El uso de VARCCE en el estudio de los determinantes de flujos internacionales de

capital e inversión extranjera de cartera. El caso de México

Seminario CONAC-ITAM

Alejandro IslasDepartamento de Estadística-ITAM

Vectores Autorregresivos

La forma estructural y la forma reducida

“Contrario a los modelos que sólo capturan relaciones de asociación estadística, un modelo estructural representa relaciones de causalidad. Una ecuación estructural puede obtenerse de un modelo económico, o ésta puede obtenerse de un razonamiento informal. Algunas veces el modelo estructural se puede estimar directamente. En otras ocasiones debemos combinar supuestos adicionales acerca de otras variables con manipulaciones algebraicas para obtener un modelo estimable.”

Goldberger, A. S (1972), Structural Equation Methods in the Social Sciences, Econometrica 40, 979-1001

Las ecuaciones (1) y (2) constituyen un VAR de primer orden, pues sólo hay un rezago. Nótese que existen variables endógenas contemporáneas que se encuentran a la derecha del signo igual. Por tanto, a fin de establecer el sistema como una forma reducida es necesario eliminar el efecto contemporáneo de y1t sobre y2t y viceversa. Para ello se puede utilizar el álgebra matricial:

(1) 112121111212101 ttttt yyybby

(2) 212221121121202 ttttt yyybby

 

Otra forma de plantear el sistema anterior sería:

, 1

1

21

12

bb

B , 2

1

t

tt y

yy ,

20

100

bb

, 2221

12111

ty

tyt

2

1

donde:

y

y

t

t

t

t

t

t

yy

bb

yy

bb

2

1

12

11

2221

1211

20

10

2

1

12

12

1 1

(3) 110 ttt yyB

La multiplicación por nos permite obtener el vector autorregresivo en la forma reducida:

(5) 01

0 B

1B

donde

(4) 110 eYY ttt

(6) 11

1 B

(7) 1 tt Be

(9) (8)

222221121202

122121111101

tttt

tttt

eyyyeyyy

A fin de distinguir entre el sistema representado por las ecuaciones (1) y (2) y el sistema representado por (8) y 9); se puede denominar al primero como VAR estructural y al segundo como VAR en forma reducida.

VAR(p)

...22110 tptpttt eyyyy

EstimaciónEl método de estimación de los parámetros involucrados en el vector autorregresivo es el de Máxima Verosimilitud.

Supongamos que contamos con (T+k) observaciones de cada una de las n-variables. Al igual que en el caso univariado, la idea es condicionar en la k primeras observaciones (X-k+1,X-k+2,…,X0) y lograr la estimación con las últimas T observaciones (X1,X2,…,XT). El objetivo es formar la función de verosimilitud condicional

);,...,,|,...,,( 11011,...,,|,...,, 11011

XXXXXXf kTTXXXXXX kTT

y maximizar con respecto a Θ , donde

},,...,,{ 10 p

Tamaño del rezago

Además de la inclusión de las variables apropiadas, en un VAR se debe elegir la determinación del tamaño del rezago en cada ecuación. En tal determinación la precisión es importante. Por un lado un tamaño excesivo de los rezagos puede llevar a un desperdicio de grados de libertad. Por otro, si el citado tamaño es muy pequeño se puede cometer un problema de especificación que traería como consecuencia la autocorrelación de los residuales dentro de cada ecuación.

Por tal motivo se deben elaborar pruebas para determinar el tamaño óptimo de los rezagos.

kkHkkH

011

00

::

EntoncesT

kekeT

ttt

,)]([)(

ˆ Sea 10

'0

0

2||ln

2)2ln(

2)ˆ,'ˆ( 1

000TnTTn

l

Ahora bajo la alternativa tenemos que

2||ln

2)2ln(

2)ˆ,'ˆ( 1

111TnTTn

l

Por lo tanto

2)(10

01

01

10

110011

012~|ˆ|ln|ˆ|ln

|ˆ|ln|ˆ|ln |ˆ|

1ln|ˆ|

1ln

||ln2

||ln2

2))ˆ,'ˆ()ˆ,'ˆ((2

kknT

TT

TT

TTll

kncdonde

ncT

kk

1

2

)(10

1

~ˆlnˆln)(01

2

Sims (1980)

)(2log)(AIC NT

)(log)(log)(SBC TNT

donde: Σ es el determinante de la matriz varianza covarianza de los residuales

N = número total de parámetros estimados en todas las ecuaciones.

En relación al número total de parámetros se puede señalar que N = n2k + n. Este total correspondería a un sistema simétrico donde el número de variables endógenas (n) es igual al número de regresores y donde cada ecuación tiene un intercepto. El criterio de selección es elegir el número de rezagos que sea consistente con el menor AIC o SBC.

Función de Respuesta al Impulso

¿Cómo afecta una innovación unitaria a una serie, ahora y después?

La función de impulso respuesta es un artificio que ayuda a comprender las propiedades dinámicas del VAR. La pregunta de interés es sencilla y directa:

Ejemplo:

e

eyy

yy

t

t

t

t

t

t

2

1

12

11

22 21

12 112010

2

1

tenemos

ee

yy

kt

kt

k

k

t

tyy

2

1

0 2221

1211

2

1

2

1

Esta ecuación expresa a y1t y y2t en términos de e1t y e2t. La idea es que queden expresadas en términos de 1t y 2t

tt εBe 1de (7) tenemos

t

t

t

t

bb

bbee

2

1

21

12

21122

1

11

)1(1

kt

kt

k

k

t

t

bb

bbyy

yy

2

1

01

1

2221

1211

21122

1

2

1

21

12-

1

1

)(

entonces

ahora, sea

1

1)1( 21

12

2112

1

bb

bbk

k

por lo tanto,

kt

kt

kt

t

kyy

yy

2

1

0 2221

1211

2

1

2

1

)( (k) (k) (k)

de manera más compacta

0kktkty

NOTA: ij(0) multiplicadores de impacto o de corto plazo.

Por ejemplo,el coeficiente 12(0) es el impacto instantáneo de un cambio unitario en 2t sobre y1t . De la misma manera, los coeficientes 11(1) y 12(1) representan la respuesta un periodo después ante un cambio unitario en 1t-1 y 2t-1 sobre y1t respectivamente

(10)

Entonces, después de n periodos, la suma acumulada de los efectos de 2t sobre y1t esta dada por:

n

kij k

0

)(

Permitiendo que n tienda a infinito se obtienen los multiplicadores de largo plazo. Bajo el supuesto que y1t y y2t son estacionarias, se tiene que cumplir que para todo i y j

0

2 )(k

ij k

Los cuatro coeficientes 11(k), 12(k), 21(k) y 22(k) se llaman funciones de respuesta al impulso.

tt

ttt

ebe

22

21211

Si b21 = 0 (descomponsición de Choleski)

Descomposición de la Varianza

Otra forma de caracterizar la dinámica asociada con los vectores autorregresivos, muy relacionada con la función de impulso respuesta, es la descomposición de la varianza. Este método tiene un vínculo inmediato con los pronósticos; permite contestar a “¿cuánto de la varianza del error de pronóstico a n etapas de la variable yi se explica con innovaciones a la variable yj, para n =1, 2,3, ...?

011

kktkty

Sí a partir de (10) realizamos el pronóstico condicional de yt+1, el error de pronóstico seria igual a:

111)(

kktktt yE

entonces

por lo tanto

1011 )( tttt yEy

0kkntknty

de manera general:

nkkntkntt yE )(

entonces

por lo tanto

1

0

)(n

kkntknttnt yEy

Retomando el ejemplo del VAR(1) con dos variables y concentrándonos en el error de pronóstico a n etapas de la variable y1t, tenemos:

12121212212

1111111111111

)1(...)1()0( )1(...)1()0()(

tntnt

tntntnttnt

nnyEy

por lo tanto, la varianza del error de pronóstico de y1t a n etapas es:

)1(...)1()0(

)1(...)1()0()(

212

212

212

2

211

211

211

22

2

11

ny

nyny

t

tt

Obsérvese que es posible descomponer la varianza del error de pronóstico a n etapas en dos componentes, una por cada una de las innovaciones

)(

)1(...)1()0(

)(

)1(...)1()0(

2

212

212

212

2

2

211

211

211

2

1

2

1

1

ny

ny

ny

ny

t

t

t

t

proporción debido a innovaciones en 1t

proporción debido a innovaciones en 2t

Si los “choques” a 2t no explican la varianza del error de pronóstico de y1t en todo el horizonte del pronóstico, podríamos concluir que la variable y1t es exógeno. En tales circunstancias, la variable y1t evolucionara de manera independiente a los “choques “ de 2t en y2t.

En el otro extremo, pudiera darse el caso en el que los “choques” de 2t explicaran toda la varianza del error del pronóstico de y1t en todo el horizonte del pronóstico, en tal caso, diríamos que y1t es enteramente endógena.

La teoría económica sugiere relaciones de equilibrio que son funciones estacionarias de las variables originales. Es decir, los desequilibrios son transitorios y, por tanto, estacionarios.

Además, la teoría económica postula comportamientos no estacionarios para distintas variables, tales como, los precios de activos, los tipos de interés, etc.

Todo ello, junto con la posibilidad de la aparición de relaciones espurias al regresar dos o más variables integradas que son independientes una de la otra, condujo a la práctica habitual de transformar las variables en estacionarias siguiendo la estrategia propuesta por Box-Jenkins

Estacionariedad y Cointegración

Definición de cointegración:

Las componentes de un vector Yt(nx1) se dice que están cointegradas de órdenes d y b, y se denota por Yt~CI(d,b), si:

a) Todas las componentes de Yt son integrables del mismo orden d, I(d)

b) Existe un vector , no nulo, talque ’Yt = zt~I(d-b), con b>0. Al vector se le denomina vector de cointegración.

El caso más comúnmente considerado es aquel en que d=b=1, es decir, que todos los elementos de Yt sean I(1) y zt sea I(0), estacionario.

En el caso de que exista no será único. Basta multiplicar el vector por un escalar diferente de cero para obtener un nuevo vector de cointegración. No obstante, el número de vectores de cointegración linealmente independientes que puede haber entre n variables integradas del mismo orden es n-1.

Como se ha visto, los choques aleatorios tienen un efecto permanente sobre las variables integradas. Pues bien, el que exista una relación de cointegración entre un conjunto de variables significa que las perturbaciones tienen un efecto temporal sobre dicha relación, ’Yt, mientras que tienen un efecto permanente sobre las variables individuales.

Mecanismos de Corrección del Error y el Teorema de representación de Granger

Un modelo de Mecanismo de Corrección de Errores (MCE) combina variables en niveles y en primeras diferencias. Las relaciones establecidas entre las variables en niveles (relaciones de largo plazo) actúan como un servomecanismo que interviene en la relación entre las variables diferenciadas (cambios de las variables) para retomar la relación a su nivel de equilibrio a largo plazo.

De manera formal, un vector Yt(nx1) admite una representación MCE si se puede expresar de la siguiente manera:

)( 1 ttt eyyL Donde es un vector de perturvaciones estacionarias; (L) es una matriz de (nxn) polinómica en el operador de retrasos que satisface: (0)=In y que (1) tiene todos los elementos finitos, finalmente 0

La relación formal entre este tipo de modelo y la relación de cointegración la establece el Teorema de Reprecentación de Granger

• Si un vector Yt(nx1) es C(1,1), existe un MCE válido para representar el proceso generador de los datos.

• Si el proceso generador de los datos de un conjunto de variables admite una representacón de MCE, éstas están cointegradas.

Procedimiento máximo verosímil de Johansen

El procedimiento máximo verosímil de Johansen tiene una serie de ventajas frente al procedimiento de Engle y Granger, como son el contrastar simultáneamente el orden de integración de la variables y la presencia de relaciones de cointegración entre ellas; estimar todos los vectores de cointegración, sin imponer a priori que únicamente hay uno; y no verse afectado por la endogeneidad de las variables implicadas en la relación de cointergración.

(11) 1

1

10 tt

p

iitit yyy

La matriz , de orden (nxn), contiene la información sobre la relación a largo plazo entre las variables, llamándose también matriz de impactos. La expresión (11) es la de un MCE en forma matricial.

Debe notarse que para que la expresión (11) esté equilibrada es necesario que y t-1 sea I(0), lo que implica que la matriz recoge las relaciones de cointegración.

Dado el rango de , rango() = r

Contrastes para determinar el rango de

El número de vectores de cointegración puede ser obtenido a partir de verificar la significancia de las raíces características de . Recuerde que el rango de una matriz es igual al número de sus raíces características diferentes de cero. Suponga que se conoce la matriz y que se ordenan sus n raíces características de la siguiente manera

1> 2>... >n. Si las variables de vector yt no están cointegradas, el rango de es cero y todas sus raíces características serían iguales a cero.

':)(0 r

ióncointegrac de vectores máximo comohay :)(0 rr

ióncointegrac de vectoreshay :)( nna

ˆ1ln)(1

n

riitraza Tr

ˆ donde i Es el valor estimado de la raíz característica obtenido de la matriz estimada

T es el número de observaciones

Un estadístico alternativo para contratar

rr esión cointegrac de vectoresde número el :)(0

1 esión cointegrac de vectoresde número el :)1( rra

es:

ˆ1ln)1,(1max

r

Trr

Los valores críticos de ambos estadísticos se encuentran en Johansen (1988). Debe señalarse que la distribución de los estadísticos depende del número de relaciones de cointegración, por lo que los valores críticos varían en función del número de éstas.

Con el propósito de explicar el comportamiento de la IEC en México, se consideran tanto factores externos como internos, los cuales se incorporarán al VARCCE. Entre los factores de carácter externo, se consideran las tasas de interés de corto y largo plazo de los Estados Unidos, así como la rentabilidad del índice accionario Dow Jones (RDJ). Mientras que los factores de carácter interno están dados por las tasas de interés de corto y mediano plazo de México, la rentabilidad en dólares del mercado accionario mexicano (RBMV), así como un indicador de riesgo país (RP).

Pozos Márquez, J.M., Islas-Camargo A., Venegas F. “Corrientes internacionales de capital e inversión extranjera de cartera. El caso de México, 1989-1999” El trimestre Económico. Octubre-Diciembre de 2003, Vol. LXX(4). No. 280, 791, 833.

La inversión extranjera de cartera se define como toda inversión que se realiza en títulos gubernamentales (Mercado de dinero) y en acciones (Mercado de capital), particularmente de corto plazo

La inversión de cartera en México tiene dos vertientes principales:

• El mercado de dinero y el mercado de capitales. • El comportamiento del primero se explica por la tasa de interés • y el del segundo por el rendimiento de un índice accionario.

Ambos mercados están altamente influenciados por los diferenciales de tasas de interés y de rentabilidad bursátil. Por lo que respecta a las tasas de interés de corto plazo, en ambos casos, se consideran:

a) la tasa de interés del papel comercial a 1 mes; b) la tasa de interés de las aceptaciones bancarias a 3 meses; y c) las tasas de interés de los T-bills y Cetes a 3 meses.

En cuanto a las tasas de interés de mediano y largo plazo, en el caso de México --por no existir una tasa de mayor plazo para todo el periodo analizado-- se considera la tasa de interés de los certificados de depósito a plazo fijo, 9 meses, mientras que en el caso de los Estados Unidos se utiliza la tasa de interés de largo plazo de los bonos del Departamento del Tesoro, 30 años.

Rentabilidad de los índices accionarios IPC y Dow Jones.En lo que sigue, la variable RBMV representa la rentabilidad, en términos de dólares, del mercado mexicano de capitales expresada como variación porcentual mensual. Asimismo, nos referiremos a la rentabililidad del índice Dow Jones, RDJ, como la rentabilidad bursátil de los Estados Unidos, también calculado como variación porcentual mensual. Indicador de riesgo país para México:El indicador riesgo país que se utilizará aquí es la diferencia entre el rendimiento de los Cetes, en términos de dólares, y los T-bills a tres meses (Leiderman y Thorne, 1996, y Venegas-Martínez, 2000). Desde el inicio del periodo, este indicador sigue una tendencia descendente hasta finales del año 1994. Este comportamiento muestra que durante dicho periodo su disminución corresponde al proceso de estabilización económica que vivió el país. No obstante, con el estallido de la crisis, el riesgo país se disparó bruscamente y aunque de 1996 a 1998 éste tendió a disminuir, al final del periodo registró nuevamente un repunte. Un alto nivel de riesgo país refleja un alto premio al riesgo.

Variables Estadístico ( ) Estadístico ( ) Parámetros en la regresión

CPE -1.92351 (12) Sin tendencia, sin constante

CPM -2.69854 (12) Sin tendencia, sin constante

IEC -1.93967 (12) Sin tendencia, sin constante

RBMV 2.51233 (12) Sin tendencia, con constante

RDJ 1.97053 (6) Sin tendencia, con constante

RP -1.93187 (6) Sin tendencia, con constante

Pruebas Dickey-Fuller de Raíz Unitaria

Valores propios0.461 r = 0* 207.06 111.370.344 * 129.20 83.930.313 * 76.01 60.420.137 28.64 40.830.053 9.99 24.730.024 3.09 12.73

*Rechazo de H0 al 1% de significancia

pH rango:0 )1( jj λnT )90.0(trazaλ

1r

2r3r4r

5r

Prueba de cointegración de Johansen

Vectores de cointegración normalizados (β)IEC CPE CPM RBMV RDJ RP

1.000 -0.912 1.906 2.182 -1.439 -0.0330.204 -0.481 0.621 1.000 -1.757 -0.067-0.212 1.228 -12.111 2.741 3.803 1.000

Coeficientes de ajuste (α)-0.275

(-4.223)-0.019

(-0.944) -0.182

(-0.530) 0.027

(3.370) 0.008

(2.581)-2.152

(-6.760)-1.013

(-5.277)-0.010

(-0.164)0.174 (2.127)

-0.104 (-4.402)

0.011(1.233)

2.125(2.266)

-0.025(-0.639)

0.000(-0.020)

0.013 (0.804)

-0.009(-1.957)

0.000(-0.245)

-0.393(-2.087)

Estadística t en paréntesis

Vectores de cointegración estimados y sus coeficientes de ajuste

exógena débilmente es CP

0.84p- valor0.85 1,2,3.j para ,0:

E

2)3(20 jH

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 1

545352 51

4342 41

3231

bbbbbbb

bb

εεεεε

IECt

RDJt

RBMVt

RPt

CPMt

5

4

3

2

1

=

Matriz de efectos contemporáneos

eeeee

IECt

RDJt

RBMVt

RPt

CPMt

5

4

3

2

1

Meses CPM RP RBMV RDJ IEC1 4.848 2.056 86.628 0.969 5.4992 7.008 13.143 65.913 9.750 4.1863 8.032 14.376 64.410 9.178 4.0044 8.524 14.241 63.833 9.261 4.1415 8.513 14.152 63.886 9.205 4.2436 8.657 14.367 63.551 9.203 4.2227 8.658 14.372 63.533 9.214 4.2238 8.674 14.377 63.509 9.209 4.2299 8.674 14.377 63.510 9.209 4.23110 8.677 14.380 63.502 9.209 4.23111 8.677 14.380 63.502 9.209 4.23112 8.678 14.381 63.502 9.209 4.232

Descomposición de la varianza de la IEC en México.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22-1. 0

-0. 8

-0. 6

-0. 4

-0. 2

-0. 0

0. 2

0. 4

Función de Impulso-Respuesta de la IEC