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Curso 2006/2007Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla 1

Tema 3: Fuerzas eléctricas y campo eléctrico

Fundamentos Físicos de la IngenieríaIngeniería IndustrialPrimer curso

Curso 2006/2007 Dpto. Física Aplicada III 2/50

Índice

IntroducciónCarga eléctricaLey de CoulombPrincipio de superposiciónCampo eléctrico

Campo de cargas puntualesCampo de distribuciones continuas de cargaLíneas de campo eléctricoMovimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss


Introducción

“elektron” es un vocablo griego que significa ámbarAl frotar el ámbar éste atrae pequeños objetos (pajitas, plumas,…)La electricidad es un fenómeno muy presente en la vida diaria:

Fenómenos de electricidad estáticaIngeniería:Máquinas y motores eléctricos


Carga eléctrica

Evidencia experimental:Dos barras de plástico frotadas con piel se repelenDos barras de vidrio frotadas con seda se repelenLa barra de vidrio y la de plástico se atraen

Se dice que las barras están cargadasHay dos tipos de carga:

Carga positivaCarga negativa


Propiedades de la cargaCuantización

La carga está cuantizada:Donde e es la unidad fundamental de carga y coincide con el valor absoluto de la carga del electrón Usualmente N es muy grande

Conservación de la cargaUnidades: culombio (C)Ejemplo: carga que se trasvasa al frotar dos objetos es del orden de 50 nC:

Q Ne= ±

191.60 10e −= × C

911

-19

50 50 103 10

1.60 10N

e

−×= = ≈ ×

×nC C

C


Aislantes y conductores

Clasificación de la materia atendiendo a sus propiedades de conducción eléctricaConductores: la carga puede desplazarse por su interior con facilidad

Ejemplo: metales

Aislantes: La carga no puede moverse libremente

Cuando se cargan por frotación la carga queda confinada en la región frotada.Ejemplos: vidrio, caucho, madera.


Índice



Ley de Gauss


Ley de Coulomb

Fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra

Está dirigida a lo largo de la línea que las uneDisminuye con el cuadrado de la distancia que separa las cargasEs proporcional al producto de las cargasEs repulsiva para cargas del mismo signo y atractiva para cargas de signo contrario

Balanza de torsión


Ley de Coulomb

Representación matemática:

1 212 122

12

ˆq q

F k rr

=

2 1 1212

2 1 12

ˆr r r

rr r r

−= =

−

98.99 102

2

Nm

Ck = × Constante de Coulomb

Medida experimentalmente

12F


Principio de superposición

Cuando tenemos un sistema de cargas la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas

individuales ejercidas por cada una de las demás

cargas

Principio experimental


Índice



Ley de Gauss


Campo eléctrico: introducción

La fuerza entre cargas puede verse como una acción a distancia.Una visión alternativa es la del campo eléctrico:

Una carga crea un campo eléctrico en todo el espacio: magnitud vectorialEl campo eléctrico ejerce una fuerza sobre otras cargas


Campo eléctrico: definición

En un punto colocamos una carga de prueba: q0

No perturba la distribución de cargas original (q0→0)Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula

0

FE

q=

Magnitud vectorial

Dirección de

Independiente de q0

Unidades: N/C

F1q

2q

0q

10F

20F

F


Campo de una carga puntual

• Tenemos una carga puntual qi

• Situamos una carga de prueba q0

• Ley de Coulomb:

00 2

ˆii ip

ip

q qF k r

r=

0

0

ii

FE

q= 2

ˆii ip

ip

qE k r

r=

iprpr

0q

iriq

Oi Punto fuente

p Punto campo

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL

x y

z

iE


Campo eléctrico de unadistribución de cargas puntuales

Principio de superposición para el campo eléctrico

Es una consecuencia del principio de superposición para la fuerzaEl campo eléctrico de la distribución de cargas es la suma vectorial de los campos de cada carga puntual3r

3q

1r1q

O

2r2q

pr

2ˆi

p i ipi i ip

qE E k r

r= =∑ ∑x y

z


Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga

Las distribuciones de carga son siempre discretas (cuantización de la carga)Cuando un punto de la distribución de cargas contiene un número muy alto de cargas discretas la distribución puede tratarse como una distribución continua de cargaEjemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan como distribuciones continuas de masa

0lim ii

mV

m dm

V dVΔ →ρ = =

Δ∑VΔ

m m

V

dm dV m dV= ρ → = ρ∫x y

z


Distribución volumétrica de carga

x y

zdq dV= ρ

r

2ˆ

dqdE k r

r=V

P

2ˆ

V

dqE k r

r= ∫

Campo debido a un dq:

Campo total debido a la distribución en V :

Distribución volumétrica de carga:

dq dV= ρ 2ˆ

V

dVE k r

r

ρ= ∫

Densidad de carga:ρ


Distribuciones superficial y lineal de carga

Distribución superficial de carga:

Distribución lineal de carga:

x y

z

x y

z

dq dS= σ

r P2ˆ

S

dSE k r

r

σ= ∫

dl

dq dl= λ 2ˆ

L

dlE k r

r

λ= ∫

rP


Ejemplo: Campo sobre el eje de una carga lineal finita

2 2( ) ( )xP P

kdq k dxdE

x x x x

λ= =

− −

2( )

L

x LP

dxE k

x x−= λ

−∫Pu x x

du dx

= −= − 2

P

P

x L

x L

duk

u

−

+= − λ∫

2 2 2 2

1 1 2x

P P P P

kL kQE k

x L x L x L x L

⎛ ⎞ λ= λ − = =⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

Px L>

x

y

dx

x

Px

P

LL−

2

Q

Lλ =Distribución uniforme:

xdE


Índice



Ley de Gauss


Líneas de campo eléctrico

Representación gráfica para visualizar el campo eléctrico

El campo eléctrico es tangente a la línea de campoEl módulo del campo eléctrico es mayor cuanto más próximas están las líneas de campo


Ejemplo: carga puntual

Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero existe el campo en todo el espacioRepresentación bidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo


Ejemplo: carga puntual

Sólo dibujamos un número finito de líneas, pero existe el campo en todo el espacioRepresentación bidimensional de un campo tridimensionalLínea de campo no equivale a trayectoria de una carga en ese campo


Dos cargas positivas iguales


Cargas iguales con distinto signo: dipolo eléctrico


Reglas para representar líneas de campo

Salen de las cargas positivas y terminan en las negativasSi hay exceso de carga positiva debe haber líneas que acaban en el infinitoSi hay exceso de carga negativa debe haber líneas que salen del infinitoPara cada carga puntual las líneas se dibujan entrando o saliendo de la carga y:

Uniformemente espaciadasEn número proporcional al valor de la carga

Dos líneas de campo no pueden cruzarse


Ejemplo:Exceso de carga positiva: líneas que terminan en el infinito

Salen 16 líneas equiespaciadas

Entran 8 líneas equiespaciadas

Líneas salen de la carga positiva y entran en la carga negativa


Líneas a distancias grandes

A distancias grandes comparadas con la mayor distancia entre cargas del sistema:

Líneas igualmente espaciadasLíneas radiales

Equivalen a las líneas de una sola carga puntual con carga igual a la carga neta del sistema


Índice



Ley de Gauss


Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de un campo eléctrico:

Segunda Ley de Newton:

Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado

q EF qE=

F ma qE= =q

a Em

=


Ejemplo 1: electrón en campo uniforme

q e= −

E

F eE= −F eEi ma= − =

2

2

eE d xa

m dt= − =

0( ) (0)

tv x v adt at− = =∫

0 eEv t

m= −

dx

dt=

2

0 0 2

t tx x atdt a− = =∫

20 2

eEx x t

m= −

Movimiento uniformemente acelerado

x

y


Ejemplo 2: electrón con velocidad perpendicular al campo

q e= −

E

F eE= −

x

y

Eje y : movimiento rectilíneo uniforme

Eje x : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

La trayectoria del electrón es una parábola, análogamente a la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un

campo gravitatorio (tiro parabólico)

0 0y y v t= +

20 2

eEx x t

m= −

0v


Índice



Ley de Gauss


Ley de Gauss

Ley general del electromagnetismoÚtil para calcular campos eléctricosSólo puede aplicarse para tal fin en situaciones en que la distribución de cargas tenga una alta simetría


Flujo eléctrico

Magnitud proporcional al número de líneas de campo que atraviesan una superficieSupongamos E uniforme y superficie perpendicular

E EAΦ =

A' 'E xE x= →Φ = Φ' 'A nA n= →Φ = Φ

El flujo aumenta o disminuye proporcionalmente al número de líneas de campo que atraviesan la superficie

Definimos:

Si

Si

FLUJO


E

Flujo eléctrico

Supongamos una superficie no perpendicular:

2A

1A

n̂

θ

1 2 cosEA EAΦ = = θ

E AΦ = ⋅En general: ˆ cosE A E nA EAΦ = ⋅ = ⋅ = θ

A1 es perpendicular a las líneas de campo

A1 es atravesada por el mismo número de líneas de campo que A2 :


Flujo eléctrico

Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme

E în

iAΔ

Tomamos tan pequeña que pueda considerarse:

Superficie plana

Campo eléctrico uniforme

iAΔ

î i i iE n AΔΦ = ⋅ Δ

î iiE n AΦ ≈ ⋅ Δ∑ˆ

S SE ndA E dAΦ = ⋅ = ⋅∫ ∫

Flujo total: ; en el límite : 0iAΔ →


Flujo en una superficie cerrada

Es aquella superficie que divide el espacio en dos regiones: interior y exteriorA la hora de calcular el flujo en una superficie cerrada se toma por convenio el vector hacia fuera de la superficie:

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional al número neto de líneas que salen del volumen

ˆSE ndAΦ = ⋅∫

n̂

n̂


Ley de Gauss

Suponemos una carga puntual en el centro de una esfera de radio R

El flujo es independiente de REl flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera

2ˆ n

QE n E k

R⋅ = =

24R R

n nS SE dA E dA E RΦ = ⋅ = = π∫ ∫

Radial

4 kQΦ = π

Q

RS

R


Ley de Gauss

Q

Supongamos otras superficies no necesariamente esféricas:

A todas las superficies las atraviesa el mismo número de líneas

Mismo flujo neto para todas las superficies:

4 kQΦ = π

RS1S

2S


Ley de Gauss

Supongamos un sistema de cargas:Principio de superposición:

Para la carga exterior:S

3q

1 2 1 2( )S

E E dAΦ = + ⋅ = Φ +Φ∫1 24 ( )k q qΦ = π +

3 3 0SE dAΦ = ⋅ =∫ Todas las líneas de campo

que entran por un punto de la superficie salen por otro

1q 2q


Enunciado de la Ley de Gauss

El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es veces la carga neta dentro de la superficie

4 kπ

int4nS SE dA E dA kQΦ = ⋅ = = π∫ ∫

A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la permitividad del espacio libre:

0

14 kπ =

ε12

0 8,85 102

2

C

Nm−ε = ×con int

0

QΦ =

ε


Aplicaciones de la Ley de Gauss

Es una Ley válida para cualquier superficie y cualquier distribución de cargaA veces es útil para determinar el campo eléctrico debido a una distribución de carga que tiene un alto grado de simetríaLa técnica consiste en emplear la ecuación de la Ley de Gauss buscando una superficie de integración (superficie gaussiana) tal que el campo eléctrico pueda salir fuera de la integral

Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante ó nulo


Simetría esférica

Carga puntualSimetría: campo radialSuperficie gaussiana: esfera de radio r

24 4r r

n n nS SE dA E dA E r kqΦ = = = π = π∫ ∫

2n

qE k

r=

rS

rˆnE E n=


Simetría esférica

Esfera de radio R con carga Q uniformemente distribuida en su volumen

Superficie gaussiana: esfera de radio r

r R> r R<4

rnS

E dA kQΦ = = π∫24nE rΦ = π

2n

QE k

r=

33

int 34 3

rq r Q

R= ρ π =

34 3

Q

Rρ =

π

2int4 4nE r kqΦ = π = π

3n

kQE r

R=


Esfera con carga uniforme en volumen


Simetría cilíndrica

Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ( )Simetría: campo radial que depende de la distancia a la líneaSuperficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con la línea de carga

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆLS S S

E ndA E ndA E ndA E ndAΦ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫1S

2SLS

int

0

2n

qE rLΦ = π =

ε 0

Lλ=ε

0

1

2nEr

λ=

πε

r

λ


Simetría plana

Plano infinito uniformemente cargadoSimetría: perpendicular al plano e impar en zSuperficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A

x y

z n̂

n̂

( )E z

( )E z−

n̂

1S

2S

LS

( )E z

1 2

ˆ ( ) ( ) 2 ( )S S

E ndA E z dA E z dA E z AΦ = ⋅ = − − =∫ ∫ ∫( ) ( )E z E z− = −

int

0

2 ( )q

E z AΦ = =ε 0

Aσ=ε

0

22

E kσ

= = π σε


Simetría plana

z

zE


Resumen

La magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es la carga eléctrica

Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa).Está cuantizada.La carga se conserva.

La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Ley de Coulomb.La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcular el campo eléctrico de cualquier distribución de carga, sea discreta o continua (sumatorio ó integración directa).El campo eléctrico se representa gráficamente mediante líneas de campo.La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puede utilizarse para calcular el campo eléctrico creado por distribuciones de carga que posean un alto grado de simetría.

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