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Fundamentos de Geometría

ComputacionalI.T.I. Gestión

Problemas de proximidad

Tema 4

Tema 4 Problemas de proximidad



Resolución con Voronoi

Todos los vecinos mas cercanos

Par más cercano

Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío

Una colección de problemas


Aeronáutica

Entre muchos aviones en una pantalla encontrar los dos más cercanos

P1: Tráfico aéreo

http://w1.511.telia.com/~u51102888/anims/cars/plan_anm.gif�






Par más cercano




Entre muchos linces en un terreno encontrar el más cercano a cada cual

P2: Ecología






Par más cercano




Conectar n puntos de tal forma que la longitud de la red sea mínima

P3: Trazado de redes






Par más cercano




P4: Topografía

Obtener la cota de un punto, conocidas cotas de puntos cercanos.






Par más cercano



Una colección de problemasP5: Clasificador de objetos

Dado un conjunto de modelos y un nuevo elemento q, encontrar el modelo más cercano a q.






Par más cercano



Una colección de problemasP6: Localización servicios indeseables

Dónde ubicar, dentro de una determinada región, un servicio indeseable (basurero, cárcel, etc.), de forma que afecte lo menos posible a las poblaciones de la región.






Par más cercano




Aeronáutica

Entre muchos aviones en una pantalla encontrar los dos más cercanos

P1: Tráfico aéreo

P1: El par más cercano“Dada una nube S de puntos, encontrar la pareja más cercana de puntos”.

http://w1.511.telia.com/~u51102888/anims/cars/plan_anm.gif�






Par más cercano




Entre muchos linces en un terreno encontrar el más cercano a cada cual

P2: Ecología

P2: Todos los pares más cercanos“Dada una nube S de puntos, encontrar, para cada punto de S, su vecino más cercano”.

(Grafo dirigido de proximidad)






Par más cercano




Conectar n puntos de tal forma que la longitud de la red sea mínima

P3: Trazado de redes

P3: Árbol generador mínimo“Dada una nube S de puntos, encontrar un árbol de longitud mínima que tenga a S como conjunto de vértices”.






Par más cercano




P4: Topografía







Par más cercano




P4: Triangulación

“Dada una nube S de puntos, encontrar una triangulación que tenga a S como conjunto de vértices”.

P4: Topografía







Par más cercano




P4: Topografía


¡¡No vale cualquier triangulación!!






Par más cercano




P4: Topografía


10

00

6

4

124019

20

36

28

23890

1000

980

990

1008

00

10

6

4

124019

20

36

28

23890

1000

980

990

1008

23985






Par más cercano




P4: Triangulación equilátera“Dada una nube S de puntos, encontrar una triangulación que tenga a S como conjunto de vértices, de modo que el ángulo más pequeño sea máximo”.

P4: Topografía







Par más cercano



Una colección de problemasP5: Clasificador de objetos

Dado un conjunto de modelos y un nuevo elemento q, encontrar el modelo más cercano a q.

P5: Vecino más cercano“Dada una nube S de puntos y un nuevo punto q, encontrar el punto de S más cercano a q”.






Par más cercano



Una colección de problemasP6: Localización servicios indeseables

Dónde ubicar, dentro de una determinada región, un servicio indeseable (basurero, cárcel, etc.), de forma que afecte lo menos posible a las poblaciones de la región.

P6: Mayor círculo vacío“Dada una nube S de puntos, encontrar el círculo más grande que no contiene a ningún punto de la nube y cuyo centro esté dentro del cierre convexo de S”.






Par más cercano




P2: Todos los pares más cercanos

P1: El par más cercano

P3: Árbol generador mínimo

P4: Triangulación equilatera

P5: Vecino más cercano

P6: Mayor círculo vacío

Fuerza bruta

O(n2)

O(n2)

O(2n)

??

O(n)

O(n3)






Par más cercano










Fuerza bruta Voronoi

O(n2)

O(n2)

O(2n)

??

O(n)

O(n3)

??

??

??

??

O(log n)

??






Par más cercano




El par más cercano

Buscar entre todos los pares de puntos lleva tiempo cuadrático.

Pero no hace falta buscar entre todos los pares, sólo entre los que están cerca…

es decir, entre vecinos en el diagrama de Voronoi.






Par más cercano




El par más cercano

Nota: El número de vecinos de un diagrama de Voronoi es lineal.

Podemos encontrar el par más cercano en tiempo lineal.






Par más cercano











O(n2)

O(n2)

O(2n)

??

O(n)

O(n3)

O(n)

??

??

??

O(log n)

??





Par más cercano





Todos los vecinos más cercanos

Del mismo modo podemos encontrar todos los pares más cercanos en tiempo lineal.

Nota: El número de vecinos de un diagrama de Voronoi es lineal.





Par más cercano












O(n2)

O(n2)

O(2n)

??

O(n)

O(n3)

O(n)

O(n)

??

??

O(log n)

??





Par más cercano


Triangulación equiláteraVecino más cercanoMayor círculo vacío


Árbol recubridormínimo


Árbol recubridor (generador) mínimo

Podemos considerar el grafo completo con vértices en los puntos del conjunto, darle a cada arista un peso igual a su longitud y aplicar alguno de los algoritmos para hallar el árbol recubridor mínimo (por ej. Prim o Kruskal).

Esto requiere tiempo O(n2 log n)





Par más cercano







Pero podemos construirlo en tiempo lineal a partir del diagrama de Voronoi.





Par más cercano







Lema: Dado una partición de S en dos subconjuntos disjuntos S1 y S2, la arista más corta que une un vértice de S1 con uno de S2 es entre dos vecinos de Vor(S).

Teorema: El MST puede construirse en tiempo lineal óptimo a partir de Vor(S).





Par más cercano







Creamos una lista F que contendrá árboles que vamos a combinar hasta llegar al árbol recubridor mínimo.

Originalmente F contiene los puntos del conjunto (vértices aislados)

1

2

3

46

8

5

7

F={ {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}}





Par más cercano







Partimos del primer elemento de la lista F y tomamos su vecino (de Voronoi) más cercano. (La arista que los une forma parte del MST por el lema anterior).

1

2

3

46

8

5

7

F={ {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}}





Par más cercano







Creamos un nuevo árbol, uniendo estos dos puntos, y lo mandamos al final de la lista F, quitando de ella los dos puntos unidos.

1

2

3

46

8

5

7

F={ {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}}

F={ {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}}





Par más cercano







Cogemos el primer elemento de la lista y hacemos lo mismo.

1

2

3

46

8

5

7

F={ {4}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,5,3-5}}

F={ {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}}





Par más cercano







Puede que en el siguiente paso, el primer elemento de la lista se una a un árbol ya creado.

1

2

3

46

8

5

7

F={ {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}}

F={ {4}, {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,5,3-5}}





Par más cercano







Y así sucesivamente….

1

2

3

46

8

5

7

F={ {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,6-7}}

F={ {6}, {7}, {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}}





Par más cercano







Y así sucesivamente….

1

2

3

46

8

5

7

F={ {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,8,6-7,7-8}}

F={ {8}, {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,6-7}}





Par más cercano







Puede que en algún momento el primer elemento de la lista no sea un punto sino un árbol,

1

2

3

46

8

5

7

F={ {3,4,5,3-5,3-4}, {1,2,6,7,8, 1-2,2-7,6-7,7-8}}

F={ {1,2, 1-2}, {3,4,5,3-5,3-4}, {6,7,8,6-7,7-8}}





Par más cercano







Así seguiremos hasta que la lista contenga un único elemento: el árbol recubridor mínimo.

1

2

3

46

8

5

7

F={ {1,2,3,4,5,6,7,8, 1-2,2-5,2-7,3-4,3-5,6-7,7-8}}

F={ {3,4,5,3-5,3-4}, {1,2,6,7,8, 1-2,2-7,6-7,7-8}}





Par más cercano







Así seguiremos hasta que la lista contenga un único elemento: el árbol recubridor mínimo.

1

2

3

46

8

5

7

El número de operaciones del algoritmo es proporcional al número de vecinos del diagrama de Voronoi: O(n) óptimo





Par más cercano













O(n2)

O(n2)

O(2n)

??

O(n)

O(n3)

O(n)

O(n)

O(n)

??

O(log n)

??






Par más cercano


Vecino más cercanoMayor círculo vacío


Triangulación equilátera


Triangulación más equilátera

El dual del diagrama de Voronoi es una triangulación, la triangulación de Delaunay, que es la triangulación más equilátera.






Par más cercano


Vecino más cercanoMayor círculo vacío


Triangulación equilátera









O(n2)

O(n2)

O(2n)

??

O(n)

O(n3)

O(n)

O(n)

O(n)

O(n)

O(log n)

??






Par más cercano

Árbol recubridor mínimoTriangulación equiláteraVecino más cercano


Mayor círculo vacío



Bastará considerar todas las posibles circunferencias que pasen por tres de los puntos y, excluyendo las que contienen puntos de la nube en su interior, quedarnos con la de mayor radio.






Par más cercano






Pero podemos construirlo en tiempo lineal a partir del diagrama de Voronoi.






Par más cercano






Considerar los círculos centrados en los vértices de Voronoi que están dentro de la envolvente convexa y radio la distancia a cualquiera de los tres puntos de la nube a los que es equidistante, y quedarnos con el de mayor radio.






Par más cercano












O(n2)

O(n2)

O(2n)

??

O(n)

O(n3)

O(n)

O(n)

O(n)

O(n)

O(log n)

O(n)

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