HIDRÁULICA TEMA 3

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TEMA 3: HIDROSTÁTICA

1.- INTRODUCCIÓN.

1.1.- Concepto de equilibrio.

Se dice que un fluido esta en equilibrio cuando no existe movimiento relativo de

unas partículas respecto a otras. No hay pues gradiente de velocidad entre capas: el

fluido se comporta como no viscoso y se mueve como si fuera un sólido. Por ejemplo,

un líquido circulando alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante o

sometido a una aceleración rectilínea constante son casos de equilibrio. Un líquido en

reposo es también un caso particular de equilibrio.

1.2.- Aplicaciones de la ecuación de equilibrio.

Las fuerzas normales producidas por fluidos en reposo son a menudo muy

importantes. Por ejemplo, tienden a reventar presas de hormigón, recipientes a presión y

romper las compuertas de las esclusas en los canales. Evidentemente, para diseñar

semejantes instalaciones, necesitamos calcular la magnitud y la posición de las fuerzas

normales de presión. Entenderlas nos permitirá desarrollar instrumentos para medir la

presión y sistemas para transferir la presión, tales como los empleados en frenos de

coche y montacargas.

La intensidad media de la presión p se define como la fuerza ejercida sobre una

unidad de área. Si F representa la fuerza de presión normal total sobre un área finita A,

mientras que dF representa la fuerza sobre un área infinitesimal dA, la presión viene

dada por .-

dA

dF p

En el SI las unidad de presión es el Pascal PA = N/m2; 1Pa = 10-5 bar

1.3 Presión en un punto igual en todas direcciones.

En un sólido, debido a la posibilidad de esfuerzos tangenciales entre partículas

adyacentes, los esfuerzos en un punto dado pueden variar en direcciones distintas. Pero

no pueden existir esfuerzos tangenciales en un fluido en reposo, y las únicas fuerzas

entre superficies adyacentes son las fuerzas de presión normales a las superficies.

Por tanto, el valor de la presión en cualquier punto en un fluido en reposo es igual

en todas las direcciones.

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Esto se puede comprobar examinando la Figura 1, que representa un elemento muy

pequeño de fluido en reposo con forma de cuña cuyo espesor normal al plano del papel

es constante e igual a dy. Llamaremos p a la presión media en cualquier dirección en el

plano del papel, tendrá el significado indicado en la figura, y px y pz serán las

presiones medias en las direcciones horizontal y vertical.

Figura 1

Debido a que el fluido esta en reposo, no están implicadas fuerzas tangenciales. Como

esta es una condición de equilibrio, la suma de los componentes de fuerza en el

elemento en una dirección daba debe ser igual a cero. Escribiendo semejante ecuación

para los componentes en la dirección x;

Figura 2

p dl dy cos - px dy dz = 0.

Como dz = dl cos , entonces p = px.

De la misma manera, sumando las fuerzas en la dirección z obtenemos

pz dx dy – p dl dy sen - ½ dx dy dz = 0.

El tercer termino es de orden superior a los otros dos términos por lo que se puede

despreciar. Se deduce de esto que p = pz. Se puede demostrar tambien que p = py

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considerando un caso tridimensional. Los resultados son independientes de , por lo

que la presión en cualquier punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones.

2.- VARIACIÓN DE PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO.

Considerando el elemento diferencial de fluido en reposo mostrado en la figura.

Como el elemento es muy pequeño, se puede suponer que la densidad del fluido dentro

del elemento es constante. Suponga que la presión en el centro del elemento tiene un

valor de p y que las dimensiones del elemento son x, y y z.

Las fuerzas que actúan sobre el elemento del fluido en la dirección vertical son: las

fuerzas interior, la acción de la gravedad sobre la masa dentro del elemento, y las

fuerzas superficiales, transmitidas desde el fluido a su alrededor y actuando

perpendicularmente contra las caras inferiores, superior y laterales del elemento. Debido

a que el elemento está en reposo, el elemento se encuentra en un estado de equilibrio y

la suma de las fuerzas que actúan sobre el elemento en cualquier dirección debe ser

igual a cero. Si se suman las fuerzas en la dirección horizontal, es decir, x o y, las únicas

fuerzas que actúan son las fuerzas de presión sobre las caras verticales del elemento.

Para satisfacer la condición de que 0 Fy 0 F yx , las presiones sobre las caras

verticales opuestas deben ser iguales.

Por tanto, p/x = p/y = 0 para el caso de un fluido en reposo. Sumando las

fuerzas en la dirección vertical e igualando la suma a cero,

0 z y x -y x 2

z

z

p p -y x

2

z

z

p - p

F z

Esto da que p / z = -y, que, debido a que p es independiente de x e y, se puede

escribir como

- dz

dp

Esta es la expresión general que relación a la variación de presión en un fluido en

reposo con la posición vertical, el signo negativo indica que mientras z aumenta

disminuye la presión.

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Figura 3

Para evaluar la variación de presión en un fluido en reposo es precios integrar la

ecuación - dz

dpentre limites elegidos apropiadamente. Para fluidos incompresibles,

la ecuación - dz

dp se puede integrar directamente. En cambio, para fluidos

compresibles se debe expresar algebraicamente como función de z o p si se pretende

determinar la presión como función de la elevación de forma precisa

En el caso de fluido incomprensible, al tener densidad constante

- dz

dp; luego dp = - · dz;

z

z

p

pi

dzdp1

2

· ;

donde el subíndice 1 indica condiciones a una elevación de referencia, (siendo típico en

problemas de hidráulica el tomar de referencia como cota inicial el nivel del mar).

p – p1 = - (z – z1).

Esta ecuación se puede expresar de la siguiente manera:

H z p

z p

11

.

La energía total, suma de la energía de presión y de la de posición, es la misma en todos

los puntos de un liquido en reposo.

Esto demuestra que para un fluido incompresible en reposo, en cualquier punto del

fluido, la suma de la elevación z y la altura de presión p/ tiene el mismo valor. Esto

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significa que, en un fluido en reposo, al aumentar la elevación disminuye la altura de

presión.

2.1.- Presión expresada como altura del fluido

En el caso de líquidos almacenados en depósitos abiertos, donde la presión

sometida en superficie es únicamente su presión de vapor

Donde p es la presión a una elevación z. Para el caso de un liquido en reposo es

conveniente medir las distancias verticalmente hacia abajo desde la superficie libre del

liquido. Si h es la distancia por debajo de la superficie libre del liquido y si a la presión

del aire y vapor en la superficie libre del liquido en la superficie se les da

arbitrariamente un valor igual a cero. Se puede escribir como:

P = h

Si se supone que es constante, existe una relación explícita entre p y h. Esto es la

presión (fuerza por unidad de área) es equivalente a una altura h de algún líquido con

peso específico constante.

Así la presión se puede expresar como la altura de una columna de cualquier fluido

mediante la ecuación:

h = p/

Las unidades de h serán en el S.I., m de columna del líquido correspondiente), así en el

caso del agua h (m.c.a.) = 0.1020 KPa (si g = 9.81 m/s2)

Figura 4

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2.3 Principio de Pascal

Un aumento de presión en un punto de un fluido en reposo y encerrado en un recipiente

se trasmite por igual a todos los puntos del fluido

“Cualquier aumento de presión en la superficie de un fluido se transmite a cualquier

punto del fluido”

Aplicación a la prensa hidráulica:

Se aplica una fuerza F1 a un pequeño émbolo de área S1.

El resultado es una fuerza F2, mucho más grande en el émbolo de área S2. Debido a que

la presión es igual a la misma altura por ambos lados (p1 = p2 = p), se verifica que

Figura 4.1

3 PRESIÓN ABSOLUTA Y PRESIÓN MANOMÉTRICA. .

a) presión absoluta: Si se mide la presión con respecto al cero absoluto.

b) presión manométrica: Si se mide con respecto a la presión atmosférica como base.

Esto se debe a que prácticamente todos los medidores de presión registran cero cuando

están expuesto a la atmósfera, por lo que miden la diferencia entre la presión del fluido

al que están concentrados y la del aire circulante. Si la presión esta por debajo de la

presión atmosférica, se denomina presión de vacío, depresión, y su valor manométrico

es la cantidad por debajo de la presión atmosférica a que se encuentra.

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Todo valor de presión absoluta es positivo,

Se puede deducir la siguiente expresión:

Pabsoluta = patmosferica + prelativa

Donde prelativa puede tener valor positivo o negativo.

La presión atmosférica se conoce también como presión barométrica y varia con la

elevación por encima del nivel del mar. También en un punto dado varia ligeramente

con el tiempo debido a variaciones en las condiciones meteorológicas.

Las propiedades de los líquidos no suelen estar muy afectadas por la presión, por lo

que la presión relativa se utiliza comúnmente en problemas relacionados con líquidos.

También, a menudo, se vera que la presión atmosférica aparece en ambos lados de una

ecuación cancelándose a si misma. Por tanto, el valor de la presión atmosférica suele

tener poca importancia al tratarse de líquidos, y, por esta misma razón, en los líquidos

se utilizan las presiones relativas casi universalmente. Prácticamente el único caso en

que se debe tener en cuenta la presión absoluta de un liquido se produce cuando las

condiciones son tales que la presión se acerca o iguala a la presión del vapor saturado.

4.- MEDICIÓN DE LA PRESIÓN

4.1 Medidores de presión absoluta: barómetros

La presión absoluta de la atmósfera se mide mediante un barómetro. Si un

tubo, tiene su extremo abierto inmerso en un liquido que está expuesto a la presión

atmosférica, y si se extrae el aire del tubo, el liquido subirá dentro de él. Si el tubo es

suficientemente largo y si se extrae el aire por completo, la única presión sobre la

superficie del líquido dentro del tubo será la de su propio vapor, y el liquido habrá

llegado a su altura máxima.

Figura 5

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La presión en O dentro del tubo y en a en la superficie del liquido, fuera del tubo

tiene que ser iguales; es decir, po= pa. Utilizando las condiciones de equilibrio estático

del líquido por encima de O en el tubo de área de sección transversal A.

patmosferica A – pvapor A - A y = 0.

patmosferica = y + pvapor

si la presión de vapor es la superficie del liquido dentro del tubo fuera despreciable, la

expresión se reduciría a:

patmosferica = y

El liquido empleado para los barómetros de este tipo suele ser mercurio, por que su

densidad es suficiente para permitir el uso de un tubo relativamente corta, y también

porque la presión de su vapor es despreciable a temperaturas ordinarias. Si se utilizase

otro liquido, el tubo resultaría tan alto que seria incomodo y la presión de su vapor seria

significativa a temperaturas ordinarias; por lo que la obtención de un vacío casi perfecto

en la parte alta de la columna no seria posible. La altura alcanzada por el liquido seria

por tanto menor que la altura barométrica verdadera y obligaría a la corrección de la

lectura. Para conseguir la media de presión atmosférica más precisa posible al utilizar

un barómetro de mercurio se debe corregir la lectura para tener en cuenta los efectos de

capilaridad y de la presión del vapor.

Un barómetro aneroide mide la diferencia en presión entre la atmósfera y un cilindro

en que se ha hecho el vacío por medio de un diafragma elástico sensible y un

mecanismo de unión articulado.

Dado que la presión atmosférica a nivel del mar va a ser de uso común a lo largo del

curso los valores estándar de la misma son:

101.325 KPa = 1013.25 mbar = 760 mmHg = 10.34 mca.

4.2.- Medidores y transductores de presión.

Existen muchas formas de medir la presión en un fluido y la mayoría de los

medidores miden la diferencia entre la presión de un fluido y la presión atmosférica

local.

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4.2.1.- Tubos piezométricos

Son tubos transparentes de cristal o plástico, rectos o con codo de 90º, de diámetro entre

1 cm y 3 cm y de longitud adecuada para que el líquido pueda subir sin llegar a

rebosarse. Para reducir los errores por tensión capilar y evitar corrección por menisco, el

diámetro del tubo debe ser como mínimo de 1.2 cm.

Fig. 6 Tubos piezométricos

El agujero de conexión entre el tubo piezométrico y el de la tubería debe ser

pequeño, preferiblemente no mayor de 3 mm de diámetro, para evitar la influencia de la

tensión superficial. El tubo se conecta al recipiente en que se quiere medir la presión y

se utiliza para apreciar presiones relativas o manométricas pequeñas y positivas. La

altura del líquido en el tubo da directamente el valor de la altura de presión.

4.2.2.- Manómetro simple

El manómetro simple o manómetro de mercurio en U, es un dispositivo mas

conveniente para la medición de presiones que el piezómetro común ya que este último

no permite medir presiones altas

Fig.7 Manómetro simple

Aunque el mercurio se utiliza habitualmente como el fluido de medida en el

manómetro

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simple, se pueden utilizar también otros líquidos (tetracloruro de carbono, por ejemplo).

Cuando la densidad relativa del fluido de medida se acerca a la del fluido cuya presión

se pretende medir, la lectura aumenta para una presión cualquiera aumentando de esta

manera la precisión del aparato, siempre y cuando se conozcan exactamente las

densidades relativas.

4.2.3.- Manómetros diferenciales

Se usan cuando interesa medir solamente la diferencia entre dos presiones. En

este caso la

densidad del fluido de medida es mayor que la del fluido cuya diferencia de presión se

pretende

Fig. 8 Manómetro diferencial

4.2.4.- Manómetros metálicos

Miden la presión relativa o el vacío respecto a la atmosférica. Como la mayoría

de los medidores de presión miden la diferencia entre la presión del fluido y la presión

atmosférica local, por lo que hay que sumar esta última al valor indicado por el

manómetro para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro

corresponde a un vacío parcial.

4.2.4.1) Tipo Bourdon: (dos tipologias, Tipo c y tipo hélice / espiral): en donde la

presión atmosférica actúa en el exterior y la presión del líquido a medir actúa en el

interior de un tubo curvado de sección elíptica, que cambiará su curvatura al cambiar la

presión dentro del tubo. El extremo móvil del tubo gira la manecilla de un cuadrante

mediante un mecanismo de unión articulado. Así al aumentar la presión en el interior

del tubo, este tiende a enderezarse y el movimiento es transmitido a la aguja indicadora

por un sector dentado y un piñón.

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Fig. 9 Manómetro bourdon

La combinación de un manómetro de presión y de vacío se denomina

manómetro Compuesto.

4.2.4. 2) Fuelle

Es un tubo fino sin soldadura, ondulado, de acero inoxidable o latón, que por

efecto de la

presión se estira o contrae con un desplazamiento considerable. Para conseguir una

mayor duración el y precisión el movimiento está contrarrestado por un muelle.

Fig. 10 Manómetro tipo fuelle

4.2.4.3) Diafragma

Es similar al fuelle en concepto. Está formado por un disco metálico flexible con

la superficie plana o con ondulaciones concéntricas.

Fig.11 Manómetro tipo diafragma

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4.2.5.- Transductores de presión

"Un transductor es un dispositivo que transfiere energía (en cualquier forma) de

un sistema

a otro. El manómetro de Bourdon, por ejemplo, es un transductor mecánico por el hecho

de tener un elemento elástico que convierte la energía del sistema de presión en un

desplazamiento en el sistema mecánico de medida. Un transductor de presión eléctrico

convierte el desplazamiento de un sistema mecánico (normalmente un diafragma de

metal) en una señal eléctrica, bien activamente si genera su propio potencial eléctrico de

salida, bien pasivamente si requiere un potencial eléctrico de entrada que modifica

como función del desplazamiento mecánico".

Una banda extensiométrica se pega a un diafragma de forma que al cambiar la

presión, cambia la deflexión del diafragma, que a su vez cambia el potencial eléctrico de

salida, que se puede relacionar con la presión mediante una calibración correcta.

Fig. 12 Transductor de presión de extensiómetro eléctrico con registrador de cinta.

La presión puede definirse como una fuerza por unidad de área o superficie, en

donde para la mayoría de los casos se mide directamente por su equilibrio directamente

con otra fuerza conocida, que puede ser la de una columna liquida, un resorte, un

émbolo o un diafragma con un resorte o cualquier otro elemento que puede sufrir una

deformación cualitativa cuando se le aplica la presión.

4.2.5.1.- Sensor capacitivo

Consta de dos membranas exteriores y un fluido en contacto con un diafragma sensor,

situado entre las dos armaduras de un condensador.

El fluido transmite la presión soportada por las membranas al diafragma, el cual

se desplaza hacia un lado o hacia otro proporcionalmente a la presión diferencial. Esto

hace que varíe la constante dieléctrica entre las placas del condensador.

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Fig. 13 Sensor capacitivo

4.2.5.2.- Sensor de galgas extensiométricos

Al someter una galga a presión, varía su longitud y su diámetro y en

consecuencia su resistencia eléctrica. Para medir dicha resistencia se conecta la galga a

un puente de Wheatstone. Se suelen conectar 4 (2 a tensión y 2 a compresión) y además

a la misma temperatura, para evitar cambios en R que no se deban a la deformación.

4.2.5.3.- Sensor inductivo. Se basa en que al desplazar un núcleo móvil dentro de una

bobina aumenta la tensión inducida en el arrollamiento secundario.

Fig. 14 Sensor inductivo

4.2.5.4.- Sensor piezoeléctrico.

Se basa en el hecho de que al recibir una presión un material piezoeléctrico (como el

cuarzo o

el titanio de bario), y deformarse físicamente, genera una señal eléctrica.

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5.- FUERZA SOBRE UN ÁREA PLANA

Como es ha comprobado anteriormente, no puede existir una fuerza tangencial

en un líquido en reposo, por lo tanto toda fuerza es normal a la superficie en cuestión.

Si la presión está distribuida uniformemente sobre un área, la fuerza es igual a la presión

por el área y el punto de aplicación de la fuerza está en el centroide del área.

5.1. Pared horizontal

Si el líquido está en reposo, la presión sobre la pared horizontal es la misma en

todos los puntos.

F = p · A = · h · A

Figura 15

5. 2 - Pared plana inclinada

a) Determinación del valor de la Fuerza Aplicada.

Se estudia la fuerza que se ejerce sobre una superficie plana inclinada, en el

siguiente ejemplo; sea una superficie cualquiera A contenida en un plano inclinado que

forma un ángulo con la superficie libre de líquido (SLL). En todos y cada uno de los

puntos de la superficie A, la presión será la debida a la columna del líquido

correspondiente, así en N valdría p = · h

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Figura 16

La fuerza sobre el área infinitesimal N sería;

dF = p · dA = · h · dA = · x · sen · dA;

para calcular la ,fuerza en todo el área, se integra en toda la superficie,

A

F dA ·sen · x ·

Al ser , y constantes en todos los puntos de la superficie analizada y tomamos como

valor x el valor medio de la superficie A que será la xG; la abcisa del centro de gravedad

(G) de la superficie, se obtiene

F = · xG · sen · A; F = · hG · A;

Siendo · hG la presión media en A.

b) Determinación del punto de aplicación de la fuerza.

El punto de aplicación de la fuerza se conoce como el centro de presiones.

Si la superficie es horizontal G (centro de gravedad) y C (centro de presiones

coinciden).

Sin embargo en superficies no horizontales las presiones por debajo del centro

de gravedad son mayores que por encima, (debido a la distribución de fuerzas), lo que

dará una resultante aplicada en un punto C a mayor profundidad que G.

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Figura 17

Si se aplican momentos respecto al eje y

F · xC = A

xF dF · A

x dA) ·sen · x · ·( = A

dA · xsen · 2

Si se sustituye F por su valor, F = · xG · sen · A;

Conociendo que A

dA · x 2 , es el momento de inercia de cualquier superficie A

respecto a su eje y conocido como Iy, resulta:

F · xC = · xG · sen · A · xC = · Iy

Así; A · x

I x

G

yC

A la hora de resolver problemas es mejor expresar el valor de xC en función del

momento de inercia del eje g que pasa por su centro de gravedad y es paralelo al eje y

(no en función del eje y como aparece en la expresión).

Para ello se aplica el teorema de Steiner; Iy = Ig + xG2 · A

Luego la expresión a utilizar será:

·Ax

I xx

G

gGc

La pared vertical es un caso particular de la pared curva = 90ª, luego utilizaremos la

misma expresión

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Figura 18

5.3.- Pared curva

En un área curva, dependerá de la forma de la misma el poder hallar la fuerza resultante

como la suma vectorial de la fuerza horizontal más la vertical.

Superficies curvas regulares

En este caso particular la fuerza horizontal y la vertical están en un mismo plano.

En el caso de paredes curvas con generatrices horizontales, se descompone la superficie

curva (A - B) en escalones infinitesimales, con lo que obtendremos una línea quebrada

que será igual a la superficie curva.

En cualquiera de estos escalones actuarán una componente vertical (dFv) y una

componente horizontal (dFh).

1.- La componente vertical:

dFv = p · dA = · z· b· dx; Fv = B

A

B

A

MM´N´N área b · dx b· · z ·

Fv = · b · área AA´ B´BA

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Figura 19

Que representa la fuerza de gravedad de la masa de líquido que queda sobre la

superficie (AB),

El punto de aplicación de Fv será el centro de gravedad del área AA´ B´BA

2.- Componente horizontal

Para el cálculo de la componente horizontal de la Fuerza en cualquier tipo de curva se

puede resolver mediante la proyección de dicha área sobre un plano vertical normal a la

dirección dada.

Caso particular de curva simétrica en la proyección vertical:

dFh = p · dA´ = · z· b· dz; Fh = 2

1

h2

h1

dz z b · dz b· · z · h

h

2

h - h · b ·

21

22hF

El punto de aplicación C se determina tomando momentos o bien proyectando sobre

A´´ B´´ la superficie AB y calculándole al rectángulo vertical resultante su

correspondiente centro de presiones hc

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Figura 20

·Ax

I xx

G

gGc ;

·Ah

Ih h

G

gGc

puesto que Ig = b · h3 / 12 y el área A = b· h;

h · b ·h

12/ h b·h h

G

3

Gc

G

2

Gc h · 12

hh h

Si la superficie curva, pudiese trazarse una tangente vertical a la misma, existirían dos

fuerzas verticales

Figura 21

La fuerza vertical F1, será proporcional al área MM´ B´ BM

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Figura 20

La fuerza vertical F2 será proporcional al área MM´ A´ AM

Figura 22

BIBLIOGRAFÍA 1.- Mecánica de Fluidos con aplicaciones en Ingeniería. J.B. Franzini; E.J. Finnemore.. MC Graw Hill. 1999. 9ª Ed 2.- Mecánica de Fluidos Incompresibles y Turbomáquinas Hidráulicas. J. Agüera. E.C. 3.- Mecánica de Fluidos Aplicada. R.L. Mott Prentice Hall. 1996 4ª Ed.

PÁGINAS WEB

http://www.ugr.es/~fisicat/Departamento/Apuntes/T_FluidosEstatica.pdf

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f2ap01/apf2_12a_Estatica_Fluidos.php