TEMA 2 - INTEGRAL DE RIEMANNocw.uniovi.es/.../1/TEMA_2_-_INTEGRAL_DE_RIEMANN.pdf · Integración de...
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TEMA 2
� Objetivos.
� Cálculo de primitivas.
� La integral definida. Funciones integrables.
Integrales impropias.� Integrales impropias.
� Aplicaciones geométricas de la integral.
� Plantear y calcular integrales de funciones de
una variable y aplicarlas a la resolución de
problemas relativos a la ingeniería.
Se dice que una función F(x) es una función primitiva de la función f(x)
La función f(x) recibe el nombre de integrando y sumando a F(x) una constante
arbitraria C, se obtiene otra función primitiva.
fDomxxfxF ∈∀= )()('
⇔
Al conjunto de primitivas de la función f se le llama la integral indefinida de f .
Se escribe de la siguiente forma:
Las siguientes propiedades son inmediatas:
�
�
∫ += CxFdxxf )()(
∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgf )()())((
∫ ∫⋅=⋅ dxxfadxxfa )()(
Integrales Inmediatas (I)
∫
∫
∫
+=
−≠++
=
∈∀+=⋅+
Cxdxx
nCn
xdxx
RaCaxdxa
nn
||log1
11
1
∫
∫
+=
−≠++
=⋅+
Cxfdxxf
xf
nCn
xfdxxfxf
nn
|)(|log)(
)('
11
))(()('))((
1
∫
∫
∫
∫
∫
+=
+−=
+=
≠>+=
Cxsendxx
Cxdxxsen
Cedxe
aaCa
adxa
x
xx
xx
)()cos(
)cos()(
1,0log
∫
∫
∫
∫
+=⋅
+−=⋅
+=⋅
≠>+=⋅
Cxfsendxxfxf
Cxfdxxfxfsen
Cedxxfe
aaCa
adxxfa
xfxf
xfxf
))(()('))(cos(
))(cos()('))((
)('
1,0log
)('
)()(
)()(
∫
∫ ∫ ∫
+=⋅
+=+==
Cxftgdxxfxf
Cxtgdxxtgdxxdxx
))(()('))((cos
1
)())(1()(sec)(cos
1
2
222
Integrales Inmediatas (II)
∫
∫
+=
+−=
Cxarcsendx
Cxctgdxxsen
)(1
)()(
12
∫
∫
+=⋅
+−=⋅
Cxfarcsendxxf
Cxfctgdxxfxfsen
))(()('1
))(()('))((
12
∫
∫
+=+
+=−
Cxarctgdxx
Cxarcsendxx
)(1
1
)(1
1
2
2
∫
∫
+=⋅+
+=⋅−
Cxfarctgdxxfxf
Cxfarcsendxxfxf
))(()('))((1
1
))(()('))((1
2
2
∫∫
∫ ∫
+==
+−=−−=
Cxsendxxsen
xdxxctg
Cxdxx
xsendxxtg
))(log()(
)cos()(
))log(cos()cos(
)()(
Métodos generales de integración: Cambio de variable
Sea f una función que admite primitiva, si hacemos el cambio de variable
siendo g una función derivable con derivada continua, resulta:
)(tgx =
∫ ∫= dttgtgfdxxf )·(')]·([)(
Ejemplo:
Se ha hecho el cambio , es decir,
∫ ∫= dttgtgfdxxf )·(')]·([)(
∫ ∫ ++=+==+ Cx
Ct
dttdxxx3
)1(
3·1
232322
01 22 >=+ ttx tdtxdxtdtxdx == 22
Métodos generales de integración: Integración por Partes
Si f y g son dos funciones derivables en el punto x, sabemos que f·g es derivable
en x:
Por tanto:
)()(')()'·()(')( xgxfxgfxgxf −=
∫ ∫∫ =−= dxxgxfdxxgfdxxgxf )()(')()'·()(')(Por tanto:
Si llamamos entonces y
la fórmula se puede escribir así:
∫
∫
∫ ∫∫
−=
=−=
=−=
dxxgxfxgxf
dxxgxfxgf
dxxgxfdxxgfdxxgxf
)()(')()(
)()('))(·(
)()(')()'·()(')(
)()( xgvxfu == dxxfdu )('= dxxgdv )('=
∫ ∫−= vduuvudv
Integración de funciones racionales:
siendo P y Q polinomios
Es suficiente estudiar el caso en que el grado de P(x) es menor que el grado de
∫ dxxQ
xP
)(
)(
Q(x) debido a que en caso contrario, se realiza la división y existen
polinomios C(x) y R(x), cociente y resto respectivamente tales que:
Con grado de R(x) < grado de Q(x) y por tanto:
)()()·()( xRxCxQxP +=
∫ ∫ ∫+= dxxQ
xRdxxCdx
xQ
xP
)(
)()(
)(
)(
Integración de funciones racionales:
Supongamos que el grado de P(x) es inferior al grado de Q(x). Para hallar la
integral se calculan las raíces de la ecuación Q(x) = 0 y se descompone la
fracción original en suma de fracciones simples. Veremos dos casos:
Raíces reales simples (a,b,c...):
Raíz real a de multiplicidad m:
...)(
)( +−
+−
+−
=cx
C
bx
B
ax
A
xQ
xP
...)(
...)()(
)(2
21 +−
++−
+−
=m
m
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
Integración de algunas funciones irracionales:
Existen dos tipos distintos:
( ) racionalfunciónunaRsiendodxxaxR∫ − 22,
Se solucionan con el cambio de variable:
Se solucionan con el cambio de variable:
( )∫
)(· ttgax =
)(· tsenax =
( ) racionalfunciónunaRsiendodxxaxR∫ + 22,
Integración de algunas funciones irracionales:
Al resolver ciertos ejercicios de este apartado, es necesario calcular la integral
del seno cuadrado o coseno cuadrado. Para ello, nos servimos de las
siguientes identidades trigonométricas:
2
)2cos(1)(cos
2
)2cos(1)(
2
2
tt
ttsen
+=
−=
Sea f una función acotada en [a,b] e integrable, entonces la integral definida
de f en [a,b] se denota:
∫b
adxxf )(
Los números a y b se llaman límites de integración y deberían ser tales que a
es menor que b
Si y a < b, la integral de f en el intervalo [a,b] mide el área de la
región delimitada por las rectas x = a y x = b, el eje de abscisas y la gráfica
de la función f
0)( ≥xf
Propiedades de las funciones integrables
Linealidad:
Si f y g son integrables en [a,b] también lo es la función f+g y se verifica:
∫ ∫∫ +=+b bb
Si f es integrable en [a,b] y k ϵ R, entonces la función k·f también lo es:
∫ ∫∫ +=+b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgf )()())((
∫ ∫=b
a
b
adxxfkdxxfk )(·))(·(
Propiedades de las funciones integrables
Monotonía:
Si f y g son integrables en [a,b] y entonces:],[)()( baxxgxf ∈∀≤
bb
Aditividad:
Sea f:[a,b]�R acotada y sea c ϵ (a,b). Se verifica que f es integrable en [a,b]
si y solo si f es integrable en [a,c] y en [c,b]. Además:
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫ ≤b
a
b
adxxgdxxf )()(
Teoremas Fundamentales del Calculo Integral
Sea f una función integrable en [a,b]. Podemos definir una nueva función F
sobre [a,b] de la siguiente manera:
∫=∈∀x
dttfxFbax )()(],[
Esta función está bien definida puesto que por ser f integrable en [a,b]
también lo es en [a,x] . La función F así definida se denomina
función integral de la función f. Se verifica que F es continua en [a,b]
],[ bax∈∀
∫=∈∀x
adttfxFbax )()(],[
Teoremas Fundamentales del Calculo Integral
Primer Teorema Fundamental
Si la función f:[a,b] � R es continua en [a,b], la función F:[a,b] � R tal que
es una primitiva de f en [a,b], es decir: ∫=x
dttfxF )()( es una primitiva de f en [a,b], es decir: ∫=a
dttfxF )()(
],[)()(' baxxfxF ∈∀=
Teoremas Fundamentales del Calculo Integral
Segundo Teorema Fundamental (Regla de Barrow)
Si f es una función continua en [a,b] y G es una función continua en [a,b] y
primitiva de f en (a,b) entonces:primitiva de f en (a,b) entonces:
Ejemplo
∫ −=b
aaGbGdxxf )()()(
∫ =+−=+−=π
π2
0011)0cos()2cos()( dxxsen
Cambio de variable en la integral definida
Sea f(x) continua en [a,b]; si hacemos el cambio de variable
siendo g una función derivable con derivada continua que admite función
inversa y tal que y entonces:
],[)( βα∈= ttgx
ag =)(α bg =)(β
Ejemplo:∫ ∫=
b
adttgtgfdxxf
β
α)('))·(()(
∫ ∈=−=1
0
2 ]2
,0[)(1π
ttsenxdxxI
∫ ∫∫ =+=+==−= 2
0
2
0
20
2
0
22 )]2(4
1
2
1
2
)2cos(1)(cos)·cos()(1
π ππ
π
tsentdtt
dttdtttsenI
4)0(
4
10)(
4
1
4
πππ =−−+= sensen
Integración por partes en la integral definida
Sean f , g: [a,b] � R dos funciones derivables con derivada continua
Por tanto:
)()·(')()'·()(')·( xgxfxgfxgxf −=
Por tanto:
Si llamamos u = f(x) , v = g(x) entonces du = f’(x)dx y dv = g’(x)dx; podemos
escribir la fórmula de la siguiente forma:
∫∫∫∫ −−=−=b
a
b
a
b
a
b
adxxgxfagafbgbfxgxfdxxgfdxxgxf )()·(')()·()()·()()·(')()'·()(')·(
∫ ∫−=b
a
b
a
ba duvvudvu ·]·[·
Integrales en intervalos no acotados
Las integrales en intervalos no acotados o integrales impropias de primera
especie son integrales del tipo:
Rbadxxfdxxfdxxfb
∈∫ ∫∫+∞+∞
,)()()(
Si la funcion f es acotada e integrable se define:
Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es
convergente. Si el límite es infinito se dice que es divergente
Rbadxxfdxxfdxxfa
∈∫ ∫∫ ∞− ∞−,)()()(
ax ≥∀
∫∫ +∞→
+∞=
b
abadxxfdxxf )(lim)(
Integrales en intervalos no acotadas
Si la función f es acotada e integrable se define:
Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es
bx ≤∀
∫∫ −∞→∞−=
b
aa
bdxxfdxxf )(lim)(
Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es
convergente. Si el límite es infinito se dice que es divergente
Si la función f es acotada e integrable en el intervalo [a,b]
Siendo c ϵ R arbitrario
Si los dos límites anteriores son finitos entonces la integral es convergente
Rba ∈∀ ,
∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−+=
c
cdxxfdxxfdxxf )()()(
Integrales de funciones no acotadas
Si f no es acotada en x = a y es acotada e integrable en todo intervalo de la
forma siendo ɛ cualquier numero real positivo tal que a+ɛ < b],[ ba ε+
∫ ∫ ++=
b bdxxfdxxf
ε)(lim)(
Si f no es acotada en x = b y es acotada e integrable en todo el intervalo de la
forma siendo ɛ cualquier número real positivo tal que b-ɛ > a
Si este limite existe y es finito, diremos que la integral del primer miembro es
convergente. Si el límite es infinito se dice que la integral es divergente
∫ ∫ +→ +=
a adxxfdxxf
εε)(lim)(
0
],[ ε−ba
∫ ∫−
→ +=
b
a
b
adxxfdxxf
ε
ε)(lim)(
0
Integrales de funciones no acotadas
Si f no es acotada en el punto c ϵ (a,b) y es acotada e integrable en todo
intervalo de la forma y siendo y cualesquiera
números reales positivos tales que , se define:
],[ 1ε−ca ],[ 2 bc ε+ 1ε 2εac >− 1ε bc <+ 2ε
Si los dos límites anteriores son finitos, entonces la integral es convergente
∫∫ ∫∫∫ +→
−
→ +++=+=
b
c
b
a
c
a
b
c
c
adxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
22
1
1
)(lim)(lim)()()(00 εε
ε
ε
Integrales Eulerianas
Función Gamma de Euler
Propiedades
∫+∞ −− >=Γ0
1 0·)( pdxexp xp
Si p > 1 el cálculo de Г(p) se reduce al cálculo de Г(q) con q ϵ (0,1)
Para estos valores entre 0 y 1, existen tablas de valores de la función
0)(·)1(
)1,0()·sin(
)1()·(
)2
1(
>∀Γ=+Γ
∈∀=−ΓΓ
=Γ
pppp
pp
ppππ
π
Integrales Eulerianas
Función Beta de Euler
∫ >−= −−1
0
11 0,)1·(),( qpdxxxqp qpβ
Propiedades
∫0
0,)(
)()·(),(
0,)()·cos(sin2),(
0,),(),(
2
0
1212
>∀+ΓΓΓ=
>∀=
>∀=
∫−−
qpqp
qpqp
qpdxxxqp
qppqqp
qp
β
β
ββπ
Cálculo de áreas de regiones planas
En el calculo de áreas hemos de tener presente el signo de la función
integrando en el intervalo de integración
Si el área de la región plana delimitada por la curva ],[0)( baxxf ∈∀≥Si el área de la región plana delimitada por la curva
y = f(x), las rectas verticales x = a , x = b y el eje de abscisas:
Sean tales que c < d. Si, por ejemplo
y , entonces el área de la región plana delimitada por
la curva y = f(x), las rectas verticales x = a , x = b y el eje de abscisas:
],[0)( baxxf ∈∀≥
∫=b
adxxfA )(
),(, badc ∈
∫ ∫∫∫∫∫ +−=+−+=b
d
b
d
d
c
c
a
d
c
c
adxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfA )()()()()()(
],[],[0)( bdcaxxf ∪∈∀≥],[0)( dcxxf ∈∀≤
Cálculo de áreas de regiones planas
Si entonces el área de la región plana delimitada por
las curvas y = f(x) , y = g(x) y las rectas verticales x = a , x = b:
],[)()( baxxfxg ∈∀≤
[ ]∫ −=b
dxxgxfA )()(
Sean tales que c < d. Por ejemplo,
y entonces el área de la región plana delimitada
por las curvas y = f(x) , y = g(x) y las rectas verticales x = a , x = b:
[ ]∫ −=a
dxxgxfA )()(
),(, badc ∈
[ ] [ ] [ ]∫∫∫ −+−+−=b
d
d
c
c
adxxgxfdxxfxgdxxgxfA )()()()()()(
],[],[)()( bdcaxxgxf ∪∈∀≥],[)()( dcxxgxf ∈∀≤
Longitud de un arco de curva
Si se considera la curva y = f(x) donde f es una función de clase uno en [a,b]
se verifica que la longitud del arco de curva de extremos los puntos
(a,f(a)) y (b,f(b)) viene dado por:
[ ]∫ +=b
adxxfL 2)('1
Volúmenes de cuerpos de revolución
Consideremos la región plana delimitada por la curva y = f(x) las rectas x = a
x = b y el eje de abscisas.
� Si se hace girar esta región alrededor del eje de abscisas se genera un � Si se hace girar esta región alrededor del eje de abscisas se genera un
cuerpo denominado cuerpo de revolución cuyo volumen viene dado:
[ ]∫=b
adxxfV 2)(π