Tema 2 - Números Naturales p

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TEMA 2

Números Naturales

Noelia Vállez Curso 2011/2012



Índice

• Técnicas de Recuento

• Números Naturales

•

Sistemas de Numeración• Diseño Curricular

• Desarrollo Cognitivo

2011/2012 Tema 2: Números Naturales 2



Técnicas de Recuento





• Instrumentos para contar


•

¿Cuántos puntos hay? ¿Qué hashecho para contestar a estapregunta?

• Ahora, ¿cuántos hay sin usar laspalabras uno, dos, tres,..; ni lossímbolos 1, 2, 3,... ?

• Describe el procedimientoutilizado.




• Instrumentos para contar

– Las manos

– Ábaco

– Palillos

– Piedras

– Calculadoras

– Ordenadores





• Necesidades – Las técnicas para contar surgen a partir de la

necesidad de:• Comunicar información referente al tamaño (la

numerosidad) de las colecciones de objetos Cardinales

• Indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto

dentro de una colección ordenada de objetos Ordinales





• Necesidades

– Responder a las preguntas del tipo:• ¿Cuántos …?• ¿Qué se hace primero?

• ¿En qué posición…?





• Sistema de Numeración

Los números son objetos abstractos (forma de hablar)Varios objetos numéricos “Sistema de numeración”

Coordinación Ordinal/Cardinal (representan los mismos

números)





• Obtención de cardinales






– Palabras recitadas en un orden

– A cada cantidad numérica le corresponden dosrepresentaciones con símbolos (dígitos y letras)






– Nos sabemos de memoria una sucesión ordenada de

palabras: uno, dos, tres, etc, y las recitamos siempre en elmismo orden.

– Al terminar de contar, la última palabra, hace referencia, no

sólo al último objeto señalado, sino también a todo elconjunto (es una propiedad de éste)





• Técnicas Auxiliares

– Para distinguir lo contado de lo que queda porcontar:






– Para distinguir lo contado de lo que queda porcontar:• Trazar (física o mentalmente) el camino seguido

• Marcar los objetos ya contados separando mentalmente

los objetos contados de los no contados.• Sustituir la colección de partida por otra que tenga el

mismo cardinal contando ésta última.






– El uso de una técnica auxiliar u otra depende de:






– El uso de una técnica auxiliar u otra depende de:• El número de elementos del conjunto

• La configuración geométrica del conjunto

• El tipo de objetos que constituyen el conjunto

• La accesibilidad de los elementos del conjunto (¿objetosfísicos?)

• La movilidad de los objetos.





• ¡Importante!

Se deben coordinar los movimientos, la vista y laspalabras emitidas en cada momento.




Técnicas de Recuento.Definiciones

• Considerando los cardinales, ordinales, etc. comoconjuntos es posible aplicar teoría de conjuntos y dar

las siguientes definiciones:





• Coordinabilidad: Un conjunto A coordinable oequipotente con el conjunto B si existe una

correspondencia biyectiva de A en B. Se escribe A∼ B. Cada elemento del primer conjunto se pone encorrespondencia con uno y sólo uno del segundo.





• Conjunto Infinito: A es un conjunto infinito si existeun subconjunto propio B de A que sea coordinable

con A, o sea, ∃ f : AB, biyectiva.


12

3456…

1020

30405060…

BA




• Obtención de ordinales






– Palabras recitadas en un orden (palabras numéricasordinales). Cuanto mayor es la cantidad menos se

utiliza el número ordinal en el recuento pasando ausarse el cardinal y hallando después su equivalencia

– Se adjudican las palabras a los elementos del conjunto

siguiendo el orden establecido – La palabra que le corresponde al elemento en cuestión

es su ordinal






– Hay que tener en cuenta:

• Para obtener el ordinal es necesario tenerordenado el conjunto (el conteo no es arbitrario)





• Orden de Ordinales y Cardinales

– ¿Cuándo es un ordinal anterior o posterior a otro?

– ¿Cuándo es un cardinal mayor o menor que otro?






– Decimos que un ordinal es „anterior‟ a otro si al recitar la

sucesión numérica en el orden habitual, la palabra numéricacorrespondiente al primer ordinal se recita antes que lacorrespondiente al segundo ordinal.






– Decimos que un cardinal es „más pequeño‟ que otro, o „es menor‟ que otro, si al emparejar los elementos de dosconjuntos que los tengan por cardinales respectivos, en elsegundo conjunto quedan elementos sin pareja.






En general,

– El número a „es menor‟ que b si el ordinal correspondiente a a esanterior al ordinal correspondiente a b. (Por la coordinación entre

ambos sistemas)





• Principios – Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres, ... deben

recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.

– Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjuntosometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólouna.

– Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementosdel conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.

– Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado delconjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también elcardinal del conjunto.


ORDINALES

CARDINALES




• Técnicas de la historia

– No todas las culturas tienen un sistema de recuento

con palabras.

– Subitación: capacidad innata para reconocerciertos cardinales de conjuntos sin necesidad deefectuar un recuento.





• Técnicas de la historia. Recuento sin palabras.

– Existen tribus que cuentan utilizando las partes del cuerpo humano.Para ello y en un orden previamente establecido van señalando losdedos de las manos y de los pies, las diferentes articulaciones delcuerpo, los ojos, nariz, boca, etc.

– Contar a base de muescas en piedras y madera.

– Contar agregando objetos sueltos.





• Técnicas de la historia. Recuento sin palabras.

– Estas técnicas plantean problemas ante números muy grandes.

– Con un sistema de recuento ordenado basta con nombrar el últimoelemento para transmitir la información (no es necesario el conjuntocompleto de elementos)

•

Algunas tribus y niños pequeños no tienen la capacidad de quedarse con el últimonúmero e imaginar la representación del conjunto sin la necesidad de enumerar losanteriores





• Técnicas abreviadas para contar

– Cuando hay muchos elementos se hace difícil el

conteo. Algunas formas de solucionarlo:• Contar de x en x.

• Contar desde un cardinal conocido al añadir o quitarobjetos (sin repetir desde el inicio).

•

Contar entre dos cardinales dados (diferencia).• Contar desde un cardinal dado x veces.




Números Naturales




Números Naturales

• Para Contar: poner en correspondencia uno a uno los distintos elementosde un conjunto (contado) con un subconjunto de otro conjunto (contador,sistema numérico de referencia o sistema numeral).

• Números Naturales: sistema de "objetos" (símbolos, palabras,...),perceptibles o pensados, que se usan para informar del cardinal de losconjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cadaelemento dentro del conjunto.




Conjunto de losNúmeros Naturales

• Convenios de Notación

La definición sin el 0 se denota N*

Con el 0: N 0 ó N0




Conjunto de losNúmeros Naturales

• La noción de número natural surge de la fusión de losconceptos de número cardinal y ordinal.

"El número cardinal de un conjunto coincide con el númeroordinal del último elemento, y es siempre el mismo cualquiera

que sea el orden en que se haya efectuado el recuento"

• Cardinal Considera el conjunto completo de objetos sin

importar el orden.• Ordinal Considera sólo el orden del objeto considerado con

respecto a los demás.




Números Naturales

• Cardinal de un conjunto

– 0 es el número de elementos del conjunto vacío ∅.

– 1 es el número de elementos de un conjuntounitario {a}.

– 2 es el número de elementos de un conjunto

binario {a, b}. – n es el número de elementos de un conjunto n-ario

{a, b, c, …, n}




Números Naturales.Construcciones Axiomáticas

• Axiomas de Peano

Un conjunto de objetos, N , está naturalmente ordenado si:

– Existe un primer elemento, 0. – Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. –

El primer elemento no es el sucesor de ningún otro número natural. – Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo

número natural. – Si el 0 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un

número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A esprecisamente el conjunto de todos los números naturales.

– No existe un último elemento (conjunto infinito).

Toda propiedad es válida para 0 y para n por lo que lo será también paran+1. (Inducción)





• Teoría de conjuntos

Sea F el conjunto de todos los conjuntos finitos F = {A, B, C, ...}.

El conjunto (N) formado por todas las clases de equivalencia producido en Fpor la relación de coordinabilidad, o sea, el conjunto de todas las clases deequivalencia, es un conjunto naturalmente ordenado.

N = {[A], [B], [C], ....}

Dadas dos clases, [A], [B] diremos [A] ≤ [B] si existe una correspondenciaentre dos representantes A y B de dichas clases que sea inyectiva. Esto ocurrecuando el cardinal de la primera clase es menor que el de la segunda.






Convenio de representación de las clases de equivalencia:

– La clase vacía ∅ se representa por la notación 0 – La clase unitaria por 1, la clase binaria por 2, etc.

– N = {[A], [B], [C], ....} N = {0, 1, 2, 3.,.. }.

Cada símbolo representa a una clase de equivalencia y es también llamadoel cardinal o número de elementos de cada conjunto de la clase.






La relación ≤ cumple:

– Reflexiva, A, Card(A) ≤ Card (A)

– Antisimétrica A,B si Card(A) ≤ Card (B) y Card(B) ≤ Card (A) Card(A) = Card (B)

– Transitiva A,B,C si Card(A) ≤ Card (B) y Card(B) ≤ Card (C) Card(A) ≤ Card (C)

– Conexa: Dados dos naturales A, B, ocurre que A≤ B ó B≤ A (siempre)

– Cualquier subconjunto tiene primer elemento; cada elemento tiene su siguiente y no hay

ningún número intermedio entre ambos (buena ordenación)





• Definición Algebraica

• Se cumple también en este caso: – Reflexiva, n, n ≤ n

– Antisimétrica n,p si n ≤ p y p ≤ n n = p

– Transitiva n,p,q si n ≤ p y p ≤ q n ≤ q

– Conexa: Dados dos naturales n, p, ocurre que n≤ p ó p≤n (siempre) – Cualquier subconjunto tiene primer elemento; cada elemento tiene su

siguiente y no hay ningún número intermedio entre ambos (buenaordenación)


a,b N, a≤b, si d N / a+d =b



Números Naturales

• Representación




Sistemas de Numeración





Surgen por:

• La necesidad de obtener el cardinal de colecciones grandes deobjetos.

• El uso de varias palabras para representar números grandes.

• La búsqueda de un sistema de representación que sea eficaz yeficiente (uso de combinaciones de símbolos y palabras).




Sistemas de Numeración conCon elementos


Si d N ió



Sistemas de Numeración.Ejemplos

• Sistema de Muescas

– En ocasiones existían marcas especiales cadacierto número de marcas para ayudar a contar.


Si d N ió




• Sistema de Cuerdas y Nudos


Si d N ió




• Sistema del Ábaco




Sistemas de Numeración conCifras


Si t d N ió




• Sistema Egipcio


4622 =

Si t d N ió




• Sistema Chino

• Los números de varios dígitos se construyen siguiendo un principio

multiplicativo/aditivo: primero el dígito (de 1 a 9), luego el lugar (10,100...), y después el próximo dígito. (Del 10 al 19 se puede omitir el一)

60 =六十

114 =一百一十四


Si t d N ió




• Sistema Romano

• Los símbolos I (uno), X (diez) , C (cien) y M (mil) son los „principales' y los símbolosV (cinco), L (cincuenta) y D (quinientos) los 'secundarios'.

• Los símbolos principales no se pueden repetir más de tres veces y los secundarios nopueden repetirse ninguna vez.

• Todo símbolo situado a la derecha de uno de igual o mayor valor se suma. Si un símbolo

principal está situado a la izquierda de un símbolo de mayor valor se resta.• A la izquierda de un símbolo solo se puede poner como símbolo de menor valor elsímbolo principal inmediatamente anterior.

• Los millares, diezmillares, cienmillares, etc. de los números mayores o iguales que 4.000se escriben como si fueran unidades, decenas, centenas, etc., colocándoles una rayahorizontal por encima. Ejem. 4000= .


Si t d N ió




• Sistema Hindú

Sistema aditivo 2346 = 2000 + 300 + 40 + 6


Si t d N ió




• Sistema Hindú (cont.)

Más tarde se les ocurrió el sistema posicional para realizar operaciones.




Sistemas de Numeración conCifras (Incluyendo el 0)


Si t m d N m ió




• Sistema Hindú Modificado

Al aparecer el 0 se pudieron eliminar las barras verticales.






• Sistema MayaSistema Vigesimal (primer nivel para las unidades, del 1 al 19, segundo

nivel = 20, tercer nivel 20x20=400, etc.)






• Sistema Arábigo

Al conquistar los árabes la india adoptaron este sistema de

numeración por la facilidad con la que se podían realizarcálculos con él.





• Nuestro Sistema Decimal Nuestro sistema de numeración escrito es, por tanto,

una invención hindú que, posteriormente, fue asumida por

los árabes, los cuales la difundieron por todo su imperio.





• TIPOS

– Sistema aditivo

– Sistema multiplicativo

– Sistema posicional




Sistemas de Numeración. Tipos

• Sistema aditivo regular

– En este sistema se definen símbolos para la unidad, la

base y las potencias de la base.

– El número representado se obtiene sumando losvalores de los signos que componen su representación.

• El sistema egipcio es un ejemplo de sistema aditivo regularde base 10.





• Sistema multiplicativo regular

– En él se definen símbolos para la unidad, la base, laspotencias de la base y todos los números comprendidosentre la unidad y la base.

– El número representado se obtiene multiplicando cadapotencia de la base por el valor del símbolo que le precedey sumando los resultados junto con las unidades.

• Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema chino denumeración que es un sistema multiplicativo regular de base 10.





• Sistema posicional regular

– En este sistema se definen símbolos para la unidad y los númeroscomprendidos entre la unidad y la base. También se define un símbolo,el cero, para indicar la no existencia de unidades.

– Cada uno de los signos que componen la representación del número,dependiendo del lugar que ocupa, hace referencia a las unidades o auna determinada potencia de la base.

– El número representado se obtiene de la misma manera que en un

sistema multiplicativo.

• Nuestro sistema de numeración escrito es un ejemplo de sistema posicionaldecimal.





• Reglas de los sistemas posicionales

1. Elegido un número b >1 como base del sistema denumeración, se utilizan b símbolos, llamados cifras o

guarismos (0, 1, 2, ..., b-1) que representan el cero y losprimeros números naturales.

2. Las potencias de la base describen el sistema, así, b0=1 esla unidad, b1=b es la base o unidad de 2º orden, b2 es la

unidad de 3 orden…

3. Las potencias de la base pueden escribirse como 10k(b





• Unicidad de representación de un número enbase b





• Cambios de Base

– Pasar un número n de base b a base 10

• Dividir n entre la base, b. (El resto es la cifra de las unidades)

• Para hallar el resto de cifras dividir el cociente, ci entre la basehasta que ci+1 sea menor que b.


235(10 = 1420(2




• Cambios de Base

– Pasar un número n de base 10 a base b

• Multiplicar cada dígito por la potencia de la base a la quecorresponde.


1420(5 = 1·53+4·52+2·51+0·50 = 125 + 100 + 10 = 235(10




• Cambios de Base

– Para el resto de cambios entre dos bases a y b

diferentes de 10 se puede hacer:n(a n(10

n(10 n(b





Sistemas de Numeración.Origen de algunas bases

• Base 5






• Base 20






• Base 12

– Se explica si se utiliza el dedo pulgar de la mano

derecha para contar las falanges de los otros dedosde la misma mano.






• Base 60 – Aparece como una combinación de cinco y doce si contamos falanges

con la mano derecha y por cada docena levantamos un dedo de la manoizquierda. Las dos manos representan entonces una “sesentena”.


Nuestro Sistema de Numeración



Nuestro Sistema de Numeración.Características

• Sistema cardinal oralEs un sistema multiplicativo y de base 10 pero con irregularidades. Las irregularidades dependendel idioma y en castellano son las siguientes:

– Once, doce, trece, catorce y quince en vez de: dieciuno, diecidos, diecitrés, diecicuatro ydiecicinco.

– Veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa en vez de: dos dieces (odos decenas), tres dieces , cuatro dieces , etc.

– Quinientos en lugar de cinco cientos .

– Algunas de las potencias de diez no tienen un símbolo específico, sino un símbolo compuestopor los correspondientes a otras potencias. Así, por ejemplo, la potencia 104 tiene un símbolocompuesto: diez mil. Lo mismo sucede con otras potencias de la base 105 que se dice cien mil,

etc. – La palabra 'billón' tiene un significado ambiguo.

• En España y otros países de origen latino quiere decir 'un millón de millones' (1012)• En países anglosajones significa 'mil millones' (109).






• Sistema ordinal oral

– Es un sistema de numeración de base 10 en el quese definen símbolos para• la unidad y los demás números anteriores a la base,

• para la base y sus potencias,

• para los nueve primeros múltiplos de la base y delcuadrado de la base.

– Principalmente es un sistema aditivo.






• Sistema ordinal oral (cont.) – Los símbolos de este sistema de numeración son los siguientes:

• primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno,• décimo, vigésimo (20), trigésimo (30), cuadragésimo (40), quincuagésimo (50), sexagésimo

(60), septuagésimo (70), octogésimo (80), nonagésimo (90),• centésimo (100), ducentésimo (200), tricentésimo (300), cuadringentésimo (400), quingentésimo

(500), sexcentésimo (600), septingentésimo (700), octingentésimo (800), noningentésimo (900),• milésimo (1000),• millonésimo (1.000.000).

– Irregulares:• undécimo (o décimo primero)• duodécimo (o décimo segundo)

– Hoy en día, bastantes de estos términos han caído en desuso.

Ejem: El ordinal 783 se diría septingentésimo octogésimo tercero.




Diseño Curricular


C



Diseño Curricular

Este tema afecta al Bloque I: "Números y operaciones":

• Conceptos:

– Números naturales – Sistemas de numeración decimal

• Procedimientos – Utilización de diferentes estrategias para contar de manera exacta y

aproximada.

• Actitudes

–

Curiosidad por indagar y explorar las regularidades y relaciones que aparecenen conjuntos de números. – Sensibilidad e interés por las informaciones y mensajes de naturaleza numérico

apreciando la utilidad de los números en la vida cotidiana.


Di C i l



Diseño Curricular

El alumno de primaria al final deberá:

• Identificar en su vida cotidiana situaciones y problemassusceptibles de ser analizados con la ayuda de códigos ysistemas de numeración, utilizando las propiedades ycaracterísticas de éstos para lograr una mejor comprensiónde los mismos y encontrar soluciones pertinentes.

• Utilizar su conocimiento de los principales sistemas de

numeración (decimal, romano...) para interpretar, valorar yproducir informaciones y mensajes numéricos sobrefenómenos conocidos.




Desarrollo Cognitivo


D ll C i i




¡Recuerda!

El sentido numérico se concibe como una forma de pensar, por

consiguiente no es una "lección" en el currículum de lasmatemáticas de Primaria, sino una manera de aproximarse al

trabajo con los números en el aula.


D ll C i i




• El sistema de los números naturales incluye:

– La acción de contar

– La acción de ordenar

– Los materiales para las anteriores

– Las operaciones

– El sistema lógico-deductivo


D ll C iti C t



Desarrollo Cognitivo. Conteo

• El aprendizaje de las palabras numéricas – Se suele aprender mediante el recitado de

secuencias•

El recuento empieza siempre desde uno no permitiendoconsolidar tramos altos de la sucesión. 1, 2, 3, … • Para los tramos altos tendremos que recitar la sucesión

numérica desde un número alto cercano. Ejem.900• Mayor dificultad en los cambios de decena, centena,

millar, etc., por lo que es necesario ejercitarse los tramosde la sucesión que contengan alguno de estos cambios.9999, 10000, 10001, …


D ll C iti C t




• El aprendizaje de las palabras numéricas

– El niño pasará por las etapas:1. Cuerda: Recita los números pero no sabe

separarlos.

2. Cadena irrompible: Separa los números pero noes capaz de contar a partir de otro que no sea el

primero. 3. Cadena rompible: Es capaz de comenzar a recitarpor cualquier número de la cadena.


D ll C iti C t




• El aprendizaje de las palabras numéricas

– El niño pasará por las etapas (cont): 4. Cadena numerable: Es capaz de empezar en un

número y parar un número de veces después enotro dando el resultado.

5. Cadena bidireccional: Igual que el anterior pero

también hacia detrás.


D ll C iti C t




• El aprendizaje de las palabras numéricas – El aprendizaje de las palabras numéricas se va haciendo por

tramos progresivos

•

uno, dos y tres• uno al cinco• del cinco al diez• del diez al veinte• del veinte al cincuenta• del cincuenta al cien• del cien al doscientos


•

del doscientos al quinientos• del quinientos al mil• del mil al diez mil• del diez mil al cien mil•

del cien mil al millón• del millón en adelante

D ll C iti C t




• Número como cardinal y ordinal – Percepción temprana de cardinales. Entre 2-4 los

niños son capaces de obtener el cardinal de 1, 2, 3 y 4.Aún no saben contar para los demás.

– Percepción prioritaria de ordinales. Entre 3-5 añosperciben los ordinales por recuento pero no asocian elcardinal.

– Percepción prioritaria de cardinales. Entre 4-7 añoslos niños asumen el principio de cardinalidad. Sufrencierta regresión con respecto a los ordinales.


D ll C iti C t




• Número como cardinal y ordinal

Se debe trabajar la coordinación de los números

cardinales y ordinales para que los niños no

dejen de percibir una de las concepciones.


D ll C iti C t




Errores• Errores de recitado.

– saltarse palabras numéricas, –

decirlas en otro orden, – repetirlas, – Introducir palabras no numéricas, – etc.

• Errores de coordinación. – Errores ligados a la falta de coordinación entre la

emisión de la palabra y el señalamiento del objeto.


D ll C iti O d



Desarrollo Cognitivo. Orden

Aprendizaje del orden numérico• Situaciones de comparación

– Entre ordinales para ver quién va antes

– Entre cardinales paraver a qué conjunto lesobran/faltan elementosal comparar dos


D ll C g iti O d



Desarrollo Cognitivo. Orden

Aprendizaje del orden numérico• Al aprender a recitar y saber la escritura de los

números los niños asumen reglas más formales: –

Un número es menor que otro si tiene menos cifras. – Si dos números tienen el mismo número de cifras, será

menor aquel que tenga menor la cifra de ordensuperior.

– Si las cifras de orden superior coinciden y tienen elmismo número de cifras, se examinan las cifras deorden siguiente hasta encontrar algún caso en que nocoincidan y entonces se aplica la regla anterior.




• 205





Bibliografía Complementaria



Bibliografía Complementaria

http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/2_Sistemas_numericos.pdf

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