )= E (Wt-1 )+ E (a t ) at es un proceso ruido blanco con esperanza nula

= + 0 , E(Wt )= E (Wt-1 ) por estacionariedad

(1- ) = 0

=E (W t )= 0

Varianza

Var (W t )= 2 var (Wt-1 )+ var (a t ) at es un proceso ruido blanco

con con varianza 2

0 = 2 0 +

2 , Var(Wt )= Var (Wt-1 ) por estacionariedad

(1- 2) 0 = 2

0 =var (W t )= 2/ (1- 2)

Caractersticas del proceso AR(1)

Covarianza

Correlacin

k = k/ 0= k

Lo que ocurre en t-1

es independiente del

shock que habr en t

Ecuaciones de segundo grado

La ecuacin de segundo grado tiene la siguiente expresin:

aX2 +b X +c =0

Esta ecuacin tiene dos soluciones, no necesariamente iguales, o

races, que pueden ser reales o complejas:

X=-b (b2 -4ac)- / 2a

Donde el valor de b2 -4ac determinar si las races son reales o

imaginarias

Si tiene valor negativo, se obtendrn un par de races complejas conjugadas.

En nuestro caso a=0, b=-1 y c=-2

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado