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TEMA 3: Aplicaciones de las derivadas.

Dos importantes pensadores de finales del siglo XVII y principios del XVIII fueronNewton y Leibniz.

Cada uno trabajo en otros campos diferentes a las matemáticas.

Newton es un conocido científico que hizo grandes descubrimientos en loscampos de física y matemáticas.

Por otra parte Leibniz destacó en las matemáticas y la filosofía.

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Isaac Newton (1642-1727) en 1664-1666 y G. W. Leibniz(1646-1716) en 1675 descubrieron independientemente elcálculo diferencial e integral.Sus enfoques y conceptos son distintos, pero lleganbásicamente a los mismos resultados.

https://www.youtube.com/watch?v=fOIPCSpCNVA

3.1. Teorema de Rolle.

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• Ejemplo 3 pág. 67.

• Ejercicio: Pág. 67. Ej.: 6, 8.

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3.2. Teorema del valor medio (Lagrange).

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Pág. 69. Ej. 11Deberes: Pág. 84. Ej. 47, 49, 54.

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• Pág. 71. Ejercicios: 14, 17.

• Deberes: Pág. 84. Ej. : 56, a, c, d, e. 57 a y c.

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3.3. L´HOPITAL

3.4. Extremos relativos. Crecimiento y decrecimiento.1. EXTREMOS.

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2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS.

(EXTREMOS RELATIVOS)

relativo relativo

absoluto

relativo relativo

absoluto

absoluto absoluto

(EXTREMOS ABSOLUTOS)

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• USANDO LA SEGUNDA DERIVADA:

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2. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN.

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3. PUNTOS DE INFLEXIMÓN Y CURVATURA DE UNA FUNCIÓN.

EJEMPLO:

Pág. 73. Ej. 22.Pág. 77. Ej. 30, 31- a, c (máximos, mínimos, ver si son absolutos o relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y curvatura).

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Ejemplos:

• Ej1:

Dada la función

Estudia su monotonía y calcula sus puntos singulares.

• Ej 2:

Comprueba que la función

tiene solo dos puntos singulares, en x=0 y en x=6. Averigua de qué tipo es cada uno de esos dos puntos singulares.

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RECUERDA: Extremos absolutos• Candidatos: Los extremos relativos.

• Cálculo: Evaluamos la función en los extremos relativos, y hallamos los límites:

En (o en los puntos del borde del dominio de f)

En los puntos donde f no esté definida.

Los valores máximo y mínimo obtenidos son los de los extremos absolutos.

Ejemplo:

EJEMPLO 1: Calcula los máximos y mínimos relativos y/o de la función:A) B)

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3.4. Problemas de optimización:• Pasos a seguir:

1. Dibujo aproximado según nos indica el enunciado y colocar las

incógnitas.

2. Escribir la función que queremos sea máxima o mínima. (máx, min,

superior, inferior, mayor, menor…)

3. Escribir una ecuación que relaciona las variables. (Suele ser el único dato

numérico del problema o algún teorema importante como el de Tales,

Pitágoras, semejanza, etc…)

4. Despejar de la ecuación en 3 y sustituir en la función del paso 2.

5. Calcular los extremos de la función.

6. Comprobar con la segunda derivada.

7. Calcular la variable que falta sustituyendo en la ecuación del paso 3.

8. Escribir correctamente la solución.

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Ejemplos:

• 1) Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.

• 2) De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima.

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• 3) Entre todos los rectángulos de perímetro 12m, ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?

• Ejercicios: Pág. 75. Ej.: 27, 28.

Ejemplos ejercicios con parámetros:• Halla los coeficientes a, b, c, d de la función:Sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión

(1, 0) es y=-3x+3, y que la función tiene un extremo relativo en x=0.

Ejercicios: Pág. 86, ej.: 84, 86.

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Ejercicios repaso:a) b)

c) d)

Pág. 84: 47, 49, 51, 56- a, b, c, d, e, f, g, h, k, l.

Pág. 85: 57 a, b, 59, 60.

Pág. 85, 86: 71, 72, 74, 77.

Pág. 87: 91, 98, 102, 108.

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4. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES:

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1. DOMINIO:

2. SIMETRÍA:

3. CORTES CON LOS EJES: Eje OX: y=0 Eje OY: x=04. REGIONES: Sobre la recta real se colocan los puntos de corte con el eje OX y los números

que no pertenecen al dominio. De cada intervalo tomamos un número y estudiamos el signo de la función. 𝑓 𝑥 > 0 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑋

𝑓 𝑥 < 0 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑂𝑋.5. ASÍNTOTAS.

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6. MONOTONÍA Y EXTREMOS7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

Coloca: 1. Asíntotas, 2. Ptos de corte, 3. Regiones, 4. Máx. y mín. , 5. Fíjate en la monotonía y ramas asintóticas para colocar la curva.

Ejercicios: Pág. 97. Estudio de la función ej. 15.Pág. 99. 18.

Pág. 101. Estudio de la función ej. 25, 26.Pág. 102. 28 a, 29 a.Pág. 103. 31 a, 32 b.