Tema 2 Analisis Diferencial 0405

2. Análisis diferencial en Mecánica de Fluidos

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 04

1

UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón Ingenieros Industriales Curso 2004-2005 Apuntes de Mecánica de Fluidos ANÁLISIS DIFERENCIAL EN MECÁNICA DE FLUIDOS.

1. Cinemática y dinámica de fluidos. 2. Ecuaciones de constitución. 3. Ecuaciones de conservación 4. Problemas resueltos.

Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos

Gijón noviembre 2004



2

ANÁLISIS DIFERENCIAL EN MECÁNICA DE FLUIDOS 1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE FLUIDOS 1.1. Métodos de análisis en Mecánica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 3 1.2. Tipos de análisis en Mecánica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 4 1.3. Cinemática de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 5 1.3.1. Derivada sustancial o material. 5 1.3.2. El operador NABLA: gradiente, divergencia y laplaciana. 7 1.4. Dinámica de Fluidos: fuerzas macroscópicas sobre los fluidos. 10 1.4.1. Fuerzas de volumen. 10 1.4.2. Fuerzas de superficie. 11 1.4.3. Tensor de tensiones. 11 1.5. Tipos de flujo. 14 2. ECUACIONES DE CONSTITUCIÓN 2.1. Comportamiento mecánico: tensor de velocidad de deformación. 15 2.2. Fluidos Stokesianos: tensor de tensiones viscosas. 18 2.3. Fluidos Newtonianos. 18 2.3.1. Ec. de NAVIER-POISSON. 18 2.3.3. Tensor de tensiones de un fluido newtoniano. 19 2.4. Comportamiento térmico. 20 2.4.1. Ecuaciones de Estado. 2.4.2. Ecuaciones de transmisión de calor. 3. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN. 3.1. Ecuación diferencial de conservación de masa: ecuación de continuidad. 21 3.2. Ecuación diferencial de conservación de cantidad de movimiento: ecuación de movimiento de CAUCHY. 24 3.2.1. Fluido no viscoso: ecuación de EULER. 26 3.2.2. Flujo no viscoso en línea de corriente: ecuación de BERNOULLI. 28 3.2.3. Fluido newtoniano: ecuaciones de NAVIER-STOKES. 29 3.2.4. La función de corriente y la función potencial de velocidad. 30 3.3. Ecuación diferencial de conservación de la energía: ecuación de la energía. 32 3.3.1. Ecuación de energía interna. 33 3.3.2. Ecuación de entalpía. 34 3.3.3. Ecuación de entropía. 34 3.4. Condiciones de contorno. 35 4. PROBLEMAS RESUELTOS. 4.1. Métodos de análisis: Euleriano y Lagrangiano. 38 4.2. Aplicación de la ecuación de continuidad: criterios de incompresibilidad. 40 4.3. Aplicación de las ecuaciones de continuidad y de BERNOULLI: descarga de depósitos. 42 4.4. Aplicación de la ecuación de BERNOULLI i: flujo no viscoso entre discos horizontales. 45 4.5. Aplicación de la ecuación de BERNOULLI i no estacionario: oscilaciones en un tubo en U. 48 4.6. Aplicación de la ecuación de BERNOULLI con aceleración de arrastre: bomba rotativa. 50 4.7. Aplicación de las ecuaciones de NAVIER-STOKES: flujo de COUETTE-POISEUILLE. 53 4.8. Aplicación de la ecuación de NAVIER-STOKES: flujo viscoso entre discos horizontales. 55 4.9. Aplicación de la ecuación de Energía: distribución de temperaturas en flujo de Poiseuille. 59 ANEXOS. A1: Ecuaciones de conservación en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas A2: Newton, Berrnoulli, Euler, Lagrange, Laplace, Poisson, Navier, Cauchy, Stokes, Fraude, Mach, Reynolds, Weber, Prandtl, von Karman.



3

A(t0) A(t1)

A(t2)

A(t3)

1. CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE FLUIDOS 1.1. Métodos de análisis en Mecánica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 1.2. Tipos de análisis en Mecánica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 1.3. Cinemática de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 1.3.1. Derivada sustancial o material. 1.3.2. El operador NABLA: gradiente, divergencia y laplaciana. 1.4. Dinámica de Fluidos: fuerzas macroscópicas sobre los fluidos. 1.4.1. Fuerzas de volumen. 1.4.2. Fuerzas de superficie. 1.4.3. Tensor de tensiones. 1.5. Tipos de flujo. 1.1. MÉTODOS EN MECÁNICA DE FLUIDOS: LAGRANGIANO Y EULERIANO. El ámbito general de la Mecánica de Fluidos, es la interacción entre fluidos y su entorno. Además el fluido esta constituido por una sucesión continua de partículas que interaccionan entre si y entre los contornos. La partícula fluida esta formada por una sucesión continua de puntos materiales, que integran un volumen infinitesimal; que en el proceso de fluir, se deforma por la interacción con el resto de fluido, permaneciendo su masa y su volumen elementales constantes, es decir, la densidad en toda la extensión de la partícula fluida es constante.

Como metodología de estudio se dispone de dos alternativas: - La identificación de cada partícula fluida y su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que

determinan la posición de la partícula en función del tiempo, además de conocer las magnitudes asociadas a cada partícula. Este el método de LAGRANGE, que es el usado normalmente en Mecánica de Sólidos.

- En Mecánica de Fluidos, es suficiente conocer el valor de las propiedades en los diversos puntos

del campo fluido a lo largo del tiempo, con independencia de la partícula que lo ocupa en un instante determinado; ésta es la base del método de EULER, en el que las magnitudes de las propiedades de una partícula fluida en un determinado instante, vienen dadas por los valores de las propiedades en el punto que es ocupado por la partícula en el citado instante. En el método Euleriano, se deben determinar los “campos de propiedades”; así, el campo de presiones, es la expresión espacial y temporal de la presión: p=p(x,y,z,t), con lo que una partícula que en un instante “t0”, ocupe una posición (x0, y0, z0), tiene una presión dada por el campo de presiones: p=p(x0,y0,z0,t0)

Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su análisis es interesante tener algún tipo de

representación. Cada método de análisis utiliza diferentes procedimientos de representación:

- En el método lagrangiano, se definen las trayectorias de las partículas como lugar geométrico de las diferentes posiciones temporales de las partículas. La trayectoria de una partícula es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas, a lo largo del tiempo, de la partícula, que en el instante inicial (t0) estaba en la posición inicial ( 0rr ).

Fig.1.1.: Trayectoria de una partícula A a lo largo del tiempo: Método Lagrangiano



4

- En el método euleriano, se definen las líneas de corriente, que son las envolventes tangenciales de los vectores velocidad de todas las partículas en un instante determinado.

Fig. 1.2. Línea de Corriente en un instante dado (t0) en distintos puntos ocupados por distintas partículas A,B,...

El vector unitario de la velocidad, es el vector unitario de la dirección tangencial, en determinado en un punto de la línea de corriente; con lo que las ecuaciones diferenciales que dan lugar a las líneas de corriente son:

( )dx dy dz

u x, y,z, t v(x, y,z, t) w(x, y,z, t)= =

(1.)

1.2. TIPOS DE ANÁLISIS EN MECÁNICA DE FLUIDOS. La dinámica de fluidos trata del movimiento de los fluidos, a lo que se denomina flujo, y de sus interacciones con el entorno. En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de conservación (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitución (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometría y el entorno).

Las ecuaciones de conservación y de constitución, junto con las condiciones de contorno, aplicadas a cada

una de las partículas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolución lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemática) y al campo de fuerzas (dinámica). Este tipo de análisis diferencial, da sistemas de ecuaciones simultaneas en derivadas parciales, que son de difícil o imposible resolución; aunque pueden encontrarse soluciones analíticas con hipótesis restrictivas y en determinados casos, en donde se pueden obtener soluciones parciales por cálculo numérico, utilizando las técnicas actuales de simulación que constituye la mecánica de fluidos computacional (CFD: computational fluid mechanics), en donde las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un número finito de puntos del flujo (mallado).

Si lo que se pretende obtener, no es el estado de movimiento del fluido, sino sus efectos sobre una

determinada región del flujo, se puede establecer otro tipo de análisis que evalúe las características globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la región de estudio, en donde se consideran las interrelaciones entre entorno y flujo, se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada-residencia-salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas por las ecuaciones integrales de conservación aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. Este método de análisis integral, se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variación de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control.

Cuando el flujo es complejo y el análisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las

ecuaciones o porque la resolución de los sistemas en derivadas parciales no es posible); y debido a que el análisis integral da resultados globales; es necesario recurrir a un análisis experimental, en donde los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos. En este método de análisis aparecen dos problemas propios: el gran número de variables que intervienen en la descripción del flujo y la imposibilidad, en ciertos casos, de ensayar en condiciones reales. Para abordar estos problemas, se dispone del análisis

A(t0)

B(t0)

(x0,y0,z0)

(x1,y1,z1) v (x0,y0,z0,to)

v (x1,y1,z1,t0)



5

dimensional que permite reducir el número de variables y la teoría de modelos, con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendría su prototipo.

El análisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo, pero la dificultad de establecer y

resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, limita el método; también el análisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo, pero las dificultades inherentes a las técnicas experimentales, presupuesto y universalidad, son las que limitan el método; en cuanto al análisis integral, si que aporta resultados en el estudio técnico de flujos, pero siempre de magnitudes globales.

El análisis diferencial comenzó con EULER y LAGRANGE en el siglo XVIII, el análisis dimensional tuvo

sus primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX, y el análisis integral, aunque propuesto por EULER, se desarrollo a mediados del siglo XX. En la actualidad las potentes técnicas de cálculo numérico, implementadas en ordenadores cada vez más rápidos, han hecho posible, el resurgimiento del análisis diferencial, en cuanto a la posibilidad de resolución de flujos cada vez más complejos, en donde se consideran los efectos viscosos. En cuanto al análisis experimental, el desarrollo de sensores específicos (piezoeléctricos de presión, extensiométricos de fuerza,...) y de técnicas cada vez menos intrusivas (velocimetría laser-doppler, hilo radiante,...), esta aportando medidas cada vez más fiables.

1.3. CINEMÁTICA DE FLUIDOS: PROPIEDADES DEL VECTOR VELOCIDAD. El término cinemática esta asociado a las propiedades del campo de velocidades. En la descripción Euleriana del flujo, la velocidad local del fluido (x, y,z, t)vr es la variable fundamental. Se pueden tener dos casos extremos:

- flujo estacionario, cuando la velocidad es independiente del tiempo, con lo que en un determinado

punto, la velocidad (y en general cualquier propiedad) no varía con el tiempo, es decir la velocidad solo depende de la posición:

(x, y,z) 0t

∂= ⇒ =

∂vv vr

r r (2.)

- flujo uniforme, cuando la velocidad no depende de la posición, con lo que en un determinado

instante, la velocidad (y en general cualquier propiedad) es la misma en todos los puntos del campo fluido, es decir la velocidad solo depende del tiempo, y su gradiente es nulo.

(t) 0= ⇒ ∇ =v v vr r r (3.)

1.3.1. DERIVADA SUSTANCIAL O MATERIAL. Consideremos una propiedad intensiva del campo fluido, por ejemplo, la presión termodinámica. El campo de presiones, es tetradimensional: p=p(x,y,z,t), y para su obtención, hay que resolver la ecuación diferencial:

p p p pdp p(x dx, y dy,z dz, t dt) p(x, y,z, t) dt ·dx ·dy ·dzt x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + + + − = ⋅ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

para lo cual, hay que determinar las 4 variaciones parciales de la presión: la temporal y las tres espaciales. Una vez conocido el campo de presiones, si se sigue a una partícula, la magnitud de su presión, viene dada por el valor del campo de presiones, que es función de la posición en que se encuentre en un determinado instante. La variación temporal del campo de presiones, viene dada por:

dp p dx p dy p dz pdt t dt x dt y dt z

∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂



6

en las expresiones anteriores, los espacios recorridos elementales: dx. dy, dz, representan los incrementos espaciales, en los que se conoce el campo fluido. Si los citados incrementos, los marcan las partículas en su movimiento a una determinada velocidad1; con lo que los respectivos incrementos espaciales son: dx = u·dt; dy = v·dt; dz = w·dt en donde u,v,w son las componentes cartesianas del vector velocidad: u v w= ⋅ + ⋅ + ⋅v i j k

r r rr con todo, se tiene, que para un observador que se mueve con la velocidad del fluido, la variación temporal de la presión es:

dt

dp p p p pu v wdt t x y z= ⋅

∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂dr vr r

(4.) en notación compacta, se tiene:

dt

dp p pdt t=

∂= + ⋅

∂dr v

vrr

r∇

(5.)

en donde el operador t

∂+ ⋅

∂vr ∇ , se denomina derivada sustancial o material, y representa la velocidad de

cambio de una determinada propiedad de una partícula de fluido en su movimiento. Se suele denotar, o bien por

dt

dpdt =

dr vr

r, o bien por D

Dt. Así, en el caso consideradode la presión termodinámica, su derivada material es:

Dp p pDt t

∂= + ⋅

∂vr ∇

(6.)

en donde la variación local es: tp

∂∂ , que evalúa la variación temporal de la presión en un determinado punto

y la variación convectiva es: p⋅vr ∇ , que evalúa la variación de la presión (por unidad de tiempo) de un punto a otro, al moverse el fluido por un gradiente de presiones. el termino p∇ se denomina gradiente de presión, y su expresión depende del sistema de coordenadas:

coordenadas cartesianas: p p ppx y z

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂ ∂i j kr r r

∇

coordenadas cilíndricas: p 1 p ppr r z

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂θ ∂r zu urr r

∇

Si consideramos una propiedad vectorial, como por ejemplo la misma velocidad, su derivada material, viene determinada por:

Coordenadas cartesianas: D u v wDt t x y z t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + = + ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

v v v v v v v vr r r r r r

r r∇

La aceleración del fluido, es la derivada material de la velocidad, y es suma de una aceleración local y una aceleración convectiva:

DDt t

∂⋅

∂v va = = + v vr r

r r r∇

(7.)

aceleración local t

∂∂vr

aceleración convectiva u u u v v v w w wu v w u v w u v wx y z x y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v v i j kr r rr r

∇

1 es como si el campo fluido se estuviera marcando por un observador que se mueve con la velocidad del fluido



7

El gradiente de velocidad, es un tensor, cuyas componentes cartesianas son:

( )

u v wx x x x

u v w= u v wy y y y

u v wz z z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vr

(8.) Si el sistema de referencia es no inercial, para obtener la aceleración absoluta, hay que añadir a la aceleración relativa, calculada anteriormente, la aceleración de arrastre del sistema de referencia no inercial2, respecto a un sistema de referencia inercial:

( )

relativa

absoluta relativa arrastreSRNI

arrastre 0 SRNI SRNI SRNI

D Dt t

d 2dt

∂= = + ⋅

∂= += + × + × × + ×

v va v va a a

a a r r v

r rr r r

r r rr

r r rr r r r r

∇

ωω ω ω

en donde la aceleración de arrastre, tiene 4 sumandos, respectivamente:

0 =ar aceleración lineal del sistema de referencia no inercial (SRNI) respecto al inercial

SRNIddt

×rr

rω = aceleración tangencial de la partícula

( )SRNI SRNI× ×rr r rω ω = aceleración centrípeta de la partícula

SRNI × vr r2ω = aceleración de CORIOLIS. en SRNI

rω es la velocidad de giro del SRNI, respecto al sistema de referencial inercial, y rr es su vector de posición

en el SRNI 1.3.2. EL OPERADOR NABLA. El operador NABLA: ∇ , se utiliza para compactar las expresiones cinemáticas. Es un operador vectorial, que se puede aplicar a un escalar o a un vector, representando su gradiente. NABLA es un operador vectorial, que se puede operar con otro vector o con un tensor. Así el producto escalar del operador NABLA representa la divergencia: si el producto escalar es con otro vector, se tiene la divergencia del vector, y si el producto escalar es con un tensor se tiene la divergencia del tensor. El producto vectorial del operador NABLA con un vector, representa el rotacional del vector:

OPERADOR NABLA en coordenadas cartesianas: x y z∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

i j kr r r

∇

OPERADOR NABLA en coordenadas cilíndricas: r1

r r z∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂θ ∂ zu u

rr r∇

OPERADOR NABLA en coordenadas esféricas: 1 1r r rsen ϕ

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂θ θ ∂ϕr θu u ur r r∇

2 Un sistema de referencia NO INERCIAL, se mueve con velocidad no constante, respecto a un sistema de referencia INERCIAL (a velocidad constante).



8

GRADIENTE: la aplicación del operador NABLA a una magnitud, representa el gradiente de la magnitud a lo largo del espacio: es decir, su variación de un punto a otro. Cuando el operador ∇ se aplica a un escalar se obtiene un vector que representa la variación del escalar desde un punto a otro del flujo y que se denomina gradiente de la magnitud escalar. Cuando el operador ∇ se aplica a un vector se obtiene un tensor que representa la variación del vector desde un punto a otro del flujo, que se denomina gradiente de la magnitud vectorial.

GRADIENTE DE PRESIÓN:

p p pcartesianasx x zpp 1 p pcilíndricasr r z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂θ ∂r θ z

i j k

u u u

r r r

r r r∇

GRADIENTE DE TEMPERATURA:

T T Tcartesianasx x zTT 1 T Tcilíndricasr r z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂θ ∂r θ z

i j k

u u u

r r r

r r r∇

GRADIENTE DE DENSIDAD: cartesianas

x x z1cilíndricas

r r z

∂ρ ∂ρ ∂ρ= + +

∂ ∂ ∂ρ =∂ρ ∂ρ ∂ρ

= + +∂ ∂θ ∂r θ z

i j k

u u u

r r r

r r r∇

GRADIENTE DE VELOCIDAD: ( )

u v wx x x x

u v wu v wy y y y

u v wz z z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vr∇

DIVERGENCIA: el producto escalar del operador ∇ con un vector, es un escalar que se denomina divergencia del vector. El producto escalar del operador NABLA con el vector velocidad, es la divergencia de la velocidad; que representa la velocidad de variación de la densidad por unidad de densidad3 (que también es igual a la velocidad de variación del volumen por unidad de volumen)

DIVERGENCIA DE VELOCIDAD: ( )r z

u v wcartesianasx x z

r v v v1 1cilíndricasr r r z

θ

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂⋅ =∂ ⋅ ∂ ∂

= + +∂ ∂θ ∂

vr∇

El producto escalar del operador ∇ con un tensor, es un vector que se denomina divergencia del tensor; así la divergencia del tensor de tensiones es el vector de tensiones de contacto (fuerzas de superficie por unidad de área) sobre una determinada partícula fluida:

yx xy yy zy yzxx zx xz zz

x y z x y z x y z∂τ ∂τ ∂τ ∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂τ ∂τ ∂τ ∂τ

⋅ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠i j kr r r

∇ τ

3 Ver ecuación de continuidad:

1 ddt

− ρ⋅ =

ρvr∇



9

ROTACIONAL: el producto vectorial del operador ∇ con un vector, es un vector que se denomina rotacional. El producto vectorial del operador NABLA con el vector velocidad es el rotacional de la velocidad que representa la velocidad angular local de una partícula fluida (el doble), y que se denomina vorticidad: ROTACIONAL DE VELOCIDAD: VORTICIDAD× = =v

rr∇ Ω =2· rω

Cartesianas w v u w v uy z z x x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞× = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠v i j k

r r rr∇

Cilíndricas ( )z r z rr vvv v v v1 1 1r z z r r r r

θθ ∂ ⋅⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞× = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠r zv u u ur r r r

θ∇

LAPLACIANA: la divergencia de un gradiente, se denomina laplaciana; que cuando se aplica a un escalar da lugar a otro escalar, y cuando se aplica a un vector da otro vector. Como ejemplos significativos consideraremos la laplaciana de temperatura y la laplaciana de velocidad LAPLACIANA DE TEMPERATURA: ( ) 2T T⋅ = ∇∇ ∇

Cartesianas 2

2

2

2

2

22

zT

yT

xTT

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

Cilíndricas 2

2

2

2

22

22

zTT

r1

rT

rT

r1T

∂

∂+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=∇

Esféricas 2

2 22 2 2 2 2

1 T 1 T 1 TT r senr r r r sen r r sen

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = + θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ θ ∂ ∂θ θ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

LAPLACIANA DE VELOCIDAD: ( ) 2⋅ = ∇v vr r

∇ ∇

Cartesianas: 2 2 2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2 2

u u u v v v w w wx y z x y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v i j kr r rr

Cilíndricas:

2 2 22 r r r r r

2 2 2 2 2 2

2 2 2r

2 2 2 2 2 2

2 2 2z z z z

2 2 2 2

vv v v v v1 1 2 r r r r z r r

v v v v v v1 1 2 r r r r z r r

v v v v1 1 r r r r z

θ

θ θ θ θ θ

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + + − − ⋅ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + − + ⋅ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

r

θ

z

v u

u

u

r r

r

r

Esféricas:

2 2r r2

2 r2 2 2

2 r2 2

vv v2 1 v vr tg sen

vv2 1 v v 2cosr r sen

vv1 v v 2sen 2cosr sen

ϕθ θ

ϕθ θ θ

θϕ ϕ ϕ

∂⎡ ⎤⎛ ⎞∂∇ ⋅ = ∇ − + + + ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂θ θ θ ∂ϕ⎝ ⎠⎣ ⎦

∂⎡ ⎤⎛ ⎞∂+ ∇ + − + θ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂θ θ ∂ϕ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤∂⎛ ∂ ⎞+ ∇ − − θ − θ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟θ ∂ϕ ∂ϕ⎝ ⎠⎣ ⎦

rv u

u

u

r r

r

r



10

1.4. DINÁMICA DE FLUIDOS: FUERZAS MACROCÓPICAS. En el Análisis Diferencial de Fluidos, hemos considerado como volumen de control a la partícula fluida, que es una porción de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias. El tamaño esta en relación a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medición. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de moléculas que integran la partícula fluida.

Para su análisis, la partícula fluida se aísla del fluido que la envuelve mediante las superficies de

contacto partícula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partícula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia.

1.4.1. FUERZAS DE VOLUMEN. Las fuerzas de volumen, son fuerzas débiles de largo alcance, actúan sobre cada elemento de volumen del fluido, y son debidas a campos de fuerzas externos. La fuerza elemental, que ejerce el campo externo, sobre el elemento de volumen, por unidad de volumen es:

VV

ddV

=F fr

r

El campo externo de fuerzas, más habitual, es el gravitatorio terrestre, en donde la fuerza por unidad de volumen, viene determinada por la densidad de la partícula fluida y la aceleración gravitacional ( g= −g k

rr ) V = ρf g

r r Si la partícula fluida, tiene una determinada densidad de carga (ρq=dq/dV), y esta inmersa en un campo eléctrico de intensidad E

r, la fuerza elemental por unidad de volumen es:

V q= ρf E

r r

Si la partícula fluida, tiene una determinada densidad de carga (ρq=dq/dV), y esta inmersa en un campo magnético de intensidad B

r, la fuerza elemental por unidad de volumen es:

V q= ρ ⋅ ×f v

r rrΒ

En general, si la partícula cargada, esta en un campo electromagnético, se tiene la fuerza de LORENTZ: ( )V q= ρ ×f E + v

r r rrΒ

Genéricamente, consideraremos como expresión de la fuerza elemental por unidad de volumen, debida a la acción de un campo de fuerzas externos:

VV

ddV

= = ρ⋅F f gr

r r (9.)

Si el sistema de referencia es no inercial, a la aceleración absoluta gr , hay que restarle la aceleración de arrastre SRNIar (del sistema de referencia no inercial respecto a un sistema de referencia inercial), para poder establecer el equilibrio de todas las fuerzas, en el sistema de referencia no inercial.

( )VV SRNI

ddV

= = ρ⋅F f g - ar

r r r

( )SRNISRNI 0 SRNI SRNI SRNI

da a r r 2 vdt

ω= + × + ω × ω × + ω ×

rr r r r r r r r



11

x

y

z

πy=cte.

πx=cte.

πz=cte.

1.4.2. FUERZAS DE SUPERFICIE. Las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de una partícula fluido en movimiento, ejerce el fluido que la rodea, se denominan fuerzas de superficie. Son debidas a la agitación molecular y a la interacción molecular, por lo que son apreciables sólo a distancias del orden de la interacción molecular. Se puede demostrar que la resultante de las fuerzas elementales de superficie (por unidad de volumen), sobre una partícula fluida, viene determinado por la divergencia de un tensor asociado al punto por el que pasa la partícula, y que se denomina tensor de tensiones:

SS

ddV

= = ⋅F fr

r∇ σ

(10.) 1.4.3. TENSOR DE TENSIONES. En un determinado elemento de área de la partícula fluida, las fuerzas de superficie son proporcionales al área de contacto con el resto del fluido; y además por el principio de acción-reacción, la fuerza que el resto de fluido hace sobre la partícula a través del citado elemento de área, está equilibrada por la correspondiente fuerza que la partícula hace sobre el resto de fluido. A la fuerza de contacto elemental por unidad de área de contacto, se le denomina tensión. Sobre un determinado elemento de área, la tensión (resultante elemental de las fuerzas de superficie, por unidad de área de contacto), se pueden descomponer en tres componentes elementales ortogonales: una componente en la dirección normal (del elemento de área) y dos en direcciones tangenciales, es decir una tensión normal y dos tensiones tangenciales. Consideremos un punto material como intersección de 3 planos ortogonales, cada uno de los cuales esta marcando una dirección normal y dos tangenciales, con lo que se tendrá en conjunto, en el citado punto material, 3 tensiones normales y 6 tensiones tangenciales, que se agrupan en el denominado tensor de tensiones:

xx yx yz

xy yy zy

xz yz zz

⎛ ⎞σ τ τ⎜ ⎟= τ σ τ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ σ⎝ ⎠

σ

Fig. 1.3. Tensor de tensiones en un punto.

τyz

σzz

τxz

τyx

τzx

σxx

σyy

τzy

τxy



12

( )xzxz

dz dx·dyz 2

∂τ −⎛ ⎞τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )xzxz

dz dx·dyz 2

∂τ⎛ ⎞τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ xzτ

( )xyxy

dy dx·dzy 2

∂τ⎛ ⎞−τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

xyτ

( )xyxy

dy dx·dzy 2

∂τ⎛ ⎞τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )xxxx

dx dy·dzx 2

∂τ −⎛ ⎞τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( )xxxx

dx dy·dzx 2

∂τ⎛ ⎞τ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

xxτ

dx

x y

z

dx

dy

dz

cdg

Consideremos una partícula fluida elemental, en coordenadas cartesianas, de tamaño dx·dy·dz, en cuyo centro de gravedad, se tiene el tensor de tensiones σ . El balance de fuerzas elementales de superficie, en la dirección “x”, es: (1) sobre las caras x=cte, si la tensión normal en el cdg es σxx , en la cara anterior, la fuerza de superficie en la

dirección “x” es: ( )xxxx

dx dy·dzx 2

∂σ⎛ ⎞σ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ y de sentido positivo (consideramos que el fluido que rodea la citada

cara anterior es más rápido que la propia cara), y en la cara posterior, la fuerza de superficie en la dirección “x”

es ( )xxxx

dx dy·dzx 2

∂σ −⎛ ⎞σ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ y de sentido negativo ( suponemos que el fluido que rodea la citada cara posterior

es más lento que la propia cara). Fig.1.4. Partícula fluida. Fig. 1.5. Fuerzas “x” en caras x=cte, (2) Análogamente sobre las caras y=cte, z=cte.

Fig. 1.6. Fuerzas “x” en caras y=cte. Fig. 1.7. Fuerzas “x” en caras z=cte.

( ) ( )

( )

xx xxS xx xxx

xy xyxy xy

xz xzxz xz

dx dxdF dy dzx 2 x 2

dy dy + dx dzy 2 y 2

dz dz + z 2 z 2

⎛ ⎞∂σ ∂σ −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= σ + − σ + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎛ ⎞∂τ ∂τ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−

τ + − τ + ⋅ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎛ ∂τ ∂τ −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + − τ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )xyxx xzdx dy ... dx·dy·dzx y z

∂τ⎞ ⎛ ⎞∂σ ∂τ⋅ = = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

Análogamente, las componentes “y” y “z”, de las fuerzas de superficie sobre la partícula fluida son:



13

( ) ( )yx yy yzS y

dF dx·dy·dzx y z

∂τ ∂σ ∂τ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( )zyzx zzS z

dF dx·dy·dzx y z

∂τ⎛ ⎞∂τ ∂σ= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Con todo lo anterior, la resultante de las fuerzas de superficie sobre la partícula fluida es:

xy yx yy yz zyxx xz zx zzSd ·dV

x y z x y z x y z∂τ ∂τ ∂σ ∂τ ∂τ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂σ ∂τ ∂τ ∂σ

= + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦F i + j + k

r rr r

con lo que la fuerza elemental de superficie, por unidad de volumen se puede expresar por:

xx yx zxS

xy yy zy

xz yz zz

ddV x y z

⎛ ⎞σ τ τ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟= ⋅ τ σ τ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟τ τ σ⎝ ⎠

Fr

∇ σ

Por el equilibrio dinámico de la partícula fluida, los momentos de las fuerzas elementales tangenciales deben ser nulos, lo que lleva a la igual de las tensiones tangenciales cruzadas; es decir: τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy

TENSOR DE LA PRESIÓN TERMODINÁMICA: si el fluido esta en reposo, o se considera como fluido ideal (los coeficientes de transportes son idénticamente nulos), las únicas interacciones moleculares, son debidas a la agitación térmica molecular, que tiene dos características fundamentales: no hay dirección privilegiada de los esfuerzos, y estos son exclusivamente normales y de compresión; lo que lleva a que el tensor de tensiones en un determinado punto, sea un tensor esférico, con tensiones exclusivamente normales, iguales a la presión termodinámica:

ideal

p 0 0 1 0 00 p 0 p 0 1 0 p0 0 p 0 0 1

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − ⋅ = − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1σ

TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS: cuando hay flujo, el fluido esta en movimiento, el tensor de tensiones se puede descomponer en dos: uno que esférico, correspondiente a la presión termodinámica, y otro, que se denomina tensor de tensiones viscosas, y que determina la diferencia entre las tensiones en un determinado punto y las correspondientes a la presión termodinámica:

xx yx zx xx yx zx

xy yy zy xy yy zy

xz yz zz xz yz zz

p p 0 0p 0 p 0 p

p 0 0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + τ τ τ − τ τ τ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= τ − + τ τ = − + τ τ τ = − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ τ − + τ τ τ τ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1σ τ

en donde: σ es el tensor de tensiones; “p” es la presión termodinámica y τ el tensor de tensiones viscosas. La resultante de las fuerzas de contacto sobre toda la partícula fluida, (Ec. 10.), se suele expresar, como suma de la contribución de la presión termodinámica y las tensiones viscosas:

sS

d pdV

= − + ∇⋅F fr

r∇ τ

(11.)



14

1.5. TIPOS DE FLUJOS

Para poder acotar el estudio del movimiento de un fluido, se establecen las pertinentes restricciones, que determinan los siguientes tipos de flujos:

- Flujo estacionario: ( #/ t 0 # 0)∂ ∂ = ∧ ∇ ≠ , en un determinado punto las propiedades del fluido no

varían con el tiempo, aunque puedan variar de un punto a otro (gradiente no nulo). - Flujo uniforme: ( #/ t 0 # 0)∂ ∂ ≠ ∧ =∇ en un determinado instante todas las partículas tienen la misma

velocidad en cualquier posición (gradiente nulo) - Flujo transitorio o no estacionario: ( )0#0t/# ≠⋅∇∧≠∂∂

r, las propiedades del fluido varían con el

tiempo en cada punto y de un punto a otro. - Flujo irrotacional: ( 00vx =Ω≡=∇

rr), el vector rotacional de velocidad es nulo y con ello la

vorticidad es nula. - Flujo rotacional: ( 00vx ≠Ω≡≠∇

rr), de vorticidad no nula.

- Flujo incompresible: ( 0v.cte =⋅∇≡=ρ

r); la densidad es constante en todos lo puntos y a lo largo

del tiempo, lo que lleva a que la divergencia de la velocidad sea nula, lo que suele expresar como flujo adivergente.

- Flujo compresible: ( .cte≠ρ ), la densidad varia a lo largo del tiempo y del espacio. - Flujo no viscoso: ( 0=µ ), no hay transporte de cantidad de movimiento entre las partículas del flujo. - Flujo viscoso: ( 0≠µ ), hay interacción entre las partículas que constituyen el fluido, manifestándose

como intercambios de cantidad de movimiento, que dan lugar a fenómenos de disipación de energía, que se denomina disipación viscosa.

- Flujo ideal: (µ=0 ∧ κ =0 ∧ δ=0 ), no hay interacción entre las partículas que constituyen el fluido, ni

de transporte de cantidad de movimiento (viscosidad), ni de transporte de calor (conductividad), ni de transporte de masa (difusividad)

- Flujo laminar: en donde las fuerzas viscosas predominan sobre las de inercia; y en la interacción viscosa

con otras partículas, una determinada partícula de fluido no cambia su trayectoria, siendo arrastrada por la acción del resto de partículas: frenada por partículas más lentas y acelerada por partículas más rápidas.

- Flujo turbulento: en donde las fuerzas de inercia predominan sobre las fuerzas viscosas; y en la interacción viscosa con otras partículas, una determinada partícula es desplazada de su trayectoria por los intercambios de cantidad de movimiento de otras partículas, además de ser arrastrada.

- Flujo interno: en donde el fluido esta confinado por límites; a partir de los campos de velocidades y de

presiones, se obtienen las fuerzas sobre los límites y la perdida de energía del fluido a su paso entre los límites; un caso típico es el estudio de flujo en tuberías.

- Flujo externo: en donde el fluido rodea a un objeto; a partir de los campo de velocidades y presiones, se obtienen se obtienen las fuerzas del fluido sobre el objeto; un caso típico es el estudio de perfiles aerodinámicos.



15

2. ECUACIONES DE CONSTITUCIÓN 2.1. Comportamiento mecánico: tensor de velocidad de deformación. 2.2. Fluidos Stokesianos: tensor de tensiones viscosas. 2.3. Fluidos Newtonianos. 2.3.1. Ec. de NAVIER-POISSON. 2.3.3. Tensor de tensiones de un fluido newtoniano. 2.4. Comportamiento térmico. 2.4.1. Ecuaciones de Estado. 2.4.2. Ecuaciones de transmisión de calor. 2.1. COMPORTAMIENTO MECÁNICO: Tensor de velocidad de deformación.

En función de las hipótesis restrictivas, con las que se analiza el comportamiento de los fluidos reales, se tienen las Ecuaciones de Constitución, que son inherentes a cada fluido analizado. El comportamiento especifico de un determinado fluido, viene determinado por su comportamiento mecánico y su comportamiento térmico.

El comportamiento mecánico del fluido, viene determinado por la relación entre las tensiones a las que

esta sometido y las velocidades de deformación que se producen por la acción de las tensiones mecánicas. Este es el comportamiento inherente de los fluidos, es decir, las débiles fuerzas intermoleculares, hacen que cualquier esfuerzo tangencial, deforme continuamente el fluido, originando el movimiento de las partículas o flujo. La velocidad de deformación viene determinada por la magnitud del esfuerzo tangencial y de la capacidad de transporte de cantidad de movimiento entre partículas, que es la propiedad mas importante, inherente al fluido, y que se denomina viscosidad.

En el método Euleriano, en cada punto del flujo, la velocidad de deformación viene determinada por el

campo de velocidades. Cada punto del flujo, tiene asociado un valor del tensor de velocidades de deformación, que marca la deformación unitaria de una partícula fluida a su paso por el citado punto. La deformación de una determinada partícula en su movimiento por el campo fluido, viene determinada por las posibles variaciones espaciales de la velocidad de cada uno de los puntos que la integran, es decir del gradiente de velocidad, que al ser una magnitud tensorial (9 variaciones posibles), marca la misma condición tensorial a la velocidad de deformación.

Se tienen dos tipos de deformación: las debidas a alargamientos o contracciones, provocadas por los

gradientes de las componentes de la velocidad en sus respectivas direcciones, y que se determinan por la velocidad de la variación unitaria (por unidad de longitud); y las debidas a giros, provocados por los gradientes de las componentes de la velocidad en direcciones perpendiculares a la propia componentes, y que se determinan por la velocidad de variación angular.

Consideremos, un caso muy simple, en donde v(y)= ⋅v j

rr , es decir, la única componente de la velocidad, es en la dirección “y”, y además esa componente sólo varia en la propia dirección “y”. Si consideramos una partícula elemental dx·dy·dz, al cabo de un tiempo elemental, se ha deformado (en este caso sólo en la dirección “y”), teniendo que su velocidad de deformación unitaria (dilatación o contracción por unidad de longitud y de tiempo) viene dada por:

yyyy

vv dy dt v dt / dydl / dy y v

dt dt y

⎛ ⎞⎛ ⎞∂+ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ε = = =∂

&



16

que además representa la velocidad del aumento (o disminución) unitario de volumen :

yy

yyyy

dl dx dzdV(t dt)dl / dydV(t) dx dy dz

dt dt dt

⋅ ⋅+⋅ ⋅= = = ε&

Fig.1.8. Dilatación cúbica: debida a la deformación lineal. Si se tiene un campo de velocidades genérico: u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z), se obtienen las

correspondiente velocidades de dilataciones lineales unitarias, dadas por:

xx yy zzu v w x y z

∂ ∂ ∂ε = ε = ε =

∂ ∂ ∂& & &

(12.) Con lo que, la velocidad de dilatación cúbica, viene determinada por, la suma de las dilataciones

posibles en cada una de las tres direcciones; que es la divergencia de la velocidad:

1 dV u v wV dt x y z

∂ ∂ ∂= + + = ⋅

∂ ∂ ∂vr∇

(13.) Así un fluido de densidad constante, por conservación de masa, no hay variación del volumen, y por lo

tanto su flujo es adivergente. Cada una de las tres dilataciones cúbicas, son la diagonal principal del tensor gradiente de velocidad; es

decir, el citado tensor esta marcando la dilatación cúbica que experimenta una partícula, cuando pasa por el citado punto.

Hasta ahora hemos considerado deformaciones puramente lineales de dilatación o de contracción,

debidas a las variaciones de cada una de componentes del vector velocidad, en sus respectivas direcciones:

u v w, ,x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

.

Consideremos el efecto de deformación, que tienen las variaciones cruzadas de las componentes de la

velocidad, es decir : u u v v w w, , , , ,y z x z x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. Para lo cual, analicemos el caso más simple, en donde el vector

x y

z

dx

dy

dz

dlyy



17

velocidad sea: u(y) + v(x)= ⋅ ⋅v i jr rr ; obteniéndose, que la deformación angular por unidad de tiempo, viene dada

por: xyd 1 u vdt 2 y x

⎛ ⎞α ∂ ∂ε = = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠& , que representa la velocidad de deformación angular, en un plano z = cte.

Fig.1.9. Velocidad de deformación angular, debida a gradientes velocidad cruzados: u v,y x

∂ ∂∂ ∂

Análogamente, para los gradientes cruzados, sin variación de “x”, se tiene que la velocidad de

deformación angular en un plano x = cte, es igual a: yz1 v w2 z y

⎛ ⎞∂ ∂ε = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠& ; y para los gradientes cruzados, sin

variación de “y”, se tiene que la velocidad de deformación angular en un plano y = cte, es igual a

xz1 u w2 z x

∂ ∂⎛ ⎞ε = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠&

Con todo, se tiene que el tensor gradiente de velocidad, en un determinado punto, provoca que las

partículas que pasan por el citado punto, se deformen con una determinada velocidad, tanto longitudinal como

angularmente. El tensor, que marca las velocidades de deformaciones, es el tensor de velocidades de

deformación, y viene determinado por el tensor gradiente de velocidad.

En coordenadas cartesianas, el tensor de velocidad de deformación es:

u 1 u v 1 u wx 2 y x 2 z x

1 u v v 1 v w2 y x y 2 z y

1 u w 1 v w w2 z x 2 z y z

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ε = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

&

(14.)

uu dyy

∂+

∂

uu dyy

∂+

∂

vv dxx

∂+

∂

vv dxx

∂+

∂

u u

v

v

dα

v dxdtx

∂∂

u dydty

∂∂

y

x u·dt

v·dt

t

t+dt



18

2.2. FLUIDOS STOKESIANOS: TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS. STOKES, estableció que la diferencia de tensiones, entre un fluido viscoso y un fluido ideal, venia

determinada por una función tensorial del tensor de velocidad de deformación, que se denomina función de tensiones viscosas (f); con ello el tensor de tensiones para un fluido Stokesiano esta integrado por dos términos: el debido a la presión termodinámica y el debido a la viscosidad:

p f ( )= − ⋅ +1 &σ ε (15.)

Como se había visto anteriormente, el tensor de tensiones en un determinado punto, viene dado por los

esfuerzos normales y tangenciales, provocados por la interacciones entre partículas:

xx yx yz

xy yy zy

xz yz zz

⎛ ⎞σ τ τ⎜ ⎟= τ σ τ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ σ⎝ ⎠

σ

(16.) Las 3 componentes normales, se denotan por σxx, σyy, σzz. Las 6 componentes tangenciales, se denotan

por: τxy,τyx,τxz, τzx,τyz, τzy; siendo respectivamente iguales: τxy=τyx, τxz=τzx, τyz=τzy. Con lo que se tiene 6 tensiones distintas: 3 normales y 3 tangenciales. El tensor de tensiones viscosas, es la diferencia entre el tensor de tensiones y el tensor esférico, correspondiente a la presión termodinámica; se denota por τ , y tiene 3 componentes normales: τxx, τyy, τzz; y 6 componentes tangenciales, que coinciden con la del tensor de tensiones.

xx yx yz

xy yy zy

xz yz zz

⎛ ⎞τ τ τ⎜ ⎟= τ τ τ⎜ ⎟⎜ ⎟τ τ τ⎝ ⎠

τ

(17.) 2.3. FLUIDOS NEWTONIANOS. El conocimiento de la función tensorial “f” de la Ec. 15., permitiría la determinación del campo de tensiones viscosas a partir del campo de deformaciones, que a su vez depende del campo de velocidades. El comportamiento más simple, es que la función sea lineal, en donde las tensiones viscosas sean proporcionales a las velocidades de deformación; este es el comportamiento experimental dado por NAVIER y POISSON, para el comportamiento reológico de un gran número de líquidos y de gases, que se denominan fluidos newtonianos. 2.3.1. ECUACIÓN DE NAVIER-POISSON. En un fluido newtoniano, cada componente del tensor de tensiones viscosas, es función lineal de cada componente del tensor de velocidades de deformación, pudiendo tener genéricamente 9x9=81 coeficientes de proporcionalidad; pero si el medio es isótropo, los coeficientes se reducen exclusivamente a 3: uno para la dirección normal, o coeficiente de viscosidad normal λ, y dos para cada dirección tangencial, o coeficientes de viscosidad tangencial µ y µ’. Con lo que en un medio isótropo el tensor de tensiones viscosas se puede expresar como: ( )' 1= µ ⋅ + µ ⋅ + λ ⋅ ⋅vr& &τ ε ε ∇ por simetría del propio tensor, se tiene que µ=µ’, con lo que µ+µ’=2µ; quedando como expresión del tensor de tensiones para un fluido newtoniano, la denominada ecuación de NAVIER-POISSON:

( )2= µ ⋅ + λ ⋅ ⋅v 1r&τ ε ∇

(18.)



19

2.3.2. TENSOR DE TENSIONES EN UN FLUIDO NEWTONIANO. El tensor de tensiones, lo hemos considerado suma de dos tensores: uno esférico debida a la acción de la presión termodinámica, y otro debido a los esfuerzos viscosos, que en el caso de un fluido newtoniano, viene determinado por la Ec. 18 de NAVIER-POISSON; con lo que el tensor de tensiones en este caso es:

( ) ( )p p 2 p 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ + = − ⋅ + µ ⋅ + λ ⋅ ⋅ = − + λ ⋅ ⋅ + µ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 1 v 1 v 1r r

& &σ τ ε ∇ ∇ ε (19.)

Su expresión en coordenadas cartesianas es:

(20.)

A partir de las componentes de la diagonal principal del tensor de tensiones , se puede establecer la distinción entre presión termodinámica (p) y presión normal media ( p ): - Presión termodinámica: es la propiedad termodinámica que genera un estado de tensión definido por un tensor esférico de esfuerzos; es función del recorrido libre medio de las partículas, de la densidad de partículas y de la agitación térmica de las partículas (fluctuaciones de posición debido a la temperatura). - Presión normal media: es el valor medio de las tensiones normales sobre una partícula:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ µ+λ−=⇒

∂∂

µ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

λ+−=σ

∂∂

µ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

λ+−=σ

∂∂

µ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

λ+−=σ

σ+σ+σ−=

zw

yv

xu

32pp

zw2

zw

yv

xup

yv2

zw

yv

xup

xu2

zw

yv

xup

3p

z

x

x

zyx

(21.)

al término (λ+2µ/3) se le denomina viscosidad bruta : κ=λ+2µ/3; con lo que la ecuación de la presión normal media puede ponerse como: ( )p p= − κ ⋅ ⋅ vr∇ .La igualdad entre ambas presiones (termodinámica y normal media), se verifica en los siguientes casos:

- viscosidad bruta nula: κ=0 pp =⇒ ; obteniéndose por la condición de STOKES:

STOKESDECONDICIÓN32

320 ≡µ−=λ⇒µ+λ=κ∧=κ

(22.)

- fluido incompresible: ρ=cte. =0 p p≡ ⋅ ⇒ =vr∇ por la condición de adivergencia.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

µ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

λ+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

µ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

µ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

µ∂∂

µ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

λ+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

µ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

µ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

µ∂∂

µ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

λ+−

==σ

zw2

zw

yv

xup

yw

zv

xw

zu

yw

zv

yv2

zw

yv

xup

xv

yu

xw

zu

xv

yu

xu2

zw

yv

xup



20

2.4. COMPORTAMIENTO TÉRMICO.

El comportamiento térmico del fluido viene determinado por las ecuaciones de estado y por la relación entre flujo de calor y gradiente térmico.

2.4.1. ECUACIONES DE ESTADO. Las ecuaciones de estado, son las relaciones entre las diversas variables de estado del fluido: presión, temperatura, densidad, energía interna, entalpía, entropía,...:

- ecuación térmica de estado: f(p,T,ρ) = 0 - ecuación calórica de estado: ),p(u),T(u)p,T(uu ρ=ρ== - ecuación entálpica de estado: ),p(h),T(h)p,T(hh ρ=ρ== - ecuación entrópica de estado: ),p(s),T(s)p,T(ss ρ=ρ== Cada una de las funciones que aparecen en las ecuaciones de estado anteriores, vienen determinadas por

las características intrínsecas de cada tipo de fluido. Así para el caso hipotético de un gas ideal, las ecuaciones de estado se simplifican notablemente:

ecuación térmica: p = ρ R T R = constante del gas4 = Ru/M ecuación calórica: dû=cv dT cv = calor especifico a volumen constante ecuación entálpica: dh = cp dT cp = calor especifico a presión constante ecuación entrópica: ds = cp dT/T-Rdp/p

Si los calores específicos son constantes, se tienen las siguientes expresiones: û - û 0 = cv (T-T0 ) h – h0 = cp (T-T0)

s – s0 = p v0 0 0 0

T p Tc ln R ln c ln R lnT p T

ρ− = +

ρ

Si el proceso es isentrópico (adiabático sin efectos disipativos), se tiene la relación entre las variables, p,ρ,T:

1

0 0 0

p Tp T

γγ

γ−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.4.2. ECUACIONES DE TRANSMISIÓN DE CALOR.

La relación entre el flujo de calor y el gradiente térmico, viene determinada por el tipo de transmisión de calor que tenga lugar: conducción, convección o radiación. Por simplicidad, considerando exclusivamente transmisión de calor por conducción, se puede tomar como primera aproximación la ley de FOURIER de conducción:

T= − κ ⋅qr ∇ (23.)

en donde “κ” es el coeficiente de conductividad térmica del fluido (W/mK), “ qr ” el vector flujo de calor por

unidad de área (W/m2), y “ T∇ ” el gradiente de temperatura (en coordenadas cartesianas: kzTj

yTi

xT rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

)

4 Ru es la constante universal de los gases, cuyo valor es en el S.I. de 8310 J/kgK



21

3. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN. 3.1. Ecuación diferencial de conservación de masa: ecuación de continuidad. 3.2. Ecuación diferencial de conservación de cantidad de movimiento: ecuación de movimiento de CAUCHY. 3.2.1. Fluido no viscoso: ecuación de EULER. 3.2.2. Flujo no viscoso en línea de corriente: ecuación de BERNOULLI.

3.2.3. Fluido newtoniano: ecuaciones de NAVIER-STOKES. 3.2.4. La función de corriente y la función potencial de velocidad.

3.3. Ecuación diferencial de conservación de la energía: ecuación de la energía. 3.3.1. Ecuación de energía interna. 3.3.2. Ecuación de entalpía. 3.3.3. Ecuación de entropía. 3.4. Condiciones de contorno. 3.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONSERVACIÓN DE MASA: ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

Los principios generales, que son válidos para cualquier tipo de entidad material, son una expresión matemática de las leyes de conservación. En el caso del análisis diferencial en Mecánica de Fluidos se consideran las siguientes leyes de conservación: conservación de masa, conservación de cantidad de movimiento y conservación de energía. Consideraremos como entidad, la de una partícula fluida, que se aísla del resto del fluido, y se le aplican las leyes de conservación.

Analizaremos en primer lugar la conservación de masa: utilizando el método “euleriano”,

consideraremos que la partícula es indeformable y que su volumen elemental ( dzdydxdV ⋅⋅= , en coordenadas cartesianas) es siempre el mismo y esta siempre en la misma posición; se establece el siguiente balance de masa entre dos instantes de tiempo “t” y “t+dt”:

La variación de masa en el volumen considerado durante el intervalo de tiempo “dt”, es debida al flujo

másico por las caras del elemento de volumen en el tiempo “dt”

con las dos expresiones de la variación de masa de la partícula fluida considerada, se tiene:

( ) 0t

∂ρ+ ⋅ ρ =

∂vr∇

(24.)

Ecuación que se denomina de continuidad, porque en la ecuación de conservación de masa sólo se requiere la derivabilidad de las funciones que dan la densidad y las componentes de la velocidad, es decir se requiere su continuidad. Las funciones son continuas, porque estamos considerando como modelo del fluido, el formado por una sucesión continua de partículas, es decir es un medio continuo.

dtdVt

dmdVdt

t)dtt(masa

dV)t(masa⋅⋅

∂ρ∂

=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ρ∂

+ρ=+

⋅ρ=

( ) ( ) ( ) dtdVtw

tv

tu...dtdz

zmmdy

ymmdx

xmmdm

dydxcaras

dzdxcaras

dzdycaras

⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

−==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⋅⋅⋅

&&

&&

&&



22

( )dtdzdxvρ ( ) ( ) dtdyy

dzdxvdzdxv ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

ρ∂+ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dtdV

t

vdtdzdydx

y

vdtdy

y

dzdxvdzdxvdtdzdxvdzdxcarassalemasaentramasa ⋅⋅

∂

ρ∂−=⋅⋅

∂

ρ∂−=

∂

ρ∂+ρ−ρ=⋅− ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Fig.1.10. Balance de masa en las caras dx dz, por variación del flujo másico de una cara a la otra La ecuación de continuidad también se puede expresar en función de la derivada total de la densidad, al

descomponer la divergencia de vr

ρ en dos términos, y reagrupar la variación local de la densidad con su variación convectiva, obteniendo:

( ) ( )( ) ( ) ( )dt t t dt

∂ρ ∂ρ ∂ρ ρ⎛ ⎞+ ⋅ ρ = + ρ ⋅ ⋅ + ⋅ ρ = + ⋅ ρ + ρ ⋅ ⋅ = + ρ ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠v v v v v vr r r r r r

∇ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇

( )d 0dtρ

+ ρ ⋅ ⋅ =vr∇ (25.)

En coordenadas cartesianas, y siendo el vector velocidad: u v w= + +v i j k

r r rr , la ecuación de continuidad es:

0z

)w(y

)v(x

)u(t

=∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

(26.) En coordenadas cilíndricas, y siendo el vector velocidad: r zv v vθ= + +r θv u u k

rr r r , la ecuación de continuidad es:

0z

)v()vr(r1

r)vr(

r1

tzr =

∂ρ∂

+θ∂

ρ∂+

∂ρ∂

+∂ρ∂ θ

(27.)

Es interesante ver el efecto que tiene la divergencia de la velocidad sobre el flujo; de la Ec. 25.:

1 ddtρ

⋅ = −ρ

vr∇ (28.)

Si la divergencia es positiva, la densidad disminuye y se tiene una expansión; si la divergencia es

negativa la densidad aumenta y se tiene una compresión; y si la divergencia es nula la densidad es constante.

dx dy

dz u

v

w



23

En flujo estacionario compresible queda la ecuación diferencial:

r z

( u) ( v) ( w)cartesianas : 0x y z( ) 0

(r v )(r v ) ( v )1 1cilíndricas : 0r r r z

θ

∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ+ + =

∂ ∂ ∂⋅ ρ = ⇒

∂ ρ∂ ρ ∂ ρ+ + =

∂ ∂θ ∂

vr∇

(29.)

En flujo incompresible queda la ecuación diferencial:

r z

u v wcartesianas : 0x y z0

(r v )(r v ) v1 1cilíndricas : 0r r r z

θ

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂⋅ = ⇒

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂θ ∂

vr∇

(30.) La ecuación de continuidad para flujo incompresible es lineal y por tanto con solución. Por ello es

interesante conocer en que condiciones es aplicable; estrictamente es válida cuando la densidad del fluido es constante; no obstante en la mayor parte de las aplicaciones de líquidos, la densidad prácticamente no varía, así como en gases a baja velocidad.

Un criterio, para poder establecer cuando es aplicable la incompresibilidad del fluido, viene marcada

por la relación entre la velocidad del fluido y la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido (que se denomina velocidad sónica); la relación es el número de Mach, y el criterio es considerar flujo incompresible a bajos números de Mach, tomando normalmente el límite en 0,3; es decir si Ma ≤ 0,3 se puede considerar la hipótesis de incompresibilidad.

INCOMPRESIBILIDAD vv

yv

yv

yv

y)v( δ

<<ρδρ

≡∂∂

ρ<<∂ρ∂

≡∂∂

ρ≈∂ρ∂

⇒

VELOCIDAD SÓNICA: δρδ

≈pa 2 ; ECUACIÓN ENERGÍA: vvp δρ−≈δ

CRITERIO DE INCOMPRESIBLIDAD: 1Maav

av

v1p

pa1

1

vv

22

2

2

2

2<<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

ρδ

ρδ

≡<<δρδρ

CRITERIO PRÁCTICO: Ma < 0,3



24

3.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE CAUCHY.

Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partícula fluida en el seno de

un campo fluido o flujo, se pueden establecer el principio de conservación de cantidad de movimiento para una partícula fluida: en una partícula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva; ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula.

Una partícula fluida es una porción de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias; el tamaño esta en relación a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medición. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de moléculas que integran la partícula fluida.

Para su análisis, la partícula fluida se aísla del fluido que la envuelve mediante las superficies de

contacto partícula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partícula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia.

FUERZA DE VOLUMEN: en función de que la masa de fluido (contenida en el volumen de la partícula) esta en

una determinada posición de un campo de fuerzas; lo más usual es que el campo de fuerzas sea central, y que sea el campo gravitatorio. La evaluación de estas fuerzas es simple si derivan de un campo central, del que se conoce su vector aceleración, y que genéricamente se denomina; en el caso de campo gravitatorio, éste vector tiene únicamente componente vertical: g= −g k

rr . A estas fuerzas se les denomina fuerzas másicas o fuerzas de volumen. La expresión diferencial de las fuerzas de volumen de un campo central sobre una partícula fluida de volumen elemental dV y de masa dm es:

d dm

d dVdm dV

=⇒ = ρ

= ρv

vF g

F gr r r r

(31.) FUERZAS DE SUPERFICIE: las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de la partícula, ejerce el fluido que la rodea, se denominan fuerzas de superficie y son debidas a los esfuerzos en las superficies de contacto partícula fluido; los esfuerzos son debidos a la presión termodinámica y a los esfuerzos viscosos que aparecen en el movimiento del fluido con gradiente de velocidad.

tensor de tensiones: xx yx zx xx yx zx

xy yy zy xy yy zy

xz yz zz xz yz zz

p p 0 0p 0 p 0 p

p 0 0 0

− + τ τ τ − τ τ τ= τ − + τ τ = − + τ τ τ = − ⋅ +

τ τ − + τ τ τ τ1σ τ

en donde “p” es la presión termodinámica y τij las tensiones viscosas La resultante de las fuerzas de contacto sobre toda la partícula fluida viene determinada por el gradiente de presión y por el gradiente del tensor de tensiones viscosas:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ τ⋅∇+∇−⋅= pdVFd s

r

(32.)



25

FUERZAS DE INERCIA: las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno, vienen dada por su masa y por su aceleración; y la fuerza de inercia de reacción correspondiente (3ª ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partícula fluida será:

idd dVdt

= −ρ ⋅vFrr

(33.)

Al estar la partícula en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula, con lo que combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

0dtvdpg

dVdF

0dtvdpgdV

dtvddVdVpgdVdF

dtvddVdF

dVpdF

gdVdF

0dFdFdF

inercia

erficiesup

volumen

inerciaerficiesupvolumen

=ρ−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ τ⋅∇+∇−+ρ=⇒

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρ−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ τ⋅∇+∇−+ρ=ρ−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ τ⋅∇+∇−+ρ=

ρ−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ⋅∇+∇−=

ρ=

≡=++

∑

∑

=

rr

rr

rr

r

rr

r

(34.)

Con lo que para una partícula fluida, la expresión de la 1ª ley de Newton del movimiento o ecuación de

conservación de cantidad de movimiento, y que en Mecánica de Fluidos se denomina ecuación de movimiento de CAUCHY, es:

dpdt

=

ρ − + ⋅ = ρvgr

r∇ ∇ τ

(35.)

En coordenadas cartesianas los términos de la ecuación de movimiento de CAUCHY son:

gradiente de presión: p p ppx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂i j kr r r

∇

divergencia del tensor de tensiones viscosas:


x y z x y z x y z∂τ ∂τ ∂τ ∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂τ ∂τ ∂τ ∂τ

⋅ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠i j kr r r

∇ τ

vector aceleración ( ddtvr ) = aceleración local (

t∂∂vr ) + aceleración convectiva ( ( )⋅v vr r )

kzww

ywv

xwu

twj

zvw

yvv

xvu

tvi

zuw

yuv

xuu

tu

zvw

yvv

xvu

tv

dtvd rrrrrrrr

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=



26

La ecuación vectorial de movimiento de CAUCHY, da lugar a tres ecuaciones diferenciales, una por cada componente; teniendo en coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones de movimiento de CAUCHY:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=ρ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂τ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

+∂∂

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=ρ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂

τ∂+

∂∂

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=ρ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂τ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

+∂∂

−

zww

ywv

xwu

twg

zyxzp

zvw

yvv

xvu

tvg

zyxyp

zuw

yuv

xuu

tug

zyxxp

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

(36.)

3.2.1. FLUIDO NO VISCOSO: ECUACIÓN DE EULER.

Para poder utilizar la ecuación de movimiento de CAUCHY, es necesario conocer los términos de las tensiones viscosas; que están relacionadas con la velocidad de deformación. La relación entre tensiones y velocidades de deformación depende de la propia constitución del fluido correspondiente.

El caso más simple es cuando el fluido es no viscoso, y son idénticamente nulas todas las tensiones

viscosas, con lo que la ecuación de movimiento de CAUCHY se simplifica, quedando la ecuación de EULER del movimiento de un fluido no viscoso:

dpdt

− + ρ = ρvgr

r∇

(37.) En la ecuación de EULER, es interesante introducir el término de vorticidad local del fluido, que forma

parte del vector aceleración:

vector aceleración: ( )ddt t

∂= + ⋅

∂v v v vr r

r r∇

aceleración convectiva: ( )2

x2

⎛ ⎞⋅ = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

vv v v

r rr r r∇ ∇ Ω

vorticidad: 2 x= = v

r r rΩ ω ∇

vector velocidad angular. 1 w v 1 u w 1 v u2 y z 2 z x 2 x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠i j kr r rr

ω

Con todo lo anterior, la ecuación de EULER queda como:

( ) ( )21 p x 0t 2

∂+ ∇⋅ + − + =

∂ ρv v g vr r rrr r∇

Ω (38.)

La dificultad de trabajar con flujos con vorticidad, es inherente a la dificultad de la ecuación anterior; no

obstante con determinadas condiciones el término que incluye la vorticidad es nulo, aún no siendo nula la verticidad.



27

Para poder establecer las condiciones en donde el término de vorticidad es nulo, multipliquemos escalarmente la ecuación anterior por un vector desplazamiento “ drr ”, arbitrario; con lo queda la ecuación:

( ) ( )21 p x d 0t 2

⎡ ⎤∂+ ∇⋅ + − + ⋅ =⎢ ⎥∂ ρ⎣ ⎦

v v g v rr rr rr r∇

Ω (39.)

En donde el término que incluye la vorticidad, es nulo cuando:

( x ) d 0⋅ =v rr rrΩ

(40.) Lo que tiene lugar bajo una de las siguientes condiciones: - 0=vr : no hay flujo, estamos en fluidoestática y la ecuación de EULER queda: p = ρgr∇

- 0=rΩ : flujo irrotacional, la ecuación de Euler queda: ( )21 p 0

t 2∂

ρ + ρ∇⋅ + − ρ =∂v v gr

rr∇

- rdr

es perpendicular al vector vxrr

Ω : se denomina flujo de BELTRAMI - rd

r es paralelo al vector velocidad v

r: la ecuación de Euler queda como:

( )2v 1 pdr v dr dr g dr 0t 2

∂ ∇⋅ + ∇ ⋅ + ⋅ − ⋅ =

∂ ρ

rr r r r rr

(41.) Esta última condición es la que conduce a resultados más útiles, y se tiene en los puntos del flujo que

cumplen la condición de que su vector desplazamiento es paralelo al vector velocidad, es decir puntos de las líneas de corriente, en donde LCv v u= ⋅

r r y LCdr ds u= ⋅r r ; en donde “ds” es el módulo del vector desplazamiento a

lo largo de una línea de corriente y “v” el módulo del vector velocidad. Considerando además, exclusivamente campo gravitatorio ( kgg

rr−= ), los términos de la ecuación anterior son:

( ) ( )LCLC

v uv vdr ds u dst t t

∂ ⋅∂ ∂⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂

rrr r

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2LC LC LC

1 1 1 dv 1v dr v ds u u ds u dv2 2 2 ds 2

⎛ ⎞∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

rr r r r

( )LC

LC

dp up dpdsdr ds u⋅∇

⋅ = ⋅ ⋅ =ρ ρ ρ

rr r

( ) ( )g dr gk dx i dy j dz k g dz− ⋅ = − − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅r r r rr r

Obteniendo la Ec. de EULER para puntos de una línea de corriente:

2V 1 dpds dv g dz 0t 2

∂⋅ + + + ⋅ =

∂ ρ

(42.)



28

3.2.2. FLUJO NO VISCOSO EN PUNTOS DE LÍNEA DE CORRIENTE: EC. DE BERNOULLI.

En la ecuación de Euler en puntos de una línea de corriente, la única condición restrictiva es considerar flujo no viscoso. La ecuación es de gran utilidad pues es posible integrarla entre dos puntos de una misma línea de corriente, pues dos términos son diferenciales exactas; obteniéndose la ecuación de BERNOULLI para flujo no estacionario y no viscoso:

2 22 22 1

2 11 1

v vv dpds g(z z ) 0t 2

−∂⋅ + + + − =

∂ ρ∫ ∫ (43.)

La ecuación de BERNOULLI, para flujo estacionario e incompresible (además de no viscoso), toma la

forma:

2 22 1 2 1

2 1p p v v g(z z ) 0

2− −

+ + − =ρ

(44.)

Es decir, a lo largo de una línea de corriente, permanece constante la suma de los tres términos:

2p v gz cte.2

+ + =ρ

(45.)

La constante de la ecuación de Bernoulli puede variar de una línea de corriente a otra, a no ser que

además se tenga la condición de irrotacionalidad, con la que la ecuación se cumple independientemente de la dirección del vector desplazamiento (d r

r), y la constante de la ecuación de Bernoulli es la misma en todo el

flujo. En la ecuación anterior, todos los sumandos, son dimensionalmente términos de energía específica (energía por unidad de masa), representando cada término: el trabajo de flujo, la energía cinética y la energía potencial, en un determinado punto de la línea de corriente. La Ec. de BERNOULLI, también se suele expresar en términos de presión:

21p v gz cte.2

+ ρ + ρ = (46.)

representando cada término: p = presión absoluta o termodinámica

21 v2

ρ = presión dinámica

ρgz = presión hidrostática

21p v2

+ ρ = presión de estancamiento

p + ρgz = presión piezométrica



29

3.2.3. FLUIDO NEWTONIANO: ECUACIONES DE NAVIER-STOKES.

Para un fluido newtoniano las tensiones viscosas son proporcionales a las velocidades de deformación, y viene determinadas por la ecuación de NAVIER-POISSON (Ec.18.): ( )2= µ ⋅ + λ ⋅ ⋅v 1r

&τ ε ∇ . Con lo que en la ecuación de movimiento de CAUCHY, la divergencia del tensor de tensiones viscosas, para el caso de un fluido newtoniano, se puede obtener a partir de la expresión de su tensor de tensiones, quedando:

( ) ( )[ ] vv 2∇µ+⋅∇∇µ+λ=τ⋅∇ (47.) Con lo que la ecuación de movimiento para un fluido newtoniano, que se denomina ecuación de

NAVIER-STOKES queda como:

( ) ( )[ ]dtvdvvpg 2 ρ=∇µ+⋅∇∇µ+λ+∇−ρ

(48.) Con la condición de STOKES: λ = -2µ/3, es decir (λ+µ)=µ/3, queda como:

( )[ ]dtvdvv

3pg 2 ρ=∇µ+⋅∇∇

µ+∇−ρ

(49.) En donde 2vr∇ es el vector “laplaciana de velocidad”, y que puede descomponerse en función de la

divergencia y de la vorticidad: ( )2 x= ⋅ −v vrr r

∇ ∇ ∇ ∇ Ω ; con lo que la ecuación vectorial de NAVIER-STOKES para el movimiento para un fluido newtoniano se puede rescribir como:

4 dp ( ) x3 dt

ρ⋅ − + µ ⋅ ⋅ − µ ⋅ + = ρ ⋅vg vrrr r

∇ ∇ ∇ ∇ Ω (50.)

La ecuación de NAVIER-STOKES, con la restricción de fluido no viscoso: µ=0, lleva evidentemente a la

ecuación de EULER: dpdt

− + ρ ⋅ = ρ ⋅vgr

r∇

Las restricciones simultaneas de flujo incompresible (adivergente: ⋅ vr∇ = 0) y de flujo irrotacional

(vorticidad nula: xvr∇ = 0), también llevan a la ecuación de EULER, aunque el fluido sea viscoso. En la ecuación de NAVIER-STOKES, con la restricción de flujo incompresible (adivergente: v

rr⋅∇ = 0) ,

el segundo término es nulo por obligar la incompresibilidad, a que el flujo sea adivergente (divergencia del vector velocidad nula); con lo que se tiene la ecuación de NAVIER-STOKES para el flujo de un fluido newtoniano incompresible:

2 dpdt

ρ⋅ − + µ ⋅ + = ρ ⋅vg vr

r r∇ ∇

(51.)



30

La ecuación vectorial anterior, puede descomponerse en sus tres componentes cartesianas, teniendo las

siguientes ecuaciones escalares:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=ρ+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂∂

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=ρ+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂∂

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=ρ+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂∂

−

zww

ywv

xwu

twg

z

w

y

w

x

wzp

zvw

yvv

xvu

tvg

z

v

y

v

x

vyp

zuw

yuv

xuu

tug

z

u

y

u

x

uxp

z2

2

2

2

2

2

y2

2

2

2

2

2

x2

2

2

2

2

2

(52.) Estas son las que normalmente se denominan ecuaciones de Navier-Stokes, y fueron obtenidas de forma

independiente por Louis M. NAVIER (1785-1836) y por George G. STOKES (1819-1903). Son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 2º orden no lineales. Las tres ecuaciones de Navier-Stokes, incluyen 4 incógnitas: la presión (p) y las tres componentes de la velocidad (u,v,w). La ecuación que completa el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales, es la ecuación de continuidad (du/dx+dv/dy+dw/dz=0). Esto en el caso de flujo incompresible, en donde la densidad es constante; en el caso de flujo compresible, aparecen tres nuevas incógnitas, la densidad, la temperatura y la energía interna, necesitando para completar el sistema homogéneo, 3 nuevas ecuaciones, que como veremos posteriormente son la ecuación de energía, la ecuación térmica de estado y la ecuación calórica de estado.

3.2.4. LA FUNCIÓN DE CORRIENTE Y LA FUNCIÓN POTENCIAL. LA FUNCIÓN DE CORRIENTE

Si consideremos un flujo estacionario incompresible bidimensional, la ecuación de continuidad se reduce a:

0yv

xu

=∂∂

+∂∂

Con lo que se puede introducir una función ψ, definida por:

xv

yu

∂ψ∂

−=∧∂ψ∂

= y x

∂ψ ∂ψ≡ = −

∂ ∂v i j

r rr

Con lo que la expresión de la vorticidad es: 2 2

22 2x ...

x y⎛ ⎞∂ ψ ∂ ψ

= = = − + ⋅ = −∇ ψ ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠v k k

r r rrΩ ∇

De la ecuación de movimiento se puede establecer:

)(y

)(xx

)(y

2222

ψ∇∇⋅ρµ

=∂

ψ∇∂∂ψ∂

−∂

ψ∇∂∂ψ∂

(53.)

que es una ecuación diferencial de 4º orden, con necesidad de solución por análisis numérico.



31

Si se añade además la restricción de flujo irrotacional, la ecuación anterior se reduce a la ecuación de

LAPLACE en dos dimensiones:

0yx

22

2

2

2=ψ∇=

∂

ψ∂+

∂

ψ∂

Se puede obtener que en una línea de corriente no hay cambio en la función ψ, por lo que a la citada

función se le denomina función de corriente:

ecuación línea de corriente: 0dyudxvv

dyu

dx=⋅+⋅−≡=

introduciendo la función de corriente: .cted0dyy

dxx

=ψ⇔ψ==∂ψ∂

+∂ψ∂

LA FUNCIÓN POTENCIAL

Consideremos como única restricción que el flujo es irrotacional, con ello se tiene que la vorticidad es nula y se obtiene que el vector velocidad es el gradiente de una función escalar5, a la que se denomina función potencial de velocidad:

x 0= = ⇔ = φv v

r r rΩ ∇ ∇

Conocida la función potencial de velocidad φ=φ(x,y,z,t), se obtienen fácilmente las componentes del

vector velocidad:

zw

yv

xu

∂φ∂

=∂φ∂

=∂φ∂

=

El lugar geométrico de puntos del flujo con igual función potencial, se denomina superficie equipotencial. En el caso particular de flujo bidimensional, el lugar geométrico esta contenido en el plano en el que se fluye el fluido, son las líneas equipotenciales, y al ser bidimensional existe también la función de corriente, verificándose que las líneas de corriente son ortogonales a las líneas equipotenciales.

Si además de irrotacional, se considera flujo incompresible, se obtiene que la función potencial

cumple la ecuación de LAPLACE en tres dimensiones:

2

2 2 2

2 2 2

0x 0

( ) 00 0

x y z

∇ φ == ⇒ = φ

⇒ ⋅ φ = ≡ ∂ φ ∂ φ ∂ φ⋅ = + + =∂ ∂ ∂

v vv

r r

r∇ ∇

∇ ∇∇

5 Por cálculo vectorial, un vector con rotacional nulo es el gradiente de una función escalar.



32

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ=Φ222222

xw

zu

zv

yw

yu

xv

zw2

yv2

xu2

3.3 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA: ECUACIÓN DE ENERGÍA.

El principio de conservación de energía (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINÁMICA) aplicado a una partícula fluida, establece que la energía total de la partícula fluida es constante, siempre que no existan aportes energéticos por transferencia de calor o de trabajo.

Siguiendo el criterio termodinámico de signos, se consideran como positivos el trabajo desarrollado por

la partícula y el calor aportado a la partícula, y como negativos el trabajo consumido por la partícula y el calor cedido por la partícula; con todo la ecuación de conservación de energía es:

[ ]

2ˆdE d(u v / 2 gz)dVdt dtQdE Q W 0 Q dV ( T)

dtW W dV pdt

=

+ += ρ

δ− δ + δ = ≡ = = ⋅ κ

δ ⎡ ⎤⎛ ⎞= = − ⋅ ⋅ τ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦v v

&

r r&

∇ ∇

∇ ∇

En donde: - la energía total de la partícula viene dada por la suma de la energía interna, la energía cinética y la

energía potencial: mgz2/mvumEpEcUE 2 ++=++= - la transferencia de calor (por unidad de tiempo) entre partícula y su entorno por conducción viene

determinada por el gradiente de temperatura ( T∇ ) y por la conductividad térmica (κ) - el trabajo (por unidad de tiempo) intercambiado entre partícula y su entorno tiene dos términos, el

debido a las fuerzas de presión (trabajo de flujo) y el debido a los esfuerzos viscosos. El trabajo debido a los esfuerzos viscosos, se puede expresar como suma de dos términos, introduciendo

el concepto de función de disipación viscosa de RAYLEIG Φ:

viscosidadW ( ) ( )=

= ∇⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + Φv vr r& τ ∇ τ (55.)

)(v)v(==τ⋅∇⋅−τ⋅⋅∇=Φ

rr (56.)

En coordenadas cartesianas para un fluido newtoniano, la función de disipación viscosa es: En la ecuación de disipación viscosa todos los términos son cuadráticos, por lo que su valor siempre es

positivo, es decir en flujo viscoso parte de su energía disponible se disipa por las irreversibilidades de los fenómenos de transporte de cantidad de movimiento entre partículas; lo que esta de acuerdo con el segundo principio de Termodinámica de que los procesos reales son irreversibles con degradación de energía y su consiguiente aumento de entropía del universo.

2ˆd(u v / 2 gz) p ( T) ( )dt

=+ +ρ + ⋅ = ⋅ κ + ⋅ ⋅v vr r

∇ ∇ ∇ ∇ τ (54.)



33

3.3.1. ECUACIÓN DE ENERGÍA INTERNA.

Introduciendo el término de función de disipación viscosa en la ecuación de energía (29), y utilizando la ecuación de Navier-Stokes para un fluido newtoniano (23) multiplicada escalarmente por el vector velocidad, para que desaparezca el término ( )⋅ ⋅vr ∇ τ , se obtiene una expresión de la ecuación de energía en donde no aparecen las energías cinética ni potencia, solo la energía interna:

2dû p( ) Tdt

ρ = − ⋅ + κ ⋅∇ + Φvr∇ (57.)

La ecuación anterior permite obtener la energía interna6 en función del flujo de calor por conducción, del

trabajo de expansión o compresión y de la disipación por viscosidad. Esta ecuación de energía, es valida para un fluido newtoniano en condiciones muy generales de flujo transitorio, compresible, viscoso y conductor de calor; solo se desprecian la transferencia de calor por radiación y por fuentes internas.

En la ecuación de energía anterior, la derivada total de la energía interna se puede expresar como suma de

dos términos: el de variación local y el de variación convectiva: ˆ ˆdu u u

dt t∂

= + ⋅∂

vr ∇ .

El termino convectivo zuw

yuv

xuuuv

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅rr , representa el transporte de calor por convección.

Como primera simplificación restrictiva para el manejo de la ecuación de energía, se suele considerar que

la energía interna es proporcional a la temperatura, a través del calor específico a volumen constante:

vv T

ûc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

considerando además la constancia de los siguientes parámetros del fluido: calor especifico a volumen constante, viscosidad dinámica, coeficiente de conductividad térmica y densidad: cv, µ,κ,ρ , se tiene la forma más simple de la ecuación de la energía:

2v

dTc p( ) Tdt

ρ⋅ + ⋅ = κ ⋅∇ + Φvr∇ (58.)

En el caso particular de flujos muy lentos o en reposo, se pueden despreciar los términos disipativos y

convectivos, con lo que se tiene la siguiente expresión que permite obtener el campo de temperaturas; que es la ecuación de conducción de calor para sólidos y fluidos en reposo:

TtTc 2

v ∇⋅κ=∂∂

⋅ρ (59.)

6 La energía interna esta asociada a la agitación térmica y a la composición química; en el caso de un gas ideal no hay interrelaciones entre los átomos, y la energía interna solo depende de la temperatura termodinámica.



34

3.3.2. ECUACIÓN DE ENTALPÍA. La entalpía es la suma de la energía interna y el trabajo de flujo: ρ+= /puh ; con lo que la variación temporal de la entalpía es:

dtdp

dtdp1

dtud

dtdh

2ρ

ρ−

ρ+=

el término de variación temporal de la densidad, se puede expresar en función de la divergencia de la velocidad , a partir de la ecuación de continuidad:

1 ddtρ

⋅ = −ρ

vr∇

con lo que se tiene:

( )ˆdh du 1 dp pdt dt dt

= + + ⋅ρ ρ

vr∇

y finalmente con la ecuación de energía interna (48), se llega a la ecuación de entalpía:

Φ+∇⋅κ+=ρ T

dtdp

dtdh 2

(60.)

3.3.3. ECUACIÓN DE ENTROPÍA. El Segundo Principio de Termodinámica se puede establecer como:

( )ˆds 1 du pdt T dt T

= + ⋅ ⋅ρ

vr∇ (61.)

Con lo que utilizando la ecuación de energía interna (48), se llega a la ecuación de la entropía:

Φ+∇⋅κ=ρ TdtdsT 2

(62.)

El termino de disipación de energía es siempre positivo, con lo que genera siempre aumento de entropía:

es lo inherente al Segundo Principio de Termodinámica: las irreversibilidades hacen aumentar la entropía; el término de transmisión de calor por conducción, aumenta la entropía si el flujo de calor es positivo (es decir se calienta el flujo) y disminuye la entropía si en flujo de calor es negativo ( es decir se enfría el flujo)



35

3.4. CONDICIONES DE CONTORNO.

A partir de las ecuaciones de conservación para una partícula fluida se han obtenido las ecuaciones:

(1) ecuación de continuidad: ( ) 0t

∂ρ+ ⋅ ρ =

∂vr∇

(2)(3)(4) ecuación de movimiento: ( ) 2 dp ( ) ( )dt

ρ⋅ − + λ + µ ⋅ ⋅ + µ ⋅∇ = ρ ⋅vg v vr

r r r∇ ∇ ∇

(5) ecuación de energía: dû p( ) ( T)dt

ρ + ⋅ = ⋅ κ ⋅ + Φvr∇ ∇ ∇

Las ecuaciones de continuidad y de energía son ecuaciones diferenciales escalares y la ecuación de

movimiento es vectorial, por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones diferenciales escalares. En cuanto a las incógnitas se tienen: la densidad (ρ), las componentes del vector velocidad (u,v,w), la presión (p), la temperatura (T) y la energía interna (û), es decir se tienen 7 incógnitas, por lo que para poder tener un sistema homogéneo de ecuaciones es necesario disponer de 2 ecuaciones adicionales; estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitución del propio fluido considerado:

(6) ecuación térmica de estado: ρ = ρ(p,T) (7) ecuación calórica de estado: û = û(p,T)

Con todo lo expuesto anteriormente, se dispone de un sistema homogéneo de 7 ecuaciones diferenciales

con 7 incógnitas, cuya resolución es posible, con las condiciones de contorno apropiadas para cada caso, y normalmente con técnicas numéricas, siendo posible solo para casos muy concretos la solución analítica.

Con la restricción de flujo incompresible y propiedades constantes, se tiene solo 5 incógnitas: la

presión, las tres componentes de la velocidad y la temperatura; siendo suficientes las ecuaciones de continuidad, movimiento (3) y energía: (1) continuidad: 0⋅ =vr∇

(2)(3)(4) movimiento: 2 dpdt

ρ⋅ − +µ ⋅∇ = ρ⋅vg vr

r r∇

(5) energía: Φ+∇⋅κ=⋅ρ TdtdTc 2

v

además la ecuación de energía esta desacoplada, es decir en las cuatro ecuaciones aportadas por la continuidad y por la cantidad de movimiento, sólo aparecen 4 incógnitas: presión y componentes de la velocidad, por lo que es posible su resolución; si se requiere el campo de temperaturas, se obtiene a partir de la ecuación de energía, previo conocimiento del campo de velocidades.



36

La solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales anteriores, están condicionadas por las

condiciones de contorno apropiadas, que dependen de cada caso, y vienen determinadas por los valores de las propiedades en el instante inicial, por la geometría de las paredes y por las condiciones en las entradas y en las salidas.

En las paredes impuestas por la geometría en la que esta confinado el flujo, se tiene la condición de no

deslizamiento ni de cambio de temperatura, es decir: en las partículas que “tocan” una pared se ponen a la velocidad de la pared y a su temperatura: velocidad del fluido en la pared = velocidad de la pared; y temperatura del fluido en la pared = temperatura de la pared.

Un caso muy particular de condición de contorno impuesta por una pared, es el caso de los flujos que se

consideran no viscosos, en donde no se cumple la condición de no deslizamiento; siendo la única condición de contorno establecida por la pared, que el flujo no la atraviese, es decir que sean iguales las velocidades normales de la pared y del fluido, no pudiendo decir nada sobre la velocidad tangencial del flujo cerca de la pared.

En las entradas y salidas se deben conocer las distribuciones de velocidad, temperatura y presión. Las condiciones de contorno más complejas se tienen cuando existe superficie libre, en la interfase

líquido-líquido o líquido-gas; en donde se cumple la condición cinemática de contorno, de igualdad de velocidades perpendiculares a la superficie de separación (no debe haber huecos entre el líquido y el gas); así como el equilibrio de tensiones en la superficie libre (excepto por los efectos de tensión superficial), es decir igualdad de tensión normal o presión e igualdad de tensión tangencial. Además debe cumplirse la condición de igualdad de temperaturas en todos los puntos de la superficie libre. Por la distinta viscosidad de cada fluido, son distintos los gradientes de velocidad de cada fluido en la superficie libre, aunque los esfuerzos tangenciales deben ser iguales, con lo que el perfil de velocidades (que incluye la propia superficie libre) si que debe ser una función continua, pero no es derivable en los puntos de la superficie libre:

L

G

G

G

L

L

G

L

yu

yu

µµ

=

µτµτ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

Normalmente el aumento de presión debido al efecto de la tensión superficial es despreciable, excepto

cuando los radios de curvatura son muy pequeños: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+σ=∆

GL R1

R1p ; así en el caso de una gota de

líquido en el seno de un gas o de otro líquido, como los radios son pequeños y además iguales, se tiene que la

sobrepresión que tiene lugar entre puntos separados por la superficie libre es: gotaR2p σ

=∆



37

4. PROBLEMAS RESUELTOS. 4.1. Métodos de análisis: Euleriano y Lagrangiano 4.2. Aplicación de la ecuación de continuidad: criterios de incompresibilidad. 4.3. Aplicación de las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli: descarga de depósitos. 4.4. Aplicación de la ecuación de Bernouilli: flujo no viscoso entre discos horizontales. 4.5. Aplicación de la ecuación de Bernouilli no estacionario: oscilaciones en un tubo en U. 4.6. Aplicación de la ecuación de Bernouilli con aceleración de arrastre: bomba rotativa. 4.7. Aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes: flujo de Couette-Poiseuille. 4.8. Aplicación de la ecuación de Navier-Stokes: flujo viscoso entre discos horizontales. 4.9. Aplicación de la ecuación de Energía: distribución de temperaturas en flujo de Poiseuille.



38

4.1. Métodos de análisis: Euleriano y Lagrangiano. Para determinar la aceleración de una partícula, se puede utilizar el método Lagrangiano, en donde la aceleración de la partícula se obtiene por la derivada segunda de su vector de posición, respecto al tiempo. Utilizando el método Euleriano la aceleración de una partícula que se mueve en un campo de velocidad, es una función del tiempo y de la posición, y es suma de la aceleración local y de la convectiva. Se considera un flujo unidimensional, estacionario e incompresible a través de una tobera convergente. A partir de los datos: DETERMINE: (1) Aceleración por el método Euleriano. (2) Aceleración por el método Lagrangiano.

DATOS: campo de velocidades: 0xu 1A

⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

v irr

RESOLUCIÓN: En el método Euleriano, las partículas se mueven por un campo de velocidad: ( , t)=v v rrr r , en una determinada posición y en un instante de tiempo, la aceleración de la partícula, que en ese instante, esta en la posición determinada, es:

ddt t

∂= = + ⋅

∂v va v vr r

r r r∇

t

∂∂vr

es la aceleración local, y viene determinada, en un determinado punto (local), por la variación de

la velocidad con el tiempo; si el flujo es estacionario, en un determinado punto las propiedades no varían con el tiempo (no hay variaciones locales), y en particular la velocidad en ese punto es la misma a lo largo del tiempo, con lo que la aceleración local será nula. ⋅v vr r

∇ es la aceleración convectiva, y viene determinada, en un determinado instante, por el gradiente de velocidad (

r)

En el método Lagrangiano, se parte del conocimiento del vector de posición de una determinada partícula a lo largo del tiempo: p p (t)=r rr r ; y se obtiene su aceleración por la derivada segunda del vector de

posición con respecto al tiempo: 2d2dt

=rar

r

(1) ACELERACIÓN DE LAS PARTICULAS EN EL MÉTODO EULERINO. En el problema, el flujo es estacionario y unidimensional:

Estacionario 0t

∂⇒ =

∂vr

Unidimensional 0xv u 1A

⎛ ⎞⇒ = + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

irr [1]

Q “x”

x

A



39

La aceleración ar es puramente convectiva : = ⋅a v vr r r

El gradiente de velocidad es: ( )

u v wx x x x

u v wu v wy y y y

u v wz z z z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

vr

en el problema: u=u0(1+x/A), v = w = 0;

0uux A

∂=

∂;

con lo que el gradiente de velocidad es:

0u 0 0A0 0 00 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

vr

y la aceleración convectiva es:

0

20

0

u 0 0A ux xu 1 0 0 0 0 0 1

A A A0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + = + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

a v v = irr r r

20u x1

A A⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

a irr [2]

(2) ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS EN EL MÉTODO LAGRANGIANO. Consideremos una partícula que en el instante inicial (t=0), esta situada en el inicio de la tobera (x=0); la posición de esa partícula a lo largo del tiempo es: ),t(xx pp = y se determina a partir del campo de velocidades:

pp 0

xdx u dt u 1 dt

A⎛ ⎞

= ⋅ = + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

p0

p

dxu dtx

1A

⇒ = ⋅+

p

p

x tp

0x o t 0p

dxu dt

1 x / A= =⇒ = ⋅

+∫ ∫

0

xpA ln 1 u tA

⎛ ⎞⋅ + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

0u tAx A 1p e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

⇒ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

con lo que la aceleración de la partícula será: 02 u2 tp 0 A

p 2

d x ua i ... idt A

e= ⋅ = = ⋅ ⋅r rr

[3]

Evidentemente las dos expresiones deben dar el mismo valor de la ACELERACIÓN (¡compruébelo!).



40

4.2. Aplicación de la ecuación de continuidad: criterios de incompresibilidad. La condición estricta de incompresibilidad, es que la densidad sea constante; no obstante, bajo determinadas condiciones del flujo, es posible asumir la hipótesis de incompresibilidad. Uno de los criterios, es que el número de Mach, sea relativamente pequeño, tomando normalmente como límite Ma<0,3. Así en el flujo en un ventilador, aunque el aire tiene un módulo de compresibilidad bajo, es posible suponer su flujo incompresible, si el nº de Mach en la punta del alabe , no supera el límite de 0,3. DETERMINE: La máxima velocidad de giro del ventilador para asumir la hipótesis de incompresibilidad. DATOS: Diámetro del ventilador = 1 m Suponer aire ideal a una temperatura de 32 ºC; Raire ideal = 287 J/kgK; cp/cv = 1,4

RESOLUCIÓN:

Ec. Continuidad ( ) 0t

∂ρ+ ⋅ ρ =

∂vr∇

Hipótesis: flujo estacionario 0t

=∂

ρ∂⇒

Flujo unidimensional ( ) ( )d udxρ

⇒ ⋅ ρ =vr∇

Con lo que la ecuación de continuidad queda en flujo compresible (con las hipótesis anteriores), como:

( )d u du d0 u 0dx dx dxρ ρ

= ≡ ρ + = [1]

Si el flujo, se hubiese considerado además incompresible, la ecuación de continuidad sería: du 0dx

ρ = [2]

Con la condición du dudx dx

ρρ >> , la ecuación [1] se convierte “casi” en la [2]; es decir si se cumple la

desigualdad, aunque la densidad varíe, puede considerarse el flujo como “cuasi-incompresible”.

Para flujo unidimensional, la desigualdad anterior, queda como: u d 1

duρ

<<ρ

[3]

La variación de densidad se pueden expresar en función de la velocidad que tienen pequeñas perturbaciones en el flujo, que se denomina velocidad sónica7 “a”:

2a

dpd

d

dpa =ρ⇒

ρ=

7 Estrictamente las variaciones de presión debidas a las variaciones de densidad, dependen del tipo de proceso que tenga lugar; en este caso el movimiento de las pequeñas perturbaciones en el seno de un fluido, es rápido y prácticamente no hay tiempo para la transmisión de calor (además las irreversibilidades son también despreciables), es decir se puede considerar que el proceso es isentrópico, definiéndose por tanto la velocidad

sónica como: s

pa ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ρ∂

∂=



41

La variación de velocidad se puede expresar en función de la variación de presión (Ec. de BERNOULLI sin variaciones de energía potencial):

u

dpdu0

2

2uddp

ρ−=⇒=+ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Con las dos últimas expresiones se puede rescribir la desigualdad [3], quedando:

22

2 2

dpu ua Ma 1 Ma 1dp a

u

⎛ ⎞= = << ≡ <<⎜ ⎟−ρ ⎝ ⎠ρ

La relación entre la velocidad de una partícula del flujo, y la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del

fluido, es el número de MACH, “Ma”: a

uMa =

Con todo, se tiene que el criterio de flujo “cuasi-incompresible” es Ma2<<1. Normalmente se toma Ma<0,3 (Ma2<0,09), como criterio de incompresibilidad. En el caso de un ventilador, el mayor Ma del flujo, se obtiene en las partículas de aire que tocan las puntas de los alabes; en donde prácticamente adquieren la velocidad tangencial de la punta (ωR). La velocidad de giro máxima del ventilador, para poder considerar el flujo como incompresible, viene determinada por la condición de que el número de Ma en cualquier punto del flujo sea menor de 0,3; y como las partículas más rápidas son las de las puntas, se tiene que el flujo se podrá considerar como incompresible, si el Ma en la punta del alabe no supera el valor de 0,3:

R

a3,03,0

a

RpuntaMa <ω⇒<

ω= [4]

La velocidad del sonido en el aire, se puede determinar considerándolo como gas ideal, con lo que se tiene:

s/m156,35015,3052874,1a...

K15,30515,27332T

kgK/J287aireR

4,1vc/pcaire

...RTidealairea =⋅⋅=

=+=

=

==γ

=γ=

con lo que da la ecuación [4] se obtiene el máximo valor de la velocidad de giro, para que el flujo se pueda considerar como incompresible:

rpm25,20062

60094,210N

1s094,2105,0

156,3503,0...

m5,0R

s/m156,350a...

R

a3,0

=π

<

−=⋅

<ω=

==<ω

El ventilador de 1 m de diámetro, debe girar a una velocidad menor de 2006,25 rpm, para poder considerar la hipótesis de “cuasi-incompresibilidad” en todo el flujo.



42

4.3. Aplicación de las ecuaciones de continuidad y de BERNOULLI: descarga de depósitos. Uno de los problemas clásicos de hidrodinámica, es la descarga de un deposito. Se suelen tener tres casos: a) determinación de la velocidad de salida, por un orificio inferior, considerando que el nivel del deposito es constante; b) tiempo de descarga de un deposito y c) forma del deposito para que la velocidad de descenso del nivel sea constante (reloj de agua o clepsidra).

DETERMINE para cada caso: 1. velocidad del chorro para flujo no viscoso. 2. tiempo de descarga. 3. forma del deposito de revolución. 4. valores de 1.), 2.) y 3.) a partir de los datos numéricos. DATOS: nivel del deposito = H. nivel inicial del deposito =h0 ; diámetro del deposito = D1; diámetro del orificio = D2. velocidad de descenso del nivel de agua = v; diámetro de salida = D2 numéricos: (a) H=3m (b) h0= 3m; D1=2m; DO=20mm (c) v=2 mm / min; D2=4 mm RESOLUCIÓN: a) Deposito de nivel constante BERNOULLI (1) (2) 2

222

121

212

11 zgvpzgvp ρ+ρ+=ρ+ρ+

⇒

==

=

===

daargdesc2

atm2

1

atm1

vvvpp

)2(

)cteH(0vpp

)1(

22d2

1atm1

221

atm zgvpzg0p ρ+ρ+=ρ+ρ+

Con lo que la velocidad de descarga es: ( ) gH2zzg2v 12d =−= gH2vd = [1] Que es la ecuación de TORRICELLI. Numéricamente, si el nivel del deposito es de H=3m, la velocidad de descarga, es:

s/m668,738,92gH2vd =⋅⋅== COEFICIENTE DE CONTRACCIÓN: existe una contracción del chorro de salida, con respecto al área del orificio de salida; la relación entre las dos áreas, se denomina coeficiente de contracción de la vena líquida: Cc=AC/A0, que suele ser del orden de 0,65.

2

H

1

vd



43

COEFICIENTE DE VELOCIDAD: experimentalmente la velocidad de salida en la contracción, es menor que la dada por la ecuación de Torricelli, según el coeficiente de velocidad: Cv=(vd)experimental / (vd)Torricelli; que suele ser del orden de 0,95. COEFICIENTE DE DESCARGA: el caudal que atraviesa la sección contraída es:

( )( ) ( ) gH2ACCgH2CCAvAQ 0vcvc0dc ==⋅=

Al producto CcCv se le denomina coeficiente de descarga Cd, que suele ser del orden de 0,60; y a partir del cual se puede obtener el caudal que sale por el orificio:

gH2ACQ 0d= b) Deposito de nivel variable: En un determinado instante, si el nivel es h(t), la ecuación de Bernoulli entre un punto de la superficie libre (1) y un punto del chorro de salida (2) es:

2

od

1atm

2

atm dtdh

ACA

21pgh

dtdh

21p ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ρ+=ρ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ρ+

en donde: la velocidad del punto (1) es –dh/dt; el signo menos es debido a que dh es <0

la velocidad del punto (2), por continuidad, es v2 = A1v1/A2 = dtdh

AcA

od

1 −

la ecuación anterior queda como: gh21AC

Adtdh

2

od

12

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

separando variables, se tiene la ecuación diferencial: ( ) dt

1

g2h

dh2

ACA

od1

⋅−

±= cuya integración es:

∫∫ ⋅

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=

t

02

od

1

h

hdt

1AC

A

g2h

dh

0

( )hhg2

1AC

A

2t 0

2

od

1

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⇒

el tiempo de descarga del deposito, se tiene con h=0: 0

2

od

1

aargdesc hg2

1AC

A

2t ⋅

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

numéricamente, con los datos de

m3h60,0Cd

mm20D;4D

A;m2D;4DA

0

0

20

0

2

==

=π

==π

=,

1

2

dh

h(t)



44

el tiempo de descarga es:

s1304138,92

1020,060,0

2

2hg2

1DC

D

2t

2

2

2

0

2

2od

2

aargdesc =⋅

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

es decir el deposito tarda en vaciarse 3h 37 m 21s c) Deposito de nivel y sección variable, con velocidad de disminución de nivel constante:

En un determinado instante, si el nivel es h(t), la ecuación de Bernoulli entre un punto de la superficie libre (1) y un punto del chorro de salida (2) es:

2

2

1atm

2

atm dtdh

AA

21pgh

dtdh

21p ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ρ+=ρ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ρ+

en donde: la velocidad del punto (1) es –dh/dt; el signo menos es debido a que dh es <0

la velocidad del punto (2), por continuidad, es v2 = A1v1/A2 = dtdh

AA

2

1 −

Considerando que el recipiente es de revolución, es decir en cada sección, el área viene determinada por πr2, la ecuación anterior queda como:

gh21rr

dtdh

2

22

22

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Se quiere construir el recipiente, de tal forma, que la disminución de nivel sea constante con el tiempo; por ejemplo, se da el dato de que la velocidad de disminución del nivel es de (2mm/min), es decir cada minuto el nivel del deposito baja 2mm, con lo que al cabo de 6 horas el nivel bajara 720 mm. El que la velocidad de bajada del nivel sea constante, permite establecer una escala vertical de longitudes, que mida el nivel, proporcional a la escala de tiempos: se tiene un reloj de agua. La velocidad “v” de bajada del nivel es constante e igual a –dh/dt; con lo que de la última ecuación se tiene la forma que debe tener el recipiente que se utilice como reloj de agua:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅= 1r

r1

g2vh 4

42

2 es decir un paraboloide de revolución de cuarto orden: 4rh ∝

Numéricamente, el radio del recipiente con h=720mm es:

( )4 4h 720mm o 22

2gh 2 9,8 0,720r r 1 2 1 671,4 mmv 0,002 / 60=

⋅ ⋅= + = ⋅ + =

La cantidad de agua que debemos de poner en la clepsidra, para tener un reloj de 6 horas, y que cada minuto el nivel descienda 2mm, será el volumen del paraboloide:

V(h=720mm a h=0) = ...=2 2

32o

2 r 2 0,0022gh 2 9,8 0,720 2,832 mv 0,002 / 60π π ⋅

= ⋅ ⋅ =

h(t)

r dh



45

4.4. Aplicación de la ecuación de BERNOULLI: flujo no viscoso entre discos horizontales. El flujo radial entre dos discos horizontales y concéntricos, da lugar a un campo de presiones, con valores menores que la presión atmosférica, lo que hace que la fuerza de presión, pueda ser suficiente para sujetar el disco inferior. Se supone que el caudal es aportado por una tubería vertical de diámetro D1, y que fluye entre los discos hasta salir a la atmósfera. Considere el flujo ideal y que la velocidad, desde R1 a R2 es exclusivamente radial. DETERMINE: 1. La velocidad de salida. 2. La presión en una posición radial genérica comprendida entre R1 y R2. 3. La fuerza de presión sobre la corona del disco inferior (D1 a D2). DATOS: Fluido: densidad constante = ρ; caudal = Q Geometría: diámetro de la tubería = D1; discos: diámetro = D2; huelgo = H. Numéricos: ρ=900kg/m3; Q = 0,4 litros/segundo ; D1=30mm; D2=400mm; H=10mm RESOLUCIÓN: (1) Velocidad de salida: se conoce el caudal de salida por los discos (igual al que se aporta por la tubería vertical) y se conoce la sección de salida (área lateral del estrecho cilindro de salida = 2πR2H) con lo que evidentemente:

H2R2

Q2v

π=

numéricamente, con los datos de Q=4 litros/segundo; R2=200mm y H=10mm, se tiene que la velocidad de salida es:

s/m318,0010,0200,02

31042v =

⋅⋅π

−⋅=

En cada sección (r=cte), el perfil de velocidades es uniforme, por ser un fluido no viscoso (precisamente por eso, la condición de no deslizamiento no se cumple, es decir el fluido que toca las paredes no se pone a la velocidad de ellas, lo que si se cumple es que no puede atravesarlas). Si el fluido fuese viscoso, se cumple la condición de no deslizamiento y las partículas del flujo que tocan las paredes de los discos, estarían a velocidad nula, al estar los discos quietos, se tiene máxima velocidad en la línea central de los discos, y esa velocidad máxima va disminuyendo conforme el fluido avanza (ver problema 3.8)

A 2

R1

r

R2

A2=2πR2 H

H

Q



46

(2) Presión en una posición radial genérica (entre R1 y R2) Consideraremos que en las posiciones radiales entre R1 y R2 se tiene flujo irrotacional, y como la densidad es constante, se cumple la ecuación de BERNOULLI8. La establecemos entre un punto genérico (A) y un punto en la salida del flujo a la atmósfera (2):

gz22v2

1atmpgz2v2

1p ρ+ρ+=ρ+ρ+ con lo que se tiene que la presión es una posición radial genérica es:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π

ρ+=

π−

π

ρ+=−

ρ+= 2r

122R

12H28

2Qatmp

2

rH2

Q2

H2R2

Q

2atmp2v22v

2atmpp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π

ρ+= 2r

122R

12H28

2Qatmp)r(p [1]

como en todas las posiciones radiales r<R2, el termino del paréntesis es siempre negativo, es decir que la presión en cualquier posición radial es menor que la atmosférica(e igual a la atmosférica en la salida). Hemos considerado como sección de inicio del flujo irrotacional, al correspondiente al radio de la tubería vertical de aporte de caudal. La presión en la citada sección es:

Pa1,8060atmp2015,0

12200,0

12010,028

2004,0900atmp2

1R

122R

12H28

2Qatmp)1R(p −=−

π

⋅+=−

π

ρ+= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

es decir que la presión vacuométrica en la sección inicial es de 8060,1 Pa

8 En el interior de los discos, en posiciones radiales próximas al eje de la tubería el flujo es rotacional, no pudiendo establecer la ecuación de Bernoulli, conforme el flujo avanza por el interior de los discos, por ser el huelgo muy pequeño, el fluido se va haciendo irrotacional, y al ser incompresible, se puede aplicar la ecuación de Bernoulli. En este problema consideraremos como hipótesis simplificativa, que se tiene flujo irrotacional a partir de radios mayores o iguales a R1



47

(3) Fuerza de presión sobre la corona del disco inferior (D1 a D2): Sobre el disco inferior están actuando: por la parte exterior la presión atmosférica y por la parte interior la presión del líquido, que es menor o igual a la atmosférica; por lo tanto la resultante de las fuerzas de presión sobre el citado disco tiene sentido positivo de fuerza de sustentación. Sobre una determinada corona elemental, las fuerzas de presión serán:

( ) dA)r(patmppdF ⋅−=

y de la ecuación [1] que da la presión en el interior de los discos, se tiene que la fuerza de elemental de presión sobre el área elemental considerada (dA=2πr dr) es:

drr2H8QdF 22

2

p π⋅πρ−

=

con lo que la resultante de las fuerzas de presión, sobre la corona considerada (D1 a D2), es:

==π⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

π

ρ−== ∫∫ ...drr2

r1

R1

H8QdFF 2

1

2

1

R

R 2222

2

2R

R pp⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

π

ρ−

1D2D

ln22D2

21D2

2D2H4

2Q

Numéricamente, a partir de los datos, la resultante de la fuerza de presión sobre el disco inferior es:

N985,23030,0

400,0ln2400,02

2030,02400,02010,04

2004,0900

1D2D

ln22D2

21D2

2D2H4

2QpF =−

⋅

−

⋅π

⋅=−

−

π

ρ−= ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

El signo positivo, evidencia que la resultante de las fuerzas de presión es una fuerza de sustentación (vertical hacía arriba).

p(r)

patm

p(r)

patm dA=2πr dr

r dr



48

4.5. Aplicación de la ecuación de Bernoulli en flujo no estacionario: oscilaciones en un tubo en U.

En flujo no viscoso, las oscilaciones de un líquido en un tubo en U, son senoidales puras; y la frecuencia de la oscilación depende exclusivamente de la longitud del tubo mojado. Si el flujo es viscoso, las oscilaciones se van amortiguando hasta alcanzar el equilibrio con los meniscos en las misma cota. DETERMINE: 1. La ecuación de la cota de los meniscos en función del tiempo: z=z(t). 2. El periodo de las oscilaciones. DATOS: fluido: incompresible y no viscoso Longitud de la columna del tubo mojada por el líquido = L Desequilibrio inicial: velocidad nula y diferencia de cotas entre los meniscos = H Numéricos: L = 400mm: H = 100 mm RESOLUCIÓN: Ecuación de Bernoulli en régimen no estacionario es:

( ) 0)zz(gdpvvdstv

122

121

222

12

1=−+

ρ+−+⋅

∂∂ ∫∫

En el caso de las oscilaciones de una columna de líquido en un tubo en U, la densidad es constante, y en cada instante de tiempo todos los puntos de la línea de corriente central, deben tener la misma velocidad: las partículas del líquido se mueven mantenido siempre la misma distancia relativa, es decir la longitud total (L) de la columna de líquido es constante; con lo que en la ecuación anterior, aplicada a la línea de corriente central, y entre los puntos correspondientes a cada uno de los meniscos, el término de la integral del elemento de distancia de la línea de corriente como:

Ldtdvds

dtdvds

tv 2

1

2

1⋅=⋅=⋅

∂∂ ∫∫

Con respecto a la línea horizontal de equilibrio, la distancia de los meniscos es la misma, es decir: lo que asciende un menisco es lo que desciende el otro, por lo tanto se tiene que los módulos de las velocidades de los meniscos son los mismos, con lo que no hay variación de la energía cinética:

22

2121 vv

dtdzv

dtdzv =⇒=∧= ( ) 0vv 2

1222

1 =−⇒

La densidad es constante, y los dos meniscos están a la presión atmosférica, con lo que el término de trabajo de flujo es nulo:

0ppppdp atmatm222

1=

ρ−

=ρ−

=ρ∫

En cada instante de tiempo, si la cota del menisco izquierdo (punto 2) es “z” (respecto al nivel de equilibrio), la cota del menisco derecho (punto 1) es “-z”; con lo que la diferencia entre las cotas es: z2-z1 = z – (-z) = 2z

Con todo lo anterior, la ecuación de Bernoulli queda: 0zg2Ldtdv

=+⋅

L

z



49

Expresando la velocidad de un punto de la línea de corriente, como: v = dz/dt; queda la ecuación diferencial:

zLg2

dtzd2

2⋅−= ; cuya solución es: ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅= t

Lg2senBt

Lg2cosAz [1]

en donde las constantes de integración se obtienen por las condiciones de contorno: en el instante inicial el desequilibrio entre los dos meniscos es “H” y los dos meniscos estas quietos. A partir de ese instante, los meniscos empiezan a moverse, de tal forma que si inicialmente el m t = 0; z = H/2 y dz/dt =0

en la ecuación [1], si z = H/2 y t=0, queda: A0Lg2

senB0Lg2

cosA2/H =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

es decir la constante de integración A = H/2 La derivada temporal de la ecuación [1] da la velocidad de movimiento de los meniscos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−== t

Lg2cos

Lg2Bt

Lg2sen

Lg2A

dtdzv

con la condición inicial que v = 0 en t = 0; se tiene:

Lg2B0

Lg2cos

Lg2B0

Lg2sen

Lg2A0 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−= 0B =⇒

Con todo, la ecuación que da la posición de los meniscos en función del tiempo es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅= t

Lg2cos

2Hz

Es decir una función senoidal, que se repite periódicamente, con valores del termino del coseno igual a 2kπ; es decir que el periodo es:

π=⋅ 2TLg2

gL2T π=⇒

numéricamente, si la longitud de la columna de líquido es L=400mm; el periodo de las oscilaciones periódicas puras es:

s898,08,9400,02

gL2T =

⋅π=π=

y la amplitud máxima es H= 100 mm Las oscilaciones de los meniscos, son de periodo constante y de amplitud constante. Esto es considerando que el fluido es no viscoso. Si el fluido es viscoso, las oscilaciones son amortiguadas y desaparecen a lo largo del tiempo.

T

H

z

t



50

1

2 3

Q

v R

patm

H

ω

4.6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli con aceleración de arrastre: bomba rotativa. Un tubo en forma de L, se sumerge parcialmente en un líquido el tramo vertical, dejando el tramo horizontal a una cierta altura de la superficie libre. En el tramo vertical se hace girar con una velocidad constante. Inicialmente el tubo esta lleno de líquido y tiene una válvula en el extremo no sumergido; en un determinado instante abre la válvula y el líquido empieza a salir por el tramo horizontal. DETERMINE: 1. Ecuación de Bernoulli considerando la aceleración de arrastre. 2. Caudal bombeado. 3. Velocidad máxima de giro para que el punto de mínima presión no cavite. 4. Velocidad mínima de giro para que el líquido pueda salir. DATOS: fluido: incompresible y no viscoso Tubo en forma de L: longitud del tramo horizontal = Lh; longitud del tramo vertical no mojado = Lv Presión atmosférica: Pa; presión de vapor: Pv Numéricos: L h=250mm; Lv=400mm; Pa=1013 mbar; Pv=12 mbar RESOLUCIÓN: (1) ECUACIÓN DE BERNOULLI CON ACELERACIÓN DE ARRASTRE:

En la ecuación de movimiento de EULER: dpdt

ρ − = ρvgr

r∇ , tanto el gradiente de presión, como la

aceleración de las partículas, están referidos a un determinado sistema de referencia. Si el sistema de referencia es inercial (fijo o se mueve a velocidad constante), se mueve sin aceleración, con lo que las fuerzas másicas sólo vienen afectadas por el vector aceleración genérica de campos de fuerzas externos. En cambio, si el sistema de referencia, en el que se tiene los campos de presión y velocidad, es no inercial (tiene una aceleración de arrastre, respecto a un sistema inercial), para poder mantener en la ecuación anterior, el gradiente de presión y la aceleración de las partículas (respecto al sistema no inercial), hay que afectar a las fuerzas másicas, por la aceleración relativa, es decir por SRNI−g ar r . Con lo que la ecuación de EULER para un sistema de referencia no inercial es:

( ) dpdt

ρ − = ρSRNIvg - ar

r r∇



51

La ecuación de EULER, para puntos de una línea de corriente, es la ecuación de BERNOULLI, que para un sistema de referencia no inercial queda como:

( ) ( )2arrastre

v 1 dpds d v g dz a ds 0t 2

∂⋅ + + + ⋅ − ⋅ =

∂ ρr r

En el problema, el termino de la aceleración de arrastre, se simplifica notablemente, debido a que el vector velocidad de giro del sistema de referencia es constante y perpendicular al vector de posición. Las hipótesis restrictivas son:

flujo estacionario: v 0t

∂=

∂

flujo incompresible: cte.ρ = aceleración de arrastre, exclusivamente centrípeta: ( ) 2

arrastre axial axiala k k ru r u= ω × ω × = ω ⋅r rr r r

línea de corriente en el tramo horizontal, dirección axial: axialds dr u= ⋅r r

con lo que el sumando correspondiente a la aceleración de arrastre, en la dirección de la línea de corriente es: ( ) 2

arrastrea ds r dr⋅ = ω ⋅r r

con todo la ecuación de BERNOULLI queda: ( )2 21 dpd v g dz r dr 02

+ + ⋅ −ω ⋅ =ρ

cuya integración da: 2 2 2v p rgz cte.

2 2ω

+ + − =ρ

≡ .ctegzrvp 22212

21 =ρ+ωρ−ρ+ [1]

(2). CAUDAL BOMBEADO. La ecuación de Bernoulli [1] entre el punto (2) y el punto (1) (a tal profundidad que su velocidad es nula), es:

122

212

21

1222

212

221

2 gz00pgz0vp ρ+⋅ρω−⋅ρ+=ρ+⋅ρω−ρ+ A su vez, como en el punto (1) la velocidad es nula, su presión es la atmosférica más la debida a la columna de agua que tiene encima: p1=patm+ρg(zSL-z1), en donde zSL es la cota de la superficie libre; con lo que la queda:

( ) 11SLatm22

21

2 gzzzgpgzvp ρ+−ρ+=ρ+ρ+ siendo H = z2 – zSL; la presión en el punto (2) es: gHvpp 2

21

atm2 ρ−ρ−= [2] La ecuación de Bernoulli [1] entre el punto (2) y el punto (3) (chorro libre a la presión atmosférica), es:

222

212

221

atm222

212

221

2 gzRvpgz0vp ρ+⋅ρω−⋅ρ+=ρ+⋅ρω−ρ+ La velocidad en cualquier sección del interior del tubo es la misma, e igual al caudal por la sección:

2DQ4v

π=

Con lo que la presión en el punto (2) es: 22

21

atm2 Rpp ρω−= [3]



52

De la igualdad de las dos expresiones que dan la presión en el punto (2) se obtiene la velocidad de la corriente uniforme:

[2] = [3] 2221

atm2

21

atm RpgHvp ρω−=ρ−ρ− gH2Rv 22 −ω= [4]

con lo que el caudal bombeado es: gH2R4DQ 22

2−ω

π= [5]

Numéricamente, con los datos: D=30mm; R=200mm; H=250mm; ω=200(2π/60)=20,944s-1:

s/m556,3250,08,92200,0944,20gH2Rv 2222 =⋅⋅−⋅=−ω=

segundo/litros514,2s/m10514,2556,34030,0gH2R

4DQ 33

222

2==⋅

⋅π=−ω

π= −

(3). VELOCIDAD MÍNIMA DE GIRO. En la ecuación que da el caudal en función de la velocidad de giro [5], si el radicando en nulo el caudal es nulo, y si es negativo quiere decir que no hay suficiente “fuerza centrifuga” para establecer el flujo; con lo que para que haya caudal la velocidad de giro debe ser:

RgH2

>ω

numéricamente:

1s068,11200,0

250,08,92RgH2 −=

⋅⋅=>ω rpm69,105

260068,11N =π

>≡

(4) VELOCIDAD MÁXIMA DE GIRO: en todo el tubo, la presión mínima se tiene en el punto (2), y su valor viene determinado por la ecuación [3]:

22

atm2 R2

pp ρω−=

esa presión debe ser siempre mayor que la presión de vapor a la temperatura del flujo, para que el líquido no empiece a hervir (cavitación); lo que lleva a poder obtener la velocidad máxima a la que puede girar el sistema:

22

atm2 R2

pp ρω−= > pvapor R

/)pp(2 vaporatm ρ−≤ω⇒

numéricamente, con los datos: patm = 1020 mbar; pvapor = 23 mbar; ρ=1000 kg/m3; R=0,2m

1vaporatms605.70

2,01000/)2300102000(2

R

/)pp(2 −=−

=ρ−

≤ω⇒

N < 70,605(60/2π) = 674,2 rpm Es decir que la velocidad de giro deber ser menor de 674,2 rpm; si fuese mayor el punto (2) tendría una presión igual a la de vapor, y el líquido “herviría” (cavitación).



53

4.7. Aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes: flujo de Couette-Poiseuille Una fina película de líquido de espesor constante, fluye estacionariamente por un plano inclinado. La atmósfera ejerce una presión constante en todas las secciones del flujo y es despreciable el esfuerzo viscoso en la superficie libre. DETERMINE: 1. El perfil de velocidades: u=u(y). 2. La ecuación del caudal volumétrico. 3. A partir de los datos numéricos, el ángulo del plano inclinado. DATOS: Flujo: estacionario, incompresible y laminar (v=w=0) Plano inclinado: ángulo de inclinación = θ Película: espesor = H; anchura = a Numéricos: viscosidad = 2,3 St; H=10mm; a=1m; Q= 8 lps

RESOLUCIÓN: (1)PERFIL DE VELOCIDADES: En la dirección de la corriente (x), la ecuación de Navier-Stokes, para flujo incompresible y estacionario es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

µ+∂∂

−⋅ρzuw

yuv

xuu

zu

yu

xu

xpg 2

2

2

2

2

2

x [1]

particularizando para el problema: componente gravitacional: α⋅= sengg x gradiente de presión: todos los puntos de la superficie libre están a la presión atmosférica, y considerando que el espesor de la capa de fluido es pequeño, se puede considerar que todos los puntos del flujo están a la presión atmosférica, es decir no hay gradiente de presión: 0p =∇ ; con lo que se tiene que en cualquier dirección la presión no varía, y en particular en la dirección del flujo:

0xp

=∂∂

Estrictamente: αρ−=∂

∂∧=

∂

∂cosg

y

p0

x

p ( )yHcosgatmpp −αρ+=⇒

Pero como el huelgo es muy pequeño, ρgcosα(H-y) << patm, y con ello p = patm = cte.

g

gx

α

α

y

u

x

H

Q



54

vector velocidad: el vector velocidad sólo tiene componente en la dirección “x”; con lo que v = w = 0; por lo que por continuidad:

0xu

0wv

0zw

yv

xu

=∂∂

⇒==

=∂∂

+∂∂

+∂∂

)y(uu =⇒

quedando de la ecuación de Navier-Stokes [1], la ecuación diferencial que permite obtener el perfil de velocidades:

0dy

udseng 2

2=⋅µ+α⋅ρ cuya solución es: ByA2y

2

sengu +⋅+⋅

µ

α⋅ρ−=

las constantes de integración, se obtienen con las condiciones de contorno: en la superficie inclinada (que esta fija) la velocidad es cero, y en la superficie libre la tensión de rozamiento con el aire ambiente es nula (se desprecia el efecto de rozamiento del aire9) y con ello la velocidad es máxima:

0dydu0Hy

0u0y

=≡=τ⇒=

=⇒= B=0; H

sengA

µ

α⋅ρ=

con lo que el perfil de velocidades es:

yHsengy2

sengu 2 ⋅µ

α⋅ρ+⋅

µα⋅ρ−

= ( )2yHy22sengu −⋅µ

α⋅ρ= [2]

(2) CAUDAL VOLUMÉTRICO DE LA CAPA DE ACEITE. Al ser: iuv

rr= ; ( ) idyaAd

rr⋅= ; en donde “a” es la anchura de la capa de aceite, el caudal se obtiene por:

( ) 3H

02Hy

0yAaH

3seng...adyyHy2

2sengadyuAdvQ

να⋅

==⋅−µ

α⋅ρ=⋅=⋅= ∫∫∫∫

=

=

rr 3aH

3sengQν

α⋅= [3]

(3) ÁNGULO DEL PLANO INCLINADO, PARA QUE EL CAUDAL SEA DE 8 litros/segundo: De la ecuación del caudal [3], el ángulo del plano inclinado, para que el caudal de líquido sea de 8 lps es:

º28,343010,018,9

4103,231083arcsen3Hag

Q3arcsen =

⋅⋅

−⋅⋅−⋅⋅=

ν=α ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

la viscosidad cinemática es de 2,3 St (STOKES) = 2,3 cm2/s = 2,3 10-4 m2/s

9 Estrictamente, en la superficie libre (interfase aceite-aire) se cumple que las tensiones son iguales: en nuestro

caso: Hyy

2u2

Hyy

1u1

=∂

∂µ=

=∂

∂µ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

. Se recuerda que para fluidos inmiscibles, en la interfase, aunque las

tensiones sean iguales, las velocidades tangenciales son distintas, por la diferencia de viscosidad.



55

4.8. Aplicación de las ecuaciones de NAVIER-STOKES: flujo viscoso laminar entre discos El flujo radial entre dos discos horizontales y concéntricos, da lugar a un campo de presiones, que en función del Re, puede tener un gradiente de presión positivo o negativo. En el caso de flujo laminar, se obtiene que el gradiente de presión es negativo, con lo que la presión va disminuyendo conforme aumenta el radio. Con lo cual, si se descarga a la atmósfera, esa será la sección de mayor radio y de menor presión, con lo que en secciones interiores, la presión será mayor que la atmosférica, que es justamente lo contrario a lo que ocurría en el problema 4. Se supone que el caudal es aportado por una tubería vertical de diámetro D1, y que fluye entre los discos hasta salir a la atmósfera. Considere como hipótesis, que entre las posiciones radiales R1 a R2 el flujo es estacionario, incompresible, viscoso y laminar. DETERMINE: 1. El perfil de velocidades en cada posición radial: v=v(r,z).. 2. La presión en cada posición radial: p=p(r) 3. La fuerza de presión sobre la corona del disco inferior (D1 a D2). DATOS: Fluido: densidad y viscosidad constantes; caudal constante = Q Geometría: diámetro de la tubería = D1; discos: diámetro = D2; huelgo = H. Numéricos: µ=0,8kg/ms; Q = 0,4 litros/segundo ; D1=30mm; D2=400mm; H=10mm RESOLUCIÓN: Si el flujo es laminar, las partículas se mueven en capas horizontales (vz=0) sin vorticidad (vθ=0), y la velocidad solo tiene componente radial; además las fuerzas de inercia se pueden despreciar frene a las viscosas:

FLUJO LAMINAR v v u 0 u 0 uzr r

Re fuerzas viscosas fuerzas inercia

= ⋅ + ⋅ + ⋅θ⇒↓↓⇒ >

r r r r

La ecuación de NAVIER-STOKES para la componente radial, para flujo incompresible y estacionario, con velocidades tangencial y axial nulas, es:

( )

rvv

zv

rvr

r1

rrpg r

r2r

2r

r ∂∂

ρ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

µ+∂∂

−ρ [1]

(1) (2) (3) (4) (5)

A

2

R1

r

R2

A2=2πR2 H

H

Q vr=vr(r,z) z´s

r´s

z=0

z=-H/2

z=H/2



56

Respecto a cada uno de los 5 términos que aparecen en la ecuación anterior, se tiene: - El término (1) es nulo, por ser horizontal la dirección radial. - El término (2) se puede expresar por dp/dr, si consideramos que la presión prácticamente no varia con las “z´s”“al ser el huelgo muy pequeño. - El término (5) de fuerzas de inercia (por unidad de volumen) es despreciable frente al termino (3)(4) de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), por ser el flujo laminar. - El término (3) es nulo por continuidad, pues al ser incompresible, el flujo es adivergente:

( ) ( )0

rvr

0vvz

vvr1

rvr

r10v r

zr

z

=∂

∂⇒

==∂

∂+

θ∂∂

+∂

∂==⋅∇

θ

θr

[2]

Con todo la ecuación de Navier-Stokes, queda: 02zrv2

dr

dp=

∂

∂µ+− [3]

(1) CAMPO DE VELOCIDADES: De la ecuación de continuidad [2], se puede deducir, que el producto “r vr” no depende del radio, y por tanto dependerá exclusivamente de la altura “z”, es decir:

( ))z(fvr

)r,z(vv)r(fvr

0r

rvr

rr

rr =⇒=

≠⇒=

∂∂

con lo que la velocidad radial es una función del tipo: )z(fr1vr = [4]

cuya segunda derivada, respecto a “z” es: 2dr

)z(f2d

r

12z

)z(f2

r

12z

)z(fr

12

2zrv2

=∂

∂=

∂

∂

=∂

∂⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

que llevado a la ecuación [3], queda: 02dz

)z(f2dr1

dr

dp=µ+−

cuya integración da la función “f(z)”: BAz2

zdrdpr)z(f

2++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

µ=

con lo que de la ecuación [4], se puede obtener la expresión de la velocidad radial:

rBz

rAz

drdp

21v 2

r ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

µ= [5]



57

Las constantes de integración se obtienen con las condiciones de contorno: por la condición de no deslizamiento, en las paredes, la velocidad es nula: vr=0, con z=-H/2 y z=H/2; que llevadas a la ecuación [5], resulta:

A = 0 y B =r

Hdrdp

81 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

µ−

Con lo que se tiene como expresión de la velocidad radial: ( )2 2r

1 dpv H 4z8 dr

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟µ ⎝ ⎠ [6]

Como las velocidades son siempre positivas, y 4z2 siempre es menor que H2; el gradiente radial de presiones debe ser negativo, es decir la presión va disminuyendo con el radio. Como en la salida se tiene la presión atmosférica, la presión en el interior siempre es mayor que la atmosférica (¡compare y comente con el resultado del mismo problema con flujo no viscoso¡). Una vez obtenido el perfil de velocidades, en cada sección, el gradiente de presión (dp/dr) se puede determinar, a partir de la ecuación del caudal volumétrico:

( )z H / 2 z Hr r 2 2rA z H / 2 z 0

r

v v u 1 dpQ v dA ... ... v 2 r dz 4z H 2 r dz ...8 drdA 2 r dz u

= =

=− =

= ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ = = π = − π =⎜ ⎟µ= π ⋅ ⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫

r rrr

r r

3H dpQ r

6 drπ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟µ ⎝ ⎠

⇒ 3

dp 6 Q 1dr rH

µ= −

π [7]

Con la expresión del gradiente de presión, y la ecuación [6] se obtiene el campo de velocidades:

2 2

r3

3Q H 4zv ur4 H−

= ⋅π

r r [8]

(2) CAMPO DE PRESIONES: La integración del gradiente de presiones, permite obtener el campo de presiones:

3

6 Q 1dp drrH

− µ=

π atm 2p p r R 2

atm 3 3p p r r

R6 Q dr 6 Qdp p p(r) lnr rH H

= =

= =

− µ − µ⇒ = − = =

π π∫ ∫

2atm 3

R6 Qp(r) p lnrH

µ= +

π [9]

En la ecuación anterior, como r<R2, el logaritmo es positivo, y con ello la presión en cualquier posición radial es mayor que la presión atmosférica; evidentemente con r=R2, se tiene la presión atmosférica.



58

(3) Fuerza de presión sobre la corona del disco inferior (D1 a D2): Sobre el disco inferior están actuando: por la parte exterior la presión atmosférica y por la parte interior la presión del líquido, que es mayor o igual a la atmosférica; por lo tanto la resultante de las fuerzas de presión sobre el citado disco tiene sentido hacia abajo. Sobre una determinada corona elemental, las fuerzas de presión serán:

( ) dA)r(patmppdF ⋅−=

y de la ecuación [9] que da la presión en el interior de los discos, se tiene que la fuerza de elemental de presión sobre el área elemental considerada (dA=2πr dr) es:

2p 3

R6 QdF ln 2 r drrH

− µ= ⋅ π

π

con lo que la resultante de las fuerzas de presión, sobre la corona considerada (D1 a D2), es:

2 2

1 1

R R 2p p 3R R

R6 QF dF ln 2 r dr ...rH

− µ= = π = =

π∫ ∫ 2 2 22 13

R12 Q 1 R R 1 2ln4 R1H

⎡ ⎤⎛ ⎞− µ ⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 22 13

1

R3 QFp R R 1 2lnRH

⎡ ⎤⎛ ⎞− µ= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Numéricamente, a partir de los datos, la resultante de la fuerza de presión sobre el disco inferior es:

3R3 Q 3 0,8 0,410 0, 2002 2 2 22Fp R R 1 2ln 0,200 0,015 1 2ln 9,3 N2 13 3R 0,015H 0,0101

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤− µ − ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − + = − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

El signo negativo, evidencia que la resultante de las fuerzas de presión es una fuerza vertical hacía abajo.

p(r)

patm

p(r)

patm dA=2πr dr

r dr



59

4.9. Aplicación de la ecuación de ENERGÍA: distribución de temperaturas en flujo de Poiseuille. Un líquido fluye en régimen laminar entre dos placas horizontales fijas; la placa inferior es una pared adiabática y la placa superior es una pared isoterma. El flujo esta provocado por una gradiente horizontal de presión. DETERMINE: 1. El perfil de velocidades : u=u(y).. 2. El gradiente de presión en función del caudal. 3. El perfil de temperaturas: T=T(y) 4. Potencia calorífica que atraviesa la pared isoterma. DATOS: Fluido: densidad, viscosidad y conductividad térmica, constantes = ρ, µ , κ Flujo: caudal constate = Q; laminar (v=w=0) Geometría: huelgo: H; ancho: A; longitud: L ; tisoterma=60ºC

Numéricos: ρ=900 kg/m3; µ=0,2kg/ms; κ=0,3W/mK; Q = 1 lps; H=10mm; L=A=1m. RESOLUCIÓN: (1) PERFIL DE VELOCIDADES: CONTINUIDAD:

( ) ( ) ( )

)y(uu)x(uu0x

u

0wvarminla

ctebleincompresi

0z

w

y

v

x

u

t

=⇒≠⇒=∂

∂⇒

==⇒

=ρ⇒

=∂

ρ∂+

∂

ρ∂+

∂

ρ∂+

∂

ρ∂

NAVIER-STOKES, en la dirección horizontal:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂µ+

∂

∂−ρ

z

uw

y

uv

x

uu

t

u2z

u2

2y

u2

2x

u2

x

pxg

con gx=0; v=w=0; y u=u(y); la ecuación anterior queda como: xp1

dyud2

2

∂∂

µ= [1]

pared isoterma y´s

x´s T(y)

u(y)

pared adiabática

Q Q

y=H/2

y=-H/2



60

La integración de la ecuación diferencial anterior, nos permite obtener el campo de velocidades:

2Cy1C2yx

p

2

1u +⋅+

∂

∂

µ=

y las constantes de integración, se obtienen con las condiciones de contorno, de que en las paredes fijas, la velocidad de las partículas es nula: y=H/2; u=0; e y=-H/2; u=0; quedando:

( )2 21 pu H 4y8 x

−∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟µ ∂⎝ ⎠ [2]

(2) GRADIENTE DE PRESIÓN EN FUNCIÓN DEL CAUDAL:

( )3y H / 2 y H

2 2

y H / 2 y 0

1 p BH pQ v dA u Bdy H 4y Bdy ...8 x 12 x

= =

=− =

−∂ −∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = − ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ ∂ µ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫rr

Evidentemente, para que se tenga caudal, el gradiente de presión debe ser negativo. De la expresión anterior, se obtiene el citado gradiente:

3BH

Q12

x

p µ−=

∂

∂ [3]

Numerícamente con los datos: µ=0,2 kg/ms; Q= 1 litro/segundo, B=1m; y H=0,010 m; se tiene que el gradiente horizontal de presión es:

312 Q 12 0,2 103 3BH 1 0,010

−µ ⋅ ⋅= − = − = −

⋅2400 Pa/m

(3) PERFIL DE TEMPERATURAS: T=T(y):

Ec. ENERGÍA: ( ) Φ+∇⋅κ+⋅∇−=ρ Tvpdtud 2r

En este caso, no hay variación local de la energía interna, por ser el flujo estacionario; y la variación convectiva de energía interna, es nula, porque sólo hay componente “x” de la velocidad, y la energía interna sólo varía con la distancia vertical “y”:

0dtud

)y(uu0wv

0tuioestacionar

...zuw

yuv

xuu

tu

dtud

=⇒=

==

=∂∂

⇒

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Como el flujo es adivergente, de la ecuación de energía se tiene que la laplaciana de la temperatura absoluta es:

κ

Φ−=∇ T2 [4]



61

en el problema, como T=T(y), la laplaciana es: 2dy

T2d...2z

T2

2y

T2

2x

T2T2 ==

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

y la función de disipación viscosa, con u=u(y), v=w=0, queda:

2222222

dydu...

yw

zv

xw

zu

xv

yu

zw2

yv2

xu2 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ=Φ

el gradiente de velocidad en la dirección vertical es: du 1 p ydy x

∂⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟µ ∂⎝ ⎠; con lo que la función de disipación

viscosa de RAYLEIGH, queda: 2 2 2

2du 1 p 1 py ydy x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞Φ = µ = µ ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ ∂ µ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [5]

con lo que la ecuación diferencial del campo de temperaturas [4], queda como:

222

2

d T 1 p ydy x

∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟µκ ∂⎝ ⎠;

cuya integración da: 421 pT y C3 y C4

12 x− ∂⎛ ⎞= + ⋅ +⎜ ⎟µκ ∂⎝ ⎠

las constantes de integración, se obtienen con las condiciones de contorno en las paredes:

La pared inferior es adiabática y por tanto Q T T0 0A y yy H/2 y H/2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= κ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠=− =−

&

La pared inferior es isoterma y por tanto: T(y=H/2) = Tisoterma Operando, se obtiene el perfil de temperaturas, en cada posición horizontal:

( )2

4 3 41 pT T 5H 8H y 16yisoterma 192 x∂⎛ ⎞= + − ⋅ −⎜ ⎟µκ ∂⎝ ⎠

[6]

La temperatura en la pared adiabática, es: 21 p 4T T(y H / 2) ... T Hadiabática isoterma 24 x

∂⎛ ⎞= = − = = + ⎜ ⎟µκ ∂⎝ ⎠

Numerícamente con los datos: Tisoterma =333,15K; µ=0,2 kg/ms; κ=0,6W/mK; H=0,010 m; x

p

∂

∂=-2400Pa/m:

Cº02,60K17,3334010,02)2400(6,02,024

115,333adiabáticaT ==−

⋅⋅+=



62

(4) POTENCIA CALORIFÍCA QUE ATRAVIESA LA PARED ISOTERMA: A partir de la ley de FOURIER de transmisión por conducción, la potencia calorifica que atraviesa una determina sección, viene determinada por el coeficiente de conductividad térmica (κ) y por el gradiente de temperaturas: ATQ

r& ⋅∇κ−= . En el problema, la potencia calorifica elemental, que atraviesa un elemnto de

área (Bdx) de la pared isoterma, viene dada por:

( ) dxBdy

dTjBdxk

z

Tj

y

Ti

x

TisotermaQd ⋅κ=⋅−⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂κ−= ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ rrrr&

en donde el gradiente vertical de temperatura es: ( )2

3 3dT 1 p H 8ydy 24 x

− ∂⎛ ⎞= +⎜ ⎟µκ ∂⎝ ⎠

y en la pared isoterma (y=H/2), se tiene queese gradiente es: 3H2

x

p

12

1

dy

dT

Hy⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

µκ

−=

=

con lo que la potencia calorifica que atraviesa la pared isoterma queda como:

BL3H2

x

p

12

1BL

Hydy

dTisotermaQ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

µ

−=

=κ=& [7]

Numerícamente con los datos: µ=0,2 kg/ms; H=0,010 m, B=L=1m; x

p

∂

∂=-2400Pa/m:

( ) W4,2113010,0224002,012

1BL3H

2

x

p

12

1isotermaQ −=⋅⋅⋅−

⋅−

=∂

∂

µ

−= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛&

es decir, a traves de la pared isoterma se “evacua” una potencia calorífica de 2,4 W. El signo negativo da el sentido de la transfrencia de calor: hacía el exterior. Se puede comprobar que la potencia calorifica que se “evacua” ha sido generada por las irreversibilidades debidas a los efectos viscosos:

∫∫∫ ⋅Φ= dVQ ilidadesirreversib&

en nuestro caso, la función de disipación viscosa de RAYLEIGH, viene dada por la ecuación [5]:

221 p y

x∂⎛ ⎞Φ = ⎜ ⎟µ ∂⎝ ⎠

Con lo que la potencia calorífica generada por los efectos viscosos es:

( )32 2 3L B H / 22

irreversibilidades0 0 H / 2

H / 2 ( H / 2)1 p LB pQ dV dx dy dz dx dz y dyx x 3−

− −∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Φ ⋅ = Φ ⋅ ⋅ ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟µ ∂ µ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫&

21 p 3Q H LBirreversibilidades 12 x∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟µ ∂⎝ ⎠

&

que coincide (en modulo) con la ecuación [7] que da la potencia calorifica que atraviesa la pared isoterma.



63

dx dy

dz sdr

vr

sdr sdr

sdr

x

y

z

ANEXO 1: ECUACIONES DE ANÁLISIS DIFERENCIAL DE FLUIDOS. E3.1. Cinemática. E3.2. Operador nabla. E3.2.1. Operador nabla en coordenadas cartesianas. E3.2.2. Operador nabla en coordenadas cilíndricas. E3.2.3. Operador nabla en coordenadas esféricas. E3.3. Ecuación de conservación de masa: Ec. de continuidad. E3.4. Ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento. E3.4.1. Ecuación de CAUCHY. E3.4.2. Ecuación de NAVIER-STOKES. E3.4.3. Ecuación de EULER. E3.4.4. Ecuación de BERNOULLI. E3.5. Ecuaciones de conservación de energía. E3.5.1. Ecuación de la energía. E3.5.2. Ecuación de la entalpía. E3.5.3. Ecuación de la entropía. E3.5.4. Función de disipación viscosa de RAYLEIGH. E3.6. Ecuaciones de conservación para fluidos newtonianos: Ecuaciones de NAVIER-STOKES. E3.6.1. Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas. E3.6.2. Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas. E3.6.3. Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas esféricas.

E3.1. CINEMÁTICA. COORDENADAS CARTESIANAS: Vector desplazamiento: ds dx i dy j dz k= ⋅ + ⋅ + ⋅

r r rr Vector velocidad: ds dx dy dzv i j k

dt dt dt dt= = ⋅ + ⋅ + ⋅

r r r rr

v u i v j w k= ⋅ + ⋅ + ⋅

r r rr

Vector aceleración: dv v v v v vv v u v wdt t t x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅∇ = + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

r r r r r rr r

u u u u v v v v w w w wu v w i u v w j u v w kt x y z t x y z t x y z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + + + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r r [1]

Aceleración Convectiva: ( )

u v wx x xu v wv v u v wy y yu v wz z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎜ ⎟⋅∇ = ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

r r

( ) ( ) ( )

u u u v v v w w w u v w i u v w j u v w kx y z x y z x y z

ui vj wk ui vj wk ui vj wk v v v u v w u v wx y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ + + ∂ + + ∂ + + ∂ ∂ ∂= + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r r r

r r r r r r r r rr r r



64

rdθ

dr dz

sdr

vr

zur

rur

θur

θ

z

r

dθ θ

dϕ ϕ

r.senϕ

vr

θur

rur

ϕur

COORDENADAS CILINDRÍCAS: Vector desplazamiento: r zds dr u rd u dz uθ= ⋅ + θ ⋅ + ⋅

r r r r Vector velocidad: r z

ds dr d dzv u r u udt dt dt dtθ

θ= = ⋅ + ⋅ + ⋅

rr r r r

r r z zv v u v u v uθ θ= ⋅ + ⋅ + ⋅r r r r

velocidad de giro: d

dtθ

ω =

velocidad tangencial : dv r rdtθ

θ= = ⋅ ω

Vector aceleración:

2r r r r

r z r

rr z

z z z zr z

v vv v v vdv v v v v v udt t t r r r z

v v v v v v v v v u

t r r r z

vv v v v v v

t r r z

θ θ

θ θ θ θ θ θθ

θ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂= + ⋅ ∇ = + + − + ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + + + ⋅ +⎢ ⎜ ⎟⎥∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂

+ + + +∂ ∂ ∂θ ∂

r rr r r

r

zu⎡ ⎤⎛ ⎞ ⋅⎢ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

r

[2]

COORDENADAS ESFÉRICAS: Vector desplazamiento:

rds dr u rd u rsen d uθ ϕ= ⋅ + θ ⋅ + ϕ ϕ ⋅r r r r

Vector velocidad:

r rv v u v u v uθ θ ϕ ϕ= ⋅ + ⋅ + ⋅r r r r Vector aceleración:

2 2r r r r

r r

2r

r

v vv vv v v vdv v v v v udt t t r r rsen r

v vv v v v v v v v u

t r r rsen r rtg

θ ϕθ θ

ϕ ϕθ θ θ θ θ θθ

⎡ ⎤⎛ ⎞+∂ ∂ ∂ ∂∂= + ⋅ ∇ = + + + − ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ θ ∂ϕ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + − ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂ϕ θ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

+

r rr r r

r

rr

v v v v v v v v vvv u

t r r rsen r rtgϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ ϕθ

ϕ

∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + + + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂ϕ θ⎝ ⎠⎣ ⎦

r

[3]



65

E3.2. OPERADOR NABLA “∇ ” OPERADOR NOTACIÓN SIMBÓLICA TIPO GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR T∇ vector GRADIENTE DE UN CAMPO VECTORIAL vr∇ tensor DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL vr⋅∇ escalar

DIVERGENCIA DE UN CAMPO TENSORIAL τ⋅∇ vector ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL vr×∇ vector LAPLACIANA DE UN CAMPO ESCALAR ( ) TTT 2∇=∆=∇⋅∇ escalar LAPLACIANA DE UN CAMPO VECTORIAL 2v v∇ ⋅ ∇ = ∇

r r vector ACELERACIÓN CONVECTIVA ( ) vvvv rrrr

⋅∇⋅=∇⋅ vector E3.2.1. OPERADOR NABLA EN COORDENADAS CARTESIANAS. GRADIENTE DE PRESIÓN: p p pp i j k

x y z∂ ∂ ∂

∇ = ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

r r r [4]

GRADIENTE DE VELOCIDAD:

u v wx x xu v wvy y yu v wz z z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎜ ⎟∇ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

r [5]

DIVERGENCIA DE VELOCIDAD: u v wv

x y z∂ ∂ ∂

∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

r [6]

DIVERGENCIA DEL TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz


x y z

i j kx y z x y z x y z

⎛ ⎞τ τ τ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟∇ ⋅ τ = ⋅ τ τ τ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟τ τ τ⎝ ⎠

∂τ ∂τ ∂τ ∂τ ∂τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂τ ∂τ ∂τ ∂τ= + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r r

[7]

ROTACIONAL DE VELOCIDAD: v∇ × = Ω

rr = VORTICIDAD = 2ωr ω

r =velocidad de giro

w v u w v uv i j ky z z z x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ × = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r rr [8]

LAPLACIANA DE TEMPERATURA: ( )2 2 2

2 2 2

T T TTx y z

∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇ = + +

∂ ∂ ∂ [9]



66

LAPLACIANA DE VELOCIDAD:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

u u u v v v w w wv i j kx y z x y z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇ = + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r rr [10]

TENSOR DE VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN:

1 u v 1 u wu

x 2 y x 2 z x1 v u 1 v wv

y2 x y 2 z y1 w u 1 w v w

z2 x z 2 y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟+ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟+ +⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ +

∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=ε =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

& [11]

E3.2.2. OPERADOR NABLA EN COORDENADAS CILÍNDRICAS. GRADIENTE DE PRESIÓN: r z

p 1 p pp u u ur r zθ

∂ ∂ ∂∇ = ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂θ ∂r r r [12]

GRADIENTE DE VELOCIDAD:

r z

r zr

r z

vv vr r r

vv v1 1 1v v vr r r

vv vz z z

θ

θθ

θ

∂∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

∂∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟∇ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

r [13]

DIVERGENCIA DE VELOCIDAD: ( )r zr v v v1 1vr r r z

θ∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + +

∂ ∂θ ∂r [14]


( )

( )

( )

rr r zrr

r z r

rz z zzz

r1 1 ur r r z r

r1 1 ur r r z r

r1 1 ur r r z

θ θθ

θ θθ θ θθ

θ

∂ τ⎛ ⎞∂τ τ∂τ∇ ⋅ τ = + + − ⋅ +⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

∂ τ⎛ ⎞∂τ ∂τ τ+ + + + ⋅ +⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

∂ τ⎛ ⎞∂τ ∂τ+ + + ⋅⎜ ⎟∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

r

r

r

[15]

ROTACIONAL DE VELOCIDAD:

( )z r z rr z

rvvv v v v1 1 1v u u ur z z z r r r

θθθ

∂⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ × = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r r r [16]

LAPLACIANA DE TEMPERATURA: ( )2 2 2

22 2 2 2

T 1 T 1 T TT Tr rr r z

∂ ∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇ = ∇ = + + +

∂∂ ∂θ ∂ [17]



67


2 2 22 r r r r

r r2 2 2 2 2

2 2 2r

2 2 2 2 2

2 2z z z

2 2

vv v v v1 1 1v v v 2 ur rr r z r

v v v v v1 1 1 v 2 ur rr r z r

v v v1 1 r rr r

θ

θ θ θ θθ θ

⎡ ⎤∂∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ ∇ = ∇ = + + + − + ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂θ∂ ∂θ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + + − − ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂θ∂ ∂θ ∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∂ ∂ ∂+ + +

∂∂

r r r

r

2z

z2 2

vu

z⎡ ⎤∂

+ ⋅⎢ ⎥∂θ ∂⎣ ⎦

r

[18]


( )

( )

r z r

r z

z r z

v 1 v r 1 v 1 v vr r 2 r zr 2 r rv v1 v r 1 v 11 v v1rr 2 z rr r2 r r

v1 1 vv v v1 z2 2r z z r z

θ

θ θ

θ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂ ∂θ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂θ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂θ⎝ ⎠⎜ ⎟∂θ⎝ ⎠∂ ∂θ⎜ ⎟∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=ε =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

& [19]

E3.2.3. OPERADOR NABLA EN COORDENADAS ESFÉRICAS. GRADIENTE DE PRESIÓN: r

p 1 p 1 pp u u ur r rsenθ ϕ

∂ ∂ ∂∇ = ⋅ + ⋅ + ⋅

∂ ∂θ θ ∂ϕr r r [20]

DIVERGENCIA DE VELOCIDAD: ( ) ( )2

r

2

r v vsen v1 1 1vr r sen r senr

ϕθ∂ ∂∂ θ

∇ ⋅ = + +∂ θ ∂θ θ ∂ϕ

r [21]


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2rr rr

r2

2r r

2

2r r

2

r sen rrsen1 ur rr sen

r sen r / tgrsen1 ur rr sen

r sen rsen r1rr sen

ϕ θθ ϕϕθ

θ ϕθ θ ϕϕθθθ

ϕ θϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞⎡ ⎤∂ θ τ ∂ τ τ + τ∂ θ τ⎜ ⎟⎢ ⎥∇ ⋅ τ = + + − ⋅ +∂ ∂θ ∂ϕ⎜ ⎟θ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤∂ θ τ ∂ τ τ − τ θ∂ θ τ⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + + ⋅ +∂ ∂θ ∂ϕ⎜ ⎟θ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤∂ θ τ ∂ θ τ ∂ τ τ +⎢ ⎥+ + + +

∂ ∂θ ∂ϕθ ⎢ ⎥⎣ ⎦

r

r

/ tgu

rθϕ

ϕ

⎛ ⎞τ θ⎜ ⎟ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

r

[22]

ROTACIONAL DE VELOCIDAD: [23]

( ) ( ) ( ) ( )r rr2

rsen v rsen vrv rvv v1 1 1v u u ur r rr sen r sen

ϕ ϕθ θθ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ θ ∂ θ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∇ × = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂θ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂θθ θ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r r r r

LAPLACIANA DE TEMPERATURA:

2

2 22 2 2 2 2

1 T 1 T 1 TT r senr r rr r sen r sen

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = + θ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θθ θ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [24]



68


2 2r r r2

2 r2 2 2

2 r2 2

vv v2 1v v v utg senr

vv2 1 v v 2cos ur r sen

vv1 v v 2sen 2cos ur sen

ϕθ θ

ϕθ θ θ

θϕ ϕ ϕ

∂⎡ ⎤⎛ ⎞∂∇ = ∇ − + + + ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂θ θ θ ∂ϕ⎝ ⎠⎣ ⎦

∂⎡ ⎤⎛ ⎞∂+ ∇ + − + θ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂θ ∂ϕθ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤∂∂⎛ ⎞+ ∇ − − θ − θ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟∂ϕ ∂ϕθ ⎝ ⎠⎣ ⎦

r r

r

r

[25]


( )

( )

r r r

r r r

r

vv v1 v / r 1 1v 1r r

2r 2 r r rsen r r

v vv v v1 v / r 1 1 sen 11r

22 r r r r r sen rsen

v vv1 sen1 1r2 2rsen r r r se

θ ϕ

θ ϕ θ

ϕ ϕ

∂ ∂∂ ∂∂+ +

∂ ∂ ∂θ θ ∂ϕ ∂

∂∂ ∂∂ θ ∂+ + +

∂ ∂θ ∂θ ∂θ θ θ ∂ϕ

∂ ∂ θ ∂+

θ ∂ϕ ∂ ∂θ

=ε =

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

&

rvv uv1 1

n rsen rsen r rtg

ϕθ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟

θ θ ∂ϕ θ ∂ϕ θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

[26]

E3.3. Conservación de masa: Ecuación de CONTINUIDAD.

( )v 0t

∂ρ+ ∇ ⋅ ρ =

∂r [27]

d v 0dtρ

+ ρ ∇ ⋅ =r [28]

COORDENADAS CARTESIANAS:

( ) ( ) ( )u v w0

t x y z∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ⎡ ⎤∂ρ

+ + + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ [29]

COORDENADAS CILINDRÍCAS:

( ) ( ) ( )r zvr v v1 1 0t r r r z

θ∂ ρ∂ ρ ∂ ρ⎡ ⎤∂ρ+ + + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂θ ∂⎣ ⎦

[30]

COORDENADAS ESFÉRICAS:

( ) ( ) ( )2r

2

r v vsen v1 1 1 0t r r sen r senr

ϕθ⎡ ⎤∂ ρ ∂ ρ∂ ρ θ∂ρ⎢ ⎥+ + + =

∂ ∂ θ ∂θ θ ∂ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦ [31]



69

E3.4. Conservación de cantidad de movimiento: Ecuaciones de MOVIMIENTO. E3.4.1. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE CAUCHY

dvg pdt

ρ − ∇ + ∇ ⋅ τ = ρr

r [32]

E3.4.2.ECUACIÓN DE MOVIMIENTO PARA FLUIDOS NEWTONIANOS: Ec. DE NAVIER-STOKES

( ) ( ) 2 dvg p v vdt

ρ − ∇ + λ + µ ∇ ∇ ⋅ + µ ∇ = ρr

r r r [33]

condición de STOKES: viscosidad bruta nula B2 03 3

µ⇒ µ = λ + µ = ⇒ λ + µ =

( ) 2 dvg p v v3 dtµ

ρ − ∇ + ∇ ∇ ⋅ + µ ∇ = ρr

r r r [34]

flujo incompresible: adivergente v 0⇒ ∇ ⋅ =r 2 dvg p v

dtρ − ∇ + µ ∇ = ρ

rr r [35]

ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA FLUJO INCOMPRESIBLE EN CARTESIANAS:

2 2 2

x 2 2 2

p u u u u u u ug u v wx t x y zx y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

[36]

2 2 2

y 2 2 2

p v v v v v v vug u v wy t x y zx y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

[37]

2 2 2

z 2 2 2

p w w w w w w wg u v wz t x y zx y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

[38]

ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA FLUJO INCOMPRESIBLE EN CILÍNDRICAS:

Componente radial “r”:

( ) 2 2r r r

r 2 2 2 2

2r r r r

r z

r v vv vp 1 1 2gr r r r r r z

v vv v v vv v

t r r r z

θ

θ θ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ ∂ρ − + µ + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ρ + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

[39]

Componente tangencial “θ”:

( ) 2 2r

2 2 2 2

rr z

r v v vv1 p 1 1 2gr r r r r r z

v v v v v v vv v

t r r r z

θ θ θθ

θ θ θ θ θ θ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ∂ ∂∂∂ ∂ρ − + µ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ ∂ ∂ ∂θ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= ρ + + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

[40]

Componente axial “z”:

( ) 2 2z z z

2 2 2

z z z zr z

r v v vp 1 1gz r r r r z

vv v v vv v

t r r z

θ

θ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ρ − + µ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ρ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

[41]

ECUACIONES DE NAVIER-STOKES PARA FLUJO INCOMPRESIBLE EN ESFÉRICAS: Componente radial “r”:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

ϕ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂ϕ∂

θ+

θ+

θ∂∂

+−ϕ∂

∂θ

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ∂

∂θ∂

θ+

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂

µ+∂∂

−ρ

ϕθϕθ

θθ

rvvv

vrsen

1vv

r1

rv

vt

v

vsen

1tgvv

vr2v

sen1

vsen

senr1

rr

vr

r1

rpg

22rrr

rr

r22r

2r

2

r2

2r

[42]



70

Componente angular “θ”:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ−−

ϕ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ϕ∂

∂θ+

θ−

θ∂∂

−ϕ∂

∂θ

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ∂

∂θ∂

θ+

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂

µ+θ∂

∂−ρ

ϕθθϕ

θθ

θθ

ϕθ

θθ

θθ

θ

rtg/vvvv

vrsen

1vv

r1

rv

vt

v

vcos2v

senr1v

r2v

sen1

vsen

senr1

rr

vr

r1p

r1g

2r

r

2222

2

2

2

2

[43] Componente angular “ϕ”:

[44] r

tg/vvvvvv

rsen1v

vr1

rv

vt

v

vsen2v

cos2vsenr

1vsen

1v

sen

senr1

rr

vr

r1p

rsen1g

rr

r222

2

2

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ++

ϕ∂

∂

θ+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂θ−

ϕ∂

∂θ−

θ−

ϕ∂

∂

θ+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ∂

∂θ∂

θ+

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂

µ+ϕ∂

∂θ

−ρ

ϕϕϕϕϕ

ϕθ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

E3.4.3.ECUACIÓN DE EULER. dtvdpgr

rρ=∇−ρ

ECUACIONES DE EULER PARA FLUJO INCOMPRESIBLE EN CARTESIANAS:

xp u u u ug u v wx t x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − = ρ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

[45]

yp v v v vug u v wy t x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ρ − = ρ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

[46]

zp w w w wg u v wz t x y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − = ρ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

[47]

ECUACIONES DE EULER PARA FLUJO INCOMPRESIBLE EN CILÍNDRICAS:

2

r r r rr r z

v vv v v vpg v vr t r r r z

θ θ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ρ − = ρ + + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

[48]

rr z

v v v v v v v1 pg v vr t r r r z

θ θ θ θ θ θθ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂ρ − = ρ + + + +⎜ ⎟∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠

[49]

z z z zr z

vv v v vpg v vz t r r z

θθ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎛ ⎞ρ − = ρ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ [50]

ECUACIONES DE EULER PARA FLUJO INCOMPRESIBLE EN ESFÉRICAS:

Componente radial “r”: ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

ϕ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ=∂∂

−ρ ϕθϕθ r

vvvv

rsen1v

vr1

rv

vt

vrp

g22

rrrr

rr [51]

Componente angular “θ”:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ−−

ϕ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ=θ∂

∂−ρ ϕθθ

ϕθ

θθθ

θ rtg/vvvv

vrsen

1vv

r1

rv

vt

vpr1g

2r

r [52]

Componente angular “ϕ”:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ++

ϕ∂

∂

θ+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ=

ϕ∂∂

θ−ρ ϕϕϕϕ

ϕϕ

θϕϕ

ϕ rtg/vvvvv

vrsen

1vv

r1

rv

vt

vprsen

1g rr [53]

E3.4.4.ECUACIÓN DE BERNOULLI. ( ) 0zzg2

vvdpdstv

12

21

222

1

2

1=−+

−+

ρ+

∂∂

∫∫ [54]

FLUJO ESTACIONARIO INCOMPRESIBLE LC2

21 ctegzvp =ρ+ρ+ [55]



71

E3.5. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA. E3.5.1.ECUACIÓN DE ENERGÍA INTERNA.

( ) 2ˆdu p v Tdt

ρ = − ∇ ⋅ + κ ⋅ ∇ + Φr [56]

v vu ˆc cte du c dTt

∂⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ( ) 2

vdTc p v Tdt

ρ = − ∇ ⋅ + κ ⋅ ∇ + Φr [57]

flujos muy lentos: ecuación de conducción en fluidos en reposo: 2v

Tc Tt

∂ρ = κ∇

∂ [58]

E3.5.2.ECUACIÓN DE ENTALPÍA. 2dh dp T

dt dtρ = + κ ⋅ ∇ + Φ [59]

p phc cte dh c dTt

∂⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 2

pdT dpc Tdt dt

ρ = + κ ⋅ ∇ + Φ [60]

E3.5.3.ECUACIÓN DE ENTROPÍA.

2dsT Tdt

ρ = κ ⋅ ∇ + Φ [61] E3.5.4.ECUACIÓN DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA DE RAYLEIGH.

( ) ( )v vΦ = ∇ ⋅ ⋅ τ − ⋅ ∇ ⋅ τr r [62]

EN FLUJO INCOMPRESIBLE: ECUACIÓN DE DISIPACIÓN VISCOSA DE RAYLEIGH, EN COORDENADAS CARTESIANAS:

2 2 22 2 2u v w u v u w v w2 2 2x y z y x z x z y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ = µ + + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ [63]

ECUACIÓN DE DISIPACIÓN VISCOSA DE RAYLEIGH, EN COORDENADAS CILINDRÍCAS: [64]

( ) 22 22 2 2 v / rv vv v v v v v2 1 1r z z z r r2 v 2 rr2r z z r r z r yr

⎤⎛ ⎞⎡ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎢ θθ θ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= µ + + + + + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦

Φ

ECUACIÓN DE DISIPACIÓN VISCOSA DE RAYLEIGH, EN COORDENADAS ESFÉRICAS:

( )

222

2

2 22

vv vv 2 2 1r2 v vr r2r r sen tgr

v / r v /senv / r vv v1 1 sen 1r rr rr r rsen r r rsen

⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

∂∂∂ ϕθ θΦ = µ + + + + + +∂ ∂θ θ ∂ϕ θ

∂ ∂ θ∂ ∂∂ ∂ ϕ ϕθθ θ+ + + + + +∂ ∂θ θ ∂ϕ ∂ ∂θ θ ∂ϕ

⎥

[65]



72

E3.6. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN PARA FLUIDOS NEWTONIANOS: ECUACIONES DE NAVIER-STOKES: CONTINUIDAD: ( )v 0

t∂ρ

+ ∇⋅ ρ =∂

r

NAVIER-STOKES: ( ) 2 vg p v v v v3 tµ ∂⎛ ⎞ρ − ∇ + ∇ ∇⋅ + µ∇ = ρ + ⋅∇⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂⎝ ⎠

rr r r r r

ENERGÍA: ( ) 2u ˆv u p v Tt

∂⎛ ⎞ρ + ⋅∇ = − ∇⋅ + κ∇ + Φ⎜ ⎟∂⎝ ⎠r r

E3.6.1. Ecuaciones de NAVIER-STOKES en coordenadas cartesianas para flujo incompresible:

continuidad: u v w 0x y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

movimiento:

2 2 2

x 2 2 2

2 2 2

y 2 2 2

2 2 2

z 2 2 2

p u u u u u u ug u v wx x y z t x y z

p v v v v v v vug u v wy x y z t x y z

p w w w w w w wg u v wz x y z t x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ z

⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠

energía:

2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆu u u u T T Tu v wt x y z x y z

u v w u v u w v w2 2 2x y z y x z x z y

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ + + + = κ + + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+µ + + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuaciones de NAVIER-STOKES en coordenadas cartesianas:

continuidad: ( ) ( ) ( )u v w0

t x y z∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ∂ρ

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

movimiento:

2 2 2 2 2 2

x 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

y 2 2 2 2

p u v w u u u u u u ug u v wx 3 x x y x z x y z t x y z

p u v w v v v v v v vug u v wy 3 y x y y z x y z t x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + + + + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + + + + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2

z 2 2 2 2

p u v w w w w w w w wg u v wz 3 z x z y z x y z t x y z

⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ − + + + + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

energía: 2 2 2

2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆu u u u u v w T T Tu v w pt x y z x y z x y z

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ρ + + + = − + + + κ + + + Φ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦



73

E3.6.2. Ecuaciones de NAVIER-STOKES en coordenadas cilíndricas:

continuidad: ( )r zr z

rvv v v1 1v v 0t r r z r r r z

θ θ∂⎡ ⎤∂ ∂∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ⎛ ⎞+ + + + + + =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦

movimiento:

( )

( )

22 2r r r r r r r

r r z2 2 2 2

2 2rr

r2 2 2 2

r v v v vv v v v v vp 1 1 2g v vr r r r r r z t r r r z

r v v v v v v v v vv1 p 1 1 2g vr r r r r r z t r r

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θθ

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ρ − + µ + − + = ρ + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂ρ − + µ + + + = ρ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )

z

2 2z z z z z z z

r z2 2 2

vvr z

r v vv v v v v vp 1 1g v vz r r r r z t r r z

θ

θθ

⎛ ⎞∂+⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ρ − + µ + + = ρ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ energía:

( ) 2 2 2r z

r z 2 2 2 2

rvˆ ˆ ˆ ˆv v vu u u u 1 1 T 1 T 1 T Tv v pt r r z r r r z r r r r z

θ θ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ρ + + + = − + + + κ + + + + Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

E3.6.3. Ecuaciones de NAVIER-STOKES en coordenadas esféricas:

continuidad: ( ) ( ) ( )2r

2

r v vsen v1 1 1 0t r r rsen rsen

ϕθ⎡ ⎤∂ ρ ∂ ρ∂ ρ θ⋅∂ρ

+ + + =⎢ ⎥∂ ∂ θ ∂θ θ ∂ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦

movimiento:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−

ϕ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ=

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂ϕ∂

θ+

θ+

θ∂∂

+−ϕ∂

∂θ

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ∂

∂θ∂

θ+

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂

µ+∂∂

−ρ

ϕθϕθ

θθ

rvvv

vrsen

1vv

r1

rv

vt

v

vsen

1tgvv

vr2v

sen1

vsen

senr1

rr

vr

r1

rpg

22rrr

rr

r22r

2r

2

r2

2r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ−−

ϕ∂∂

θ+

θ∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂θ+

θ−

θ∂∂

−ϕ∂

∂θ

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

θ∂

θ+

∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂µ+

θ∂∂

−ρ

ϕθθϕ

θθ

θθ

ϕθ

θθ

θθ

θ

rtg/vvvvv

rsen1vv

r1

rvv

tv

vcos2v

senr1v

r2v

sen1

vsen

senr1

rr

vr

r1p

r1g

2r

r

2222

2

2

2

2

r

tg/vvvvvv

rsen1v

vr1

rv

vt

v

vsen2v

cos2vsenr1v

sen1

vsen

senr1

rr

vr

r1p

rsen1g

rr

r222

2

2

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ θ++

ϕ∂

∂

θ+

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ=

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂θ−

ϕ∂

∂θ−

θ−

ϕ∂

∂

θ+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

θ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ∂

∂θ∂

θ+

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂

µ+ϕ∂

∂θ

−ρ

ϕϕϕϕϕ

ϕθ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

energía:

( ) ( )

r

2 2r 2

2 2 2 2 2 2

vvˆ ˆ ˆ ˆu u u uvt r r rsen

r v vv sen1 1 1 1 T 1 T 1 Tp r senr rsen rsen r r rr r r sen r sen

φθ

φθ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ρ + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂θ θ ∂φ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂∂ θ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + + κ + θ + + Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ θ ∂θ θ ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂θθ θ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠



74

Isaac NEWTON Daniel BERNOULLI Leonhard EULER (1642 – 1727) (1700 – 1782) (1707 – 1783)

Joseph Louis LAGRANGE Pierre Simon LAPLACE S. POISSON (1736 – 1813) (1749 – 1827) (1781 – 1840)

Louis Marie Henri NAVIER Augustin Louis de CAUCHY George Gabriel STOKES (1785 – 1836) (1789 – 1857) (1819 – 1903)



75

William FROUDE (1810-1879) Ernst MACH (1838-1919)

Osborne REYNOLDS (1842-1912) Moritz WEBER (1871-1951)

Ludwing PRANDTL (1875-1953) Theodor von KARMAN (1881-1963)

Tema 2 Analisis Diferencial 0405

Documents

Transcript of Tema 2 Analisis Diferencial 0405