Tema 16: Contraste paramétrico de hipótesis I:

Pruebas de contraste para un grupo. Pruebas de contraste

para dos grupos: independientes o relacionados.

Potencia de la prueba.

Pruebas de contraste para un grupo

Vamos a ver DOS contrastes.

-Primero veremos el contraste de hipótesis sobre la media de un grupo (con n observaciones independientes)

-Segundo, veremos el contraste de hipótesis sobre la varianza de un grupo.

Pruebas de contraste para un grupo1. Contraste de hipótesis sobre la media de un grupo (con n observaciones independientes)

Veremos dos casos:

a) el caso de que conozcamos la varianza poblacional (caso improbable)

b) el caso de que desconozcamos la varianza poblacional (caso usual)

a) Caso de conocer la varianza poblacional

Hipótesis nula: =0 Hipótesis alternativa: ≠0

Supuestos estadísticos: La población de origen es normal (o cualquier distribución, caso de que n sea grande)

Estadístico de contraste:

0

/

XZ

n

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se

distribuye N(0,1)

a) Caso de conocer la varianza poblacional (cont.)

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

b) Caso de DESCONOCER la varianza poblacional

Hipótesis nula: =0 Hipótesis alternativa: ≠0

Supuestos estadísticos: La población de origen es normal (o cualquier distribución, caso de que n sea grande)

Estadístico de contraste:

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n-1 gl

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

0

/

Xt

s n

Pruebas de contraste para un grupo3. Contraste de hipótesis sobre la varianza (n observaciones independientes)

Hipótesis nula: =0 Hipótesis alternativa: ≠0

Supuestos estadísticos: La población de origen es normal.

Estadístico de contraste:

22 2 2

2

20

( 1)n s

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye chi-cuadrado

con n-1 gl

3. Contraste de hipótesis sobre la varianza (n observaciones independientes) (cont.)

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

Pruebas de contraste para dos grupos

Vamos a ver DOS contrastes.

-Primero veremos el contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos

-Segundo, veremos el contraste de hipótesis sobre el dos varianzas

En las tres situaciones, veremos el caso de que los grupos sean independientes (no relacionados) y el caso de que los grupos sean relacionados

Pruebas de contraste para dos gruposContraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos

Veremos TRES posibilidades, a su vez:

A) Contraste sobre la diferencia de dos medias independientes (asumiendo que conozcamos la varianza poblacional en cada grupo; atención: caso muy poco realista)

B) Contraste sobre la diferencia de dos medias independientes, asumiendo que si bien no conocemos la varianza poblacional de los grupos, asumimos que éstas son iguales.

C) Contraste sobre la diferencia de dos medias independientes, asumiendo que no conocemos la varianza poblacional de los grupos y que éstas son diferentes.

D) Contraste sobre la diferencia de dos medias de grupos relacionados

Pruebas de contraste para dos gruposA) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Caso de conocer la varianza poblacional de los grupos

Hipótesis nula: 1=2 Hipótesis alternativa: 1≠2

Supuestos estadísticos: Ambas normales (o cualquier distribución, caso de que los tamaños muestrales sean grandes)Estadístico de contraste:

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye N(0,1)

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

Pruebas de contraste para dos gruposB) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Varianzas poblacionales desconocidas (pero iguales)

Hipótesis nula: 1=2 Hipótesis alternativa: 1≠2

Supuestos estadísticos: Ambas normales (o cualquier distribución, caso de que los tamaños muestrales sean grandes)Estadístico de contraste:

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n1+n2-2 gl

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

1 2

2 21 1 2 2

1 2 1 2

1 1 1 12

Y Yt

n S n S

n n n n

Pruebas de contraste para dos gruposC) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Varianzas poblacionales desconocidas (pero diferentes)

Hipótesis nula: 1=2 Hipótesis alternativa: 1≠2

Supuestos estadísticos: Ambas normales (o cualquier distribución, caso de que los tamaños muestrales sean grandes)Estadístico de contraste:

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye según t de Student con los siguientes grados de libertad:

1 2

2 21 2

1 2

Y Yt

S Sn n

22 21 2

1 2

2 2 2 21 1 2 2

1 2

2( / ) ( / )

1 1

S Sn n

glS n S nn n

Pruebas de contraste para dos gruposC) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Varianzas poblacionales desconocidas (pero diferentes) (cont)

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

Pruebas de contraste para dos gruposD) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos relacionados.

Hipótesis nula: Hipótesis alternativa: Supuestos estadísticos (de la población de diferencias): normales (con varianza poblacional desconocida)Estadístico de contraste:

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n-1 gl

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

1 2 1 2 0 0D 0D

D

Dts

n

Pruebas de contraste para dos gruposContraste de hipótesis sobre dos varianzas

Veremos DOS posibilidades, a su vez:

A) Contraste sobre dos varianzas con observaciones independientes

B) Contraste sobre dos varianzas con observaciones dependientes

Pruebas de contraste para dos gruposA) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. independientesHipótesis nula: 1=2 Hipótesis alternativa: 1≠2

Supuestos estadísticos: Ambas normales

Estadístico de contraste:

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye F con n1 gl en el numerador y n2 gl en el denominador

2 2 2 2

2122

sF

s

Pruebas de contraste para dos gruposA) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. Independientes (cont)

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

Pruebas de contraste para dos gruposB) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. dependientesHipótesis nula: 1=2 Hipótesis alternativa: 1≠2

Supuestos estadísticos: Ambas normales

Estadístico de contraste:

Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n-2 gl

2 2 2 2

2 21 2

22 21 2 1 2

( ) 2

2

x x nt

x x x x

Observad que las puntuaciones x son puntuaciones diferenciales.

Pruebas de contraste para dos gruposB) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. dependientes (cont)

Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

Potencia de la prueba

Recordad: la potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando ésta sea falsa. Se suele simbolizar como 1-. Se suele considerar OK una potencia de al menos 0'80 (es decir, asumiendo 100 experimentos en que hay un efecto real, lo detectaríamos -en promedio- 80 veces.)

La potencia de una prueba AUMENTA cuando aumentamos el tamaño muestral. (Por ejemplo, en la prueba t para la diferencia de medias, ello se observa por cuanto "n" incrementa el valor de la t empírica.)

La potencia de una prueba AUMENTA cuando el tamaño del efecto aumenta. (Por ejemplo, en la prueba t para la diferencia de medias, cuanto mayor sea la diferencia de medias, mayor será el valor de la t empírica.)

La potencia de una prueba DISMINUYE cuando reducimos la probabilidad de error de tipo I (alpha o ). Es decir, si alpha es de 0'01 en lugar de 0'05, los valores críticos (v.g., las t téóricas en el caso de la prueba de diferencia de medias) son algo más extremos y necesitaremos un valor del estadístico de contraste (v.g., t empírica) mayor para rechazar la hipótesis nula.

Potencia de la prueba (2)

Hay fórmulas estadísticas (y programas en la internet) que permiten determinar la potencia de una prueba dado cierto tamaño muestral, y la inversa, es decir, determinar el tamaño muestral para una potencia dada.

(Claro, que hemos de ser precavidos: para obtener tales valores necesitamos indicar lo que pensamos que serán los parámetros poblacionales...algo que en realidad no sabemos.)

Aquí hay un enlace para calcular la potencia de pruebas t:

http://calculators.stat.ucla.edu/powercalc/

Hay muchos otros en internet.