TEMA 3. Funciones. Calculo diferencial

En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variablereal y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funcionesbasicas, para luego introducir la derivada y considerar algunas de sus aplicaciones.

3.1. Concepto de funcion

Decimos que hay una correspondencia entre dos conjuntos cuando existen unasdeterminadas reglas que permiten asociar elementos del primer conjunto (conjuntoinicial) con elementos del segundo conjunto (conjunto final).

Una aplicacion es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjuntoinicial un unico elemento del conjunto final.

Cuando los conjuntos inicial y final son subconjuntos de R, hablamos de fun-ciones reales de variable real. Por tanto una funcion de variable real f(x) es unaaplicacion f : D R, de tal forma que a cada elemento x D le hacemos corres-ponder un unico numero real f(x). Al conjunto D, un subconjunto de los numerosreales, se le llama dominio de la funcion y se suele denotar por Dom(f). Se lla-ma imagen o recorrido de la funcion al conjunto de todos los valores que tomala funcion, es decir Im(f) = {f(x) : x D}. El conjunto de puntos del planoG = {(x, f(x)) : x D} se llama grafica de la funcion.

x

y

y = f(x)

(x, f(x))

Dada una funcion f(x) es siempre importante saber determinar su dominio, esdecir, el conjunto de puntos para los que tiene sentido.

1

23.2. Propiedades de las funciones

Las funciones de variable real con las que solemos trabajar disfrutan de diversaspropiedades. A continuacion veremos algunas de las basicas.

Acotacion. Una funcion f esta acotada superiormente si sus imagenes no superancierto valor, esto es, cuando existe M R tal que f(x) M , para cualquier x deldominio de f . Se dice que M es una cota superior.

De la misma forma, la funcion f esta acotada inferiormente si sus imagenessuperan siempre un cierto numero, es decir, si existe m R de tal forma quef(x) m, para todo x en el dominio de f .

Decimos que una funcion f esta acotada si lo esta superior e inferiormente. Estoequivale a que existe M 0 de tal forma que |f(x)| M , para todo x del dominiode la funcion.

Ejemplos. La funcion f(x) = x2 1 solo esta acotada inferiormente (f(x) 1)mientras que la funcion g(x) = 1 x2 lo esta solo superiormente (g(x) 1). Lafuncion h(x) =

1

1 + x2esta acotada (|h(x)| 1)y la funcion l(x) = x no esta acotada

ni superior ni inferiormente.

-1

-1 1

y=x-12

1

-1 1

y=1-x2

1

y=1 1+x/( )2 y=x

Periodicidad. Una funcion es periodica de periodo T (T 6= 0) cuando para todox del dominio, se tiene que x + T esta en el dominio y f(x + T ) = f(x). Se llamaperiodo fundamental de f al periodo mas pequeno de f .

Ejemplo La funcion f(x) = sen x es una funcion periodica de periodo fundamental2pi.

3p

2

3p

2

3p

2

p

2

p 2p

2p- - - -

1

1

-

p

Simetras. Se dice que una funcion f es par cuando, para cada x de su dominio,x es tambien del dominio y se satisface f(x) = f(x). En este caso, la grafica dela funcion es simetrica respecto al eje de ordenadas.

Decimos que una funcion f es impar cuando, para cada x de su dominio, xpertenece tambien al dominio y se verifica f(x) = f(x). En este caso, la graficade la funcion es simetrica respecto del origen de coordenadas.

Ejemplos

-x

f( )

Funcinpar Funcinimpar

1 4

-1-4-x

f( )

-f( )x

x

x

x

x

Algunas de las funciones con las que trabajaremo usualmente son pares o impares,pero tambien existen muchas funciones que no son ni pares ni impares, como f(x) =x2 + x.

Crecimiento y decrecimiento. Supongamos que f es una funcion real de variablereal e I un intervalo contenido en su dominio.

f es creciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de I tales que x1 < x2,se tiene f(x1) f(x2).f es decreciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de I tales que x1 < x2,se tiene f(x1) f(x2).f es estrictamente creciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de I talesque x1 < x2, se tiene f(x1) < f(x2).

f es estrictamente decreciente en I si para cada par de numeros x1, x2 de Itales que x1 < x2, se tiene f(x1) > f(x2).

4Decimos que f es monotona en I cuando es creciente, decreciente o constanteen el intervalo.

Ejemplos. La funcion en (a) es creciente en el intervalo I y es estrictamente cre-ciente en I. En la figura (b) podemos observar que la funcion es decreciente en I yestrictamente decreciente en el intervalo I.

1 2

(a)

f(x)1

3

f(x)=2 f(x)3

II

(b)

1 2

f(x)1

3

f(x)=2 f(x)3

II

xxxxxx

Maximos y mnimos. Se dice que un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcionf es un maximo absoluto de f cuando f(x0) es el mayor valor que toma f en sudominio, esto es, f(x0) f(x), cuando x pertenece al dominio.

Analogamente, decimos que un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcion f esun mnimo absoluto de f cuando f(x0) es el menor valor que toma f en su dominio,es decir, f(x0) f(x), para cada x del dominio.

Un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcion f es un maximo relativo si f(x0)es el mayor valor que toma f cerca del punto x0.

Un punto (x0, f(x0)) de la grafica de la funcion f es un mnimo relativo si f(x0)es el menor valor que toma f cerca de x0.

Ejemplo.

1 2 3

4

M

m ba x

xxx

En la grafica de la funcion f se observa que el dominio de f es [a, b]. El punto(M, f(M)) es el maximo absoluto, mientras que los puntos (x1, f(x1)) y (x3, f(x3))son maximos relativos. Asimismo, el punto (m, f(m)) es el mnimo absoluto, mien-tras que los puntos (x2, f(x2)) y (x4, f(x4)) son mnimos relativos.

53.3. Funciones elementales

A continuacion vamos a analizar las caractersticas de algunas funciones basicascon las que solemos trabajar.

Funciones polinomicasSon funciones definidas en terminos de un polinomio de grado n, es decir:

f(x) = anxn + an1x

n1 + + a1x+ a0,

siendo n 1 y a0, a1, , an R. El dominio de estas funciones es siempre R,pero sus propiedades dependen del grado n y de los coeficientes.

Las operaciones usuales, suma, resta y producto de funciones polinomicas sonnuevamente funciones polinomicas. Sin embargo, el cociente de funciones polinomi-cas no es, en general, una funcion polinomica.

Analicemos las caractersticas mas importantes cuando n = 1 y n = 2.

n = 1 (Lineal) Las funciones cuya representacion grafica es una recta se suelen

llamar lineales (con mas precision, se suele llamar lineales cuando las rectas pasanpor el origen y afines cuando no). Su expresion es de la forma y = mx + n, siendom la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.

y=mx+n

P(0,n)

Las rectas de la forma y = a son rectas horizontales (de pendiente 0), mientrasque las rectas de la forma x = a, son verticales (y por tanto no se trata de funciones).

n = 2 (Cuadratica) Una funcion cuadratica en una funcion polinomica que viene

dada por un polinomio de grado 2. Dada una funcion cuadratica de la forma y =ax2 + bx+ c, su grafica es una parabola con las siguientes caractersticas:

- Si a > 0 las ramas van hacia arriba y si a < 0 hacia abajo.- Las abcisas de los puntos de corte de la parabola con el eje OX son las soluciones

de la ecuacion ax2 + bx + c = 0. Por tanto, el numero maximo de puntos de cortecon el eje OX es de 2, pudiendo darse el caso de que exista solo 1 o incluso, ninguno.Con el eje OY la parabola siempre se corta en el punto P = (0, c).

- En el vertice la parabola presenta un maximo o mnimo, segun sea a negativo

o positivo. La abcisa del vertice viene dada por x = b2a

.

6y=ax +bx+c2

a>0

a0k

7- Si a > 1 entonces la funcion es estrictamente creciente, converge a 0 cuando xtiende a y crece a infinito cuando x +. En este caso, cuanto mayor sea labase a, mas rapido es el crecimiento de la funcion.

- Si a (0, 1) la funcion es estrictamente decreciente, tiende a infinito cuando xtiende a y converge a 0 cuando x toma valores grandes. Ademas se tiene quecuanto mas pequeno es el valor de la base a, mas rapido converge a 0.

Se observa tambien que las graficas de las funciones y = ax e y =1

a

x

son

simetricas respecto al eje OY .

1

a11

y=a

a

=

1x

xx x

y

Funcion logartmicaLa funcion y = loga x, siendo a un numero positivo distinto de 1, es la funcion

inversa de la funcion exponencial y = ax, esto es,

y = loga x, si y solo si x = ay.

As log2 8 = log2 23 = 3, log1/2 4 = 2, log7 7 = 1 y log5 1 = 0.

Como funcion inversa de la exponencial, se concluye que el dominio de la fun-cion logartmica es (0,+) y su recorrido R. Queda claro entonces que no tienensignificado expresiones como log

2(3), log

20, log2 3, log1 8.

Las bases mas usadas son a = 10 y a = e. Si no se indica la base, se entiendeque es a = 10 y se trata del logaritmo decimal; por ejemplo log 100 = 2. Para el casoa = e, se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural y se escribe de cualquierade las siguientes maneras:

loge x = lnx = Lx.

Teniendo presente que las graficas de una funcion y su inversa son simetricas respectoa la recta y = x, podemos obtener la grafica de la funcion logartmica a partirde la correspondiente exponencial. De esta forma, tambien en este caso la base acondiciona la forma de la grafica.

- Si a > 1 entonces es estrictamente creciente, y si x 0 por la derecha, lafuncion tiende a y cuando x + , la funcion tiende a +.

- Si 0 < a < 1 la funcion f es estrictamente decreciente, tiende a + cuando xconverge a 0 (por la derecha) y tiende a cuando x toma valores muy grandes.

Se tiene, ademas, que las graficas de las funciones y = loga x e y = log1/a x sonsimetricas respecto al eje OX.

8y=loga

y=log1/a

y=a

1

y=loga

a >1

1

y=logaa

9p

2

3p

2

3p

2

p

2

p

p 2p

2p

- - - -

1

1

-

3.4. Composicion de funciones

A partir de todas las funciones anteriores podemos generar infinitas mas mediantecombinaciones de ellas, por ejemplo sumandolas o restandolas, multiplicandolas odividiendolas (esto ultimo solo cuando el denominador no se anule).

Pero hay una operacion mas importante: la composicion de funciones, que nospermite generar infinidad de funciones mas. Dadas f(x) y g(x), la composicion f gse define como

(f g)(x) = f(g(x)).Es decir, aplicamos primero g(x) y al resultado le aplicamos f . El dominio de f gesta formado por aquellos puntos x del dominio de g tales que g(x) esta en el dominiode f .

Ejemplo 1. (a) Si f(x) = ex y g(x) = cosx, tenemos

(f g)(x) = f(g(x)) = f(cosx) = ecos x

(g f)(x) = g(f(x)) = g(ex) = cos(ex).En particular, vemos que f g y g f no coinciden en general.(b) Vamos a determinar el dominio de la funcion

f(x) = log(x+ 2).

Notese que f = g h, donde g(x) = log x y h(x) = x+ 2.La funcion x+2 esta definida en todo R, pero para que el logaritmo tenga sentido

necesitamosx+ 2 > 0.

Por tanto,Dom(f) = (2,+).

(c) Sea f(x) =

log(2x). En primer lugar necesitamos que x > 0, para que ellogaritmo tenga sentido. Ademas, solo podemos calcular races de numeros positivos(o cero), con lo que necesitamos

log(2x) 0, es decir 2x 1.

Luego el dominio es el intervalo

1

2,+

.

10

3.5. Concepto de derivada de una funcion

Analizaremos en esta seccion la derivada de una funcion de una variable. Uno delos lugares en los que surge la necesidad de calcular la derivada es en la determinacionde rectas tangentes a una curva: si tenemos una curva y = f(x), calcularemos lapendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = a, como lmitede las pendientes de rectas secantes. Las pendientes de las rectas secantes son:

f(a+ h) f(a)h

,

donde h 6= 0 (vease la figura).

Cuando al tomar valores cada vez mas pequenos de h, las pendientes anterioresse acercan a un valor, este se llama la derivada de la funcion f(x) en x = a, y sedenota por

f (a) = lmh0

f(a+ h) f(a)h

.

Decimos que la funcion f(x) es derivable en x = a.Puesto que f (a) es la pendiente de la recta tangente a la grafica de y = f(x) en

el punto x = a, la ecuacion de tal recta es y f(a) = f (a)(x a).Ejemplo 2. (a) Para la funcion f(x) = x2 tenemos, en un punto a arbitrario:

f(a+ h) f(a)h

=(a+ h)2 a2

h=

(a2 + 2ah+ h2) a2h

=2ah+ h2

h= 2a+ h.

Por tanto:

f (a) = lmh0

f(a+ h) f(a)h

= lmh0

(2a+ h) = 2a.

11

(b) Si f(x) =x, tenemos, para a > 0:

f(a+ h) f(a)h

=

a+ ha

h=

a + ha

h

a+ h +

a

a+ h +a

=(a+ h) a

h(a+ h+

a)

=1

a+ h+a.

Por eso:

f (a) = lmh0

1a + h+

a=

1

2a.

Observemos que esta derivada tiene sentido solamente cuando a > 0.

Observacion 1. Otra situacion tpica donde nos encontramos con el concepto dederivada es en la definicion de velocidad instantanea. Supongamos que un movil sedesplaza a lo largo de una recta, de forma que su posicion en el instante t esta dadapor e(t). Para h > 0, la velocidad media del movil en el intervalo [t, t+ h] es

e(t+ h) e(t)h

y por tanto la velocidad instantanea en el tiempo t se obtendra al hacer h 0, conlo que esta coincide con la derivada e(t).

Decimos que una funcion es derivable en un intervalo abierto (a, b) cuando lo esen todos sus puntos.

En general, usaremos la notacion estandar f (x) para representar a la derivadade la funcion y = f(x) en el punto x, pero hay otras formas de denotar la derivada,por ejemplo:

y,dy

dx,df

dx(x), Dxy, Dxf(x).

3.6. Calculo de derivadas

Para calcular derivadas de funciones, normalmente no hacemos uso de la defini-cion a traves del lmite. Es mas practico elaborar una tabla con las derivadas delas funciones elementales mas usadas. Las derivadas de las funciones mas habitualesson:

(xn) = nxn1, n R \ {0}(ex) = ex

(ln x) =1

x(sen x) = cosx

(cosx) = sen x(tg x) =

1

cos2 x.

12

Para poder derivar funciones son utiles las siguientes reglas operacionales.

Propiedades Si f(x) y g(x) son derivables, entonces:

1. (kf(x)) = kf (x), k R;2. (f(x) g(x)) = f (x) g(x);3. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g(x);

4.

f(x)

g(x)

=f (x)g(x) f(x)g(x)

g(x)2.

Ejemplo 3. (a) f(x) =1

23x2

. Escribimos f(x) como una potencia: f(x) = 12x

2

3 .

Por tanto:

f (x) =1

2

23

x2

31 = 1

3x

5

3 = 13 35.

(b) Para f(x) = x3 4x+ 5, tenemos f (x) = 3x2 4.(c) Cuando f(x) = 3x2 sen x 2x cosx, obtenemos

f (x) = 6x sen x+ 3x2 cosx 2 cosx+ 2x sen x= 8x sen x+ (3x2 2) cosx.

(d) f(x) =5x 2x2 + 1

:

f (x) =5(x2 + 1) 2x(5x 2)

(x2 + 1)2=

5x2 + 5 10x2 + 4x(x2 + 1)2

=5x2 + 4x+ 5

(x2 + 1)2.

(e) f(x) = x sen xex. Utilizando la formula para la derivada de un producto dosveces:

f (x) = sen xex + x(sen xex) = sen xex + x(cos xex + sen xex)

= sen xex + x cosxex + x sen xex = ex((1 + x) sen x+ x cosx).

Uno de los resultados mas importantes a la hora de derivar es la regla de lacadena, que nos indica como se deriva una funcion compuesta.

Teorema 4. Si f(x) y g(x) son derivables, entonces (f g)(x) tambien lo es, yademas:

(f(g(x)) = f (g(x))g(x).

13

Ejemplo 5. (a) Cuando f(x) = (x2 + 1)3,

f (x) = 3(x2 + 1)2 2x = 6x(x2 + 1)2.

(b) f(x) = tg(3x):

f (x) =1

cos2(3x) 3 = 3

cos2(3x).

(c) f(x) = sen3(4x):

f (x) = 3 sen2(4x) cos(4x) 4 = 12 cos(4x) sen2(4x).

(d) f(x) = ex3

:

f (x) = ex3 3x2 = 3x2ex3.

(e) f(x) = log(2x2 + x 1):

f (x) =1

2x2 + x 1 (4x+ 1) =4x+ 1

2x2 + x 1 .

(f) f(x) = cos(log(tg(3x))):

f (x) = sen(log(tg(3x))) 1tg(3x)

1cos2(3x)

3

= 3 sen(log(tg(3x)))sen(3x) cos(3x)

.

3.7. Derivadas de orden superior

En algunas situaciones es necesario derivar una funcion mas de una vez. Por ellose definen las derivadas de orden superior: la derivada segunda de una funcion f(x)se define como la derivada de la funcion derivada:

f (x) = (f (x)),

y analogamente las derivadas tercera, cuarta, etcetera.

Ejemplo 6. Si queremos calcular la derivada tercera de la funcion f(x) = x32x+1 + xex

2 sen x, obtenemos:f (x) = 3x2 2 + ex2 + 2x2ex2 cosx

f (x) = 6x+ 2xex2

+ 4xex2

+ 4x3ex2

+ sen x

f (x) = 6 + 2ex2

+ 4x2ex2

+ 4ex2

+ 8x2ex2

+ 12x2ex2

+ 8x4ex2

+ cos x

= 6 + (8x4 + 24x2 + 6)ex2

+ cosx .

14

3.8. Derivacion implcita

Las funciones no siempre vienen definidas explcitamente en la forma y = f(x),sino que estan dadas a traves de una relacion del tipo F (x, y) = 0. Por ejemplo:

x2 2y3 + 4y = 2.Para calcular la derivada de y respecto a x no es necesario despejar y en esta relacion.Basta derivar en la expresion dada, teniendo en cuenta que y = y(x) y usar la reglade la cadena. As, para la funcion anterior:

2x 6y2y + 4y = 0,de donde

y =2x

6y2 4 =x

3y2 2 .

Ejemplo 7. Para hallar la ecuacion de la recta tangente a la elipse x2 +4y2 = 4 enel punto (

2, 1

2), derivamos implcitamente: 2x+ 8yy = 0, es decir,

y =2x8y

= x4y.

En el punto x =2, y = 1

2, tenemos y = 1/2 y por tanto la ecuacion de la recta

tangente es

y +12=

1

2(x

2),

es decir, y = 12x2.

3.9. Aplicaciones de la derivada

Veamos finalmente algunas de las multiples aplicaciones que tiene la derivada,entre otras cosas a problemas geometricos y fsicos.

Calculo de rectas tangentes y normalesTal y como hemos visto, una de las motivaciones del calculo de derivadas es la

determinacion de rectas tangentes a una curva en cualquiera de sus puntos.

Ejemplo 8. Hallar en que puntos de la curva y = x3 9x2 + 21x la tangente esperpendicular a la recta de ecuacion x 3y + 2 = 0.

La recta dada tiene pendiente m = 4/3 y por tanto sus perpendiculares tendranpendiente m = 3/4. Derivamos en la ecuacion de la curva:

y = 3x2 18x+ 21.Por tanto necesitamos que 3x2 18x+ 24 = 0. Las soluciones de esta ecuacion sonx = 2 y x = 4, que corresponden a los valores y = 14 e y = 4. As, los puntospedidos son

(2, 14) y (4, 4).

15

Crecimiento y decrecimientoLos intervalos de crecimiento o decrecimiento de una funcion real se pueden

determinar con ayuda de las derivadas. Mas precisamente, dada una funcion f(x)derivable en el intervalo (a, b), se tiene:

si f (x) > 0 para todo x (a, b), f(x) es creciente en dicho intervalo;si f (x) < 0 para todo x (a, b), f(x) es decreciente en dicho intervalo.

Tambien hay una relacion entre las derivadas y los maximos y mnimos locales:

si f (a) = 0 y f (a) < 0, entonces f(x) tiene un maximo maximo local enx = a;

si f (a) = 0 y f (a) > 0, f(x) tiene un mnimo local en x = a.

Lo anterior muestra que para determinar los maximos y mnimos locales de unafuncion derivable tenemos que hallar las soluciones de la ecuacion f (x) = 0. Estasnos daran los candidatos a maximos y mnimos locales, y tendremos que comprobarel signo de la derivada segunda para decidir.

Observacion 2. Hay que tener mucho cuidado a la hora de calcular los maximosy mnimos globales de una funcion en un intervalo [a, b]. De hecho, puede ocurrirque los puntos en los que se anula la derivada sean solamente maximos y mnimoslocales, mientras que el maximo o mnimo global puede alcanzarse en los extremosdel intervalo. Es justamente lo que ocurre para la funcion cuya grafica aparece en lafigura.

16

Ejemplo 9. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, as como losmaximos y mnimos de la funcion racional

f(x) =x+ 1

(x 1)3 , x R \ {1}.

En primer lugar, calculamos la derivada:

f (x) =(x 1)3 3(x 1)2(x+ 1)

(x 1)6 =x 1 3(x+ 1)

(x 1)4 = 2x+ 2

(x 1)4 .

Como el denominador es siempre positivo, el signo de la derivada depende solo delnumerador. Por tanto, f (x) > 0 cuando x < 2, f (x) = 0 si x = 2 y f (x) < 0si x > 2, x 6= 1. De esta forma vemos que la funcion es creciente en el intervalo(,2) y decreciente en (2, 1) y en (1,+). Se alcanza un mnimo local enx = 2, que sin embargo no es absoluto, puesto que la funcion se va a menosinfinito cuando x tiende a 1 por la izquierda. Tampoco hay maximos absolutos yaque la funcion se va a mas infinito cuando x tiende a uno por la derecha. La graficade la funcion es aproximadamente como se muestra en la figura.

Problemas de optimizacionMuchos problemas practicos se reducen a la determinacion de maximos y mni-

mos de una funcion de variable real. Por ejemplo, en muchas situaciones se tratade determinar las dimensiones de un recipiente (con una forma determinada) paramaximizar o minimizar alguna de sus caractersticas: volumen, coste, etc. Lo veremoscon un ejemplo.

Ejemplo 10. Los botes ordinarios de cerveza, refrescos, etc., son de forma cilndricay tienen una capacidad de 1/3 de litro. Se pide calcular las dimensiones optimas paraque el coste del material empleado en su construccion sea mnimo.

17

Si r es el radio del cilindro y h su altura (vease la figura), la superficie total es

S = 2pir2 + 2pirh.

Si medimos r y h en centmetros, por ejemplo, y tenemos en cuenta que un litroequivale a 1000 cm3, tenemos una relacion entre r y h, que viene dada por la condi-cion de que el volumen sea 1000/3 cm3:

pir2h =1000

3.

Por tanto, se trata de minimizar la funcion

S(r) = 2pir2 +2000

3r.

Claramente, debe tenerse 0 < r 0. Puesto que S(r) se vaa infinito cuando r tiende a cero o a infinito, resulta que el mnimo es global, y lasdimensiones pedidas son entonces r = 376 cm, h = 752 cm.

Ritmos relacionados.Una aplicacion relevante de la regla de la cadena es determinar velocidades de

cambio de dos o mas variables relacionadas que dependen del tiempo.

Ejemplo 11. En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondascirculares, como se muestra en la figura:

18

El radio r del crculo exterior crece a un ritmo constante de 1 m/s. Cuando elradio es de 4 m, a que ritmo esta cambiando el area de la region perturbada?

En este problema, las variables r y A estan relacionadas por A = pir2, y ambasdependen del tiempo t. Usando la regla de la cadena, tenemos

dA

dt= 2pir

dr

dt.

Perodr

dt= 1, as que cuando r = 4, tenemos

dA

dt= 8pi m2/s.