Tema 3 4to

Prof. Edwin Cueva Página 1

1n2n23n2n1nnn

yxy.....yxyxxyx

yx

1n2n23n2n1nnn

yxy....yxyxxyx

yx

43223455

yxyyxxxyx

yx

1n2n23n2n1nnn

yxy....yxyxxyx

yx

322344

yxyyxxyx

yx

TEMA 3: COCIENTES NOTABLES

Son cocientes que provienen de divisiones exactos de la

forma:

Se pueden escribir en forma directa sin efectuar la

operación indicada.

Ejemplo:

Si se aplica el teorema del resto a las divisiones de

(x7 ± y7) (x8 ± y8) por (x ± y), se tiene:

1ro.Para el divisor x + y

Se deduce que x7 - y7 y x8 - y8 son divisibles entre x

- y.

Lo anterior puede resumirse así:

xn + yn x + y es exacto cuando n es impar.

xn - yn x + y es exacto cuando n es par.

xn + yn x - y no es exacto (sea n par o impar).

xn - yn x - y siempre es exacto (sea n par o impar).

Los coeficientes que resultaron exactos son los

llamados cocientes notables.

I) ; donde n es par o impar.

Ejemplo:

II) ; cuando n es impar.

Ejemplo:

III) ; cuando n es par.

Ejemplo:

IV) no es C.N.

Sea n par o impar.

OBSERVACIONES

1. El desarrollo del cociente notable tiene n términos.

2. El grado del cociente es n - 1. El cociente es un

polinomio homogéneo.

3. Si el divisor es x - y todos los términos son

positivos, mientras que si el divisor es x + y los

términos tienen signos alternados.

4. Los exponentes de la 1ra variable (x) disminuyen de

uno en uno y los exponentes de la 2da variable (y)

van aumentando de uno en uno.

yx

yx nn

x + y

x - y

x + y

x - y

7 7

7 7

8 8

8 8

-y + y = 07 7

-y - y = -2y

+y + y = 2y

+y - y = 0

7 7 7

8 8 8

8 8

x + y

Dividendo Divisor Residuo

.N.Cyx

yx nn

43223455

yxyyxyxxyx

yx

.N.Cyx

yx nn

.N.Cyx

yx nn

yx

yx nn


ba

ba 1212

sr

qp

yx

yx

5n4n

3n1n2

yx

yx

5m33m2

3m33m2

ba

ba

m1m

2m81m13

yx

yx

8n6n

22n63n6

)y()x(

yx

92

8m5m

yx

yx

2

123

yx

yx

1xx

1xxxxx24

246810

1xx

1xxxxx36

3691215

1x

1xm

8

zyx

zyx32

195738

TÉRMINO GENERAL

Si: es un C.N. se puede calcular un término

cualquiera, como:

Tk = (signo)xn-kyk-1

El signo se colocara de acuerdo al caso que

corresponda.

Ejemplo:

El quinto término de es:

n = 12, k = 5

T5 = (+) a12-5 . b5-1

T5 = a7 . b4

Observación:

da lugar a un C.N. si cumple:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular “n” si el cociente: ; es

notable

a) 1 b) 5 c) 7

d) 8 e) 10

2. Hallar “m” para que expresión sea cociente notable:

a) 3 b) 5 c) 6

d) 7 e) Nunca es C.N.

3. ¿Cuántos términos posee el desarrollo del cociente

notable:

a) 2 b) 5 c) 9

d) 13 e) 28

4. Si el siguiente cociente:

es notable, hallar el número de términos.

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

5. Hallar el tercer término en el siguiente cociente

notable:

a) x15y27 b) x8y9 c) x10y18

d) x7y6 e) xy9

6. Calcular el segundo término en el desarrollo de:

a) x2y b) -x2y2 c) x3y4

d) xy5 e) -xy

7. Efectuar:

a) x6 + x b) x6 - x c) x6 - 1

d) x6 + 1 e) x

8. Efectuar:

a) x9 - x b) x9 + 1 c) x9 + x

d) x9 - 1 e) x6

9. Si el cociente notable: tiene 4 términos.

Calcular:

m9 + m8 + m7 + .......... + m + 1

a) 1 022 b) 1 023 c) 1 024

d) 1 025 e) 1 026

10. Indique el grado del décimo término del cociente

notable:

a) 56 b) 60 c) 57

yx

yx nn

osminTérde#s

q

r

p


1m1m

3m83m6

yx

yx

1.....xxx

1.....xxx303336

606672

1111a

1ab

3x2

x)3x( 3636

11x

x2x20

2

63m

7865

ba

ba

43

mn

yx

yx

d) 59 e) 54

11. Calcular el grado del término central del desarrollo

del cociente notable:

a) 9 b) 24 c) 26

d) 15 e) 18

12. Indicar el cociente de dividir:

a) x36 + x33 + x30 + .......... + 1

b) x36 - x33 + x30 - .......... + 1

c) x36 + x30 + x24 + .......... + 1

d) x36 - x30 + x24 - .......... - 1

e) x36 + x35 + x34 + .......... + 1

13. Calcular “a + b” si se cumple que:

(a, b N)

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

14. Hallar el valor numérico del término 29 en el

desarrollo del C.N.

para x = -1.

a) 16 b) 32 c) 64

d) 128 e) 256

15. Encontrar el vigésimo término que se obtiene al

desarrollar:

usando C.N.

a) x - 1 b) c)

d) e) 1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Calcular el valor de “r”, sabiendo que el resultado

de la siguiente división es un C.N.

a) 6 b) 5 c) 7

d) 8 e) 4

2. Hallar el valor de “m + 5”, si sabemos que al dividir

resulta un C.N.

a) 5 b) 7 c) 3

d) 2 e) 6

3. Calcular “m”, sabiendo que el grado respecto a y del

término de lugar 7 en el C.N. correspondiente a la

división:

, es 12.

a) 18 b) 15 c) 12

d) 13 e) 20

4. La siguiente división tiene como resultado un C.N.

Calcular: r/t

a) 2 b) 4 c) 1

d) 1/2 e) 3

5. Calcular “m” sabiendo que el sexto termino del C.N.

al que da lugar la división:

, es igual a: a8bm+5

a) 27 b) 40 c) 42

d) 45 e) 50

6. En el cociente:

Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos, el valor

de (m + n) es:

a) 56 b) 42 c) 84

d) 89 e) 98

51x

101x

1x

3r2

6318

yx

yx

t7

tm70

yx

yx

42

tr

yx

yx

94

7232

ba

ba


33

3333

3x

3x

23

1218

)yx()yx(

)yx()yx(

10y;32x

32

ba

yx

yx

23

n39n3

yx

yx

5n4n

6n45n4

yx

yx

22

13m872m

yx

yx

7. El cociente que dio origen al siguiente desarrollo:

x135 - x130 + x125 - ....... - x10 + x5 - 1

es:

a) b) c)

d) e)

8. Calcular el valor numérico del término tercero del

cociente de:

para x = 3.

a) 327 b) 39 c) 312

d) 318 e) 324

9. Hallar el valor del cuarto término del desarrollo de:

para:

a) 16 b) 24 c) 32

d) 64 e) 72

10. En el desarrollo del cociente notable:

Hay un término cuyo grado es el doble del número

de términos. ¿Qué lugar ocupa este término?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

11. Al efectuar el desarrollo del siguiente cociente

notable:

se obtiene:

a) x33 - x30y2 + x27y4 - x24y6 + .... - y22

b) x30 + x27y2 + x24y4 + x21y6 + .... + y20

c) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... - y20

d) x30 - x27y2 + x24y4 - x21y6 + .... + y20

e) x20 - x18y + x16y2 - x15y3 + .... + y10

12. Si la división:

origina un cociente notable indicar el valor de “m”.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) Más de una es correcto

13. Hallar el lugar que ocupa el término de grado

absoluto 34 en el desarrollo del cociente notable:

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 10

14. Siendo el C.N.

Calcular el V.N. del termino central para x = 1; y = 2

a) 256 b) -256 c) 128

d) -128 e) 1

15. En el desarrollo de un C.N. se obtuvieron dos

términos consecutivos:

... - x18y27 + x16y30 - ...

Hallar el número de términos del cociente.

a) 16 b) 15 c) 14

d) 19 e) 18

1x

1x5

140

1x

1x5

140

1x

1x5

140

1x

1x5

140

1x

1x5

140

24

3060

yx

yx

Tema 3 4to

Documents

Transcript of Tema 3 4to