TEMA 2. Diagonalizacion Endomorfismos

Tema 2. Diagonalizacion deendomorfismos

Definicion 1. Dado un e.v. V sobre un cuerpo K diremosque el endomorfismo f : V → V es diagonalizable si existeuna base de V tal que la representacion de f en la base seauna matriz diagonal D.Si la matriz A ∈Mn(K) es la representacion de f en la base,diremos que A es diagonalizable en K si f es diagonalizable.

A es diagonalizable en K si ∃P ∈ Mn(K) inversible tal queP−1AP = D sea una matriz diagonal (A y D son matricessemejantes).

Definicion 2. Sea f : V → V un endomorfismo. Un vector~v 6= ~0 de un e.v. V sobre un cuerpo K se llama autovector ovector propio de un endomorfismo si ∃λ ∈ K tal que f(~v) =λ~v. A este valor λ ∈ K se le llama autovalor o valor propiodel endomorfismo f asociado al autovector ~v.

Dpto. Matematica Aplicada Tema 2. Diagonalizacion de endomorfismos. 1

Definicion 3. Sea f : V → V un endomorfismo. Al conjuntoVλ = {~v ∈ V/f(~v) = λ~v} se le llama subespacio propio delendomorfismo f asociado al autovalor λ.

√Vλ es un subespacio vectorial de V , formado por los

autovectores de f asociados a λ y por ~0V .

√Si ~v es un autovector de f , ~v lleva asociado un unico autovalor.

√Dada la aplic. identidad i : V → V , se tiene Vλ = Ker(f−λi).

√λ es autovalor de f si y solo si f − λi no es inyectiva.

√Si f no es inyectiva, λ = 0 es un autovalor de f con subespacio

propio asociado Kerf .


Autovalores de una matriz

Definicion 4. Sea A ∈ Mn(K). Decimos que una matrizcolumna no nula X ∈ Mn×1(K) es un autovector o vectorpropio de la matriz A si existe un escalar λ ∈ K tal queAX = λX. A este valor λ ∈ K se le llama autovalor o valorpropio de la matriz A asociado al autovector X.

Proposicion 1. Sea f : V → V un endomorfismo del e.v. Vsobre K, y A la matriz asociada a f en una cierta base B.Entonces:

1. λ ∈ K es autovalor de f ⇔ λ ∈ K es autovalor de A

2. Si X es la matriz columna formada por las coordenadasde un vector ~x ∈ V en la base B, entonces

~x es un autovector ⇔ X es un autovector

de f asociado a λ de A asociado a λ


Calculo de Autovalores

Teorema 1. Sea A ∈Mn(K). Entoncesλ ∈ K es un autovalor de A ⇔ el determinante de la matriz(A− λI) es nulo.

λ sera autovalor de A si y solo si el sistema homogeneo (A −λI)X = 0 tiene solucion no nula. Esto ocurre si y solo si (A−λI)es una matriz singular, es decir su determinante es nulo.

Definicion 5. Sea A ∈ Mn(K). Llamamos polinomiocaracterıstico de la matriz A al determinante de la matriz(A− λI).

Observemos entonces que, segun el teorema anterior, losautovalores de la matriz A son las raıces de su polinomiocaracterıstico.


√Si A es la matriz asociada a f en una cierta base B entonces:

dimVλ = dimV − rg(A− λI)

Ejemplos

De los siguientes endomorfismos reales, hallar los autovalores ysus subespacios propios asociados:

Ejemplo 1. f(x, y) = (3x+ 2y, 2x)

Ejemplo 2. f(x, y, z) = (2x+ y,−x+ z, x+ 3y + z)

Ejemplo 3. f(x, y, z) = (x,−8x+ 4y − 6z, 8x+ y + 9z)


Diagonalizacion de un endomorfismo

Teorema 2. Sea V un e.v. sobre un cuerpo K y f : V → V unendomorfismo. Entonces f es diagonalizable si y solamentesi existe en V una base de autovectores de f .

Proposicion 2. Sea V un e.v. definido sobre K y f : V →V un endomorfismo. Entonces si: {λ1, λ2, . . . , λm}son autovalores distintos de f , entonces los autovectorescorrespondientes {~v1, ~v2, . . . , ~vm} son linealmente independientes.

Si dimV = m, los vectores {~v1, ~v2, . . . , ~vm} forman una basede V .

Teorema 3. Sea V un e.v. de dimension n sobre K y f : V →V un endomorfismo. Si f tiene n autovalores λ1, λ2, . . . , λn ∈K distintos, entonces f es diagonalizable en K

Nota: Este teorema no implica que un endomorfismo conautovalores multiples no pueda ser diagonalizable.


Diagonalizacion de una matriz

Teorema 4. Dada A ∈ Mn(K), se tiene que A esdiagonalizable si y solamente si existe en Kn una base deautovectores de A.

Ademas, respecto de dicha base es diagonal y los elementos de ladiagonal principal son los autovalores de f .

Por tanto, existe una matriz P (de cambio de base) tal que

P−1AP = D

donde D es una matriz diagonal formada por los autovalores de Ay P por la correspondiente base de autovectores.


Teorema de caracterizacion de losendomorfismos diagonalizables

Definicion 6. Sea f : V → V un endomorfismo en un e.v. Vdefinido sobre K. Si λ ∈ K es un autovalor de f , llamamos:

1. Multiplicidad algebraica de λ, ma(λ) al orden demultiplicidad de λ como raız del polinomio caracterısticode f .

2. Multiplicidad geometrica de λ, mg(λ), a la dimension delsubespacio propio asociado a λ, Vλ.


Teorema 5. Sea V un e.v. de dimension n definido sobreun cuerpo K y f : V → V un endomorfismo. Si losautovalores distintos de f son: λ1, λ2, . . . , λp ∈ K entoncesf es diagonalizable si y solo si se verifican las dos siguientescondiciones:

1. ma(λ1) +ma(λ2) + . . .+ma(λp) = n

2. ma(λi) = mg(λi) i = 1, . . . , p

√Si K = C entonces, 1. siempre se verifica.

√Si λ es un autovalor de f , entonces

1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ)

√Los resultados anteriores son analogos para matrices.


Proposicion 3. Sea A ∈Mn(K). Entonces:

1. λ autovalor de A⇔ kλ autovalor de kA

2. λ autovalor de A ⇔ kλ− k autovalor de kA− kI

3. Si A es regular, λ autovalor de A ⇔ 1λ

autovalor de A−1

4. Si λ autovalor de A⇒ λn autovalor de An

Ejemplo 4. Dar, si es posible, un ejemplo de una matriz A ∈M4×4(R) tal que

S = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1)(0, 0,−1, 1)}

sean vectores propios y el conjunto de valores propios sea{1,−1}. En caso afirmativo, estudiar si A es diagonalizable,si es inversible y determinar la potencia n-esima.


Forma canonica de Jordan

Cuando una matriz no es diagonalizable, existe la posibilidad deencontrar una representacion agradable, llamada forma canonicade Jordan.

Definicion 7. Llamaremos matriz de bloques de Jordan B(λ) auna matriz cuadrada triangular superior que tiene λ en ladiagonal, unos en los elementos inmediatamente a la derechade la diagonal principal y ceros en el resto, Es decir:

B(λ) =

λ 1 0 . . . 00 λ 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . λ 10 0 . . . 0 λ


Definicion 8. Llamaremos matriz de Jordan J a una matriz dela forma:

J =

B1(λ1) 0 . . . 0

0 B2(λ2) . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . Br(λr)

donde cada Bj(λj) es una matriz de bloques de Jordan.

Ejemplo 5. Las matrices de Jordan de tamano 2 son de la

forma

(λ1 00 λ2

)y

(λ 10 λ

)donde λ1 y λ2 podrıan ser

iguales.


Ejemplo 6. Las matrices de Jordan de tamano 3 son: λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

, λ1 0 0

0 λ2 10 0 λ2

, λ1 1 0

0 λ1 00 0 λ2

, λ 1 0

0 λ 10 0 λ

Teorema 6. Sea A una matriz cuadrada de tamano n,entonces existe una matriz cuadrada inversible C, tal queC−1AC = J , siendo J una matriz de Jordan cuyos elementosdiagonales son los autovalores de A (repetidos segun sumultiplicidad algebraica). El numero de unos se obtienerestando la multiplicidad algebraica menos la geometrica decada autovalor. Ademas J es unica salvo el orden de susbloques, y se llama forma canonica de Jordan de A.


Calculo de la forma canonica deJordan para una matriz de tamano 2

Ejemplo 7. Sea A =(

3 −28 −5

)que tiene a λ = −1

como autovalor de multiplicidad algebraica 2 , mientrasque su multiplicidad geometrica es 1. Por tanto, Ano es diagonalizable. Su forma canonica de Jordan es

J =(−1 1

0 −1

). Para encontrar la matriz de paso C,

consideramos el subespacio propio asociado a λ = −1, queesta generado por el vector v1 = (1, 2). Ahora resolvemos elsistema de ecuaciones (A−λI)x = v1 y obtenemos v2 = (1

4, 0)como una de sus soluciones. Por tanto J = C−1AC, siendo

C =(

1 14

2 0

), siendo v1 y v2 las columnas de C.


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