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© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

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4APROXIMACIÓN DE FILTROS

4.1 Introducción

Tal como se ha visto anteriormente normalmente se imponen especificaciones de la bandapasante, de rechazo o transición en magnitud o fase. La primera tarea del diseñador es obteneruna función racional realizable H(s) que satisfaga estas especificaciones.

Idealmente se querría realizar una transmisión perfecta, sin pérdidas en la banda pasante,atenuación infinita (ganancia 0) en la/s banda/s de rechazo y banda/s de transición de ancho nu-lo, tal como se muestra en el filtro paso de baja de la Fig. 4.1(a).1

Como H(s) debe ser una función racional continua de ω con un número finito de polos yceros está claro que la característica de transferencia ideal no es realizable y sólo puede aproxi-marse dentro de unos ciertos márgenes de tolerancia, tal como se muestra en la Fig. 4.1(b).

El problema de aproximación es un campo muy bien estudiado de las matemáticas. Noslimitaremos aquí a las aproximaciones clásicas, que son especialmente adecuadas en el caso deespecificaciones de atenuación constantes en la banda de rechazo. Debe tenerse en cuenta, sinembargo, que otras funciones de aproximación no clásicas son frecuentemente más eficientes,en el sentido, por ejemplo, de obtener filtros de orden menor para especificaciones no constantesde la banda de rechazo, tal como se muestra en la Fig. 4.1(c). Estas funciones no son especial-mente complicadas pero se requiere siempre la ayuda de herramientas de ordenador.

En las siguientes secciones nos centraremos en aproximaciones (de magnitud) paso debaja. Si las especificaciones de retraso fueran importantes se pueden utilizar filtros pasa-todopara obtener la corrección de fase necesaria. Una de las aproximaciones que discutiremos, laaproximación Bessel, está, sin embargo, especialmente diseñada para obtener retrasos unifor-mes en la medida de lo posible.

1. Suponemos que la frecuencia se haya normalizada de forma que ω=1 en el borde de la banda pasante y max|H(jω)|=1 en 0≤|ω|≤1.

APROXIMACIÓN DE FILTROS

46 Análisis y síntesis de circuitos © F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

4.2 Aproximación en magnitud paso de baja

La magnitud de la función de sistema H(jω) se obtiene de:

(4.1)

|H(jω)|2 es una función racional par que de acuerdo con la Fig. 4.1 debe aproximarse a 1 en labanda pasante, 0≤|ω|≤1, y a 0 en la banda de rechazo, |ω|≥ωs. A fin de facilitar el tratamientomatemático es conveniente introducir una función racional real K(s) tal que,

Fig.1.21 Schaumann

Figura 4.1: Especificaciones paso de baja: (a) paso de baja ideal no realizables; (b) pasode baja realizables con tolerancia banda pasante ε<1 y tolerancias banda de re-chazo δ>1; (c) paso de baja con especificaciones no constantes en la banda de re-chazo.

H jω( ) 2 N jω( )N jω–( )D jω( )D jω–( )---------------------------------- N jω( ) 2

D jω( ) 2--------------------- P ω2( )

E ω2( )---------------≡= =

4.2 Aproximación en magnitud paso de baja

© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US Análisis y síntesis de circuitos 47

(4.2)

K(s), que se denomina función característica. Esta se obtiene de la función de sistema H(s) me-diante la ecuación de Feldtkeller:

(4.3)

Teniendo en cuenta (4.1) podemos escribir,

(4.4)

Por conveniencia se ha introducido el parámetro ε. Una representación de |K(jω)|2 se muestraen la Fig. 4.2. K(s) se define de tal forma que |K(jω)|2 se aproxime a 0 en la banda pasante conun error de atenuación o rizado en la banda pasante ε. Si la atenuación máxima en la banda pa-sante de la ganancia es Ap dB entonces:

H jω( ) 2 11 K jω( ) 2+------------------------------=

K jω( ) 2 1H jω( ) 2--------------------- 1–=

K jω( ) 2 D jω( ) 2 N jω( ) 2–N jω( ) 2----------------------------------------------- ε2 F jω( ) 2

N jω( ) 2--------------------≡=

Fig.1.22 Schauman

Figura 4.2: Especificaciones paso de baja que deben ser satisfechas por |K(jω)|2.



2 (4.5)

De forma similar |K(jω)|2 debe ser mayor de δ2 en la banda de rechazo. Para una atenuación mí-nima en la banda de rechazo de As dB, δ se obtiene de:

(4.6)

Se ha introducido un nuevo polinomio, F(s), llamado polinomio de reflexión cero. Sus raí-ces, llamadas ceros de reflexión ωri, son los ceros de |K(jω)|. Luego en s=jωri se tiene transmi-sión perfecta: |H(jωri)|=1. Las raíces ωzi del polinomio N(s) son los ceros de transmisión, es de-cir, H(jωzi)=0. ωzi se denominan también polos de atenuación, donde |K(jωzi)|=∞.

En conclusión, el problema general de aproximación paso de baja consiste en encontraruna función racional real K(s)=εF(s)/N(s) tal que:

1) F(s) tiene todas las raíces en el eje jω en la banda pasante.2) N(s) tiene todas las raíces en el eje jω en la banda de rechazo.3

3) |F(jω)/N(jω)|≤1 en 0≤|ω|≤1.4) |K(jω)|≥δ en |ω|≥ωs.Después de encontrar |K(jω)|2 se utiliza (4.2) para obtener el cociente de dos polinomios

pares P(ω2) y E(ω2). Como paso final se utiliza continuación analítica, es decir, se sustituye ωpor s/j (o ω2 por −s2) y se factoriza P(−s2) y E(−s2) en N(s)N(−s) y D(s)D(−s) respectivamente.

E(−s2) al ser par tendrá raíces simétricas respecto al origen del plano s. Ya que D(s) debeser un polinomio de Hurwitz, solo contendrá los raíces del semiplano izquierdo de E(−s2). Porotra parte, N(s) es conocido puesto que se ha obtenido explícitamente en el cálculo de |K(jω)|:

(4.7)

donde k es una constante y ωzi son los ceros de transmisión de multiplicidad mi≥0. Si todos losmi=0 no hay ceros de transmisión finitos, N(s)=k y H(s)=k/D(s) es una función paso de baja todopolo.

2. De la comparación del diagrama de magnitud y el de la función característica se obtiene:

3. No consideraremos el caso más general en que los ceros de reflexión sri y los polos de atenuación szi no están en el eje jω. Normalmente valores puramente imaginarios conducen a las mejores aproximaciones.

ε2 100,1Ap 1–=

20 11 ε2+--------------log 2Ap–=

δ2 100,1As 1–=

N s( ) k s2 ωzi

2+( )mi

i∏=

4.3 Aproximación máximamente plana


4.3 Aproximación máximamente plana

Tal como ha mostrado el ejemplo anterior los filtros paso de baja con magnitud máxima-mente plana se requiere que la magnitud (al cuadrado) de la función de transferencia sea 1 enω=0, es decir, transmisión ideal en dc, y que todas las derivadas posibles del error de transmi-sión sean cero en ω=0. El error de transmisión se define como:

(4.8)

Las especificaciones son pues:

(4.9)

Ya que |K(jω)|2 es un cociente de polinomios en ω2 podemos escribirlo como,

(4.10)

Es fácil demostrar (proponerlo como ejercicio) que para satisfacer las condiciones en (4.9) esnecesario que ai=0 para i=0,...,n−1; es decir, que todos los ceros de reflexión deben estar en elorigen. Por tanto la función de transferencia de una función de transferencia paso de baja de or-den n que es máximamente plana en el origen (ω=0) es,

(4.11)

Luego para un polinomio N(s) dado, es decir, para un conjunto de ceros de transmisión, se puedeencontrar siempre una función de transferencia paso de baja con banda pasante máximamenteplana.

El parámetro an determina la máxima atenuación en la banda pasante. Esta se producepara ω=1:

(4.12)

que permite determinar an dado Ap y los ceros de transmisión. El grado de la función de trans-ferencia n viene dado por la atenuación requerida a altas frecuencias. Si m es el orden de N(s)la magnitud |H(jω)| decae a alta frecuencia como 1/ωn−m, es decir, la atenuación crece a20(n−m) dB/década. Determinar el nivel de atenuación mínima en la banda de rechazo ω>ωs,es decir, el valor de |H(jωs)| y los mínimos |H(jωmi)| suele ser difícil y requiere el uso de orde-nadores.

Δ ω2( ) 1 H jω( ) 2–=

K j0( ) 0=

di

dω2( )i---------------- K jω( ) 2

1 K jω( ) 2+------------------------------

ω 0=

0= i 1 2 …, ,=

K jω( ) 2 a0 a1ω2 a2ω

4 … anω2n+ + + +

N jω( )N jω–( )----------------------------------------------------------------------------=

H jω( ) 2 11 K jω( ) 2+------------------------------ N jω( ) 2

N jω( ) 2 anω2n+

------------------------------------------= =

ε2 an

N j1( ) 2------------------- 100,1Ap 1–= =



Esta es la aproximación máximamente plana genérica. Dentro de ellas existen casos par-ticulares de los cuales vamos a ver dos: la aproximación Butterworth y la aproximación Che-byshev inversa aunque ésta última la veremos más adelante.

4.3.1 Aproximación Butterworth

Un caso particular muy importante es aquel en que todos los ceros de transmisión estánen s=∞, es decir, N(s)=1.

Entonces, la magnitud de la función de transferencia es,

(4.13)

donde se ha sustituido an por ε2 que es una notación habitual. Puede verse que en esta funciónla atenuación aumenta monotónicamente con ω. El grado n se determina de las especificacionespara la banda de rechazo,

4 (4.14)

EjemploEncontrar el orden de una función paso de baja máximamente plana todo polo que tenga

una banda pasante en 0≤f≤1.2kHz con Ap=0.5dB de atenuación máxima y una banda de rechazoen f≥1.92kHz con una atenuación mínima As=23dB.

SoluciónNormalizamos la frecuencia por Ωo=2π1.2kHz de forma que ω=1 en el borde de la banda

pasante y ωs=1.92kHz/1.2kHz=1.6. El rizado es:

(4.15)

luego el orden del filtro es:

(4.16)

luego el orden del filtro es 8.

Para hallar la localización de los polos de una función paso de baja máximamente planatodo polo, se sustituye ω2 por −s2 y se factoriza el polinomio 1+(−1)nε2s2n=0,

4.

H jω( ) 2 11 ε2ω2n+-----------------------=

n ε 2– 100,1As 1–( )[ ]log

2 ωslog---------------------------------------------------≥

δ2 100,1As 1– ε2ωs

2n= =

ε 100,05 1– 0,12202 0,3493= = =

n 8,196 102,3 1–( )[ ]log2 1,6log----------------------------------------------------≥ 7,87=

4.4 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev


(4.17)

Seleccionando únicamente los polos del semiplano izquierdo se obtienen los polos deseados:

(4.18)

Puede observarse que los polos se distribuyen uniformemente en un círculo de radio ε−1/n.Si ε=1 se deduce de (4.5) que la atenuación en la banda pasante Ap es 3dB en ω=1. El filtro

paso de baja todo polo máximamente plano tiene la forma,

(4.19)

y se denominan filtros Butterworth. Los denominadores de estos filtros se encuentran tabuladospor lo que tan pronto se conoce el orden n del filtro la función está completamente determinada.Normalmente en la literatura también se denominan filtros Butterworth a aquellos que no tienenε=1.


En la aproximación máximamente plana se concentra toda la aproximación en ω=0 y seacepta un error creciente de forma monotónica para ω→1. Parece más eficiente distribuir elerror uniformemente en toda la banda pasante mediante una función característica K(s) tal que,

(4.20)

es un polinomio que oscila uniformemente entre 0 y ε2, es decir, −1≤Cn(ω)≤1 cuando 0≤ω≤1.En este caso la banda pasante tiene la apariencia de la Fig. 4.2 pero sin ceros de transmisión yaque Cn(ω) es un polinomio.Los polinomios de Chebyshev de orden n son

(4.21)

Es fácil demostrar que si |ω|≥1 entonces5,

(4.22)

que aumenta monótonamente con ω.6

La función de transferencia paso de baja todo-polo de igual rizado Chebyshev H(s) es,

(4.23)

s2n 1ε2----- 1–( )n 1+ 1

ε2-----ej n 1 2k+ +( )π= =

sk ε 1 n⁄– ej2k n 1+ +

2n------------------------π= k 0 1 2 … n 1–, , , ,=

H s( ) 1sn bn 1– sn 1– … b1s 1+ + + +-----------------------------------------------------------------------=

K jω( ) 2 ε2Cn2 ω( )=

Cn ω( ) n ωacos( )cos= ω 1≤

Cn ω( ) n ωacosh( )cosh 12--- ω ω2 1–+( )

nω ω2 1–+( )

n–+[ ]= =

H jω( ) 2 11 ε2Cn

2 ω( )+------------------------------=



Los primeros polinomios de Chebyshev son:

(4.24)

Estos polinomios son válidos para todo valor de ω.La relación trigonométrica recursiva,

(4.25)

puede usarse para obtener una fórmula recursiva de los polinomios de Chebyshev:

(4.26)

De (4.24) y (4.26) se deduce que Cn(1)=1 para todo n; Cn(0)=0 para n impar y ±1 para n par; yque Cn(ω) es par para n par e impar para n impar. A título de ejemplo la Fig. 4.3 muestra unarepresentación de los polinomios de Chebyshev de orden más bajo.

Los ceros de Cn(ω), que son los ceros de reflexión del filtro de Chebyshev vienen dadospor,

(4.27)

luego

(4.28)

Por tanto,

5. Veamos la demostración:

por tanto:

de donde se deduce que:

Por tanto:

jzcos ej jz( ) e j jz( )–+2------------------------------- zcosh x≡= =

jz xacos= z xacosh=

xacos j xacosh=

Cn x( ) n xacos( )cos nj xacosh( )cos n xacosh( )cosh= = =

C0 ω( ) 1=

C1 ω( ) ω=

C2 ω( ) 2ω2 1–=

C3 ω( ) 4ω3 3ω–=

n 1+( )x[ ]cos 2 nx xcoscos n 1–( )x[ ]cos–=

Cn 1+ ω( ) 2ωCn ω( ) Cn 1– ω( )–= n 1 2 …, ,=

n ωacos( )cos 0=

n ωacos 2k 1+( )π2---=



(4.29)

Los polinomios de Chebyshev pueden entonces expresarse en términos de sus raíces como7

6. Nota personal: dicha expresión equivalente se obtiene sin más que aplicar las siguientes ecuaciones:

senh x( ) ex e x––2------------------= x( )cosh ex e x–+

2------------------= x( )tanh ex e x––ex e x–+------------------=

x( )sech 1x( )cosh-------------------= ech x( )cos 1

senh x( )-------------------= anh x( )cot 1

x( )tanh------------------=

arcsenh x( ) ln x x2 1++( )=

arc x( )cosh l± n x x2 1–+( )= x 1≥

arc x( )tanh 12---ln 1 x+( )

1 x–( )----------------= x 1<

arc x( )coth 12---ln x 1+( )

x 1–( )----------------= x 1>

Fig. 3.3 Daniels

Figura 4.3: Polinomios de Chebyshev

ωrk

2k 1+n---------------π2---cos=

k 0 1 2 … n 1–2------------, , , ,= n impar

k 0 1 2 … n2--- 1–, , , ,= n par



(4.30)

De las ecuaciones (4.21) y (4.23) se deduce que |H(jω)| oscila con igual rizado en toda labanda pasante 0≤|ω|≤1, que |H(j0)|=1 para n impar pero

(4.31)

para n par y que,

(4.32)

para todo n. Además |H(jω)| decrece monotónicamente a 0 para |ω|>1, tal como se muestra enla Fig. 4.4 para n=2,3,4.

Las posiciones de los polos del filtro Chebyshev vendrán dadas igualando a 0 el denomi-nador de (4.23) con ω=s/j:

(4.33)

y se obtiene:

7. Según la expresión de ωrk, las raíces siempre aparecen con signo + y − por lo que se puede expresar en forma de diferencia de cuadrados. En el caso de n impar habrá una raíz en 0 por lo que se puede sacar un factor ω y el productorio variará entre 0 y .n 1–

2------------ 1–

Cn ω( ) 2n 1– ω2 ωrk

2–( )k∏=

H j0( ) 1

1 ε2+------------------=

H j1( ) 1

1 ε2+------------------=

Figura 4.4: Funciones de transferencia paso de baja Chebyshev

Fig. 1.25 Schaumann

Cn2 s

j--⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 n s

j--acos⎝ ⎠

⎛ ⎞cos 1ε2-----–= =



(4.34)

Con los polos conocidos la función de transferencia de un filtro Chebyshev es:

(4.35)

Los denominadores de estas funciones de transferencia (normalmente hasta orden 10) se en-cuentran tabulados.

Determinación de nHay dos parámetros de diseño en los filtros Chebyshev: el rizado ε y la atenuación As en

el borde de la banda de rechazo ωs. El parámetro ε se obtiene de:

(4.36)

Para determinar n se evalúa la función de transferencia en la banda de rechazo y debe darla atenuación mínima:

8 (4.37)

Sustituyendo (4.22) ya que |ωs|>1 y despejando n se obtiene:

(4.38)

Una fórmula aproximada muy conveniente se obtiene sustituyendo la relación trigonométricapara cosh:

(4.39)

Operando:

8.

sk12---

1ε--- 1

ε2----- 1++⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1n---

1ε--- 1

ε2----- 1++⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1n---–

– 2k 1+2n---------------π⎝ ⎠

⎛ ⎞sin– +=

j 12---

1ε--- 1

ε2----- 1++⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1n--- 1

ε--- 1

ε2----- 1++⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1n---–

+ 2k 1+2n---------------π⎝ ⎠

⎛ ⎞cos⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

+

H s( ) 1

2n 1– ε s sk–( )

k 1=

n

∏

------------------------------------------- 1 2n 1– ε( )⁄

sn bn 1– sn 1– … b1s b0+ + + +--------------------------------------------------------------------------= =

ε 100,1Ap 1–=

10 11 ε2Cn

2 ωs( )+--------------------------------log As dB–=

Cn ω( ) n ωacosh( )cosh=

n 100,1As 1–( ) ε2⁄acoshωsacosh----------------------------------------------------------≥

10 1

1 ε214--- ωs ωs

2 1–+( )n

ωs ωs2 1–+( )

n–+[ ]

2+

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------log As–=



(4.40)

Despreciando el segundo término frente al primero resulta:

(4.41)

EjemploEncontrar la función de transferencia de un filtro Chebyshev paso de baja que satisfaga

las misma especificaciones del ejemplo del filtro máximamente plano (banda pasante en0≤f≤1.2kHz con Ap=0.5dB de atenuación máxima y una banda de rechazo en f≥1.92kHz conuna atenuación mínima As=23dB).

SoluciónDe la ecuación (4.36) se obtiene ε=0.3493. Aplicando entonces (4.41) se obtiene n=4.19.

Por tanto, se necesita un filtro de quinto orden. Finalmente usando la tabla III2a se obtiene lafunción:

(4.42)

Notar que H(0)=1. Si n hubiera sido par habría salido −0.5dB.Podemos comprobar pues que el filtro Chebyshev es mas eficiente que el máximamente planopara realizar las mismas especificaciones. Puede demostrarse que esto siempre es así.

Alternativamente se puede recurrir a diagramas de tolerancias. Para ello consideremos(4.37). Si As>10dB, es decir, ε2Cn

2(ωs)>10, se puede aproximar,

(4.43)

Por tanto,

(4.44)

El término de la derecha depende de n y ωs. Para n y ωs fijos el resultado puede dividirse entrelos dos términos de la izquierda. Aumentar la atenuación en la banda de rechazo significa au-mentar el rizado ε y por tanto la distorsión en la banda de paso Ap. Esta relación puede utilizarsepara determinar el orden n del filtro. Para ello, la Fig. 4.5 muestra representaciones gráficas de20logCn(ωs) para 1≤ωs≤2 y para 3≤n≤10. Por tanto, dados Ap, As y ωs se pueden utilizar paradeterminar el orden del filtro.

En resumen, para determinar la función de transferencia de un filtro Chebyshev:1) De la atenuación en la banda de paso Ap se obtiene ε.

ωs ωs2 1–+( )

nωs ωs

2 1–+( )n–

+ 4 100,1As 1–( ) ε2⁄=

n ln 4 100,1As 1–( ) ε2⁄

ln ωs ωs2 1–+( )

----------------------------------------------------≥

H s( ) 0,1789s5 1,17251s4 1,9374s3 1,3096s2 0,7525s 0,1789+ + + + +--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

As 10 ε2Cn2 ωs( )log≈

As 20 1ε---log+ 20 Cn ωs( )log=



2) De ωs y As se determina n.3) Se obtienen las raíces sk con el procedimiento descrito anteriormente.4) Se construye H(s)

Filtros Chebyshev inversosSi se requiere una banda pasante monotónica y una banda de rechazo de igual rizado pue-

de hacerse con la aproximación Chebyshev inversa que puede deducirse a partir de la aproxi-mación Chebyshev convencional mediante las transformaciones que se muestran en la Fig. 4.6.

La magnitude los filtros Chebyshev inversos está por tanto descrita por:

(4.45)

Basta comparar (4.45) con (4.11) para comprender que los filtros Chebyshev inversos tienenuna banda pasante máximamente plana y tienen ceros de transmisión finitos localizados enCn(1/ω)=0. Los ceros de transmisión de los filtros Chebyshev inversos son por tanto los inver-sos de los ceros de reflexión del Chebyshev convencional del mismo orden.

En cuanto a los polos vendrán dados por la soluciones de la ecuación

Fig. 4.11 Sedra

Figura 4.5: Carta de diseño Chebyshev

H jω( ) 2 ε2Cn2 1 ω⁄( )

1 ε2Cn2 1 ω⁄( )+

-------------------------------------=



(4.46)

pero una ecuación similar ya se ha resuelto para la aproximación Chebyshev convencional porlo cual sin más que comparar las ecuaciones puede deducirse que los polos de la aproximaciónChebyshev inversa son los inversos de los polos de la aproximación Chebyshev convencional.Obviamente el rizado ε habrá de escogerse adecuadamente.

Puede demostrarse que los filtros Chebyshev inversos son tan eficientes como los filtrosChebyshev en el sentido de obtenerse filtros del mismo orden para aproximar un conjunto dadode especificaciones pero su comportamiento en fase y retraso es muy diferente. Los filtros Che-byshev tienen mayores valores del factor de calidad de los polos que los filtros de Chebyshevinversos lo que se traduce en curvas de retraso con mayores picos, tal como se ilustra en la Fig.4.7. Por tanto, los filtros de Chebyshev inversos son preferibles en aplicaciones donde son im-portantes pequeñas variaciones de retraso como en video o transmisión de datos.

Fig. 4.13 Sedra

Figura 4.6: Proceso de obtención teórica de los filtros Chebyshev inversos a partir de losChebyshev convencionales.

1 ε2Cn2 1 ω⁄( )+ 0=

4.5 Aproximación elíptica



Los filtros Butterworth y Chebyshev proporcionan aproximaciones fáciles de realizar. Sinembargo, son ineficientes en lo concerniente a la banda de rechazo. Proporcionan normalmentemás atenuación de la necesaria. Si se mueven algunos polos de atenuación (o ceros de transmi-sión) desde el infinito a cerca del borde de la banda de rechazo se aumentará el ritmo de caídaen la banda de transición. Esto se ha hecho en el filtro Chebyshev inverso pero la banda pasantemáximamente plana impide un ritmo de decrecimiento alto.

Luego, si las especificaciones de atenuación en la banda de rechazo son constantes unaaproximación óptima será aquella que tenga un igual rizado en la banda de paso y en la de re-chazo. La función característica debe aproximarse a 0 en la banda de paso y a ∞ en la banda derechazo con igual rizado. Esta aproximación se denomina elíptica porque se utilizan las funcio-nes elípticas doblemente periódicas para obtener la función característica.

La Fig. 4.8 muestra las funciones características de filtros elípticos de orden 5 y 6, que sonrepresentativos de filtros de orden impar y par, respectivamente.

Podemos observar las siguientes propiedades:1) La aproximación del filtro elíptico se caracteriza por 4 parámetros: Ap (o ε), ωs, As y el

orden n. Cualquier conjunto de tres parámetros entre estos lo describen.2) El orden n y el factor de selectividad ωs determinan de forma única los ceros de

reflexión ωri y los polos de la atenuación ωzi. Por tanto, se puede buscar un compro-

Fig.1.26 Schauman

Figura 4.7: Comparación del retraso de filtros Chebyshev y Chebyshev inversos



miso entre As y Ap; cuando una aumenta la otra también.3) Para n impar el filtro elíptico tiene un cero de reflexión en el origen y un polo de ate-

nuación en el ∞. Esto no ocurre para n par. Los otros ceros de reflexión y transmisiónocurren en el eje jω. Luego la función característica es:

Fig. 4.16 Sedra

Figura 4.8: Características de atenuación de filtros elípticos de orden par e impar



(4.47)

4) Como en los filtros de Chebyshev, para n par la atenuación en ω=0 determina elmáximo rizado en la banda de paso. Para cualquier n el número total de picos y vallesen la banda de paso es el orden del filtro n.

Extrayendo ε de K(s) se obtiene la función que caracteriza las aproximaciones elípticas,denominadas funciones racionales de Chebyshev:

(4.48)

y lógicamente la función de transferencia es:

(4.49)

Veamos que en la aproximación elíptica los ceros de reflexión y los polos de atenuaciónexhiben simetría geométrica alrededor de una frecuencia de la banda de transición, , es de-cir,

K s( ) k

s s2 ωri

2+( )

i 1=

n 1–( ) 2⁄

∏

s2 ωzi

2+( )

i 1=

n 1–( ) 2⁄

∏

--------------------------------------------= n impar

K s( ) k

s2 ωri

2+( )

i 1=

n 2⁄

∏

s2 ωzi

2+( )

i 1=

n 2⁄

∏

--------------------------------= n par

RN ω( ) r

ω ω2 ωri

2–( )

i 1=

n 1–( ) 2⁄

∏

ω2 ωzi

2–( )

i 1=

n 1–( ) 2⁄

∏

-----------------------------------------------= n impar

RN ω( ) r

ω2 ωri

2–( )

i 1=

n 2⁄

∏

ω2 ωzi

2–( )

i 1=

n 2⁄

∏

----------------------------------= n par

H jω( ) 2 11 ε2Rn

2 ω( )+------------------------------=

ωs



(4.50)

Consideremos por ejemplo el filtro elíptico de sexto orden cuya función característica al cua-drado se representa en la Fig. 4.9(a). Si se sustituye ω por ωs/ω obtenemos la función caracte-rística paso de alta |K(jωs/ω)|2 de la Fig. 4.9(b). Construimos una nueva función característicadefinida por:

(4.51)

que se muestra en la Fig. 4.9(c). También produce un filtro elíptico de sexto orden. Dado que lafunción característica de un filtro elíptico determina de forma única los polos y ceros para un ωsdado los polos y ceros de K(jω) deben coincidir con los de K(jω). Luego:

(4.52)

Determinación del orden del filtro nTal como se ha hecho para las otras aproximaciones se puede derivar una ecuación para

el orden del filtro elíptico necesario para cumplir unas especificaciones dadas. Sin embargo, talexpresión incluye integrales elípticas para las cuales se necesitan tablas. Pero es fácil observarque en la banda de rechazo ε2Rn

2(ω)»1. Por tanto, si As es la atenuación en dB para ω=ωs:

(4.53)

Dibujando 20log|Rn(ωs)| frente a ωs permite obtener familias de curvas con las que se puede ob-tener el orden n dado As, ε y ωs tal como las que se muestran en la Fig. 4.10. Por ejemplo, siAp≤0.5dB (ε=0.349), As≥50dB y ωs=1.5 entonces el orden del filtro es n=5.

La obtención de polos y ceros requiere normalmente el uso de un ordenador. Se puedenencontrar tablas de polos y ceros para un gran número de casos. La forma de la función de trans-ferencia de un filtro elíptico es:

ωzzωr1

ωz2ωr2

… ωs= = =

K jω( )2 1

K jωsω------⎝ ⎠

⎛ ⎞2-----------------------=

RN ω( ) r

ω ω2 ωs ω⁄ zi( )2–( )

i 1=

n 1–( ) 2⁄

∏

ω2 ωzi

2–( )

i 1=

n 1–( ) 2⁄

∏

----------------------------------------------------------------= n impar

RN ω( ) r

ω2 ωs ω⁄ zi( )2–( )

i 1=

n 2⁄

∏

ω2 ωzi

2–( )

i 1=

n 2⁄

∏

---------------------------------------------------= n par

As 20 1ε---log+ 20 Rn ωs( )log≈



(4.54)

Estas funciones se encuentran tabuladas y H se escoge de forma que el pico de ganancia sea launidad.

Ejemplo

Fig.4.17 Sedra

Figura 4.9: Ilustrando la simetría geométrica de los ceros

H s( )

H s2 ai+( )

i 1=

m

∏

sn bn 1– sn 1– bn 2– sn 2– … b1s b0+ + + + +--------------------------------------------------------------------------------------------------------=



Encontrar la función de transferencia de un filtro elíptico que satisface las mismas espe-cificaciones de los ejemplos anteriores (banda pasante en 0≤f≤1.2kHz con Ap=0.5dB de atenua-ción máxima y una banda de rechazo en f≥1.92kHz con una atenuación mínima As=23dB).

SoluciónTenemos que ωs=1.6 y ε2=0.122. Para usar las tablas de filtros elípticos necesitamos los

números A1=minH(jω) en ω≤1 y A2=maxH(jω) en w≥ωs. Tenemos que

(4.55)

En las tablas se comprueba que un filtro elíptico de segundo orden no cumple las especificacio-nes. Para ωs=1.6 y A1=0.95, se tiene A2=0.35099.

Con un filtro de tercer orden se tiene A2=0.066<0.0708. Por tanto:

(4.56)

con H(0)=1 ya que el orden es impar. Recordar que para las mismas especificaciones el filtromáximamente plano tenia nMF=8 y el filtro Chebyshev nCH=5. Estas diferencias son aún mayo-res si las especificaciones son más estrictas. Por ejemplo, para Ap=0.05dB, As=80dB y ωs=2 seobtiene nELL=10, nMF=63 y nCH=20.

Se ha visto que para unas especificaciones de magnitud dadas la aproximación elíptica esmás eficiente, seguida por la Chebyshev y la máximamente plana. El motivo principal es la dis-

Fig. 1.27 Schauman

Figura 4.10: Carta de diseño de filtros elípticos

A11

1 ε2+------------------ 0,944= = A2

1

1 δ2+------------------- 10

0,1As 2⁄–0,0708= = =

H s( ) 0,2816 s2 3,2236+( )

s 0,7732+( ) s2 0,4916s 1,1742+ +( )----------------------------------------------------------------------------------------=

4.6 Aproximación Bessel


tribución de igual rizado del error en la banda pasante junto con la presencia de ceros de trans-misión finitos que permiten a la función de transferencia elíptica tener una transición muy brus-ca (la anchura de la región de transición es la especificación más exigente). Para las mismas es-pecificaciones que los ejemplos anteriores pero con ωs=1.1 se obtiene nELL=4, nCH=10 ynMF=39.

Es interesante comparar las tres aproximaciones desde el punto de vista del retraso. Yaque los filtros Chebyshev y elípticos tienen polos con mayores factores de calidad, sus curvasde retraso para el mismo orden tienen más pico. Sin embargo, esta aproximación no es muy co-rrecta puesto que estamos comparando curvas de retraso de igual orden y la comparación debeefectuarse para filtros que cumplen las mismas especificaciones. En este caso, la Fig. 4.11muestra una comparación de los retrasos para las especificaciones: Ap=0.5dB, As=23dB yωs=1.25.


A menudo se requiere pasar una señal de la entrada a la salida sin distorsiones serias. Parauna transmisión sin distorsión de fase o retraso la función de transferencia debe ser:

Fig.1.28 Schauman

Figura 4.11: Comparación de retrasos de filtros Butterworth, Chebyshev, Chebyshevinverso y elíptico



(4.57)

que proporciona fase lineal o retraso constante. La salida es una réplica exacta de la entrada re-trasada τ segundos.

Una aproximación todo polo para e−sτ es:

(4.58)

donde los coeficientes bi se obtienen imponiendo retraso máximamente plano. Los polinomiosasí obtenidos son los polinomios de Bessel, de ahí el nombre de los filtros. También se les de-nomina filtros de retraso máximamente planos. Los polinomios de Bessel se encuentran tabula-dos. La Fig. 4.12 muestra respuestas en magnitud y características de retraso para n≤10.

Los coeficientes del denominador de la función de transferencia se obtienen mediante:

(4.59)

siendo

H s( ) Ke sτ–=

H s( )b0

sn bn 1– sn 1– … b1s b0+ + + +--------------------------------------------------------------------------=

Fig.1.18 Ghausi

Fig.1.19 Ghausi

Figura 4.12: Magnitud y retraso para filtros Bessel con n≤10

bi2n i–( )!

2n i– i! n i–( )!---------------------------------= i 0 1 … n 1–, , ,=



(4.60)

Los polinomios de retraso máximamente plano para n≤10 se encuentran tabulados. Los de or-den superior se obtienen mediante la siguiente relación recursiva:

(4.61)

A mayor n se obtiene una aproximación más precisa de retraso constante. Si dividimos bi/b0,

(4.62)

Para n→∞:

(4.63)

Luego,

(4.64)

que corresponde a un retraso constante normalizando s por Ωo=1/τo.Para n finito, H(s) tiene errores de magnitud y retraso. El único parámetro disponible de

los filtros Bessel debe elegirse de modo que ambos errores sean aceptablemente pequeños. Paraayudar en esta elección se disponen de curvas de atenuación y errores de retraso, tales como lasque se muestra en la Fig. 4.13.

Los filtros Bessel son ineficientes en términos de selectividad de ganancia. Por ejemplo,para ω/ωp=4 la atenuación de un filtro Butterworth de cuarto orden es 50dB mientras que se ne-cesita un filtro Bessel de orden 7 para conseguir la misma atenuación. Por esta razón es prefe-rible utilizar filtros diseñados en ganancia y utilizar ecualizadores de fase.

D s( ) bisi

i 0=

n

∑= y bn 1=

Dn s( ) 2n 1–( )Dn 1– s2Dn 2–+=

bib0----- 2n i–( )!

2n i– i! n i–( )!--------------------------------- 2nn!

2n( )!------------- n! n i–( )!⁄

2n( )! 2n i–( )!2 i–⁄--------------------------------------------- 1

i!---= =

bib0----- ni

2n( )i2 i– i!-----------------------→ 1

i!---=

H s( )n ∞→lim

b0

b0bib0-----si

i 0=

n

∑

-------------------------n ∞→lim

b0

b01i!---si

i 0=

n

∑

-----------------------n ∞→lim e s–= = =



Fig.1.29 Schauman

Figura 4.13: Error de magnitud y retraso para filtros Bessel en función de la frecuencianormalizada ω=Ωτo para diferentes órdenes n.

H jω( ) H jω( ) e jφ ω( )–= τ ω( )ω∂

∂φ– τo 1 Δτ ω( )–[ ]= =

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