Tema 1: Introducción - UPM

Electricidad y Magnetismo - Grupo 21.1

Curso 2010/2011

Campo - Álgebra Vectorial 1

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-1

Tema 1: Introducción

� Concepto de campo

� Repaso de álgebra vectorial

� Sistemas de coordenadas

�Cartesiano

�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.

� Operadores vectoriales.

�Gradiente

�Divergencia

�Rotacional

�Derivada temporal

�Combinación de operadores: Laplaciana

�Expresiones con operadores

�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.


Escalares y Vectores

• Escalar:

– Magnitud determinada por un número.

– Ejemplos: Longitud, masa, tiempo, …

• Vector:

– Magnitud determinada por un número (módulo), una dirección y un sentido.

– Ejemplos: Velocidad, fuerza, aceleración, …

VectoraA

EscalaraA

aA

rrAr


Curso 2010/2011



Concepto de campo

• Un campo es la descripción de determinadas propiedades de los puntos del espacio.

• Campo Escalar.

– Se puede describir con sólo un número para cada punto.

– Se representa por medio de una función de la posición.

– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno. Potencial Electrostático...

• Campo Vectorial.

– Para cada punto la propiedad varía con la dirección considerada.

– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada punto del espacio.

– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...

• El campo electromagnético requiere al menos dos vectores.


Representación de campos escalares

0

10

20

30

0

10

20

30

-2

-1

0

1

2

Representacion 3D

5 10 15 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Isotímicas

z xe x y= − −2 2


Curso 2010/2011



Representación de campos escalares


Representación de campos vectoriales

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Vectores

ρ

Z

Líneas de campo


Curso 2010/2011






• Campo eléctrico en un coaxial • Campo magnético en un coaxial


Curso 2010/2011



Álgebra vectorial: Suma Vectorial

• Suma de vectores:

– Propiedad Conmutativa: - Propiedad Asociativa:

Ar

CBArrr

++

Br

Ar

BArr

+

Br

Br

Ar

Cr

Ar

BArr

+

Br

ABBArrrr

+=+ ( ) ( )CBACBArrrrrr

++=++


Álgebra vectorial: Producto por un escalar

• Producto por un escalar:

– Es multiplicar su módulo por el escalar:

– Propiedades:

Ar

( ) ( )

( ) BABA

AAA

AA

AA

rrrr

rrr

rr

rr

αααααααααααα

ββββααααββββαααα

αβαβαβαβββββαααα

αααααααα

+=+

+=+

=

=

)(

Ar

αααα


Curso 2010/2011



Álgebra Vectorial: Producto escalar.

• El producto escalar de dos vectores es:

Es un escalar.

• Propiedades:

ααααcosBABArrrr

=⋅Ar

Br

αααα

( )( ) ( ) ( )BABABA

CABACBA

ABBA

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

αααααααααααα ⋅=⋅=⋅

⋅+⋅=+⋅

⋅=⋅


Álgebra Vectorial: Producto escalar (2)

• Obtención del módulo de un vector:

• Vectores unitarios:

– Los de módulo unidad:

– Obtención de un vector unitario

ααααcosBABArrrr

=⋅

Ar

Br

αααα

002

≥⋅=⇒==⋅ AAAAAAAArrrrrrrr

cos

11 =⋅⇔= aaarrr

=

⇒

⋅=

≠

Aa

a

AA

Aa

Arr

r

rr

r

r

r

//

10


Curso 2010/2011



Álgebra Vectorial: Producto escalar (3)

• Signo del producto escalar:

• Propiedad:

ααααcosBABArrrr

=⋅

Ar

Br

0>⋅ BArr

Ar

Br

αααα

0<⋅ BArr

Ar

Br

2ππππαααα =

0=⋅ BArr

αααα

BA

B

A

BArr

r

r

rr

⊥⇒

≠

≠

=⋅

0

0

0


Bases y componentes

• Base ortonormal:

– Vectores unitarios ortogonales que permiten construir cualquier vector (del espacio correspondiente) por combinación lineal.

– Componentes:

zAyAxAA

zz

zyyy

zxyxxx

zyxBase zyx ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

ˆ,ˆ,ˆ: ++=⇒

=⋅

=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅

⇒r

1

01

001

( )

z

y

xzyx

AzA

AyA

AxzAyAxAxA

=⋅

=⋅

=⋅++=⋅

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆˆ

r

r

r


Curso 2010/2011



• La componente de un vector en una dirección se puede obtener con el producto escalar por el unitario en esa dirección:

• Si la componente de una magnitud en una dirección sigue esta regla, es una vector. Si no la sigue, no es un vector

– Por ejemplo no es un vector

ϕ+ϕ==⇒

ϕ+ϕ=

+=sencosˆ·

ˆsenˆcosˆ

ˆˆ

yxuyx AAuAA

yxu

yAxAA rr

ϕ+ϕ= sencos2

yxu BBBB


Álgebra Vectorial: Producto Vectorial

• El producto vectorial de dos vectores:

– Es otro vector:

– Ortogonal a los operandos:

–

– Orientado según la regla del tornilloal girar el primero hacia el segundo

Ar

Br

αααα

BArr

×

ααααsenBABArrrr

=×

Br

Ar

ααααααααsenB

r


Curso 2010/2011



Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (2)

• Propiedades:

( )( ) ( ) ( )

0

0

=×

=×⇒

×=×=×

×+×=+×

×−=×

AA

BABA

BABABA

CABACBA

ABBA

rr

rrrr

rrrrrr

rrrrrrr

rrrr

//

αααααααααααα Ar

Br

BArr

×

BArr

×−


Álgebra Vectorial: Producto Vectorial (3)

• Propiedades:

– En un sistema dextrógiro o a derechas

xy

z

( ) ( ) ( )zBABAyBABAxBABA

BBB

AAA

zyx

BA

xzyyxzzyx

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

−+−+−=

==×

=×=×=×

rr


Curso 2010/2011



Álgebra vectorial: Productos triples

( ) ( )CBACBArrrrrr

⋅≠⋅

Ar

BArr

×

Cr

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBA

ACBBCACBA

CBABCACBA rrrrrr

rrrrrrrrr

rrrrrrrrr

××≠××⇒

⋅−⋅=××

⋅−⋅=××

( ) ( ) ( )→×⋅=×⋅=×⋅ BACACBCBArrrrrrrrr

Br

( ) ( ) ( )( ) ( )( )CBDADBCADCBArrrrrrrrrrrr

⋅⋅−⋅⋅=×⋅×

Producto Mixto

Doble Producto vectorial


Álgebra vectorial: Diferenciación

• Derivada de un vector:

• Propiedades:

( ) ( ) ( )α∆

∆=

α∆α−α∆+α

=αα

→α∆→α∆

AAA

d

Adrrrr

00

limlim

zd

dAy

d

dAx

d

dA

d

Ad zyx ˆˆˆαααααααααααααααα

++=

r

( ) ( )

( ) ( )α

×+×α

=×αα

+α

=α

α⋅+⋅

α=⋅

αα+

α=+

α

d

BdAB

d

AdBA

d

d

d

AdmA

d

dmAm

d

dd

BdAB

d

AdBA

d

d

d

Bd

d

AdBA

d

d

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrrr


Curso 2010/2011



Álgebra vectorial: Diferenciación (2)

• Diferencial de un vector en cartesianas:

zdAydAxdA

zdd

dAyd

d

dAxd

d

dA

dd

AdAd

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

=++=

==

αααααααα

αααααααα

αααααααα

αααααααα

rr


Álgebra Vectorial: Integración

• Definición como límite de una suma:

• Evaluación en cartesianas:

( ) ( )( )1

1

−=

∞→−= ∑∫ ii

N

ii

N

b

a

AdA ααααααααββββααααααααrr

limiii

NN ba

ααααββββαααα

αααααααααααααααα

≤≤

=≤≤≤=

−

−

1

110L

∫∫∫∫ ++=b

a

z

b

a

y

b

a

x

b

a

dAzdAydAxdA αααααααααααααααα ˆˆˆr

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