Tema 2OSCILACIONES

1

CURSO 2009-2010

2

Kxdt

xdmmaF −=== 2

2x

mK

dtxda −== 2

2

KxF −=

Una oscilación ocurre cuando un sistema es perturbado de su posición de equilibrio estable

Ejemplos: Balanceo de un barco, reloj de péndulo, cuerdas musicales, oscilaciones en moléculas de aire produciendo sonido, etc.

m

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

xEquilibrio

Cuando desplazamos el objeto de su posición de equilibrio, el muelle ejerce una fuerza recuperadora dada por la LEY DE HOOKE

K: constante recuperadora del muelle (N/m)

Aplicando la segunda Ley de Newton

Característica del MAS: “La aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección negativa”

( ) ( )

++=+=

2cos πδωδω tAsentAtx

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

La ecuación general de este tipo de movimiento es:

donde:

x(t): posición del objeto en cualquier instante.- Elongación (m)

A: amplitud del movimiento (m), máximo desplazamiento del equilibrio.

ω: frecuencia angular o pulsación (rad/s).

δ: desfase o fase de oscilación (rad) (condiciones iniciales)

( ) ( ) ( )δωω +−== tsenAtvdt

tdx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txtAtadt

tdvdt

txd 22

2

2

cos ωδωω −=+−===

mK

=ω

( )δω

δsenAvtv

Axtx−===

===

0

0

)0(cos0

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

A y δ se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales

xmKa −=

πω 2=TTπω 2

=πω2

1==

Tf

KmT

mKf

π

π

2

21

=

=

5

(M.A.S)

Independientes

de la amplitud A

¿Qué objeto llegará primero a su posición de equilibrio si se sueltan a la vez?

5 cm

m2

10 cm

m1

Objeto 1Objeto 2

Periodo T: tiempo en el cual se repite x(t).

( ) ( ) ( )[ ] ( )TtATtATtxtx ωδωδω ++=++⇒+= coscos

( )( )( ) tAta

tsenAtvtAtx

ωω

ωωω

cos

cos

2−=

−==

ππω

ππω

ππω

ππω

222

34

324

32

22

242

4

==⇒=

==⇒=

==⇒=

==⇒=

TT

tTt

TT

tTt

TT

tTt

TT

tTt

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S)

x(t)

v(t)

a(t)

A

0

-A

Aω

0

-Aω

Aω2

-Aω2

0

T/4 T/2 3T/4 T

δωθ += t

( )δωθ +== tAAx coscos

( )δωθ +== tAsenAseny

EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

a) MOVIMIENTO CIRCULAR

V = constante

X

Y

A

Acosθ

θ

V = ω A

La proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro constituye un MAS

∑ ==−= 2

2

2

2

dtdmL

dtSdmmgsenFt

φφ

b) PÉNDULO SIMPLE

φ

T

mgcosφ

mgsenφ

mg

L

S

φφφLgsen

Lg

dtd

−≈−=2

2

gLT π

ωπ 22==

Aproximación desplazamientos pequeños

( ) ( )tdt

td φωφ 2

2

2

−= Lg

=ω

( ) ( )δωφ φ += tt cos0

Ecuación del movimiento

( ) ( )δω +== tKAKxtEP222 cos

21

21

( ) ( )

( )δω

δωω

+=

=+==

tsenKA

tsenmAmvtEC

22

2222

21

21

21

cteKAET == 2

21

( ) ( ) TOTALCp EmediaEmediaE21

==

Energía del “MAS”

Las energías potencial y cinética del sistema varían con el tiempo, permaneciendo la energía total constante

ETOTAL

EP

0

t

t

Ec

ETOTAL

La energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud A

-A A

0

ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

La energía total es constante (linea horizontal). Esta línea corta a la función de la energía potencial en 2 puntos (x=-A y x=A), los puntos de retorno.

( ) 2

21 KxtEP =

2

2

)(dt

xdmdtdxKxF =+−= γ

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Se deben a efectos de frenado (resistencia del aire, fricción en piezas mecánicas, …)

La amplitud (y energia) van disminuyendo en el tiempo

Hay una fuerza que se opone al movimiento, de la forma:dtdxF γ−=

02

2

=++ Kxdtdx

dtxdm γ

γ constante2ª ley Newton

Ecuación diferencial de un oscilador armónico amortigüado

−=

−=

−=−= 2

02

220

220

2

2

22

411

411

411

41

ωγωγωγγω

mmKmKmK

mmK

a

2

020

2

2

0 14

1

−=−=

Ca m γ

γωω

γωω

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

γC = 2mωo

Valor crítico

a) γ<γC ⇒ Sistema subamortiguado

b) γ=γC ⇒ Críticamente amortiguado (vuelve al equilibrio casi sin oscilar)

c) γ>γC ⇒ (ωa??) Sistema sobreamortiguado (El sistema no oscila)

( ) ( ) ( )δωδω τγ

+=+= −

− teAtAtx a

t

a

tm coscos 02

0

A0: amplitud inicial

τ: tiempo de relajación o amortiguamiento = 2m/γ

ωa: frecuencia angular modificada