262

FES-HO AIXÍ

1. ELABORACIÓ DE TAULES DE FREQÜÈNCIES

Elabora una taula de freqüències per organitzar les dades següents:8 8 7 5 6 9 6 7 6 8 7 7 9 7 5 5

PRIMER. Col·loquem, a la primera columna, els possibles valorsde la variable: 5, 6, 7, 8 i 9.

SEGON. Comptem el nombre de vegades que apareix cadadada per calcular les freqüències absolutes, i completemla segona columa de la taula.

5 → /// 6 → /// 7 → //// 8 → /// 9 → ///

TERCER. Dividim les freqüències absolutes entre el nombretotal de dades, per trobar les freqüències relatives, i ho escrivim en una altra columna.Si sumem les freqüències en ordre creixent, obtenimles freqüències acumulades.

2. ELABORACIÓ D’UN DIAGRAMA DE BARRES

Representa aquestes dades en un diagrama de barres.

PRIMER. Dibuixem uns eixos de coordenades i posem en l’eix d’abscisses els valors o les modalitats de la variable,i en l’eix d’ordenades, les freqüències.

SEGON. Sobre cada valor, aixequem una columna amb unaaltura igual a la freqüència. Si unim els extrems superiorsde les barres, obtenim el polígon de freqüències.

Dades fi hi Hi

5

6

7

8

9

Total

3

3

5

3

2

16

Fi

3

6

11

14

16

0,1875

0,1875

0,3125

0,1875

0,125

1

0,1875

0,375

0,6875

0,875

1

Variable xi

Freqüència fi

2

1

3

1

4

2

5

3

6

2

7

5

8

3

9

2

10

1

fi

6

5

4

3

2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 262

L’essencial

ESTADÍSTICA13NOM: CURS: DATA:

Elaboració de taules de freqüències

1. Quina és la freqüència relativa de 2?

2 3 1 0 2 4 2 2 3 1 3 3 2 1 1 1 2 3 2 4

a) 0,2 b) 0,35 c) 7 d) No en té

Construcció d’un diagrama de barres

2. El diagrama de barres de les dades anteriors és:

a) b)

Dibuix d’un diagrama de sectors

3. Quin diagrama de sectors correspon a les dades de l’exercici 1?

a) b)

Càlcul de les mesures de centralització

4. Amb les dades de l’exercici 1, escullla resposta falsa.

a) xx = 2,1 b) Me = 1 c) Mo = 2

I ARA... PRACTICA

263

3. DIBUIX D’UN DIAGRAMA DE SECTORS

Representa, en un diagrama de sectors, les dades relatives a les opinions sobre les instal·lacions esportives d’un centre d’ensenyament.

PRIMER. Calculem l’amplitud del sector de cada valor de la variable multiplicant la sevafreqüència relativa per 360°.

SEGON. Dibuixem aquestssectors en un cercle i posemcada valor de variable al llocque li correspon.

4. CÀLCUL DE LES MESURES DE CENTRALITZACIÓ I DISPERSIÓ

Troba les mesures de centralització d’aquestes dades.

PRIMER. Completem la taula amb tres columnes més i hi afegim una fila per anotar-hi les sumes de les columnes que ens interessin.

SEGON. Calculem les mesures.

– La mitjana és

– La moda és Mo = 2 (xi amb la fi més alta).Mediana: ordenem les dades i és la mitjana entre

les dades 50ena (2) 51ena (2): .Me =+

=2 2

22

xf x

Nxi i=

∑= =→ 181

1001,81

Valoració hi Graus (°)

Molt bones

Bones

Regulars

Dolentes

Molt dolentes

0,26

0,24

0,28

0,18

0,04

0,26 ⋅ 360° = 93,6°

0,24 ⋅ 360° = 86,4°

0,28 ⋅ 360° = 100,8°

0,18 ⋅ 360° = 64,8°

0,04 ⋅ 360° = 14,4°

Molt bones

Molt dolentes

DolentesRegulars

Bones

x i f i

1

2

3

27

65

8

x i f i f i ⋅ x i

1

2

3

Total (∑ )

27

65

8

100

27

130

24

181

⏐di⏐ f i ⋅ ⏐di⏐

0,81

0,19

1,19

21,87

12,35

9,52

43,74

7

5

3

1

5

3

1

TERCER. Calculem les mesures de dispersió.

– El rang és la diferència entre els valorsextrems: Rang = 3 − 1 = 2.

– La desviació mitjana és:

DMf dNi i=⋅∑ = =⏐ ⏐ 43 74

1000 4374

,,

830863 _ 0249-0268.qxd 26/12/07 12:58 Página 263

264

ActivitatsVARIABLES ESTADÍSTIQUES

37. ● Es vol fer un estudi estadístic de l’alçada dels alumnes de 2n d’ESO d’un institut i, per poder-lo elaborar, s’ha mesurat l’alumnatde 2n A. Determina:

a) La població.b) La mostra.c) Els individus.d) La variable estadística.

Com és el tipus de variable que s’estudia?

38. ● Digues com farias un estudi sobre el color dels ulls dels teus veïns.

Especifica la població, la mostra, la grandària de la mostra i alguns dels valors que pot tenir la variable estudiada.

39. ● Indica el tipus de variable: qualitativao quantitativa.

a) Nombre de germans.b) Sexe.c) Nacionalitat.d) Nombre de calçat.e) Edat.

40. ● Classifica les variables següents en discreteso contínues.

a) Nombre de germans.b) Nombre de calçat.c) Edat.d) Ingressos diaris en una fruiteria.e) Pes d’un grup d’alumnes.

TAULA DE FREQÜÈNCIES

41. ● Una variable estadística pren aquests valors:3, 5, 4, 2, 6, 1, 2, 3

a) Fes-ne el recompte.b) Calcula les freqüències absolutes.c) Troba les freqüències relatives.d) Organitza les dades en una taula

de freqüències.

42. ● Les notes que s’obtenen en un examen, del 0al 5, són les següents:

0, 1, 0, 5, 4 5, 4, 2, 5, 3

a) Fes-ne el recompte.b) Calcula totes les freqüències que puguis.c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

43. ● Les temperatures màximes (en °C) que s’hanenregistrat durant els darrers quinze dies del mesd’agost han estat:

40 39 41 39 40 38 37 4040 41 42 39 40 39 39

a) Fes el recompte d’aquestes temperatures.b) Calcula totes les freqüències.c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

44. ● Llencem 10 vegades un dau, amb quatre caresnumerades de l’1 al 4, i anotem els resultats:

1, 4, 3, 1, 2 4, 1, 3, 2, 4

a) Quantes vegades s’han repetit els resultats?

b) Calcula les freqüències acumulades.

c) Organitza les dades en una taula de freqüències.

45. ● El nombre de germans de 20 alumnes és:2 1 2 1 1 0 2 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 1 0 4.

Fes el recompte i troba totes les freqüènciesque puguis. Organitza els resultats en una taula.

46. ● El nombre d’hores diàries que els 30 jugadorsd’un equip de futbol veuen la televisió és:

0 1 2 2 3 1 2 3 4 2 3 1 1 0 21 1 0 2 1 1 3 0 1 4 2 1 3 0 0

Fes el recompte de dades i troba les freqüènciesabsolutes i relatives. Anota, també,les freqüències acumulades.

47. ● Les dades següents corresponen al nombrede treballadors d’una cadena de botigues:

4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 43 4 3 2 4 4 1 1 2 5 3 2 2 5 33 8 2 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3

a) Digues quina és la variable i de quin tipus és.b) Fes el recompte de dades i elabora una taula

de freqüències.

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 264

265

48 ● Llancem un dau 48 vegades i obtenim aquests resultats:

3 4 5 1 6 2 2 34 2 6 5 1 4 2 31 4 5 3 2 1 4 64 4 3 2 1 6 2 56 2 3 1 5 4 1 63 2 4 6 6 2 1 2

Fes el recompte de dades i elabora una taulaamb totes les freqüències.

49. ●● Hem preguntat a 50 alumnes quin esportpreferien: 16 han escollit el futbol, 12 el bàsquet,6 l’handbol, 10 l’equitació i 6 el ciclisme.Amb aquestes dades:

a) Calcula’n les freqüències absolutes.b) Quina freqüència absoluta representa el 20 %?c) Troba les freqüències relatives.d) Quina freqüència relativa representa el 32 %?

50. ●● Completa les dades d’aquesta taulade freqüències:

51. ●● Completa la taula sabent que hi ha el doblede suspensos que de notables.

52. ●● Per estudiar la influència que té sortir a la niten el rendiment acadèmic, hem preguntata l’alumnat d’un centre universitari quants diessurten de festa a la setmana i hem obtingutel resultats següents:

0 2 3 2 1 1 1 4 0 11 2 2 1 3 1 3 0 1 2

Fes el recompte de dades i elabora la taulade freqüències.

GRÀFICS ESTADÍSTICS

53. ● En una classe de 2n d’ESO, preguntema l’alumnat quin refresc prefereixen.

Representa aquestes dades en un diagramade barres.

54. ● Segons una enquesta, la música queprefereixen els alumnes de 2n d’ESO és:

Representa aquestes dades en un diagramade barres.

55. ● Els resultats que hem obtingut en llençaruna moneda 25 vegades són 11 cares i 14 creus.Representa’ls en un gràfic de sectors.

DadesFreqüència

absolutaFreqüència

relativa

2

4

6

8

10

4

6

0,2

0,15

0,1

NotesFreqüència

absolutaFreqüència

relativa

Suspens

Aprovat

Notable

Excel·lent 5

0,3

0,1

Refrescos

Cola

Taronjada

Llimonada

Pinya

Nre. d’alumnes

10

4

6

3

Música

Rock

Pop

Bacalao

Clàssica

Dance

Nre. d’alumnes

18

12

24

10

6

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 265

266

56. En una botiga d’ordinadors han fet un estudisobre els portàtils venuts durant l’últim mig anyi han obtingut aquests resultats:

Representa aquestes dades mitjançantun pictograma i un diagrama de línies.

57. ● En un edifici de 24 pisos, el nombre depersones que viuen en cada un és:

3 4 2 5 6 4 2 0 1 2 3 46 8 4 3 5 4 6 2 8 4 1 3

a) Elabora una taula de freqüències absolutesi relatives.

b) Representa les dades amb un diagrama debarres i un diagrama de sectors.

c) Fes un pictograma amb aquestes dades.

58. ●● Una família gasta 1.800 €al mes. Al gràfic següent es veu què destina a cada concepte.

Quants diners gasta en cada concepte?

59. ●● Hem preguntat als alumnes d’una classe quinés l’esport que prefereixen. El resultat ha estat:

Futbol: 32 Atletisme: 5 Altres: 17Tenis: 9 Bàsquet: 16 Cap: 3

Representa aquests resultats en un gràficde sectors i indica el percentatge de cada sector.

60. El consum energètic a Catalunya, que es mesuraen milers de GWh (gigawats-hora), durantels últims anys ha estat el següent:

Representa aquestes dades en un diagrama delínies i analitza el consum d’energia a Catalunyacomparant el gràfic amb la línia tendència.

61. ●● Observa el diagrama de barres.

Descriu una situació segons les dades que s’hi representen. Posa un nom a l’eix horitzontali un al vertical.

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA

62. ●● Un fruiter té sacs de cebes de 2 kg, 5 kg i 10 kg. Durant un dia ha venut 10 sacs de 2 kg,5 sacs de 5 kg i 2 sacs de 10 kg.

a) Organitza aquestes dades en una taulade freqüències.

b) Representa, en un diagrama de barres,les freqüències absolutes.

c) Dibuixa un diagrama de barres que representiles freqüències relatives.

d) Quin nombre mitjà de quilograms de cebesha venut?

e) Quin sac de cebes s’ha venut més?f) Com s’anomenen aquests dos últims nombres

en estadística?

63. ●● Les edats (en anys) dels 10 primers visitants del parc d’atraccions són:

12 10 14 12 1410 11 12 12 12

a) Dibuixa un diagrama de barres amb les freqüències absolutes i un altre amb les freqüències relatives.

b) Calcula la mitjana de les edats dels 10 primers visitants.

c) Quina edat es repeteix amb una freqüència més gran?

fi

200

150

100

50

Despeses generals

Hipoteca60 %30 %

10 %

Altres

Mes Jul. Ag. Set. Oct. Nov. Des.

Unitats 32 33 21 24 18 45

Any 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Consum 39,8 41,4 42,5 43,8 45,3 47,3 48,2

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 266

267

65. ●● Al servei d’urgències d’un hospitalhan ingressat 26 malalts d’aquestes edats:

87 14 52 65 74 43 28 12 17 25 93 4231 18 10 21 28 49 53 64 75 34 41 18

a) Quina és l’edat mitjana dels malalts?b) Quina és la mediana? I la moda?c) Quin és el rang i la desviació mitjana d’aquest

conjunt de dades?

66. En una botiga de butaques de massatgehan enregistrat les vendes anuals ordenadessegons el preu.

a) Representa aquestes dades en un diagramade línies.

b) Calcula el preu mitjà de cada butacade massatge.

c) Calcula la desviació mitjana d’aquest conjuntde dades.

39

67. ●●● Aquesta taula resumeix un estudi sobre el nombre de fills de les famílies d’una ciutat.

Si sabem que van preguntar a un nombre de famílies comprès entre 620 i 650, pots deduirquantes famílies van entrevistar?

INVESTIGA

68. ●●● El pes mitjà de 6 amigues és de 62 kg. Si el pes de 5 d’aquestes amigues són 58, 65, 59,65 i 72 kg, quant pesa la sisena amiga? Calcula la desviació mitjana d’aquest conjunt de dades.

69. ●●● Si sabem les freqüències relatives d’una taula, podem calcular les freqüènciesabsolutes?

70. ●●● Pot existir una sèrie de dades que no tinguimitjana? I que no tingui mediana? I moda? Raona la resposta.

71. ●●● Si a totes les dades obtingudes en un estudiestadístic:

a) Els sumem una determinada quantitat.b) Els multipliquem per un mateix nombre.

Què passa amb la mitjana de la sèrie nova?

Suggeriment: tria un exemple amb poques dadesi calcula’n la mitjana. Fes les operacions que hemindicat i torna’n a calcular la mitjana. Després,compara les dues mesures obtingudes igeneralitza el resultat.

72. ●●● Inventa una situació amb sis dadesque compleixin que:

x = 6 Me = 4 Mo = 5

COM CALCULEM I INTERPRETEM LA MODA?

64. Calcula la moda de les notes obtingudesa Llengua per nou estudiants.

7 8 4 3 4 5 7 9 6

PRIMER. Organitzem les dadesen una taula de freqüències.

SEGON. Estudiem la columnade les freqüències obtingudesi n’escollim el nombre o els nombres més grans.En aquest cas, és el 2. Hi ha dues modes, que són les notes 4 i 7.

TERCER. Intepretem els resultats.En aquest grup, és més freqüent trobar alumnesque han tret un 4 o un 7.

FES-HO AIXÍ

Nre. de fills Percentatge

0 12,5 %

1 30 %

2 30 %

3 15 %

4 12,5 %

Notes

3

4

5

6

7

8

9

fi

1

2

1

1

2

1

1

URGÉNCIES

Preu € (xi) 500 600 700 800 900

Nre. (fi) 15 35 45 65 50

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 267

268

A la vida quotidiana73. ●●● Aquestes són algunes de les dades de

l’última factura de l’electricitat.

A la factura hi ha dos conceptes fixos:

a) Si al mes de desembre es van pagar 72 €, quin és el preu del kWh?

b) Quin ha estat el consum mitjà mensual d’electricitat?

c) I la despesa mitjana anual en il·luminació?

74. ●●● A matemàtiques, al llarg de l’avaluació,hem fet dos treballs, un examen parcial i un examen global. Totes les proves s’han qualificat amb notes de l’1 al 10.

Per a la nota final, els dos treballs tenen el mateixvalor, però l’examen parcial val el doble que cadaun dels treballs i l’examen final val quatrevegades més que els treballs. Això és el que el professor anomena mitjana ponderada.

Quina nota final tindrà la Mireia? Quina notaha de treure el Joan en l’examen final?

75. ●●● Aquestes són les puntuacions de dos jugadors de bàsquet d’un equip en els sis últims partits:

Quina mitjana de punts té cada jugador?

En els últims minuts d’un partit, tots dos jugadors són a la banqueta. Si l’equip perd per molts punts i tu fossis l’entrenador, quin jugador treuries a jugar?Quin dels dos jugadorsés més regular?

ELECTRICITAT DE L’OEST

FACTURA

Potència i lloguer

de l’equip ................... 8 €

Impost de consum (per kWh) ....... 0,11 €

10 12 11

13 11 9

2 14 7

22 4 17

300

250

200

150

100

50

0G F M A M J J A S O N D

13 %14 %

17 %

27 %

20 %

9 %

Frigorífic

Il·luminació

Rentadora

Televisor

Cuina

Altres

HISTORIAL DEL CONSUM

ESTIMACIÓ DE LA DESPESA PER EQUIPAMENT

kWh

QUALIFICACIONS DEL JOAN

Treball 1………… 6,5

Treball 2………… 5,5

Examen parcial... 5,5

Examen final .… ?

QUALIFICACIONS DE LA MIREIATreball 1…….… 8,5Treball 2….…… 6,5Examen parcial. 8Examen final..… 8,25

M’agradaria que la meva nota final fós, almenys, un 7...

830863 _ 0249-0268.qxd 14/12/07 16:31 Página 268