TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA … · TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA PARTE 1 ... Es decir que...

TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA PARTE 1

• Generalización del concepto de trabajo a una fuerza variable. • Teorema del trabajo y la energía cinética. • Fuerzas conservativas. • Energía potencial asociada a una fuerza conservativa. Trabajo y diferencia de

energía potencial. Relación entre fuerza conservativa y variación de energía potencial. Energía potencial en un punto

• Conservación de la energía. Conservación de la energía mecánica PARTE 2

• Descripción de una interacción: Acción a distancia y concepto de campo. • Líneas de fuerza. • Ley de gravitación universal. Análisis de las características de la interacción

gravitatoria entre dos masas. • Interacción de un conjunto de masas: Principio de superposición. • Noción de campo gravitatorio: Intensidad del campo gravitatorio de una masa

puntual. • Campo gravitatorio terrestre. Variación de "g" con la altura • Campo gravitatorio de un conjunto de masas. • Energía potencial gravitatoria de una masa puntual en presencia de otra. • Noción de potencial gravitatorio. • Superficie equipotencial. • Relación entre campo y potencial gravitatorio.

PARTE 3

• Leyes de Kepler • Movimiento de masas puntuales en las proximidades de la superficie terrestre • Satélites. Velocidad orbital y velocidad de escape.

AMPLIACIÓN

• Circulación de un vector a lo largo de un camino c • Flujo a través de una superficie • Flujo de la intensidad de campo a través de una superficie cerrada. Teorema de

Gauss

GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE TRABAJO A UNA FUERZA VARIABLE Supongamos que queremos llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B a lo largo de un determinado camino:

(recuerda que el móvil no tiene porqué moverse según la resultante de la fuerza que actúa sobre él porque puede tener algún tipo de restricción)

Por definición, el trabajo realizado por la fuerza Fr

para desplazarlo una longitud infinitesimal es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:

rdFdWrr

•= dW = trabajo elemental Fr

= vector fuerza

rdr

= vector desplazamiento = jdyidxrr

+ El trabajo total para llevar al cuerpo desde el punto A al B por el camino c lo obtenemos mediante la integral definida entre esos puntos:

∫ •=→

B

c,Ac,BA rdFWrr

En general, el trabajo realizado por una fuerza para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro punto B depende del camino que se siga. (Más adelante trataremos las fuerzas conservativas, que son aquellas que realizan el mismo trabajo para llevar un cuerpo desde un punto hasta otro sin importar el camino seguido.)

Lo expresamos como:

2c,BA1c,BA WW →→ ≠

∫∫ •≠•B

2c,A

B

1c,ArdFrdFrrrr

Caso particular: Cuando la fuerza es constante en módulo y dirección. Si observas las figuras siguientes verás que para desplazamientos grandes el módulo del vector desplazamiento no coincide con el espacio recorrido sobre la trayectoria, pero para un desplazamiento infinitesimal sí que son iguales:

sr ∆≠∆

r pero dsrd =

r

Así que podemos poner α⋅⋅=α⋅⋅=•= cosdsFcosdrFrdFdWrr

si F y α son constantes podemos sacarlas de la integral:

[ ] α⋅⋅=−⋅α⋅=⋅α⋅=α⋅=⋅α⋅= ∫∫→ cossF)ss(cosFscosFds cosFdscosFW ABss

s

s

B

Atetancons. FBA

B

A

B

A

α⋅⋅=→ cossFWtetancons. F

BA

Ejemplo: Un niño tira de un camión de juguete aplicando una fuerza de 20N mediante una cuerda que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular el trabajo que realiza cuando lo arrastra 10m.

Aplicando la definición general de trabajo y teniendo en cuenta que jFsenicosFF

rrr⋅α+⋅α=

y que en este caso como únicamente se desplaza a lo largo del eje X ( no varía de coordenada

Y con lo que siempre dy=0) y el vector desplazamiento nos quedaría idxjdyidxrdrrrr

=+=

∫∫=

=→ ⋅•⋅α+⋅α=•=10x

0x

B

c,Ac,BA idx)jFsenicosF(rdFWrrrrr

recordando que 1ii =•rr

y que 0ji =•rr

Como integramos respecto a x, los límites de integración son desde xA=0 hasta xB=10

[ ] Julios100)010(60cos20xcosFdxcosFW 10x0x

10x

0xc,BA =−⋅⋅=⋅α=⋅α= ==

=

=→ ∫

Como en este caso la fuerza es constante también podríamos haber aplicado la definición particular de trabajo: J 10060cos1020cossFW BA =⋅⋅=α⋅⋅=→

Observa que únicamente realiza trabajo la componente de la fuerza que lleva la dirección del desplazamiento (F.cosα)

Ejemplo: Calcular el trabajo que hacemos para levantar verticalmente, con velocidad constante, un cuerpo de 2 Kg hasta una altura de 3 metros. Calcular el trabajo realizado por el peso y el trabajo realizado por la fuerza resultante.

Fíjate bien que cuando en el enunciado dice “levantar con velocidad constante” eso es un dato muy importante, porque, de acuerdo con las leyes de Newton, quiere decir que la suma de las fuerzas sobre el cuerpo es nula. Por tanto, si el cuerpo está sometido a la fuerza peso=mg, la fuerza que deberemos hacer para subirlo con velocidad constante debe tener el mismo módulo F=mg, la misma dirección y sentido contrario. Aplicando la definición general de trabajo: Tendremos en cuenta que el movimiento es sobre el eje Y y que por tanto no varía la

coordenada X (dx=0). El vector desplazamiento nos quedaría j dyjdyidxrdrrrr =+=

[ ]∫ ∫∫=

=

==

=

=→ =−===•=•=3y

0y

3y0y

3y

0y

B

c,A FuerzaFFuerzaF

BA Julios60)03(20y mgdy mgj dyj mgrdFWrrrr

Observa que como ahora hemos integrado respecto a dy, los límites de integración han sido desde y=0 hasta y=3. El trabajo que hace la fuerza peso, siguiendo el mismo procedimiento sería:

[ ]∫ ∫∫=

=

==

=

=→ −=−−=−=−=•−=•=3y

0y

3y0y

3y

0y

B

c,A PesoPeso

BA Julios60)03(20y mgdy mgj dy)j (mgrdFWrrrr

El signo menos del trabajo se interpreta como que la fuerza pero realmente no hará nunca ese trabajo sino que haría el contrario. Como sabemos por experiencia, el peso no sube de forma espontánea a los cuerpos sino todo lo contrario. El trabajo total puede obtenerse de dos formas:

• Como suma de todos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas.

∑ =−+==→ 0)60(60WWTOTAL

BA

• Como el trabajo que hace la fuerza resultante. Como 0F tetansulRe =r

0rdFWB

c,A tetansulReTOTAL

BA =•= ∫→rr

Aplicando la definición particular de trabajo: En este caso podemos resolver el ejercicio aplicando la definición particular de trabajo para fuerzas constantes, ya que (para puntos próximos a la superficie terrestre) podemos considerar que el peso no varía y tampoco la fuerza que hemos de hacer para subirlo con velocidad contante, ya que es igual al peso y de sentido opuesto)

α⋅⋅=→ cossFW BA

Para aplicar esa expresión a la fuerza F tendremos en cuenta que: el módulo de la fuerza es igual al peso, es decir, FFuerzaF=mg, que el espacio que recorre es s=3m y que el ángulo que forma la fuerza que hacemos y el desplazamiento es de 0º

J 600cos320cossmgcossFW FuerzaFFuerzaF

BA =⋅⋅=α⋅⋅=α⋅⋅=→

Para aplicar la expresión a la fuerza peso tendremos en cuenta que, al igual que antes, el módulo del peso es FPeso=mg, el espacio recorrido es s=3m, pero ahora (puesto que se mueve hacia arriba) el ángulo que forma el desplazamiento y la fuerza peso es de 180º

J 60180cos320cossmgcossFW PesoPeso

BA −=⋅⋅=α⋅⋅=α⋅⋅=→

Observaciones: Muchos alumnos confunden los vectores con su módulo. Especialmente cuando se trata de movimientos en una dimensión y se suprimen los vectores unitarios de los ejes “sustituyéndolos” solamente por su signo. Es decir que (como ocurre en este caso donde el movimiento es solo en el eje Y) podremos escribir los vectores como:

j mgFFuerzaF

rr= o simplemente +mg (con el + indicamos que lleva dirección y sentido de j

r)

j mgFPeso

rr−= o simplemente –mg (con el – indicamos que lleva dirección y sentido de j

r− )

Los módulos de los vectores “nunca tienen signo” ya que el módulo solamente indica el valor. Entiende de una vez que el signo hace referencia al sentido del vector y no del módulo. Ahora bién, las magnitudes escalares sí que pueden tener signo como le ocurre al trabajo.

De acuerdo a lo anterior, sería un disparate escribir

180cos320cossmgWPeso

BA ⋅⋅−=α⋅⋅−=→

porque al poner –mg estaríamos sustituyendo el módulo de la fuerza por su expresión

vectorial (aunque no le pongamos laj r

). Por otro lado, el signo menos ya nos aparecerá como consecuencia de que cos180=–1, pero si lo hiciéramos mal tendríamos dos signos menos y el trabajo final sería positivo, que sería como decir que la fuerza peso es capaz de hacer un trabajo y de subir un cuerpo hasta una altura mayor.

Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza c) si otro hombre lo sube verticalmente hasta la misma altura con la ayuda de una polea d) ¿qué fuerza y que trabajo realizaría en este otro caso? a) Si el hombre sube el cuerpo con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la 2º ley de Newton, que la suma de las fuerzas es cero, por tanto:

de la figura se deduce que para que la suma de las fuerzas sea cero, el hombre debe ejercer una fuerza igual a la componente del peso que tiene la dirección del plano:

New10030sen1020senmgF =⋅⋅=α⋅= b) El espacio recorrido sobre el plano para que ascienda 1,5m se calcula como:

s

5,130sen = ⇒ s = 3 metros

El trabajo, aplicando la expresión particular porque la fuerza es constante: (Mucho cuidado de no confundirte con el ángulo. Aquí α es el ángulo que forma la fuerza F con el desplazamiento, que es 0º):

Julios3000cos3100cossFW =⋅⋅=α⋅⋅= c) El hombre que sube el cuerpo con velocidad constante con la ayuda de una polea:

Aplicando la segunda ley a todo el sistema

mamgF =− como v=cte → a=0

New2001020mgF =⋅== Como vemos, al tratarse de una polea es ideal y que la fuerza que aplicamos no tiene masa, entonces se transmite íntegramente: F=mg

d) Como F es una fuerza constante, aplicando la expresión particular del trabajo que realiza el hombre para subir la masa 1,5 m tendremos:

Julios3000cos5,1200cossFW =⋅⋅=α⋅⋅=

Observa que el trabajo que realiza el hombre para subir el cuerpo con velocidad constante por el plano y por la vertical es exactamente el mismo, y eso es así porque no hay rozamiento, sin embargo la fuerza que debe ejercer si lo sube por el plano es más pequeña. En el caso de que hubiese rozamiento el trabajo realizado por el plano sería mayor que por la vertical, pero aún así la fuerza que debe ejercer sigue siendo menor, de ahí la utilidad de los planos. Ejemplo: Un niño tiene una pistola de juguete que funciona con un resorte, como la que se indica en la figura. La constante de recuperación del muelle es de 500 N/m ¿Qué trabajo realiza el niño cada vez que comprime el resorte 20 cm para cargarla? La fuerza que debe hacer el niño para comprimir el muelle, con velocidad constante, es exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle pero en sentido contrario:

xkF)Muelle(

cuperadoraRe ⋅−= o bien i xkF)Muelle(

cuperadoraRe

rr⋅−=

xkF)Niño(

aDeformador ⋅= o bien i xkF)Niño(

aDeformador

rr⋅=

El signo menos de la fuerza recuperadora se interpreta como que esa fuerza se opone a la deformación. (Si, como en la figura, deformamos el resorte hacia la parte positiva la fuerza recuperadora apunta hacia la parte negativa y viceversa.)

En este caso la fuerza que hace el niño no es constante puesto que depende de x, por tanto tendremos que utilizar obligatoriamente la definición general de trabajo. La fuerza

que hace el niño en forma de vector es i kxFNiño

rr= y el vector desplazamiento, como

solo se desplaza a lo largo del eje X, nos quedaría idxjdyidxrdrrrr

=+=

∫ ∫∫=

=

=

=→ =−==⋅=•=•=2,0x

0x

222,00

22,0x

0x

B

A NiñoNiño,NA

B

A

B

A

Julios10)02,0(5002

1kx

2

1dxkxidxikxrdFW

rrrr

Este trabajo que ha realizado el niño al cargar la pistola: 2

21 kxW = queda almacenado en

el resorte (En forma de energía potencial como veremos más adelante). Al apretar el gatillo

y dejar libre el muelle actúa la fuerza recuperadora i xkF)Muelle(

cuperadoraRe

rr⋅−= y de esta forma se

nos devuelve el trabajo que realizamos al cargarla. Comprueba que el trabajo hecho por la fuerza recuperadora para llevar el muelle desde B hasta A es también 10Julios.

POTENCIA Dos máquinas pueden realizar el mismo trabajo, una en poco tiempo y la otra tardando más. Para identificar a la mejor se define la potencia como el trabajo realizado en la unidad de tiempo, así:

dt

dWP =

teniendo en cuenta la definición de trabajo podemos encontrar otra expresión análoga:

vFdt

rdF

dt

dWP

rrrr

•=•==

Ejemplo Un motor eléctrico se utiliza para elevar un peso de 250Kg desde el suelo hasta una altura de 25m. Se emplea en la operación un tiempo de 5 minutos. Si el motor consume 500 watios ¿Cuánto vale la energía perdida?.

El trabajo que realmente hace el motor es:

Julios150000)605(500tPWmotor =⋅⋅=⋅=

El trabajo útil es el que realmente hace falta para subir los 250Kg a la altura de 25m:

Julios625002510250smgsFWutil =⋅⋅=⋅=⋅=

El trabajo perdido, que se transformará en calor es:

Julios87500WWW utilmotorperdido =−=

El rendimiento del motor sería:

%7,41100150000

62500100

W

WientodimnRe

motor

util ===

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERCIA CINÉTICA Si tenemos en cuenta la definición de trabajo, la segunda ley de Newton y que

dtrdvrr = , podemos poner que:

dtvdt

vdmrd

dt

vdmrdFdW ⋅•=•=•=

rr

rr

rr

teniendo en cuenta que vd

r y v

r son vectores en la misma dirección y sentido y que por

tanto el coseno del ángulo que forman es 1:

dvvmvvdmdW ⋅⋅=•⋅= rr

2A

2B

B

A

B

A

2fuerzas las Todas,BA mv

2

1mv

2

1mv

2

1dvmvW −=

=⋅= ∫→

EcEcEcW ABfuerzas las Todas,BA ∆=−=→

Lo que nos dice que “el trabajo realizado por la fuerza F (resultante de “todas las fuerzas”, incluida la de rozamiento si existe) para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos”. Se conoce como teorema de las fuerzas vivas. Ejemplo: Si dejamos caer un cuerpo de 2Kg desde una altura de 5m ¿Qué energía cinética tendrá al llegar al suelo? Posiblemente la reacción de algún alumno sea calcular el valor de la velocidad al llegar al suelo y luego aplicar la fórmula de la energía cinética. Eso estaría bien, pero vamos a resolverlo aplicando el teorema de las fuerzas vivas. Como el peso puede considerarse constante podemos aplicar la definición particular de trabajo. El trabajo realizado, en este caso, por la fuerza peso que tiene la misma dirección y sentido del desplazamiento, es:

julios10015200cossmgcossFW =⋅⋅=⋅⋅=α⋅⋅= Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética y teniendo en cuenta que la energía cinética en el punto A (arriba) es nula porque parte del reposo, sería:

ABfuerzas las Todas,BA EcEcW −=→ ⇒ julios100EcB =

Ejemplo: Un ciclista va a 5 m/s por una calle horizontal. Cuando se le cruza una suegra frena para no pillarla y se detiene en 5m. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento?

Si el ciclista se termina parando, quiere decir que toda su energía cinética inicial se disipará en rozamiento. De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética:

EcW fuerzas las Todas,BA ∆=→

Sobre el ciclista hay tres fuerzas: peso, normal y FRoz. Como el peso y la reacción del plano se anulan, finalmente nos queda que la fuerza resultante es igual a la fuerza de rozamiento µ=µ= mgNFRoz . Como la FRoz es una fuerza constante podemos aplicar la

definición particular de trabajo: 2i

2fRoz mv

2

1mv

2

1180cossF −=⋅⋅

2imv

2

1)1(s mg −=−⋅⋅µ ⇒ 25,0

5102

5

gs2

v 22i =

⋅⋅==µ

Ejemplo: Un proyectil de 15gr se mueve con una velocidad de 1500m/s cuando choca con un saco de arena y se para después de recorrer 10cm ¿Qué trabajo ha realizado la arena sobre el proyectil?. Suponiendo constante la fuerza que realiza este trabajo, ¿cuánto vale? El ejercicio es exacto al anterior. Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética concluiremos que el trabajo realizado por la fuerza que hace la arena (fuerza de rozamiento de la bala con la arena) debe ser igual a la energía cinética que tenía la bala:

EcW fuerzas las Todas,BA ∆=→ ⇒

Julios168751500015,02

1mv

2

1mv

2

1W 22

i2farena. F −=⋅−=−=

La fuerza (de rozamiento) que disipa este trabajo es:

180cossFW arenaarena. F ⋅⋅= ⇒ New168750)1(10,0

16875Farena =

−⋅−=

FUERZAS CONSERVATIVAS En los ejemplos anteriores hemos visto como un cuerpo que tiene energía cinética es capaz de realizar un trabajo. Supongamos ahora que lanzamos una piedra hacia arriba con una determinada velocidad inicial. Ya sabemos que, si despreciamos el rozamiento, la piedra al volver a la posición inicial tendrá la misma velocidad (aunque de sentido opuesto). Quiere decir que tiene la misma energía cinética inicial y final, y que por tanto el cuerpo “conserva su capacidad de hacer trabajo”. Las fuerzas gravitatorias, por tanto, son conservativas. Siguiendo con el mismo ejemplo, si ahora consideramos que hay rozamiento, la velocidad de la piedra al llegar será menor que la inicial, lo que quiere decir que su energía cinética es menor y por tanto que el rozamiento es una fuerza disipativa o no conservativa. En general el trabajo realizado por una fuerza F al llevar un cuerpo del punto A al B depende del camino seguido. “Decimos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos inicial y final”. Por tanto si el trabajo lo hace una fuerza conservativa podemos poner que:

2c,BA1c,BA WW →→ =

como al cambiar los límites de integración la integral cambia de signo, podemos escribir:

0WW 2c,AB1c,BA =+ →→ o bien, como el camino no importa 0WW ABBA =+ →→

también se escribe:

∫ =• 0rdFrr

Quiere decir que “el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo”. Fíjate como en la segunda expresión no hemos indicado el camino seguido, puesto que al tratarse de una fuerza conservativa el trabajo es independiente de la trayectoria seguida. Resumiendo, podemos definir a las fuerzas conservativas diciendo:

• Aquellas que al llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B, realizan un trabajo que no depende el camino seguido: 2c,BA1c,BA WW →→ = , sino que solamente de la

posición de los puntos inicial y final. • Aquellas que al recorrer una trayectoria cerrada hacen un trabajo nulo:

∫ =• 0rdFrr

(Quiere decir que el trabajo es nulo cuando parten de un punto y,

siguiendo una trayectoria cualquiera, vuelven al mismo punto.) Son fuerzas conservativas, obviamente las que cumplen con esas definiciones, pero a título indicativo diremos que son fuerzas conservativas todas aquellas que no dependen del tiempo o de la velocidad, es decir, son conservativas las fuerzas que sean constantes (a excepción de la de rozamiento) y también aquellas que dependen de una coordenada y actúan a lo largo de ella, como por ejemplo la fuerza elástica de un resorte.

Un tipo de fuerzas conservativas muy importantes son las fuerzas centrales, como es el caso de las gravitatorias y eléctricas. (Fuerzas centrales son aquellas cuya dirección pasa por un punto llamado centro de fuerzas y su módulo depende de la distancia al centro de fuerzas) Ejemplo: Calcular el trabajo que la fuerza peso realiza para llevar un cuerpo de 2Kg desde el punto A hasta el B siguiendo los dos caminos de la figura

Lo primero de todo será dibujar la fuerza peso, que “siempre” vayamos por donde vayamos es la misma: tiene un módulo de P=mg=20New y la dirección vertical hacia

abajo (en forma vectorial sería j20Prr

−= ). El trabajo por cada camino (teniendo en cuenta que la fuerza peso puede considerarse constante y podremos aplicar la definición particular de trabajo) es: WA→B por el camino 1 será igual al WA→P + WP→B

• WA→P = F.s.cosα = 20.4.cos90 =0 • WP→B = F.s.cosα = 20.3.cos180 = –60 J • WA→B = WA→P + WP→B = 0 +(– 60) = –60 J

Observa que en el tramo de A→P el trabajo es nulo porque la fuerza peso es perpendicular al desplazamiento, mientras que en el tramo P→B el trabajo resulta negativo porque la fuerza y el desplazamiento forman 180º. (El signo menos indica que la fuerza Peso nunca realizará ese trabajo, sino el contrario)

WA→B por el camino 2

• WA→P = F.s.cosα = 87,126cos520 ⋅⋅ = – 60J Donde hemos tenido en cuenta que el espacio, de acuerdo

con el teorema de Pitágoras, es 534s 22 =+= El ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento es 126,87º. Es igual a β+90, donde º87,36 4/3arctg ==β

A la misma conclusión llegaríamos si la trayectoria fuese cualquier otra, porque siempre podríamos descomponerla en un trozo infinitesimal

horizontal (a través del cual el trabajo sería nulo porque rdPrr

⊥ ) y otro vertical (donde el

trabajo elemental sería j dyPrr

• ).

ENERGÍA POTENCIAL Imaginemos una maceta en lo alto de un balcón. Como consecuencia de su posición “en un campo de fuerzas conservativo como el gravitatorio”, tiene una cierta energía acumulada que puede convertir en trabajo en cualquier momento. Lo mismo podríamos decir para el caso de un resorte que se encuentra desplazado respecto de su posición de equilibrio, dado que las fuerzas elásticas también son conservativas. Puesto que el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos, a esos puntos podemos asignarle una energía llamada potencial que es función de la posición. Por definición, “el trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:

BAvaConservati.F,BA EpEpEpW −=∆−=→

El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, cualquier cuerpo sometido a la acción de una fuerza conservativa se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que +=→ Campo.Conserv.F,BAW cuando EpA > EpB)

Propiedades de la energía potencial: 1. Es una energía que posee un cuerpo debida a la posición que ocupa en un campo de fuerzas conservativas, o dicho de otra forma, es una energía que depende de la separación entre las partículas que interaccionan. 2. De lo anterior se deduce que la Ep es una magnitud asociada a la interacción entre dos cuerpos. Quiere decir que una masa no tiene Ep a menos que esté cerca de otra masa como la tierra, es decir, que un cuerpo, por el simple hecho de moverse tiene asociada una energía cinética, pero no tiene porqué tener energía potencial 3. La expresión de la energía potencial depende del tipo de fuerza conservativa. Como demostraremos más adelante:

BABA

Tierra la a próximos puntosioGravitator Campo

vaConservati.F,BA h mgh mgEpEpW −=−=→

BABA

cualquiera puntos dos entreioGravitator Campo

vaConservati.F,BA r

mMG

r

mMGEpEpW

⋅−−⋅−=−=→

BABA

Eléctrico CampovaConservati.F,BA r

qqK

r

qqKEpEpW

⋅−⋅=−=→

2B

2ABA

resorte elástica FuerzavaConservati.F,BA Kx

2

1Kx

2

1EpEpW −=−=→

4. No tiene ningún sentido hablar de energía potencial en un punto o energía potencial absoluta. De acuerdo con su definición como “el trabajo realizado por la fuerza conservativa para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B …” vemos claramente que solamente puede hablarse de variación de energía potencial entre dos puntos. 5. No obstante, puede definirse energía potencial absoluta asignando valor cero a la energía potencial de un punto cualquiera. La elección del punto cuya Ep=0 es absolutamente arbitraria. Normalmente en el campo gravitatorio y el eléctrico se suele asignar valor cero a la Ep en el infinito (por la razón que ya veremos). En el caso de un resorte se le asigna Ep=0 a la energía que tiene en la posición de equilibrio.

∫ •=−=∆−=→

B

A Conserv.FBAvaConservati.F,BA rdFEpEpEpWrr

Si hacemos 0EpB = Si a la energía potencial del cuerpo en el punto B (o el A) le asignamos, por acuerdo, el valor cero, entonces podríamos hablar de energía potencial absoluta en el punto A (o el B) aunque en realidad sigue siendo una diferencia de energía potencial entre el punto y el otro al que hemos asignado cero. En los problemas de mecánica es corriente asignarle cero a la energía potencial en la superficie de la tierra (aunque sea más riguroso asignar 0Ep =∞ ). Así, la energía potencial de un gato en lo alto de un balcón sería: Ep = mgh como demostraremos más adelante. 6. En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos”

Campo.Conserv.F,BAABnosotros,BA WEpEpEpW →→ −=∆=−=

Es lógico que el trabajo que hacemos (en contra de la fuerza conservativa para llevar el cuerpo sin aceleración desde un punto a otro) sea igual al que hace la fuerza conservativa, pero con distinto signo, ya que para que el cuerpo se mueva sin aceleración la fuerza que debemos hacer debe ser exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario. Así pues, el trabajo realizado por nosotros para deformar el muelle una distancia x queda almacenado en forma de energía potencial elástica. Si soltamos el muelle él volverá a la posición de equilibrio y realizará el mismo trabajo que hicimos para deformarlo. En otras palabras nos devuelve el trabajo que hicimos nosotros para deformarlo. (exactamente igual podríamos decir de la maceta en el balcón.)

Hay que recalcar que los trabajos, aunque sean iguales en valor, son realizados por fuerzas distintas, así como que la fuerza que hacemos nosotros no es conservativa:

• para subir, sin aceleración, la maceta al balcón o comprimir el resorte, nosotros hemos de realizar una fuerza contraria al peso, o contraria a la fuerza recuperadora en el caso del muelle.

• cuando soltamos la maceta, el trabajo lo realiza ahora la fuerza conservativa: la fuerza gravitatoria (el peso), o la fuerza recuperadora en el caso del muelle. Quiere decir que ahora el trabajo que hicimos y estaba acumulado en Ep nos lo devuelve el sistema.

Imagina que para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B nosotros hacemos un trabajo de 10 Julios (por ejemplo para subir un cuerpo hasta una determinada altura), entonces, si en el punto A tenía una energía potencial x, en el punto B tendrá una energía potencia x+10 :

Recuerda que aunque la fuerza que hacemos nosotros para llevar el cuerpo “sin aceleración” sea igual en módulo a la fuerza conservativa peso, no por eso la fuerza que hacemos es conservativa. (Un Seat Panda puede ir por una carretera a la misma velocidad que un Mercedes y no por eso el Panda es un Mercedes.)

Ejemplo: Demuestra que el trabajo realizado por nosotros, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, queda almacenado en forma de energía potencial y es igual al trabajo que nos devuelve la fuerza conservativa. a) Para las fuerzas elásticas de un resorte b) Para el peso en las inmediaciones de la superficie terrestre. Ya hemos dicho que el trabajo para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro punto B que hace la fuerza conservativa y el que hacemos nosotros (para llevarlo sin aceleración) son iguales aunque de signo contrario. Eso es evidente ya que la fuerza que debemos hacer nosotros es exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario. Por otro lado, el trabajo que hace cualquier fuerza (sea la que sea) para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B es igual y de signo contrario al que hace para regresarlo desde B hasta A por el mismo camino (o por cualquier otro camino si la fuerza es conservativa). (Es una propiedad de las integrales definidas: si cambiamos los límites de integración el resultado es el mismo cambiado de signo.) De acuerdo con esto y con lo anterior tendremos que Campo.Conserv.F,ABnosotros,BA WW →→ =

a) Caso del resorte: Supongamos un resorte como el de la figura, que sigue la ley de Hooke. Para deformarlo hemos de aplicar una fuerza exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle y de

sentido contrario, es decir que ikxFnosotros

rr⋅= mientras que al soltarlo quien trabaja es la

fuerza recuperadora elástica que vale ikxFresorte

rr⋅−= . Por otro lado como el

desplazamiento es según el eje X, el vector desplazamiento será: idxrdrr

⋅=

( )2A

2B

BA

2B

A

B

A

B

A

nosnos,BA xxk2

1kx

2

1dxkxidxikxrdFW −==⋅=⋅•⋅=•= ∫∫∫→

rrrr

( )2A

2B

AB

2A

B

A

B

A

B

resortresort,AB xxk2

1kx

2

1dxkxidxikxrdFW −=−=⋅−=⋅•⋅−=•= ∫∫∫→

rrrr

Como vemos el trabajo realizado por el niño para cargar la pistola queda guardado en forma de EP y es igual al trabajo que la fuerza elástica del resorte hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.

Podría preguntarse ¿porqué si hemos recorrido un ciclo completo el trabajo en el ciclo no es nulo? La respuesta es muy simple, porque los trabajos no están hechos por la misma fuerza, ya que en el primer caso la hacemos nosotros y en el segundo el resorte. b) Caso del campo gravitatorio, en puntos próximos a la superficie terrestre: Por ahora nos limitaremos a demostrar para puntos próximos a la superficie terrestre (donde el valor de g podemos considerarlo constante) el trabajo realizado por nosotros para llevar una masa de un punto A hasta otro B queda acumulado en forma de Ep y es igual al trabajo que el campo gravitatorio hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.

Para subir, sin aceleración, el cuerpo desde al punto A al B tenemos que hacer una

fuerza exactamente igual al peso y de sentido contrario, es decir que jmgFnos

rr⋅= ,

mientras que para ir desde el punto B al A es la fuerza del campo gravitatorio (el peso)

la que lo lleva y por tato la que realiza el trabajo jmgFcampo

rr⋅−= . Por otro lado, en este

caso como nos movemos sobre el eje Y, el vector desplazamiento es: jdyrdrr ⋅=

mghmghmghmgydymgjdyjmgrdFW ABBA

B

A

B

A

B

A

nosnos,BA =−==⋅=⋅•⋅=•= ∫∫∫→

rrrr

mghmghmghmgydymgjdyjmgrdFW ABAB

A

B

A

B

A

B

campocampo,AB =−=−=⋅−=⋅•⋅−=•= ∫∫∫→

rrrr

Fíjate que en este ejemplo hemos llevado el cuerpo desde el punto A hasta el B siguiendo la vertical, pero sería igual si hubiésemos seguido otro camino cualquiera:

En efecto, el resultado sería exactamente el mismo. En este caso al movernos en dos

dimensiones el vector desplazamiento sería jdyidxrdrrr

⋅+⋅= . Al realizar el producto

escalar de la fuerza, tanto de la que hacemos nosotros que tiene dirección jr

como de la

que hace el campo, que tiene dirección jr

− por el vector desplazamiento nos quedaría

lo mismo, ya que como sabemos 0=• jirr

porque son vectores perpendiculares y el coseno de 90º es nulo. Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza

Ya resolvimos este mismo ejemplo mas arriba por métodos dinámicos, ahora lo resolveremos teniendo en cuenta que el trabajo que hace el hombre para llevar el cuerpo desde el punto A hasta el B es igual a la diferencia de energía potencial. Además si consideramos el nivel cero de energía potencial en el punto mas bajo, el A, entonces:

Julios3005,11020mghEpEpEpW BABnosotros,BA =⋅⋅==−=∆=→

Ejemplo: Calcular la variación de energía potencial que experimenta un cuerpo de 70Kg, cuando lo trasladamos desde el punto A(1,2) hasta otro B(5,10).

J5600)210(1070ymg)jdyidx(jmgrdFWEpB

A

10y2y

B

A

nosotrosnosotros,BA =−⋅⋅=⋅=+•⋅=•==∆ ∫∫==→

rrrrr

Evidentemente, podríamos haber resuelto como AB mghmghEp −=∆

Si tomamos nivel cero de Ep en y=0 tendremos J56002mg10mgmghmghEp AB =−=−=∆

Si tomamos nivel cero de Ep en y=2 (que es el punto más bajo) J56008mgmghmghEp AB ==−=∆ Como puedes ver el resultado es independiente del nivel cero de Ep porque la energía potencial es un escalar y se trata de restar la Ep que hay en dos puntos.

FORMA GENERAL DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA E NERGIA De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza resultante de todas las fuerzas (sean conservativas o no) para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos: EcW fuerzas las Todas,BA ∆=→ o bien podríamos escribirlo como:

EcWW

tNoConserva.FBA

vasConservati.Fcampo,BA ∆=+ →→

Por otro lado, como por definición, “el trabajo que hacen las fuerzas conservativas para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”, podemos poner que

EpWvasConservati.F

campo,BA ∆−=→

Así que restando nos queda que

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆

o bien que:

BBtNoConserva.F

BAAA EpEcWEpEc +=++ →

Eso quiere decir que la energía mecánica al final puede ser mayor o menor que la inicial. Todo depende del signo del trabajo de las fuerzas no conservativas, es decir del sentido de las fuerzas no conservativas:

• En el caso más frecuente de que se trate de las fuerzas de rozamiento la energía al final siempre será menor que la inicial, puesto que la fuerza de rozamiento tiene sentido contrario al desplazamiento y en consecuencia el trabajo que realiza siempre es negativo (al llevar sentido contrario al desplazamiento el

producto escalar rdFRoz

rr• resulta negativo 1ii −=•−

rr).

BBRozAA EpEcWEpEc +=++

• En el caso de que sobre el cuerpo actúe una fuerza no conservativa en la

dirección del desplazamiento la energía mecánica al final es mayor que la inicial. Es el caso de cuando un coche sube acelerando por una cuesta. El trabajo realizado por el motor del coche es responsable que el arriba tenga más energía que al principio.

BBMotorAA EpEcWEpEc +=++

Si observas bien la expresión

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ verás que arriba de la

cuesta el coche tiene mayor energía tanto si sube con velocidad constante como si aumenta de velocidad mientras sube. Lógico, ya que en ambos casos el motor debe realizar trabajo. Si sube, con velocidad constante, (para que ΣF=0 el motor debe ejercer la fuerza necesaria para compensar a la componente del peso en

dirección de la cuesta) tendremos que el trabajo del motor se invirtió en aumentar la energía potencial del coche

tNoConserva.FBAWEp →=∆ . Si sube,

aumentando de velocidad, tendremos que el trabajo del motor se invirtió en aumentar la energía potencial del coche y en aumentar su energía cinética:


Principio de conservación de la energía mecánica Es una particularización del principio general de conservación de la energía, que dice, que si sobre un cuerpo “solamente actúan fuerzas conservativas” entonces se conserva la energía mecánica. Resulta evidente, ya que si todas las fuerzas son conservativas

0WtNoConserva.F

BA =→

0EpEc =∆+∆ o lo que es igual:

constEEpEcEpEc BBAA ==+=+ Nos dice que “Si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la suma de la energía cinética y potencial es igual para cualquier punto”. A la suma de Ec y Ep se le llama energía mecánica. Este teorema que viene a decir que la Ec y Ep pueden variar de unos puntos a otros, pero que su suma (la energía mecánica) permanece constante, dicho de otra forma, como

0EpEc =∆+∆ si aumenta la energía cinética (∆Ec↑) eso implica que disminuya la potencial (∆Ep↓), como ocurre cuando un cuerpo cae en caída libre o desliza por un plano inclinado “sin rozamiento”. Ejemplo: Una niña se tira por un tobogán desde una altura de 2 metros. a) ¿Con qué velocidad llegaría abajo si despreciamos el rozamiento? b) ¿Con qué velocidad llegaría abajo suponiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,5.?

a) Teniendo en cuenta que no hay rozamiento y el resto de las fuerzas son conservativas, podemos aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica. La energía potencial que la niña tiene arriba se transformará en cinética cuando llegue abajo. Es decir, de acuerdo con la conservación de la energía mecánica 0EpEc =∆+∆ la disminución de energía potencial (∆Ep↓) debe ser exactamente igual al aumento de su energía cinética (∆Ec↑)

BBAA EpEcEpEc +=+ ⇒ 2BB

2AA mv

2

1mghmv

2

1mgh +=+

s/m47,42102h g 2v AA =⋅⋅==

Como vemos, al no haber rozamientos el resultado es el mismo que si la niña cayera en caída libre desde esa altura. Lógico porque al tratarse de fuerzas conservativas el trabajo que realizan al llevar el cuerpo de un punto a otro es independiente del camino seguido. b) Cuando hay rozamiento (que una fuerza no conservativa) ya no se conserva la energía mecánica, pero sí que se conserva la energía total. Como la fuerza de rozamiento es constante, su trabajo podemos obtenerlo como con la expresión particular:

180coss)30cosmg(cossFW Roz

Rozamiento.FtNoConserva.F

BA ⋅⋅µ⋅=α⋅⋅=→

BBtNoConserva.F


2BA mv

2

1180coss)30cosmg(mgh =⋅⋅µ⋅+

s/m31,2vB =

Como vemos, de acuerdo con la conservación de la energía total


la disminución de energía potencial (∆Ep↓) se emplea en parte en aumentar la energía cinética (∆Ec↑) y otra parte se pierde en rozamiento transformándose en calor.

Ejemplo: ¿Con qué velocidad hemos de lanzar una piedra para que llegue hasta una altura h? Vamos a resolver este sencillo ejercicio, con todo cuidado, para reparar en la forma de aplicar el principio de conservación de la energía. Presta atención porque es bastante sutil. 1º Lo habitual es suponer “que ya le hemos comunicado a la piedra la velocidad necesaria, vo” . En este caso la piedra tendría una Ec y comenzaría a subir: El aumento de energía potencial (∆Ep↑) se consigue a costa de disminuir energía cinética (∆Ec↓) Si despreciamos el rozamiento contra el aire se conservaría la energía mecánica porque la única fuerza sobre la piedra es el peso, que es conservativa:

0EpEc =∆+∆ → hhSueloSuelo EpEcEpEc +=+

h g mv m2

1 2o =

de donde h g 2vo =

2. Supongamos ahora que estamos en el instante inmediatamente anterior: “Cuando la piedra aun estaba parada sobre el suelo”. Si no hacemos nada por ella, parada seguiría. Para que la piedra comience a subir debemos comunicarle una energía mediante una fuerza que hacemos nosotros y que NO es conservativa. Por tanto, entre el momento en que la piedra está parada y el que está a una altura h, no se conserva la energía mecánica, aunque sí se conserva la energía total:

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ → hh

tNoConserva.FBASueloSuelo EpEcWEpEc +=++ →

Si el trabajo realizado por la fuerza no conservativa

tNoConserva.FBAW → se lo comunicamos en forma de

energía cinética, tendremos que:

h2

FNCons lapropina le que Epv m

2

1 =

de donde h g 2vFNCons la

propina le que =

Ejemplo: Cuando sobre un muelle helicoidal, situado verticalmente sobre una mesa, colocamos una masa de 1Kg, éste se comprime 2cm. Calcular la deformación que experimentaría el muelle si le dejamos caer la misma masa desde una altura de 1m. Con el primer dato y aplicando la ley de Hooke calcularemos la constante de recuperación del muelle. (teniendo en cuenta que le fuerza que deforma al muelle es el peso de la masa):

kxF = ⇒ m/N50002,0

101

x

mgk =⋅==

Balance de energías: Punto A: toda la energía es potencial gravitatoria (Ec=0 porque está parado y la Epelástica=0 porque el muelle está relajado). Tramo AB: a medida que desciende ∆Epgravitat↓, ∆Ec↑ y ∆Epelástica=0 porque el muelle sigue igual. Punto B: casi toda la energía inicial se ha transformado en Ec pero aun le queda un poco de Epgravitat (mghA = EcB+mghy). Tramo BC: al chocar con el muelle comienza a comprimirlo acumulándose toda la energía que tiene en potencial elástica: ∆Epgravitat↓, ∆Ec↓ y ∆Epelástica↑. Punto C: toda su energía es potencial elástica (Ec=0 porque está parado y la Epgravitat=0 porque ha llegado al nivel cero de Ep gravitatoria.)

Aplicaremos el principio de conservación entre el punto A y C, porque de esta forma toda la energía potencial gravitatoria se transforma en energía potencial elástica: ∆Ec + ∆Epgravitat + ∆Epelástica =0

C,elastC,gravitCA,elastA,gravitA EpEpEcEpEpEc ++=++

2

A ky2

1mgh =

2ky2

1)y1(mg =+ ⇒ m2,0y =

Ejemplo: Un bloque de 3Kg, que parte del reposo, desliza 7,6m hacia abajo por un plano inclinado 20º sobre la horizontal y continua recorriendo 2,75m por un plano horizontal, hasta que choca con un resorte y finalmente se detiene después de comprimirlo 15cm, como se muestra en la figura. Calcular la constante elástica del muelle sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,2. Si tenemos en cuenta que la energía potencial que el bloque tiene arriba, punto (A), menos la que pierde en rozamientos debe ser igual a la energía potencial elástica del resorte al final (D)

Aplicando la conservación de la energía entre la posición inicial y final tenemos que:

D,elastD,gravitDtNoConserva.F

BAA,elastA,gravitA EpEpEcWEpEpEc ++=+++ →

2A Kx

2

1)180coss mg 180coss 20cosmg (mgh =⋅⋅µ+⋅⋅µ+

[ ] 215,0K2

1)15,075,2(2,01036,72,020cos1036,2103 ⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅

m/N 1576K = E2B.S2011 a) Energía potencial asociada a una fuerza conservativa. b) Una partícula se desplaza bajo la acción de una fuerza conservativa. ¿Aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Y su energía cinética? Razone las respuestas. a) Teoría b) Cualquier partícula bajo la acción de una fuerza conservativa se mueve espontáneamente hacia donde la energía potencial es menor, ya que por definición

BAvaConservati.F,BA EpEpEpW −=∆−=→ . (Eso precisamente es lo que indica el signo menos)

De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, 0EpEc =∆+∆ , la disminución de energía potencial exige que aumente la energía cinética. Es lo que ocurre cuando cae una piedra: La piedra se mueve bajo la acción de la fuerza conservativa peso hacia donde disminuya su energía potencial (EpB<EpA) y al hacerlo aumenta su energía cinética (EcB>EcA) E6B.S2011 a) Conservación de la energía mecánica. b) Se lanza hacia arriba por un plano inclinado un bloque con una velocidad v0. Razone cómo varían su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica cuando el cuerpo sube y, después, baja hasta la posición de partida. Considere los casos: i) que no haya rozamiento; ii) que lo haya. a) Teoría b) Si no hay rozamiento se conservará la energía mecánica, 0EpEc =∆+∆ . Si el bloque sube por el plano aumentará su energía potencial gravitatoria y la conservación de la energía mecánica exige que disminuya en la misma cantidad la energía cinética.

(Ello explica que a medida que asciende el bloque vaya disminuyendo de velocidad hasta pararse, en cuyo momento toda la energía cinética inicial se habrá transformado en potencial) Cuando hay rozamiento ya no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total,

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ . Ahora la disminución de Ec se invierte en parte en

trabajo contra la fuerza de rozamiento (WF.No.Conserv es negativo) y el resto en aumentar la energía potencial. Naturalmente, como ahora solamente una parte de la energía cinética se emplea en aumentar la energía potencial el bloque subiría hasta una altura menor que cuando no había rozamiento y la totalidad de la Ec se convertía en Ep. E5B.S2011 Un bloque de 200 kg asciende con velocidad constante por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal bajo la acción de una fuerza paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique las transformaciones energéticas que tienen lugar durante su deslizamiento. b) Calcule el valor de la fuerza que produce el desplazamiento del bloque y el aumento de su energía potencial en un desplazamiento de 20 m. g = 10 m s−2 a) Si el bloque asciende con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la 1ª ley de Newton, que la fuerza resultante sobre el bloque es nula. Sobre el bloque hay 4 fuerzas: el peso, la reacción del plano, la fuerza de rozamiento y la fuerza F paralela al plano (que es la que debe compensar a la fuerza de rozamiento y a la componente del peso en dirección del plano para que el bloque se mueva con velocidad constante).

Respecto de un SR con el eje X paralelo al plano, las fuerzas en forma de vector serían:

j1732i1000j30 cosmgi30sem mgPrrrrr

−−=−−=

=Nr

=j30 cosmgr

j1732r

+

i 30 cosmgFRoz

rrµ⋅−= = i2,173

r−

FFrr

= = Fr

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

i2,1173FFrrr

−=Σ

Como vr

=constante → i2,1173FFrrr

−=Σ = 0 → i2,1173Frr

=

Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total,

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ . Como la velocidad es

constante ∆Ec=0, el aumento de energía potencial se debe íntegramente al trabajo realizado por la fuerzas no conservativas, es decir al trabajo realizado por la fuerza F y al la FRoz. Puesto que el trabajo que hace la FRoz es negativo, la fuerza F debe realizar el trabajo necesario para aumentar la Ep y para compensar el que se pierde en rozamiento.

b) La fuerza F paralela al plano, para que suba con velocidad constante, es i2,1173Frr

= El aumento de energía potencial para un desplazamiento de 20m, o lo que es igual para un ascenso de h=20.sem30=10 m, podemos calcularlo de tres formas: * Aplicando directamente la ecuación de la energía potencial gravitatoria. Tomando nivel cero de energía potencial en el punto más bajo del plano:

J200001010200mghmghEpEpEp ABAB =⋅⋅=−=−=∆ * Aplicando la conservación de la energía:

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ En este caso las

fuerzas no conservativas son la fuerza de rozamiento y la que hacemos paralela al plano: F,BARozamiento.F,BA WWEpEc →→ +=∆+∆

0cossF180cossFEpEc Roz ⋅⋅+⋅⋅=∆+∆

1201732)1(202,173EpEc ⋅⋅+−⋅⋅=∆+∆ = 20000 J

Observa, una vez más, que al utilizar la expresión particular del trabajo para fuerzas constantes, al sustituir el valor de las fuerzas escribimos su módulo, por eso al sustituir la fuerza de rozamiento no se puso el signo menos que tiene en su forma vectorial. * Aplicando la definición de energía potencial: “el trabajo que una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”: EpW vaConservati.F,BA ∆−=→

Teniendo en cuenta que en este caso la fuerza conservativa es el peso: j1732i1000Prrr

−−= y que solamente la componente Px realiza trabajo (porque la componente Py es perpendicular al desplazamiento), tenemos que:

EpW vaConservati.F,BA ∆−=→

Ep180cossPx ∆−=⋅⋅ (La componente x del peso forma 180º con el desplazam.) Ep)1(201000 ∆−=−⋅⋅ → Ep∆ = 20000 J

Por supuesto, también podríamos utilizar para el peso su módulo total, es decir, P=mg, pero en tal caso tendríamos que tener en cuenta que el ángulo que forma el peso con el desplazamiento es de 240º (observa la figura).

Ep240cossP ∆−=⋅⋅ (El peso forma 240º con el desplazamiento) Ep)5,0(202000 ∆−=−⋅⋅ → Ep∆ = 20000 J

Al mismo resultado llegaríamos si calculamos el trabajo que hace el peso aplicando la definición general de trabajo:

EpW vaConservati.F,BA ∆−=→

Ep20000 dx 1000 i dx)j1732i1000(W20x

0x

B

APeso,BA ∆−=−=−=•−−= ∫∫=

=→

rrr

E4A.S2011 Un bloque de 2 kg se encuentra situado en la parte superior de un plano inclinado rugoso de 5 m de altura. Al liberar el bloque, se desliza por el plano inclinado llegando al suelo con una velocidad de 6 m s−1. a) Analice las transformaciones energéticas que tienen lugar durante el deslizamiento y represente gráficamente las fuerzas que actúan sobre el bloque. b) Determine los trabajos realizados por la fuerza gravitatoria y por la fuerza de rozamiento. g = 10 m s−2 a) Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total,

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ . Al descender disminuye la

energía potencial gravitatoria y esa disminución se emplea en aumentar su energía cinética y en trabajo en rozamiento (ten en cuenta que siempre el trabajo que hace la fuerza de rozamiento es

negativo y por tanto en la expresión anterior sería como 0WEpEc Roz.F,BA =+↓∆+↑∆ → )

b) Teniendo en cuenta que

tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ y si tomamos nivel cero de energía

potencial en el punto B, por ser el más bajo, podemos poner que:

BBtNoConserva.F


2B

tNoConserva.FBAA mv

2

1Wmgh =+ → → 2

tNoConserva.FBA 62

2

1W5102 ⋅=+⋅⋅ →

64W

tNoConserva.FBA −=→ J, lógico ya que en este caso la fuerza no conservativa es la de rozamiento y

su trabajo siempre es negativo porque dicha fuerza siempre tiene sentido contrario al desplazamiento, y en consecuencia forman ángulo de 180º.

Seguramente ahora verás con mayor claridad las transformaciones energéticas que tienen lugar, ya que de la ecuación se deduce claramente que la energía inicial (100 J, toda potencial) se ha transformado en cinética (36 J) y en trabajo en rozamiento (−64 J) El trabajo realizado por la fuerza peso es de +100 Julios, ya que la fuerza peso es la única fuerza conservativa y por definición de variación de energía potencial tenemos que

J 100)100(EpWW Peso.F,BAvaConservati.F,BA +=−−=∆−== →→

(ten en cuenta que ∆Ep =EpB – EpA = 0 – 100 = − 100 J) También podríamos calcular el trabajo realizado por la fuerza peso aplicando la definición de trabajo particularizada para fuerzas constantes, y teniendo en cuenta que solamente realiza trabajo la componente del peso que tiene la dirección del desplazamiento, es decir la componente Px = mgsenα.

J 1000cossen

5sen mg0cossPW xPeso,BA +=⋅

α⋅α=⋅⋅=→

Sin embargo calcular el trabajo perdido en rozamiento utilizando la definición de trabajo 180cossFW RozRoz.F,BA ⋅⋅=→ es bastante más laborioso que como lo hemos

resuelto aplicando la conservación de la energía, porque nos obliga a calcular el valor de la FRoz utilizando métodos dinámicos. La fuerza de rozamiento tendríamos que obtenerla aplicando la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento rectilíneo y uniforme: a mFsen mg Roz =−α t av =

2t a2

1s = α= sen 8,12FRoz

α

=sen

5s

Ahora ya podemos sustituir y tendremos:

J 64180cossen

5sen 8,12180cossFW RozRoz.F,BA −=⋅

α⋅α=⋅⋅=→

CONCEPTO DE CAMPO. INTERACCIÓN A DISTANCIA La interacción entre dos partículas puede hacerse de dos maneras:

• Por contacto entre ellas, que sería el caso de dos bolas que chocan • Por acción a distancia, esto es, perturbando las propiedades del medio donde se

encuentran las partículas. Supongamos a la tierra como una masa aislada, decimos que ella crea un campo (campo de fuerzas gravitatorio) porque produce una perturbación en el espacio que la rodea, de tal manera que si en él colocamos otra masa, se verá sometida a una fuerza (que le llamamos peso). Dicho de otra forma, la tierra ejerce una fuerza sobre la otra masa a distancia, sin necesidad de tocarla.

Para hacernos una idea clara de lo que es un campo, piensa en una fuente sonora, como una radio. Cuando está en funcionamiento, continuamente emite ondas sonoras que se propagan por el espacio que la rodea. Podemos decir que en ese espacio hay un campo de sonido. Ahora vamos a reparar que significa eso:

1. Se necesita un agente que cree el campo. En este ejemplo la radio. 2. En todos los lugares no se percibe la misma intensidad sonora, de manera que si

nos acercamos o alejamos lo oímos más o menos fuerte. En general puede decirse que un campo es la región del espacio donde se manifiesta una propiedad física que toma un valor distinto en cada punto.

3. Ya sabemos que la radio crea un campo de sonido, pero ¿cómo sabemos que en un punto hay campo, hay sonido? Evidentemente la manera de saberlo es colocar a alguien que no sea sordo o un micrófono. En general diremos que para probar la existencia de un campo necesitamos un testigo o agente sensible al campo.

4. El testigo debe ser sensible al campo concreto, dicho de otra forma debe tener la misma propiedad que el agente que crea el campo. Para probar la existencia de un campo gravitatorio necesitamos una masa, para un campo eléctrico una carga, para uno magnético una brújula que no es más que un imán.

5. En el caso de la radio, como comprenderá el sonido producido no llega a todos los puntos de forma instantánea, sino que lo hará a la velocidad del sonido. En el caso de los campos gravitatorio y eléctrico la perturbación se propaga a la velocidad de la luz.

6. Finalmente digamos que el campo creado por un agente no ejerce ninguna acción sobre él mismo.

Clases de campos Los campos se clasifican según que la magnitud física sea escalar o vectorial, así tenemos campos escalares o vectoriales. Si la magnitud física, además de depender de la posición, dependiera del tiempo al campo se le llama dinámico, y estático si no depende del tiempo. A) Campos escalares: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un escalar.

Por ejemplo, la densidad de un sólido no homogéneo, como la tierra, puede considerarse como un campo escalar. Ya sabes que la densidad de la tierra aumenta si nos acercamos al núcleo, es decir que depende de la posición: ρ=ρ(x,y,z). Otro campo escalar es la temperatura en la atmósfera, porque en cada punto toma un valor, ya que depende de la altitud, pero además en este caso se trata de un campo dinámico, porque los valores en cada punto varían de unos días a otros es decir que T=T(x,y,z, t). . Los campos suelen representarse por unas líneas (o también por superficies) obtenidas uniendo todos los puntos en los que la propiedad física toma el mismo valor, por esa razón, en los campos escalares, se las llama líneas equiescalares. En algunos casos estas líneas tienen nombre propio, como en el caso de las temperaturas, donde se llaman isotermas, o de las presiones, donde se llaman isóbaras.

B) Campos vectoriales: Son aquellos en los que la magnitud física que se manifiesta es un vector. Los campos gravitatorio y eléctrico son de este tipo, porque en todo punto de los mismos se puede definir una fuerza cuyo valor es función de la posición en el campo. Lo que pasa es que para poner de manifiesto la existencia de esta fuerza es preciso colocar a un testigo y resulta que el módulo de la fuerza no solo es función de la posición del punto, sino que también depende de la característica del agente sensible o testigo. Convención: En lo que sigue llamaremos M o Q a la masa o carga que crea el campo y m o q a la masa o carga del testigo, aunque podrían llamarse m y m´ Suponga una masa M (o una carga eléctrica Q) en el origen de un SR. A su alrededor creará un campo gravitatorio (o un campo eléctrico), de tal forma que si en cualquier punto del mismo colocamos a un testigo m o q sobre él actuará una fuerza que viene dada por la ley de gravitación de Newton en el caso de las masas o por la ley de Coulomb en el caso de las cargas.

)u(r

´mmGF r2grav

rr−⋅=

r2eléctr ur

qqkF

rr ⋅=

La dirección de la fuerza es siempre según la recta que une las cargas (o las masas), por tanto tiene la misma dirección que el vector de posición de la m o q. En el caso de las masas el sentido siempre es atractivo (en la misma dirección y sentido contrario a r

r, es

decir en la dirección y sentido de rur

− ) y en el caso de las cargas depende de sus signos. Resulta que la fuerza que actúa sobre el testigo depende de:

• De la carga o masa que crea el campo (M o Q) y de la posición del punto P, es decir de la distancia entre las cargas (r). Tanto una como otra son magnitudes propias del campo.

• Además depende del valor de la masa o carga que hemos colocado como testigo (m o q)

Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo de fuerzas como la fuerza por unidad de testigo.

• La intensidad del campo gravitatorio se representa por gr

y es la aceleración de la gravedad, que conoces bien, y se mide en N/m o bien en m/s2.

• La intensidad del campo eléctrico se representa por Er

y se mide en N/Coulomb

q

FE

rr

= m

Fg

rr

=

La Intensidad de campo gravitatorio es un vector en la dirección y sentido de la fuerza, ya que las masas siempre son positivas. En el caso de la intensidad de campo eléctrico siempre tendrá la misma dirección que la fuerza, pero el sentido dependerá del signo de q´ (recuerda el producto de un escalar por un vector). LÍNEAS DE FUERZA El concepto de campo fue introducido por Faraday y a él se le ocurrió además una forma para visualizarlo mediante unas líneas imaginarias, dibujadas de tal manera que sean en todo momento tangentes al vector Intensidad de campo (o a la fuerza, que como sabemos tiene la misma dirección). Para dibujarlas se siguen los pasos:

1. Coloca al testigo unidad en un punto, ya que si m´=1Kg o q´=+1C, fuerza e intensidad de campo coinciden.

2. Sobre el testigo aparecerá una fuerza en la dirección de la recta que une los centros de las masas o cargas

3. Si el testigo estuviera libre se movería dibujando la línea de campo y además nos dará el sentido.

Además se sigue el criterio de dibujar más o menos líneas en función de que la intensidad de campo sea grande o pequeña. Siguiendo estos mismos pasos podemos dibujar las líneas de campo para una carga positiva o negativa obteniendo:

En el caso de dos cargas (dipolo) o de dos masas se hace lo mismo, aunque teniendo en cuenta que en cualquier punto del campo, la fuerza es debida a la suma vectorial que cada carga o masa hace por separado sobre ella (es lo que más adelante veremos y que se llama principio de superposición):

El resultado sería:

Propiedades de las líneas de fuerza:

1. Nos dan en todo momento la dirección y sentido de la Intensidad de campo (precisamente para eso se dibujan)

2. Las líneas de fuerza del campo gravitatorio y del eléctrico no se cierran. Como puede observarse en las figuras, las líneas de fuerza se inician en las cargas positivas y terminan en las negativas, por eso a las cargas positivas se las llama fuentes y a las negativas sumideros, así como las masas.

3. Las líneas de fuerza nunca se cortan. En efecto, ya que la intensidad de campo (y la fuerza) es tangente a ellas en cada punto, si se cortaran entonces podríamos dibujar dos tangentes y habría dos fuerzas distintas en el punto, lo que es absurdo.

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Todas las masas en el universo, por el hecho de serlo, se atraen con una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa (medida de centro a centro).

2r

mMGF

⋅=

La dirección de la fuerza que una masa ejerce sobre la otra es la de la recta que las une, así que para un SR centrado en una de las masas la fuerza tiene la dirección del vector de posición, pero el sentido puesto porque es atractiva. Por tanto vectorialmente sería:

)u(r

mMGF r2

rr−⋅=

r2u

r

mMGF

rr ⋅−=

• rur

es el vector unitario del vector de posición de la masa m respecto de M, es decir es un vector unitario en la dirección de la línea que une los centros de las masas y el sentido desde la masa que crea el campo hacia la otra.

• El signo “menos” se interpreta como que son fuerzas atractivas, es decir que la

fuerza tiene la misma dirección y el sentido opuesto al vector de posición, es decir, la dirección y sentido de ru

r−

• G es una constante de proporcionalidad llamada “constante de gravitación

universal” (no debe confundirse con la aceleración de la gravedad, ya que son cosas completamente distintas). Sus unidades se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula y su valor es:

2211 Kg/mN1067,6G ⋅⋅= − Características de la interacción gravitatoria: (e igual para la interacción ente cargas)

Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales ya que al tener la fuerza la dirección de la recta que une a las masas, siempre pasará por la masa que crea el campo, siendo este punto el centro de fuerzas.

Las características de las fuerzas gravitatorias son las propias de las fuerzas centrales: (Evidentemente el campo eléctrico, al igual que el campo gravitatorio, también es un campo de fuerzas centrales y para él también podríamos decir todo lo que sigue).

1) Las fuerzas gravitatorias tienen simetría esférica porque el módulo de la fuerza de atracción entre dos masas es igual en cualquier punto del espacio que se encuentre a la misma distancia de la masa que crea el campo, y el lugar geométrico de esos puntos es una esfera con centro en M y radio r.

2) Una partícula sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento en un plano. En efecto, ya que el vector de posición de la masa m respecto de M, su velocidad y su aceleración (fuerza) son siempre coplanarios y la partícula se moverá en el plano que determinan. (Los tres vectores siempre forman un plano porque como la fuerza y el vector de posición siempre tienen la misma dirección, en realidad es como si solo fuesen dos

vectores Fr

y vr

.)

Un ejemplo sería el movimiento circular uniforme, en el que la fuerza a la que está sometida la partícula (fuerza normal) apunta constantemente hacia el centro (por tanto es central) y tiene la dirección del radio, igual que el vector de posición, de manera que esos dos vectores con la velocidad siempre formarán un plano, es el del movimiento. Precisamente esto justifica a la primera ley de Kepler, que dice que los planetas describen órbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol.

3) El momento angular Lr

de una partícula sometida a fuerzas centrales se conserva en

el tiempo. En efecto, ya que como rr

y Fr

tienen siempre la misma dirección, el

momento de la fuerza es nulo, porque 0FrM =∧=rrr

. Y como por otro lado dt

LdM

rr

=

al ser nulo el momento quiere decir que cteL =s

Observa que si Lr

es constante, también justifica que la trayectoria sea plana, ya que ello quiere decir que no solo no variará ni en módulo ni en dirección, que como sabemos es

la perpendicular al plano del movimiento. Si Lr

no cambia en dirección, el plano del movimiento tampoco 4) El trabajo realizado por una fuerza central para llevar un cuerpo desde un punto A

hasta otro B por una trayectoria circular es nulo. En efecto, ∫ =• 0rdFrr

porque en todo

momento la fuerza y el vector desplazamiento son perpendiculares (porque rdr

siempre es tangente a la trayectoria y la fuerza, al ser central, siempre tiene la dirección del radio).

5) Las fuerzas centrales son fuerzas conservativas, por tanto, el trabajo para llevar a una masa m desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos. (Es consecuencia del punto anterior, ya que una fuerza central solamente realiza trabajo cuando mueve un cuerpo en dirección radial, mientras que el trabajo es nulo cuando lo desplaza sobre la tangente).

Sea cual sea la trayectoria seguida siempre podremos descomponerla en tramos infinitesimales verticales y horizontales. En los tramos horizontales

(2→3) el trabajo es nulo porque rdFrr

⊥ . Solo hay trabajo en los tramos 1→2 y 3→4 El trabajo que hace la fuerza gravitatoria para llevar a la masa m desde al punto A hasta el B es el mismo por el camino1 que por el camino2.

Al tratarse de un campo de fuerzas conservativas:

La energía que la masa m tiene en cada uno de los puntos del campo creado

por M solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar una energía que llamamos energía potencial.

Una partícula sometida a fuerzas conservativas conserva su energía mecánica: cteEpEc =+

Observación: Es importante tener en cuenta que la fuerza actúa tanto sobre una masa como sobre la otra y que son iguales y de sentidos opuestos (de acuerdo con la tercera ley de Newton), es decir, una es la de acción y la otra de reacción:

2112 FFrr

−=

2112 FF =

Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que la masa que crea el campo ejerce sobre el testigo, por ese motivo no prestamos atención a la que el testigo ejerce sobre la masa que crea el campo, pero ello quiere decir que no exista. Eso quiere decir que nosotros atraemos a la tierra exactamente con la misma fuerza que ella nos atrae a nosotros. Te preguntarás porqué entonces la tierra no cae sobre los cuerpos y sí al contrario. La respuesta es muy sencilla, y es que, la tierra tiene una masa muy grande comparada con la nuestra, y por tanto presenta una inercia muy grande. Si la fuerza que ejerce la tierra sobre nosotros es 12F y nuestra masa es m, nos atraerá con

una aceleración que vendrá dada por amF12 ⋅= . Por otro lado, nosotros ejercemos

sobre la tierra una fuerza igual en módulo 21F y si la masa de la tierra es M, la

aceleración que nosotros ejercemos sobre ella vendrá dada por aMF21 ⋅= . Como ambas fuerzas son iguales, al ser M muy grande la aceleración a´ con que la tierra se mueve hacia nosotros es prácticamente nula. Ejemplo:

Una partícula se encuentra en un campo de fuerzas del tipo τ= ur

1F

sr

Donde r es la distancia al origen O y τur

es un vector unitario perpendicular al radio

a) ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos en los que dicha fuerza tiene el mismo módulo? ¿Tiene simetría esférica? b) ¿Este campo de fuerzas es de tipo central? c) Calcular el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada. ¿Es un campo conservativo? a) Es evidente, que puesto que la fuerza solo depende de la distancia al origen O, la fuerza tendrá el mismo valor en todos los puntos que estén a la misma distancia de O,

por tanto el lugar geométrico será una esfera con radio en O. En consecuencia el campo tiene simetría esférica. b) Como puede verse en la figura, al tener la fuerza la dirección de la tangente a la circunferencia (perpendicular al radio dice el enunciado) no se trata de un campo de fuerzas centrales porque la dirección de las fuerzas no concurre en un punto.

El campo sería central si el vector unitario en lugar de llevar la dirección de la tangente

llevara la dirección del radio, es decir su fuera del tipo rur

1F

rr=

c) Para calcular al trabajo a lo largo de una circunferencia como la de la figura:

• como puede verse el vector desplazamiento y la fuerza siempre tienen la misma dirección, así que forman 0º.

• el valor del módulo de la fuerza a lo largo de toda la circunferencia es constante, ya que solo es función de r y valdrá F=1/R

• los límites de integración si queremos recorrer la circunferencia completa serán desde 0 hasta 2πR.

π=π=⋅⋅= 2R2R

10cossFW

Como el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, entonces la fuerza no es conservativa. Ejemplo: Calcular la fuerza que la tierra ejercerá sobre un cuerpo de 1Kg de masa situado: a) Sobre la superficie terrestre b) a 100Km de la superficie

c) Comparar ambos resultados con los que se obtienen aplicando la fórmula P=mg DATOS: Rt=6370Km Mt=5,98.1024Kg G=6,67.10−11Nm2/kg2 Como se sabe, a la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos se le llama peso, así que no es más que la fuerza con que se atraen dos masas, pero cuando una de ellas es la tierra, por tanto, aplicaremos la ley de gravitación universal:

2r

mMGF

⋅=

a) En el caso de que el cuerpo esté sobre la superficie de la tierra, la distancia que separa ambos cuerpos es igual al radio de la tierra, porque se mide desde el centro de una masa al centro de la otra, así que r=Rt

New83,9000.6370

11098,51067,6

R

mMGF

2

2411

2t

t =⋅⋅⋅=⋅

= −

b) Cuando la masa está a 100Km de la superficie el problema es exactamente el mismo, solo que ahora la distancia que separa las masas es r=Rt+h

New53,9)1000006370000(

11098,51067,6

)hR(

mMGF

2

2411

2t

t =+

⋅⋅⋅=+⋅

= −

El resultado es perfectamente lógico, ya que como puede verse en la ley de gravitación universal, a medida que aumenta r disminuirá F. c) La fórmula P=mg es exactamente la misma que la de más arriba ya que, como veremos enseguida, la aceleración de la gravedad es:

2t

r

MGg =

Por tanto la misma expresión P=mg vale para ambos casos, simplemente lo que ocurre es que la aceleración de la gravedad no vale igual en cada caso, porque, como puede verse depende de r. Lo que sucede es que cuando vemos la expresión P=mg inmediatamente pensamos en que g=9,81m/s2 sin pararnos a pensar que la aceleración de la gravedad no es una constante porque depende de la altura, incluso más adelante veremos que también depende de la latitud. (Concretamente los pesos que hemos obtenido estarían calculados para el supuesto de que la masa m estuviera en los polos.)

INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE MASAS PUNTUALES. PRIN CIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de gravitación universal nos da la fuerza con que se atraen dos masas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras masas. Ello nos lleva al principio de superposición: “Si una masa se encuentra en el campo creado por varias masas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada masa, por separado, ejerza sobre ella.” De igual forma puede decirse que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.

∑= itotal FFrr

∑= itotal gmFrr

es decir que ∑= itotal ggrr

Ejemplo: En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada en el cuarto vértice. De acuerdo con el Principio de Superposición, la fuerza total sobre la masa de 5Kg es la resultante de las fuerzas que cada masa por separado ejerce sobre ella. Simplemente calculamos el módulo de las fuerzas de cada masa sobre la de 5Kg (la dirección y sentido la dibujamos teniendo en cuenta que la fuerza siempre es atractiva y en la dirección de la recta que une las masas y luego elegimos un sistema de referencia y las sumamos como vectores que son.

G51

51G

r

mmGF

221

11 =⋅=

⋅=

G5)2(

52G

r

mmGF

222

22 =⋅=

⋅=

G151

53G

r

mmGF

223

33 =⋅=

⋅=

En el sistema de referencia de la figura, la fuerza en forma de vector creada por cada masa sobre la masa de 5Kg sería:

jG5F1

rr=

j45Gsen5i45cosG5F2

rrr+−=

iG15F3

rr−=

jG5,8iG5,18Frrr

+−=

El módulo sería New1036,1G35,20)G5,8()G5,18(F 1022 −⋅==+−=

El ángulo con el eje X sería º67,24G5,18

G5,8arctg −=

−=α

NOCIÓN DE CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO DE UNA MASA PUNTUAL Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una masa m cuando la colocamos en un punto del campo gravitatorio creado por otra masa M, depende de magnitudes propias del campo (la masa que lo crea M y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la masa m. Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la masa del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo gravitatorio como la fuerza por unidad de masa. La intensidad del campo gravitatorio se representa por g

r

y es la aceleración de la gravedad

r2u

r

MG

m

Fg

rr

r −==

• La Intensidad de campo gravitatorio solamente depende de la masa M que crea

el campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo. • La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará

sobre un testigo de masa m colocado en ese punto: g mFrr

= . Como se deduce de la relación, la fuerza es un vector en la dirección y sentido de la fuerza, ya que las masas siempre son positivas.

Por otro lado, hemos visto que el campo gravitatorio creado por varias masas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada masa en ese punto.

∑= itotal ggrr

es decir se cumple el principio de superposición.

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE Suponiendo que la tierra es una esfera de radio R y de masa M, la fuerza con que atraerá a una masa m colocada en sus inmediaciones vendrá dada por la ley de gravitación universal de Newton:

r2u

)hR(

mMGF

rr

+⋅−=

A la fuerza con que la tierra a trae a las masas se le llama peso: gmFrr

= , así que tenemos que la aceleración de la gravedad en un punto no es más que la Intensidad de campo gravitatorio en ese punto:

r2u

)hR(

MGg

rr

+−=

Para el caso concreto de puntos próximos a la superficie terrestre, y si despreciamos por ahora la rotación de la tierra alrededor de su eje, su módulo sería:

22

2411

2s/m83,9

6370000

1098,51067,6

R

MGg =⋅⋅== −

Factores que influyen en la aceleración de la gravedad La aceleración de la gravedad no es una constante (a veces de tanto utilizar en los ejercicios de mecánica el valor de 9,81 m/s2 algunos alumnos llegan a pensar que siempre vale eso) ya que depende de la distancia entre las masas. a) Variación de la gravedad con la distancia: 1. Disminuye con la altura sobre la superficie terrestre, ya que su módulo es:

22 )hR(

MG

r

MGg

+==

Como puede verse, el valor de la aceleración de la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia entre las masas.

2. Tiene su valor máximo sobre la superficie de la Tierra: 22T s m 81,9

R

MGg −==

3. Disminuye linealmente en el interior de la Tierra. A primera vista podría pensarse que en el interior de la Tierra la gravedad debería aumentar al disminuir r, pero no es así, ya que solamente la masa encerrada en su interior contribuye al campo y, si te das cuenta, cada vez que nos vamos adentrando en el interior de la tierra cada vez hay

menos capas de masas que influyen al campo, de manera que al disminuimos r también disminuimos la masa.

Supondremos de que la densidad de la tierra sea constante. Teniendo en cuenta que la densidad es V/m=ρ , para una

esfera de radio r tenemos que 3r 3

4m π⋅ρ=

La gravedad en el interior de la Tierra y en la superficie de la Tierra vienen dadas por:

2int

3int

2int

intint r

r 3

4

Gr

mGg

π⋅ρ==

2T

3T

2T

TT R

R 3

4

GR

MGg

π⋅ρ==

T

int

T

int

R

r

g

g = → T

intTint R

rgg =

Resumiendo, el módulo de la aceleración de la gravedad vale:

TTint R

rgg =

2fuera r

MGg =

• Dentro de la tierra va aumentando linealmente con la distancia al centro. (es como una recta de ecuación y=mx)

• En la superficie de la Tierra tiene el valor máximo gT • Fuera de la Tierra disminuye con el cuadrado de la distancia

b) Variación de la gravedad con la latitud. En la superficie de la Tierra, la gravedad varía con la latitud, debido al giro de la Tierra. Desde el punto de vista de un observador no inercial la aceleración será la resultante de la gravedad en ese punto y de la aceleración centrífuga. A 45º de latitud y al nivel del mar, la aceleración de la gravedad tiene el valor de 9,81 m/s2, que es el valor que suele tomarse en los ejercicios de mecánica.

Ejemplo: Encontrar la relación entre el valor de la gravedad en la superficie terrestre y el valor que tiene a una altura h sobre la superficie. Si llamemos g al valor en la superficie terrestre y g´ al valor que tiene a una altura h, tendremos que:

2R

MGg =

2)hR(

MGg

+=

2

2

R

)hR(

g

g += ⇒ 2

2

)hR(

Rgg

+=

Como puede verse a medida que nos alejamos de la superficie terrestre el valor de g´ disminuye. Ejemplo: Calcular, en un lugar de la tierra situado a 45º de latitud: a) la aceleración centrífuga b) la aceleración de la gravedad

a) Hay que tener cuidado y darse cuenta de que la circunferencia que describe el punto de latitud 45º no es igual al radio de la tierra, sino a r. Por tanto la fuerza centrífuga será:

r mr

)r (m

r

vmFc 2

22

ω=ω== ⇒ ra 2c ω=

como:

• s/rad1027,7360024

2

día1

2

T

2 5−⋅=⋅

π=π=π=ω

• m450427045cos637000045cosRr =⋅=⋅=

Sustituyendo: 2252

c s/m024,04504270)1027,7(ra =⋅⋅=ω= −

b) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, suponiendo no girase, viene dada por:

22

2411

2s/m83,9

6370000

1098,51067,6

R

MGg =⋅⋅== −

Ahora bien, al considerar su rotación, la aceleración real en un determinado lugar es la que resulta de componer vectorialmente la aceleración centrífuga para ese punto con la aceleración de la gravedad calculada anteriormente:

creal aggrrr

+=

Para un sistema de referencia como el de la figura, las aceleraciones en forma de vector serían:

j45sen83,9i45cos83,9grrr

−−=

i024,0ac

rr=

j951,6i927,6greal

rrr−−=

El módulo de la aceleración en ese punto sería:

222real s/m81,9)951,6()927,6(g =−+−=

que es el valor que se toma para la aceleración de la gravedad en los ejercicios de mecánica. Observa que, de acuerdo con lo anterior, el valor máximo para la aceleración de la gravedad la tenemos en los polos, y el valor mas pequeño en el ecuador que es donde la aceleración centrífuga es mayor. ( ra 2

c ω= para el ecuador r=Rt y además es un vector opuesto a g)

2polo,real R

MGg =

RR

MGg 2

2ecuad,real ω−=

Ejemplo: ¿Qué relación hay entre el peso de una masa m en las inmediaciones de la tierra y en un planeta que tenga una masa 10 veces superior y el doble de radio? Muy sencillo, expresamos la fuerza que cada planeta hace sobre la masa y las dividimos miembro a miembro:

2tierra R

mMGF

⋅=

2planeta )R2(

mM10GF

⋅= 10

4

F

F

planeta

tierra = ⇒ 4

10FF tierraplaneta =

El resultado era de esperar ya que la fuerza de atracción gravitatoria (peso) es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las masas, por tanto, será 10 veces mayor y 22 veces más pequeña. Ejemplo: En los vértices de un cuadrado de 1m de lado hay tres masas de 1, 2 y 3 Kg. Calcular la intensidad de campo gravitatorio en el cuarto vértice. ¿Qué fuerza actuaría sobre una masa de 5Kg colocada allí? ¿Y sobre una masa de 6 Kg? De acuerdo con el principio de superposición, el campo gravitatorio (g) creado por cada masa por separado en el punto P es:

G1

1G

r

mGg

221

1 ===

G)2(

2G

r

mGg

222

2 ===

G31

3G

r

mGg

223

3 ===

Ahora solamente queda sumar vectorialmente. En el sistema de referencia de la figura, la intensidad de campo creada por cada masa sería:

jGg1

rr=

j45Gseni45cosGg2

rrr +−=

iG3g3

rr−=

jGiGgrrr

7,17,3 +−=

El módulo sería 21122 s/m1071,2G07,4)G7,1()G7,3(g −⋅==+−=

El ángulo con el eje X sería º67,24G7,3

G7,1arctg −=

−=α

La fuerza sobre una masa colocada en el punto P se obtiene simplemente con la expresión F=mg así que:

New1036,11071,25gmF 10115Kg5

−− ⋅=⋅⋅==

New1063,11071,26gmF 10116Kg6

−− ⋅=⋅⋅==

Observación: Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio en un punto (la gravedad) tiene una ventaja enorme, ya que como vemos, una vez conocida, solamente hay que multiplicar por la masa en el punto P y obtenemos la fuerza que actúa sobre ella. (bueno, lo hemos hecho sobre su módulo, pero exactamente igual sería si hubiéramos multiplicado su expresión vectorial). Sin embargo, si hubiéramos calculado la fuerza sobre la masa de 5Kg sumando vectorialmente las fuerzas a partir de ese valor no podemos obtener la fuerza sobre otra masa, como hemos hecho con la de 6Kg, y habríamos tenido que repetir el ejercicio y la suma de vectores. Esa es la razón por la que se define la intensidad de campo, porque su valor no depende de la masa del testigo, sino de los agentes propios que crean el campo, es decir de las masas que lo crean y de la posición. ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA DE UNA MASA EN PRESE NCIA DE OTRA El campo gravitatorio es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial. El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía “que solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial. (Naturalmente, como es lógico, en un campo de fuerzas conservativo la energía potencial en un punto no depende exclusivamente de la posición de ese punto, también depende de la masa que crea el campo" y de la masa que hayamos colocado en ese punto". Precisamente para que tampoco dependa de la masa colocada en ese punto definiremos más adelante el Potencial (V) como la energía potencial de una masa unidad.) Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:

BACampo.Conserv.F,BA EpEpEpW −=∆−=→

Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que +=→ Campo.Conserv.F,BAW cuando EpA > EpB)

En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos”

Campo.Conserva.F,BAABnosotros,BA WEpEpEpW →→ −=∆=−=

Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial gravitatoria, para ello no hay mas que calcular el trabajo que hace el campo gravitatorio para llevar una partícula desde el punto A al B:

∫∫∫ ⋅⋅−=•⋅−=•==− →

B

A2

B

A

r2

B

A

gravcampo,BABA drr

mMGrdu

r

mMGrdFWEpEp

rrrr

donde hemos tenido en cuenta que vector unitario ru

r y el vector desplazamiento

rdr

tienen la misma dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que

r

1dr

r

12

−=∫ nos quedaría que:

BABA

B

Acampo,BA EpEp

r

1

r

1 mMG

r

1 mMGW −=

−⋅⋅−=

−⋅⋅−=→

BABA r

mMG

r

mMGEpEp

⋅−−⋅−=−

(Nota: aunque matemáticamente no es de lo más correcto escribir dos signos menos seguidos y menos sin un paréntesis, pero lo escribiremos así porque resulta más didáctico. Además lo pondremos en ese orden para que más adelante veas que estas expresiones son similares a las del campo eléctrico)

Energía potencial gravitatoria en un punto. Como vemos, estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la masa m desde uno a otro y por tanto debe haber dos puntos), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno de esos puntos, entonces podremos habar de energía potencial absoluta (en realidad referida al punto que asignemos Ep=0). Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A. Dicho de otra manera: La energía potencial de una masa m en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la masa m desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una masa m en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la masa, sin aceleración, desde el infinito hasta ese punto)

∞⋅−−⋅−=− ∞mM

G r

mMGEpEp

AA

como 01 =∞

AA r

mMGEp

⋅−=

donde rA es la distancia que separa las dos masas. Como puedes ver la energía potencial en un punto siempre es negativa y tiene su “máximo valor negativo” en la superficie terrestre y va aumentando al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito. Particularización de la energía potencial para puntos próximos a la superficie terrestre: En los puntos próximos a la superficie es razonable utilizar la conocida expresión:

mghEpEpEp AB =−=∆ Vamos a ver como se deduce esta expresión particular a partir de la general que hemos obtenido:

Como puede verse en la figura rA = Rtierra rB − rA = h (Altura sobre la superficie terrestre)

Si llamamos M a la masa de la tierra y m a la masa del cuerpo, según hemos visto antes:

BA

AB

ABAB rr

rrmMG

r

mMG

r

mMGEpEpEp

⋅−

⋅⋅=⋅−−⋅−=−=∆

Teniendo en cuenta que:

• rB − rA = h • al tratarse de puntos próximos a la superficie terrestre, prácticamente rB ≅ rA con

lo que podemos poner que 2t

2ABA Rrrr =≅⋅ .

• y recordando que el módulo de la Intensidad de campo, o gravedad viene dada

por 2tR

MGg =

al final nos quedaría que: mghEpEpEp AB =−=∆

Cuestión: De la expresión Ep=mgh, se deduce que la energía potencial es positiva y aumenta con la altura. ¿Cómo es posible, si de la expresión Ep=–GMm/r se deduce que siempre es negativa y aumenta con la altura? La Ep que tiene una masa m en un punto del campo creado por otra M, como indica su expresión general, siempre es negativa y su valor máximo es cero, que corresponde a la Ep en el infinito. Lo que pasa es que siempre medimos “diferencias” de energía potencial y cuando restamos obtenemos el mismo valor con independencia de donde tomemos el cero. Por tanto entre dos puntos cualquiera hay la misma ∆Ep si el nivel cero lo tomamos en el infinito (que es lo natural) como si lo ponemos en cualquier otro lugar como la superficie de la tierra o donde sea:

Fíjate que, independientemente de donde tomemos el cero de Ep, el ∆Ep entre dos puntos siempre vale igual: EpB ‒ EpA = 20 J. Es exactamente el mismo caso que si montamos a un niño sobre una mesa para medir su altura. Tanto si lo medimos de pies a cabeza, como si medimos desde el suelo a la cabeza y restamos la distancia del suelo a

los pies obtendremos lo mismo. “No importa que al cambiar de sistema de referencia en cada medida tengamos valores distintos, lo que importa que es la diferencia siempre tendrá el mismo valor”. Energía potencial “de una masa” debida al campo creado por una asociación de masas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la debida al campo que independientemente cada masa crea sobre ella, así que:

∑ =−=⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅

−=i

in1i

n

n

2

2

1

1

r

mGm

r

mmG

r

mmG

r

mmGEp

Energía potencial de una asociación de masas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de masas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:

++−=

23

32

13

31

12

21

r

mm

r

mm

r

mmGEp

∑−=ij

ji

r

mmGEp

Ejemplo: Imagina que hay dos masas m1=10Kg y m2=20Kg como se indica en la figura. Calcular el trabajo que hemos de hacer para llevar una masa m de 5Kg desde la posición A(4,0) hasta la B(8,0)

Como sabemos el trabajo que hacemos nosotros es igual al incremento de energía potencial, así que solamente tenemos que calcular la Ep que la masa m tiene al final y al principio y restarlas.

.Conservat.F,BAABnosotros,BA WEpEpEpW →→ −=−=∆=

De acuerdo al principio de superposición, la Ep que la masa m tiene en el punto A es debida a la que tiene como consecuencia del campo que crea m1 mas la debida al campo que crea la masa m2, es decir:

G5,325

10

4

10Gm

r

mmG

r

mmGEp

A2

2

A1

1A −=

+−=⋅

−+⋅

−=

De igual forma, la Ep cuando está en el punto B será:

G96,1754,8

10

8

10Gm

r

mmG

r

mmGEp

B2

2

B1

1B −=

+−=⋅

−+⋅

−=

Por tanto: G54,15)G96,17(G5,32EpEpW ABnosotros,BA +=−−−=−=→

POTENCIAL GRAVITATORIO Recuerda que la fuerza que actúa sobre una masa m, en un punto de un campo creado por otra masa M, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la intensidad de campo como fuerza por unidad de masa. Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una masa m entre dos puntos A y B, de un campo creado por otra masa M, que también depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía potencial por unidad de masa y que llamaremos variación Potencial (V):

∫∫

•=•

==−

=− →B

A

B

A

Conserv.FConserv.F,BABA

BA rdgm

rd F

m

W

m

EpEpVV

rr

rr

∫∫∫ ⋅−=•−=•=−B

A2

B

A

r2

B

A

BA drr

MGrdu

r

MGrdgVV

rrrr



rdr


r

1dr

r

12


−⋅−=

−⋅−=−BA

B

ABA r

1

r

1M G

r

1M GVV

BABA r

MG

r

MGVV −−−=−

Obviamente llegaremos al mismo resultado si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo m ya que, como hemos dicho, la ddp entre dos puntos se definie como la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:

BA

BABA r

MG

r

MG

m

EpEpVV −−−=

−=−

Potencial gravitatorio en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como el trabajo pare llevar a la unidad de masa entre esos dos puntos). No obstante si, por acuerdo, asignamos cero al potencial de uno de esos punts, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo.

Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que c

WVV Conservat.F,BA

BA→=− podemos decir

que: El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una masa de 1Kg desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una masa de 1Kg desde el infinito hasta ese punto).

∞−−−=− ∞

MG

r

MGVV

AA

como 01 =∞

AA r

MGV −=

donde rA es la distancia que separa la masa que crea el campo del punto A. Ejemplo: Calcular el potencial gravitatorio creado por una esfera de 100Kg de masa y dos metros de diámetro en un punto situado a 9m de su superficie. ¿Cuál será la energía potencial de una masa de 1Kg situada en dicho punto?

Suponiendo que la esfera es homogénea podemos considerarla como una masa puntual concentrada en su centro.

a) Como hemos visto la ddp entre el punto A y el infinito será igual al potencial en el punto A, que vale:

Kg/J1067,610

1001067,6

r

MGV 10

11

AA

−−

⋅−=⋅⋅−=−=

b) De acuerdo con su definición, la energía potencial de una masa unidad en un punto y el potencial en ese punto son exactamente la misma cosa, así que Julios1067,6Ep 10

A−⋅−=

Para otro valor cualquiera de m la relación entre ambas magnitudes sería:

AA V´mEp ⋅=

RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL Si te das cuenta el campo (g

r) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta

relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial. Caso particular de campo uniforme, es decir, de puntos cercanos en los que la gravedad puede considerarse constante, entonces, teniendo en cuenta la definición de ddp,

( ) dgrr g r grdgVV AB

B

A

B

A

BA ⋅=−==•=− ∫rr

Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que puede considerarse constante el valor del campo, es igual al valor del campo por la distancia entre esos puntos. A la misma conclusión llegaríamos restando el potencial en el punto A del que tiene en B:

( ) dgrrgr

)rr (MG

rr

)rr (MG

r

MG

r

MGVV AB2

A

AB

BA

AB

BABA ⋅=−=

−≅

−=−−−=−

La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo de g

r y la del potencial V en un punto:

=⋅−=−=A

A

AAA r

r

r

MG

r

MGV AA r.g−

Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del punto a la masa que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle importante:

• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo (gr

o

)Er

podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente

el módulo de la fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que gmFrr

= o bien

EqFrr

= )

• Sin embargo, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el

potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se moverán hacia donde disminuya su energía potencial.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Como su propio nombre indica (equi significa igual) una superficie equipotencial es aquella en la que en todos sus puntos hay el mismo potencial. Dibujemos una superficie y supongamos que es equipotencial:

Propiedades de las superficies equipotenciales: 1. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares al vector intensidad de campo. En efecto, ya que para desplazamos de un punto a otro de la superficie es necesario que el vector desplazamiento rd

r sea coplanario con la superficie, y puesto que según la

definición de ddp entre dos puntos:

∫ •=−B

A

BA rdgVVrr

si la superficie es equipotencial VA−VB=0 lo que quiere decir que: 0g =r

o que 0rd =r

ambas cosas son absurdas porque si no hay campo o no hay desplazamiento no habría problema, así que la única otra alternativa es que el producto escalar de ambos vectores sea nulo, es decir que formen ángulo de 90º.

2. El trabajo para lleva una masa de un punto A de una superficie equipotencial a otro B de la misma superficie equipotencial es cero. Obvio, ya que

)VV (mW BAConservat.F,BA −=→ y al movernos por la misma superficie equipotencial

VA=VB. Además es cero porque como gr

y Fr

tienen la misma dirección, entonces

rdFrr

⊥ . 3. Para el caso de una masa, o de una carga las superficies equipotenciales son esferas concéntricas. En efecto, ya que como las líneas de campo son radiales, para que las superficies sean normales a ellas deben ser esferas con centro en la masa o carga que crea el campo.

4. Dos superficies equipotenciales nunca pueden cortarse porque ello implicaría que en los puntos de corte podríamos trazar dos perpendiculares y, como ya vimos, las líneas de campo no se cortan. Además, imagina que dos superficies equipotenciales se cortaran, entonces en ambas habría el mismo potencial y por tanto sería la misma superficie. Ejemplo: Imagina tres puntos 1, 2 y 3 en los que el potencial gravitatorio va disminuyendo, es decir que V1>V2>V3. ¿ Hacia donde se movería una masa m si la colocamos en el punto 2 y la dejamos libre?

La masa m (o una carga independientemente del signo) se mueve espontáneamente hacia el punto en el que disminuya su energía potencial. (Recuerda que eso precisamente es lo que indica el signo menos de la definición

BACampo.Conserv.F,BA EpEpEpW −=∆−=→ )

Como Ep=m.V y teniendo en cuenta que las masas siempre son positivas (cosa que no ocurre con las cargas) es obvio que Ep1>Ep2>Ep3 y en consecuencia las masas se mueven siempre de forma espontáneamente hacia potenciales decrecientes. En este caso hacia V3. Si se tratara de una carga, como Ep=q.V resulta que si la carga es positiva se movería hacia potenciales decrecientes, pero si fuese una carga negativa se movería hacia donde aumente el potencial. Ahora que sabemos hacia donde se moverá la masa podremos dibujar el vector campo g

r pero no podríamos si

solamente conociéramos el potencial en un punto. Ejemplo: Entre dos puntos A y B de un campo eléctrico existe una diferencia de potencial de 100 voltios. ¿Qué trabajo realiza el campo para llevar una carga positiva de 2µC desde A hasta B? Al tratarse de un campo eléctrico, la característica del campo es la carga eléctrica, por tanto podemos poner que:

( )BAcampo,BA VVqW −=→

sustituyendo

Julios102100102W 46campo,BA

−−→ ⋅=⋅⋅=

Como puede verse el Potencial se mide en Julios/Coulombio que recibe el nombre especial de Voltio. De manera análoga el Potencial gravitatorio se mide en Julios/Kg que no tiene un nombre especial. Si en lugar de preguntarnos por el trabajo del campo, nos hubiesen preguntado ¿qué trabajo hacemos nosotros para llevar la carga de 2µC desde A hasta B? La respuesta, obviamente, sería –2.10−4J

LEYES DE KEPLER 1. Los planetas describen órbitas elípticas planas, en uno de cuyos focos está el sol. Esta ley resulta evidente si tenemos en cuenta que las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales y que, por tanto, se conserva el momento angular. Al ser constante el momento

angular vmrLrrr

∧= (tanto en módulo como en dirección) el plano formado por los vectores r

r y v

vtambién debe permanecer constante.

2. El radio vector que une el sol con uno de los planetas barre áreas iguales en tiempos iguales. Dicho de otra forma, la velocidad con la que el vector de posición del planeta respecto al sol barre áreas es constante.

En la figura hemos representado el área barrida por el vector de posición en el tiempo t∆ . Como recordarás, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman, y obviamente la mitad al triángulo. Y teniendo en cuenta que la velocidad es dt/rdv

rr =

dtLm2

1dt vmr

m2

1dt vr

2

1rdr

2

1dA

rrsrrrr =∧=∧=∧=

.cteLm2

1

dt

dA ==r

3. Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de la distancia media de los planetas al sol: T2 = kR3

La demostración de la tercera ley es consecuencia de la ley de gravitación universal de Newton. Que el planeta se mantenga en órbita supone, desde el punto de vista de un observador no inercial, que el peso del satélite se compense con la fuerza centrífuga:

FcPeso= ⇒ r

vm

r

mMG

2

2=⋅

Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y angular del planeta es

rv ⋅ω= y que T/2π=ω

22

222

2

2r

T

4 r

r

vm

r

mMG

π=ω==⋅

despejando el periodo:

32

2 r GM

4T

π=

32 rkT ⋅=

Como puede verse todo lo que engloba el círculo son constantes (no aparece la masa del planeta) y el resultado de la operación, lógicamente, corresponde a una constante

SATÉLITES: VELOCIDAD ORBITAL Y VELOCIDAD DE ESCAPE Velocidad orbital: Para que un satélite de masa m orbite a una distancia r alrededor de la tierra, desde el punto de vista de un observador no inercial, es preciso que la fuerza peso con que lo atrae la tierra sea igual a la fuerza centrífuga:

FcFgrav=

r

vm

r

mMG

2

2=⋅

r

GMvorbital =

Órbita geoestacionaria: Como vemos la velocidad orbital del satélite no depende de su masa, solamente depende del radio de la órbita y viceversa. Por tato, habrá un radio para el que el satélite tenga la misma velocidad angular que la Tierra (a esa órbita se le llama geoestacionaria)

Los satélites geoestacionarios, como los de comunicaciones, son los que se encuentran en todo momento sobre el mismo punto, dicho de otra forman giran con la misma velocidad angular que la tierra (ω=2π/1día). Su órbita, además, debe estar en el plano del ecuador.

Simplemente se trata de poner el radio de la órbita en función del periodo, “que debe ser 1 día”, para gire con la misma velocidad angular de la tierra. Para un SRNI, la fuerza de atracción gravitatoria debe compensarse por la centrífuga, así que: (es como deducir la tercera ley de Kepler, pero ahora despejamos el radio)

22

222

2

2r

T

4 r

r

vm

r

mMG

π=ω==⋅

despejando el radio de la órbita, y sustituyendo T=1día:

Km422594

)3600*24(1098,51067,6

4

TGMr 3

2

22411

32

2

=π

⋅⋅⋅⋅=π⋅=

−

La energía total del satélite cuando está en su órbita a una distancia r del centro de la tierra será suma de cinética y potencial, es decir:

EpEcE +=

⋅−+=r

mMGm

2

1E 2

orbv

⋅−+

=

r

mMG

r

GMm

2

1E

2

r

mMG

2

1E

⋅−=

• Mientras el satélite permanezca en esa órbita no consume energía, porque se

desplaza por una superficie equipotencial. Recuerda que:

)VV (mW BAcampo,BA −=→ Si VA=VB ⇒ W=0

además en el caso del campo gravitatorio resulta obvio, ya que la fuerza gravitatoria y el vector desplazamiento por una superficie equipotencial (que son esferas concéntricas) forman ángulo de 90º y su coseno es 0

• El signo menos de la energía total del satélite indica que se trata de un sistema

ligado a la tierra, es decir que por sí mismo nunca se podría escapar de la atracción terrestre. Para escapar debería tener energía positiva o como mínimo nula.

La energía necesaria para poner un satélite en órbita: Esta energía es positiva porque debemos hacerla nosotros. Supongamos que inicialmente el satélite está en reposo sobre el suelo. Para que empiece a subir tenemos que ejercer un trabajo sobre él (WF.NoConserv) y en consecuencia no se conserva la energía mecánica, por tanto:


BBtNoConserva.F

BAsuelosuelo EpEcWEpEc +=++ →

r

mMGvm

2

1W

R

mMG 2

orbitaltNoConserva.F

BAT

⋅−=+⋅− →

T

2

tNoConserva.FBA R

mMG

r

mMG

r

GMm

2

1W

⋅+⋅−

=→

−=→ rR2

Rr2GMmW

T

T

tNoConserva.FBA

Ese trabajo se lo comunicamos en forma de energía cinética: WF.NoConserv. = 2

o21 mv

Por eso solemos decir: “se lanza un cuerpo con una velocidad inicial vo …”. Si balanceamos entre cuando el satélite está en el suelo y ya le hemos comunicado esa energía y cuando está arriba orbitando, ahora ya sí que se conserva la energía mecánica, puesto que ahora la única fuerza es la gravitatoria, que es conservativa: 0EpEc =∆+∆

BBsuelosuelo EpEcEpEc +=+ donde tNoConserva.F

BA2osuelo Wmv

2

1Ec →==

Como ves, ambos razonamientos son idénticos aunque parezcan distintos. La velocidad de escape de un cuerpo que es lanzado desde la superficie de la tierra es aquella que permite que el cuerpo escape de la atracción terrestre y ello requiere que su energía total sea positiva o nula como mínimo. En efecto, ya que como sabemos, cuando lanzamos un cuerpo desde la superficie de la tierra, la atracción gravitatoria hace que su velocidad vaya disminuyendo conforme se aleja a la vez que se va transformando en potencial.

• Si queremos que el cuerpo escape completamente debemos comunicarle una energía cinética de manera que no se detenga hasta llegar al infinito.

• Y en el infinito su energía mecánica sería cero porque llega con velocidad cero y porque allí su Ep=0, ya que es inversa a la distancia, así que como la energía mecánica en el lanzamiento debe ser igual a la que tiene en el infinito:

∞∞ +=+ EpEcEpEc tierratierra

∞⋅−+=

⋅−+= ∞mM

Gvm2

1

R

mMGvm

2

1E 22

escape

de donde:

R

GM2vescape=

• Si el cuerpo estuviera a una altura h la velocidad de escape, sería rGM2

escapev =

donde r=R+h

• Como puedes ver comparando la velocidad orbital y la velocidad de escape:

orbitalescape v2v ⋅=

Ejemplo: Imagina un planeta que tuviese una masa igual a 3.1015 Kg y un radio de 1000 Km. Calcula: a) La energía potencial, cinética y total de un satélite de 500 Kg cuando está en la superficie de ese planeta a punto de lanzarse al espacio. b) La energía potencial, cinética y total del satélite cuando esté orbitando a 250 Km sobre la superficie del planeta. c) Qué energía hemos debido aportar al satélite para ponerlo en esa órbita. d) Velocidad para que escape de la atracción del campo gravitatorio e) La energía adicional que hemos de aportarle para que escape del campo gravitatorio Datos: G=6,67.10−11 N m2 Kg−2

a) Cuando está en reposo sobre la superficie del planeta solamente tiene energía potencial, que además es donde tiene el valor más pequeño (el máximo negativo).

Julios 1001000000

5001031067,6

R

mMGEp

1511

SupPlaneta −=⋅⋅⋅−=⋅−= −

0vm2

1Ec 2

SupPlaneta ==

Julios 100EpEcE

Órbita−=+=

b) Cuando el satélite está a una altura h sobre la superficie del planeta tiene una energía potencial (que es independiente de si está girando o no):

Julios 802500001000000

5001031067,6

r

mMGEp

1511

SupOrbita −=+

⋅⋅⋅−=⋅−= −

fíjate que la energía potencial a una altura h es mayor que la que tenía en la superficie de la tierra. Es un número negativo que va creciendo con la altura hasta alcanzar su valor máximo igual a cero en el infinito. Si subimos el satélite hasta esa altura y no hacemos nada más el satélite nos caería encima exactamente igual que cuando se lanza una piedra hacia arriba. Si pretendemos que el satélite orbite ahora debemos comunicarle una velocidad tangencialmente (igual a la velocidad orbital) de forma que (desde el punto de vista de un observador no inercial) la fuerza centrífuga compense el peso de satélite:

FcFgrav= ⇒ r

vm

r

mMG

2

2=⋅

⇒ s/m 4,02500001000000

1031067,6

r

GMv

1511

orbital =+

⋅⋅⋅==−

La energía cinética que tendrá en la órbita es:

s/m 40r

mMG

2

1

r

GMm

2

1vm

2

1Ec

2

2Órbita

=⋅=

==

Julios 408040EpEcE

Órbita−=−+=+=

Observa la relación que guardan las distintas energías entre sí. Precisamente se han escogido estos valores para obtener números sencillos que ayuden a ver claramente esas relaciones que son las mismas con independencia de los datos. c) La energía que hemos de aportarle para ponerlo en órbita es:

1. la energía necesaria para subirlo hasta la altura h, que será igual a la variación de energía potencial Julios 20)100(80WEp

tNoConserva.FBA =−−−==∆ → . Como ya

indicamos, ese trabajo que hemos de hacer es el mismo que si subimos una piedra hasta un tejado, con la única diferencia de que al ser h muy grande la gravedad no puede considerarse constante y no podemos utilizar la expresión particular mghEp =∆ sino que hemos utilizado su expresión general.

2. la energía necesaria para que orbite con la velocidad orbital, es decir 40 Julios Por tanto la energía necesaria para ponerlo en órbita será 60 Julios.

A la misma conclusión se llegaría aplicando el principio de conservación de la energía entre la superficie del planeta y la órbita:

tNoConserva.FBAWEcEp →=∆+∆

)EcEc()EpEp(W Planeta.SupÓrbitaPlaneta.SupÓrbitatNoConserva.F

BA −+−=→

J 60)040 ()) 100(80(WtNoConserva.F

BA +=−+−−−=→

d) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicarle para mandarlo al infinito con velocidad cero y donde la energía potencial también es cero y por tanto la energía total en el infinito es cero. Fíjate que conforme sube su velocidad disminuye y también su energía cinética hasta hacerse nula, mientras que la potencial va aumentando (se hace un número negativo cada vez menor) hasta llegar a su valor máximo igual a cero.

0r

mMGvm

2

1EpEc 2

escapeBB =⋅−=+

s/m 566,02500001000000

1031067,62

r

GM2v

1511

escape =+

⋅⋅⋅⋅==−

e) La energía necesaria para que escape del campo gravitatorio es la energía para mandarlo hasta el infinito, donde la Ec=0 y la Ep=0, así que aplicando la conservación de la energía entre el punto B y el infinito:

tNoConserva.FbWEcEp ∞→=∆+∆

)EcEc()EpEp(W ÓrbitaÓrbitatNoConserva.F

BA −+−= ∞∞→

J 40)400 ()) 80(0(WtNoConserva.F

BA +=−+−−=→

fíjate que

• la energía para mandar el satélite al infinito coincide con la energía total que tiene, pero cambiada de signo.

• la energía para mandarlo al infinito no es la energía cinética que corresponde a la velocidad de escape, (esta sería ½.500.0,5662=80J). Esta energía sería la necesaria para que escapase si estuviese parado a esa altura (Ep=−80J), pero es que como está orbitando además de la potencial tiene una energía cinética adicional de +40J, por eso solamente hemos de aportar 80J−40J que ya tiene = 40J

• el resultado está de acuerdo con lo que habría sido necesario para mandarlo al infinito desde la superficie de la tierra. Allí tenía una energía total de −100 J, así que el trabajo necesario para mandarlo al infinito sería de +100J. En el caso que nos ocupa hemos invertido +60J en ponerlo a orbitar y luego +40J en mandarlo al infinito, en total +100J.

Ejemplo: Un satélite de 100Kg de masa describe una orbita circular a 200Km de la superficie terrestre. a) Energía potencial del satélite cuando está en la superficie de la tierra. b) Calcular su velocidad orbital b) Energía potencial, cinética y total del satélite c) ¿Qué le pasaría al radio de la órbita si por efecto del rozamiento el satélite va perdiendo energía? Y en particular ¿Qué le ocurriría a su velocidad angular? d) Periodo e) Energía necesaria para ponerlo en órbita f) Velocidad necesaria para que escape del campo gravitatorio g) Energía necesaria para que escape del campo gravitatorio. Datos: MT=5,98.1024Kg RT=6370Km G=6,67.10−11 N m2 Kg−2

a) Julios1026,66370000

1001098,51067,6

r

mMGEp 9

2411

Tierra.Sup ⋅−=⋅⋅⋅−=⋅−= −

b) Para un observador situado en el satélite, éste estará sometido a dos fuerzas en la misma dirección y sentido contrario: El peso y la F.centrífuga, y ambas deben ser iguales para que se mantenga en órbita.

hRr Tierra +=

FcFgrav= ⇒ r

vm

r

mMG

2

2=⋅

de donde:

s/m77922000006370000

1098,51067,6

hR

GM

r

GMv

2411

orbital =+

⋅⋅⋅=+

==−

b) La energía potencial, cinética y total serían:

Julios1007,62000006370000

1001098,51067,6

r

mMGEp 9

2411

Órbita⋅−=

+⋅⋅⋅−=⋅−= −

s/m1004,3r

mMG

2

1

r

GMm

2

1vm

2

1Ec 9

2

2Órbita

⋅=⋅=

==

Julios1004,3)1007,6(1004,3EpEcE 999

Órbita⋅−=⋅−+⋅=+=

O bien

Julios1004,3r

mMG

2

1

r

mMGm

2

1E 92

Órbita ⋅−=⋅−=

⋅−+= v

c) Teniendo en cuenta que la energía total es r

mMG

2

1E

⋅−= resulta que, puesto que es

negativa, disminuirá siempre que aumente en valor absoluto, es decir cuando disminuya el radio. Así pues, cuando por efecto del rozamiento pierda energía comenzará a describir una espiral de radio cada vez menor hasta caer en la tierra, o lo que es igual, la altura h cada vez será menor y como:

hR

GMvorbital +

=

al disminuir h, su velocidad lineal aumentará, y lo mismo le sucederá a la velocidad angular, ya que:

3)hR(

GM

r

v

+==ω

al disminuir h, la velocidad angular aumenta con mayor rapidez que la lineal. d) El periodo

22

22

2

2r

T

4)r (

r

vm

r

mMG

π=ω==⋅ ⇒ seg5298

1098,51067,6

)6570000(4

GM

r4T

2411

3232

=⋅⋅⋅

π=π= −

o bien teniendo en cuenta que:

T

2

r

π==ω v ⇒ seg5298

779265700002

vr 2

T =⋅π⋅=π=

e) La energía que hemos de comunicarle nosotros para ponerlo en órbita será la necesaria para subirlo hasta esa altura (∆Ep) más la energía cinética que luego hay que comunicarle tangencialmente para que comience a orbitar. Aplicando el principio de conservación de la energía entre la superficie de la tierra y la órbita:

tNoConserva.FBAWEcEp →=∆+∆

)EcEc()EpEp(W Tierra.SupÓrbitaTierra.SupÓrbitatNoConserva.F

BA −+−=→

J 1023,3)01004,3 ()) 1026,6(1007,6(W 9999

tNoConserva.FBA ⋅+=−⋅+⋅−−⋅−=→

f) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicarle para mandarlo al infinito, donde la energía es cero, así que:

0r

mMGvm

2

1EpEc 2

escapeAA =⋅−=+

s/m110192000006370000

1098,51067,62

r

GM2v

2411

escape =+

⋅⋅⋅⋅==−

FORMAS DE LA TRAYECTORIA DEL LANZAMIENTO DE UN COHE TE En primer lugar vamos a recordar que:

• La energía potencial gravitatoria siempre es negativa y que va aumentando conforme nos alejamos de la superficie de la tierra (donde tiene su máximo negativo) hasta llegar a cero en el infinito.

• La energía cinética por el contrario siempre es positiva, aunque si lanzamos un cuerpo hacia arriba ira disminuyendo hasta llegar a cero.

• La energía mecánica total, que es la suma de la cinética y de la potencial, podrá por lo tanto ser negativa, cero o positiva.

Energía mecánica negativa: Si la energía mecánica es negativa decimos que el cuerpo está ligado a la gravedad terrestre y que por tanto no puede escapar de su campo. Pueden ocurrir: A) Si la velocidad es menor que la de escape “y tiene la dirección del peso” sería como

tirar una piedra verticalmente hacia arriba: subirá hasta una determinada altura (más o menos grande dependiendo del valor de la velocidad inicial) y volverá a caer al suelo.

0EpEcEcEp arribaarriba

comunicadoquelehemosTierra.Superf <+=+

Como ∆Ec+∆Ep=0 → mientras sube, la disminución de ∆Ec conlleva un aumento de la ∆Ep y al contrario mientras baja.

B) Si la velocidad con que lo lancemos “tiene componente vertical y horizontal” el

cuerpo subirá hasta la altura h (la componente vertical de la velocidad es quien le hace subir) y allí pueden pasar tres cosas:

b1. Que la componente tangencial de la velocidad sea igual a la que debe tener para

orbitar a esa altura a la que ha llegado r/GMvorbital = . En ese caso, una vez arriba, describirá una órbita circular alrededor de la tierra y su energía como hemos deducido valdrá:

r

mMG

2

1E

⋅−=

b2. Que la componente tangencial de la velocidad < vorbital. Entonces volvería a la superficie terrestre, como ocurre cuando lanzamos una piedra o un proyectil a poca velocidad. b3. Que la componente tangencial de la velocidad > vorbital (pero más pequeña que la de escape) entonces el cuerpo seguirá ligado al campo gravitatorio, pero describirá una órbita elíptica en lugar de circular.

Energía mecánica cero : Si la energía mecánica es cero (Ec+Ep=0), entonces el satélite tendrá la energía mínima para escapar del campo, y lo haría siguiendo una trayectoria

parabólica. A la velocidad necesaria se le llama velocidad de escape: r/GM2vescape=

Energía mecánica positiva: Es decir, si le comunicamos una velocidad tal que Ec>Ep entonces, por supuesto escapará del campo gravitatorio, pero lo haría siguiendo una trayectoria hiperbólica. Además como puede suponerse llegaría al infinito con una velocidad>0. E6B.S2008 a) Explique qué se entiende por velocidad de escape de la Tierra y deduzca razonadamente su expresión. b) Suponiendo que la velocidad de lanzamiento de un cohete es inferior a la de escape, explique las características del movimiento del cohete y realice un balance de energías. EJEMPLO: a) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre. Calcula la velocidad inicial que hemos de comunicarle para que llegue a una distancia r del centro de la tierra. Particularice la expresión de la velocidad inicial para puntos próximos a la superficie terrestre. b) Comente los cambios energéticos que tienen lugar durante el ascenso del objeto considerando despreciable el rozamiento. c) Calcule la velocidad orbital para que gire en una órbita r d) Se lanza hacia arriba un objeto desde la superficie terrestre. Calcula la velocidad inicial que hemos de comunicarle para que llegue a una distancia r del centro de la tierra y orbite. e) Calcular la velocidad de escape del objeto si lo lanzamos desde la superficie de la tierra. ¿ y si lo lanzáramos desde la órbita de radio r?

DATOS: G, MT, RT, m = masa del objeto a) Cuando a un cuerpo le comunicamos (por algún procedimiento) una energía cinética estamos aumentando su energía mecánica y puesto que la fuerza gravitatoria es conservativa podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Teniendo en cuenta que si se lanza verticalmente hacia arriba irá subiendo hasta pararse, poner que:

PPtierratierra EpEcEpEc +=+

⋅−+=

⋅−+

r

mMGvm

2

1

R

mMGvm

2

1 T2P

T

T20

de donde:

⋅=

⋅−

=

−=

rR

hGM2

rR

RrGM2

r

1

R

1GM2v

TT

T

TT

TT0

Particularización para puntos próximos a la superficie terrestre: Teniendo en cuenta que en tal caso las distancias entre las masas RT y r son prácticamente iguales, y que la gravedad es g = GMT/R2 podemos poner:

h g 2R

hGM2v

2T

T0 =

=

En realidad este ejercicio es igual al que hemos resuelto en cursos anteriores (aunque utilizando la expresión de Ep válida para puntos próximos): “Calcular la altura que alcanza un cuerpo cuando se le comunica verticalmente y hacia arriba una inicial vo”. En tal caso lo que hacíamos era aplicar, exactamente igual, la conservación de la energía mecánica, pero asignábamos nivel cero de Ep en la superficie de la tierra y la expresión mgh para la Ep a una altura h: (sería igual si asignamos EpA=mghA y a EpB=mghB ya que en tal caso mg(hB– hA) =mgh )


BA20 h g m0h g mvm

2

1 +=+ → h g 2v0 =

b) De acuerdo al principio de conservación de la energía mecánica, 0=∆+∆ EpEc , como el incremento de energía cinética es negativo (puesto que al subir va disminuyendo su velocidad), la energía potencial debe incrementarse en el mismo valor pero positivamente. c ) Teniendo en cuenta que para un observador no inercial que se mueva con la masa m la fuerza resultante sobre ella es nula:

cgrav FF = → r

vm

r

mMG

2

2T =

⋅ →

r

GMv T

orbital =

d) d1.Este caso es parecido al apartado a) con una diferencia: que una vez que llegue a la distancia r no puede tener velocidad nula, sino precisamente una velocidad igual a la velocidad orbital y además esa velocidad debe ser tangencial (ya que si tuviese componente vertical seguiría subiendo). (En realidad no se hace así, sino que primero se

sube el satélite hasta la altura a que debe orbitar y una vez allí se le comunica horizontalmente una velocidad igual a la orbital.)


⋅−+=

⋅−+

r

mMGvm

2

1

R

mMGvm

2

1 T2P

T

T20

sustituyendo vp por la velocidad orbital:

⋅−+

=

⋅−+

r

mMG

r

GMm

2

1

R

mMGvm

2

1 T

2

T

T

T20

de donde

−=

r R

Rr2GMv

T

TT0

d2. podríamos haber hecho otro razonamiento (aunque en el fondo es exactamente lo mismo). Se trataría de calcular la diferencia de energía mecánica que tiene la masa m cuando está en la órbita r y cuando está parada sobre la superficie de la tierra. Esa diferencia de energía es la que hemos de comunicarle en forma de energía cinética:

TAAA R

mMGEpEcE

⋅−=+=

r2

mMG

r

mMG

r

GMm

2

1EpEcE

2

BBB

⋅−=

⋅−+

=+=

La diferencia de energía de cuando está orbitando con radio r y cuando estaba en reposo en la superficie de la tierra es EB–EA=WF.No.Conserv =GMm(2r–R/2Rr) Teniendo en cuenta que ese trabajo que le comunicamos lo debe adquirir en forma de energía cinética, tenemos que:

20

T

T vm2

1

rR2

Rr2GMm =

− →

−=

r R

Rr2GMv

T

TT0

En realidad hay una diferencia entre ambos razonamientos. En el primer caso se parte de que el cuerpo está sobre la superficie de la tierra, pero ya se le ha comunicado la energía suficiente y por eso ahora ya todas las fuerzas son conservativas, entonces: 0=∆+∆ EpEc

En el segundo caso se parte de un momento anterior, es decir cuando el cuerpo aun está en reposo sobre la tierra, y por tanto para que comience a subir necesita que se le comunique una energía, entonces:


d3. Para aclarar los conceptos y enlazar con lo que aprendimos en los tiros de proyectiles, fíjate que la velocidad inicial del cuerpo debe formar un cierto ángulo, teniendo dos componentes: La componente X de la velocidad inicial debe coincidir con la velocidad orbital. (ya que durante todo el movimiento es la misma y por tanto debe ser igual a la que tiene en el punto más alto)

r

GMvv T

orbitalx0 ==

La componente Y de la velocidad inicial, que tampoco depende del tiempo, es igual a la que requiere para elevarse hasta una distancia r del centro de la tierra y ya hemos calculado antes.

⋅−

=rR

RrGM2v

T

TTy0

El módulo de la velocidad inicial será, por tanto:

−=

⋅−+=+=

r R

Rr2GM

rR

RrGM2

r

GMvvv

T

TT

T

TT

T20y

20x

No confundas la componente Y de la velocidad inicial con la componente Y del vector velocidad total. Esta sí que depende del tiempo, ya que este es suma de la velocidad inicial y de la debida a la gravedad sería:

j t g rTR

TRrTGM2i

r

TGMv

rrr

−

⋅

−+= donde

2r

MGg =

La componente Y de la velocidad inicial depende del tiempo, ya que es la suma de la componente Y de la velocidad inicial (que es constante e igual a la que requiere para elevarse hasta una distancia r del centro de la tierra) y de la debida a la gravedad (que depende del tiempo). e) La velocidad de escape es aquella que permite que el cuerpo escape de la atracción terrestre y ello requiere que su energía total sea positiva o nula como mínimo. Si queremos que el cuerpo escape completamente debemos comunicarle una energía cinética de manera que no se detenga hasta llegar al infinito, donde su energía mecánica sería cero porque llega con velocidad cero y porque allí su Ep=0, ya que es inversa a la distancia. Por tanto, como la energía mecánica en el lanzamiento debe ser igual a la que tiene en el infinito:

∞∞ +=+ EpEcEpEc tierratierra

∞⋅−+=

⋅−+= ∞mM

Gvm2

1

R

mMGvm

2

1E 22

escape

de donde:

R

GM2vescape=

Si el cuerpo estuviera a una altura h la velocidad de escape, sería rGM2

escapev = donde r=R+h

Como puedes ver comparando la velocidad orbital y la velocidad de escape: orbitalescape v2v ⋅=

Ejemplo: ¿Con qué velocidad habría que lanzar desde la superficie de la tierra una nave para que llegue a la luna? Datos: MT=5,98.1024Kg ML=7,35.1022Kg dT−L=3,84.108m

Esto es casi igual si que nos pidieran la velocidad con que hay que lanzar una piedra para que llegue al tejado. La pequeña diferencia es que, en este caso, solo tenemos que llevar el cuerpo hasta una distancia x donde el campo gravitatorio y el lunar se

igualan y luego ya será la luna la que tire del cuerpo y lo lleve hasta su superficie. El punto Po donde la gravedad terrestre y lunar se igualan, es decir gT=gL :

2

L2T

)xd(

MG

x

MG

−= → x=3,45.108m

Y ahora simplemente, aplicamos la conservación de la energía mecánica entre la superficie de la tierra y ese punto Po donde la gravedad es cero, que es donde hay que llevar al cuerpo.

0P0Ptierratierra EpEcEpEc +=+

⋅−+=

⋅−+

x

mMGmv

2

1

R

mMGmv

2

1 T2Po

T2

s/m1011,1x

1

R

1GM2v 4

TT ⋅=

−=

La intensidad de campo puede ser nula en el infinito o, como hemos visto en este caso, en un punto entre la tierra y la luna donde la gravedad terrestre se compense con la gravedad lunar. No obstante, habrás visto la ingravidez aparente de los astronautas en un satélite en órbita. Se explica sencillamente porque la aceleración del satélite es igual a la aceleración de la gravedad.

Para un observador inercial r

vag

2

normal =≡ y para un observador no inercial

r

vag

2

centrífuga ==

Sería exactamente igual que si vamos en un ascensor y se rompe la cuerda. La aceleración con que nos moveríamos sería igual a la de la gravedad, con lo que, respecto de la cabina del ascensor, tendríamos aceleración cero y la sensación de ingravidez. Si en tal situación soltamos un objeto nos daría la impresión de que no cae porque siempre guardaría la misma posición respecto a nosotros, sin embargo respecto de un SRI, realmente ambos estamos cayendo con una aceleración igual a la de la gravedad.

AMPLIACIÓN CIRCULACIÓN DE UN VECTOR A LO LARGO DE UN CAMINO C El concepto de circulación se introdujo primero en hidrodinámica para saber si un fluido circulaba, es decir si hay un movimiento neto del mismo a través de un camino o conducción. De la misma forma se puede aplicar al vector Intensidad de campo, aunque en este caso realmente no hay nada que circule. Imagina un camino cualquiera, abierto o cerrado.

Tomemos un elemento de camino rdr

entonces la circulación del vector Ir

a lo largo del mismo se define como el producto escalar de la intensidad de campo por el vector desplazamiento:

rdIdCrr

•=

dC = Circulación a lo largo del elemento de camino dr

Ir

= Intensidad de campo rdr

= vector desplazamiento que ya conocemos (vector tangente al camino):

kdzjdyidxrdrrrr

++=

α = ángulo que forman la Intensidad de campo y el vector desplazamiento Si dividimos el camino a seguir en elementos rd

r y evaluamos para cada uno el

diferencial de circulación y los sumamos todos, tendremos la circulación total del vector

Ir

entre los puntos A y B a lo largo del camino c. Esto se expresa con la integral de línea siguiente:

∫∫ ⋅α⋅=•=→

B

c,A

B

c,A

c,BA drcosIrdICrr

Se lee: la circulación entre los puntos A y B a lo largo del camino c Si la circulación fuese a lo largo de un camino cerrado, es decir desde el punto A al B y luego desde el B al A, tendríamos:

∫∫∫ •=•+•= rdIrdIrdICA

2c,B

B

1c,A

rrrrrr

La integral con el circulito indica que el camino es cerrado.

El concepto de circulación que se ha definido es aplicable a cualquier vector:

• La circulación del vector fuerza entre los puntos A y B a lo largo de un camino c no es más que el trabajo realizado por la fuerza para llevar al cuerpo desde el punto A al B por ese camino. (Ya recordarás cuando definimos el trabajo, que dijimos que en general depende del camino seguido. No obstante si la fuerza es conservativa no sería necesario especificar el camino porque no depende de él.)

c,BA

B

c,A

c,BA WrdFC →→ =•= ∫rr

• La circulación del vector intensidad de campo entre los puntos A y B es igual a la menos la diferencia de potencial entre esos puntos. (En este caso nos da igual el camino seguido porque la diferencia de potencial entre dos puntos solo depende de la posición de los puntos.)

−−

−=•−=−=•= ∫∫→

BA

B

A

r2BA

B

A

BA r

MG

r

MGrdu

r

MGVVrdgC

rrrr

Ejemplo:

Calcular el trabajo realizado por la fuerza jxiyx3F 2rrr

+= cuando lleve a una partícula desde la posición A(0,0) hasta la B(1,2) a través de los caminos: a) de la recta x2y =

b) de la parábola 2x2y = Nos dice que calculemos el trabajo, pero sería exactamente igual si nos hubiesen dicho que calculemos la circulación del vector fuerza entre esos puntos y por esos caminos, ya que como sabemos es la misma cosa.

∫∫ +•+=•=→

B

1c,A

2B

1c,A

1c,BA )jdyidx()jxiyx3(rdFWrrrrrr

)dyxdxyx3(WB

1c,A

21c,BA ∫ ⋅+⋅=→

La integral podemos descomponerla en dos integrales, una donde, como puedes ver, se integra respecto a x y la otra donde se integra respecto a y.

∫ ∫ ⋅+⋅=→

B

1c,A

B

1c,A

21c,BA dyxdxyx3W

a) Hasta aquí es lo mismo sigas la trayectoria que sigas, porque solamente hemos sustituido F por su valor y realizado el producto escalar. fíjate que, por ejemplo, en la primera integral se integra respecto de x, pero la y no es una constante porque depende de x, así que antes de realizar la integral debemos poner todo en función de una sola variable y para eso es para lo que necesitamos la ecuación de la trayectoria, así que como:

camino c1: x2y =

• sustituyendo, la primera integral nos quedaría como: dxx2x3 2 ⋅⋅∫ y los límites

de integración, como integramos respecto de x, serían xA y xB, es decir entre 0 y 1

• en la segunda integral debemos hacer lo mismo, poner todo en función de una

sola variable. Así que, si despejamos la x y sustituimos, nos quedaría: ∫ ⋅ dy2/y

pero también si derivamos la ecuación de la trayectoria tendremos que dx2dy = , así que también podríamos optar por poner la segunda integral de la

forma: dx2x∫ ⋅ . Da igual tomar una u otra aunque claro, según optemos, los

límites de integración serían desde yA a yB o desde xA a xB .

∫ ∫=

=

=

=→ ⋅+⋅=

1x

0x

1x

0x

21c,BA dx2xdxx2x3W

[ ] Julios50,2x4

x6W

1

02

1

0

4

1c,BA =+

=→

b) El trabajo para llevar la partícula a lo largo del camino c2 se hace exactamente igual, con la única diferencia de que ahora la relación entre las variables x e y es distinta, porque viene dada por la ecuación del camino:

camino c2: 2x2y =

• Sustituyendo la ecuación de la trayectoria en la primera integral, nos quedaría

dxx2x3 22 ⋅⋅∫ y los límites de integración, como integramos respecto de x,

serían xA y xB, es decir entre 0 y 1 • Teniendo en cuenta que si derivamos la ecuación de la nueva trayectoria

( 2xy = ) obtendremos dxx4dy ⋅= si sustituimos en la segunda integral nos

quedará ∫ ⋅⋅ dxx4x y los límites de integración, como también integramos

respecto de x, serían xA y xB, es decir entre 0 y 1

∫ ∫=

=

=

=→ ⋅⋅+⋅=

1x

0x

1x

0x

222c,BA dxx4xdxx2x3W

Julios53,23

x4

5

5x6W

1

0

31

02c,BA =

+

=→

Como puede verse, en general, el trabajo depende de la trayectoria seguida. Por el contrario, si solo dependiera de la posición de los puntos A y B diríamos que la fuerza es conservativa.

FLUJO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE El concepto de flujo se introdujo en hidrodinámica para expresar el flujo neto de fluido a través de la superficie. En un campo vectorial se aplica el concepto de flujo de manera análoga para indicar el número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie, aunque está claro que como las líneas de campo son imaginarias, en realidad a través de la superficie no fluye nada. Sea una superficie cualquiera, abierta o cerrada, si tomamos un elemento diferencial de superficie dS, el flujo (φ) de la Intensidad de campo a través de ella se define como el producto escalar del vector Intensidad de campo por vector de superficie:

SdIdrr

•=φ dφ = Flujo a través del elemento dS

Ir

= Intensidad de campo que lo atraviesa

Sdr

= vector perpendicular a la superficie y de módulo igual al área del elemento α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la normal a la superficie

Si dividimos la superficie S en elementos infinitesimales dS y calculamos para cada uno la diferencial de flujo y las sumamos todas tendremos el flujo total a través de toda la superficie, lo que se expresa como la integral de superficie:

∫ •=φS

SdIrr

No tienes que preocuparte por la aparición de una integral de superficie, porque en todos los casos que se van a plantear se resolverá sin tener que recurrir a cálculos complejos. Por ejemplo:

A) Si el campo es constante y perpendicular a la superficie, Sdr

, es decir que I=cte y α=0º nos quedaría que:

SIdSIº0cosdSISdISSS

⋅==⋅⋅=•=φ ∫∫∫rr

B) Si el campo es constante y paralelo a la superficie, es decir α=90º , entonces, como el producto escalar es nulo:

0=φ C) Si el campo es constante y forma un ángulo α con la perpendicular a la superficie:

α⋅⋅=φ cosSI

Ejemplo: Un cilindro está en un campo eléctrico uniforme E

r como se indica en la figura.

¿Cuánto vale el flujo a través del cilindro?

Vamos a calcular el flujo a través de la pared lateral, luego de la cara anterior y luego de la posterior. Sumando tendremos el flujo total a través de toda la superficie del cilindro El flujo φ1 a través de la pared lateral es cero, porque el campo y el vector superficie forman 90º y su coseno es nulo:

0º90cosSEcosSE1 =⋅⋅=α⋅⋅=φ

El Flujo φ2 a través de la cara anterior es:

2

2 REº0cosSEcosSE π⋅=⋅⋅=α⋅⋅=φ

siendo R el radio del cilindro El flujo φ3 a través de la cara de atrás es:

23 REº180cosSEcosSE π⋅−=⋅⋅=α⋅⋅=φ

El flujo total se obtiene sumando:

0321 =φ+φ+φ=φ

Más adelante estudiemos el teorema de Gauss, según éste, el flujo total a través de una superficie cerrada es nulo si no encierra cargas en su interior (o masas en el caso del campo gravitatorio).

Ejemplo: Una espira cuadrada de 4cm de lado se encuentra en un campo magnético de 2Weber/m2. Calcular el flujo que atraviesa a la espira: a) Cuando está perpendicular al campo b) Cuando está paralela al campo c) Cuando forma un ángulo de 60º con la dirección del campo d) Cuando gira con una velocidad angular ω Hemos definido el flujo de forma general como el producto escalar de un vector a

través de una superficie, En este caso el vector es la inducción magnética Br

y la superficie, en realidad no es tal, puesto que una espira no es más que un hilo conductor que se cierra sobre sí, pudiendo tener forma circular, cuadrada o cualquier otra. a)

Weber102,304,02SBº0cosSB 32 −⋅=⋅=⋅=⋅⋅=φ b) Cuando la espira está paralela al campo el flujo es cero, porque en ese caso el vector superficie y el campo forman 90º y su coseno es nulo c) Cuando la espira forma un ángulo de 60º con la inducción magnética, fíjate que el ángulo que ésta forma con el vector superficie sería de 30º (no olvides que el vector superficie es perpendicular a la superficie)

Weber108,330cos04,02SBº30cosSB 32 −⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=φ

d) Cuando la espira gire con una velocidad angular ω, el ángulo α será función del tiempo, estando relacionados ambos, como sabemos por: to ⋅ω+α=α

tcosSBcosSB ω⋅⋅=α⋅⋅=φ

tcos102,3 3 ω⋅=φ −

Se trata del un flujo variable, porque depende del tiempo como puede verse. Mas adelante veremos que si un circuito (la espira en este caso) es atravesado por un flujo magnético variable, en él aparece una fuerza electromotriz inducida (e) que viene dada por:

( )tsenBS

dt

tcosSBd

dt

de ω⋅ω=ω⋅⋅−=φ−=

Precisamente en esto se basa la producción industrial de corriente alterna.

FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUP ERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS El teorema de Gauss nos permite calcular el flujo de la Intensidad de campo a través de una superficie cerrada de forma cualquiera. Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el resultado es general) y que en su interior encierra una masa m. El flujo a través de un elementode superficie sería:

Sdgdrr •=φ

El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:

Gm4r4r

mGdS

r

mGdS

r

mGdS gSdg 2

2S

2S

2SS

π−=π⋅−=−=−=−=•=φ ∫∫∫∫rr

En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias masas, el flujo total sería la suma del debido a cada una de ellas, es decir que:

∑π−=φ imG4

Es muy importante tener en cuenta que:

• Solamente contribuyen al flujo a través de la superficie cerrada las masas (o cargas en el caso del eléctrico) que se encuentren en su interior. De ello se deduce que el flujo a través de una superficie cerrada que no contiene masas (o cargas) en su interior es nulo. La consecuencia es que la líneas de campo gravitatorio son abiertas (sumideros para las masas y confluyen en un punto) con lo que entrarían en la superficie por un lado y saldrían por el otro dando resultante de flujo nula.

• El flujo a través de la superficie cerrada es independiente de la posición de las masas en su interior, ya que su expresión no depende de r.

• El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada debido a las masas que encierra en su interior siempre es negativo.

resolviendo el producto escalar y teniendo en cuenta que α=180º

dS g180cosdSgSdg −=⋅⋅=•rr

La integral de superficie es la suma de todas las superficies elementales y por tanto la superficie de la esfera 4πr2

Ejemplo: Dentro de una caja de galletas hay dos bolas iguales de masa m y fuera de ella hay otra bola también de masa m. a) Cual será el flujo del campo gravitatorio a través de la caja? b) Como se calcularía el campo en un punto P fuera de la caja? Como hemos dicho, solamente contribuyen al flujo a través de la superficie cerrada las masas en su interior y además que el flujo es independiente de la posición de las masas en el interior de la superficie:

)mm(G 4 +π−=φ Sin embargo para calcular el campo en un punto sí que habría que tener en cuenta a todas las masas, estén donde estén, y además también habrá que tener en cuenta las posiciones que ocupa cada masa respecto al punto.

Aplicando el principio de superposición, no habría más que calcular el valor del campo en el punto P debido a cada masa por separado y sumarlos vectorialmente. Ejemplo: Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo gravitatorio creado por una masa m a una distancia r. Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la masa una superficie cerrada que va a ser una esfera cuya distancia a la masa será r. Según la ley de Gauss:

∫ •=φS

Sdgrr

expresión general del flujo

Gm4π−=φ Teorema de Gauss

Como:

• El vector gr

y el vector Sdr

forman ángulo de 180º

• El módulo de g es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie esférica en todos sus puntos dista igual a la masa m.

Gm4dSgS

π−=− ∫ ⇒ m G 4r 4g 2 π−=π⋅− ⇒ 2r

mGg =

TEMA 2: VIBRACIONES Y ONDAS PARTE 1

• Movimiento periódico: Periodo • Movimiento Oscilatorio: Características • Movimiento armónico simple • Características cinemáticas del MAS • Características dinámicas del MAS • Energía del MAS

PARTE 2

• Fenómenos ondulatorios: Pulsos y ondas • Rasgos diferenciales de ondas y partículas: Deslocalización espacial, transporte

de cantidad de movimiento y energía sin transporte de materia. • Ondas longitudinales y transversales. Descripción cualitativa de los fenómenos

de polarización. • Magnitudes de una onda: Amplitud, frecuencia, periodo, longitud de onda y

número de ondas. Relación entre ellas. • Velocidad de propagación: Descripción cualitativa de su dependencia de las

propiedades del medio. • Ondas armónicas: Expresión matemática de la función de onda y descripción de

sus características. • Periodicidad espacial y temporal de las ondas: su independencia. • Velocidad y aceleración con que vibran los puntos del medio. • Magnitudes asociadas a una onda: Energía, Intensidad y Absorción

PARTE 3

• Superposición de ondas: Descripción cualitativa de los fenómenos de interferencia de dos ondas.

• Ondas estacionarias: Ondas estacionarias en resortes y cuerdas. Ecuación de una onda estacionaria y análisis de sus características. Diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras.

• Principio de Huygens • Propagación de una onda: Reflexión y refracción en la superficie de separación

de dos medios. • Difracción: Diferencias de comportamiento de la luz y del sonido en los

fenómenos cotidianos. AMPLIACIÓN

• Pulsaciones • Efecto Doppler • Ondas de choque

MOVIMIENTO PERIÓDICO Una partícula describe un movimiento periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, que llamamos periodo, repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración). Son movimientos periódicos el giro de la manecillas de un reloj, el movimiento circular uniforme, el bote elástico de una pelota, etc MOVIMIENTO OSCILATORIO. CARACTERÍSTICAS Un movimiento oscilatorio es el de una partícula que se desplaza sucesivamente de un lado a otro de un punto central, o de equilibrio, a intervalos regulares de tiempo, que llamamos periodo, y repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración). Si la trayectoria es rectilínea y el origen se encuentra en el centro se llama vibratorio. Son movimientos oscilatorios el de un muelle, un péndulo, una varilla sujeta por un extremo, una cuerda de guitarra, etc, siempre que en todos los casos se desplacen de la posición de equilibrio y se suelten. Las dos magnitudes que sirven para definir un movimiento oscilatorio son el periodo y la frecuencia:

• Se llama periodo al tiempo (T) comprendido entre dos posiciones sucesivas de las mismas características cinemáticas.

• Se llama frecuencia (ν) al número de oscilaciones que tienen lugar en la unidad de tiempo. (Se mide en seg−1 que recibe el nombre de Hercio)

• La frecuencia y el periodo son funciones inversas:

ν= 1

T

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (MAS), debido a que además de ser el de más sencilla descripción matemática, es una aproximación muy buena de muchas oscilaciones presentes en la naturaleza. El MAS :

• es un movimiento vibratorio y periódico • es rectilíneo • es acelerado, y en todo momento su aceleración es proporcional y de sentido

contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio:

xa 2ω−=

donde ω es una constante de proporcionalidad y el signo menos indica que la aceleración se opone a la deformación, es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa.

El movimiento armónico simple puede ser representado como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Imagina una lápiz sobre el plato de un tocadiscos que gira con velocidad angular constante. Si lo proyectamos sobre la pared obtendríamos un MAS.

Supongamos un punto P que describe un movimiento circular uniforme con una velocidad angular ω y gira en sentido antihorario con un radio A. Según que lo proyectemos sobre un eje u otro obtendríamos el MAS de un resorte que oscila verticalmente o el MAS de un resorte oscila horizontalmente.

Como vemos, al proyectar sobre el eje X obtenemos una función coseno y si proyectamos sobre el eje Y obtenemos una función seno. Ambos resultados son equivalentes ya que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario, así que no habría más que sumarle o restarle π/2 al ángulo inicial ϕo para que las dos funciones sean la misma. Quiere decir que )(sencos 2

π+α=α o bien que )cos(sen 2π−α=α (Precisamente π/2 es

lo que ha variado nuestro punto de vista para obtener una u otra proyección.)

Para el describir el movimiento de una partícula que ejecuta un MAS utilizaremos la expresión:

)t(Asenx oϕ+⋅ω=

donde:

• x es elongación, es decir, la distancia en cada momento a la posición de equilibrio. Normalmente utilizamos la x, pero si el MAS tiene lugar en dirección vertical podríamos escribir )t(Aseny oϕ+⋅ω=

• A es la amplitud, es decir la elongación máxima • ω se llama pulsación o frecuencia angular e indica el número de veces que el

ciclo completo se repite en 2π segundos.

πν=π=ω 2T

2

• ot ϕω + se llama fase e indica la situación del punto que vibra en relación a un

ciclo completo • oϕ es la fase inicial, es decir la situación en referencia al ciclo completo que

tiene la partícula en el momento t=0. Si representamos la elongación en función del tiempo, obtendremos una sinusoide. Para eso le damos valores al tiempo cada cuarto de periodo:

(la representación en el caso de que 0o ≠ϕ sería igual, solo que desplazando el eje el

valor correspondiente. El eje sería el de color verde.) Observa en la gráfica como el valor de la elongación va aumentando con el tiempo hasta llegar al valor máximo (amplitud) en el momento en que t=T/4 y luego comienza a disminuir hasta anularse para t=T/2. Luego sigue creciendo hasta llegar al máximo negativo para t=3T/4, etc

CINEMÁTICA DEL MAS Si la elongación del MAS viene dada por )t(Asenx oϕ+ω= entonces la velocidad

vendrá dada por su derivada respecto al tiempo, así que:

)tcos(Adt

dxv oϕ+ω⋅ω==

si representamos la velocidad en función del tiempo, y para ello le damos valores de cuarto en cuarto de periodo, obtendremos:

• como es de suponer la gráfica de la función coseno está desfasada π/2 respecto de la función seno

• comparando la gráfica de la elongación con la velocidad se observa que cuando x=0, la velocidad es máxima y que cuando x=A, v=0. Eso es lo esperado, ya que si pensamos por ejemplo en el muelle, en los extremos, donde la elongación es máxima la velocidad es nula, porque allí se para, y luego empieza a crecer hasta llegar a su máximo en la posición de equilibrio, donde x=0.

Relación entre la velocidad y la elongación. Si elevamos la ecuación de la velocidad al cuadrado y tenemos en cuenta que 1cossen 22 =ϕ+ϕ

ϕω= 2222 cosAv = )xA()senAA()sen1(A 2222222222 −ω=ϕ−ω=ϕ−ω

sustituyendo x: 22 xAv −ω±=

Observa como efectivamente, cuando x=0 la velocidad es máxima e igual a Aω. El signo positivo o negativo es la consecuencia de resolver la raíz cuadrada, e indica que para cada valor de x hay dos velocidades una de cuando el móvil se acerca a la posición de equilibrio y otra para cuando está en el mismo sitio pero alejándose.

La aceleración se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la velocidad:

)t(senAdt

vda 0

2 ϕ+ωω−==

teniendo en cuenta que )t(Asenx oϕ+ω= , podemos poner que :

xa 2ω−=

que como ya dijimos anteriormente es la condición para que un movimiento sea MAS. Si representamos gráficamente la ecuación de la aceleración obtendremos:

• La aceleración está desfasada π respecto de la elongación • La aceleración toma sus valores máximos absolutos en los mismos momentos

que la elongación, lo que pasa es que como tienen un desfase de π, cuando una tiene su máximo positivo la otra tiene el máximo negativo y viceversa.

Resumen: Para mayor sencillez vamos a suponer que la fase inicial es φo=0, es decir, que en el momento t=0, x=0

Magnitudes cinemáticas Valor máx Relación con x gráfica (magnitud/t)

t sen Ax ω= Axmáx =

tcos Adt

dxv ω⋅ω== ω= Avmáx 22 xAv −ω±=

t senAdt

vda 2 ωω−== 2

máx Aa ω= xa 2ω−=

Si observas detenidamente las ecuaciones de x y v comprenderás que ambas magnitudes estén desfasadas un cuarto de periodo ya que una es función seno y la otra coseno. Ello significa que cuando una toma su valor máximo la otra toma su valor nulo. Puedes verlo también en las gráficas correspondientes. También puedes verlo muy claramente en la

relación entre ambas, ya que si por ejemplo x=0 → máx22 vA0Av =ω=−ω±=

Por su parte x y a están desfasadas medio periodo, ya que ambas son función seno, pero una tiene el signo cambiado respecto a la otra,. Ello significa que cuando una toma el valor máximo positivo, la otra toma su máximo negativo. Puedes verlo claramente en la relación entre ambas magnitudes xa 2ω−= , que además es la condición de MAS. Cuando x=0 → a=0 y cuando x=A → 2Aa ω−=

En la figura hemos dibujando las tres gráficas “superpuestas“ correspondientes a masa que ejecuta un MAS sujeta a un resorte. Préstale atención a cada una de las gráficas hasta que las entiendas muy bien, en especial a los valores que cada una de las magnitudes cinemáticas toma cada cuarto de periodo y a cómo esos valores se corresponden con las curvas de la derecha. Imaginemos una masa sujeta a un resorte y que ejecuta un MAS. Supongamos que empezamos a contar el tiempo cuando la masa pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia la derecha. En tal caso: Durante el primer cuarto de periodo la masa se mueve desde la posición de equilibrio x=0 (donde la velocidad es máxima) hasta x=A. Durante ese tramo la aceleración tiene sentido opuesto a la velocidad (y por supuesto la Fuerza recuperadora del muelle que

es quién la provoca i x KF cupRe

rr−= ) por eso el cuerpo va

frenando hasta pararse en x=A.

En x=A la masa está parada, pero la fuerza recuperadora, que sigue apuntando hacia la posición de equilibrio (tiene sentido

ir

− ,) comienza a tirar de ella. Como ahora velocidad y aceleración tienen el mismo sentido el movimiento es acelerado. Cuando llega a la posición x=0 la velocidad vuelve a ser máxima, aunque ahora tiene sentido contrario al inicial.

Por inercia rebasa la posición de equilibrio, pero inmediatamente que entra en x negativo la fuerza recuperadora cambia de sentido y, al tener aceleración en sentido contrario a la velocidad, empezará a frenar hasta pararse en x=‒A. (*) Al tomar x valores negativos, la fuerza recuperadora

i x KF cupRe

rr−= tiene sentido i

r+ , por eso siempre apunta hacia

la posición de equilibrio.

Una vez parado en x=‒A, la fuerza recuperadora (responsable de haberlo frenado) como mantiene el sentido hacia la posición de equilibrio comienza a acelerarlo conforme disminuye su distancia a x=0, donde llegará otra vez con la velocidad máxima. Al haberse empleado un periodo completo, la masa vuelve a tener exactamente los mismo valores cinemáticos

Ejemplo: Cuando la cuerda de una guitarra da la nota La vibra con una frecuencia de 440 Hz. Si se desplaza 5mm a ambos lados de la posición de equilibrio, y si en el momento inicial se encuentra a 2mm a la izquierda de la posición de equilibrio y moviéndose a la derecha, calcula: a) Ecuación de la elongación, velocidad y aceleración La pulsación será:

π=ν⋅π=π=ω 8802T

2 rad/s

teniendo en cuenta que la amplitud es igual al máximo desplazamiento de la posición de equilibrio, A=0,005m, la ecuación de la elongación del MAS será:

)t880(sen005,0)t(Asenx oo ϕ+π⋅=ϕ+ω=

para completar la ecuación todavía nos queda calcular la fase inicial. Para ello tendremos en cuenta que tal como puede verse en la figura, en el momento inicial (t=0) la elongación es x=−0,002m. ¿Entiendes ahora el significado de la fase?

para el momento t=0, tenemos que:

)(sen005,0002,0 oϕ⋅=− ⇒ 41,0o −=ϕ rad

así que la ecuación de la elongación de un punto de la cuerda será:

)41,0t880(sen005,0x −π⋅= Su velocidad y aceleración serán la primera y segunda derivada respecto al tiempo, así:

)41,0t880cos(4,4)41,0t880cos(880005,0dt

dxv −ππ=−ππ⋅==

)41,0t880(sen3872)41,0t880(sen8804,4dt

vda 2 −ππ−=−ππ⋅π−==

DINAMICA DEL MAS Teniendo en cuenta que un MAS es un movimiento vibratorio en el que debe cumplirse

que xa 2ω−= . De acuerdo con la segunda ley de Newton, si la condición de MAS la multiplicamos por la masa del oscilador tendremos que la fuerza que provoca el MAS (llamara fuerza recuperadora por lo que ahora veremos) será:

x k x m a mF 2recup −=ω−==

quiere decir que:

• La fuerza es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio y el “signo menos” indica que la fuerza (al igual que aceleración) se opone a la deformación, , es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa, por ese motivo se llama fuerza recuperadora porque siempre apunta hacia la posición de equilibrio.

• La constante de proporcionalidad, llamada constante elástica, es 2 mk ω= y es una constante característica para cada sistema.

• Para una masa determinada, la frecuencia angular es también una constante del

sistema. Como νπ=π=ω 2T2 quiere decir también que cada sistema vibra con

un periodo propio y una frecuencia propia y característica.

El oscilador armónico ideal no es más que una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Como sabemos la fuerza recuperadora, que viene dada por la ley de Hooke es:

xT

2 mx mmakxF

22

recup

π−=ω−==−=

donde se ha tenido en cuenta que la condición para que un movimiento se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: xa 2ω−= , así como que T/2π=ω

Despejando k de la 2ª y 3ª Despejando el periodo de la 2ª y última

2 mk ω= k

m2T π=

Observa que:

• El periodo (y la frecuencia) no depende de la amplitud de las oscilaciones. Solo depende de la masa y de la constante del muelle (como ya apuntamos antes)

• También es independiente de si el muelle oscila horizontal o verticalmente

El péndulo simple o matemático no es más que una masa m sujeta a un hilo de longitud L y masa despreciable que está sujeto por el otro extremo y ejecuta pequeñas oscilaciones de forma que prácticamente el arco que describe sea una recta. Como sabemos, en este caso, la fuerza recuperadora es debida a la componente del peso:

xT

2 mx mma

L

xmgmgsenF

22

recup

π−=ω−==−=α−=

donde se ha tenido en cuenta que senα = x/L y que la condición para que un movimiento se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: xa 2ω−= , así como que T/2π=ω . Despejando el periodo de la 3º y última:

g

L2T π=

Observa que: • El periodo no depende de la amplitud de las oscilaciones, ni tampoco de la masa.

Solo depende de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad Ejemplo: La lámpara de la iglesia de Atarfe está colgada de un hilo de 5 m de longitud. Si comienza a oscilar ligeramente como consecuencia de una corriente de aire, podemos contar que ejecuta 13 oscilaciones en un minuto. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad. La frecuencia de las oscilaciones es:

Hz22,060

13 ==ν ⇒ seg54,422,0

11T ==

ν=

y como:

g

L2T π= ⇒ 2

2

22

s/m6,954,4

54

T

L4g =⋅π=π=

E1A.S2014 1. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características dinámicas. b) Un oscilador armónico simple está formado por un muelle de masa despreciable y una partícula de masa, m, unida a uno de sus extremos. Se construye un segundo oscilador con un muelle idéntico al del primero y una partícula de masa diferente, m’. ¿Qué relación debe existir entre m’ y m para que la frecuencia del segundo oscilador sea el doble que la del primero? b) Como los dos muelles son iguales, ambos tienen la misma constante elástica K. Escribimos la frecuencia (inversa al periodo) para ambos sistemas y dividimos miembro a miembro:

m

k

2

1

π=ν

´m

k

2

12´

π=ν=ν

m

´m

2

1 = → 4/m´m =

E1B.S2001 Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1 π s de período y su energía cinética máxima es de 0,5 J. a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica. b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble. a) )t(sen Ax oϕ+⋅ω=

s/rad 201,0

2

T

2 =ππ=π=ω

22máxmáx )A (m

2

1vm

2

1Ec ω== → 2)20 A (2,0

2

15,0 = → A=0,11m

)t 20(sen 11,0x =

)x (ma mx KF 2ω−==−= → m/N 80202,0 mK 22 =⋅=ω=

b) )tcos(Adt

dxv ω⋅ω== )t(senA

dt

vda 2 ωω−==

i) Si duplicamos la constante elástica, manteniendo la masa, debe variar la

frecuencia angular, ya que 22 m2K2´ m´K ω⋅=⋅=ω= → ω⋅=ω 2´

La velocidad máxima (vmáx=Aω) aumentará en 2 La aceleración máxima (amáx =Aω2) aumentará el doble. ii) Si duplicamos la masa, manteniendo K, igualmente debe variar la frecuencia

angular, ya que 222 m´ m2´´ mK ω=ω=ω= → 2

´ ω=ω

La velocidad máxima disminuirá en 2/1 y la aceleración máxima se hará la mitad.

ENERGÍA EN UN MAS Energía potencial: Ya hemos dicho anteriormente, que las fuerzas recuperadoras elásticas son fuerzas centrales y por tanto conservativas, así que como consecuencia podemos definir el incremento de energía potencial entre dos puntos como el trabajo que hemos de realizar nosotros para llevarlo desde un punto a otro.

BA

2B

A

B

A

B

A resortecuperadoraRe

)cuperadoraRe.F.(Conser.FBA kx

2

1dxkxidxikxrdFW −=⋅−=⋅•⋅−=•= ∫∫∫→

rrrr

BA2B

2A EpEpEpkx

2

1kx

2

1 −=∆−=−=

Si asignamos cero a la Ep del resorte cuando está en la posición de equilibrio, podremos hablar de energía potencial absoluta, así la Ep de un punto que dista x del origen sería:

2kx2

1Ep =

• Como vemos la Ep es máxima en los extremos, donde x=±A , 221

max kAEp = y

es nula en la posición de equilibrio, donde x=0. • A partir de esa expresión y teniendo en cuenta que para un oscilador 2 mk ω= ,

podríamos escribirla como: 222 xm2

1kx

2

1Ep ω==

La representación gráfica de la Ep que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos la función y=5x2, una parábola, solo que ahora en el eje de ordenadas estará la Ep y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.

La Energía cinética de la masa que oscila ejecutando un MAS es: 2vm

2

1Ec =

Si tenemos en cuenta que 22 xAv −ω±= , podemos escribir la Ec en función de la elongación como:

)xA(k2

1)xA(m

2

1vm

2

1Ec 222222 −=−ω==

• Como puede verse en ambas formas de expresar a la Ec, en el caso de que el

punto se encuentre en el origen, donde x=0 y la velocidad es máxima, 2

2122

212

max21

max kAA mmvEc =ω== (Recuerda que )tcos(Av odtdx ϕ+ω⋅ω==

y que por tanto la ω= Avmax )

La representación gráfica de la Ec que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos la función y=10−5x2, una parábola invertida. En el eje de ordenadas estará la Ec y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.

Conservación de la energía mecánica en el MAS: Puesto que las fuerzas recuperadoras son centrales y por tanto conservativas, se tiene que cumplir el principio de conservación de la energía mecánica, de manera que en todo momento:

.cteEpEcE =+= Al conservarse la energía mecánica será igual en todo momento a la suma de ambas, pero también será igual a la potencial máxima 2

21

max kAEp = y también a la cinética

máxima 22212

max21

max A mmvEc ω== (Si te das cuenta verás que ambas expresiones

son totalmente equivalente, ya que 2 mk ω= )

2222222222 kA2

1 Am

2

1 xm

2

1)xA(m

2

1 kx

2

1 mv

2

1 EpEcE =ω=ω+−ω=+=+=

Ec + Ep Ec + Ep Ec máx Epmáx para x=0 para x=A

Como puede verse:

• En los extremos, donde x=±A, la Ec=0 y la Ep es máxima. • En el origen la velocidad es máxima y también la energía Ec, mientras que Ep=0 • En cualquier otro punto se cumple que .ctekAAmEpEcE 2

2122

21 ==ω=+=

como corresponde a un sistema conservativo. Representación gráfica

• Si representamos la ecuación de la energía potencial 221 kxEp = en función de la

elongación obtendremos una parábola (gráfica en rojo, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como 2x5y = )

• Si ahora representamos la energía cinética )xA( mEc 22221 −ω= en función de

la elongación obtendremos una parábola invertida (gráfica en azul, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como 2x510y −= , por cierto que en este caso 10 sería la energía total)

• Si representamos a la energía mecánica obtendremos una recta ya que es constante. (Es como si representásemos y=10)

• Observa como para cualquier valor de x, la suma de la Ec + Ep = E

Ejemplo: Si una lámpara tiene una masa de 20Kg y está colgada de un hilo de 5 metros, calcular su energía mecánica cuando está oscilando y forma un ángulo máximo de 2º respecto de la vertical. ¿Cuánto valdrá la Ec y la Ep en el momento en que forma 1º con la vertical?

a) Si la cuerda de 5m se desplaza 2º de la vertical, la amplitud será:

m174,0º2sen5A =⋅=

La pulsación del péndulo es L

g=ω por tanto, como la energía

mecánica es igual, por ejemplo, a la potencial máxima:

J60,0174,05

1020

2

1A

L

gm

2

1Am

2

1EpE 2222

máxima ===ω==

o bien, teniendo en cuenta que KxL

xmgmgsenFrecup −=−=α−= →

L

mgK =

y como J60,0AL

gm

2

1KA

2

1EpE 22

máxima ====

b) En el momento en que forma 1º con la vertical, la elongación será

m087,0º1sen5x =⋅=

J45,0)087,0174,0(5

1020

2

1)xA(

L

gm

2

1)xA(m

2

1vm

2

1Ec 22222222 =−=−=−ω==

J15,0087,05

1020

2

1x

L

gm

2

1xm

2

1Ep 2222 ===ω=

Como puedes ver se cumple que E=Ec+Ep E4B.S2012 2. a) Energía mecánica de un oscilador armónico simple. Utilice una representación gráfica para explicar la variación de las energías cinética, potencial y mecánica en función de la posición. b) Dos partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas a resortes de la misma constante k, describen movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos pasa por esa posición a mayor velocidad? Razone las respuestas. a) Teoría b1) Al pasar por la posición de equilibrio tendrá la energía cinética máxima (igual a la energía mecánica) viene dada por 2

2122

21 KAAm E =ω= . Aparentemente, de la primera

forma de expresar la energía mecánica podría pensarse que es función de la masa, pero no es así ya que si cambia la masa también debe cambiar la frecuencia para mantener el valor de K. Así que donde se ve claramente que ambas masas tendrán la misma energía cinética es en la segunda forma de expresar la energía mecánica, ya que solo depende de K y de A y es independiente de la masa.

b2) Puesto que la energía cinética máxima es igual para las dos masas, es evidente que la de mayor masa deberá tener menor velocidad, ya que 2

21 v m Ec =

E3A.S2010 a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas. b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii) disminuyera la masa oscilante. a) Teoría b) Teniendo en cuenta que:

• La energía mecánica viene dada por 2máx A K

2

1EpEpEcE ==+= por tanto,(

para un sistema concreto de constante elástica K), solo depende de la amplitud. • Por otro lado, la frecuencia del MAS de un oscilador viene dada por:

ν=π= 1

K

m2T que como vemos solamente depende de la masa oscilante y de

la constante elástica. Quiere decir que para un sistema concreto formado por un resorte y una masa fija, la frecuencia de oscilación es una característica del sistema.

b1) Al aumentar la energía mecánica aumentará la amplitud, pero permanecerá inalterada la frecuencia de oscilación que es una característica del sistema. b2) Al disminuir la masa oscilante aumentará la frecuencia, pero permanecerá constante la amplitud, ya que no depende de la masa. E2A.S2010 Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, efectúa un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m.s−1 y 7,2 m.s−2 respectivamente. a) Determine el período y la amplitud del movimiento. b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara: i) la frecuencia; ii) la aceleración máxima. a) La ecuación general de un cuerpo que ejecuta un MAS es: )t(Asenx oϕ+⋅ω= .

Derivándola respecto al tiempo obtenemos la velocidad y a su vez, derivando ésta obtenemos la aceleración, así que:

)tcos(Adt

dxv oϕ+ω⋅ω==

)t(senAdt

vda 0

2 ϕ+ωω−==

como vemos, los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima son:

ω= Avmáx ω= A6,0 2

máx Aa ω= 2A2,7 ω= de donde A = 0,05m y ω=12 rad/s

Teniendo en cuenta que ω=2π/T se deduce que T=π/6 seg y que la frecuencia es ν=6/π Hz

b1−a) La respuesta estricta a esta pregunta sería que un sistema concreto vibra con una frecuencia característica y por tanto no es posible cambiarla, ya que la frecuencia solamente depende de la constante del muelle (que es una característica del muelle) y de la masa que oscila. Sabemos que el periodo (y la frecuencia que es la inversa) viene dado por

ν=π= 1

K

m2T

b1−b) Como puede verse, la frecuencia solo depende de la masa oscilante y de la constante. Si no podemos cambiar la masa del cuerpo y queremos cambiar la frecuencia de oscilación deberemos cambiar de muelle. Vamos a ver qué relación existe entre la energía de dos muelles que vibran con frecuencias ν y 2ν. Teniendo en cuenta que los resortes son sistemas conservativos, y que por tanto la suma de la energía cinética y potencial permanece constante, resulta que la energía mecánica será igual a la potencial máxima o bien a la cinética máxima, y como K=mω2 y ω=2π/T=2πν:

222222máx A4 m

2

1Am

2

1AK

2

1EpEpEcE νπ=ω===+=

Como vemos, la energía de un sistema concreto solo es función de su amplitud (de su cuadrado) y de la constante. Por eso decíamos de cambiar de muelle para poder alterar la frecuencia del sistema, ya que la energía mecánica es proporcional al cuadrado de la frecuencia E=f(ν2) por tanto, si se duplica la frecuencia ("cambiando de resorte"), la energía mecánica se hará 4 veces mayor. Podríamos contestar a otra pregunta: “Qué relación guardan las constantes elásticas de dos resortes para que uno oscile con una frecuencia doble que el otro”. Despejando K tenemos:

222 m4 mK νπ=ω= 22222 )2 (m4´ m4´ m´K νπ=νπ=ω= div. miembro a miembro → K´= 4K

b2). Teniendo en cuenta que la 2

máx Aa ω= (y puesto que para un sistema concreto la

frecuencia con que oscila es una constante característica del mismo y por tanto también lo será la frecuencia angular νπ=ω 2 ), es evidente que, si se duplica la aceleración máxima se duplica la amplitud. Y como:

2máx KA

2

1EpEpEcE ==+=

Si la amplitud A se hace el doble, la energía mecánica se hará 4 veces mayor.

E2B.S2009 a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado de cada una de las variables que aparecen en ella.

b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula? a) Teoría b) La ecuación de una partícula que ejecuta un MAS es )t(Asenx oϕ+⋅ω=

En primer lugar, si se duplica el periodo de las oscilaciones variará la pulsación o frecuencia angular haciéndose la mitad ya que es inversamente proporcional al periodo:

2T2

2

'T

2´

ω=π=π=ω

Por otro lado, si la energía mecánica se hace el doble variará la amplitud, puesto que depende del cuadrado: E= ½KA2

Lo que ocurre es que si la energía se hace el doble la amplitud no aumenta en AA 4´= como parece a bote pronto, ya que si también hemos duplicado el periodo hemos necesitado cambiar la constante elástica (el periodo depende de la masa y de la constante: K=mω2 ). Así pues:

22Am2

1E ω=

22 Á´m2

1E ω= Div.miembro a miembro

2

1

Á2

A

Á´

A

E

E

22

22

22

22

=

ωω=

ωω= ⇒ A8Á =

FENÓMENOS ONDULATORIOS En éste capítulo nos referiremos solo a ondas mecánicas, que son aquellas que necesitan un medio elástico para propagarse. Imaginemos un medio compuesto por muchas partículas unidas por una sustancia elástica. Si uno de sus extremos se perturba, es decir sufre una deformación, la experiencia nos dice que ésta se propaga a través del medio, aunque no lo hace de manera instantánea. Cuando tiramos una piedra a un estanque la deformación se transmite de unos puntos a otros y así sucesivamente, pero lo hace con un cierto retraso que depende de las propiedades del medio. Cuando se enciende una bombilla, se da una palmada o tiramos una piedra al agua generamos fenómenos que tienen una cosa en común: En cada caso hay una propiedad que varía con el tiempo (la propagación de un campo electromagnético, la presión de los puntos del medio o el desplazamiento de las partículas de agua) y se transmite a través del medio de unos puntos a otros, pero de forma que el medio en sí no es transportado. Por tanto, en un movimiento ondulatorio hay un transporte de energía a través del medio, pero no de masa, ya que las partículas el medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio y se transfieren la energía de unas a otras, pero no se desplazan en conjunto. Tipos de ondas: Las ondas se pueden clasificar atendiendo a varios aspectos. 1. Según el medio en que se propagan se clasifican en :

• Ondas mecánicas. Son aquellas en las que la perturbación producida en un punto se transmite a las demás debido a las propiedades elásticas del medio, es decir que la presencia del medio es indispensable para que tenga lugar la propagación y por tanto la onda. (No obstante insistimos que el medio en su conjunto no se desplaza, solo vibra. Piensa en una boya que al alcanzarla la ola sube y baja, pero no se desplaza en conjunto.) El sonido es una onda de este tipo y por tanto no puede propagarse en el vacío.

• Ondas no mecánicas: Son las que pueden propagarse aun sin un medio soporte, es

decir que pueden hacerlo en el vacío. A este tipo pertenecen todas las ondas electromagnéticas, como la luz, que son el objetivo de otro tema.

2. Atendiendo a la relación que existe entre la vibración de las partículas del medio y la dirección de propagación de la onda, se clasifican en :

• Ondas transversales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en dirección perpendicular a la propagación de la onda.

En una onda transversal cada punto del medio ejecuta un MAS en dirección perpendicular a la de propagación de la onda. Las ondas transversales para propagarse necesitan un medio que presente fuerzas tangenciales que se opongan a la deformación, por esa razón solamente se propagan en sólidos y no pueden propagarse en el interior de líquidos ni gases, ya que sus moléculas carecen de este tipo de fuerza tangenciales. Las ondas longitudinales, por el contrario, pueden propagarse en cualquier medio.

• Ondas longitudinales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en la misma dirección en que se propaga la onda.

En una onda longitudinal cada punto del medio ejecuta un MAS en la misma dirección en que se desplaza la onda. Este tipo de ondas se explica mediante una serie de comprensiones y enrarecimientos (expansiones) sucesivos en el medio. Para entenderlo mejor piensa en varias bolas todas iguales suspendidas a la misma altura.

Al dejar caer la primera bola, la energía que tiene es la que comunica a la segunda y esta a la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la última. En este caso, como en una onda, se transporta la energía de una bola a la siguiente pero no la masa y tiene lugar por las comprensiones y enrarecimientos mencionados:

El sonido es una onda longitudinal y su propagación se explica como en el caso de las bolas, así cuando se da una palmada la perturbación da lugar a una serie de comprensiones y enrarecimientos de la masa gaseosa que se encuentra a su alrededor.

Polarización de las ondas transversales En una onda transversal la dirección de vibración de los puntos es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. quiere decir que, si por ejemplo la onda se propaga en dirección del eje X, los puntos podrán vibrar en cualquier dirección siempre que esté contenida en el plano YZ, como se muestra en la figura. Esta sería una onda no polarizada:

En el caso de que todos los puntos vibren en la misma línea si dice que la onda está polarizada linealmente o que tiene polarización plana (porque todos los puntos vibran en el plano formado por la línea de vibración y la dirección de propagación)

Una onda se puede polarizar de varias formas. Por ejemplo haciéndola pasar por una rendija, tras lo cual saldrá polarizada en el plano que forma la rendija con la dirección de propagación:

También se puede polarizar por reflexión, ya que siempre que una onda se refleja se polariza en mayor o menor medida, dependiendo del ángulo con que incide. (La polarización es total cuando el ángulo de incidencia es tal que el de reflexión + el de refracción suman 90º). La luz también se puede polarizar por absorción como ocurre en las hoja polaroid (está formada por moléculas largas ordenadas paralelamente que hacen de rendija). La polarización es un fenómeno exclusivo de las ondas transversales, incluida la luz. No tiene ningún sentido para las ondas longitudinales puesto que es ellas los puntos solamente tienen una única dirección de vibración que es la que coincide con la dirección de propagación de la onda.

MAGNITUDES DE UNA ONDA. Longitud de onda (λ) es la distancia que hay entre dos puntos consecutivos que están en fase, es decir que tienen los mismos valores de elongación, velocidad, aceleración, etc)

El número de onda (ν~ ) es una magnitud que indica el número de longitudes de onda que hay en 1 metro. Es la inversa de la longitud de onda, y por tanto se mide en m−1:

λ=ν 1~

Periodo (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda, es decir el tiempo que tarda en pasar una longitud de onda por delante de un observador estacionario. El periodo coincide con el periodo de vibración de las partículas del medio, que como sabemos es el tiempo que tardan en dar una oscilación completa. Frecuencia (ν) es la inversa del periodo, es decir es el número de longitudes de onda que ve pasar un observador estacionario en la unidad de tiempo.

ν= 1

T

Amplitud (ymáx) es la separación máxima de la posición de equilibrio que experimentan los puntos del medio cuando vibran. Como ya vimos en el MAS depende de la energía que lleve la onda:

2máxy K

2

1E =

donde K era una constante elástica característica del medio.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS La velocidad de propagación de la onda (v) es la distancia recorrida por la onda en la unidad de tiempo. Todas las ondas tienen una velocidad de propagación constante que depende de las características del medio, ya que influyen las fuerzas recuperadoras elásticas del medio. (En la ampliación puedes ver esta dependencia de las características del medio con velocidad de propagación de las ondas transversales, longitudinales y electromagnéticas.) Puesto que el tiempo que la onda tarda en recorrer una longitud de onda es por definición el periodo, tenemos que:

ν⋅λ=λ=T

vonda

No debe confundirse la velocidad con que se propaga la onda (que es constante para cada medio) con la velocidad con que vibran los puntos del medio, que como sabemos ejecutan un MAS y su velocidad viene dada por )tcos(Av opuntos ϕ+ω⋅ω=

Ejemplo Sabiendo que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz (c=3.108 m/s) Calcular la longitud de onda en que emite Radio Ilíberis, si lo hace a una frecuencia de 101,5 MHz.

ν⋅λ=v

68 105,101103 ⋅⋅λ=⋅

m96,2=λ ONDAS ARMÓNICAS. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DE

ONDAS

En un movimiento vibratorio era suficiente con conocer la elongación del único punto que vibra en función del tiempo: y=f(t) En una onda (como hay muchos puntos ejecutando un movimiento vibratorio) es preciso conocer la elongación (y) de cada punto (x) y en cada momento (t), es decir que y=f(x,t). Es muy importante recordar que la ecuación de una onda depende de dos variables: x y t Supongamos una cuerda larga en dirección del eje X por la que avanza una onda transversal. Si en el instante t=0 le hacemos una foto, la forma de la cuerda se podría representar por una ecuación del tipo:

t=0 )x(fy = Donde:

• y es la elongación de cada uno de los puntos de la cuerda • x es la distancia de cada punto x al origen o foco.

Supongamos que la onda avanza hacia la derecha con una velocidad v, entonces al cabo de un tiempo t habrá avanzado un espacio vt y la ecuación de la onda será:

t=t )vtx(fy −=

Efectivamente esa es la ecuación de una onda que se propaga hacia la derecha, puesto que para que la fase se mantenga constante al aumentar t también aumenta x, de esta forma al restar se mantiene fijo el término (x–vt). Si representamos la ecuación de una onda que avanza hacia la izquierda su ecuación sería del tipo )tvx(fy += . La función f puede tener cualquier expresión matemática, pero vamos a considerar solamente aquellas cuyo perfil es de tipo seno o coseno, por las razones que más adelante veremos. A estas ondas se les llama senoides u ondas armónicas, porque en ellas cada partícula del medio ejecuta un movimiento armónico simple. La ecuación de una onda armónica en el instante t=0 es:

t=0 λ

π= x2senyy max

donde:

• y es la elongación de los puntos • x es la distancia del punto x al origen o al foco • ymax es la amplitud de la sinusoide • λ es la longitud de onda

Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y en un momento concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias:

x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ..., x+nλ

Supongamos que la onda se propaga hacia la derecha con una velocidad v. Al cabo de un tiempo t la ecuación de la onda será:

t=t λ−π= vtx

2senyy max

o bien, si tenemos en cuenta que T

vλ= podríamos escribirla como:

−λ

π=T

tx 2senyy max

que es la ecuación de una onda armónica que se propaga hacia la derecha. Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los instantes:

t, t+T, t+2T, t+3T, ..., t+nT La ecuación de la onda también se suele escribir de la forma:

)tkx(senyy max ω−=

donde como puedes ver comparando:

• λπ= 2

k es el Número de onda: Nº de ondas que hay en una distancia de 2π

• T

2π=ω es la Frecuencia angular

Recuerda que :

"y es la elongación del punto x en el momento t" . (Deberías llamarla siempre así, con esa frase completa para ser consciente de que y depende de dos variables). Lógico, ya que en el medio hay muchos puntos y con la x nos referimos a uno en concreto [al que dista esa distancia del foco], pero ese punto ejecuta un MAS y para poder medir la distancia a la que se encuentra de su posición de equilibrio necesitamos indicar un momento t)

Los parámetros que caracterizan a la onda son: 1.La amplitud, 2.la longitud de la

onda (o su número de onda) y 3.el periodo (o su frecuencia angular)

PERIODICIDAD ESPACIAL Y TEMPORAL DE LAS ONDAS Una onda es doblemente periódica. Ya hemos visto que la ecuación de una onda depende de dos variables: la posición y el tiempo, es decir que )vtx(fy += Para un valor dado de t, es decir en un momento determinado, la ecuación de la onda nos da el desplazamiento de la posición de equilibrio de cada punto del medio. Es como si fuese una foto de la onda en ese instante:

el valor de y en ese instante concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ... , o en general que los puntos que distan x+nλ están en fase. Lo contrario puede decirse de los que distan λ/2 , o múltiplo impar, que están en oposición de fase. Para un valor dado de x, es decir para un punto determinado que dista una distancia x del foco, la ecuación de la onda nos da las distintas posiciones que ese punto ocupa conforme transcurre el tiempo. Como ya sabemos el punto ejecuta un MAS:

el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los instantes t, t+T, t+2T, t+3T, ... o en general que el punto x en los momentos t+nT está vibrando en fase.

Ejemplo:

Dada la onda armónica )t5,0x25,0(2seny −π= donde y, x se expresan en cm y t en seg, calcular: a) El periodo y la frecuencia de la onda b) Longitud de onda y número de ondas c) Velocidad de propagación de la onda y su sentido d) Ecuación del foco e) Ecuación del punto que dista 6cm del foco f) Ecuación de la onda en los instantes t=0 y t=6 seg g) Cuanto ha avanzado la onda en 6 seg. h) Razona si la onda es longitudinal o transversal i) Razona si otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia tiene la misma velocidad No hay más que comparar la ecuación general de una onda con la de esta onda concreta:

−π⋅=2

t

4

x2sen1y

−λ

π=T

tx2senyy max

a), b) Como vemos por comparación:

cm1ymax =

seg2T = y la frecuencia que es su inversa: Hz5,0T

1 ==ν

cm4=λ y el número de ondas: 1m25,01~ −=λ

=ν

c) La onda debe propagarse hacia la derecha ya que al aumentar t debe aumentar x para mantener constante el argumento, y un aumento de x significa desplazarse hacia la parte positiva del eje X

s/cm22

4

Tv ==λ=

d) El foco es el punto para el cual x=0, por tanto:

)t(sen2

t2sen1y 0t π−=

−π⋅==

e) Un punto que dista x=6cm del foco tiene por ecuación:

−π=

−π⋅== 2

t5,12sen

2

t

4

62sen1y 6t

vamos a representar estas dos ecuaciones, que como ves son las ecuaciones del MAS de esos puntos, ya que nos dan la elongación en función del tiempo de esos puntos concretos, pero aun antes de hacerlo nos damos cuenta de que ambos puntos están vibrando en oposición de fase ya que distan 6cm que es igual a 3(λ/2) Para representar estas funciones lo más sencillo es darles al tiempo valores de cuarto en cuarto de periodo, es decir, t=0, t=0,5, t=1, ... y vamos anotando los valores que va tomando y:

y \ t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 yx=0 0 −1 0 1 0 −1 0 1 yx=6 0 1 0 −1 0 1 0 −1

f) La ecuación de la onda en los momentos t=0 y t=6 es:

2

xseny 0t π==

−π== 34

x2seny 6t

Estas ecuaciones no corresponden a un MAS (y no es una función del tiempo), sino que representan la forma que la onda tiene en esos instantes, es como si fuesen fotos de la onda en esos momentos: una foto en el momento t=0 y luego otra en el t=6seg Puesto que la diferencia de tiempo entre esos dos instantes es 6 seg = múltiplo entero del periodo, en ambos instantes la forma de la cuerda será la misma. Para representarlas vamos a darle a darle a x valores de cuarto en cuarto de longitud de onda, es decir x=1, x=2, x=3, ...:

y \ x 0 1 2 3 4 5 6 7 yt=0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 yt=6 0 1 0 −1 0 1 0 −1

g) Puesto que la onda se propaga a una velocidad constante de 2cm/s, en 6 seg habrá avanzado: cm12tvs =⋅= . Obvio, ya que en 6 seg = 3 periodos, la onda habrá avanzado 3 longitudes de onda, es decir, 3*4 = 12 cm. h) La ecuación de la onda indica la forma en que cada uno de los puntos del medio vibran en función del tiempo, y tanto si vibran en la dirección de propagación (onda longitudinal) o perpendicularmente a la dirección de propagación (onda transversal) responden a una misma ecuación, salvo por las letras que utilicemos. Si nos fijamos en las letras utilizadas, podemos ver que los puntos del medio los hemos definido con la variable (x) lo que quiere decir que están sobre el eje X, mientras que el desplazamiento de esos puntos de la posición de equilibrio se mide con (y), es decir, vibran en el eje Y. En consecuencia la ecuación )t5,0x25,0(2seny −π= corresponde a una onda transversal i) Si otra onda tiene doble amplitud y mitad de frecuencia tendrá distinta velocidad, ya que v=λ.ν (tendría la mitad de velocidad). La energía que transporta sería mayor, ya que

2máx2

1 y KE = .

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CON QUE VIBRAN LOS PUNTOS DEL MEDIO

Hay que distinguir claramente entre la velocidad con que se propaga la onda, que como sabemos es constante ν⋅λ=λ= T/v y la velocidad con que vibran los puntos del medio que como sabemos ejecutan un MAS y por tanto no es constante, ni tampoco su aceleración, puesto que proviene de una fuerza del tipo kyF −= . Como ya vinos en el MAS, la velocidad con que vibran los puntos es:

−λ

π

π−==T

tx2cos

T

2y

dt

dyv max

y la aceleración:

−λ

π

π−−==T

tx2sen

T

2y

dt

vda

2

max

podríamos haber partido de la ecuación de la onda escrita como

λ−π= x

T

t2senyy max

con lo que al derivarla habríamos obtenido:

λ−π

π== x

T

t2cos

T

2y

dt

dyv max

λ−π

π−== x

T

t2sen

T

2y

dt

vda

2

max

Ejemplo:

Dada la ecuación

−=20

d

05,0

t 2sen8y donde las distancias se expresan en cm.

a) Indicar la amplitud del movimiento periódico, su periodo, su frecuencia y su longitud de onda. b) Al cabo de 0,15 seg y a una distancia de 40cm del foco determinar la elongación y velocidad c) Determine la velocidad máxima y la velocidad de propagación de la onda. i) Razona como sería la velocidad máxima con que vibran los puntos de otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia a) Antes de comparar la ecuación con la ecuación general de una onda, fíjate que le falta el número π, así que la vamos a escribir como:

π−

ππ=

20

d

05,0

t 2sen8y

comparando con:

λ−π= x

T

t 2senyy max

cm8ymax =

seg 05,0T π= y la frecuencia que es su inversa: Hz20

T

1

π==ν

cm 20π=λ y el número de ondas: 1m05,01~ −

π=

λ=ν

b) La elongación (y) del punto que dista x=40cm del foco en el instante t=0,15seg es:

cm27,720

40

05,0

15,0 2sen8y 15,0t,40x =

π−

ππ===

la velocidad:

−==20

d

05,0

t 2cos

05,0

28

dt

dyv

y sustituyendo para x=40cm y t=0,15seg, resulta que v=–133,17cm/s c) Una cosa es la velocidad con la que vibran los puntos del medio, que varía con el tiempo, puesto que cada uno ejecuta un MAS y otra cosa es la velocidad con que se propaga la onda, que es constante y solamente depende de las características del medio. La velocidad con que vibran los puntos del medio es:

−==20

d

05,0

t 2cos

05,0

28

dt

dyvpuntos →→→→ s/cm 320

05,0

28vmáx ==

La velocidad de propagación de la onda es:

s/cm 40020

20 T

vonda =π

⋅π=νλ=λ=

d)

λ−π

π== x

T

t2cos

T

2y

dt

dyv maxpuntos → ( )νπ= 2yv maxpuntosmáx,

Como vemos, si la amplitud es doble y la frecuencia la mitad la velocidad máxima

con que vibran los puntos de las dos ondas será la misma. Sin embargo la

velocidad de propagación de ambas ondas no es la misma ya que vondaondaondaonda=λλλλ....νννν (sería la

mitad)

ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA

Sabemos que en una onda elástica que se propaga a través de un medio elástico cada partícula ejecuta un MAS y por tanto tiene una energía que se transmite a las siguientes y que es en parte cinética y en parte potencial debida a su posición respecto de la posición de equilibrio. A lo largo de un periodo una partícula cede toda su energía a la siguiente y a su vez la recibe de la anterior, de manera que como puede suponerse la energía que transportada por la onda es la total que posee la partícula. La energía total es igual a la suma de Ec+Ep o bien igual a la cinética máxima o a la potencial máxima, esta última igual a la que tiene cuando la partícula se encuentra en su desplazamiento máximo:

2maxmax yk

2

1EpE ⋅==

donde k es la constante elástica del medio e ymax es la amplitud. Teniendo en cuenta que

para un punto que ejecuta un MAS: ( ) 2222 4mT/2mmk νπ=π=ω= nos quedaría que:

2max

22 y2mE ⋅νπ⋅=

Lo que nos dice que la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de la amplitud. Al mismo resultado habríamos llegado si tenemos en cuenta que la energía total es igual a la cinética máxima, ya que:

2maxmax vm

2

1EcE ==

como la velocidad es

−λ

ππ=T

tx2cos

T

2yv max está claro que la πν=π= 2y

T

2yv maxmaxmax

y sustituyendo nos quedará el mismo resultado que obtuvimos anteriormente:

2max

22 y2mE ⋅νπ⋅=

Cuando una onda se propaga en una sola dimensión, la energía de un punto se transmite íntegramente al siguiente y así sucesivamente, de manera que todos los puntos tienen la misma energía y vibran con la misma amplitud. Sin embargo, cuando se trata de ondas planas como las que se producen en la superficie de los líquidos o de ondas esféricas como el sonido, a medida que nos alejamos del foco hay más puntos vibrando y por lo tanto cada uno toca a menos energía (aun suponiendo que no haya absorción), por eso es mejor definir una magnitud nueva llama intensidad.

FENÓMENOS ASOCIADOS CON LA PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS INTERFERENCIAS Por experiencia sabemos que cuando dos o más odas se propagan en un mismo medio lo hacen de manera independiente y que la elongación de una partícula cualquiera es la suma debida a cada onda por separado. Al proceso de adición vectorial de la elongación se llama principio de superposición. Fourier demostró basándose en este principio que cualquier onda por rara que sea se puede obtener como suma de varias ondas armónicas, de tipo seno y coseno, por ello es por lo que el estudio de las ondas se suele reducir al estudio de ondas armónicas. Así pues, cuando un punto del medio es alcanzado por dos o más ondas se producen interferencias y, de acuerdo con el principio de superposición, la elongación del punto es la suma de la que tiene cada onda por separado. El punto vibrará con:

21 yyy += Consideremos el caso más sencillo, el de dos ondas iguales que se propagan en la misma dirección, solamente que tienen un desfase φ (es decir que si les tomásemos una foto las encontraríamos desplazadas una respecto a la otra). Sus ecuaciones serían:

)T

tx(2senyy m1 −λ

π=

)T

tx(2senyy m2 φ+−λ

π=

el desfase entra ambas ondas lo podemos poner como que la distancia del punto a uno de los focos es distinta, ya que:

)T

tx(2senyy m2 −

λλφ+π=

así que las ecuaciones podrían escribirse como:

)T

tx(2senyy 1

m1 −λ

π=

)T

tx(2senyy 2

m2 −λ

π=

teniendo en cuenta el principio de superposición, la onda resultante será 21 yyy += y

recordando que 2

BAcos

2

BAsen2senBsenA

−+⋅=+

)T

t

2

xx(2sen)

2

xx(2cosy2y 2121

m −λ

+π⋅

λ−

π=

La onda resultante corresponde a una onda que tiene la misma frecuencia, pero que su amplitud vale:

)xx

(cosy2A 21m λ

−π=

lo que quiere decir que:

• Habrá refuerzo y la amplitud será máxima (igual a 2ym) cuando el coseno valga 1 o −1, es decir, para cos0, cosπ, cos2π, cos3π …. Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino x1−x2 sea múltiplo entero de la longitud de onda: 0, λ, 2λ, 3λ, … Se produce una interferencia constructiva en los puntos donde la diferencia de camino recorrido por las dos ondas que interfieren es nλ

1)xx

(cos 21 =λ−

π → ,....3, 2, ,0)xx

( 21 πππ=λ−

π es decir para λ=− nxx 21 → my2A =

• La amplitud será nula cuando el coseno valga cero, es decir, para cosπ/2, cos3π/2,

cos5π/2 . Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino sea λ/2 o un múltiplo "impar", entonces A=0 y tendremos una interferencia destructiva.

0)xx

(cos 21 =λ−

π → ,....2

5,

2

3,

2)

xx( 21 πππ=

λ−

π es decir para 2

)1n2(xx 21

λ−=− → 0A =

Ejemplo: Un generador de ondas en la superficie del agua tiene forma de T de modo que actúa como dos focos que generan ondas de la misma frecuencia y amplitud. Si las ondas generadas tienen una amplitud de 0,6cm, una frecuencia de 60Hz y se propagan con una velocidad de 30cm/s. ¿Cuál es la ecuación que nos muestra el estado de vibración de un punto P que dista 15cm de un foco y 15,75cm del otro?

cm6,0ym =

Hz60=ν ⇒ seg016,01

T =ν

=

Tv

λ= ⇒ cm5,060

30 ==λ

La ecuación de vibración del punto P debida a cada onda por separado es:

−π=016,0

t

5,0

152sen6,0y1

−π=016,0

t

5,0

75,152sen6,0y2

La interferencia debida a ambas ondas, de acuerdo con el principio de superposición es

21 yyy += , pero no es necesario sumarlas para saber que ocurre al punto P, ya que:

2375,0xx 21

λ⋅==−

es decir, que en el punto P las dos ondas interfieren destructivamente, y por tanto la amplitud de la onda es nula: y=0 y lo mismo le ocurrirá a todos los puntos en los que

2)1n2(xx 21

λ⋅−=− . El lugar geométrico de esos puntos es una familia de hipérbolas

con focos en F1 y F2.

De igual forma, en todos los puntos en los que λ=− nxx 21 habrá una interferencia constructiva y los puntos vibrarán con una amplitud doble. Todos ellos definen otra familia de hipérbolas.

Ejemplo: Experimento de Young Dos fuentes coherentes de luz están separadas una distancia a=1mm. A una distancia d de ellas hay una pantalla en la que se recogen las interferencias. Calcular la longitud de onda de la luz empleada sabiendo que la distancia entre dos franjas brillantes consecutivas es de h=10−4m y que la distancia entre las fuentes y la pantalla es de 1m.

Para que haya una interferencia constructiva es necesario que la diferencia de camino sea igual λ o múltiplo entero, es decir que:

λ=− nxx 21 En el centro hay interferencia constructiva, puesto que para ese punto 0xx 21 =− y el punto brillante más próximo es aquel para el que n=1, es decir aquel en el que ;

λ=− 21 xx (*) por otro lado, de la figura podemos deducir lo que vale la diferencia de camino 21 xx − ya que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que:

α⋅=− senaxx 21 (**)

El ángulo α puede calcularse fácilmente, ya que de la figura se deduce que:

rad101

10arctg

d

harctg 4

4−

−

===α

así que m1010sen10sena 743 −−− ==α⋅=λ

La luz de longitud de onda igual a 10−7m, o bien de 3.1015Hz cae dentro del ultravioleta, aunque próximo al visible. En la pantalla habría que tener una película fotográfica porque el ojo no vería esa luz.

ONDAS ESTACIONARIAS Un caso particular de interferencias es el que tiene lugar cuando se dan dos condiciones: 1. En el medio concurran dos ondas iguales que avanzan en sentidos opuestos, como por ejemplo ocurre en una cuerda sujeta por uno de sus extremos (o los dos) o en un resorte, ya que en este caso tendremos la onda que va y la que se refleja, es decir dos ondas iguales propagándose en sentidos opuestos. 2. Que la frecuencia de las ondas que interfieren sea igual a la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda o múltiplo de ella (frecuencias resonantes), aunque de este detalle nos ocuparemos después. Las ondas iguales que viajan en sentidos opuestos se pueden representar por las ecuaciones: (*)

)T

tx(2senyy m1 +λ

π= Avanza hacia la izquierda

)T

tx(2senyy m2 −λ

π= Avanza hacia la derecha

La superposición 21 yyy += y recordando que 2

BAcos

2

BAsen2senBsenA

−+⋅=+

T

t2cos

x2seny2y m π

λπ= Ec. onda estacionaria

Fíjate que: 1. la amplitud de la onda estacionaria no es la misma para todos los puntos, sino que depende de la distancia x de cada punto al foco:

λπ= x

2seny2A m

2. la amplitud es máxima en todos aquellos puntos en los que se cumpla que 1seno ±= . A estos puntos donde la amplitud es máxima (igual a 2ym) se les llama vientres o antinodos.

1x

2sen =λ

π → ,....2

5,

2

3,

2

x2

πππ=λ

π es decir para ,....4

5,

4

3,

4x

λλλ= Antinodos, A=2ym

3. la amplitud es "siempre nula” en aquellos puntos en los que seno=0 y se llaman nodos. Son aquellos en los que:

0x

2sen =λ

π → ,....3, 2, ,0x

2 πππ=λ

π es decir para ,....2,2

3,,

2,0x λλλλ= Nodos, A=0

Si representamos la onda estacionaria en varios momentos, como si tomásemos fotos en varios instantes, podríamos tener las siguientes instantáneas, donde puede verse que los nodos, al igual que los antinodos, están separados media longitud de onda.

Generalmente la vibración es muy rápida de modo que solamente vemos la envolvente del movimiento, es decir que veríamos algo así como la siguiente figura:

Lo más importante de una onda estacionaria es:

• No es una onda viajera, ya que su ecuación no es del tipo f(x,t). • Su ecuación se parece más a la de un MAS, con la diferencia de que cada punto vibra

con una amplitud distinta que depende de su posición: λ

π= x2seny2A m

• Hay unos puntos que no vibran nunca (los nodos) y otros que vibran con una amplitud máxima igual al doble de la amplitud de las ondas que por superposición forman la onda estacionaria.

• Una onda estacionaria no puede transportar energía ni hacia un lado ni al otro, porque los nodos no vibran y en consecuencia no puede fluir más allá de un nodo.

(*) Por simplicidad, anteriormente hemos preferido superponer dos ondas iguales sin desfasar viajando en sentidos opuestos, como la que va y se refleja en una cuerda con el extremo libre. Podría pensarse que en el caso de una cuerda con el extremo fijo, el resultado podría ser diferente, ya que al tener el extremo fijo la onda que va invierte su fase al reflejarse, asi que las ecuaciones de las ondas originales serían:

)T

t 2x 2(senyy m1

π+λπ= Avanza hacia la izquierda

)T

t 2x 2(senyy m2 π+π−

λπ= Avanza hacia la derecha desfasada π

La superposición 21 yyy += y recordando que 2

BAcos

2

BAsen2senBsenA

−+⋅=+

π−π

π+λπ=

2T

t 2cos

2

x 2seny2y m

teniendo en cuenta que

α=π+α cos )2

(sen α=π+α sen)2

cos (

finalmente

T

t2sen

x2cosy2y m π

λπ= Ec. onda estacionaria

Como hemos visto, esta expresión aparentemente distinta, solo difiere en la fase de las funciones y representa a la misma onda, aunque desfasada. Ahora el primer nodo está en x=λ/4 (obvio porque ahora en x=0 debe haber un vientre), y los siguientes nodos, como siempre, de media en media longitud de onda.

RESONANCIA Un péndulo o una masa unida a un resorte tienen una única frecuencia natural de

vibración, la que viene dada por las conocidas expresiones L

g

2

1

π=ν y

m

K

2

1

π=ν

respectivamente, sin embargo muchos sistemas, como pasa en una cuerda, pueden vibrar con muchas frecuencias. A la más pequeña se le llama frecuencia fundamental o primer armónico y al resto, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se les llama frecuencias resonantes (2º armónico, 3º armónico, ..) o sobretonos (1º sobretono, 2º sobretono …) respectivamente. Empezaremos explicando la resonancia para el caso más sencillo de un péndulo o de un niño en un columpio. Si le empujamos una vez, empezará a oscilar con su frecuencia natural (con la única que tiene) pero debido a las pérdidas por rozamiento la oscilación se irá amortiguando, es decir, al perder energía su amplitud se hará cada vez menor ( 2

21 KAE = ). Si queremos mantener el balanceo del niño tendremos que aportar energía al

columpio, pero …. pero eso no basta como sabemos por experiencia, tenemos que aportarle esa energía empujándole con la misma frecuencia con la que oscila el columpio, o de lo contrario lo que haremos es frenarlo. De hecho si le empujamos adecuadamente y no hubiera pérdida de energía (o si en el empujón le aportamos un poco más de la que pierde) el sistema irá acumulando energía y cada vez oscilará con mayor amplitud. Cuando le comunicamos energía a un sistema a intervalos con una frecuencia distinta a su frecuencia natural termina oscilando con nuestra frecuencia y decimos que oscila forzado y en tal caso la energía aprovechada por el sistema es solo una pequeña parte de la que le suministramos. Por el contrario cuando le suministramos energía a un sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural decimos que oscila en resonancia y en tal caso el sistema absorbe íntegramente la energía que le aportamos. Dicho de otra forma, suministrando pequeñas cantidades de energía con la misma frecuencia con que oscila el sistema podemos conseguir oscilaciones de gran amplitud. Igual puede decirse para una cuerda sujeta por un extremo y a la que comunicamos energía por el otro extremo. Si la hacemos vibrar con una frecuencia distinta a su frecuencia natural (vibración forzada) la onda que va y la que vuelve interferirán destructivamente en mayor o menor medida dando lugar a una onda de poca energía. Cuando suministramos energía a la cuerda haciéndola vibrar en uno de sus extremos con una frecuencia igual a una de sus frecuencias naturales conseguimos una onda estacionaria. La diferencia con el péndulo o la masa unida a un resorte es que la cuerda tiene infinitas frecuencias de resonancia, todas ellas son múltiplo entero de la frecuencia más pequeña llamada fundamental. Supongamos una cuerda atada por un extremo y siempre sometida a la misma tensión (para que la velocidad de propagación de la onda sea la misma). Si por el otro extremo la hacemos oscilar a diferentes frecuencias obtendremos ondas estacionarias como las siguientes cuando la frecuencia de oscilación coincidan con ν1, 2ν1, 3ν1, 4ν1, … (donde ν1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda, para esa tensión y esa longitud):

Si te das cuenta hay una relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de onda (λ) de las ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria. Siempre la cuerda debe

contener un número de veces media λ, es decir: 2

nLλ= o lo que es igual

n

L 2=λ

Puesto que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda ( ν⋅λ=v ) si en cada modo de vibración λ se hace la mitad, la tercera parte, la cuarta parte … la frecuencia será doble, triple, cuádruple …. Es decir que las frecuencias para las que se produce onda estacionaria son 1 nν=ν , donde ν1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda. Calculo de la frecuencia fundamental de vibración: (Ampliación) Como verás enseguida, la frecuencia fundamental de vibración de una cuerda depende de la tensión de la cuerda, de su longitud y de su masa. Quiere decir que cuando calculemos una frecuencia lo hacemos para determinados valores de esos tres parámetros. Otra advertencia antes de comenzar es que no confundas la frecuencia de vibración del foco que transmite la energía a la cuerda con la frecuencia de vibración de la cuerda, aunque ambas coincidan cuando la cuerda vibre en resonancia. Lo más sencillo sería disponer de un aparato capaz de vibrar a diferentes frecuencias. No hay más que colocarlo al otro extremo de la cuerda y tensarla. (ves? ahora tenemos valores concretos para T, L y masa de la cuerda). Ahora vamos variando la frecuencia de oscilación del vibrador hasta conseguir en la cuerda una onda estacionaria con un solo vientre. En tal caso, como la cuerda estaría resonando con el vibrador, la frecuencia de éste sería igual a la fundamental de la onda. (Ojo, que si variamos la tensión, o la longitud de la cuerda tendremos una frecuencia distinta). Como es bastante probable que no dispongamos de tal aparato, podemos hacer otra cosa: vamos a poner un vibrador de frecuencia única (un cronovibrador de los que hay en cualquier laboratorio que vibran a 60 Hz, igual que la corriente alterna) y, como no podemos variar su frecuencia, lo que haremos es variar la tensión de la cuerda hasta que la frecuencia de la onda iguale a la del cronovibrador. En tal caso resonarán y en la

cuerda obtendremos los distintos modos de vibración dependiendo de la tensión. (La tensión de la cuerda podemos medirla muy fácilmente con la ayuda de una polea y varias masas, como se indica en la figura de más abajo.) Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación de una onda es ν⋅λ=v y que en

el caso de ondas que se propagan por una cuerda la velocidad es µ= /Tv , donde T es

la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda (masa/longitud), tenemos:

ν=νλ=µ

=n

L2

Tv →

µ=ν T

L2

n

L = longitud de la cuerda µ = densidad lineal = masa de la cuerda/longitud T = Tensión de la cuerda = mg = peso de la masa que tira de la cuerda, como se indica en el esquema siguiente, y que hace que en la cuerda se forme una onda estacionaria. Según el número de vientres le daremos a n el valor que corresponda: Cuando vibre con un solo vientre (n=1) obtenemos la frecuencia fundamental de vibración. Para n=2, 3, … obtenemos la frecuencia del resto de los armónicos.

Relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria Ya hemos visto que en todos los modos de vibración de una onda estacionaria se cumple que la longitud de cuerda debe contener un número de veces media λ. El motivo es muy sencillo: Cuando en una punta de la cuerda generamos una onda, ésta viaja hacia la otra punta donde se refleja. Cuando llega al punto de partida vuelve a reflejarse por segunda vez. Como en cada reflexión invierte la fase en π, la onda ahora está como al principio después de recorrer un espacio 2L (suponiendo que no se perdió energía). Si en este momento el vibrador genera una onda nueva, ahora tendremos dos ondas que interferirán constructivamente, y la onda resultante tendrá una amplitud doble que las ondas que la producen, si la diferencia de camino es un múltiplo entero de λ, es decir,

cuando x1-x2 = nλ = 2L → 2

nLλ= o lo que es igual

n

L 2=λ

Con este sencillo razonamiento se explica la relación que hay entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria, pero además nos ayuda a entender porqué la amplitud de la onda estacionaria puede llegar a ser muy grande con respecto a la amplitud de las ondas que genera el vibrador. Es muy sencillo, porque cada vez que la onda que está viajando por la cuerda llega al punto de partida vuelve a interferir constructivamente con la nueva onda que generado el vibrador. Por eso cada nueva onda hace aumentar la amplitud más y más. Hasta el infinito si no hubiera pérdidas de energía. Ondas estacionarias en una cuerda con un extremo libre. Cuando una onda que viaja por una cuerda llega al otro extremo puede ocurrir dos cosas: 1. Que el otro extremo esté fijo. En tal caso, al no poder vibrar se comporta como un nodo y al llegar a él la onda se refleja y consecuentemente invierte su fase, es decir, la onda que vuelve está desfasada π respecto de la que incide. Este es el caso correspondiente a los dibujos anteriores.

2. Que el otro extremo esté libre. En tal caso la onda al llegar al extremo se vuelve sin cambiar de fase, en consecuencia en se extremo siembre tendremos un vientre:

Obviamente todo lo anterior vale para esta situación, con la salvedad de que en este caso la longitud de la cuerda no contiene un número entero de λ/2, sino que ahora (como en el extremo debe haber un vientre) la longitud de la cuerda debe ser un número "impar" de λ/4.

Ejemplo: En una cuerda, con sus dos extremos fijos, se ha generado una onda estacionaria que tiene por ecuación t20senx5,0cos4y π⋅π⋅= (S.I.). calcular: a) la amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda de las ondas que dan lugar a ella. b) la distancia entre dos nodos c) la velocidad con que se propaga d) la expresión de la velocidad de una partícula que dista 2m del foco, en función del tiempo e) la ecuación de las ondas que dan lugar a esa onda f) qué longitud mínima debe tener la cuerda para que pueda contener esa onda g) qué longitud debe tener la cuerda para que la onda estacionaria presente 3 nodos h) si la onda en cuestión presenta 1 vientre ¿qué podríamos hacer para que, en esa misma cuerda sin cambiar su longitud, presente 2 vientres? ¿cambiaría su frecuencia? a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación general de una onda estacionaria: (esta onda se ha obtenido superponiendo dos ondas armónicas desfasada π radianes respecto de las que nosotros hemos considerado, pero eso no cambia nada)

t20senx5,0cos4y π⋅π⋅=

T

t2cos

x2seny2y m π

λπ=

Amplitud de la OE: x5,0cos4A π⋅= (es distinta para cada punto x) m 4y OE.máx =

Amplitud de las ondas que generan la OE: m 2ymax =

seg 1,0T = y la frecuencia que es su inversa: Hz10T/1 ==ν m 4=λ

b) La distancia entre dos nodos (o antinodos) consecutivos es λ/2 = 2 m

c) la velocidad de propagación de las ondas que generan esta onda estacionaria es:

s/m 401,0

4

Tv ==λ=

d) La velocidad de cualquier partícula se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo:

t20cosx5,0cos204dt

dyv π⋅π⋅π⋅==

el punto x=2 m t20cos80v 2x π⋅π−==

e) Las ecuaciones de las ondas que por superposición dan lugar a esta onda estacionaria deben ser dos ondas iguales de amplitud 2cm y de la misma longitud de onda y periodo, solo que deben viajar en sentidos opuestos, por tanto:

)1,0

t

4

x(2sen2y1 +π= Avanza hacia la izquierda

)5,01,0

t

4

x(2sen2y2 +−π= Avanza hacia la derecha (Desf. π)

si sumamos: T

t2sen

x2cosy2)

2T

t2cos()

2

x2(seny2yyy máxmáx21 π

λπ=π−ππ+

λπ=+=

donde se ha tenido en cuenta que α=π+α cos )2

(sen y que α=π−α sen)2

cos(

f) La longitud de la cuerda debe ser un múltiplo entero de media longitud de onda, ya

que en cada extremo debe haber dos nodos: 2

nLλ= . Por tanto, para una m 4=λ la

cuerda debe, como mínimo, tener una longitud de 2 m:

g) Para que en la cuerda tenga lugar una onda estacionaria como t20senx5,0cos4y π⋅π⋅= que

contenga 3 nodos, la longitud de la cuerda debe ser 2

nLλ= [donde n= 2 (nº de vientres)] = 4m

h) Si la onda estacionaria tiene 1 solo vientre y una m 4=λ , quiere decir, como hemos razonado en el apartado f), que la longitud de la cuerda es L=2 m Si ahora queremos que en esos L=2 m haya dos vientres, la longitud de la nueva onda debe ser m 2=λ como puede comprenderse observando la figura:

¿Cambiaría su frecuencia? Teniendo en cuenta que νλ= v resulta obvio que al variar la longitud de onda pueden ocurrir dos cosas: 1. Si la velocidad no varía deberá cambiar la frecuencia de la onda. Como λ se hace la mitad es preciso que ν se haga el doble. La primera cuerda vibra con una frecuencia de 10 Hz llamada frecuencia fundamental o primer armónico. La segunda cuerda vibra con frecuencia de 20 Hz y corresponde al segundo armónico o primer sobretono. 2. Si queremos que la cuerda vibre con la misma frecuencia, deberá cambiar la velocidad de propagación de la onda por la cuerda. Como λ se hace la mitad es preciso que la velocidad se reduzca también a la mitad y eso se puede conseguir disminuyendo

la tensión de la cuerda ya que µ= /Tv , donde T es la tensión de la cuerda y µ es la

densidad lineal de la cuerda (masa/longitud). PRINCIPIO DE HUYGENS El principio de Huygens permite conocer cual es el nuevo frente de una onda dado el anterior. (Se llama frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que en un momento dado están en fase) El principio de Huygens dice que todos los puntos que son alcanzados por un frente de ondas se comportan como focos secundarios. Al cabo de un tiempo, el nuevo frente de ondas será la envolvente de todas las ondas elementales.

Supongamos que en un instante determinado el frente de ondas es (1). Según el principio de Huygens los puntos A, B, C, etc de éste frente de ondas se comportan como emisores de ondas secundarias. Al cabo de un tiempo t habrán avanzado vt y la tangente a todas ellas será el nuevo frente de ondas (2)

Los puntos A, B, C, etc en realidad no se comportan como verdaderos focos, ya que la intensidad de las ondas que emiten no es la misma en todas direcciones. Es máxima hacia delante y mínima hacia atrás, y precisamente por eso la onda avanza hacia delante. A continuación vamos a ver como el principio de Huygens puede explicar muchos fenómenos ondulatorios como la reflexión, refracción y difracción. REFLEXIÓN Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios una parte de ella se refleja en el mismo medio y otra parte se difracta y viaja en el segundo medio. Las leyes de la reflexión de Snell son:

• El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano • El ángulo de incidencia (i) y el ángulo de reflexión (r) son iguales

(rayo es la línea que corresponde a la dirección en que se propaga la onda, es decir es la perpendicular al frente de ondas) Ahora vamos a ver como se pueden explica estas leyes sin más que tener en cuenta el principio de Huygens. Supongamos un frente de ondas plano AB que choca contra un obstáculo:

Cuando el punto A del frente de ondas toca en el obstáculo, de acuerdo al principio de Huygens comienza a formar ondas y, puesto que viajan en el mismo medio, tardan en llegar a C lo mismo que B en llegar a D, es decir, v t=BD=AC . Según esto tenemos dos triángulos iguales (porque tienen dos lados y un ángulo iguales) y por tanto i = r REFRACCIÓN Las leyes de la refracción son:

• El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano • El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es

igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el

segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio respecto del primero (n21)

212

1 nv

v

senr

seni ==

Vamos a explicarlo haciendo uso del principio de Huygens. Supongamos un frente de ondas plano AB que viaja por el medio (1) e incide en el medio (2) donde se propaga con una velocidad menor.

Cuando A llegue a la superficie según Huygens se comportará como un nuevo foco, pero como en el medio (2) la onda viaja más despacio entonces la distancia tv =AC 2 será menor

que la que en el mismo tiempo ha recorrido en el otro medio tv =BD 1 , es decir que:

212

1

2

1

nv

v

AD

tvAD

tv

senr

seni ===

Resulta evidente, que como la velocidad de la onda varía al cambiar de medio y la frecuencia siempre permanece invariable, debe cambiar la longitud de onda, así que:

2

1

2

1

2

121 v

vn

senr

seni

λλ=

νλνλ===

Resulta muy ilustrativa la experiencia de Tyndal, en la que utilizó un modelo mecánico formado por un par de ruedas de un coche de juguete que se dejan caer por una rampa hasta

entrar en el agua. Naturalmente, como en el agua la velocidad es menor, al entrar en contacto la primera rueda disminuye su velocidad, mientras que la otra continúa moviéndose mas rápido y como consecuencia el rayo (la dirección del movimiento) se acerca a la normal. Si el rayo pasa de un medio en el que la velocidad es menor a uno en el que la velocidad es mayor se aleja de la normal. En la lección siguiente volveremos a estudiar estos conceptos aplicados a la naturaleza ondulatoria de la luz y además trataremos los conceptos de ángulo límite y reflexión total. Ejemplo: Un rayo de luz blanca incide con un ángulo de 30º desde el aire sobre una lámina de vidrio. ¿Qué ángulos de refracción formarán el rojo y el azul? Datos: nrojo=1,612 nazul=1,671

612,1senr

30sen

rojo

= ⇒ º07,18rrojo =

671,1senr

30sen

azul

= ⇒ º41,17razul =

Como se ve, al tener distinto índice de refracción, porque depende ligeramente de la longitud de onda, hace que los rayos que componen la luz blanca tengan distintas velocidades y que se separen una vez que atraviesan el cristal. Al fenómeno se le llama dispersión.

DIFRACCIÓN Supongamos que disparamos una escopeta de cartuchos sobre una pared y que interponemos un objeto. Es evidente que en lo que sería su sombra no recogeremos ni un solo impacto. De igual forma, si interponemos un objeto con un orificio solamente recogeríamos los impactos que pasan por el orificio. Este es el comportamiento de las partículas: Sin embargo si lo que llega a los obstáculos es un tren de ondas “de longitud de onda comparable a la del tamaño del obstáculo o de la ranura” se produce un fenómeno curioso: las ondas bordean el obstáculo como si lo ignorasen: En ambos casos, muy fáciles de ver en la cubeta de ondas, la onda parece bordear los objetos, en lugar de propagarse rectilíneamente. Además, estamos familiarizado con estos fenómenos, ya que debido a la difracción del sonido podemos oír detrás de una puerta. (En el caso del sonido la longitud de onda va de unos 17m, para los graves hasta 0,017m para los agudos. Como se sabe por experiencia a través de una puerta, en otra habitación, se escuchan muy bien los graves pero no los agudos al ser su longitud de onda muy pequeña comparada con las dimensiones de la puerta. Los mismos resultados se pueden observar para la luz, solo que en este caso como su longitud de onda es pequeñísima necesita rendijas muy pequeñas. De todas formas si casi cierras los ojos puedes notar la difracción de la luz entre las pestañas. Debido a la difracción de la luz es imposible obtener un rayo de luz mediante un diafragma, porque a medida que lo cerremos se va pareciendo aun rayo, pero llega un momento (cuando el diámetro es comparable a la longitud de onda de la luz) que se difracta y se abre. Cuando una luz monocromática pasa a través de una abertura circular, de diámetro a, y se recoge sobre una pantalla, situada una distancia d, se obtienen una serie de anilos concéntricos claros y oscuros.

• El disco central es brillante y en él se concentra la mayoría de la luz • Al ángulo para el que se ve el primer anillo brillante puede obtenerse

asen

λ=α

Estos hechos se explican suponiendo que todos los puntos de la abertura son focos elementales, de acuerdo al principio de Huygens, y que la figura no es más que la interferencia producida por todos ellos. En otras palabras, la difracción no es más que las interferencias producidas por un número elevado de focos. En efecto, teniendo en cuenta que las interferencias constructivas se producen para diferencias de recorrido múltiplos de la longitud de onda: λ=− nxx 21 . El círculo central tiene lugar para n=0, el primer anillo claro se produce para n=1, el segundo para n=2, etc

fíjate en la figura que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que para el primer anillo (n=1):

asen

λ=α que introduciendo un factor puede escribirse como a

22,1λ=α

Además, como de la figura d/htg =α es fácil calcular la distancia h a que estará el primer anillo con interferencia constructiva.

AMPLIACION VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS EN ALGUNOS ME DIOS

• La velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda depende de la tensión de la cuerda y de la densidad lineal (µ=masa/longitud)

µ

= Tv

Por ejemplo, en el caso concreto de una cuerda que sujeta a una masa m como en la figura, su tensión será igual al peso de la masa. Por tanto si la longitud de la cuerda es L y su masa es mc

cc m

mgL

L

mmgT

v ==µ

=

• La velocidad de propagación en las ondas longitudinales:

En los sólidos depende de la constante elástica del sólido (módulo de Young: Y=fuerza/deformación ) y de su densidad.

ρ= Y

v

En los gases, como el sonido en el aire, la velocidad es proporcional a la

temperatura absoluta del gas. Como depende de la densidad y de la presión, al ser los gases muy comprensibles, la densidad de las expansiones y enrarecimientos cambia al variar la presión.

ªTkP

v =ρ⋅γ=

observa que, según la ecuación de los gases perfectos, nRTPV = y como el número de moles es igual a la masa dividido por el peso molecular Pm/mn = y la densidad es V/m=ρ

nRTPV = ⇒ RTPm

mPV = ⇒

RT

PmP

V

m ⋅==ρ

Tk

RT

PmPPP

v =⋅⋅γ=

ρ⋅γ=

• La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es una constante y

es igual a la relación que existe entre el valor máximo de la intensidad del campo eléctrico y el valor máximo del campo magnético:

s/m1031

B

Ev 8

max

max ⋅=ε⋅µ

==

La permeabilidad magnética (µ) es una constante que depende de las propiedades del medio y representa la capacidad del medio para ser atravesado por un campo magnético. Para el vacío 7

o 104 −⋅π=µ N/A2

La constante dieléctrica (ε) también depende del medio e indica la forma en que el medio se afecta por un campo eléctrico. Para el vacío 12

o 1085,8 −⋅=ε N.m2/C2

Ejemplo: a) Una cuerda de guitarra tiene una longitud de 70 cm y una masa de 6 g. Calcular la velocidad de propagación de la onda cuando se somete a una tensión de 203,3 N. b) Longitud de onda de la onda generada al pulsar la cuerda. c) frecuencia d) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la tensión. e) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la masa de la cuerda (Cambiamos la cuerda por otra cuerda más gruesa). a) La velocidad con la que se propaga la onda por la cuerda, que solo es función de la tensión y de densidad lineal es:

s/m 154

70,0

006,0100

L

mTT

vc

===µ

=

b) Al pulsar la cuerda se obtiene una onda estacionaria como consecuencia de la superposición de dos ondas exactamente iguales que viajan en sentidos opuestos. (La que va y la que se refleja.). La cuerda vibrará con su frecuencia natural, que es aquella que tiene dos nodos (uno en cada extremo).

Teniendo en cuenta que la distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, tenemos que λ=1,40m (el doble de la longitud de la cuerda)

c) La velocidad de propagación de la onda es ν⋅λ=λ= T/v → 154 = 1,4*ν → ν = 110 Hz (Esa frecuencia corresponde al LA de la quinta cuerda al aire)

Teniendo en cuenta que ν⋅λ==µ

=

L

mTT

vc

Puesto que la longitud de la cuerda no varía y tampoco la longitud de onda (que en su frecuencia natural es λ=2L) tenemos que: d) Si aumentamos la tensión de la cuerda aumentará la frecuencia de la onda, ya que

( )Tf=ν . Lo que está de acuerdo con la experiencia, ya que sabemos que al apretar una cuerda suena más agudo, es decir, aumenta su frecuencia. e) Si aumentamos la masa de la cuerda disminuirá la frecuencia de la onda, ya que

( )m/1f=ν . También confirma nuestra experiencia, ya que sabemos que las cuerdas más gordas producen frecuencias más bajas. OTRAS MAGNITUDES ASOCIADAS A UNA ONDA:, INTENSIDAD y ABSORCIÓN Intensidad de una onda se define como la energía que transporta una onda por unidad de área y tiempo o, lo que es igual, la potencia que atraviesa la unidad de superficie colocada en dirección normal a la dirección de propagación: En el caso concreto de una onda esférica, a una distancia r del foco, si la potencia es P y teniendo en cuenta que el área de la espera es 2r4π la intensidad de la onda sería:

22 r4

t/E

r4

PI

π=

π=

Como ya suponíamos y ahora podemos comprobar, si el medio es isótropo, la energía radiada por el foco se irá repartiendo en ondas esféricas, con lo que la intensidad disminuirá con el cuadrado de la distancia. Sin embargo la potencia radiada por el foco, o lo que es igual la energía transmitida por segundo, permanecerá constante:

2221

21 IR4IR4P π=π=

de donde

21

22

2

1

R

R

I

I=

Como la intensidad es proporcional a la energía y ésta es proporcional al cuadrado de la amplitud ( 2

max22 y2mE ⋅νπ⋅= ), podemos poner que:

22max,

21max,

2

121

22

2

1

y

y

E

E

R

R

I

I===

Así que para el caso de una onda esférica la amplitud disminuye linealmente con la distancia a foco:

1

2

2max,

1max,

R

R

y

y=

Naturalmente estos resultados se han obtenido para el caso de una onda esférica y no valen para una plana, ya que en ella la energía no se reparte en esferas, sino en circunferencias, y por tanto la intensidad no disminuirá con tanta rapidez. En este caso la intensidad se define como la potencia que atraviesa la unidad de longitud, así que:

r2

PI

π=

Como puedes demostrar siguiendo el mismo razonamiento, los cuadrados de las amplitudes son proporcionales a las distancias al foco. Por último, en el caso de una onda que se propaga en una dimensión, ahí si que todos los puntos tienen la misma energía, puesto que se la transmiten de uno al siguiente, y por tanto también todos ellos vibran con la misma amplitud. Absorción: Hemos quedado que en una onda (salvo que se propague en una dimensión), la amplitud va disminuyendo conforme nos alejamos del foco, pero en realidad como el medio absorbe energía la disminución de la intensidad es aún mas rápida. Como la disminución de intensidad (−dI) al atravesar un espesor recorrido (dx) es proporcional a la intensidad de la onda se puede poner que: (el signo menos indica que la intensidad disminuye al recorrer un espesor dx)

Idx

dI ⋅β=−

donde β es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de absorción del medio

dxI

dI ⋅β−=

Si integramos y tenemos en cuenta que inicialmente, cuando x=0, la intensidad es Io y cuando x=L la intensidad es I

∫ ∫ ⋅β−=I

I

L

00

dxI

dI

[ ] [ ]Lo

II xIlno

β−=

LIlnIln o β−=−

LI

Iln

o

β−=

L

oeII β−= Como puedes ver la intensidad de una onda decae exponencialmente a medida que se propaga. Si la representamos obtendremos:

Al camino recorrido para que la intensidad se reduzca a la mitad se le llama espesor de semiabsorción (X). Sustituyendo tendremos que:

Xe2

1 β−=

tomando logaritmos neperianos y espejando X:

X2ln1ln β−=− ⇒ β

= 2lnX

PULSACIONES Las pulsaciones son un caso especial de interferencias que tienen lugar cuando coinciden dos ondas de frecuencias distintas pero muy parecidas. Las pulsaciones se producen, por ejemplo, cuando se tocan dos notas próximas de un piano, o cuando dos instrumentos están a punto de afinarse.

Al tratarse de un sonido, nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ν1 + ν2) / 2, pero que cambia en amplitud, y puesto que la intensidad sonora es proporcional al cuadrado de la amplitud, el resultado es que percibios el sonido como si subiera y bajara.

EFECTO DOPPLER El efecto Doppler consiste en la variación de frecuencia con que un observador percibe una onda cuando éste y el foco tienen un movimiento relativo. Cuando el observador y el foco están en reposo no hay efecto Doppler y el observador percibe la onda con su frecuencia real con que la emite la fuente:

λ

vonda=ν (1)

Sin embargo, si el observador y el foco se acercan la frecuencia aparente es mayor que la que emite el foco (en el caso del sonido se escucharía mas agudo) y si se alejan ocurriría lo contrario y el sonido se percibiría como más grave. A) Supongamos que el foco está en reposo (vF=0) y el observador se acerca con una velocidad vobs.

Si las ondas viajan con una velocidad vonda, el observador pensará que se le acercan con una velocidad vonda+vobs y en consecuencia las oirá con una frecuencia igual a :

λ

vv´ obsonda +=ν (2)

eliminado la longitud de onda entre esta ecuación y la (1) que nos da la frecuencia real del foco, resultará que:

λ

vonda=ν

λ

vv´ obsonda +=ν

+ν=ν

onda

obsonda

v

vv´ Observador que se acerca al foco

Como puede verse la frecuencia que se percibe al acercarse en mayor y el sonido es más agudo. De la misma se puede razonar para el caso de que el observador se aleje y resultaría:

−ν=ν

onda

obsonda

v

vv´ Observador que se aleja del foco

B) Supongamos que el observador está en reposo (vobs=0) y el Foco se acerca con una velocidad vF.. Es evidente que para el observador la longitud de onda será más pequeña que la que en realidad emite la fuente, porque en un tiempo igual al periodo, la onda viaja un espacio igual a λ pero el foco se ha desplazado un espacio igual a tFocov , donde

si ha recorrido una λ el tiempo será igual al periodo, es decir que:

Tv´ Foco−λ=λ

teniendo en cuenta que λ=ν /vonda y que ´/v´ onda λ=ν y que ν= /1T podemos

poner:

Tv´ Foco−λ=λ → ν

v

ν

v

ν´

v Focoondaonda −= de donde:

−=

Focoonda

onda

vv

vνν´ El foco se acerca al observador

Como puede verse, cuando el foco se acerca al observador la frecuencia que éste percibe es mayor que la que realmente emite, y el sonido se escucharía más agudo. Un ejemplo bastante elocuente de un que cuando un foco se nos acerca la longitud de onda que percibios disminuye lo tenemos en el caso de un bicho que avanza hacia nosotros nadando y a medida que lo hace emite ondas en la superficie del agua (Observador B de la figura):

Razonando de manera parecida, cuando el foco se aleja del observador obtendríamos que la frecuencia es menor y el sonido más grave (Observador A de la figura):

+=

Focoonda

onda

vv

vνν´ El foco se aleja del observador

Resumiendo:

• Cuando el observador y el foco se acercan uno respecto al otro la frecuencia aparente es mayor que la emitida por la fuente y viceversa

• Las anteriores expresiones se pueden resumir en:

±±

=Focoonda

obsonda

vv

vvνν´

Donde “el signo + del numerador y el menos del denominador corresponden al caso de que el observador y el foco se acerquen”. Si el foco estuviera en reposo haríamos vFoco=0 y si el observador estuviera en reposo haríamos vobs=0. Recuerda que v es la velocidad de propagación de la onda en el medio. Ejemplo: Una ambulancia se acerca con una velocidad de 20m/s tocando la sirena. Si la frecuencia del sonido que emite es de 1000Hz y la velocidad del sonido es de 340m/s: a) Cual es la longitud de onda delante de la ambulancia? b) Con qué frecuencia perciben el sonido de la sirena los sanitarios que están esperando? a) La longitud de onda que emite la sirena es:

m34,01000

340

ν

vsonido ===λ

Cuando la onda avanza 0,34m, en lo que invierte un tiempo igual al periodo, la ambulancia habrá avanzado un espacio igual a vFT es decir:

m02,01000

120Tvs Foco =⋅==

por tanto la longitud de onda de la sirena delante de la ambulancia será:

m32,002,034,0Tv´ Foco =−=−λ=λ

b) Para los sanitarios que están en reposo la longitud de onda que perciben es λ´ y por tanto la frecuencia del sonido será:

Hz106232,0

340

´

v´ sonido ==

λ=ν

Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la ecuación general y haciendo vobs=0:

Hz106220340

3401000

vv

vν

vv

vv´

Focoonda

onda

Focoonda

obsonda =

−=

−=

±±

ν=ν

Ejemplo: La longitud de onda de la luz que procede de las galaxias, tan alejadas de nosotros que pueden considerarse como puntos luminosos, presenta una desviación hacia el rojo. ¿Qué significa esto? Datos: El espectro visible va del azul al rojo: rojoazul λ<λ

Puesto que la velocidad de la onda, en este caso la luz, es ν⋅λ=c un corrimiento hacia el rojo significa que la longitud de onda aumenta, o lo que es igual que la frecuencia de la luz que nos llega de la galaxia es más pequeña que la que en ella se origina. Por tanto, si la frecuencia que percibimos es menor de la que realmente se origina, eso quiere decir que la galaxia se aleja de la tierra a gran velocidad, lo que está de acuerdo con la teoría de expansión del universo del big−bang.

VELOCIDADES SUPERSÓNICAS. ONDAS DE CHOQUE Cuando la fuente viaja a una velocidad superior a la de propagación del sonido (vFoco>vonda) decimos que la velocidad es supersónica. En el caso contrario sería subsónica. Supongamos una fuente F que emite ondas y que vFoco>vonda. Al cabo de un cierto tiempo t la onda habrá avanzado un espacio vondat, pero en ese mismo tiempo el foco habrá avanzado vFoco .t con lo que siempre se encontrará por delante de la onda:

Si se representan las ondas que fue emitiendo por las distintas posiciones que pasó, la envolvente es un cono en cuyo vértice está el foco:

Foco

onda

Foco

onda

v

v

tv

tvsen ==α Al inverso de vonda/vFoco se le llama número de Mach.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en una lancha que se mueve sobre el agua. El cono que forman las ondas que emite tiene esa forma porque la lancha viaja más deprisa que las ondas en la superficie del agua. Lo mismo ocurre con los aviones supersónicos. En este caso, habrás escuchado el estruendo que hacen algunas veces. Esto ocurre justamente en el momento en que se atraviesa la barrera del sonido. Literalmente se trata de una barrera de ondas, ya que justamente en el momento en que el avión vuela a la misma velocidad del sonido todos los frentes de ondas se encuentran delante justo de él reforzándose unas ondas a otras:

TEMA 3. ÓPTICA PARTE 1 Controversia histórica sobre la naturaleza de la luz: modelos corpuscular y ondulatorio. Dependencia de la velocidad de la luz con el medio. Algunos fenómenos producidos con el cambio de medio: reflexión, refracción, absorción y dispersión.

• Modelo corpuscular y Modelo ondulatorio; caracterización y evidencia experimental en apoyo de cada modelo.

• Reflexión y refracción de la luz; Leyes de Snell. • Índice de refracción. Relativo y Absoluto • Ángulo límite. • Reflexión total. • Lámina de caras plano paralelas • Prisma • Dependencia de la velocidad de la luz en un medio material con la frecuencia; dispersión • Absorción de la luz • Espectros de emisión y de absorción

PARTE 2 Óptica geométrica: comprensión de la visión y formación de imágenes en espejos y lentes delgadas. Pequeñas experiencias con las mismas. Construcción de algún instrumento óptico.

• Propagación rectilínea de la luz. Formación de imágenes por reflexión y refracción. • Dioptrio esférico y dioptrio plano. Formación de imágenes y características. • Espejos. Formación de imágenes y características. Aplicaciones. • Lentes delgadas. Formación de imágenes y características. • Instrumentos ópticos (lupa, cámara fotográfica, proyector, anteojo, microscopio).

PARTE 3 Estudio cualitativo del espectro visible y de los fenómenos de difracción, interferencias y dispersión. Aplicaciones médicas y tecnológicas.

• Diferentes regiones del espectro electromagnético; características y aplicaciones.

NATURALEZA DE LA LUZ Es evidente que un rayo luminoso transporta energía, no hay más que tumbarse al sol o acercar la mano a una bombilla para comprobarlo. Como sabemos las únicas formas de propagar la energía es mediante un corpúsculo o mediante una onda, y así tenemos las dos teorías que se han ido desarrollando a lo largo de la historia. 1. Teoría corpuscular de Newton (1642−1726) Para Newton la luz emite unos pequeños corpúsculos que se propagan en línea recta y a gran velocidad y que pueden ser reflejados por la materia. La teoría de Newton podía explicar fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la formación de sombras y penumbras, así como la reflexión de la luz de la misma manera que si se tratara de una pelota que choca contra el suelo. Sin embargo no pudo explicar la refracción de la luz, ya que si fuese como una pelota, al chocar con el agua, donde la velocidad es menor, su componente vertical se vería frenada mientras que no le ocurriría nada a la componente horizontal, y como consecuencia el rayo se alejaría de la normal, cosa que no ocurre:

para explicar lo que realmente ocurre, que es justo lo contrario ya que como sabemos el rayo se acerca a la normal, Newton sugirió que el corpúsculo de luz era atraído por la superficie del agua y que entones su velocidad en el agua era mayor, cosa que no es verdad, pero que dado el prestigio de Newton tuvo una amplia aceptación. 2. Teoría ondulatoria de Huygens (1629−1695) Huygens, contemporáneo de Newton, pensaba que la luz tenía naturaleza ondulatoria, similar al sonido. El problema es que como no se concebía la idea de que una onda se propagara en el vacío se ideo un medio mas sutil que el aire al que se llamó éter y que debería llenar el vacío. Con esta idea Huygens explicó mediante el principio que lleva su nombre las leyes de la reflexión y de la refracción. Se le achacaba que si la luz era como el sonido ¿porqué no bordeaba los objetos, es decir porqué no se producía difracción?. Hoy sabemos que para que se produzca difracción el tamaño de la rendija debe ser de unas dimensiones comparables a la longitud de onda de la luz. En el caso del sonido las dimensiones de los objetos

corrientes son apropiadas, pero como la luz tiene una longitud de onda muy pequeña necesita rendijas pequeñísimas. 3. Young (1773−1829) y Fresnel (1788−1827) Consiguieron fenómenos de interferencias y difracción con rayos luminosos, demostrando que luz mas luz puede dar oscuridad, ambos fenómenos inexplicables desde fuera de un modelo ondulatorio. Por si fuera poco se consiguió polarizar la luz, con lo que además se puso de manifiesto que era una onda transversal. Además Foucault y después Michelson probaron que la velocidad de la luz era mayor en el aire que en el agua, dando la razón a Huygens. Todos estos motivos supusieron el triunfo de la teoría ondulatoria sobre la corpuscular. 4. Maxwel (1831−1879) Maxwel desarrolló su teoría sobre las ondas electromagnéticas, demostrando que eran debidas a la propagación de un campo eléctrico y otro magnético variables que se propagaban perpendicularmente y a la velocidad de la luz.

Ello llevó a pensar que la luz era una onda electromagnética y así se puso de manifiesto cuando Herz obtuvo con un circuito oscilante OEM (ondas de radio) de las mismas características a las de la luz salvo que de una frecuencia mucho menor, lo que probó sin lugar a dudas que la luz era una OEM. Además como las OEM pueden propagarse en el vacío se eliminó definitivamente el problemático concepto del éter. La teoría de la OEM de Maxwel supuso el mazazo definitivo a la teoría corpuscular y así a finales del siglo XIX todo parecía muy claro a favor de una teoría ondulatoria de la luz. 5. Luis de Broglie (1892−1987) Pronto aparecieron nuevos fenómenos como la interpretación de la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y especialmente el efecto Comptom que eran totalmente inexplicables desde un punto de vista ondulatorio y sí desde un punto de vista corpuscular. Luis de Broglie puso fin a la controversia indicando que, no solo la luz, sino todas las partículas en movimiento tienen asociada una onda ( vm/h=λ ), es decir que la luz

tiene doble naturaleza: de onda y de corpúsculo. Esta suposición quedó plenamente confirmada cuando Thomson y Davisson consiguieron la difracción de electrones, es decir que los electrones, que sin ningún género de dudas son partículas, pueden dar lugar a fenómenos de difracción que son típicos y exclusivos de las ondas. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ Cuando una rayo de luz llega a la separación de dos medios transparentes una parte se refleja en el mismo medio y otra parte se refracta y viaja en el segundo medio. Las leyes de la reflexión son:

• El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano • El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales

Las leyes de la refracción son:

• El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano • El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es

igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio respecto del primero (n21)

212

1 nv

v

senr

seni ==

Del estudio de la refracción de la luz se deduce que:

• La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en el resto de los medios • En el vacío la velocidad de la luz es constante y no depende la longitud de onda,

mientras que en el resto de los medios la velocidad depende de la longitud de onda de la luz

• La frecuencia de la luz no varia y es la misma en el vacío que en el resto de los medios

Índice de refracción absoluto de un medio (n): Al definirse el índice de refracción como el cociente entre la velocidad de la onda en el primer medio por la velocidad en el segundo medio, obviamente se requieren dos medios. No obstante, si el primer medio es el vacío (o el aire) podemos definir índice de refracción absoluto como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en ese medio:

mediomedio v

cn =

por tanto, el índice de refracción del vacío ( y aproximadamente el del aire) es n=1. Para el resto de los medios, siempre es mayor que 1, puesto que c siempre es mayor que vmedio. De acuerdo a lo anterior podemos definir Índice de refracción relativo del medio 2 respecto del medio 1 (n21) se define como el cociente entre el incide de refracción absoluto del medio 2 dividido por el del medio 1

2

1

1

2

1

221 v

v

v

cv

c

n

nn ===

de acuerdo con esto, la ley de snell de la refracción puede escribirse de otra forma:

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni ===

o bien escribirse como: senrnsenin 21 =

Longitud de onda e índice de refracción: Resulta evidente, que si la velocidad de la onda varía al cambiar de medio, mientras que su frecuencia permanece invariable, debe cambiar la longitud de onda, así que:

2

1

2

1

2

121

λ

λ

νλ

νλ

v

vn ===

Si el medio 1 es el vacío, n21 será siempre mayor que la unidad, por tanto la longitud de onda en el vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio.

Todas las expresiones se resumen en: 2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

====

Ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción de 90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de separación de los dos medios, por tanto:

2

1

v

v

senr

seni = Si º90r = ⇒ 1

2

2

1lím n

n

v

vseni ==

Condiciones: Como el valor del seno no puede ser mayor que 1, para que se produzca ángulo límite es preciso que 21 vv < o bien que el índice de refracción absoluto del segundo medio sea menor que el del primero, como ocurre por ejemplo cuando la luz pasa del agua al aire: 21 nn > .

Como vemos, para un ángulo de incidencia igual al cociente de la velocidad de propagación ente los dos medios el rayo de refractado saldrá tangente a la superficie separación entre ambos medios, pero si el ángulo de incidencia en aun mayor entonces el rayo no llegará a cambiar de medio porque se reflejará, diciéndose que se produjo reflexión total. E1A.S2008 Un teléfono móvil opera con OEM de frecuencia ν=9.108 Hz a) Determina la longitud de onda y el número de onda en el aire. b) Si la onda entra en un medio en el que su velocidad de propagación es 3c/4, razona qué valores tienen la frecuencia, la longitud de onda y el índice de refracción del medio. c) Si la onda incide en el medio con un ángulo de 30º, dibuja los fenómenos que tienen lugar. d) Explica que entiendes por ángulo límite y calcula su valor. DATOS: c=3.108 m/s ; naire=1 a) En primer lugar calculamos la velocidad de la luz en el aire. Teniendo en cuenta que su índice de refracción absoluto es 1, por tanto, si

naire=1=airev

c ⇒ vaire = c = 3.108 m/s

La velocidad del rayo viene dada por: νλv mediomedio ⋅= La frecuencia no varía al

cambiar de medio, por tanto las únicas variables dependientes son la velocidad que tiene en un medio concreto y la longitud de onda que tiene en ese medio.

ν⋅= aireaire λv ⇒ 88 109103 ⋅⋅λ=⋅ ⇒ m33,0=λ

el número de ondas:

1m333,0

11~ −==λ

=ν

b)

Al cambiar de medio la frecuencia permanece inalterable, pero sí que cambia la velocidad de propagación y su longitud de onda, por tanto:

ν⋅= 22 λv ⇒ 82

8

1094

1033 ⋅⋅λ=⋅⋅ ⇒ m25,02 =λ

el índice de refracción absoluto del medio es, por definición el referido al vacío:

33,14/c3

c

v

cn

22 ===

el índice de refracción relativo es: (en este caso tiene también el mismo valor, ya que el primer medio es el vacío (n1=1)

33,11

33,1

n

nn

1

221 ===

c) Cuando la onda incide con un ángulo de 30º: • una parte se reflejará saliendo reflejada con un ángulo igual al de incidencia, es

decir de 30º • otra se refractará, y el ángulo de refracción, de acuerdo con la ley de snell será:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ 33,1c

senr

30sen

4c3

==

(podríamos utilizar cualquiera de las combinaciones, pero es mejor utilizar que seni/senr=v1/v2 porque son los datos)

º22r =

d) El ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción de 90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de separación de los dos medios, por tanto, según la ley de snell:

2

1

v

v

senr

seni = ⇒ 2

1lim

v

v

90sen

seni = ⇒ 2

1lim v

vseni =

evidentemente, si la velocidad en el primer medio es mayor que la velocidad en el segundo medio nunca habrá ángulo límite porque el seno de un ángulo no puede ser mayor que la unidad, por tanto no habrá ángulo límite en este caso. Ahora bien, si el rayo tuviera la dirección contraria, es decir si pasara el medio al aire entonces sí. En este otro caso el ángulo límite sería de 48,59º

Fibra óptica: Es una de las aplicaciones más importantes de las reflexión total. Está formada por un cable, dentro del cual hay dos materiales: un núcleo de cristal de óxido de silicio, cuyo índice de refracción es muy elevado, recubierto por un manto de plástico cuyo índice de refracción es pequeño. De esta manera la onda luminosa que entra por un extremo en el núcleo queda “atrapada” dentro porque al chocar con la envoltura se produce reflexión total (aunque el ángulo de incidencia sea pequeño, ya que n2/n1~0) y de esa manera se conduce hasta el otro extremo.

La transmisión por fibra óptica se hace cambiando las señales eléctricas en pulsos de luz, mediante un codificador, y enviando los pulsos hacia el núcleo de una fibra óptica. Una vez que llegan al extremo opuesto, los pulsos los recibe un decodificador que los cambia de nuevo a señales eléctricas como las originales.

De esta forma se pueden mandar señales luminosas sin pérdidas a largas distancias. Las ventajas de la fibra óptica son (1) que es más barata que los cables de cobre y (2) que además no produce interferencias, por lo que es muy apropiada para la transmisión de datos. Lámina de caras plano−paralelas. Cuando un rayo atraviesa una lámina de caras paralelas no experimenta ningún cambio de dirección, aunque sí que se desplaza:

Después de dibujar la marcha de un rayo vamos a resolver las siguientes cuestiones: 1. ¿Qué relación guardan los distintos ángulos de incidencia y de refracción? Si escribimos la ley de snell para la primera y para la segunda refracción:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== y para la segunda refracción ń

ń

´senr

´seni

1

2=

0 0v

lim1

2

2

1lim i

ni sen

nv≈⇒≈==

Teniendo en cuenta que, como es lógico, n1´=n2 y que n2´=n1, y que de la figura se deduce que los ángulos r

) y í

) son iguales (por ser ángulos de lados paralelos), resulta

que la ley de snell para la segunda refracción puede escribirse como:

2

1

n

n

´senr

senr =

Si le damos la vuelta a la expresión y comparamos con la ley de snell para la primera

refracción, se deduce que los ángulos i)

y ´r)

también son iguales, es decir, que el rayo no varía en dirección, aunque como vemos sí que sufre un desplazamiento. 2. ¿Qué espacio recorre en rayo dentro de la lámina en función del ángulo de incidencia y los índices de refracción del primer medio, sabiendo el espesor de la lámina. Suponiendo que el espesor de la lámina es h, el camino recorrido AB dentro de la misma se calcula fácilmente teniendo en cuenta (fíjate en el triángulo en verde)

AB

hrcos = ⇒⇒⇒⇒

rcos

hAB =

3. ¿Cuál es el desplazamiento (d) que sufre el rayo? (fíjate en el triángulo en amarillo)

AB

dsen =β y como los ángulos opuestos por el vértice son iguales: ir =+β tenemos:

rcos

)ri(senh)ri(senABd

−⋅=−⋅=

E2A.S2006 Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y paralelas, con un ángulo de incidencia de 30º. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5 cm y su índice de refracción 1,5. a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal.

b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina a) Como sabemos, cuando un rayo incide sobre una superficie translúcida parte se refracta y parte se refleja, de manera que el resultado sería algo así como el siguiente, donde los rayos reflejados se han dibujado en color rojo :

Teniendo en cuenta que, como hemos demostrado anteriormente, el rayo solamente sufre un desplazamiento, pero no varía en dirección; el ángulo de incidencia en la lámina es igual al ángulo de refracción de salida, resulta que r´=30º. b) Aplicando la ley de snell, el ángulo de la primera refracción es:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ 1

5,1

senr

30sen = ⇒ º5,19r =

y el camino AB recorrido por el rayo en el interior de la lámina es:

cm3,55,19cos

5

rcos

hAB ===

Prisma óptico: es un cristal de láminas no paralelas que forman un ángulo α

1. Relación entre el ángulo del prisma, el ángulo de refracción y el segundo de incidencia:- Si nos fijamos en el triángulo dibujado en verde y recordamos que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º:

180´)i90()r90( =−+α+− ⇒ ´ir +=α

2. Desviación (δ) que sufre el rayo tras atravesar el prisma. Si nos fijamos en el triángulo en amarillo que se forma al prolongar la dirección del rayo que incide y el que sale del prisma:

180´)i´r()180()ri( =−+δ−+− ⇒ ´rríi −−+=δ

Ejemplo: Sobre un prisma de ángulo 60º, incide un rayo luminoso monocromático que forma un ángulo de 41,3º con la normal a la cara AB. Sabiendo que en el interior del prisma el rayo es paralelo a la cara AC: a) Calcula el índice de refracción del prisma b) Realiza el esquema gráfico de la trayectoria seguida a través del prisma c) Determina el ángulo de desviación del rayo al atravesar el prisma d) Explica si la frecuencia y la longitud de onda correspondiente al rayo luminoso son distintas o no dentro y fuera del prisma. a) Como vemos en la figura, en ángulo de la primera refracción es de 30º, ya que los ángulos de lados perpendiculares son iguales:

así que aplicando la ley de snell:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ 1

n

30sen

3,41sen 2= ⇒ 32,1n2 =

b)

puesto que el rayo es paralelo a la base del prisma, los ángulos r

) y ´i

) son iguales de

30º, y también son iguales entre sí los ángulos los ´r)

y i)

y valen 41,3º

c) Si tenemos en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 y nos fijamos en el que está dibujado en color verde:

180)303,41()180()303,41( =−+δ−+− ⇒ º6,22=δ d) La frecuencia del rayo de luz es la misma en cualquier medio, pero puesto que varía el índice de refracción varía la velocidad y por lo tanto la longitud de onda. Como el índice de refracción es igual al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en el prisma y vale 1,32:

32,1v

cn

prisma

vacío

prismaprisma =

νλνλ

== ⇒ 32,1vacío

prisma

λ=λ

al mismo resultado llegaríamos teniendo en cuenta, como siempre, que:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ prisma

vacío

30sen

3,41sen

λλ

= ⇒ 32,1vacío

prisma

λ=λ

La longitud de onda del rayo monocromático se hace 1,32 veces menor a la que tenía en el vacío. Lógico, pues si la velocidad de la luz en cualquier medo es menor que en el aire su longitud de onda también debe ser menor, dado que la frecuencia siempre es la misma.

DISPERSIÓN. DEPENDENCIA DE LA VELOCIDAD CON LA FREC UENCIA Newton observó que cuando la luz blanca (policromática) atraviesa un prisma se descompone en colores, a los que llamó espectro. Estos colores ya no se descomponen más (son nomocromáticos), pero si se juntan de nuevo se obtiene la luz blanca.

• La luz monocromática está formada por ondas de una sola frecuencia. A cada color le corresponde una frecuencia característica, por ejemplo:

Infra−Rojo < Hz108,3 14⋅ Rojo Hz109,4108,3 1414 ⋅−⋅ Naranja Hz101,5109,4 1414 ⋅−⋅ Amarillo Hz103,5101,5 1414 ⋅−⋅ Verde Hz101,6103,5 1414 ⋅−⋅ Azul Hz100,7101,6 1414 ⋅−⋅ Violeta Hz100,8100,7 1414 ⋅−⋅ Ultra−Violeta > Hz100,8 14⋅

• La descomposición de la luz se debe a que cada color que forman la luz blanca se desvía un ángulo distinto en el prisma. Es decir, todas las frecuencias (colores) que componen la luz blanca inciden con el mismo ángulo de incidencia, pero al penetrar en el prisma cada color tiene un índice de refracción distinto y por eso se separan.

• Si para un mismo ángulo de incidencia cada color tiene un ángulo de refracción distinto al entrar en el prisma eso implica que cada color tiene un índice de refracción diferente y que viaja a una velocidad diferente en el prisma.

2

12

2 1

n

v

c

senr

i sen

λλ

===

• Como en el prisma cada color tiene una velocidad distinta, mientras que la

frecuencia de cada color permanece invariable, eso implica que cada color cambia la longitud de onda al pasar de un medio a otro (ya que v=λ.

ν)

2

1221

2 1

nn

v

c

senr

seni

λλ====

Como la velocidad de la luz es máxima en el vacío, la longitud de onda en el vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio.

Resumiendo: La dispersión de la luz es la separación de un rayo de luz en los colores o frecuencias que lo componen al cambiar de medio, debido a que cada color presenta distinto índice de refracción y eso hace que cada uno tenga una desviación diferente. Cada frecuencia (color) ⇒ ≠ r

) (desviación) ⇒ ≠ n y ≠ velocidad

El arco iris se forma por la dispersión de la luz solar en las gotas de agua suspendidas por el aire tras la lluvia. Para verlo tenemos que tener el sol a la espalda Ejemplo: ¿Qué luz se desvía más en el prisma óptico: la luz roja o la luz azul?. Di cual de ellas tiene mayor índice de refracción en el prisma y cual de ellas se propaga en su interior con mayor velocidad. Dato: El índice de refracción color rojo es menor que el índice de refracción del color azul. Como podemos ver en la figura, la luz que sufre mayor desviación, respecto del rayo incidente, es la luz azul, que es la que tiene menor longitud de onda. No obstante, el ángulo de refracción mayor lo tiene el rojo, “porque los ángulos se miden sobre la normal al plano”.

Para demostrarlo escribiremos las leyes de la refracción para cada color:

rojo

rojorojo

rojorojo ´1

n

v

c

senr

seni

λλ

===

azul

azulazul

azulazul ´1

n

v

c

senr

seni

λλ

===

si dividimos miembro a miembro:

1nvsenr

azulnrojovrojosenrrojoazulazul <==

Si tenemos en cuenta que el índice de refracción del rojo es menor que el del azul, se deduce que todos los numeradores son menores que los denominadores, así pues:

• El índice de refracción del rojo es menor • El ángulo de refracción del azul es menor (se desvía más) • La velocidad del azul es menor

λ n para el vidrio v Rojo 6,40⋅10−7m 1.50917 1,988⋅108m/s Azul 4,86⋅10−7m 1.51690 1,978⋅108m/s

ABSORCIÓN DE LA LUZ Como sabemos, cuando la luz incide sobre un cuerpo, este se calienta. Eso ocurre porque parte de la luz se refleja y otra parte se absorbe y esa diferencia de energía es la que se transforma en calor. Sin embargo la absorción por los cuerpos de las frecuencias de luz es selectiva, de manera que absorben algunos de los colores monocromáticos que componen la luz blanca y reflejan el resto. Precisamente esos colores que reflejan son el color del que vemos los objetos.

Este tomate absorbe todos los colores monocromáticos menos el rojo, que es el que refleja y por tanto el color del que lo vemos. Los objetos que vemos blancos emiten casi el 100% de la luz que reciben mientras que los que vemos negros la absorben casi completamente, por esa razón se calientan más cuando están expuestos a la luz.

ESPECTROS DE EMISIÓN Y DE ABSORCIÓN Un espectroscopio es un aparato capaz de separar la luz en los colores monocromáticos que la componen. Así que un espectroscopio simple no es mas que un prisma. El espectro de la luz blanca es continuo porque al descomponerse contiene la totalidad de los colores desde el rojo al violeta, mientras que si solo hay unos pocos se llama espectro discontinuo.

Un espectro de emisión es el espectro de la luz que emite un cuerpo, mientras que si hacemos pasar la luz blanca a través del cuerpo y analizamos la luz que deja pasar, el espectro se llama de absorción. Ambos son complementarios, quiere decir que los colores que le faltan a uno son justamente los que tiene el otro.

El conjunto de líneas espectrales que se obtiene para un elemento concreto es siempre el mismo, incluso si el elemento forma parte de un compuesto complejo, es decir que cada elemento produce su propio espectro diferente al de cualquier otro elemento, y por lo tanto el espectro de un elemento es como si fuera su huella digital.

PROPAGACIÓN RECTILÍNEA DE LA LUZ. FORMACIÓN DE IMÁGENES POR REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN Conceptos previos y convenio de signos Si la luz solar penetra por una pequeña abertura en un local oscuro, las partículas de polvo iluminadas al paso de la luz ponen de manifiesto que ésta se propaga en línea recta.

• De acuerdo con el principio de Fermat, el camino que la luz sigue entre dos puntos es aquel en el que emplee el menor tiempo posible.

• Los rayos de luz son líneas perpendiculares a la superficie de onda, es decir, son

líneas rectas que nos indican la dirección en que se propaga la luz.

• Los rayos de luz tienen una trayectoria rectilínea siempre que el medio sea homogéneo e isótropo, es decir, que tenga las mismas propiedades en todos los puntos.

• La trayectoria que siguen los rayos de luz es reversible, lo que quiere decir que

si la luz se propagara en sentido inverso recorrería el mismo camino. La consecuencia de la propagación rectilínea de la luz es la formación de sombras cuando el foco es puntual y de sombras y penumbras si no es puntual. Fuente luminosa puntual: es aquella que se supone que es ínfimamente pequeña por consiguiente cualquier cuerpo opaco colocado entre la misma y una pantalla, además de quedar en sombra parte del cuerpo, formará en la pantalla una sombra de igual forma al cuerpo (si es una esfera formará un circulo) y tamaño proporcional a las distancia.

Fuente luminosa no puntual extensa: es aquella que tiene dimensiones geométricas a considerar. Ahora gracias a que la fuente no es solo un punto, es un cuerpo con dimensiones a tener en cuenta, cuando colocamos por ejemplo una esfera entre pantalla y fuente se nos forman dos conos. De este modo se nos forman tres zonas: la sombra propiamente dicha, la zona totalmente iluminada que recibe todos los rayos de luz y la penumbra o faja angular comprendida entre las dos anteriores zonas.

Cámara oscura: este es el fundamento de la cámara fotográfica. Si en una caja cerrada hacemos un orificio pequeño y colocamos un cuerpo luminoso delante, dentro de la caja aparecerá la imagen del mismo invertida. Teniendo en cuenta la propagación rectilínea de la luz, los rayos inclinados que llegan al orificio continúan su recorrido rectilíneo formando una imagen invertida como se ve en la figura. El orificio de las cámaras oscuras debe ser pequeñísimo para dar imágenes nítidas, pero así se reduce la luminosidad de la imagen formada.

Formación de imágenes: A) Por reflexión: Son las imágenes que se forman en el mismo medio donde está el objeto. Son las imágenes que se obtienen en los espejos (esféricos o planos). A) Por refracción: Son las imágenes que se forman después de que los rayos de luz provenientes del objeto atraviesen un medio de distinto índice de refracción al del medio donde está el objeto. Son las imágenes que se obtienen en los dioptrios (esféricos o planos) y en las lentes .

Dioptrio esférico Un Dioptrio es el sistema formado por la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción. El caso mas general es el del dioptrio esférico, que naturalmente es aquel en que la superficie de separación entre los medios es esférica, de radio R.

Convenciones y definiciones:

• Los rayos se mueven de izquierda a derecha • s1 o s = La distancia del objeto al dioptrio. s2 o s´ = distancia del dioptrio a la imagen. • Los ángulos de incidencia y refracción son positivos cuando se miden sobre la

normal por el camino mas corto. • Centro de curvatura (C). Es el centro de la esfera. En la figura es el punto C. Los

rayos que pasan por él no se desvían. • Centro del dioptrio o Polo (O). Es el vértice del casquete sobre el eje óptico,

donde se sitúa el origen del sistema de coordenadas. Las distancias medidas hacia la derecha se consideran positivas y las que se miden hacia la izquierda negativas. (En la figura, por ejemplo, s1=−3 y s2=+6 )

• Eje óptico. Es la recta que pasa por el centro de curvatura y por el polo. • Foco Objeto (F1 o F). Es un punto del eje principal del que parten todos los rayos

que luego salen paralelos al eje. La distancia de ese punto al polo se llama distancia focal objeto (f1 o f)

• Foco Imagen (F2 o F´). Es un punto del eje principal en el que confluyen todos los

rayos que llegan paralelos al eje. La distancia al polo se llama distancia focal (f2 o f´)

• Rayos paraxiales son los rayos que forman con el eje óptico ángulos muy pequeños. • Imagen real: es la imagen que se forma por intercesión de dos rayos procedentes

del objeto. No pueden verse y para verlas hay que proyectarlas sobre un plano. • Imagen virtual: es la imagen que se forma por intercesión de la prolongación de

los rayos que salen del objeto. No se pueden proyectar en un plano, pero pueden verse.

Las imágenes en un dioptrio se obtienen trazando dos rayos:

• uno que incide paralelamente al eje óptico (rojo en la fig.) y que, de acuerdo a la definición de foco imagen, se refracta pasando por el foco imagen

• otro que pase por el foco objeto que se refractará saliendo paralelo al eje óptico (en color rosa).

• uno que pase por el centro de curvatura no se desvía. Lógico porque si pasa por el centro tiene la dirección de la normal, es decir ángulo de incidencia 0 y según las leyes de la refracción de Snell le corresponde ángulo de refracción cero.

• En el punto de corte se forma la imagen real si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. En el punto de corte se forma la imagen real.

La ecuación general del dioptrio para rayos paraxiales es la siguiente:

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

A partir de esta ecuación pueden obtenerse fácilmente las ecuaciones de los focos objeto e imagen, ya que:

• Si ponemos el objeto justo en el foco objeto, s1=f1 todos los rayos saldrían paralelos al eje y formarían la imagen en el infinito, es decir que s2=∝

R

nn

f

nn 12

1

12 −=−

∞ ⇒

12

11 nn

Rnf

−−

=

• Si ponemos el objeto en el infinito, s1=∝, todos los

rayos incidirán paralelos y confluirán en el foco imagen donde formarán la imagen: s2=f2

R

nnn

f

n 121

2

2 −=∞

− ⇒ 12

22 nn

Rnf

−=

• Sumando las distancias focales objeto e imagen se obtiene el radio: Rff 21 =+ El aumento de la imagen se deduce fácilmente a partir de la ley de snell y de la figura, ya que si trazamos un rayo que pase por el polo y nos fijamos en los triángulos en amarillo, y que si los rayos son paraxiales la hipotenusa es prácticamente igual a s1 y s2:

1

2

n

n

senr

seni = ⇒ 1

2

2

2

1

1

n

n

s

ys

y

= ⇒ 12

2112 sn

sn yy

⋅⋅

=

Dioptrio plano: El dioptrio plano puede considerarse como un dioptrio esférico de radio infinito y por tanto su expresión se deduce fácilmente sin más que hacer ∞=R :

∞−

=− 12

1

1

2

2 nn

s

n

s

n ⇒⇒⇒⇒

1

1

2

2

s

n

s

n=

La refracción de la luz en la superficie de un dioptrio plano origina que un observador que mire un objeto sumergido a una distancia s1 (dist.real) vea la imagen virtual del objeto a una distancia de la superficie del agua s2 (dist.aparente) menor que la real, dando la impresión de que está más cerca. Esto es así porque el índice de refracción del agua (de donde parte el rayo) es mayor que el del aire. No obstante, el tamaño de la imagen es igual al del objeto: y2 = y1, lo que se deduce fácilmente sin más que sustituir en la expresión que relaciona el tamaño de las imágenes que para el dioptrio plano n1s2/n2s1=1.

1s1n

2

2

s

n=

ATENCIÓN: Recuerda que el ojo lo que ve es la luz que reflejan los objetos, por eso, cuida mucho al dibujar el sentido del rayo. Siempre sale del objeto y va hacia el ojo.

Al contrario ocurre cuando un buzo mira desde debajo del agua a un avión que lo verá más alejado de lo que realmente está.

Ejemplo: Un hombre está sentado, como se muestra en la figura, y sobre la mesa hay una taza, de la que no puede ver el fondo. ¿Cómo podría saber, sin levantarse, si en su interior hay una moneda? Es muy sencillo, solo tendría que llenar la taza de agua.

Cuando la taza está vacía, como los rayos se propagan rectilíneamente no puede ver el fondo, sin embargo al llenarla de agua, que tiene un índice de refracción mayor que el del aire (1,33), los rayos se doblan, acercándose a la normal. Como el cerebro está acostumbrado a ver en línea recta, lo que verá es la imagen virtual que se obtiene prolongando la dirección de incidencia hasta que corte a la vertical.

ESPEJOS. FORMACIÓN DE IMÁGENES Y CARACTERÍSTICAS Un espejo es una superficie perfectamente pulida y opaca que es capaz de reflejar todos los rayos. Los elementos de un espejo esférico son los mismos que los de un dioptrio, aunque en el caso de los espejos el foco imagen y el foco objeto coinciden y la distancia focal es la mitad del radio: 2/Rf =

Las imágenes en los espejos se obtienen trazando dos rayos:

• uno que incide paralelamente al eje óptico (rojo en la fig.) y que, de acuerdo a la definición de foco, se refleja pasando por el foco.

• otro que pase por el foco objeto que se reflejará saliendo paralelo al eje óptico (en color rosa).

• O bien, otro que pase por centro de curvatura no se desviará (porque incide con i=0 → r=0) y se refleja siguiendo el mismo camino a la inversa. (en color verde).

• En el punto de corte de cualquiera de estos rayos forma la imagen, que será real si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. Según la posición del objeto la imagen puede ser:

Si el objeto está mas lejos que el centro de curvatura se obtiene una imagen real, invertida y menor

Si el objeto está en el centro de curvatura se obtiene una imagen real, invertida y del mismo tamaño

Si el objeto está entre el centro de curvatura y el foco se obtiene una imagen real, invertida y mayor

Si el objeto está en el foco, no se forma imagen, ya que los rayos se cortarían en el infinito.

Si el objeto está entre el foco y el espejo se obtiene una imagen virtual, derecha y mayor

Espejos convexos (también llamados espejos divergentes) la focal y el centro de curvatura están detrás de la parte reflexiva. Siempre forman imágenes: * virtuales porque los rayos siempre divergen y en consecuencia solo pueden cortarse sus prolongaciones (porque no pueden pasar por el foco y el centro de curvatura, ya que están al otro lado del espejo). * derechas porque el objeto y la imagen están a ambos lados del espejo * menores porque siempre s1 > s2

En un espejo convexo la imagen siempre es virtual, derecha y menor.

La ecuación de los espejos puede obtenerse a partir del la ecuación del dioptrio esférico, si tenemos en cuenta que la reflexión es como un caso particular de refracción en el que el rayo rebota sobre el mismo medio, así que 12 nn −= y teniendo en cuenta que en los espejos 2/Rf =

12 nn −=

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

R

nn

s

n

s

n 11

1

1

2

1 −−=−

− ⇒

R

2

s

1

s

1

12

=+ ⇒ f

1

s

1

s

1

12

=+

El aumento de la imagen se deduce fácilmente también a partir del aumento de la imagen para el dioptrio: 12 nn −=

12

2112 sn

snyy

⋅⋅= ⇒

1

212 s

sy y −=

Quiere decir que la imagen será derecha cuando s1 y s2 tengan distinto signo. Eso ocurre cuando objeto e imagen estén a ambos lados del espejo, que es lo que pasa siempre en los espejos convexos y en los cóncavos cuando el objeto está entre el foco y el espejo Espejos planos: Pueden considerarse como un caso particular de los esféricos, donde el radio es infinito. Para obtener la imagen en un espejo plano:

• Se traza un rayo paralelo al eje y se prolonga. Seguirá paralelo puesto que el foco está en el infinito

• Se traza un rayo cualquiera, que obviamente se reflejará en el espejo de manera que el ángulo de reflexión sea igual al de incidencia. Luego se prolonga y en la intercesión se obtiene un punto de la imagen, que naturalmente es virtual y derecha.

• Haciendo lo mismo se obtienen el resto de los puntos

Como los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales, los triángulos en amarillo también lo son y por tanto la imagen se forma a la misma distancia que está el objeto, es decir que: 12 ss −= (el signo menos indica que la imagen se forma al otro lado del espejo). De todas formas, la ecuación para el espejo plano es fácil de deducir, sin más que tener en cuenta que para ellos el foco está en el infinito:

f

1

s

1

s

1

12

=+ ⇒ ∞

=+ 1

s

1

s

1

12

⇒ 12 ss −=

y la imagen es del mismo tamaño que el objeto, ya que:

1

212 s

sy y −= como 12 ss −= ⇒ 12 yy =

Los espejos son superficies perfectamente pulidas, mientras que cualquier otra superficie es rugosa (aunque sea microscópicamente rugosa) y no puede formar imágenes porque, aunque se sigan cumpliendo las leyes de la reflexión, debido a su rugosidad los rayos reflejados no tienen todos la misma dirección y el resultado es una reflexión difusa.

Aplicaciones de los espejos: Además de facilitar el aseo se utilizan en la construcción de muchos instrumentos ópticos, como por ejemplo el periscopio de los submarinos, que está formado por dos espejos formando ángulo de 45º Como en un espejo convexo, la imagen es siempre virtual, derecha y más pequeña que el objeto, se suelen utilizar en los retrovisores de coches y motos, debido a que proporcionan un mayor campo de visión. También, se colocan grandes espejos convexos en las esquinas de algunos cruces de poca visibilidad o en algunas tiendas. Por el contrario un espejo cóncavo que tenga una distancia focal muy grande, de manera al mirarnos siempre nos coloquemos entre el foco y el espejo servirá para vernos aumentados y se venden como espejos para afeitarse. Ejemplo: E5A.S2007 Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores en coches y camiones o en vigilancia de almacenes, con objeto de proporcionar mayor ángulo de visión con un espejo e tamaño razonable. a) Explique con ayuda de un esquema las características de la imagen formada en este tipo de espejos. b) En estos espejos se suele indicar: “Atención los objetos están mas cerca de lo que parece” ¿Porqué parecen estar más alejados? a) como puede verse en el esquema, la imagen es siempre derecha, mas pequeña (por aumentan el campo visual) y virtual.

Además, la imagen que viene dada por:

1

212 s

sy y −=

• y2 es positiva ⇒ es una imagen derecha (ya siempre y1 es positiva, s1 negativa y

s2 es positiva) • la imagen es menor ya que en valor absoluto s2<s1 ⇒ que y2<y1

b) El hecho de que los objetos nos parezcan más alejados es precisamente por el reducido tamaño con que los vemos.

LENTES. FORMACIÓN DE IMÁGENES Y CARACTERÍSTICAS Una lente es un sistema transparente formado por dos superficies esféricas, aunque una de ellas puede ser plana. Por tanto puede considerarse como dos dioptrios unidos.

Elementos de una lente:

• Centros de curvatura (C1, C2). Son los centros de las esferas que forman la lente. • Centro óptico (O). Es el centro geométrico de la lente sobre el eje óptico, donde

se sitúa el origen del sistema de coordenadas. Las distancias medidas hacia la derecha se consideran positivas y las que se miden hacia la izquierda negativas. Los rayos que pasan por él no se desvían.

• Eje óptico. Es la recta que pasa por el centro óptico y los centros de curvatura. • Foco Objeto (F1). Es un punto del eje principal del que parten todos los rayos que

luego salen paralelos al eje. La distancia de ese punto al polo se llama distancia focal objeto (f1)

• Foco Imagen (F2). Es un punto del eje principal en el que confluyen todos los rayos que llegan paralelos al eje. La distancia al polo se llama distancia focal (f2)

• Lente delgada: Se considera a aquella que tiene un espesor despreciable comparado con los radios de curvatura de las lentes. En una lente delgada la distancia del foco objeto e imagen coinciden, así que 21 ff −= . El signo menos quiere decir que cada foco está a un lado de la lente.

• Potencia de la lente (P): Se define como el inverso de la distancia focal: 2f

1P =

Su unidad es la dioptría (D). Por tanto, una dioptría es la potencia de una lente de distancia focal igual a 1 metro.

• Lente convergente: Es aquella cuya distancia focal imagen es positiva ( f2 está a la derecha). En esta lente los rayos que inciden paralelos, después de atravesar la lente convergen en el foco imagen:

• Lente divergente: Es aquella cuya distancia focal imagen es negativa (f2 está a la

izquierda). En esta lente los rayos que inciden paralelos, después de atravesar la lente divergen (se abren) ya que convergen en el foco imagen que está a la izquierda:

Para obtener las imágenes producidas por las lentes se siguen los mismos criterios que el dioptrio y los espejos, es decir teniendo en cuenta que: • Si un rayo incide un rayo paralelo al eje óptico después de atravesar la lente pasa

por el foco imagen • Si un rayo procede del foco objeto después de atravesar la lente sale paralelo al

eje óptico. • Cualquier rayo que pase por centro óptico no se desviará y después de atravesar

la lente sigue el mismo camino (en color verde) • En el punto de corte de cualquiera de estos rayos forma la imagen, que será real

si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. Según la posición del objeto la imagen puede ser:

Si el objeto está mas lejos que el doble de la distancia focal se obtiene una imagen real, invertida y menor

Si el objeto está a una distancia igual al doble de la distancia focal se obtiene una imagen real, invertida y del mismo tamaño

Si el objeto está entre el doble de la distancia focal y el foco se obtiene una imagen real, invertida y mayor

Si el objeto está en el foco, no se forma imagen, ya que los rayos se cortarían en el infinito.

Si el objeto está entre el foco y la lente se obtiene una imagen virtual, derecha y mayor. LUPA.

En una lente divergente la imagen siempre es virtual, derecha y menor.

Las ecuaciones para las lentes delgadas, para las que 21 ff −= son:

22112 f

1

R

1

R

1)1n(

s

1

s

1 =

−−=−

el aumento de la imagen se deduce fácilmente de la figura (observa los triángulos en amarillo), teniendo en cuenta que como el rayo que pasa por el centro de la lente no sufre desviación los ángulos a ambos lados son iguales por ser opuestos por el vértice, así que:

2

2

1

1

s

y

s

ytg ==α ⇒

1

212 s

syy =

la expresión es parecida a la del aumento de los espejos, solo que el signo menos que tenía para los espejos era consecuencia de que el rayo rebotaba, cosa que aquí no ocurre. Ejemplo: Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen también real, invertida y aumentada 4 veces. Al desplazar el objeto 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es virtual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determina: a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados c) Las respectivas distancias de la imagen d) Las construcciones geométricas correspondientes. d) Evidentemente si en el primer caso la imagen es real, aumentada e invertida, debe estar comprendida entre una distancia F y 2F, mientras que si en el segundo caso es virtual, derecha e invertida estará entre el foco y la lente, así que:

• Al tamaño del objeto (que es el mismo en ambos casos) le llamaremos 1y e 1y

• Al tamaño de las imágenes las llamaremos 2y e 2ý

• A la distancia inicial del objeto a la lente le llamaremos s1. A la distancia del objeto en el segundo caso a la lente le llamaremos 3ss 11 += (cuidado, que al acercar el objeto a la lente, de acuerdo al criterio de signos, lo que estamos haciendo es aumentar en 3 cm)

a) teniendo en cuenta la relación entre el tamaño del objeto y de la imagen en ambos casos:

caso 1 2

1

1

1

s

y4

s

ytg

−==α ⇒ 12 s4s −= (1)

caso 2 2

1

1

1

s

ý4

3s

ý´tg =

+=α ⇒ )3s(4s 12 += (2)

teniendo en cuenta ahora la relación entre las distancias a la lente con la focal (fórmula

del constructor de lentes: 212 f

1

s

1

s

1 =− ) para ambos casos:

caso 1 212 f

1

s

1

s

1 =− (3)

caso 2 212 f

1

)3s(

1

s

1 =+

− (4)

resolviendo el sistema de 4 ecuaciones tenemos que:

cm6f 2 = ; cm5,7s1 −= cm30s2 = y cm18´s2 −= La potencia de la lente, que es la inversa de la distancia focal será:

dioptrías17,0f

1P

2

==

c) la distancia a la que se forma la imagen en el primer caso es cm30s2 = y la distancia

a que se forma la imagen en el segundo caso es cm18´s2 −= Tanto los valores de s1 y de s1´ concuerdan con la suposición inicial: en el primer caso la imagen está mas a la izquierda del foco (6cm) y en el segundo entre el foco y la lente. Por otro lado, los signos de todas las distancias también concuerdan con lo que cabe esperar de la figura, es decir, positivos los que están a la derecha de la lente y negativos a la izquierda.

INSTRUMENTOS ÓPTICOS Cámara fotográfica: Es básicamente una cámara oscura, que consta de las siguientes partes:

• El tamaño del orificio de entrada de luz se ajusta mediante un diafragma. • Para mejorar la formación de la imagen se coloca en el orificio una lente

convergente. Moviendo la posición de la lente hacia delante y hacia atrás se logra un punto de enfoque en el que la nitidez es máxima. Para eso, el objetivo, que es donde está montada la lente, puede girar hasta obtener una imagen nítida sobre el plano de la película.

• El obturador es una especie de cortina que se abre y cierra y cuya misión regular

la cantidad de luz que está entrando en la cámara y que ilumina a la película. • En el fondo de la cámara, donde se forma la imagen, se coloca una película

fotográfica impregnada de sales de plata que se oscurecen al darle la luz y de esa manera se forma el negativo. (Se llama así porque la imagen obtenida en la película es justo la contraria, ya que los puntos que reciben mas luz se oscurecen más.)

Lupa: Es simplemente una lente convergente. Colocando el objeto entre el foco y la lente se obtiene una imagen virtual aumentada, es decir nos permite observarla con un ángulo de visión mayor:

Proyector: Es un sistema capaz de obtener imágenes reales aumentadas para proyectarlas sobre una pantalla. El problema está en conseguir una iluminación adecuada y eso se consigue mediante una lente convergente llamada condensador.

• La única misión de la lente condensadora es dar luminosidad a la imagen. Para conseguir que al final resulte iluminada uniformemente se coloca muy cerca del objeto, es decir de la diapositiva a proyectar.

• La lente objetivo se coloca exactamente en el foco de la lente condensadora. • La imagen que se recoge en la pantalla es la que forma del objeto la lente

objetivo Microscopio: Es un instrumento que permite obtener imágenes ampliadas combinando dos lentes convergentes, llamadas lente objetivo y lente ocular:

• El objeto a visualizar debe estar cerca del foco del objetivo aunque un poco más alejado, con lo que forma una imagen real y aumentada.

• La imagen creada por el objetivo se forma entre el foco y la lente del ocular y es la que a su vez hace de objeto para que finalmente se cree una imagen virtual y más aumentada.

• En otras palabras, el ocular hace de lupa para aumentar a un más la imagen intermedia creada por el objetivo.

Anteojo: Como el microscopio, está formado por dos lentes llamadas objetivo y ocular, pero su objeto es ver aumentados objetos muy lejanos. En realidad lo que hace es aumentar el campo de visión. A diferencia del microscopio:

• la lente del objetivo tiene una distancia focal mucho mayor que la del ocular:

oculobj ff >

• Como los rayos proceden de objetos muy lejanos inciden casi paralelos en el objetivo, de forma que se juntan en el foco

• las dos lentes están colocadas de tal manera que el foco del objetivo y el foco del ocular coinciden

• Como los rayos que llegan al ocular provienen del foco (se colocó así expresamente) los rayos una vez que atraviesan la lente vuelven a salir paralelos, de manera que el ojo ve la imagen en el infinito con un aumento angular.

El primer anteojo, de Lippershey, y posteriormente mejorado por Galileo utilizaba una lente convergente como objetivo y una divergente como ocular. La imagen que se obtiene es derecha:

Kepler posteriormente construyó otro anteojo de más aumentos sustituyendo la lente divergente por otra también convergente. La imagen se obtiene invertida, aunque como se trataba de observar planetas eso no suponía un problema:

Telescopio: En teoría se pueden conseguir anteojos más potentes empleando lentes mayores, de hecho Newton pasó un tiempo investigando la forma de construir grandes lentes de calidad (para evitar la aberración esférica), hasta que se dio cuenta de que, aunque eso fuera posible, al aumentar el tamaño de la lente los rayos de luz tienen un

mayor recorrido por el vidrio con lo que se hace notable la dispersión y las imágenes aparecen difusas, es lo que se conoce como aberración cromática.

A newton se le ocurrió sustituir la lente convergente por un espejo cóncavo, que sería el encargado de recoger los rayos en un punto (como sabemos f=R/2). Posteriormente un espejo plano los refleja sobre una lente convergente que finalmente los devuelve paralelos a su eje óptico.

como en este caso los rayos procedentes del objeto lejano se convergen por reflexión en un espejo esférico o parabólico a estos telescopios se les llama reflectores, mientras que cuando se convergen con la ayuda de una lente como ocurre en los anteojos se les llama refractores. Una variante del telescopio de Newton es el de Schmidt−Cassegrain donde el espejo plano se sustituye por uno convexo, con lo que se consigue mayor ganancia con aparatos más pequeños:

REGIONES DEL ESPECTRO ELECTROLAGNÉTICO Analogías entre las distintas OEM: 1. Todas las ondas electromagnéticas OEM tienen la misma naturaleza, es decir, son sondas transversales, no mecánicas (no necesitan de un medio material para propagarse) y están constituidas por un campo eléctrico y otro magnético que se propagan perpendicularmente y en fase por el espacio, cada uno de los cuales satisface a la ecuación de una onda viajera:

−λ

π=T

tx2senEE m

m

m

B

Ec =

−λ

π=T

tx2senBB m

2. La dirección de propagación de la OEM viene dada por un vector como el BErr

∧ . La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es una constante y es igual a la relación que existe entre el valor máximo de la intensidad del campo eléctrico y el valor máximo del campo magnético:

s/m1031

B

Ec 8

max

max ⋅=ε⋅µ

==

La permeabilidad magnética (µ) es una constante que depende de las propiedades del medio y representa la capacidad del medio para ser atravesado por un campo magnético. Para el vacío 7

o 104 −⋅π=µ N/A2

La constante dieléctrica (ε) también depende del medio e indica la forma en que el medio se afecta por un campo eléctrico. Para el vacío 12

o 1085,8 −⋅=ε N.m2/C2

3. Todas las OEM son radiadas por cargas aceleradas.

4. Las OEM, como todas las ondas, transportan energía procedente del foco emisor. La energía que transportan es tanto mayor cuanto mayor es la frecuencia de la OEM, ya que como sabemos la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia de la onda. 5. La longitud de onda y la frecuencia está relacionadas por:

ν⋅λ=c Diferencias entre las distintas OEM Todas las diferencias que pueda haber entre unas OEM y otras son consecuencia exclusivamente de su distinta frecuencia (o longitud de onda, ya que ambas están relacionadas). Según la frecuencia las OEM se clasifican en:

Ondas de radio u ondas hertzianas Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 104 y 109 Hz y entre ellas podemos distinguir de menor a mayor frecuencia (o de mayor a menor longitud de onda):

LF Low Frecuency (onda larga) MF Médium Frec. (Onda media) HF High Frec. (Onda corta) VHF Very High Frecuency UHF Ultra High Frecuency

Todas estas ondas se generan en circuitos oscilantes y se detectan también mediante circuitos electrónicos. Aplicaciones:

• Se utilizan en sistemas de comunicación de radio y televisión. Las cuatro primeras en radio (la frecuencia modulada utiliza ondas VHF) y las dos últimas en TV.

Las ondas largas, medias y cortas pueden utilizarse para comunicaciones a grandes distancias, ya que la ionosfera (cáscara de iones que rodea a la tierra) las refleja. Las VHF y UHF al tener menor longitud de onda y atraviesan la ionosfera, por tanto solo sirven para comunicarse a pequeñas distancias a menos que se instalen repetidores en torres o satélites.

• Las ondas cortas se utilizan también en medicina contra el reuma para dar masajes celulares. Al aparato vulgarmente se le llama “las corrientes”.

El circuito A es un simple circuito oscilante que es el que genera las OEM. El circuito B funciona por resonancia, lo que se consigue ajustando el condensador C´ hasta que la frecuencia propia del circuito B sea la misma que la del A y ello ocurre cuando:

C´LLC =

Puesto que el campo eléctrico varía en el interior del condensador, donde está el paciente, con una frecuencia muy grande (del orden del 107 Hz) no se producen efectos desagradables para el organismo porque la inercia de los iones y dipolos celulares les impide seguir los cambios tan rápidos del campo. El único efecto es un leve masaje celular que se produce por vibración de los dipolos y las partículas cargadas de las células y que va acompañado de un calentamiento interno.

Microondas y Radar: Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 109 y 1011 Hz. Las microondas se generan con circuitos electrónicos especiales como el magnetrón. Aplicaciones:

• Telefonía móvil y wifii, aunque naturalmente se tienen que utilizar repetidores. • En radar. Un radar básicamente consta de una emisora de ondas, un receptor

para recoger los ecos o reflexiones y un analizador. Como puede verse en la figura el transmisor emite ondas que son reflejadas por el objeto y son recogidas y amplificadas por el receptor y mandadas al dispositivo analizador que nos puede dar inmediatamente datos como la distancia, dirección y velocidad relativa del objeto.

Como las ondas reflejadas son una porción muy pequeña, el receptor debe ser muy sensible. Para que el receptor no capte las ondas que está lanzando el emisor, ambos elementos deben funcionar intermitentemente, es decir, cuando el emisor lanza un pulso al espacio, el receptor no funciona e inmediatamente se hace muy sensible para escuchar el eco de la onda reflejada si la hay.

• Hornos microondas. Tienen como característica que cocinan con rapidez y que

no calientan las paredes metálicas del horno ni los platos. Su funcionamiento es similar al explicado para al aparato de onda corta utilizado en medicina, con la diferencia de que al trabajar con OEM de mayor frecuencia pueden calentar más.

Infrarrojos: Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 1011 y 4.1014 Hz. Se llaman así porque sus frecuencias estás justamente por debajo del rojo del visible. Dentro de los infrarrojos se distingue entre IR lejano, medio y cercano:

los rayos infrarrojos son emitidos por las moléculas en sus vibraciones y rotaciones, así como por los cuerpos calientes. La radiación infrarroja se puede detectar mediante termopilas o películas fotográficas especiales. El ojo naturalmente no los detecta porque sus frecuencias son demasiado pequeñas para excitar el mecanismo de la visión, sin embargo los detectamos en forma de calor y especialmente los de mayor frecuencia. Aplicaciones de los infrarrojos:

• En análisis molecular. Como sabemos, cuando se excitan los electrones de un átomo absorben la energía y saltan a niveles de mayor energía y al volver a los niveles inferiores la radian en forma de OEM dando lugar a los espectros de emisión. Pues de forma parecida les ocurre a las moléculas, las cuales poseen diferentes estados de vibración y dentro de ellos de rotación que también están cuantizados.

Como puede verse, dentro de cada nivel de vibración hay varios niveles de rotación muy juntos. Al pasar la molécula de un estado a otro inferior se radia energía en forma de OEM que corresponde al infrarrojo lejano, incluso microondas para los saltos entre niveles de rotación y al infrarrojo cercano para los saltos entre niveles de vibración.

• Para ver objetos en la oscuridad, siempre que naturalmente estén más calientes

que el medio que los rodea (por ejemplo una persona camuflada en la oscuridad). Como los objetos calientes emiten radiación infrarroja, con una película adecuada puede obtenerse una imagen exactamente de la misma forma a la que se obtiene cuando lo que refleja es luz diurna.

Visible: Son OEM cuyas frecuencias oscilan en el pequeño margen comprendido entre 4.1014 y 8.1014 Hz. Son generadas cuando se excitan los electrones de los átomos y luego regresan a los niveles más bajos de energía. Ya conoces el espectro del hidrógeno. Los saltos que el electrón da desde los niveles superiores hasta el segundo nivel (serie Balmer) corresponden a frecuencias del visible. Las OEM radiadas cuando los saltos son hasta al primer nivel corresponden al UV y los saltos hasta los niveles 3, 4... corresponden a frecuencias más pequeñas, es decir al IR.

Lo especial de esta pequeña banda del espectro electromagnético es que nuestros ojos son sensibles a ellas y podemos verlas de diferentes colores según sea su frecuencia:

Infra−Rojo < Hz108,3 14⋅ Rojo Hz109,4108,3 1414 ⋅−⋅ Naranja Hz101,5109,4 1414 ⋅−⋅ Amarillo Hz103,5101,5 1414 ⋅−⋅ Verde Hz101,6103,5 1414 ⋅−⋅ Azul Hz100,7101,6 1414 ⋅−⋅ Violeta Hz100,8100,7 1414 ⋅−⋅ Ultra−Violeta > Hz100,8 14⋅

Así que entre una onda de radio, un rayo X y otra onda que da al ojo la impresión del color verde no hay ninguna diferencia más que en sus frecuencias. El ojo humano es sensible a unas pocas de ellas de la misma forma que el oído solo es sensible a ondas sonoras comprendidas entre 20 y 20.000 Hz. Un murciélago es capaz de escuchar sonidos por encima de 20.000 Hz y una abeja puede ver OEM del UV, pero nosotros ni una cosa ni otra ¿qué vamos a hacer? Rayos ultravioleta (UV) Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 8.1014 y 1017 Hz. Se llaman así porque sus frecuencias estás justamente por encima del violeta del visible. Estas radiaciones son emitidas por átomos muy excitados en los que tienen lugar saltos de los electrones más internos. El sol es una buena fuente de radiación UV. Son precisamente los rayos UV los que producen el bronceado de la piel, sin embargo las quemaduras se deben a los IR. Pueden detectarse con células fotoeléctricas o con películas fotográficas especiales. Aplicaciones:

• Para esterilizar instrumentos médicos, ya que estas radiaciones eliminan las bacterias.

• Para descubrir falsificaciones en billetes y cuadros. Las pinturas modernas tienen elementos que fluorecen cuando se iluminan con radiación UV. Estas sustancias también las llevan los detergentes y por eso una camisa blanca a la que le quedan restos fluorece con la luz UV de las discotecas.

• En espectroscopia, ya que como hemos dicho, algunas transiciones electrónicas corresponden al UV

• En fotoquímica, para disociar las moléculas y activar las reacciones por radicales libres.

• En circuitos electrónicos que utilizan células fotoeléctricas, como por ejemplo para abrir una puerta al acercarse una persona.

Rayos X: Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 1017 y 1019 Hz. Se llaman así porque fue el nombre que le puso Roetgen, su descubridor. Según la frecuencia los rayos X se clasifican en blandos y duros Se producen en los tubos de rayos X. Un tubo de rayos X está formado por un filamento que una vez puesto al rojo emite electrones (por efecto termoiónico) y que luego son acelerados por una elevada d.d.p. del orden de 100.000 voltios. De esta forma adquieren una gran energía cinética y cuando chocan con en anticátodo pierden toda esa energía y la radian en forma de OEM, aunque parte de ella se transforma en calor ya que el anticátodo se calienta mucho.

Los rayos X son ionizantes como puede comprobarse con el siguiente experimento: Se coloca una batería de corriente continua a las placas de un condensador entre las que hay un gas, por ejemplo aire. Evidentemente una vez que se carga el condensador deja de pasar corriente.

Al iluminar con rayos X entre las placas del condensador se produce una corriente porque se ionizan las moléculas que componen el aire, es decir, se arrancan electrones de las moléculas del gas los cuales se mueven hacia la placa positiva y posteriormente son bombeados por la pila hasta la otra placa, donde al unirse de nuevo al resto positivo de la molécula dan de nuevo moléculas neutras. Aplicaciones:

• En medicina. Los rayos X atraviesan bien las partes blandas del organismo y peor los huesos, de manera que estos pueden hacerse visibles y ver las fracturas.

• En el control de calidad de piezas para detectar fracturas internas. • En las aduanas • En el estudio de la estructura de cristales, ya que las distancias interatómicas son

del orden de la longitud de onda de los rayos X y por tanto producen fenómenos de difracción de los que se pueden obtener datos a cerca de la celdilla unidad del cristal.

Rayos γγγγ

Son las OEM de frecuencias superiores a 1019 Hz y por tanto las de mayor energía. Son de origen nuclear y se generan en las desintegraciones de elementos radioactivos, así como en las reacciones nucleares.

Se detectan con pantallas fluorescentes o películas fotográficas lo mismo que los rayos X, pero además debido a su gran poder de ionización hay una serie de artilugios capaces de medirlas como la cámara de niebla de Wilson, el contador Geiger−Müller, etc. Aplicaciones:

• En medicina para destruir células cancerosas, aunque hay que tener muy localizadas las células porque igualmente destruye las sanas.

• Para inducir mutaciones. Aunque los resultados son impredecibles, a veces se obtienen especies de gran rendimiento.

• En metalurgia para obtener fotografías de piezas fundidas y descubrir posibles defectos en soldaduras, grietas, etc. El funcionamiento es como en los rayos X, pero con la ventaja de que esta radiación, al tener menor longitud de onda, es mucho mas penetrante.

Ejemplo: El campo eléctrico de una onda electromagnética que se mueve en el plano XY viene dado por E(x,t)=Eosen(kx−ωt) donde k es el número de ondas 2π/λ. a) Si el campo eléctrico máximo para esta onda es 10−4 V/m y su frecuencia es de 4,5.1014 Hz obtener la ecuación del campo eléctrico que define a la OEM, razonando el sentido de propagación. b) Obtener la expresión del campo magnético y razona el plano en que se propagará. Datos: c = 3.108 m/s a) Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación es c = λ ν tenemos que

m1067,6105,4

103c 714

8−⋅=

⋅⋅=

ν=λ ⇒ 16 m1042,9

2k −⋅=

λπ=

115s1082,2 2T

2 −⋅=νπ=π=ω

La ecuación del campo eléctrico de la OEM es )t1082,2x1042,9(sen10E 1564 ⋅−⋅= − (donde x se mide en metros, t en segundos y E en V/m) El campo viaja hacia la parte positiva del eje X, ya que a medida que aumenta el tiempo para mantener la fase x también debe aumentar.

b) Teniendo en cuenta que una OEM está se debe a la propagación de un campo eléctrico y otro magnético que se propagan en dirección perpendicular, y que la relación entre los valores máximos del campo eléctrico y magnético es la velocidad de la luz, tenemos que:

máx

máx

B

Ec = ⇒ Teslas 1033,3

103

10B 13

8

4

máx−

−

⋅=⋅

=

Por tanto la ecuación del campo magnético que da lugar a la onda electromagnética es

)t1082,2x1042,9(sen1033,3B 15613 ⋅−⋅⋅= − (donde x se mide en metros, t en segundos y B en Teslas) Teniendo en cuenta que la dirección de propagación de la OEM viene dada por un vector como el BE

rr∧ . Si E

rse propaga en el plano XY en dirección +x, teniendo en

cuenta la definición de producto vectorial de dos vectores tenemos que admitir que

Br

debe propagarse en el plano XZ

Ejemplo: En un tubo de rayos X se acelera a un electrón mediante una d.d.p. de 105 voltios. ¿Qué energía cinética adquiere? Suponiendo que al chocar contra el anticátodo radia toda la energía adquirida ¿Cuál será la frecuencia de la radiación? (ten en cuenta que ν= hE ) DATOS: Carga del e− 1,6.10−19C ; Constante de Planck h =6,6.10−34 J.s Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un campo conservativo, y que por tanto se conserva la energía mecánica, podemos poner que 0EcEp =∆+∆ Por otro lado, teniendo en cuenta que por definición, el trabajo que hace el campo para llevar un cuerpo (en este caso una carga) de un punto a otro es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos: VqEpW campo,BA ∆−=∆−=→ , finalmente nos queda que:

0EcVq =∆+∆ sustituyendo: 0EcEc10*106,1 AB519 =−+⋅− −

de donde tenemos que la Energía cinética final es EcB = 1,6.10−14 J Si toda esa energía se radia en forma de una OEM, de acuerdo con la ecuación de Plank, el fotón tendrá una frecuencia:

ν⋅= hE ⇒ Hz104,2106,6

106,1 1934

14

⋅=⋅⋅=ν −

−

que corresponde a un rayo X muy duro.

AMPLIACIÓN: FÓRMULA DEL DIOPTRIO Vamos a deducir la fórmula de la imagen formada por refracción en un dioptrio esférico para el caso de rayos paraxiales.

Del triángulo en amarillo (teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, y que dos ángulos sobre una recta (suplementarios) también suman 180º) tenemos que 180)i180( =−+β+α de donde:

β+α=i De la misma forma, en el triángulo rosa se deduce que 180)180(r =β−+γ+ o lo que es igual:

γ−β=r

La rey de la refracción de Snell para la refracción es 1

2

n

n

r sen

i sen =

Teniendo en cuenta que para ángulos muy pequeños (como es el que forman los rayos paraxiales):

• el seno del ángulo es prácticamente igual al ángulo y viceversa • la hipotenusa del triángulo rectángulo es prácticamente igual al lado contiguo • De acuerdo al criterio de signos los ángulos de incidencia y de refracción son

positivos cuando se miden sobre la normal por al camino más corto. • De acuerdo con el criterio general los ángulos son positivos cuando se miden

desde el eje X en sentido antihorario. En caso contrario son negativos. De acuerdo con esto las anteriores relaciones habrá que escribirlas como: β−α=i γ+β−=r

en la ley de la refracción de Snell podemos escribir:

1

2

2

1

n

n

s

h

R

hR

h

s

h

r sen

i sen =+−

−≈

γ+β−β−α≈

+−=

−

22

11 s

1

R

1 hn

R

1

s

1 hn →

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

FÓRMULA DEL CONSTRUCTOR DE LENTES Relaciona la curvatura que debe dar a las caras y el índice de refracción de la lente para obtener una determinada potencia. Puede obtenerse a partir de la fórmula del dioptrio esférico:

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

Supongamos una lente delgada, de índice de refracción n rodeada de aire (n=1) . Sean los radios de curvatura de sus caras R1 y R2.

Podemos considerar que la imagen final es el resultado de una primera refracción en la primera lente seguida de otra segunda refracción en la segunda lente, donde la imagen formada en la primera refracción hace de objeto para la segunda refracción. Para la primera refracción tenemos que n1=1 y que n2=n. Supongamos que el objeto se encuentra a una distancia s de la lente y que la primera imagen se forma a una distancia sPrimeraIm. Sustituyendo nos quedaría:

11ImimeraPr R

1n

s

1

s

n −=−

Ahora la imagen obtenida en la primera refracción hace de objeto para refractarse en la segunda lente. Tenemos ahora que n1=n y que n2=1 y como la primera imagen se formó a una distancia sPrimeraIm resulta que la distancia de “este objeto” a la segunda lente es –sPrimeraIm porque está al otro lado.

2ImimeraPr2 R

n1

s

n

s

1 −=−

−

sumando nos queda que:

−−=−

2112 R

1

R

1)1n(

s

1

s

1

De acuerdo con la definición de foco imagen, un objeto situado en el infinito (o muy alejado para que los rayos sean paraxiales) ( ∞=1s ) dará lugar a una imagen en el foco, es decir que s2

= f2.

−−=

∞−

212 R

1

R

1)1n(

1

f

1 →

−−=

212 R

1

R

1)1n(

f

1

La fórmula del constructor de lentes puede escribirse también como:

212 f

1

s

1

s

1 =−

Como vemos, nos permite conocer la distancia focal (Potencia de la lente) en función de los radios de curvatura y el índice de refracción, o bien en función de la posición del objeto de la imagen final.

TEMA 4: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA PARTE 1: Campo eléctrico. Magnitudes que lo caracterizan: intensidad de campo y potencial eléctrico.

• Fuerza entre cargas en reposo; ley de Coulomb. Características de la interacción entre dos cargas puntuales.

• Interacción de un conjunto de cargas puntuales; superposición • Energía potencial electrostática de una carga en presencia de otra.

Superposición. • Potencial electrostático de una carga puntual y de un conjunto de cargas

puntuales. • Campo eléctrico de una carga puntual. • Relación entre campo y potencial electrostáticos. • Campo electrostático de un conjunto de cargas puntuales.

PARTE 2: Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos. Campos magnéticos creados por corrientes eléctricas. Fuerzas magnéticas: ley de Lorentz e interacciones magnéticas entre corrientes rectilíneas. Experiencias con bobinas, imanes, motores, etc. Magnetismo natural. Analogías y diferencias entre campos gravitatorio, eléctrico y magnético.

• Las cargas en movimiento como origen del campo magnético: experiencias de Öersted.

• Justificación del carácter relativo del campo magnético. • Campo creado por una corriente rectilínea indefinida. • Campo creado por una espira circular. • Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz. • Movimiento de cargasen un campo magnético uniforme. • Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas indefinidas.

PARTE 3: Inducción electromagnética. Producción de energía eléctrica, impactos y sostenibilidad. Energía eléctrica de fuentes renovables.

• Introducción elemental del concepto de flujo. • Fenómenos de inducción electromagnética: introducción fenomenológica. • Fuerza electromotriz inducida y variación de flujo. Ley de Lenz Faraday. • Producción de corrientes alternas; fundamento de los generadores. • Transporte y uso de las corrientes alternas; fundamento del transformador.

Ventajas de la corriente alterna frente a la corriente continua.

FUERZA ENTRE CARGAS EN REPOSO. LEY DE COULOMB La ley de Coulomb dice: La fuerza con que dos cargas en reposo se atraen o repelen, según sean sus signos, es proporcional en módulo al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de la fuerza es según la recta que une las cargas y el sentido atractivo si las cargas tienen distinto signo y repulsivo si tienen el mismo. SI elegimos un SR centrado en la carga q que crea el campo. como la dirección de la fuerza que ejerce sobre la carga q´ tiene la dirección de la recta que las une, resulta que tendrá la misma dirección que el vector de posición.

r2u

r

qQKF

rr ⋅=

• ru

r es un vector unitario del vector de posición de q respecto de Q, es decir, es un

vector en la dirección de la línea que une los centros de las cargas y el sentido, como se hacía en el campo gravitatorio, se toma desde la carga que crea el campo hacia la otra.

• Observa que, a diferencia de la ley de gravitación de Newton, esta expresión no

lleva signo menos y ello se debe a la existencia de dos tipos de carga. El signo “menos” se interpretaba como una fuerza atractiva, es decir que tiene la dirección del vector unitario ru

r− . Ahora no es necesario, porque cuando se trate de dos cargas positivas, o dos cargas negativas, al sustituir resultará un vector en dirección y sentido de ru

r, es decir se repelen. Cuando se trate de una carga

positiva y otra negativa resultará un vector en la dirección y sentido de rur

− , es decir se atraen.

A este respecto es muy importante tener en cuenta que si queremos calcular el vector fuerza debemos sustituir los valores de las cargas con su signo incluido que es precisamente quién nos dará el sentido de la fuerza. Sin embargo si solamente queremos calcular el valor del módulo de la fuerza entonces será suficiente con sustituir el valor de las cargas en valor absoluto.

• K es una constante de proporcionalidad llamada “constante de Coulomb” y hace

un papel similar al que hacía G en la ley de gravitación universal aunque, a diferencia de aquella, ésta no es realmente una constante porque depende del medio en el que están situadas las cargas.

πε=

4

1K

ε es una constante específica de cada medio que se llama permitividad o constante dieléctrica. Su valor para algunos medios es:

Medio ε (C2/N.m2) Vacío 121085,8 −⋅ Aire 121085,8 −⋅ Agua 121085,716 −⋅ Vidrio 121000,53 −⋅ Mica 121000,35 −⋅

Las unidades de K se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula de Coulomb y su valor para el caso del vacío o del aire es:

229 C/mN109K ⋅⋅=

Características de la interacción entre cargas: (las mismas que ya vimos para la interacción ente masas). Son fuerzas centrales con lo que ello conlleva: (1) El campo eléctrico tiene simetría esférica, (2) una carga sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento en un plano, (3) el momento angular L

r de una partícula sometida a fuerzas centrales se

conserva en el tiempo y (4) el trabajo realizado por la fuerza central para que q orbite alrededor de ella es nulo porque en todo momento la fuerza y el vector desplazamiento son

perpendiculares, por tanto ∫ =• 0rdFrr

y (5) Son fuerzas conservativas con lo que ello

conlleva: (a) el trabajo para llevar a la carga q desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo depende de la posición de los puntos, (b) la energía que la carga q tiene en cada uno de los puntos del campo creado por q solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar una energía que llamamos energía potencial y (c) una carga sometida a fuerzas conservativas conserva su energía mecánica:

cteEpEc =+ Observaciones: Es importante tener en cuenta que, lo mismo que con las masas, la fuerza actúa tanto sobre una carga como sobre la otra son iguales y de sentidos opuestos, es decir, una es la de acción y la otra de reacción:

2112 FFrr

−=

2112 FF =

Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que actúa sobre el testigo, por ese motivo a la que actúa sobre la masa que crea el campo no le prestaremos atención, sin que ello quiera decir que no exista.

Podrías preguntarte porqué en el encabezamiento dice: fuerzas entre cargas en reposo. Como ya sabes, una carga eléctrica siempre crea a su alrededor un campo eléctrico, pero si está en movimiento, entonces, además crea otro magnético como veremos mas adelante y por tanto la cosa cambia. INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de Coulomb nos da la fuerza con que se atraen dos cargas, pero no hace referencia a la posible existencia de otras cargas. Ello nos lleva al principio de superposición: “Si una carga se encuentra en el campo creado por varias cargas, la fuerza total sobre ella es la fuerza resultante de las que cada carga, por separado, ejerza sobre ella.” De igual forma puede decirse que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.

∑= itotal FFrr

∑= itotal EqFrr

es decir que

∑= itotal EErr

Ejemplo: Dos cargas fijas C3q1 µ−= y C6q2 µ−= están separadas en el vacío una distancia de 0,3m. Calcular la fuerza que se ejercen entre ellas. ¿Dónde deberíamos colocar una carga C1q µ+= para quede en reposo?

a) La fuerza con que se repelen las dos cargas, puesto que tienen el mismo signo, viene dada por la ley de Coulomb:

221

2112 r

qqKFF

⋅==

N8,1)3,0(

106103109F

2

669 =⋅⋅⋅=

−−o

b) Para que la carga esté en equilibrio es necesario que la suma de todas las fuerzas sobre ella sea cero. De acuerdo al principio de superposición la fuerza resultante es la suma vectorial de las fuerzas que cada carga hace por separado sobre q´). Para que sea nula es necesario que (1) las dos fuerzas tengan la misma dirección, (2) sentidos opuestos y (3) el mismo módulo.

21 FF =

22

22

1

1

r

qqK

r

qqK

⋅=⋅

2

6

2

6

)x3,0(

q106K

x

q103K

−⋅⋅=⋅⋅ −−

m12,0x = Ejemplo: Tres cargas eléctricas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a como se indica en la figura ¿Qué fuerza actúa sobre la carga q? Dar el resultado en función de +q, +Q, −Q y a. Sencillamente no hay más que aplicar el principio de superposición, así que calcularemos la fuerza que cada carga hace por separado sobre +q y luego las sumamos vectorialmente. La fuerza que la carga +Q ejerce sobre +q es repulsiva por tener el mismo signo y en la dirección de la recta que une ambas cargas. Su módulo de acuerdo con la ley de Coulomb es:

21 a

qQKF

⋅=

La fuerza que la carga –Q ejerce sobre +q es atractiva por tener distinto signo y en la dirección de la recta que las une, y el módulo (recuerda que para calcular el módulo solo tomamos las cargas en valores absolutos)

22 a

qQKF

⋅=

Ahora solo hay que sumar dos vectores. Para ello elegimos un sistema de referencia cualquiera, aunque parece apropiado uno como el de la figura:

el siguiente paso es descomponer los vectores según los ejes del sistema de referencia elegido, y luego se escriben vectorialmente las fuerzas:

j60senFi60cosFF 111

rrr+=

j60senFi60cosFF 222

rrr−=

j60sen)FF(i60cos)FF(F 2121

rrr−++=

Teniendo en cuenta que como hemos visto antes 221 a

qQKFF

⋅== nos quedaría que

i60cosa

qQK2F

2

rr ⋅= y como cos60=1/2 ia

qQKF

2

rr ⋅=

NOCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una carga q cuando la colocamos en un punto del campo eléctrico creado por otra carga Q, depende de magnitudes propias del campo (la carga que lo crea Q y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la carga q. Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la carga del testigo, vamos a definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo eléctrico como la fuerza por unidad de carga. La intensidad del campo eléctrico se representa por E

s:

r2u

r

QK

q

FE

rr

r==

• La Intensidad de campo eléctrico solamente depende de la carga q que crea el

campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo. • La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará

sobre un testigo de carga q colocado en ese punto: E qFrr

= . Como se deduce de la relación, la fuerza es un vector que siempre tiene la misma dirección que el campo, pero su sentido depende el signo de la carga q. Si q es positiva ambos vectores tendrán la misma dirección. Si q es negativa tendrán sentidos opuestos.

Por otro lado, hemos visto que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.

∑= itotal EErr

es decir, se cumple el principio de superposición.

Ejemplo E6A.S2007 Una partícula de masa m y carga −10−6

C se encuentra en reposo al estar sometida al campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C−1

de la misma dirección. a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa. b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C−1

y determine su aceleración. a) Obviamente para que la partícula cargada esté en equilibrio, la fuerza peso debe contrarrestarse con la eléctrica. Como sabemos las líneas de fuerza tienen el sentido en que se movería una carga positiva (ese fue el criterio que se adoptó) así que como la fuerza eléctrica debe ir hacia arriba para compensar al peso y como la carga es negativa, el campo

eléctrico debe ir hacia abajo. (Recuerda que E qFrr

= , por tanto al multiplicar un vector (Er

)

por un escalar negativo (q) el resultado es un vector (Fr

) en la misma dirección y sentido contrario). Podemos prescindir del carácter vectorial de las magnitudes ya que el movimiento tiene lugar en una sola dimensión, por tanto nos limitaremos a igualar los módulos de las fuerzas y en ese caso recuerda que el valor de la carga se sustituye en valor absoluto.

gravitelectr FF =

E qg m =

1001010m 6 ⋅=⋅ −

Kg10m 5−=

De hacer el tratamiento vectorial, habríamos planteado que ∑ = 0Fr

, (en tal caso al

sustituir los valores de la carga debemos incluir su signo), es decir que:

0E qg m =+rr

⇒ 0)j(100)10()j(10m 6 =−⋅−+−⋅ −rr

⇒ Kg10m 5−= b) Si el campo eléctrico aumenta de valor, la fuerza eléctrica será mayor que el peso y en consecuencia habrá una fuerza neta y, por tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia arriba, es decir, en la dirección y sentido de la fuerza resultante. Aplicando la segunda ley de Newton:

a mFFF gravitelectr

rrrr=+=∑

a mg mE qrrr

=+

a10)j(1010)j(12010 556 rrr−−− =−⋅+−⋅−

a10j10j102,1 544 rrr−−− =−⋅ → 2s/mj2a

rr=

Ejemplo E1B.S2007 a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen, intensidad relativa, dirección y sentido. b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta. a) Analogías:

• Los dos son campos de fuerzas centrales, y por tanto conservativos • Todas las expresiones de uno y otro son semejantes. (El papel que la constante

de gravitación universal y las masas hacen en el campo gravitatorio, en el eléctrico lo hacen la constante de Coulomb y las cargas.

• Las líneas de fuerza en estos campos son abiertas, es decir, no se cierran sobre sí mismas como suceda en el campo magnético.

Diferencias:

• Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas y solo una clase de masas. • Como consecuencia de lo anterior la fuerza entre dos cargas puede ser atractiva

o repulsiva, mientras que en las masas siempre es atractiva • Consecuencia directa de lo anterior es el signo menos que aparece en las

expresiones del campo gravitatorio • La constante de gravitación universal G es una constante, mientras que la

constante de Coulomb realmente no lo es puesto que depende del medio: πε= 4/1K ya que depende de ε que es la constante dieléctrica del medio en que

se encuentran las cargas. b) Como hemos dicho antes, hay solo una clase de masas, así que siempre podremos encontrar un punto en la línea que une dos masas donde el campo gravitatorio sea nulo, pero en el caso de las cargas eso solo será posible si las dos cargas tienen el mismo signo, (las dos positivas o las dos negativas), pero si tienen signo contrario en cualquier punto de la línea que une las cargas los campos creados por cada carga tendrán el mismo sentido, siendo imposible que se anulen:

ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UNA CARGA EN PRESENCIA DE OTRA. SUPERPOSICIÓN. El campo eléctrico es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él puede definirse una energía potencial. El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía “que solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial. Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:

BACampo.Conserv.F,BA EpEpEpW −=∆−=→

Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza la carga desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que +=→ Campo.Conserv.F,BAW cuando EpA > EpB)

En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos”

Campo.Conserva.F,BAABnosotros,BA WEpEpEpW →→ −=∆=−=

Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial eléctrica, para ello no hay más que calcular el trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga q desde el punto A al B:

∫∫∫ ⋅⋅=•⋅=•==− →

B

A2

B

A

r2

B

A

electrcampo,BABA drr

qQKrdu

r

qQKrdFWEpEp

rrrr



rdr

tienen la misma dirección y sentido, así que

si que cos0=1. Teniendo en cuenta además, que r

1dr

r

12


BABA

B

Acampo,BA EpEp

r

1

r

1 qQK

r

1 qQKW −=

−⋅⋅=

−⋅⋅=→

BABA r

qQ K

r

qQ KEpEp

⋅−⋅=−

Energía potencial eléctrica en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la carga q desde uno a otro), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno de esos puntos, entonces podremos hablar de energía potencial absoluta en un punto. Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la energía potencial en ese punto A. Dicho de otra manera: La energía potencial de una carga q en un punto es igual al trabajo que hace el campo para llevar a la carga q desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que la energía potencial de una carga q en un punto es igual a trabajo que tenemos que hacer para traer a la carga desde el infinito hasta ese punto)

∞⋅−⋅=− ∞qQ

Kr

qQ KEpEp

AA

como 01 =∞

AA r

qQ KEp

⋅=

donde rA es la distancia que separa las dos cargas. Como puedes ver la energía potencial eléctrica en un punto no es siempre negativa como pasaba a la gravitatoria. En este caso solo será negativa si las cargas tienen signo contrario Cuando las cargas tienen el mismo signo, la Ep es positiva porque para llevar la carga q desde el infinito hasta al punto A tenemos que hacer realmente un trabajo. La carga q no iría sola puesto que se repelen. Por el contrario, cuando las cargas tienen distinto signo (como pasaba con las masas) la carga q iría sola desde el infinito hasta el punto A y por eso su Ep es negativa, porque el trabajo no lo haríamos nosotros sino el campo creado por la carga Q.

Observa que: 1. La Ep eléctrica tiene su “máximo valor positivo si las cargas son del mismo signo” (o “máximo valor negativo si las cargas son de distinto signo”) en la superficie de la carga que crea el campo y va disminuyendo (o aumentando) al alejarnos hasta llegar a cero en el infinito. En cualquier caso, en el infinito la Ep es cero.

2. Una carga se mueve espontáneamente hacia donde disminuye su energía potencial (Tanto si la carga es positiva como si es negativa) 3. La energía potencial que tiene en el infinito la carga q es nula, tanto si la carga que crea el campo es positiva como si es negativa. Energía potencial “de una carga” debida al campo creado por una asociación de cargas: de acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la suma de la energía potencial que independientemente el campo de cada carga crea sobre ella, así que:

∑ ==⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

=i

in1i

n

n

2

2

1

1

r

QKq

r

qQK

r

qQK

r

qQKEp

Energía potencial de una asociación de cargas: En este caso la energía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de cargas. Por ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:

23

32

13

31

12

21

r

qqK

r

qqK

r

qqKEp ++=

∑=ij

ji

r

qqKEp

Ejemplo E3B.S2008 Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C− 1 el hilo forma un ángulo de 15º con la vertical. a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera y determine su carga eléctrica. b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico. a) Se trata de un péndulo ideal que se encuentra probablemente entre las armaduras de un condensador plano, entre las que se crea un campo eléctrico uniforme (salvo en los bordes). La masa del péndulo está sometida por una lado a su peso y por otro lado, al estar cargada, a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico. Suponiendo que la carga sea positiva, el campo iría hacia la derecha, ya que en tal caso la fuerza y el campo

tienen la misma dirección y sentido: EqFrr

=

Para que el péndulo esté en equilibrio, es preciso que la suma de las fuerzas sea nula, así que eligiendo un sistema de referencia como el de la figura no hay más que descomponerlas e igualar las componentes en el eje X.

α⋅=α⋅ cosqEsenmg ⇒ =⋅⋅=α⋅=1000

15tg10002,0

E

tgmgq C1036,5 6−⋅

Las componentes en eje Y también dan resultante nula: α⋅+α⋅= senqEcosmgT b) La energía potencial de la bolita es la suma de la Ep gravitatoria y de la Ep eléctrica. A medida que la bolita se mueve espontáneamente ∆Epgravit ↑+ ∆Epeléctr ↓ hasta que el hilo forma un ángulo α, tal que para él la energía potencial total es mínima. Vamos a calcular la variación de energía potencial gravitatoria y eléctrica:

Si tomamos nivel cero de Epgrav en el punto A, y teniendo en cuenta que el punto B está por encima una altura α−= cosLLh

)cosLL(mgmghmghEp ABgravit α−=−=∆

J1036,1)15cos2,02,0(10002,0Ep 4gravit

−⋅=−⋅=∆

=•=∆−= ∫→

B

A EléctrEléctrBA,Eléctr rdFEpWrr

==+•= ∫∫α=

=

LsenxB

0xA

B

Adx E q)j dyi dx(i E q

rrr

[ ] =α== α sen L E qx E q Lsen0

J1077,215sen2,0101036,5 436 −− ⋅=⋅⋅⋅⋅=

J1077,2Ep 4Eléctr

−⋅−=∆ La variación total de energía potencial es: ∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = 1,36·10−4 – 2,77·10−4 = − 1,41·10−4 J Como ampliación vamos a comprobar el ángulo para el que quedaría en equilibrio una bola de 2g de masa y carga +5,36·10−6C que está colgada de un hilo o de 20 cm. ∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = α−α− sen L E q)cos1(L g m Tomando cero de energía potencial en el punto A, tendríamos que la expresión anterior correspondería a la energía potencial en el punto B. Si ahora recuerdas que el mínimo de una función y=f(x) se obtiene derivando respecto a x e igualando a cero, pues eso mismo es lo que vamos a hacer porque la posición más estable corresponde a aquel ángulo de desplazamiento del hilo que hace mínima a la energía potencial. Ahora tenemos una función del tipo Ep=f(α) y de acuerdo a lo anterior, derivaremos la expresión de la Ep respecto al ángulo e igualaremos a cero:

0 cosL E qsen L g md

dEp =α−α=α

⇒ º1510002,0

101036,5arctg

g m

E qarctg

36

=⋅

⋅⋅==α−

POTENCIAL ELÉCTRICO Recuerda que la fuerza que actúa sobre una carga q, en un punto de un campo creado por otra carga Q, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la intensidad de campo como fuerza por unidad de carga. Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una carga q entre dos puntos A y B, de un campo creado por otra carga Q, que también depende del valor de q. Para evitar ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía potencial por unidad de caga y que llamaremos variación Potencial (V):

∫∫

•=•

==−

=− →B

A

B

A

Conserv.FConserv.F,BABA

BA rdEq

rd F

q

W

q

EpEpVV

rr

rr

∫∫∫ ⋅=•=•=−B

campo,A2

B

campo,A

r2

B

campo,A

BA drr

QKrdu

r

QKrdEVV

rrrr



rdr


r

1dr

r

12


−⋅⋅=

−⋅⋅=−BA

B

ABA r

1

r

1QK

r

1QKVV

BABA r

Q K

r

Q KVV −=−

Al mismo resultado llegaremos, como ya hemos dicho, si dividimos la deferencia de energía potencial por el testigo q ya que la ddp entre dos puntos es igual a la diferencia de Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:

BA

BABA r

Q K

r

Q K

q

EpEpVV −=

−=−

Es obvio que lleguemos al mismo resultado, ya que en realidad hemos hecho lo mismo. En el primer caso hemos calculado la circulación de E

r y en el segundo hemos dividido la circulación

de Fr

por q (acuérdate que la circulación de Fr

es BA EpEp − . Mira más arriba (*)

Definición de voltio: La ddp eléctrica se mide en J/C que recibe el nombre de voltio. Un voltio es la ddp entre dos puntos, A y B, cuando el trabajo que hemos de realizar para llevar una carga de 1 Culombio de uno a otro es de 1 Julio. )VV (qV qEpW BAcampo,BA −=∆−=∆−=→

o bien que: )VV (qV qEpW ABnosotros,BA −=∆=∆=→

El campo eléctrico realiza trabajo (W+) cuando desplaza una carga positiva desde un punto A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0 y VA>VB entonces +=+⋅+=→ campo,BAW . Dicho de otra forma, una carga positiva se

mueve espontáneamente hacia donde el potencial es menor. (Lo contrario puede decirse para una carga negativa) Potencial eléctrico en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como la circulación de E

r entre

esos dos puntos), pero si por acuerdo asignamos cero al potencial en un punto, entonces podremos habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se supone que ya no hay campo.

Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que q

WVV campo,BA

BA→=− podemos decir

que: El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una carga de 1C desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una carga de 1C desde el infinito hasta ese punto).

∞−=− ∞

Q K

r

Q KVV

AA

como 01 =∞

AA r

Q KV =

donde rA es la distancia que separa la carga que crea el campo del punto A. Como puedes ver, el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo, dependiendo el valor de la carga, sin embargo el potencial gravitatorio siempre es negativo. Potencial en un punto debido al campo creado por una distribución de cargas: En el caso de que el campo sea debido a la presencia de más de una carga, el potencial en un punto A, aplicando el principio de superposición será la suma de los potenciales debidos a cada carga, y por tanto:

∑=+++=iA

i

A3

3

A2

2

A1

1A r

QK...

r

QK

r

QK

r

QKV

E1B.S2010 a) Explique la relación entre el campo y el potencial electrostáticos.

b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede deducirse el signo de la carga. a) Teoría (Siguiente pregunta) b) Naturalmente. Cualquier carga (o masa) se mueve siempre de forma espontánea hacia el sitio donde su energía potencial disminuya, es decir hacia donde Ep∆ es negativo.

−=−=−=∆ )VV (qEpEpEp inicialfinalinicialfnal ⇒ Se mueve espontáneamente

Si en nuestro caso tenemos que el potencial final es mayor que el inicial, quiere decir que +=∆V , y para que el producto Vq ∆⋅ sea negativo es necesario que la carga q sea negativa. También podría razonarse teniendo en cuenta que las líneas de campo eléctrico tienen la dirección en que se mueven las cargas positivas (o las masas en el caso del gravitatorio) y apuntan en la dirección en la que disminuye la energía potencial y el potencial. Por tanto, para que una carga se mueva espontáneamente al revés debe ser negativa. La

expresión E qFrr

= indica claramente que para que la carga se mueva en sentido contrario al campo, el escalar q debe ser negativo. Otro razonamiento, similar al primero, sería decir que una caga o masa se mueve espontáneamente hacia donde el campo hace trabajo + sobre ella (por eso una piedra se mueve espontáneamente hacia el suelo), por tanto:

)VV (qV qEpW BAcampo,BA −=∆−=∆−=→

Para que campo,BAW → sea + en el caso de que VA<VB es preciso que la carga q sea

negativa, ya que entonces +=−⋅−=→ campo,BAW

RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO Si te das cuenta el campo (E

r) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta

relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial. Caso particular de campo uniforme: teniendo en cuenta la definición de ddp,

( ) dErr E r ErdEVV AB

B

A

B

A

BA ⋅=−==•=− ∫rr

Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que puede considerarse constante el valor del campo, es igual al valor del campo por la distancia entre esos puntos. A la misma conclusión llegaríamos restando el potencial en el punto A del que tiene en B:

( ) dErr Er

)rr (QK

rr

)rr (QK

r

QK

r

QKVV AB2

A

AB

BA

AB

BABA ⋅=−=−≅−=−=−

La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo

de Er

y la del potencial V en un punto:

=⋅==A

A

AAA r

r

r

QK

r

QKV AA r.E

Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del punto a la varga que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle importante:

• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo (gr

o )Er

podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m o a una carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente el módulo de la

fuerza que actuará, su dirección y sentido, ya que g mFrr

= o bien E qFrr

= )

• Sin embargo, si en un punto del campo solamente conocemos el potencial en ese punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se moverán hacia donde disminuya su energía potencial.

Ejemplo E4A.S2008: El potencial eléctrico en un punto P, creado por una carga Q situada en el origen, es 800 V y el campo eléctrico en P es 400 N C−1. a) Determine el valor de Q y la distancia del punto P al origen. b) Calcule el trabajo que se realiza al desplazar otra carga q = 1,2·10−6 C desde el punto (3, 0) m al punto (0, 3) m. Explique por qué no hay que especificar la trayectoria seguida.

K = 9 ·109 N m2C−2

2P

P r

QKE

⋅= 2P

9

r

Q109400

⋅=

PP r

QKV

⋅= P

9

r

Q109800

⋅= C1078,1Q 7−⋅= ; m2rP =

b) Para calcular el trabajo que tenemos que hacer solo hay que calcular el potencial en el punto A y luego el potencial en el punto B y tener en cuenta que:

)VV(qWW BAcampo,BAnosotros,BA −−=−= →→

Como el punto A y el punto B están a la misma distancia de P, el potencial en ambos es el mismo, y por tanto 0)VV(qW ABnosotros,BA =−=→ . (A la misma conclusión llegamos si

calculamos el trabajo como campo,BAABnosotros,BA WEpEpW →→ −=−= ).

No hay que indicar el camino porque el campo eléctrico es conservativo

FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE CERRADA. TEOREMA DE GAUSS El teorema de Gauss no da la expresión del flujo de la Intensidad de campo a través de

una superficie cerrada de forma cualquiera. El flujo de Er

a través de un elemento de superficie dS, de acuerdo con la definición general de flujo, es:

SdEdrr

•=φ

dφ = Flujo a través del elemento dS Ir


Sdr


Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el resultado es general) y que en su interior encierra una carga q. El flujo a través de un elemento de superficie sería:

SdEdrr

•=φ

Según la definición de producto escalar, y teniendo en cuenta que α=0º

dSEcosdSEd ⋅=α⋅⋅=φ

El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:

ε=π=π⋅===⋅=φ ∫∫∫

qKq4r4

r

qKdS

r

qKdS

r

qKdSE 2

2S

2S

2S

donde hemos tenido en cuenta que la integral de superficie como representa a todos los sumandos elementales de la esfera, su solución será la superficie de ésta, es decir 4πr2 y posteriormente que πε= 4/1K En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias cargas, el flujo total sería la suma del debido a cada una de ellas, lo que se conoce como ley de Gauss, y es una de las 4 ecuaciones de Maxwell fundamentales del electromagnetismo:

ε=•=φ ∑

∫iq

SdErr

Es muy importante tener en cuenta que: • Solamente contribuyen al flujo las cargas (o masas en el caso del gravitatorio)

que estén encerradas en el interior de la superficie. • El flujo es independiente de la posición de las cargas en el interior de la

superficie, ya que su expresión no depende de r. • Como puede verse, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie

cerrada debido a las cargas que encierra en su interior puede ser positivo o negativo, dependiendo del signo de las cargas, mientras que en el caso del campo gravitatorio siempre era negativo ( Gm4π−=φ ).

Mediante la ley de Gauss podemos calcular muy fácilmente el valor de la intensidad de campo eléctrico creada por una distribución de cargas, siempre que podamos calcular el valor de la superficie gausiana. Ejemplo: Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo eléctrico creado por una carga Q a una distancia r de la misma. ¿Qué fuerza actuará sobre una carga q colocada en dicho punto? Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la carga una superficie cerrada que va a ser una esfera cuya distancia a la carga será r. Según la ley de Gauss:

:

ε

=•=φ ∫Q

SdES

rr

Como:

• El vector Er

y el vector Sdr

forman ángulo de 0º • El módulo de E es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie

esférica en todos sus puntos dista igual a la carga Q, por tanto podemos sacarlo fuera de la integral y:

ε=∫

QdSE

S

⇒ ε

=π⋅ Qr 4E 2 ⇒

22 r

QK

r

Q

4

1E =

πε=

Si en el punto P colocamos una carga q sobre ella actuará una fuerza dada por:

2r

qQKE qF

⋅==

que es la ley de Coulomb y que como vemos puede demostrarse fácilmente a partir de la ley de Gauss. Procediendo de forma análoga, si la carga Q en lugar de ser puntual hubiese tenido forma esférica el resultado habría sido el mismo, lo que nos indica que es

como si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro. Por esa razón cuando medimos las distancias entre dos cargas (o masas) lo hacemos desde centro a centro. Ejemplo ampliación: Calcular el campo eléctrico a una distancia r de un hilo indefinido cargado uniformemente con una densidad lineal de carga λ. La dirección del campo eléctrico creado por el hilo cargado, por razones de simetría, es perpendicular al hilo, por tanto elegiremos como superficie de gauss un cilindro de radio r y una altura h cualquiera.

El teorema de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada, el cilindro en este caso, es igual a la carga que encierra en su interior dividido por la constante dieléctrica:

ε=•∫

qSdE

S

rr

El flujo a través de todo el cilindro es igual al flujo a través de las tapas más el flujo a través de la envoltura. El flujo de E

r a través de las tapas es nulo, porque como vemos

en la figura Er

y Sdr

forman ángulo de 90º y su producto escalar es nulo porque cos90º=0. Nos queda entonces que el flujo total será el que atraviesa la envoltura lateral del

cilindro: en ese caso Er

y Sdr

tienen la misma dirección. Teniendo en cuenta que el área de la envoltura es hr 2 ⋅π

ε=⋅π⋅=•∫

qhr2ESdE

S

rr ⇒

hr2

qE

⋅⋅πε=

Teniendo en cuenta ahora que λ es la densidad lineal de carga, es decir, la carga por unidad de longitud. La carga que hay encerrada en el cilindro de altura h será hq ⋅λ= y por tanto, sustituyendo nos quedaría que:

r2E

⋅πελ=

Ejemplo ampliación: Obtener la expresión del campo eléctrico creado por una chapa delgada de superficie infinita y que se encuentra cargada con una densidad superficial de carga σ.

Por simetría, la dirección del campo eléctrico es perpendicular a la chapa. Elegimos una superficie gausiana, por ejemplo, cilíndrica como la de la figura, cuyas tapas tienen una superficie igual a A. Como sabemos:

ε=•∫

qSdE

S

rr

Y puesto que como se ve en la figura, la única contribución al flujo es a que tiene lugar

a través de las tapas anterior y posterior, donde Er

y Sdr

tienen la misma dirección, así que:

ε=⋅+⋅ q

AEAE

Teniendo en cuenta ahora que σ es la densidad superficial de carga, es decir, la carga por unidad de área. La carga que hay encerrada en el cilindro será Aq ⋅σ= y por tanto, sustituyendo nos quedaría que:

ε⋅σ=⋅ A

A2E ⇒ ε

σ=2

E

Observa como el valor de la intensidad de campo es el mismo para todos los puntos a ambos lados de la chapa. El resultado también es válido para el caso de que la chapa tenga dimensiones finitas, aunque no valdría en los bordes de la chapa.

Ejemplo ampliación: Calcular el valor del campo eléctrico entre las placas de un condensador plano de superficie A. Un condensador es un dispositivo formado por dos placas (llamadas armaduras) muy próximas, cargadas igualmente pero con cargas de signo contrario. Recordando que la dirección del campo es la que tomaría una carga positiva, podemos dibujar el campo:

Como puedes ver la intensidad de campo eléctrico fuera del condensador es prácticamente nula porque el campo creado por una placa se anula con el que crea la otra armadura. Solo dentro del condensador el campo tiene un valor distinto de cero. Para calcular el campo dentro del condensador elegimos una superficie gausiana como si se tratara de una caja de cerillas que pase por medio de la armadura, como se ve en la figura:

El flujo de E

r a través de todas las caras de la caja de cerillas es nulo salvo de la cara

interior. La explicación es sencilla:

• en las caras superior e inferior es nulo porque Er

y Sdr

formarían ángulo de 90º y su producto escalar es nulo.

• En la cara que pasa por medio de la armadura el flujo es nulo, porque como veremos más adelante el campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo.

• Solo queda la cara que está entre las armaduras, donde Er

y Sdr

tiene la misma dirección.

ε=•∫

qSdE

S

rr ⇒

ε=⋅ q

AE ⇒ A

qE

⋅ε=

El campo eléctrico dentro del condensador no depende de la distancia a las placas, y por tanto tiene el mismo valor en todos los puntos entre ellas (salvo en los bordes). Se dice entonces que es uniforme.

PROPIEDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA La carga, como hemos visto, es una magnitud que se introduce para explicar los fenómenos eléctricos. Las propiedades más importantes de la carga son: 1. Hay dos tipos de carga: positiva y negativa. Esta denominación corresponde al físico Benjamín Franklin, que le asignó carga negativa al electrón y positiva al protón, aunque ninguno de ellos tienen nada intrínseco que les haga ser negativo o positivo. Simplemente se les asignó de esa forma. Como sabes, un cuerpo cargado negativamente es aquel que tiene un exceso de electrones, mientras que un cuerpo cargado positivamente es aquel que ha perdido los electrones. Los electrones son los que se ganan o se pierden, pero nunca los protones, ya que si así fuera los elementos dejarían de ser los que son y se transformarían en otros. 2. La carga está cuantificada. Esto quiere decir que no puede tomar cualquier valor, sino que siempre debe ser múltiplo de un valor discreto. Esto es fácil de entender ya que como un cuerpo se carga porque gana o pierde electrones es obvio que su carga siempre será múltiplo entero de la carga del electrón, porque un cuerpo puede ganar dos o tres electrones, pero nunca dos y medio. Dicho de otra forma, la carga del electrón 19106,1 −⋅ Culombios es la carga elemental. 3. La carga se conserva. Quiere decir que no aparece ni desaparece, solamente se traspasa de unos cuerpos a otros. Quiere decir que si un cuerpo tiene 2 electrones de más habrá otro que será quien se los ha cedido. Como ejemplo podemos ver, por ejemplo, la desintegración del uranio 238: El uranio tiene 92 protones y se desintegra emitiendo una partícula alfa, que tiene dos. La conservación de la carga exige que se forme un elemento con 90 protones, como así sucede:

42

23490

23892 ThU α+→

A continuación vamos a describir el experimento de Millikan para determinar la carga del electrón.

Ejemplo: Una gota de aceite cargada eléctricamente y de masa 2,5.10−7 Kgr está situada entre las placas de un condensador plano con las placas paralelas horizontales, de 0,0175 m2 de superficie. Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5.10−7 C y la inferior igual, aunque negativa, la gota se mantiene en equilibrio. ¿cuál es su carga? Desprecia las fuerzas viscosas y el empuje. Datos: ε = 8,85.10−12 C2/N.m2

Millikan utilizó un dispositivo como el de la figura. La tapa superior tiene una pequeña abertura por donde se introducen gotas de aceite cargadas, lo que se consigue irradiándolas con rayos X. Las armaduras están conectadas a una pila variable, mediante la cual se puede ajustar la ddp adecuada entre las placas hasta conseguir que la gota quede en equilibrio, lo que se puede ver a través de un visor. La gota de aceite al encontrarse en el campo eléctrico creado entre las placas del condensador estará sometida, si despreciamos el rozamiento y el empuje, al peso y a la fuerza eléctrica que deben ser iguales para que la gota se equilibre.

mgEq =⋅ Teniendo en cuenta que la intensidad de campo eléctrico entre las placas del condensador es S/QE ε= , (donde Q es la carga del condensador y S el área de sus armaduras), sustituyendo nos queda que :

C106,8105,4

0175,01085,810105,2

Q

Smgq 13

7

127−

−

−−

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ε⋅=

El valor de la carga tendría signo menos por deberse a un exceso de electrones. Millikan comprobó que los valores de las cargas eran siempre múltiplos de una carga elemental, la del electrón. Por consiguiente pudo medir la carga eléctrica que posee un electrón. Este valor es: e = 1,602 × 10−19

CONDUCTORES Y ALISLANTES Conductores eléctricos son aquellos cuerpos en los que las cargas (los electrones) pueden moverse libremente. Unos conductores excelentes son los metales, porque en la redes metálicas los electrones de la última capa electrónica no están ligados a ningún átomo en particular sino que pertenecen a todo el metal y pueden moverse libremente por él. Los electrones libres se mueven aleatoriamente como lo hacen las moléculas de un gas contenido en un recipiente. Pero si entre los extremos del conductor establecemos una ddp, en el interior del conductor metálico se establece un campo eléctrico constante y los electrones modifican sus movimientos aleatorios, siendo arrastrados en sentido

opuesto al campo eléctrico Er

porque sobre ellos actúa una fuerza E qFrr

= Por el contrario, cuando en un cuerpo los electrones está muy ligados a sus átomos decimos que se trata de un aislante, sin embargo no existe el aislante perfecto, puesto que siempre podremos establecer una ddp para la cual el campo eléctrico sea suficiente para arrancarlos de los átomos y en consecuencia hacer que se vuelva conductor. Como aclaración mira algunos voltajes que aplicados a aislantes de 1 cm de espesor los volvería conductores:

Mica 300.000 a 2.000.000 V Vidrio 300.000 a 1.500.000 V Aire (a 1 atm) 30.000 V

Además de estos tipos de cuerpos hay otros llamados semiconductores, porque su capacidad para conducir la electricidad es intermedio. Los semiconductores son prácticamente aislantes a bajas temperaturas, pero a medida que aumenta se comportan casi como conductores, aunque sin llegar a tanto. Ejemplos de ellos son el silicio y el germanio. PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO Se dice que un conductor está en equilibrio cuando o hay movimiento macroscópico de cargas en él. Las propiedades son:

1. El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo: 0E =r

. En

efecto, ya que de no ser así sobre los electrones actuaría una fuerza E qFrr

= y entonces se moverían, dejando de estar en equilibrio. 2. La carga en el interior de un conductor en equilibrio es nula y se encuentra distribuida en la superficie. En efecto, ya que de acuerdo con el teorema de Gauss, si el campo en el interior es nulo la carga también:

ε=•=φ ∫

qSdE

S

rr ⇒ Si en el interior E=0 ⇒ q=0

3. El campo eléctrico en la superficie del conductor en equilibrio no es nulo, pero es absolutamente necesario que su dirección sea normal al conductor o de lo contrario la componente tangencial del mismo haría que se moviesen las cargas dejando de estar en equilibrio.

4. Todo el conductor en equilibrio es una superficie equipotencial: V=cte. En efecto, ya que teniendo en cuenta la relación entre el campo eléctrico y el potencial:

∫ •=−B

campo,A

BA rdEVVrr

⇒ como rdErr

⊥ ⇒ BA VV =

como Er

es normal a la superficie, entonces rdErr

⊥ ello implica su producto escalar sea cero y que por tanto BA VV = lo que quiere decir que V=cte, es decir que en todo el conductor el potencial es el mismo.

CONCEPTO DE CAMPO MAGNÉTICO. EXPERIENCIA DE OERSTED Así como una carga crea a su alrededor un campo eléctrico definido por E

r, un imán o

una corriente eléctrica crean a su alrededor un campo magnético que se puede poner de manifiesto con una brújula. El vector intensidad de campo magnético B

r también llamado inducción magnética se

puede representar por unas líneas de inducción de la misma forma que la intensidad de campo eléctrico se representaba por las líneas de fuerza. Las líneas de inducción magnética se dibujan de modo que:

• La tangente a ellas en cualquier punto nos de la dirección de Br

• El número de ellas sea proporcional al valor de B

r

• El sentido de las líneas es aquel en el que movería un polo norte ideal (ideal, puesto que como sabemos los polos no pueden separarse y si partimos un minan obtendríamos dos imanes)

Las líneas de inducción de un imán recto presentan el aspecto de la figura y son muy fáciles de reproducir sin más que espolvorear unas limaduras de hierro sobre el imán

Si colocásemos una brújula dentro del campo magnético del imán esta se orientaría en la dirección de la tangente a las líneas, de modo que la línea le entre por el sur y le salga por el norte:

Pero ya hemos dicho que el imán no es el único capaz de producir un campo magnético. Toda carga que se encuentre en movimiento crea a su alrededor un campo magnético. (Si está en reposo crea un campo eléctrico, pero si se mueve, además crea otro magnético) El físico danés Hans Christian Oersted puso de manifiesto con su famoso experimento que una corriente eléctrica (electrones en movimiento) era capaz de mover una brújula y por tanto que crea un campo magnético a su alrededor.

Si dejamos que la brújula se oriente libremente y luego colocamos un hilo conductor paralelo a la aguja veremos que no ocurre nada mientras el circuito esté abierto.

Una vez que cerramos el circuito y por el hilo circula corriente, la brújula tiende a pone perpendicular al hilo conductor y tanto más cuando mayor es la intensidad de la corriente que circula por el hilo

Si cambiamos la pila de polaridad e invertimos el sentido de la corriente, la brújula tiende a seguir colocándose perpendicular al hilo, pero cambia los polos.

Las líneas de inducción magnética debidas a una corriente rectilínea son, como puede comprobarse experimentalmente, circunferencias concéntricas situadas en el plano perpendicular al conductor y cuyo sentido viene dado por la regla del tornillo que gire para avanzar en el sentido de la corriente, o bien por la regla de la mano derecha: la líneas tienen el sentido en que cierra la mano derecha y el pulgar nos daría el sentido de la corriente.

FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE GAUSS

El flujo de Br

a través de una superficie cualquiera representa el número de líneas de campo que atraviesan dicha superficie y se define, de acuerdo con la definición general de flujo, como:

∫ •=φS

B SdBrr

dφ = Flujo a través del elemento dS Br


Sdr


El flujo de a través de una superficie cerrada es nulo (Ley de gauss para el magnetismo)

0SdBB =•=φ ∫rr

Ello es consecuencia de que las líneas de campo magnético son cerradas, como hemos visto en los ejemplos anteriores, y pone de manifiesto que no existen polos magnéticos aislados. El flujo de campo magnético se mide en weber (Wb=T/m2) Si comparamos la ley de Gauss para el campo magnético y para el campo eléctrico, que son dos de las 4 ecuaciones fundamentales del electromagnetismo de Maxwell:

ε=•∫

qSdErr

0SdB =•∫rr

Consecuencias:

• El flujo de Er

a través de una superficie cerrada que encierra una carga q no es nulo indica la existencia de cargas libres y que sus líneas de campo son abiertas (fuentes para las positivas y sumideros para las negativas)

• El flujo de Br

a través de una superficie cerrada es nulo indica que no existen polos magnéticos aislados y que las líneas de campo se cierran sobre sí mismas.

CIRCULACIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPERE La circulación de B

r a través de una línea cerrada por la que circula una corriente

eléctrica de intensidad I , constante, es:

IldB oµ=•∫rr

A esta expresión se la conoce como Ley de Ampere, y con una pequeña modificación, que la hace útil para el caso de que el campo eléctrico varíe con el tiempo, constituye la tercera ley de Maxwell del electromagnetismo.

oµ es una constante para cada medio, llamada permeabilidad magnética, que

para el vacío vale A/mT104 7o ⋅⋅π=µ −

I es la intensidad de la corriente que atraviesa la línea cerrada

ldr

es el vector desplazamiento (aunque aquí se haya preferido llamar ldr

en lugar de rd

r como se hace normalmente). Por tanto es un vector tangente a la

trayectoria. Consecuencias de la Ley de Ampere:

• Como muestra la Ley de Ampere, la circulación de Br

a través de una línea cerrada no es necesariamente nula y por tanto el campo magnético no es un campo conservativo

• Puesto que Br

no es un campo conservativo no tiene ningún sentido definir una energía potencial magnética, ni un potencial magnético.

Acuérdate que, por el contrario, en los campos gravitatorio y eléctrico la circulación de la intensidad de campo a lo largo de una trayectoria cerrada era siempre nula por tratarse de campos conservativos. Resumiendo:

0ldE =•∫rr

IldB oµ=•∫rr

La ley de Ampere es muy útil para calcular la expresión del campo magnético producido por distribuciones de corriente en las que exista cierta simetría como vamos a ver en los siguientes ejemplos.

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILINEA Vamos a calcular la expresión del campo magnético a una distancia r creado por un conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I. Ya sabemos que un conductor por el que circula una corriente I crea un campo magnético a su alrededor y que las líneas de campo son circunferencias concéntricas situadas en el plano perpendicular al conductor.

Elegimos entonces como trayectoria de integración una circunferencia de radio r, que por tanto coincide con la línea de campo, y en consecuencia los vectores B

r

(tangente a la línea de campo) y ldr

(tangente a la trayectoria) tendrán siempre la misma dirección.

Aplicando la ley de Ampere y teniendo en cuenta que Br

y ldr

tienen siempre la misma dirección:

IldB oµ=•∫rr

I0cosdlB oµ=⋅⋅∫

Como dada la simetría Br

es constante ya que a lo largo de toda la trayectoria se encuentra a la misma distancia del hilo conductor podemos sacarlo fuera de la integral, así que:

IdlB oµ=∫

Como la integral a lo largo de todo el camino no es más que la longitud de la circunferencia: r2 ⋅π

Ir2B oµ=⋅π⋅

de donde:

r2

IB o

⋅πµ

=

Fíjate que en este caso, lo mismo que cuando aplicando la ley de Gauss calculamos el valor del campo eléctrico creado por un alambre cargado con densidad lineal de carga λ obtuvimos la expresión

r2E

⋅πελ=

en ambas expresiones aparecen constantes características de los campos en cuestión y que ambos disminuyen con la distancia, pero además muestran que E es debido a la carga λ del alambre mientras que B es debido a la corriente I que circula por él. CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA CIRCULAR La dirección del campo magnético creado por una espira circular por la que circula una corriente I es perpendicular al plano de la espira y su sentido está determinado por el avance de un sacacorchos que gire como la espira o la mano derecha al cerrar:

El campo magnético en el centro de la espira de radio R por la que circula una corriente I es:

R2

IB oµ

=

Un solenoide o bobina es un conjunto de espiras circulares paralelas que pueden ser recorridas por una corriente. El campo magnético en su interior es prácticamente uniforme y muy intenso, similar al producido por un imán recto. Si además en su interior colocamos un núcleo de hierro conseguimos concentrar las líneas de campo en su interior y es lo que se llama un electroimán.

El campo magnético en el interior de un solenoide que tiene N espiras y una longitud L, por la que circula una corriente I es:

L

INB o ⋅µ

=

Esta expresión se deduce fácilmente a partir de la ley de Ampere si elegimos una línea cerrada que pase por el interior de la bobina:

Teniendo en cuenta que en el exterior del solenoide el campo es prácticamente nulo y

que en las caras verticales Br

y ldr

forman 90º y su producto escalar es nulo, resulta que el único tramo por el que circula corriente es por la línea interior que tiene una longitud L igual al solenoide.

IldB oµ=•∫rr

IdlB oµ=∫ ⇒ ILB oµ=⋅

teniendo en cuenta que como tiene N espiras la intensidad que atraviesa la línea cerrada (en verde) es IN ⋅ finalmente nos queda que:

L

INB o ⋅µ

=

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO: LEY DE LORENTZ

Supongamos una región del espacio donde exista un campo magnético Br

, si lanzamos una carga q con una velocidad v

r podemos observar experimentalmente que:

1. Si la carga se mueve en la dirección del campo magnético B

r, sobre ella no actúa

ninguna fuerza. 2. Para cualquier otra dirección, la carga se ve sometida a una fuerza F

r, llamada

fuerza de Lorentz, cuya dirección es perpendicular al plano que forman la velocidad de la carga y B

r

3. El módulo de la fuerza es proporcional al valor de la carga q, a su velocidad vr

y al

valor del campo magnético Br

Podemos resumir las observaciones escribiendo que:

Bv qFrrr

∧=

Esta expresión es la análoga a la que teníamos para el campo eléctrico E qFrr

= aunque como vemos en el caso del campos magnético para que sobre la carga actúe una fuerza

es necesario que esté en movimiento y que vr

y Br

no formen 90º.

Para recordar la dirección y sentido de los tres vectores que aparecen en la expresión de Lorentz utilizaremos la regla de la mano izquierda (es la única regla para la que se utiliza esta mano), que nos da la dirección de la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento en el seno de un campo magnético:

En el caso de tratarse de una carga negativa, obviamente, la fuerza tendrá sentido opuesto al dado por esta regla. La unidad de campo magnético en el SI es la Tesla, o bien el Weber/m2. Como puede deducirse fácilmente de la expresión de Lorentz, una tesla es:

mA

N

s

mC

NT

⋅==

En el caso de que la carga se mueva en el seno de un campo eléctrico y de un campo magnético, evidentemente, la fuerza que actuará sobre ella será la suma vectorial de la que cada campo ejerce por separado, es decir que:

Bv qE qFrrrr

∧+= MOVIMIENTOS DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORM E. Según la dirección del movimiento de la carga respecto del campo magnético se pueden dar tres casos: 1. La carga se mueva con una velocidad paralela al campo magnético: En este caso sobre la carga no actuará ninguna fuerza debida al campo magnético, ya que el módulo de la fuerza de Lorentz 0senBv qF =α⋅= En efecto es cero, tanto si tienen el mismo sentido, donde 0=α , como si tienen sentidos opuestos, donde 180=α . En ambos casos el seno es cero. 2. La carga se mueva perpendicularmente al campo magnético: En este supuesto simplemente tenemos el movimiento de un cuerpo (la carga en éste caso) que se mueve bajo la acción de una fuerza normal a su velocidad y por tanto, como sabemos, la aceleración normal que es la responsable de los cambios en dirección de la velocidad, dará lugar a un movimiento circular uniforme.

Por tanto, estamos ante la misma situación que cuando una piedra da vueltas en un plano horizontal, o un coche toma una curva, o un satélite gira alrededor de la tierra o un electrón gira alrededor del núcleo como en el modelo de Bohr. La única diferencia es que el origen de la fuerza normal en el primer caso es debida a la tensión de la cuerda, en el segundo a la fuerza de rozamiento, en el tercero a la fuerza de atracción gravitatoria o eléctrica y en este caso la fuerza la fuerza de Lorentz.

Desde el punto de vista de un observador inercial, teniendo en cuenta que la fuerza normal o centrípeta, en este caso es la fuerza magnética de Lorentz, el radio de la trayectoria será: (Desde el punto de vista de un observador no inercial, que se mueva con la carga, el resultado habría sido exactamente el mismo, aunque en este caso habríamos tenido que introducir la fuerza centrífuga como fuerza de inercial: Fmag=Fcentríf)

Fmag=Fnormal

r T

4 mr m

r

vmB v q

2

22

2 π=ω==

el radio B q

v mr = (igualando 1 y 2)

el periodo B q

m 2T

π= (igualando 1 y 4)

El mismo razonamiento para el campo gravitatorio: Fgrav=Fnormal

r T

4 mr m

r

vm

r

mMG

2

22

2

2

π=ω==⋅

2v

GMr = o bien

r

GMvorbital =

32

2 r GM

4T

π= (3ª ley de Kepler 32 r kT = )

Observa que aunque las dos situaciones (y el razonamiento) son prácticamente iguales los resultados obtenidos difieren muchísimo:

• Para el caso de un satélite que gire alrededor de la tierra, su radio es independiente de la masa del satélite, mientras que en el caso de una carga que

gira en el seno un campo magnético el radio es proporcional a la masa. Precisamente en esto se basa el espectrógrafo de masas.

• Para el caso de un satélite el periodo de revolución depende del radio (es la tercera ley de Kepler) mientras que en el caso de una carga que gira en el seno un campo magnético el periodo es constante (solo depende de la masa y carga de la partícula y del valor del campo). Precisamente en esto se basa el funcionamiento del ciclotrón.

3. La carga se mueva con una velocidad que forma un ángulo α con el campo magnético: En este caso el vector velocidad siempre podrá descomponerse en dos vectores:

• Una componente de la velocidad perpendicular al campo magnético, que dará lugar a que gire describiendo un movimiento circular uniforme

• Otra componente de la velocidad en la dirección del campo magnético que, como dijimos en el apartado primero, le hará avanzar sin desviarse.

• El resultado de ambos movimientos es que la partícula describirá una especie de trayectoria helicoidal similar al borde de un tornillo.

Vamos a descomponer la velocidad de la partícula en un sistema de referencia como el de la figura, en el que B

r lleva la dirección y sentido del eje X:

• α= cosvv x Tiene la dirección y sentido de Br

por tanto esta componente no origina ninguna fuerza magnética. Simplemente hace que la partícula avance, con ese velocidad constante, a lo largo del eje X)

• α= senvv y Esta componente es perpendicular a Br

y por tanto será la

responsable de que aparezca una fuerza magnética normal a ella y que evidentemente provocará un giro. El radio será:

Bv qR

vm y

2y = ⇒

B q

senvmR

α⋅=

Y el periodo de será:

B q

m 2

v

R 2T

y

π=π=

fíjate que la expresión del periodo es la misma que obtuvimos antes y que por

tanto no depende el ángulo que forman vr

y Br

• El resultado de componer los dos movimientos es una hélice, ya que como el periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta la partícula, en ese mismo tiempo la componente xv le ha hecho avanzar un espacio:

B q

m 2cosvTvs x

πα==

Ejemplo: a) (Apartado a de E4B.S2013) Una partícula con carga +q se encuentra en reposo en el punto (0,0). Si aplicamos un campo eléctrico uniforme E en el sentido positivo del eje OY, describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene lugar a lo largo del mismo. b) Una masa m se encuentra en reposo en el punto (0,0) de un SR. Si se deja en libertad donde hay un campo gravitatorio g, describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene lugar a lo largo del mismo. c) Una carga +q se encuentra en reposo en el punto (0,0). Si se aplica un campo magnético perpendicular al plano del papel, describa el movimiento de la partícula. d) (Similar al apartado a de E1B.S2013) Una carga +q se mueve con una velocidad v hacia la parte positiva el eje OY. Si se aplica un campo magnético perpendicular al plano del papel, describa el movimiento de la partícula. ¿Varía la energía cinética de la partícula? ¿Y la energía potencial? e) Una carga +q se mueve con una velocidad v en línea recta y penetra en una región en la que existen un campo eléctrico E y un campo magnético B, perpendiculares entre sí y perpendiculares a la velocidad inicial de la partícula. Haga un esquema y razone qué condición debe cumplirse para que la partícula continúe su trayectoria rectilínea. En primer lugar lee muy, muy bien el enunciado hasta que comprendas claramente las similitudes y diferencias entre los distintos apartados.

a) Sobre la carga aparecerá una fuerza E qFrr

= . Puesto que la carga es positiva, la fuerza tendrá la misma dirección y también el mismo sentido que el campo E

r. Por otro lado, si el campo es uniforme, la

fuerza también lo será en módulo y dirección (siempre vertical hacia arriba) y consecuentemente la aceleración que provocará. Por tanto la carga se moverá verticalmente hacia arriba con un

movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado ( a mE qFrrr

==

de donde m/E qa rr

= ). Si la única fuerza sobre la partícula es la debida al campo eléctrico se conservará la energía mecánica: 0EpEc =∆+∆ . Puesto que la partícula tiene un movimiento uniformemente acelerado su velocidad irá aumentando y consecuentemente su energía cinética. La conservación de la energía exige que la energía potencial disminuya. (Es lo esperado, ya que una partícula, ya sea una masa, o una carga, con independencia de su signo, siempre se mueve de forma espontánea hacia donde disminuya la energía potencial. No obstante, como VcEp ∆⋅=∆ las masas y las cargas positivas también se mueven espontáneamente hacia donde disminuya el potencial, pero las cargas negativas se mueven hacia potenciales crecientes ya que en la expresión anterior el valor del testigo es un número negativo.)

b) Este podría ser el caso de una piedra que dejamos caer libremente. Seguramente dirás, con razón, que tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo, y que su energía cinética irá aumentando a la vez que disminuye su energía potencial. Sin embargo, posiblemente pases por alto que este apartado es idéntico al anterior, con la salvedad de que ahora tenemos una masa en lugar de una carga,

que la intensidad de campo ahora es gr

en lugar de Er

y que en ningún momento nos dicen que la intensidad de campo vaya para abajo (es más, como no nos predeterminan la dirección y sentido de g

r, en el esquema la vamos a pintar para arriba a

cosa hecha). Todo el razonamiento sería exactamente el mismo: En este caso

a mg mFrrr

== de donde ga rr

= lo que quiere decir que el cuerpo se mueve sometido a una aceleración igual a la intensidad de campo gravitatorio. Si la masa que crea el campo fuese la tierra (cosa que el enunciado no dice) estaríamos frente a un cuerpo en caída libre que cae con una aceleración igual a la gravedad. c) En el apartado a hemos visto que al dejar en libertad una carga, inicialmente en reposo, en el seno de un campo eléctrico se mueve en la dirección del campo (en el mismo sentido si es positiva o el contrario si fuese negativa) … No obstante, si dejamos en libertad una carga, inicialmente en reposo, en el seno de un campo magnético la carga continua igual, ya que la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga

(fuerza de Lorentz Bv qFrrr

∧= ) sería nula y de acuerdo con la primera ley de Newton la carga mantendría su estado. d1) Si la carga se mueve en el seno de un campo magnético sobre ella

aparecerá la fuerza de Lorentz Bv qFrrr

∧= . Al tratarse de un producto vectorial de dos vectores, la fuerza será un vector perpendicular al plano

que forman vr

y Br

, su sentido como el de un tornillo que gire como lo

haría vr

para coincidir con Br

por el camino más corto y su módulo

Bv qsen Bv qF =α= (porque vr

y Br

forman 90º)

Tanto si vr

y Br

forman ángulo de 90º como otro cualquiera (siempre que no sea 0=α porque en tal caso F=0) la fuerza tendrá el módulo máximo o más pequeño, pero siempre será un vector perpendicular a la velocidad, es decir, se trata de una fuerza normal: Normal

2mag Fr/v m Bv qF === . Eso

quiere decir que la velocidad de la carga no variará en módulo y que solamente variará en dirección, haciendo que describa una circunferencia (porque la aceleración normal es constante m/Bv qr/va 2

Normal == ).

d2) Puesto que la fuerza de Lórentz es normal a la velocidad no provocará cambios en su módulo y en consecuencia su energía cinética permanecerá constante a lo largo de toda la trayectoria. A la misma conclusión llegamos si tenemos en cuenta que el trabajo que hace la fuerza magnética para llevar la carga desde un punto A hasta otro punto B a lo largo de esa

trayectoria circular es nulo. (porque magFr

y rdr

(que es tangente a la trayectoria) son

vectores perpendiculares y su producto escalar es nulo). Y como, de acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos: 0EcW BA =∆=→

d3) El campo magnético no es un campo conservativo ya que la circulación del vector intensidad de campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, sino

que IldB oµ=•∫rr

que es la ley de Ampere. Por tanto la Energía potencial, que es un

concepto asociado exclusivamente a los campos de fuerzas conservativos, aquí no existe. e) Supongamos que la carga se mueve perpendicularmente al campo magnético tal como se ha dibujado en el apartado d1). En tal caso el campo eléctrico debería tener la misma dirección que la fuerza de Lorentz y el sentido opuesto para que la fuerza eléctrica compense a la magnética: FElec=Fmag ⇒ qE=qvB ⇒ v=E/B Ejemplo E5A.S2008: En una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,8 T, se inyecta un protón con una energía cinética de 0,2 MeV, moviéndose perpendicularmente al campo. a) Haga un esquema en el que se representen el campo, la fuerza sobre el protón y la trayectoria seguida por éste y calcule el valor de dicha fuerza. b) Si se duplicara la energía cinética del protón, ¿en qué forma variaría su trayectoria?

Razone la respuesta. Datos: mp = 1,67·10−27 kg ; e = 1,6·10−19

C ; 1 eV = 1,6·10−19 J

Imaginemos que la dirección del campo magnético es perpendicular al papel y saliendo. Si el protón se mueve hacia la derecha, aplicando la regla de la mano izquierda, la fuerza estará en el plano del papel, tal como se indica en la figura.

En primer lugar vamos a calcular la velocidad del protón que tiene una energía cinética de 0,2 MeV = 0,2.106 eV (para ello tendremos en cuenta que Julios196,1eV1 19−⋅= )

2vm2

1Ec =

s/m1019,61067,1

)196,1102,0(2

m

Ec2v 6

27

196

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅== −

−

el módulo de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el protón es:

Bvq90senBvqF =⋅=

New1092,78,01019,6106,1F 13619 −− ⋅=⋅⋅⋅⋅=

El módulo de la fuerza es constante y siempre en la dirección normal a la velocidad del protón, por esa razón describirá un movimiento circular uniforme.

b) Si se duplica la energía cinética, su nueva velocidad será:

2vm2

1Ec =

2

21

221

´vm

vm

Ec2

Ec = ⇒ 2v´v =

2´vm2

1Ec2´Ec ==

Como el radio de la trayectoria que viene dado por:

BvqR

vmF

2

== ⇒ qB

vmR =

El nuevo valor del radio de la trayectoria, teniendo en cuenta la nueva velocidad, sería:

qB

2vm

qB

´vm´R == ⇒ 2R´R =

Como vemos, aumenta el radio de la trayectoria en 2

Ejemplo E6B.S2008:

Un electrón entra con velocidad j10vrr = ms−1

en una región en la que existen un

campo eléctrico, k20Err

= N C−1, y un campo magnético, iBB o

rr= T.

a) Dibuje las fuerzas que actúan sobre el electrón en el instante en que entra en la región donde existen los campos eléctrico y magnético y explique las características del movimiento del electrón. b) Calcule el valor de B0 para que el movimiento del electrón sea rectilíneo y uniforme.

El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre el electrón EqFelec

rr= que como puede verse

en la expresión tiene la misma dirección del campo, aunque en este caso al tratarse de un electrón tiene sentido opuesto, ya que q es una magnitud negativa. Como se ha dibujado en la figura es un vector en dirección k

r−

El campo magnético ejerce una fuerza sobre el electrón BvqFrrr

∧= que como puede verse será (de acuerdo con la definición de producto vectorial) perpendicular al plano

formado por vr

y Br

, es decir tendrá dirección del eje Z. Su sentido el de un

sacacorchos que gire como vr

para coincidir con Br

por el camino mas corto, aunque en este caso al tratarse de un electrón tiene sentido opuesto, así que tendrá dirección y

sentido de kr

. (Al mismo resultado llegaríamos aplicado la regla de la mano izquierda) La fuerza resultante sobre el electrón será la suma vectorial de ambas fuerzas, y como tienen la misma dirección y sentidos opuestos simplemente la obtendremos restando sus módulos. Si las dos fuerzas no son iguales, como se dice en el apartado b, puede ocurrir: • Que la fuerza magnética sea mayor, en cuyo

caso como esta fuerza siempre es normal a la velocidad tenderá a describir un movimiento circular en el plano ZY.

• Si la fuerza eléctrica es mayor, la partícula

describirá una parábola en el plano ZY, parecido a cuando se lanza una piedra horizontalmente.

BvqqER

vmF

2

−== ⇒ BvqqE

vmR

2

−=

b) Como ya hemos razonado anteriormente, el electrón permanecerá en movimiento rectilíneo y uniforme, cuando de acuerdo con la primera ley de Newton sobre él no actúe ninguna fuerza, es decir, cuando la resultante de las dos que hay sea nula, por tanto, como tienen la misma dirección y sentidos opuestos, basta con que sus módulos sean iguales:

mangelec FF = ⇒ BvqqE = ⇒ Teslas210

20

v

EB ===

APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNETICO

De acuerdo con la ley de Lorentz, BvqFrrr

∧= la fuerza magnética siempre es

perpendicular al plano que forman los vectores vr

y Br

, por tanto la fuerza es siempre perpendicular a la trayectoria de la partícula.

El trabajo que hace la fuerza magnética para llevar la carga desde el punto A hasta el punto B, de acuerdo con la definición de trabajo, es nulo porque es el producto escalar de dos vectores perpendiculares:

∫ =•=→

B

A

magmag.camp,BA 0rdFWrr

De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas, como el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos

EcW BA ∆=→

Si el trabajo es cero, la energía cinética no varía y por tanto la velocidad en toda la trayectoria es la misma (su módulo, porque en dirección sí que varía).

Ciclotrón: El ciclotrón es un acelerador de partículas ideado en 1930 por Lawrence. Consiste en dos piezas huecas de forma semicircular llamadas “DES”, por su forma, que están en el seno de un campo magnético perpendicular y entre las que se establece una ddp que va alternando de polos.

Su funcionamiento está basado en que, como hemos visto, el periodo de rotación de una partícula cargada en el interior de un campo magnético uniforme es independiente del radio y de la velocidad:

qB

m 2

v

R2T

π=π=

El funcionamiento es el siguiente: • Una vez que la fuente emite la partícula cargada, se acelerada hacia la D1 por un

campo eléctrico que se crea estableciendo una ddp entre D1 y D2. ( dEV ⋅= ) • La ddp entre las DES debe tener exactamente la misma frecuencia que el

movimiento circular que describe la partícula, es decir T/1=ν • Al llegar a la D1, la partícula ha alcanzado una velocidad v1. De acuerdo en el

teorema de las fuerzas vivas: EcqVWelectrico ∆==

• Una vez que entra en la D1, por efecto del campo magnético describe un movimiento

circular. Dentro de la DE está un tiempo igual a la mitad del periodo: T/2 • Cuando sale de D1 lleva la misma velocidad v1, con que entró, pero en este

momento cambia la polaridad de la ddp y ahora la partícula se acelera nuevamente por efecto del campo eléctrico hasta la D2, a la que llega con una velocidad v2 mayor.

• Nuevamente describe una trayectoria circular, tardando el mismo tiempo, T/2, y sale de D2 con la misma velocidad con que entró.

• Otra vez cambia la polaridad de la ddp y vuelve a acelerarse, llegando a la D1 con una velocidad v3 mayor, y así sucesivamente. Cada media vuelta va aumentando la velocidad, por efecto del campo eléctrico entre las DES, hasta que finalmente sale del ciclotrón.

• La velocidad de salida, que depende del radio del ciclotrón es:

BvqR

vmF

2

== ⇒ m

qBRv =

Espectrómetro de masas: Es un dispositivo utilizado para medir la masa de los iones o partículas cargadas, que se basa en que el radio de la trayectoria seguida por la carga al entrar en el campo magnético es directamente proporcional a su masa. Como ya hemos visto:

BvqR

vmF

2

== ⇒ qB

vmR =

La velocidad de entrada de los iones se controla fácilmente mediante un campo eléctrico perpendicular al campo magnético, es lo que se llama filtro de velocidades. Ya hemos visto anteriormente que en este caso, en el que los campos son perpendiculares, no se desviarán aquellos iones para lo que se cumpla que:

mangelec FF = ⇒ BvqqE = ⇒ B

Ev =

Los iones que tienen la velocidad v entrarán por la rendija (el resto los desviará uno u otro campo y no entrarán). Ahora como solo están sometidos al campo magnético describirán una trayectoria circular hasta chocar en la película fotográfica. Según su masa describirán una trayectoria de más o menos radio:

qB

vmR 1

1 = qB

vmR 2

2 = qB

vmR 3

3 =

En el caso de desconocer la masa y la carga de la partícula, como mínimo, siempre será posible medir la relación entre la masa y la carga, ya que:

Rv

B

q

m =

Ejemplo: En un espectrógrafo de masas los campos eléctrico y magnético del filtro de velocidades valen respectivamente E=120.000 N/C y B=0,2 T. En estas condiciones pasa un protón. a) Cual es la velocidad que posee el protón b) Al penetrar en la región donde solo existe el campo magnético describe una trayectoria circular de 3,13 cm de radio ¿Cuál es la masa del protón? Datos: C106,1e 19−⋅= a) En primer lugar vamos a ver como un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares pueden funcionar como un auténtico filtro de partículas que tienen una determinada velocidad:

De solo existir el campo magnético la partícula describiría una trayectoria circular por estar sometida a una fuerza normal a su velocidad. Ten en cuanta que la fuerza magnética “siempre” es normal a la velocidad y por tanto da lugar a una aceleración normal responsable del cambio de dirección de la velocidad y de que la trayectoria sea circular.

De solo existir el campo eléctrico la partícula describiría una parábola, ya que estaría sometida a una fuerza siempre en la misma dirección (de la placa positiva a la negativa). La situación será exactamente igual a cuando se lanza una piedra horizontalmente. Tendríamos una componente de la velocidad que le hace avanzar uniformemente y otra componente perpendicular, que en este caso en lugar de ser debida a la gravedad sería debida al campo eléctrico. La partícula no se desvía cuando ambas fuerzas son iguales en módulo, ya que tienen la misma dirección y sentidos opuestos:

mangelec FF = ⇒ B v qE q = ⇒ s/m1062,0

000.120

B

Ev 5⋅===

b) Una vez que la partícula entra en la región donde solo existe el campo magnético perpendicular a su velocidad comenzará a describir un movimiento circular uniforme. Como en este caso la fuerza normal es de origen magnético:

B v qR

vmF

2

== ⇒ Kg1067,1106

0313,02,0106,1

v

R B qm 27

5

19−

−

⋅=⋅

⋅⋅⋅==

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR. LEY de LAPLACE Cuando por un hilo conductor circula una corriente, si se encuentra en un campo magnético, sobre él aparecerá una fuerza que es simplemente la suma de las fuerzas que el campo magnético ejerce sobre cada una de las cargas que se mueven y que constituyen la corriente. Supongamos que el hilo tiene una sección A, una longitud L y que por él circula una corriente I.

Si cada carga elemental tiene un valor q y llamamos n al número de cargas por unidad de volumen, la carga total Q que circulará por el conductor será:

LA qnQ ⋅⋅⋅= Si llamamos v a la velocidad con que se mueven las cargas en el interior del conductor, también llamada velocidad de arrastre, y tenemos en cuenta que, por definición, la intensidad de la corriente es igual a la carga total que atraviesa una sección de conductor en la unidad de tiempo:

vAnqt

L Anq

t

QI ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==

Como empezamos diciendo, la fuerza magnética sobre el conductor es la suma de la que el campo ejerce sobre cada carga en movimiento:

Por tanto si la carga total que circula por el conductor es Q la fuerza ejercida por el campo magnético B

r sobre el conductor será:

BvLAnqBvQFrrrrr

∧⋅⋅⋅⋅=∧⋅=

y teniendo en cuenta que vAnqI ⋅⋅⋅= y que un vector se puede escribir como producto de su módulo por un vector unitario en su dirección y sentido (en este caso

vuvvrr ⋅= ) finalmente, nos queda que:

BuvLAnqF v

rrr∧⋅⋅⋅⋅⋅=

BuLIF v

rrr∧⋅⋅=

evidentemente vu

r es un vector unitario en la dirección y sentido en que se mueven las

cargas positivas. Para el caso de un conductor rectilíneo, esta dirección coincide con la del hilo conductor, así que la expresión, llamada Ley de Laplace, se escribe como:

BLIFrrr

∧⋅= La dirección y sentido de la fuerza puede obtenerse con la misma regla de la mano izquierda, solo que cambiando el dedo que nos indica la velocidad de la carga positiva por el sentido de la intensidad de corriente, que obviamente viene a ser lo mismo. Ejemplo: Un alambre de 0,5m de longitud y 10 g de masa está suspendido mediante unos alambres flexibles, como se indica en la figura, encontrándose en el seno de un campo magnético de 0,4 T. ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de la corriente que se requiere para eliminar la tensión en los alambres que lo sostienen?

Para eliminar la tensión de los resortes que sostienen el conductor es necesario que la fuerza que el campo hace sobre el conductor compense el peso del mismo. Por tanto es necesario que dicha fuerza sea vertical y hacia arriba, con lo que aplicando la regla de la mano izquierda, resulta que la corriente por el hilo debe circular desde A hasta B, tal como se muestra en la figura.

B L Ig m = ⇒ Amp5,04,05,0

1001,0

B L

g mI =

⋅⋅==

MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA EN UN CAMPO MAGNÉTICO Imaginemos una espira cuadrada en el seno de un campo magnético, tal como se muestra en la figura:

El lado b

• Inicialmente no ejerce ninguna fuerza porque la corriente y el campo tienen la misma dirección, 0=α , así que su producto escalar es nulo.

• Cuando la espira gire un ángulo 0≠α entonces la fuerza de los lados b ya no es nula, porque valdrá α= IbBsenFb , pero como puede verse en la figura la fuerza

de ambos lados tienen la misma dirección y sentidos opuestos, por lo que se anularían. (Fíjate que esa fuerza varía en módulo, porque depende del ángulo α que forman la corriente y el campo, pero siempre tiene la misma dirección vertical.

El lado a

• En todo momento la intensidad de la corriente y el campo magnético forman 90º, así que la fuerza siempre tiene su valor máximo: IaBFa =

• En todo momento la fuerza es perpendicular al hilo conductor, y como puede verse en la figura, forman un par de fuerza que tiene de hacer girar a la espira con un momento igual a:

ISBbIaBbFM a =⋅=⋅=

donde se ha tenido en cuenta que el área de la espira es abS=

En forma vectorial, el momento sobre la espira es:

BSIMrrr

∧=

Teniendo en cuenta que se llama momento magnético de la espira: SImrr = podemos

poner que:

BmMrrr

∧=

Una aplicación importante la podemos encontrar en el galvanómetro, que es un aparato que se utiliza para medir intensidades de corriente:

Como hemos visto el momento que hace girar a la espira es proporcional a la intensidad de la corriente que circula por la espira (o por la bobina formada de N espiras) ISBNM ⋅= , de manera que graduando la escala podemos saber la intensidad que circula en función del ángulo que gira la bobina. La bobina tiene acoplado a su eje de giro un resorte que la mantiene en el cero cuando no hay corriente y cuando por ella circula corriente gira hasta que el momento del par debido a la fuerza magnética iguala al momento del par del resorte. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CORRIENTES RECTILÍNEAS

INDEFINIDAS

Ya hemos visto que el campo magnético creado por un conductor rectilíneo, por el que circula una corriente I a una distancia r es:

r 2

IB o

πµ

=

Si cerca de ese conductor hay otro conductor, sobre éste actuará una fuerza debida al campo magnético creado por el primero, y viceversa. Sean A y B dos conductores por los que circulan corrientes IA e IB y que se encuentran separados una distancia d.

Llamemos BA al campo magnético que el conductor A crea a su alrededor, y que a una distancia d, valdrá:

d 2

IB Ao

A πµ

=

Como el conductor B se encuentra en el seno de un campo magnético (el creado por A) sobre él actuará una fuerza FB cuya dirección y sentido vendrá dada por la regla de la mano izquierda y que valdrá:

ABB BLIFrrr

∧⋅= Teniendo en cuenta que los conductores son paralelos, L

r y B

rforman 90º, de manera que

el módulo de la fuerza será:

d 2

ILILBIF Ao

BABB πµ

==

A la misma conclusión llegaremos si calculamos la fuerza que el conductor B hace sobre el A, de manera que:

Ld 2

IIFF BAo

BA πµ

==

Y la fuerza por unidad de longitud de conductor sería:

d 2

II

L

F BAo

πµ=

En el caso de que por los conductores circulen las corrientes en sentido contrario la fuerza tendrá el mismo valor en módulo, aunque en este caso se repelerían:

Definición internacional de Amperio. Como sabes, el amperio es una de las magnitudes fundamentales. Si recuerdas que en el vacío la constante de permeabilidad magnética vale:

A/mT104 7o ⋅⋅π=µ −

la fuerza por unidad de longitud de conductor nos quedaría que en el vacío sería:

d

II102

L

F BA7−⋅=

Es fácil comprender que si: L=1m, IA=IB=1Amp, d=1m entonces F= 7102 −⋅ N, por tanto: Definición de Amperio: Amperio es la intensidad de corriente que circula por dos hilos paralelos, situados en el vacío a una distancia de un metro, para que se atraigan o repelan con una fuerza de 7102 −⋅ Newton por cada metro. (Se dice para que se atraigan para el caso de que por ambos circule la corriente en el mismo sentido o se repelan si las corrientes circulan en sentidos contrarios) Ejemplo:

La balanza de Cotton es un dispositivo como el de la figura que permite medir la fuera que actúa sobre un conductor cuando se encuentra en un campo magnético. Si el hilo A, que cuelga de la balanza, tiene una longitud de 1 m, está recorrido por una corriente de 50 Amp y separado del conductor B una distancia de 5 cm ¿Qué corriente y en qué sentido debe circular por el conductor B para que la balanza se equilibre con 2 gr?

Para compensar el peso del platillo, la fuerza que el conductor B tiene que hacer sobre el A debe ser atractiva, luego por los dos hilos las corrientes deben circular en el mismo sentido:

Para que el sistema está en equilibrio mgF = es decir:

mgLd 2

II BAo =π

µ

10002,005,02

1I50104 B7

⋅=π

⋅⋅⋅π −

⇒ Amp100I B =

Ejemplo E3A.S2007:

Dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, distan entre si 0,5 m. Por ellos circulan corrientes de 1 A y 2 A, respectivamente. a) Explique el origen de las fuerzas que se ejercen ambos conductores y su carácter atractivo o repulsivo. Calcule la fuerza que actúa sobre uno de los conductores por unidad de longitud. b) Determine el campo magnético total en el punto medio de un segmento que una los dos conductores si las corrientes son del mismo sentido. a) Como sabemos una corriente no es más que un montón de cargas en movimiento, por tanto a su alrededor creará un campo magnético. Lo mismo puede decirse el otro conductor y en consecuencia, cada conductor al encontrarse en el campo magnético creado por el otro estará sometido a una fuerza en la dirección normal a los conductores y cuyo sentido depende del sentido de las corrientes, siendo atractivo si ambas circulan en el mismo sentido y repulsivo si las corrientes circulan en sentidos contrarios: Como hemos deducido anteriormente, la fuerza por unidad de longitud que un conductor hace sobre el otro viene dada por:

d 2

II

L

F BAo

πµ= ⇒ New108

5,02

21104

L

F 77

−−

⋅=π

⋅⋅π=

b) Suponiendo que por los dos conductores circulen las corrientes en el mismo sentido, el campo magnético en el punto medio de un segmento que los une sería:

Como puede verse en la figura, en el punto medio el segmento que separa a los conductores, ambos campos tienen la misma dirección (la del plano normal a los conductores), pero tienen sentidos opuestos, así que el módulo del campo resultante puede obtenerse simplemente restando el módulo del campo que en ese punto crea cada conductor por separado:

T10825,02

1104

d 2

IB 7

7Ao

A−

−

⋅=π

⋅π=π

µ=

T108B 7−⋅=

T101625,02

2104

d 2

IB 7

7Bo

B−

−

⋅=π

⋅π=π

µ=

Como era de suponer, es mayor el campo creado por el conductor B, porque por él circula una corriente mayor. Fíjate también que en el caso de que la corriente que circulara fuese la misma el valor del campo en el punto medio sería nulo.

FENÓMENOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Una vez que Oersted puso de manifiesto que una corriente podía producir un campo magnético, muchos físicos empezaron a plantearse si ocurriría lo contrario: que un campo magnético fuese capaz de crear una corriente. Vamos a describir los experimentos que llevaron a cabo Faraday en Inglaterra y Henry en E.U. y que ponen de manifiesto el fenómeno de la inducción. 1. Un circuito inerte es aquel que no tiene ninguna pila y solamente está formado por un arrollamiento de conductor, al que llamaremos solenoide o bobina, conectado a un galvanómetro.

Como es lógico el galvanómetro no marcará nada, porque al no haber un generador que provoque una ddp no habrá movimiento de cargas y por tanto I=0 Sin embargo si le acercamos un imán por cualquiera de sus polos veremos que el galvanómetro acusa el paso de corriente, es decir que por la razón que sea en el circuito inerte se induce una corriente:

Lo curioso es que la corriente inducida tiene un sentido cuando el imán se acerca y el contrario cuando se aleja. Lo mismo podemos decir cuando en lugar de acercar o alejar el imán por un polo lo hacemos por el polo opuesto. 2. Idénticos resultados obtendríamos si dejásemos quieto el imán y moviéramos la bobina. Resumiendo, podemos decir que mientras haya un movimiento relativo entre la bobina y el imán, en ésta se induce una corriente. 3. Si a nuestro circuito inerte le acercamos un solenoide por el que circula corriente sucede como en las experiencias anteriores: que en el circuito inerte se induce una corriente.

En lo que se refiere al solenoide, era de esperar que tuviese estos efectos sobre el circuito inerte, puesto que como sabemos un solenoide que está atravesado por una corriente se comporta como un imán y por tanto esta experiencia sería básicamente igual a las anteriores. 4. Si al solenoide de la experiencia anterior lo dejamos quieto, pero le ponemos un interruptor, al abrirlo y cerrarlo también se induce una corriente en el circuito inerte y según de cierra o abra el circuito la corriente inducida tiene sentido contrario.

5. Hay muchos más experimentos que conducen a lo mismo, a inducir una corriente en el circuito inerte, como por ejemplo dejar quiero el imán mientras metemos y sacamos de la bobina un núcleo de hierro. O ponerle al circuito del solenoide un reostato y actuar sobre el botón del mismo

FUERZA ELECTROMOTRIC INDUCIDA Y VARIACIÓN DE FLUJO: LEY DE FARADAY−LENZ Faraday comprendió que el denominador común de todos estos experimentos, aparentemente tan distintos, era que producían un flujo magnético variable en el circuito inerte. En las tres primeras experiencias la variación de flujo (de las líneas de campo magnético que atraviesan el circuito inerte) se conseguía acercando o alejando el imán, con lo que el flujo se hacía mayor al acercarse, y menor al alejarse. Vuelve a mirar los dibujos y lo entenderás. En la experiencia 4, al abrir o cerrar el interruptor lo que estamos haciendo es variar la intensidad de la corriente y por tanto el campo magnético creado por la bobina. La misma explicación podemos dar para el caso de colocarle una resistencia variable y moverla, que variamos la intensidad de la corriente. En el caso de meter y sacar el núcleo de hierro dentro de la bobina el resultado es el mismo, ya que como el núcleo lo que hace es concentrar las líneas de campo, al introducirlo conseguimos aumentar el flujo a través del circuito inerte y al sacarlo lo disminuimos. La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo:

dt

de Bφ

−=

Observa que:

• La f.e.m. inducida no se debe a la existencia de flujo, sino a su variación. Si no

hay variación de flujo de Br

a través del circuito, la f.e.m. inducida será cero. • El signo menos indica que la f.e.m. inducida debe ser aquel que se oponga a las

causas que la originan. (Es decir al movimiento relativo del imán y la bobina, etc) Es lo que se conoce como ley de Lenz.

Antes de explicarlo con detalle, recuerda que una bobina al ser atravesada por una corriente se comporta como un imán y el sentido de las líneas de campo lo obteníamos con la mano derecha: cerrándola en el sentido de la corriente, el pulgar nos indicaba el sentido de las líneas y por tanto cual sería el polo norte:

Ahora podemos explicar lo que ocurre:

De acuerdo con la ley de Faraday−Lenz, cuando acercamos el

norte del imán al circuito inerte, en éste debe inducirse una

corriente que “se oponga a la causa que lo crea”, es decir que la

bobina debe comportarse como si fuera un imán que rechace al que

le acercamos.

Es como si dijéramos que la bobina del circuito presenta una inercia a cambiar su estado inicial: Inicialmente no estaba atravesada por ninguna línea de campo y por eso al acercarle el imán y comenzar a penetrar las líneas de campo del imán la bobina creara unas “de forma inducida” en sentido contrario para contrarrestar a las del imán:

Y aplicando la regla de la mano derecha a la bobina, nos daría la dirección de la corriente, tal como se ha dibujado en la figura. Cuando alejamos el imán sucede lo contrario: Cuando el imán está

cerca el circuito, éste está siendo atravesado por muchas líneas de

campo, y al alejarlo lo que hacemos es disminuir el flujo. Entonces

la bobina “que se opone a ese cambio” crea sus propias líneas en el

mismo sentido de las que lo atravesaban, como si ahora no quisiera

renunciar a ellas:

La ley de Faraday−Lenz, para el caso de una bobina que tiene N espiras, como en cada una se induce la misma fuerza electromotriz, la escribiremos como:

dt

dNe Bφ⋅

−=

En realidad esta ley no es más que otra manera de expresar el principio de conservación de la energía, ya que imagina que se cumpliera lo contrario, que al acercar el imán a la bobina ésta lo atrajera cada vez con una fuerza mayor y por tato se indujera una corriente cada vez mayor. Entonces tendríamos que admitir que el circuito se alimenta solo, lo que resulta absurdo. Sin embargo la energía que el circuito pierde por efecto Joule es igual al trabajo que nosotros hacemos al acercar el imán. Esto sí tiene sentido. La ley de inducción de Faraday−Lenz es la cuarta ecuación del electromagnetismo de Maxwell. E4A.S2005 1. Una espira cuadrada está cerca de un conductor, recto e indefinido, recorrido por una corriente I. La espira y el conductor están en un mismo plano. Con ayuda de un esquema, razone en qué sentido circula la corriente inducida en la espira: a) Si se aumenta la corriente en el conductor. b) Si, dejando constante la corriente en el conductor, la espira se aleja de éste manteniéndose en el mismo plano. La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la

variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo dt

de Bφ−=

Por tanto para que en un circuito se induzca una corriente es necesario que el flujo de

campo magnético ( α⋅⋅=•=φ cosSBSBrr

) a través del circuito varíe con el tiempo. a) Teniendo en cuenta que el campo magnético creado por un conductor a una distancia r es un vector tangente a la circunferencia de radio y su módulo

viene dado por r2

IB o

⋅πµ

=

Si aumenta la corriente (I) por el conductor ⇒ B variará aumentando también ⇒ el flujo de B variará ⇒ en la espira se inducirá una corriente. Por otro lado, el signo menos indica que la corriente inducida debe ser tal que se oponga a las causas que la producen. En ese caso se trata de un flujo de B que va aumentando y, en consecuencia, en la espira la corriente debe tener el sentido que rechace este aumento de campo, es decir que el campo creado por la espira (Bind) debe tener sentido opuesto ⇒ apuntando con el pulgar en el sentido de Bind al cerrar la mano obtenemos el sentido de la corriente inducida.

b) Como r2

IB o

⋅πµ

= ⇒ al alejar la espira disminuye B ⇒ teniendo en cuenta los mismos

razonamientos, se inducirá una corriente, pero esta vez como B disminuye el Bind intentará compensar esa disminución y por tanto tendrá la misma dirección y sentido. Para que Bind tenga ese sentido la corriente inducida en la espira debe circular en sentido horario, tal como se muestra en la figura. Ten en cuenta que si en caso a) la corriente deja de variar o en el caso b) la espira deja de moverse, entonces el flujo de B a través del circuito sería constante y la f.e.m. inducida nula. Ejemplo: La barra AB de la figura tiene una longitud de 25 cm y se mueve con una velocidad uniforme de 16 m/s sin rozamiento sobre unos raíles conductores. Si el conjunto está sometido a un campo magnético uniforme de 1T, calcular: a) La f.e.m. inducida b) Si R=4Ω ¿cuánto vale la intensidad inducida y su sentido? c) ¿Qué fuerza debemos ejercer sobre la barra para que su movimiento sea uniforme?

a) Lo primero que tenemos que ver es cual es la expresión del flujo de B

r a través del

circuito, que como se comprenderá irá aumentando con el tiempo, al ir moviéndose la barra AB. Como al cabo de un tiempo t, la barra se habrá desplazado un espacio t vx =

L t vBL xBSBSB ⋅=⋅=⋅=•=φ

rr

Donde hemos tenido en cuenta que los vectores Br

y Sr

tienen la misma dirección, así que su producto escalar es igual al producto de sus módulos. Según la ley de Faraday−Lenz:

L v Bdt

)L t v B(d

dt

de B −=−=

φ−=

Volt425,0161e −=⋅⋅−= La f.e.m. inducida es de 4 voltios y el signo menos indica, como vamos a ver, que esta f.e.m. se va a oponer al movimiento de la barra que ha sido la causa de su origen. b) Al mover la barra AB el circuito es atravesado cada vez por un mayor número de líneas de campo, por tanto el circuito se comportará como un imán que tiende a rechazarlas, es decir que las cree hacia dentro del papel:

Aplicando la regla de la mano derecha que nos da la dirección de las líneas en función del sentido de la corriente tendremos que si las líneas entran en el papel, el sentido de la corriente inducida es el que se dibuja:

Una vez que hemos razonado el sentido de la corriente inducida, calcular su valor es muy fácil. Aplicando la ley de Ohm:

Amp14

4

R

eI ===

c) Por la barra AB circula una corriente, y como se encuentra en el seno de un campo magnético, sobre ella aparecerá una fuerza cuya dirección venía dada por la regla de la mano izquierda:

Como puedes ver, la fuerza magnética se opone al movimiento de la barra. ¿Entiendes ahora la Ley de Lenz? El movimiento de la barra indujo una corriente y debido a ella apareció una corriente inducida y una fuerza magnética que tiende a frenar a la barra.

Esta fuerza que el campo magnético ejerce sobre el conductor rectilíneo por el que circula una corriente I ind vale:

New25,0125,01LB IF =⋅⋅== Por tanto, si queremos que la barra AB se mueva con movimiento uniforme, la suma de todas las fuerza sobre ella debe ser nula, así que tendremos que aplicar una fuerza igual y en sentido contrario, es decir una fuerza de 0,25 New en la dirección y sentido del movimiento de la barra. PRODUCCIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS. GENERADORES La producción de la corriente que consumimos se basa en los fenómenos de inducción que acabamos de ver. Lo que se hace es hacer girar a una bobina entre los polos de un imán:

Cuando se hace girar la bobina varía el flujo de campo magnético que la atraviesa y en consecuencia se induce una corriente. Vamos a detallarlo, y para ello recuerda que el flujo es:

α⋅=•=φ cosBSSBrr

donde α es el ángulo que forman las líneas de campo magnético con el vector superficie, que como sabes es un vector perpendicular a la superficie, es decir, a la espira:

Si a la bobina se le hace girar con una velocidad ω, entonces el ángulo que forman los

vectores Br

y Sr

vendrá dado por ot α+⋅ω=α donde hemos considerado para más

sencillez que para t=0, αo=0. Así que el flujo será:

tcosBS ⋅ω⋅=φ y la f.e.m. inducida, según la ley de Faraday−Lenz:

tsen BSdt

de ⋅ωω=φ−=

Como puede verse la f.e.m. inducida depende del tiempo y viene dada por una función sinusoidal, siendo la f.e.m. máxima:

ω= BSEmax

o bien ω⋅= BSNEmax para el caso de que la bobina tuviese N espiras. Finalmente

podemos poner que la f.e.m. inducida instantánea es: tsen Ee max ⋅ω=

Fíjate como cada periodo (T) se repiten los valores de la f.e.m. y que toma valores positivos, nulos y negativos, por ese motivo se le llama corriente alterna, porque cambia dos veces de sentido cada periodo. A la velocidad angular con que gira la bobina se le llama pulsación de la corriente alterna, y como sabes:

νπ=π=ω 2T

2

Al dispositivo descrito se le llama generador de corriente alterna o simplemente alternador. La frecuencia de la corriente es igual a la frecuencia con que gira la bobina, que en Europa es de 50 Hz. Ejemplo: Cuando una espira circular, situada en un campo magnético uniforme de 2 T, gira con velocidad angular constante en torno a uno de sus diámetros perpendicular al campo, la fuerza electromotriz inducida es:

e(t) = −10 sen (20 t) (S.I.) a) Deduzca la expresión de la f.e.m. inducida en una espira que gira en las condiciones descritas y calcule el diámetro de la espira y su periodo de revolución. b) Explique cómo variarían el periodo de revolución y la f.e.m. si la velocidad angular fuese la mitad. c) Una espira circular se encuentra situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme. Razone qué fuerza electromotriz se induce en la espira, al girar con velocidad angular constante en torno a un eje, en los siguientes casos: i) el eje es un diámetro de la espira; ii) el eje pasa por el centro de la espira y es perpendicular a su plano. (E6A.S2008)

a) De acuerdo con la ley Faraday−Lenz, la f.e.m. de la espira es:

t20sen10dt

de −=φ−=

de donde:

)t20cos(5,0t20cos5,0tdt20sen10 π+=−==φ ∫ (*)

Donde se ha tenido en cuenta que )cos(cos παα +−= Si ahora tenemos en cuenta que el flujo por definición es el producto escalar del vector campo por el vector superficie y que la espira al estar girando con una velocidad angular ω constante el ángulo, que depende del tiempo, es ot αωα +=

)tcos(BS oα+⋅ω⋅=φ (*)

Si comparamos las dos expresiones (*) obtenidas para el flujo tendremos que:

5,0BS= ⇒ 2m25,02

5,0

B

5,0S ===

Si la espira es circular:

25,0RS 2 =π= ⇒ m28,0R = ⇒ m56,0Diámetro=

T

220

π==ω ⇒ 10/T π= seg.

b) Si la velocidad angular con que gira la espira se reduce a la mitad: 2/´ ωω =

T

2π=ω

´T

2´

π=ω T

´T

´=

ωω

⇒ T22/

T´

T´T =ω

ω=ωω=

Como vemos, al disminuir la velocidad angular a la mitad el periodo se hace el doble, cosa absolutamente lógica y de esperar, ya que al hacerse la mitad la velocidad angular tardará el doble en completar una vuelta que es precisamente el periodo.

[ ]t sen BS)t (sen BS

dt

)tcos(BSd

dt

de o

o ωω−=α+ωω=α+⋅ω⋅

−=φ−=

La f.e.m. inducida máxima vale: ωBSEmax = y puesto que es directamente proporcional

a la velocidad angular con que gira la espira se hará la mitad al hacerse la mitad ω. (En el desarrollo anterior se ha tenido en cuenta que como en este caso π=αo y

)(sensen π+α−=α c) i) Si el eje es un diámetro de la espira, como vemos en la figura de la izquierda, al girar la espira variará el flujo de líneas de campo y por tanto se inducirá una f.e.m. en la forma que hemos razonado mas arriba. ii) Pero si el eje pasa por el centro de la espira y es perpendicular a su plano, como en la figura de la derecha, al girar siempre estará

atravesada por el mismo número de líneas de campo y en consecuencia al no variar el flujo de B

r con el tiempo no se inducirá ninguna corriente.

TRANSPORTE Y USO DE LAS CORRIENTES ALTERNAS. FUNDAMENTO DEL TRANSFORMADOR La electricidad es la energía más consumida por varios motivos:

• Es fácil de transportar a las grandes distancias. • Es fácil de transformar en otras energías. (Mecánica en los motores, térmica en

una estufa, luminosa, etc) • No contamina ni produce residuos, aunque algunas de sus formas de producción

sí, dependiendo del tipo de central eléctrica. La energía eléctrica se transporta desde las centrales eléctricas hasta los lugares de consumo mediante el tendido eléctrico, lo que pasa es que si se transportara a la tensión de consumo las pérdidas caloríficas por efecto joule serían enormes, debido a la resistencia de los conductores, de manera que lo que se hace es aumentar mucho su voltaje, para que así disminuya su intensidad y en consecuencia las pérdidas. (Recuerda que el calor es proporcional al cuadrado de la intensidad: t RIQ 2= ) La tensión de la corriente que se genera en la centrales es de alrededor de 20.000 voltios y se eleva entre los 250.000 y 500.000 voltios, que es la tensión a la que se transporta hasta las subestaciones, donde se reduce a unos 50.000 voltios y posteriormente se reduce en los transformadores próximos a las viviendas hasta los 220 voltios para su consumo.

Como vemos los transformadores juegan un papel muy importante en el proceso de transporte de energía eléctrica. Un transformador está formado por dos bobinas arrolladas alrededor de un núcleo de hierro como se muestra en la figura:

A la bobina por la que se hace circular corriente alterna se la llama “primario”, y el campo magnético variable que origina induce una corriente en la otra bobina que se llama “secundario”. Ambas corrientes son de la misma frecuencia, sin embargo la f.e.m. inducida es función del número de vueltas de las bobinas. Cuando al primario se le aplica una fuerza electromotriz alterna, el flujo magnético variable que produce atraviesa tanto al primario como al secundario. De acuerdo con la ley de Faraday−Lenz, si N1 es el número de espiras del primario la fuerza electromotriz autoinducida será:

dt

dNV 11

φ−=

y en el secundario la fuerza electromotriz inducida por el primario será:

dt

dNV 22

φ−=

donde se ha tenido en cuenta que, debido al núcleo de hierro, las pérdidas son muy pequeñas y por tanto el flujo a través de las dos bobinas es prácticamente el mismo. Combinando las dos ecuaciones se obtiene la relación entre la tensión de entrada y de salida:

2

2

1

1

N

V

N

V= →

1

212 N

NVV =

Como vemos, se puede obtener la f.e.m de salida deseada simplemente ajustando el número de espiras del primario y del secundario. A la relación 12 N/N se le llama “relación de transformación”. El núcleo de hierro hace que las pérdidas sean insignificantes, no obstante una pequeña parte de la energía se pierde y se transforma en calor porque en el metal también se inducen corrientes como consecuencia del flujo magnético variable, llamadas corrientes de Foucault. Para minimizarlas el núcleo de hierro se lamina. Y puesto que en los transformadores la energía perdida es insignificante, la potencia ( IVP = ) en el primario y en el secundario debe ser igual, así que:

2211 VIVIP ==

Como puedes ver, si la tensión de salida aumenta la intensidad disminuye, porque son inversamente proporcionales. Ahora puedes entender porqué se utilizaba un transformador para elevar la tensión de la corriente para transportarla. Las corrientes de Foucault: Ya hemos dicho que son corrientes en torbellino que se originan en el interior del metal al atravesarlo un flujo magnético variable y son las causantes de pérdidas de energía, que por efecto Joule se transforma en calor. Para evitarlas el núcleo de hierro en lugar de ser macizo se construye pegando varias láminas delgadas. Sin embargo, a veces se les saca partido a estas corrientes, y este es el caso de los hornos de inducción de alta frecuencia. Ejemplo: Alguna vez habrás visto un transformador doméstico. Antiguamente se utilizaban mucho porque la corriente se suministraba a 125 Voltios, mientras que muchos aparatos funcionaban a 220 V. Si en el primario, que tiene 500 vueltas, conectamos una corriente alterna de 125 V y una intensidad máxima de 0,5 A. a) Cuantas vueltas debe tener el secundario para obtener una tensión de 220 V b) Que valor tendrá la intensidad máxima de la corriente de salida.

a) Si tenemos en cuanta que el flujo de líneas de campo magnético es prácticamente igual en el primario y secundario, de acuerdo con la ley de Faraday−Lenz:

2

2

1

1

N

V

N

V

dt

d −=−=φ ⇒ vueltas880125

500220

V

NVN

1

122 =⋅==

b) Teniendo en cuenta, si despreciamos la pérdidas, que la potencia en el primario y secundario es la misma:

2211 VIVIP == ⇒ Amp28,0220

1255,0

V

VII

2

112 =⋅==

Como vemos, al aumentar la tensión de salida, la intensidad se hace más pequeña, lo que es absolutamente lógico, ya que de otra forma estaríamos creando energía de la nada.

VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA FRENTE A LA CORRIENTE CONTINUA.

• La CA es muy fácil de generar como hemos visto. (Aunque se podría generar CC empleando el mismo sistema y solamente una pequeña modificación en las escobillas del generador.)

• La CA es fácil de transportar, porque puede modificarse su tensión utilizando transformadores, lo que es imposible en el caso de la CC, y por tanto esta cualidad es la que realmente la hace tan especial y útil.

La mayoría de los aparatos electrónicos funcionan con CC, sin embargo eso no es un problema porque la CA puede transformarse en CC mediante los diodos. Los diodos son unos pequeños elementos formados de elementos semiconductores, que funcionan como si fuesen válvulas, es decir que dejan pasar la corriente solo en un sentido, por lo que rectifican media onda. Mediante un puente de 4 diodos puede rectificarse la onda completa y con la ayuda de un condensador suavizar los picos, obteniéndose una corriente prácticamente continua.

TEMA 5: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA PARTE 1: El efecto fotoeléctrico y los espectros discontinuos: insuficiencia de la Física clásica para explicarlos. Hipótesis de De Broglie. Relaciones de indeterminación. Valoración del desarrollo científico y tecnológico que supuso la Física moderna.

• Descripción fenomenológica y análisis de la insuficiencia de la física clásica para explicar el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos.

• Hipótesis de Planck: cuantización de la energía. • Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico : concepto de fotón (aspecto

corpuscular de la radiación). • Espectros discontinuos: niveles de energía en los átomos. • Hipótesis de De Broglie (aspecto ondulatorio de la materia) • Dualidad onda - corpúsculo (superación de la dicotomía partícula-onda

característica de la física clásica). • Principio de incertidumbre de Heisenberg. • Determinismo y probabilidad • Dominio de validez de la física clásica.

PARTE 2: Física nuclear. La energía de enlace. Radioactividad: tipos, repercusiones y aplicaciones. Reacciones nucleares de fisión y fusión, aplicaciones y riesgos.

• Breve referencia al modelo atómico: núcleo y electrones. • Interacciones dominantes en los ámbitos atómico molecular y nuclear y órdenes

de magnitud de las energías características en los fenómenos atómicos y nucleares.

• Energía de enlace y defecto de masa. • Principio de equivalencia masa energía. • Estabilidad nuclear. • Radiactividad; descripción de los procesos alfa, beta y gamma y justificación de

las leyes del desplazamiento. • Ley de desintegración radiactiva; magnitudes. • Balance energético (masa energía) en las reacciones nucleares. • Descripción de las reacciones de fusión y fisión nucleares; justificación

cualitativa a partir de la curva de estabilidad nuclear.

INSUFICIENCIA DE LA FÍSICA CLÁSICA La física clásica trata a las partículas y las ondas como cosas diferentes. El comportamiento de las partículas puede explicarse mediante las leyes de Newton y el de las ondas mediante la teoría de Huygens y las leyes de Maxwell para el electromagnetismo. Sin embargo, a final del siglo XIX y comienzos del XX aparecieron nuevos fenómenos que pusieron en duda la validez de las leyes clásicas:

• Radiación del cuerpo negro • Efecto fotoeléctrico • Efecto Compton • Interpretación de los espectros atómicos

INTERPRETACIÓN DE LA RADIACIÓN TÉRMICA. HIPÓTESIS D E PLANCK. Exposición del fenómeno: Sabemos que los cuerpos absorben y emiten energía. Un cuerpo frío absorbe más de la que emite, mientras que un cuerpo caliente emite más energía que absorbe. Supongamos que empezamos a calentar un trozo de hierro. Todos sabemos que al ir aumentando su temperatura comienza a tomar un tono rojizo, después rojo intenso hasta ponerse amarillo brillante. Sencillamente lo que ocurre es que los restos positivos del metal vibran cada vez con más rapidez en sus posiciones en la red, es decir, que se comportan como si fueran osciladores armónicos:

Es evidente que al tratarse de cargas aceleradas radiarán energía en forma de ondas electromagnéticas. A medida que se calienta más, aumentan las frecuencias de vibración y por tanto la frecuencia de las OEM que radia y por eso va pasando a rojo y luego al amarillo.

Si para una temperatura determinada, analizamos la energía que radia por unidad de área y tiempo (es decir, la potencia por unidad de área, un concepto similar a la intensidad) para cada frecuencia (o longitud de onda) se obtiene una curva como la de la figura:

observaremos que :

• Radia más energía cuanto mayor es la temperatura del hierro. • Si la temperatura del hierro es mayor, aumenta la frecuencia para la cual radia el

máximo de energía, es decir se va desplazando desde el IR (donde solo notamos el calor) hacia al visible y por ese motivo lo empezamos a ver rojo

De esta forma, si variamos la temperatura y medimos la energía radiada para cada frecuencia podemos obtener una familia de curvas.

Cada material tiene una familia a de curvas distintas, por eso, y para facilitar su estudio, se ha pensado en un cuerpo ideal que absorba todas las radiaciones (sean de la frecuencia que sean) y que por tanto sea capaz de emitir todas las radiaciones. A este cuerpo ideal se le llama cuerpo negro. Un cuerpo negro puede ser una caja negra impregnada de negro de humo en la que se ha practicado un pequeño orificio. Así al entrar la luz en ella, a fuerza de reflejarse se absorberá completamente antes de salir:

Si se calienta el cuerpo negro a gran temperatura, sus paredes comenzarán a emitir radiaciones, que en parte él mismo absorberá, pero el resto saldrán por el orificio. A esta se la llama radiación del cuerpo negro. Representando la energía radiada por unidad de tiempo y área en función de la frecuencia, a varias temperaturas, se obtienen una familia de curvas similares a las anteriores:

Se observa que:

• Al aumentar la temperatura del cuerpo negro, éste radia más energía. Experimentalmente se ha demostrado que la energía total radiada por unidad tiempo y de área (potencia por unidad de área) es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura, lo que se conoce como ley de Stefan–Boltzman

4T E σ=ν

σ = cte. de Stefan–Boltzman = 81067,5 −⋅ Wat/m2ºK4

Para los cuerpos no negros la ley de Stefan–Boltzman se escribe igual, pero introduciendo una coeficiente de absorción característico de cada material:

4T E σα=ν

• La frecuencia para la cual la radiación es máxima sufre un corrimiento hacia el

visible. Wien encontró la relación que existe entre la temperatura a la que está el cuerpo y la frecuencia para la cual emite la radiación máxima:

sKº1065,9cteT 12

max

⋅⋅==ν

−

Basándose en esto y estudiado la maxν o la maxλ de la luz emitida por las estrellas

podemos calcular la temperatura a la que se encuentran. (Teniendo en cuenta que νλ= c , la ley de Wien también puede escribirse como

mKº1089,2T 3max ⋅⋅=λ⋅ − )

Interpretaciones: A) Interpretación clásica de Rayleigh–Jeans: Estos dos físicos ingleses,basándose en la teoría electromagnética y en que los átomos al vibrar se comportan como pequeños osciladores armónicos que emiten continuamente OEM, llegaron a una expresión matemática, que más o menos concordaba con la curva experimental para bajas frecuencias (en el IR), pero que para altas frecuencias crecía exponencialmente, desviándose de la curva experimental, por lo que los físicos la llamaron “catástrofe ultravioleta”, porque de acuerdo con esto, la teoría electromagnética clásica no era capaz de explicar este fenómeno.

B) Interpretación cuántica de Max Planck: Este físico alemán, en una conferencia el 14 de diciembre de 1900, que es una fecha histórica para la física, dijo que para poder explicar la radiación del cuerpo negro había que desechar la idea de que los cuerpos pueden absorber y emitir energía de forma continua. Hay que admitir que la energía se absorbe y emite en forma de pequeños paquetes de energía, que llamó “cuantos” (posteriormente Einstein los llamó fotones) y su energía es proporcional a su frecuencia:

ν= hE

h = cte. de Planck = sJ1062,6 34 ⋅⋅ − Según esto, un cuerpo puede absorber o emitir un fotón, o dos, o tres, es decir ν hn⋅ donde n es un número entero, lo que quiere decir que “la energía está cuantizada”.

• Planck supuso que la radiación electromagnética era emitida por pequeños osciladores submicroscópicos que solo podían vibrar con múltiplos enteros de cierta frecuencia ν, y no con cualquiera, así que radiaban energía en múltiplos de hν.

• Como el número de osciladores es enorme y cada uno de ellos oscila con una

frecuencia distinta, el cuerpo puede emitir todas las frecuencias y el espectro es continuo.

• Planck partiendo de esta idea, absolutamente nueva, consiguió una fórmula

empírica que reproducía exactamente la curva experimental de la radiación el cuerpo negro.

Planck puso los cimientos de la física moderna, pero no recibió el premio Nóbel por su descubrimiento del cuanto hasta varios años después, cuando Einstein hizo uso de éste concepto para explicar el efecto fotoeléctrico, quedando la revolucionaria idea fuera de dudas. Ejemplo: Calcular la temperatura de la superficie del sol y la energía radiada por unidad de área y tiempo, sabiendo que la longitud de onda para la cual la energía radiada es máxima es

m101,5 7max

−⋅=λ .

Datos: Cte de Wien = 2,89.10–3 mºK; Cte de Stefan–Boltzman = 5,67.10–8 W/m2ºK4 De acuerdo a las unidades en que nos dan la constante de Wien, escribiremos la ley de Wien como:

mKº1089,2T 3max ⋅⋅=λ⋅ −

de donde:

Kº67,5666m101,5

Kºm1089,2T

7

3

=⋅

⋅⋅= −

−

De acuerdo con la ley de Stefan–Boltzman, la energía por unidad de área y tiempo radiada por el sol (potencia por unidad de área)

4T E σ=ν

sustituyendo: 2748 m/W1085,567,56661067,5E ⋅=⋅⋅= −

ν

EFECTO FOTOELÉCTRICO Exposición del fenómeno: El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones por parte de los metales al ser iluminados. Un sencillo experimento puede ponerlo de manifiesto: Si adosamos una lámina de zinc al conductor de un electroscopio descargado, veremos que al iluminar la placa de zinc con luz UV se separan las láminas del electroscopio porque se carga positivamente como consecuencia de que emite electrones:

Se puede estudiar el fenómeno introduciendo el zinc en una ampolla de vidrio como cátodo (al dispositivo se le llama célula fotoeléctrica)

1. En primer lugar se puede observar que para cada metal hay una frecuencia mínima (frecuencia umbral νo) por debajo de la cual no hay ninguna emisión de electrones. Lógicamente los metales más electropositivos, al tener los electrones de valencia menos ligados, tienen frecuencias umbrales más pequeñas que los otros:

Hz105,4 14Sodio,o ⋅=ν (rojo)

Hz105,8 14Zinc,o ⋅=ν (UV)

2. Si se aumenta la intensidad de la luz, aumenta el número de electrones que abandonan el metal, es decir, aumenta la intensidad de la corriente, como era de esperar de acuerdo con la teoría electromagnética clásica.

Lo curioso del caso, y que ya no se puede explicar con la teoría electromagnética clásica, es que por muy intensa que sea la luz, si no tiene una frecuencia igual o mayor que la umbral no sale ni un solo electrón. (Según la física clásica la energía de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud, de manera que se puede tener ondas de gran energía aunque su frecuencia sea pequeña, como por ejemplo ocurre con las olas) 3. Si se ilumina con una luz de frecuencia mayor a la umbral, los electrones salen disparados con una energía cinética que no depende de la intensidad de la luz, sino solamente de su frecuencia. La energía cinética de los fotoelectrones puede medirse conectando a la célula fotoeléctrica una pila variable al revés:

Al potencial que anula la corriente fotoeléctrica se le llama potencial de detención, Vo. Por tanto, teniendo en cuenta que el trabajo eléctrico es W=qV, podemos poner que :

2o vm

2

1eV =

donde e es la carga del electrón y m es su masa. 4. Cuando la luz incide sobre el metal, los electrones son emitidos instantáneamente. Esto tampoco puede explicarse con la teoría electromagnética clásica, ya que si el electrón extrae energía de la onda, debería transcurrir un tiempo hasta que acumule la energía necesaria para escapar del metal. Explicación de Einstein al efecto fotoeléctrico: Planck creía que solo estaba cuantificado el intercambio de energía (absorción y emisión), pero que después la luz se comportaba como una onda. Einstein fue más atrevido, supuso que la energía electromagnética es sí misma era la que estaba cuantificada en pequeños paquetes de energía que llamó fotones. La energía de un fotón es:

ν= hE Vamos a ver como con la suposición de Einstein pueden explicarse todas las observaciones anteriores: Si llamamos trabajo de extracción o función trabajo (Eo) a la energía mínima que debe tener el fotón para arrancar un electrón del metal. Es evidente que el fotón debe tener una frecuencia mínima νo (la umbral) para arrancar al electrón:

oo hE ν=

Si la frecuencia de la luz es menor que la umbral no hay emisión: Si oE h <ν ⇒ No sale

Si la frecuencia de la luz es justamente la umbral, entonces arranca al electrón, pero éste queda sin energía porque toda ella se ha invertido en arrancarlo: Si oE h =ν ⇒ Sale el electrón, pero

queda sin energía

Si la frecuencia de la luz es mayor que la umbral: Si oE h >ν ⇒ Sale el electrón y la

energía que sobra de arrancarlo se invierte en energía cinética

De esta forma Einstein escribió que:

2o vm

2

1E h +=ν

o lo que es igual: 2

o vm2

1 h h +ν=ν

despejando la velocidad con que sale el electrón:

m

)(h2v oν−ν

=

Como puede verse la velocidad de los fotoelectrones, y por tanto su energía cinética, no depende de la intensidad de la luz. Solamente depende de la frecuencia y lo demás son constantes. Al aumentar la intensidad de la luz, lo que aumenta es el número de fotones y por tanto es mayor el número de electrones que salen del metal. Ello explica que aumente la intensidad de la corriente:

Al aumentar la intensidad de la luz (el nº de fotones) aumenta es el número de electrones que salen del metal, y por tanto la intensidad de la corriente.

Por último queda explicar la instantaneidad con que son emitidos los fotoelectrones, pero es fácil, ya que como se dice en la hipótesis, los fotones son paquetes de energía concentrada y no ondas que tienen su energía distribuida por todo el frente de onda. Einstein recibió el premio Nóbel, no por su teoría de la relatividad como cree mucha gente, sino por la interpretación del efecto fotoeléctrico que acabamos de ver. Ejemplo E4A.S2005 Al iluminar una superficie metálica con luz de frecuencia creciente empieza a emitir fotoelectrones cuando la frecuencia corresponde al color amarillo. a) Explique razonadamente qué se puede esperar cuando el mismo material se irradie con luz roja. ¿Y si se irradia con luz azul? b) Razone si cabría esperar un cambio en la intensidad de la corriente de fotoelectrones al variar la frecuencia de la luz, si se mantiene constante el número de fotones incidentes por unidad de tiempo y de superficie. a) Para que se produzca efecto fotoeléctrico los fotones de luz deben tener una frecuencia igual a la umbral o superior. Según se deduce del enunciado, para este material la frecuencia umbral corresponde al amarillo, por lo que al iluminar con luz roja, que tiene una frecuencia menor, no se producirá efecto fotoeléctrico, independientemente de la intensidad de la luz roja. Por el contrario, al iluminar con luz azul el metal emitirá electrones que saldrán con una energía cinética igual a la diferencia entre la energía del fotón de luz azul y la del fotón de luz amarilla (trabajo de extracción). b) Cada fotón arranca un electrón (siempre que tenga una frecuencia igual a la umbral o superior) por lo que si se mantiene el número de fotones la intensidad de la corriente será la misma. No obstante, si variamos la frecuencia lo que sí variará será la energía cinética de los electrones emitidos (siempre que la frecuencia sea igual a la umbral o superior).

Ejemplo E5B.S2007: Un fotón incide sobre un metal cuyo trabajo de extracción es 2 eV. La energía cinética máxima de los electrones emitidos por ese metal es 0,47 eV. a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar en el proceso de fotoemisión y calcule la energía del fotón incidente y la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico del metal. b) Razone cuál sería la velocidad de los electrones emitidos si la energía del fotón incidente fuera 2 eV. h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C a) La energía del fotón incidente (hν) se invierte en extraer el electrón del metal y la restante en comunicarle energía cinética, por tanto:

eV47,247,02vm2

1E h 2

o =+=+=ν

en julios: J1095,3106,147,2 h 1919 −− ⋅=⋅⋅=ν

La frecuencia del fotón incidente, despejando será:

Hz1098,5s.J106,6

J1095,3 1434

19

⋅=⋅⋅=ν −

−

La frecuencia umbral es la que corresponde a un fotón de energía igual al trabajo de extracción:

Hz1086,4s.J106,6

J106,1*2 1434

19

o ⋅=⋅

⋅=ν −

−

b) Es evidente, según hemos dicho antes, que si la energía del fotón incidente es igual al trabajo de extracción la energía cinética sería cero, y por tanto la velocidad de los electrones nula.

Ejemplo E3A.S2007: Sobre una superficie de sodio metálico inciden simultáneamente dos radiaciones monocromáticas de longitudes de onda λ1 = 500 nm y λ2 = 560 nm. El trabajo de extracción del sodio es 2,3 eV. a) Determine la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico y razone si habría emisión fotoeléctrica para las dos radiaciones indicadas. b) Explique las transformaciones energéticas en el proceso de fotoemisión y calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos. c = 3 ·108 m s–1 ; h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C ; me = 9,1·10–31 kg a) En primer lugar debemos calcular la energía de los dos fotones. Si su energía es mayor o igual al trabajo de extracción habrá emisión, y en caso contrario no porque no llegarían al umbral. (recuerda que 1nm=10–9m)

J1096,310500

103106,6

chhE 19

9

834

111

−−

− ⋅=⋅

⋅⋅=λ

=ν=

J1054,310560

103106,6

chhE 19

9

834

222

−−

− ⋅=⋅

⋅⋅=λ

=ν=

El trabajo de extracción en julios es J1068,310 6,13,2eV3,2E 1919

o−⋅=⋅==

Como podemos ver, solamente el primer fotón tiene energía suficiente para arrancar un electrón del metal, el segundo no producirá efecto fotoeléctrico independientemente de la intensidad que tenga la luz. La frecuencia umbral es la frecuencia mínima que debe tener un fotón para arrancar un electrón y por tanto es la energía de un fotón que coincide con el trabajo de extracción:

oo hE ν= ⇒ Hz1058,5106,6

1068,3

h

E 1434

19o

o ⋅=⋅⋅==ν −

−

A la misma conclusión habríamos llegado si calculamos la frecuencia de cada fotón ( λ=ν /v ) y la comparamos con el valor de la umbral. b) La energía del fotón (3,96.10–19J) se transmite al electrón. Parte de ella se emplea en arrancarlo del metal (3,68.10–19J) y la restante se emplea en comunicarle energía cinética.

2o vm

2

1E h +=ν

2311919 v101,9

2

11068,31096,3 −−− ⋅+⋅=⋅

s/m1048,2v 5⋅=

EFECTO COMPTON Explicación del fenómeno: Compton hizo incidir un haz de rayos X duros, de frecuencia ν, sobre un bloque de grafito y observó que:

• Los rayos X dispersados tenían una frecuencia ν´ menor (o lo que es igual que tenían una longitud de onda mayor que los rayos incidentes)

• El incremento que sufre la longitud de onda del fotón es función del ángulo de rechazo: )(f φλ∆ =

Este fenómeno es inexplicable mediante la física clásica, porque según ella, al incidir los rayos X de frecuencia ν sobre el grafito, sus átomos se verían obligados a vibrar con esa frecuencia y por tanto radiarían OEM también de la misma frecuencia ν. Explicación de Compton: Compton explicó este fenómeno haciendo uso de las ideas de Einstein sobre el fotón. Pensó que el fotón incidente chocaba con un electrón libre del grafito, de la misma manera que lo hacen dos bolas de billar, pero en este caso que no cede toda su energía al electrón (como sucede en el efecto fotoeléctrico) solamente cede una parte y por eso se convierte en otro fotón de menor frecuencia ν´<ν (o de mayor longitud de onda). El efecto Compton es el apoyo más evidente al comportamiento corpuscular de la luz.

El tratamiento al problema es el mismo que el de un choque elástico entre dos bolas de billar, es decir que antes y después del choque se conserva la energía y, por supuesto, el momento lineal. A partir de estas consideraciones puede demostrarse que el incremento de la longitud de onda del fotón dispersado es:

)cos1(c m

h

e

φ−=λ∆

a la constante h/mec se le llama longitud de onda Compton = 2,4.10–12 m pudiéndose escribir también como:

)cos1(c φ−λ=λ∆

Como puede verse, el corrimiento Compton ( λ−λ=λ∆ ´ ) solo es función del ángulo de rechazo del fotón. Si φ=0 entonces 0=λ∆ , es decir que λ=λ´ y no hay efecto Compton. Es muy importante recalcar que mientras en el efecto fotoeléctrico desaparece el fotón, porque cede toda su energía al electrón, en el efecto Compton el fotón solo cede una parte de su energía al electrón, con lo que no desaparece, sino que se convierte en otro fotón de menor energía. Compton recibió el Nóbel por sus estudios e interpretación de éste fenómeno. Ejemplo: Cuando un fotón de rayos X duros, de longitud de onda 3.10–11 m incide sobre un electrón en reposo sale disparado formando un ángulo de 60º. Calcular: a) La longitud de onda del fotón dispersado b) La energía cinética del electrón sobre el que chocó el fotón. Datos: Long.de onda Compton = 2,4.10–12 m ; h = 6,62.10–34J.s ; e = 1,6–10–19 C

)cos1 (c m

h ´

e

φ−=λ−λ=λ∆

sustituyendo: m102,1)60cos1(104,2 1212 −− ⋅=−⋅=λ∆

de donde: m1012,3103102,1´ 111112 −−− ⋅=⋅−⋅=λ−λ∆=λ

b) Puesto que se trata de un choque elástico y en consecuencia se conserva la energía, la energía del fotón incidente debe ser igual a la del fotón dispersado más la energía cinética que adquiere el electrón, por tanto:

electrEc´hh +ν=ν

por tanto:

electrEc´

ch

ch +

λ=

λ

eV 1591J1055,21012,3

1

103

11031062,6

´

11 hcEc 16

1111834

electr =⋅=

⋅−

⋅⋅⋅=

λ−

λ= −

−−

ESPECTROS DISCONTINUOS. NIVELES DE ENERGÍA EN LOS ÁTOMOS Ya sabemos que cuando la luz blanca se hace pasar a través de un prisma se descompone dando lugar a un espectro que contiene la totalidad de los colores desde el rojo al violeta, por lo que se llama espectro continuo, mientras que si solo hay unos pocos se llama espectro discontinuo. Un espectro de emisión es el espectro de la luz que emite un cuerpo, mientras que si hacemos pasar la luz blanca a través del cuerpo y analizamos la luz que deja pasar, el espectro se llama de absorción. Ambos son complementarios, quiere decir que los colores que le faltan a uno son justamente los que tiene el otro.

En un espectro atómico:

• El conjunto de líneas espectrales que se obtiene para un elemento concreto es siempre el mismo, incluso si el elemento forma parte de un compuesto complejo, es decir que cada elemento produce su propio espectro diferente al de cualquier otro elemento, y por lo tanto el espectro de un elemento es como si fuera su huella digital, por eso inicialmente los químicos alemanes Kirchoff y Bunsen comenzaron a emplearlos como medio de análisis.

• Los espectros contienen rayas agrupadas en series espectrales que van desde el IR hasta el UV

• Cada serie está formada por infinitas rayas cada vez mas juntas hasta llegar al límite de la serie.

Si se descompone al luz emitida por un tubo de descarga lleno de hidrógeno, se obtiene su correspondiente espectro, en el que se pueden distinguir sus series espectrales. Una de ellas, la serie Balmer, cae dentro del visible, otra en el UV y el resto están en el IR.

El sueco Rydberg encontró empíricamente la relación que existía entre la longitud de onda de cada raya en cada una de las series:

−=

λ 2f

2i

H n

1

n

1 R

1

• RH es la constante de Rydberg = 1,09.107 m–1 • ni y nf son números enteros. • n1 determina la serie. Haciendo n1=1 se obtiene la serie Lyman, haciendo n1=2

se obtiene la serie Balmer, con n1=3 la serie Paschen, etc • Limitando el valor de n1 para una serie concreta, el conjunto de rayas espectrales

se obtiene dándole a n2 valores enteros consecutivos al valor de n1, es decir n2 = n1+1, n1+2, n1+3, ....

Serie ni nj Región del esp. Lyman 1 2, 3, 4, ... UV Balmer 2 3, 4, 5, ... Visible Paschen 3 4, 5, 6, … IR Bracket 4 5, 6, 7, … IR Pfund 5 6, 7, 8, … IR

El modelo atómico de Rutherford era incapaz de explicar los espectros discontinuos de los átomos porque según éste el electrón puede girar en cualquier órbita (cualquier valor del radio es bueno) y por tanto el espectro debería ser continuo, y además porque al

tratarse de una carga acelerada debería radiar OEM de la misma frecuencia que la frecuencia de revolución con lo que terminaría cayendo sobre el núcleo. La deducción teórica de la ecuación de Rydberg vino de mano de Bhor, que propuso un modelo atómico basado en el de Rutherford, pero en el que el electrón solo puede girar en unas órbitas estacionarias, donde no emite energía, y que son aquellas en las que el momento angular del electrón es un múltiplo entero de h/2π.

π==

2

hnvm rl

donde n es un número entero que toma valores 1, 2, 3 ... e indica la órbita y se llama número cuántico principal. Las transiciones electrónicas se producen absorbiendo y luego emitiendo un fotón de energía igual a la diferencia de energía entre los niveles y dan lugar a los espectros discontinuos.

En la figura se muestra como un fotón excita al electrón, que inicialmente se encuentra en el nivel mas bajo de energía, y lo manda hasta el nivel 4. Posteriormente vuelve a su estado fundamental emitiendo un fotón correspondiente a la serie Balmer y otro a la serie Lyman. La energía de los fotones es igual a la diferencia de energía entre los niveles entre los que salta:

−=

λ=ν=−=∆

2f

2i

H12 n

1

n

1hcR

chhEEE

J1016,2R c h´R 18H

−⋅== Por ejemplo, el salto que se muestra en la figura, correspondiente a la segunda raya de la serie Balmer, corresponde a un fotón de:

eV54,2J1006,44

1

2

11016,2EEE 19

2218

24 =⋅=

−⋅=−=∆ −−

ν= hE ⇒ Hz1013,61062,6

1006,4

h

E 1434

19

⋅=⋅⋅==ν −

−

(azul)

Ejemplo práctico: Si observamos la luz emitida por un tubo de descarga de hidrógeno con la ayuda de un espectroscopio podremos ver varias rayas de colores (la serie Balmer). Leyendo sobre la escala del espectroscopio puedes ver que la raya de color rojo corresponde a una luz con una longitud de onda de aproximadamente 660 nm y que la raya de color azul corresponde a una luz de longitud de onda aproximadamente 490 nm.

Para cada una de esas dos rayas vamos a calcular la energía del fotón correspondiente, o lo que es igual, la diferencia de energía entre los dos niveles atómicos entre los que ha saltado el electrón. Los datos que vamos a necesitar son la constante de Planck, la carga del electrón (para pasar de Julios a eV) y la velocidad de la luz (para poder calcular la frecuencia, ya que

ν⋅λ=c )

eV 88,1J 1001,310660

1031062,6

chhE 19

9

834

RojoRojoRojo =⋅=

⋅⋅⋅=

λ=ν⋅= −

−−

eV 53,2J 1005,410490

1031062,6

chhE 19

9

834

AzuloAzulAzul =⋅=

⋅⋅⋅=

λ=ν⋅= −

−−

Lógicamente la raya azul al tener menor longitud de onda (o mayor frecuencia) corresponde a un fotón de mayor energía, o lo que es igual, a un salto más grande, es decir, desde un nivel más exterior. Como verás, los valores que hemos calculado experimentalmente coinciden bastante bien con los que pueden obtenerse a partir de la gráfica de energía del átomo de hidrógeno. Corresponden a los saltos desde el nivel 3 al nivel 2 (raya roja):

eV 9,14,35,1EEE 23 =−−−=−=∆

y desde el nivel 4 al nivel 2 (raya azul) eV 5,24,39,0EEE 24 =−−−=−=∆

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE RYDBERG De acuerdo con la idea de Rutherford, el átomo de hidrógeno está formado por un protón en el núcleo y un electrón girando a su alrededor a una distancia r, de tal manera que la fuerza de atracción eléctrica se compense con la fuerza centrífuga (SR Inercial)

centrifelectr FF = ⇒ r

vm

r

eK

2

2

2

=

de donde se puede despejar el radio de la órbita o bien la velocidad con la que debe girar para mantenerse:

mr

Kev

2

=

2

2

vm

Ker =

Como vemos, en el modelo de Rutherford cualquier radio es aceptable con tal que de gire con la velocidad adecuada (el resto de las magnitudes son constantes), con lo que los espectros atómicos deberían ser continuos. La energía del electrón en la órbita, que será la suma de la cinética más la potencial (la Ep es negativa porque las cargas del electrón y del protón tienen distinto signo: q=e y q´=–e)

r

eKvm

2

1EpEcE

22 −=+=

sustituyendo v:

r2

Ke

r

Ke

r2

Ke

r

eK

mr

Kem

2

1E

22222

2

−=−=−

=

La energía del electrón es función del radio de la órbita y aumenta con la distancia hasta hacerse cero en el infinito (ten en cuanta que es negativa).

Hasta aquí el razonamiento de Rutherford. Ahora Bhor en su modelo para explicar los saltos electrónicos introduce la idea de que cualquier órbita no es buena, solo aquellas en las que el momento angular del electrón es múltiplo entero de h/2π.

π==

2

hnv m rl

Por tanto las órbitas buenas son:

vm 2

hnr

π=

si elevamos al cuadrado y sustituimos la expresión encontrada para la velocidad:

222

22

222

222

Kem 4

mrhn

vm 4

hnr

⋅π⋅=

⋅π=

simplificando:

22

22

mKe 4

hnr

π=

Por tanto la energía del electrón en cualquiera de esas órbitas será:

22

242

22

2222

hn

m 2eK

hn2

mKe 4Ke

r2

KeE

π⋅−=⋅π⋅−=−=

Como vemos, salvo n el resto todo son constantes: K=9.109Nm2/C2 ; e=1,6.10–19C ; m=9,1.10–31Kg y h=6,62.10–34 J.s de manera que si operamos nos quedaría que:

2218

n

1´R

n

11016,2E −=⋅−= −

Teniendo en cuenta que la energía del fotón corresponde a la diferencia de energía entre dos niveles dados:

−=−−−=−=∆

2f

2i

2i

2f

if n

1

n

1´R

n

1´R

n

1´REEE

Si tenemos en cuenta que esa energía es la que se emite en forma de OEM y es la energía del fotón de frecuencia ν y de longitud de onda λ

λ=ν=−=∆ c

hhEEE if ⇒

−=

−=∆=

λ 2f

2i

H2f

2i n

1

n

1R

n

1

n

1

hc

´R

hc

E1

que es la ecuación que Rydberg encontró de forma empírica. Como vemos la constante de Rydberg se obtiene como:

ch

m 2eKR

3

242

H

π⋅=

HIPÓTESIS DE De BROGLIE Durante el primer cuarto del siglo XX la física tenía un dilema sobre la naturaleza de la luz entre ondulatoria y corpuscular. Por una lado la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton y la interpretación de los espectros atómicos apuntaban hacia la naturaleza “cuántica” de la luz, mientras que los fenómenos de interferencias, difracción y polarización evidenciaban su naturaleza ondulatoria. En 1924, Luis De Broglie en su tesis doctoral hizo el siguiente razonamiento:

• Si la luz está formada por corpúsculos, éstos se podrán caracterizar por su momento lineal como cualquier partícula: p=mc con lo que la ecuación de Einstein se podrá escribir como:

pcmcE 2 ==

• Si la luz es una onda se podrá caracterizar por su longitud de onda:

λ=ν= c

hhE

• Igualando ambas expresiones se deduce la relación entre la longitud de onda y el

momento lineal de los fotones asociados a ella:

p

h=λ o bien que vm

h=λ

De Broglie hizo extensiva su hipótesis a todas las partículas en general, y en particular a los electrones diciendo: “A todo corpúsculo en movimiento se le puede asociar una onda, cuya longitud de onda es inversamente proporcional a su momento lineal” La hipótesis de De Broglie no tenía ningún apoyo experimental y por tanto debía confirmarse, es decir habría que conseguir fenómenos de difracción con electrones, lo que probaría que las partículas llevan asociada una onda. Davisson y Germer, y poco después Thonson (hijo), consiguieron realizar experimentos de difracción con electrones haciendo incidir un haz de electrones sobre una superficie muy fina de níquel, obteniendo una figura de difracción similar a la que se obtiene por difracción de rayos X y a partir de la que podía calcularse la longitud de onda asociada a los electrones y que coincidía con la prevista por De Broglie.

Si dejamos caer un puñado de harina a través de una criba veremos como la mayoría de las partículas siguen una trayectoria recta y solo las que choquen con los alambres se desvían. El resultado sería un montón:

sin embargo cuando hacemos lo mismo con una onda el resultado como sabemos es diferente, porque se obtiene una figura de difracción. Y eso mismo ocurre cuando se lanza un haz de electrones contra una criba apropiada como es un cristal (la distancia entre átomos es comparable a la longitud de onda), que hay lugares donde la intensidad es máxima y otros donde es nula, dependiendo de que las ondas interfieran constructivamente o no, es decir de que la diferencia de camino sea múltiplo entero de λ o de λ/2.

Como es natural, en la curva de distribución de intensidad no hay electrones amontonados y la curva debe interpretarse como la probabilidad de la presencia de ellos.

La difracción a través de un cristal, como hemos visto, es la difracción de Laue, pero también se puede obtener difracción por planos (difracción de Bragg) ya que los planos del cristal reflejan los electrones como un espejo refleja la luz:

De Broglie, mediante su hipótesis pudo demostrar lo que hasta entonces nadie había podido: El porqué las órbitas del modelo atómico de Bhor estaban cuantificadas, es decir que solo eran posibles aquellas en las que el momento angular del electrón es un múltiplo entero de π2/h

π==

2

hnv m rl n=1, 2, 3, ....

De Broglie dijo que si el electrón lleva asociada una onda, solo podrá girar en aquellas órbitas para las cuales la onda sea estacionaria, lo que solamente puede ocurrir cuando la longitud de la circunferencia sea un múltiplo entero de λ, porque en caso contrario la onda se autodestruiría por sucesivas interferencias:

λ=π nr 2 Sustituyendo λ por el valor de De Broglie

vm

hnr 2 =π ⇒

π=

2

hnv m r

Una aplicación práctica de la dualidad onda–corpúculo es el microscopio electrónico ideado por Müller. La limitación de un microscopio está en que no pueden resolverse imágenes mas pequeñas que la longitud de onda de la luz que emplea. Cuando empleamos luz del visible puede resolver hasta los 300 o 350 nm, así que no es posible ver algo que mida menos de eso. Los rayos X en principio podrían ser una solución, porque tienen longitudes de onda entre 10 y 0,01nm, pero no valen porque son muy difíciles de enfocar y dan lugar a imágenes muy borrosas. Los electrones sin embargo cuando se aceleran mediante un campo eléctrico pueden llegar a tener longitud de onda muy pequeñas, de hasta 0,001nm, (recuerda que de acuerdo con la expresión de De Broglie la longitud de onda es inversamente proporcional a la velocidad de los electrones mv/h=λ ) y los electrones son fáciles de enfocar utilizando campos eléctricos y magnéticos, como se hace en los tubos de TV. Ejemplo E4B.S2007 / E4B.S2008: Razone si la longitud de onda de De Broglie de los protones es mayor o menor que la de los electrones en los siguientes casos: a) ambos tienen la misma velocidad. b) ambos tienen el mismo momento lineal? c) ambos tienen la misma energía cinética. a) Como sabemos la masa del protón es mucho mayor que la masa del electrón (algo más de 1800 veces mayor), por tanto si el protón y el electrón tienen la misma velocidad la longitud de onda del protón será menor:

vm

h

pp =λ

vm/h

vm/h

e

p

e

p =λλ

⇒ p

eep m

mλ=λ ⇒ ep λ<λ

vm

h

ee =λ

b) Si el protón y el electrón tienen el mismo momento lineal, ambos tendrán también la misma longitud de onda asociada, ya que p/h=λ . Evidentemente, en este caso, como

eepp vmvmp == para que ambas partículas tengan el mismo momento lineal deben

tener distinta velocidad, porque tienen distinta masa. c) Este ejercicio es básicamente como los anteriores

221 mvEc = ⇒ 2)mv(mEc2 = ⇒ mEc2mv =

ppp vm

h=λ

p

e

e

p

e

p

m

m

Ecm2/h

Ecm2/h==

λλ

⇒ p

eep m

mλ=λ ⇒ ep λ<λ

pee vm

h=λ

Ejemplo E2B.S2007: Un haz de electrones se acelera con una diferencia de potencial de 30 kV. a) Determine la longitud de onda asociada a los electrones. b) Se utiliza la misma diferencia de potencial para acelerar electrones y protones. Razone si la longitud de onda asociada a los electrones es mayor, menor o igual a la de los protones. ¿Y si los electrones y los protones tuvieran la misma velocidad? h = 6,6 ·10–34 J s ; e = 1,6 ·10–19 C ; me = 9,1·10–31 kg a) El trabajo eléctrico que hace la fuente sobre el electrón es igual a la carga del electrón por la d.d.p. y teniendo en cuenta el teorema de las fuerzas vivas, será igual a la variación de energía cinética:

EcVqWelectrico ∆=⋅=

23119 v101,9

2

130000106,1 −− ⋅=⋅ ⇒ s/m1003,1v 8⋅=

y de acuerdo con De Broglie:

m1007,21003,1101,9

106,6

vm

h 11831

34−

−

−

⋅=⋅⋅⋅

⋅==λ

b) Puesto que los electrones y los protones tienen la misma carga en valor absoluto, ambas partículas tendrán la misma energía cinética cuando se aceleren mediante la misma ddp (aunque no la misma velocidad porque tienen distinta masa), y en tal caso, como hemos razonado en el ejercicio anterior la longitud de onda de los protones será menor. También hemos razonado que si ambas partículas tienen la misma velocidad los protones tendrán también menor longitud de onda.

Un microscopio electrónico utiliza un haz de electrones acelerados por un campo eléctrico entre dos puntos entre los que existe con una diferencia de potencial de 10.000 V. a) Calcular la longitud de onda asociada a dichos electrones. b) Si el poder de resolución de un microscopio (capacidad para distinguir dos puntos separados por una determinada distancia) es inversamente proporcional a la longitud de onda empleada, calcular cuantas veces aumenta aumentará la resolución de un microscopio electrónico frente al ordinario, que utiliza luz de 555 nm. Datos: h = 6,67.10−34 J.s ; me = 9,1.10−31 Kg; e = 1,6.10−19 C. a) Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un campo conservativo, y que por tanto se conserva la energía mecánica, podemos poner que 0EcEp =∆+∆ Por otro lado, teniendo en cuenta que por definición, el trabajo que hace el campo para llevar un cuerpo (en este caso una carga) de un punto a otro es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos: VqEpW campo,BA ∆−=∆−=→ , finalmente nos queda que:

0EcVq =∆+∆ sustituyendo: 00v101,92

110*106,1 2

B31419 =−⋅+⋅− −−

de donde tenemos que la velocidad final de los electrones es vB = 5,93.107 m/s La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula viene dada por:

m1024,1105,93*101,9

1067,6

vm

h 11731

34

ee

−−

−

⋅=⋅⋅

⋅==λ

b) Si el poder de resolución (PR) es inversamente proporcional a la longitud de onda empleada podemos poner que PR=k/λ, donde k sería la constante de proporcionalidad, por tanto aplicando la ecuación al microscopio electrónico y el óptico y dividiendo miembro a miembro tenemos que:

447581024,1

10555

PR

PR11

9

oelectronic.m

optico.m

optico.m

oelectronic.m =⋅⋅=

λλ

= −

−

Quiere decir que el microscopio electrónico tiene un poder de resolución casi de 45.000 veces superior que el microscopio óptico ordinario.

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG Como es de suponer, es imposible realizar una medida sin interaccionar de alguna manera con el sistema a medir, por ejemplo si para medir la temperatura de un líquido introducimos un termómetro en él, éste intercambiará calor con el líquido que manera que cuando alcance el equilibrio no nos dará la temperatura a la que realmente estaba el líquido. Pero claro el termómetro es muy pequeño y el error que introduce en la medida es insignificante. En el mundo microscópico, sin embargo, los errores son más importantes. Supongamos que existiera un supermicroscopio con el que fuera posible ver el átomo de hidrógeno. Como el poder de resolución del microscopio depende de la longitud de onda empleada y es mas o menos igual a ella, resulta que tendríamos que iluminar al átomo con una luz

de aproximadamente m10A1 10o

−==λ . Pero claro, un fotón de o

A1 tiene una energía:

eV 12375J1098,110

103106,6

chhE 15

10

834 =⋅=⋅⋅=

λ=ν= −

−−

Si tenemos en cuenta que el potencial de ionización (energía necesaria para arrancarle un electrón a un átomo) del átomo de hidrógeno es solo de 13,6 eV comprenderemos que la interacción con el átomo sería tan grande que de ninguna manera podríamos verlo como es en estado normal. El principio de incertidumbre formulado por Wrener Heisenberg dice que “es imposible conocer con exactitud y a la vez la posición y el momento lineal de una partícula. Cuanto mayor sea la sea la precisión con que conocemos su posición, mayor será el error con que podemos conocer su momento lineal y viceversa, de forma que el producto de las incertidumbres siempre será mayor o igual que h/2π.”

π≥∆⋅∆

2

hpx

Esta incertidumbre nada tiene que ver con los instrumentos de medida, sino que es intrínseca del hecho de medir. Einstein extendió el principio de incertidumbre de Heisenberg a todas las parejas de magnitudes conjugadas, es decir que tuvieran las mismas dimensiones que la posición por el momento, es decir: ML2T–1, como ocurre con la energía y el tiempo, así que también puede escribirse como:

π≥∆⋅∆

2

htE

Ejemplo: a) Calcular la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve de una placa a otra de un condensador entre las que existe una ddp de 100 V b) Calcular la longitud de onda asociada a una pelota de tenis de 100 g que se mueve con una velocidad de 100 m/s. Compara los resultados obtenidos. c) Si la velocidad del electrón y de la pelota estuvieran medidas con un error del 1% ¿Cuál es el error con que podría determinarse la posición del electrón y de la pelota?. Compara los resultados. a) La velocidad del electrón se calcula teniendo en cuenta que:

EcVqWelectrico ∆=⋅=

23119 v101,92

1100106,1 −− ⋅=⋅ ⇒ s/m106v 6⋅=

y la longitud de onda asociada:

o10

631

34

A22,1m1022,1106101,9

1062,6

vm

h =⋅=⋅⋅⋅

⋅==λ −−

−

b) En el caso de la pelota, la longitud de onda asociada sería:

o2535

34

A1062,6m1062,61001,0

1062,6

vm

h −−−

⋅=⋅=⋅⋅==λ

Como puede verse, la longitud de onda del electrón es comparable a la de los rayos X y es del orden de las distancias interatómicas de los átomos en un cristal y por tanto es apropiada para producir fenómenos de difracción y poner de manifiesto las propiedades ondulatorias de la onda asociada al electrón. Sin embargo, la longitud de onda asociada a la pelota de tenis es tan extremadamente pequeña que en la naturaleza no existe nada comparable y por tanto, en la práctica, resulta imposible poner de manifiesto la onda asociada a la pelota. c) Supongamos ahora que las velocidades anteriores se han obtenido con un error del 1%. En el caso del electrón el error cometido habría sido de: s/m10601,0 106v 46 ⋅=⋅⋅=∆ Así que el error con que habríamos medido el momento lineal sería: s/mKg1046,5106101,9vmp 26431 ⋅⋅=⋅⋅⋅=∆=∆ −− así que:

π≥∆⋅∆

2

hpx ⇒ m109,1

1046,52

1062,6

p2

hx 9

26

34−

−

−

⋅=⋅⋅π

⋅=∆⋅π

≥∆

En el caso de la pelota: s/m101,0 100v =⋅=∆ s/mKg1,011,0vmp ⋅=⋅=∆=∆

π≥∆⋅∆

2

hpx ⇒ m10

1,02

1062,6

p2

hx 33

34−

−

=⋅π⋅=

∆⋅π≥∆

Como vemos, en el caso del electrón la incertidumbre es del orden de las distancias interatómicas, y por lo tanto es importante, pero en el caso de la pelota es absolutamente despreciable porque no es ni siquiera del tamaño de un núcleo, es decir que a efectos prácticos podríamos decir que sí podríamos determinar con precisión la posición de la pelota. En otras palabras, podemos decir que dada la pequeñez de la constante de Planck, la incertidumbre en nuestro mundo macroscópico es despreciable, pero no ocurre así en el mundo microscópico. DETERMINISMO Y PROBABILIDAD Como consecuencia del principio de incertidumbre de Heisenberg no podemos situar al electrón en órbitas sencillas y bien definidas y además conocer su velocidad como puede hacerse en el modelo de Bhor, que nos permite calcular el radio (posición) y la velocidad (momento). Schrodinger elaboró su mecánica cuántica ondulatoria partiendo de las ideas de De Broglie y suponiendo que los estados estacionarios de los átomos corresponden a ondas de materia estacionarias, a las que llamó función de onda ψ, que es una función de la posición y del tiempo. El significado de la función de onda ψ es probabilístico y nos da la probabilidad de encontrar al electrón en un elemento de volumen dV:

∫Ψ=V

2dVP

Los valores de probabilidad oscilan entre 0 y 1. Es importante recalcar que ψ2 nos da una medida de la probabilidad de encontrar al electrón en un volumen dado, es decir, no donde está, sino donde es probable que esté, y por tanto no contradice el principio de incertidumbre. Supongamos el caso sencillo de una cuerda que está vibrando entre dos puntos. Como es natural, esos dos puntos entre los que vibra serán nodos y además solo podrá vibrar con unos determinados valores de λ, es decir que la longitud de onda está cuantizada ya

que solo puede tomar valores para los que la longitud de la cuerda sea siempre un múltiplo entero de λ/2

2nL

λ=

Por ejemplo, dos modos posibles de vibración de la cuerda serían:

En el caso de una partícula encerrada entre esas paredes, la ecuación de esas ondas es la que se representa por ψ, y la probabilidad de encontrar a la partícula entre esas paredes viene dada por ψ2:

Como puedes ver, para n=1 es más probable que la partícula se encuentre en el centro, sin embargo una interpretación clásica daría la misma probabilidad en cualquier lugar. Aplicando estos mismo conceptos al átomo se obtienen unas regiones de máxima probabilidad de encontrar al electrón que se llaman orbitales.

EL NÚCLEO ATÓMICO. CONCEPTOS PREVIOS 1. El núcleo atómico está formado por protones y neutrones. A ambos se les llama indistintamente con el nombre de nucleones y tienen las siguientes características:

Masa (uma) Masa

referida al e− Carga (C)

Carga referida a e−

Símbolo

protón 1,007597 1836 +1,6.10−19 +1 p11

neutrón 1,008982 1838 0 0 n10

Hoy día sabemos que de las tres partículas elementales que inicialmente se pensaba que formaban los átomos, solamente lo es el electrón. Los protones y neutrones a su vez están formados de otras partículas elementales llamadas quarks. La Unidad de Masa Atómica (uma) se define como la doceava parte de la masa del isótopo 12 del carbono:

Para hallar el equivalente de la uma y el Kg recordemos que 1 mol de carbono 12 tiene una masa de 12 gramos y contienen un número de Avogadro de átomos, es decir que:

1 mol de át.de C12 −−− tiene una masa de 12 gr −−−− contiene 6,023.1023 át.de C12 por tanto, la masa de 1 solo átomo de carbono será:

Kg1099,110023,6

012,0C 26

2312 −⋅=

⋅=

y la uma, que es la doceava parte del C12 sería:

Kg1066,112

Cuma 1 27

12−⋅==

Número atómico (Z): Es el número de protones de un núcleo y es el que nos define al elemento químico. (Un átomo en estado normal tiene igual número de protones y electrones. Si pierde o gana electrones se convierte en un ión positivo o negativo del mismo elemento, pero si perdiera o ganada un protón se transformaría en otro elemento distinto, el anterior o posterior en la tabla periódica.) Número másico (A): Es el número de protones y neutrones, es decir el número de nucleones. De acuerdo con esto, es evidente que el número de neutrones de un núcleo será:

AZN −=

Lo núcleos se representan con el símbolo del elemento y un número en la parte inferior que indica el número atómico (que es informativo, porque realmente es redundante) y otro número en la parte superior que indica su masa:

XAZ A

Z X AZX

Isótopos: Son aquellos núcleos que tienen el mismo número de protones, y por tanto definen al mismo elemento, pero difieren en el número de neutrones y por tanto tienen distinta masa. Tienen igual Z y distinto A. El hidrógeno tiene tres isótopos:

Es importante recordar que las propiedades químicas de los elementos vienen determinadas por la disposición de los electrones de la última capa, así pues todos los isótopos de un elemento se comportan químicamente igual y en este aspecto son indistinguibles. Sin embargo tienen distintas propiedades físicas, empezando porque tienen distinta masa y porque no todos tienen la misma estabilidad. 2. Carga. En el núcleo se encuentra concentrada toda la carga positiva del átomo, debida a los protones. 3. Masa. Es evidente que en el núcleo está concentrada casi la totalidad de la masa del átomo, puesto que la masa de los electrones es muy pequeña. El 99,9% de la masa del átomo corresponde al núcleo. 4. Dimensiones. Se puede considerar al núcleo como una espera de radio del orden de 10−15 metros.

10−15 m = 1 Fermi (fm) Experimentalmente se ha deducido que el radio del núcleo de un átomo es proporcional a su masa A, de acuerdo con la siguiente expresión:

3o ARR =

donde Ro es una constante cuyo valor es 1,2.10−15 m. No confundas el volumen del núcleo (que crece proporcionalmente al número de masa), con el volumen del átomo, que no sigue esa proporción, porque influyen los electrones. 5. Densidad. La densidad nuclear es muy elevada y es independiente del número másico. Si suponemos el núcleo como una esfera y teniendo en cuenta que:

• La masa de un átomo cualquiera es m=A umas, en Kg sería:

Kg1066,1Am 27−⋅⋅=

• El volumen:

A1024,7AR3

4R

3

4V 453

o3 −⋅=⋅π=π= m3

• La densidad sería:

31745

27

m/Kg1029,2A1024,7

1066,1A

V

m ⋅=⋅

⋅⋅==ρ −

−

Hay que fijarse en lo grande que es la densidad nuclear. Para que te hagas una idea, imagina que la cabeza de un alfiler de 1mm de diámetro estuviera formada de material nuclear, entonces:

Kg102,11029,2)105,0(3

4Vm 81733 ⋅=⋅⋅⋅π=ρ= −

Lo que quiere decir que la cabeza del alfiler tendría una masa de 120 millones de Kg. Una densidad tan elevada nos indica además que los nucleones se encuentran muy compactos y que, por el contrario, la materia macroscópica está prácticamente vacía. FUERZAS NUCLEARES Los protones del núcleo ejercen mutuamente entre sí fuerzas de repulsión electrostática, sin embargo, los núcleos atómicos son entidades muy estables. De ello se deduce que en la escala nuclear deben existir otro tipo de fuerzas que mantengan la cohesión del núcleo y que son de naturaleza diferente a las gravitatorias y a las electromagnéticas conocidas en el mundo macroscópico. Estas fuerzas, responsables de que se mantengan unidos los nucleones, se denominaron fuerzas nucleares fuertes o de corto alcance. Tienen las siguientes características: 1. Son de muy corto alcance. Quiere decir que solo se manifiestan a distancias muy pequeñas, del orden de 1 fm (1Fermi=10−15m)

• Al aumentar la distancia disminuyen muy rápidamente. A una distancia de 2fm ya se hacen 10 veces más pequeñas.

• A distancias menores de 1fm de repente se vuelven repulsivas

2. Son muy intensas. Las fuerzas nucleares en su radio de acción son 1000 veces mayores que las eléctricas y millones y millones de veces mayores que las gravitatorias.

3. Las fuerzas nucleares son independientes de la carga, esto quiere decir que tienen lugar indistintamente entre p−p, n−n y p−n Explicación teórica: Se debe al físico japonés Hideki Yukawa, quién supuso que de la misma manera que dos jugadores de ping−pong se lanzan la pelota y es ella la que los mantiene unidos, las fuerzas que mantienen unidos a los nucleones son debidas al intercambio de una partícula que llamó mesón, porque según sus cálculos teóricos su masa estaría entre la del electrón y la del protón. Frank Powell en 1950 recibió el Nóbel por el descubrimiento de unas partículas de masa 300 veces la del electrón. Eran los mesones π o piones predichos por Yukawa, quien también recibió el Nóbel por dicha predicción. Según el modelo de Yukawa un protón expulsa un pión+ y se transforma en neutrón y viceversa.

np +π⇔ + También puede ocurrir que un neutrón expulse un pión– y se transforme en protón y viceversa:

pn +π⇔ − Esquemáticamente se podría ilustrar de la siguiente forma:

La actual teoría del Modelo Estándar, mediante la que se trata de unificar todas las leyes físicas, explica las fuerzas como el resultado del intercambio de partículas por parte de las partículas de materia, conocidas como partículas mediadoras de la fuerza. En el caso

de las fuerzas electromagnéticas las partículas mediadoras serían los fotones y en el caso de la interacción fuerte los gluones. MODELOS NUCLEARES Existen varios modelos, aunque ninguno es definitivo, son complementarios: Modelo de la gota líquida: Este modelo fue propuesto por Bohr y considera el núcleo formado por protones y neutrones mezclados al azar como las moléculas en una gota de agua, de manera que cada partícula interacciona solo con las que tiene alrededor, y las de la superficie al no compensar todas las fuerza crearían una especie de tensión superficial que las mantendría unidas en forma de esfera:

Su fundamento se basa en que:

• La densidad casi uniforme de todos los núcleos de los elementos, que es el del orden de 1017 Kg/m3. De la misma manera que la densidad en cualquier punto de una gota es la misma.

• La energía total de enlace es proporcional a su masa, de la misma manera que el calor de vaporización de un líquido es proporcional a su masa

.CteA

E ≈∆

El modelo explica:

• Que la densidad nuclear sea casi igual para todos los núcleos • La emisión de partículas α de una manera parecida a la evaporación, es decir,

cuando los nucleones, mediante choques, adquieren energía suficiente para vencer la barrera nuclear.

• Las reacciones de fisión, suponiendo que al entrar una partícula nueva en el núcleo, puede romper la armonía y dividirse en dos fragmentos.

Modelos de capas concéntricas: Fue ideado en 1950 por Mayer y supone que los nucleones están situados en capas o niveles de energía dentro del núcleo, de forma parecida a como los electrones están colocados en la corteza en el modelo de Bohr. Se basa en el hecho de que los núcleos con un número de protones o neutrones igual a 2, 8, 20, 28, 50, 82 o 126, presentan una gran estabilidad. Correspondería con capas que están completas de protones y/o neutrones, como pasa con los niveles de electrones de un átomo. A esos números se les llama números mágicos. Ambas teorías, actualmente se combinan en el modelo colectivo

ENERGÍA DE ENLACE Y DEFECTO DE MASA. La masa de un núcleo puede determinarse experimentalmente con gran precisión mediante el espectrógrafo de masas y resulta que siempre es inferior a la masa teórica que resulta de sumar los protones y neutrones que lo constituyen. A la diferencia entre la masa teórica y la masa experimental se le llama defecto de masa:

erimentalexpteórica mmm −=∆

[ ] erimentalexpnp mm)ZA(mZm −−+⋅=∆

A la energía que corresponde a esta pérdida de masa, de acuerdo con la relación de Einstein 2mcE = , se le llama energía de enlace o de cohesión y representa la energía que se desprendería al formarse el núcleo a partir de sus componentes y por tanto sería la energía mínima que tendríamos que aportar para romperlo. Como consecuencia, la energía de enlace nos puede dar una idea de la estabilidad del núcleo. Sin embargo lo que pasa es que la energía de enlace es tanto mayor cuanto mayor es el número de nucleones de un núcleo y por lo tanto no se puede emplear a título comparativo, y es por eso que se define energía de enlace por nucleón, como la energía de enlace de un núcleo dividida por el número de nucleones que tiene:

A

E∆

La energía de enlace por nucleón sí sirve para comparar relativamente la estabilidad de los diferentes núcleos. Si representamos la energía de enlace por nucleón en función del número de nucleones de los diferentes núcleos obtendremos una gráfica como la de la figura:

En la gráfica puede observarse lo siguiente:

• Cuanto mayor es la energía de enlace por nucleón mayor es la estabilidad del núcleo

• Los núcleos más estables son los que tienen un número de masa (A) entre 40 y 80, y entre ellos el Fe56 es de los más estables.

• Se explica que se libere energía cuando se unen dos núcleos ligeros para formar otro más pasado (Fusión) o cuando un núcleo pesado se divida en dos más ligeros (Fisión). De ambas reacciones trataremos más adelante.

Ejemplo: La masa atómica del isótopo N14

7 es 14,000109 u.

a) Indique los nucleones de este isótopo y calcule su defecto de masa. b) Calcule su energía de enlace y la energía de enlace por nucleón. c = 3,0·108 m s−1 ; 1 u = 1,67·10−27 kg ; mp = 1,007276 u ; mn = 1,008665 u a) Como el número atómico es 7, quiere decir que tiene 7 protones, y si el número de masa (p+n) es 14, quiere decir que tiene 7 neutrones, por tanto su masa teórica será:

umas111587,14008665,17007276,17m7m7m npteórica =⋅+⋅=+=

umas111478,0000109,14111587,14mmm erimentalexpteórica =−=−=∆

en Kg sería:

Kg1086168,11067,111478,0m 2827 −− ⋅=⋅⋅=∆ b) La energía de enlace, de acuerdo con la expresión de Einstein será

J1067551,1)100,3(1086168,1cmE 1128282 −− ⋅=⋅⋅=⋅∆=∆ dividiendo por la carga del electrón, la podemos expresar en unidades de eV

MeV719,104eV1004719,1106,1

1067551,1E 8

19

11

=⋅=⋅

⋅=∆ −

−

La energía de enlace por nucleón, que es el valor que sirve para comparar la estabilidad

de unos núcleos con otros, sería: MeV48,714

719,104

A

E ==∆ que como vemos

corresponde al valor que se representa en el gráfico.

ESTABILIDAD NUCLEAR La estabilidad nuclear es el equilibrio entre las fuerzas de repulsión eléctrica de los protones y la fuerza atractiva nuclear de corto alcance que experimentan los protones y neutrones del núcleo. La relación entre el número de protones (Z) y neutrones (N) es por lo tanto clave para la estabilidad del núcleo. Supongamos, por ejemplo, el caso del circonio (número atómico Z=40) que tiene isótopos desde A=78 hasta A=110. Vamos a pintar en negro todos isótopos más o menos estables que tiene: Zr90 , Zr91 , Zr92 , Zr93 , Zr94 y Zr96 . El resto de isótopos son inestables y los que tienen mayor número de masa (desde el A=97 hasta el A=110) los vamos a pintar en azul, mientras que los que tienen menos neutrones (desde A=78 hasta el A=89) los pintaremos en rojo. Si hacemos lo mismo con todos los elementos podremos obtener una gráfica de todos los átomos donde representamos el número de neutrones en función del número de protones:

• Los núcleos más estables son los que aparecen dibujados como puntos negros • Para los núcleos ligeros la estabilidad nuclear se consigue con un número de protones

y neutrones similar. Como puede verse la curva se confunde con la recta N=Z • A medida que aumenta el número atómico hay una tendencia a aumentar el

número de neutrones, precisamente para atenuar las fuerzas repulsivas entre protones, pudiendo llegar en los núcleos más pesados a que N/Z=1,5, es decir a que tengan 3 neutrones por cada dos protones.

• Llega un momento en que la acumulación de cargas positivas en un volumen tan pequeño hace que no pueda contrarrestarse por una simple adición de neutrones y así los elementos superiores al Bi209

83 son inestables y ello se traduce en la

emisión espontánea de partículas con objeto de acercarse a configuraciones más estables. A este proceso se le llama radioactividad.

RADIACTIVIDAD NATURAL Como hemos dicho, los núcleos correspondientes a átomos con número atómico superior a 83 son inestables y pueden fragmentarse de manera espontánea en otros núcleos más ligeros. Este proceso natural, que se llama radiactividad, no es más que una reacción nuclear en la que el núcleo padre trata de estabilizarse emitiendo partículas y emitiendo energía. La emisión de energía se debe a que la suma de las masas de los núcleos resultantes de la reacción (hijos) es menor que la de los núcleos originales (padres), de manera que la diferencia de masa detectada se convierte en energía, y esa energía se manifiesta en energía cinética de los núcleos hijos y en radiación electromagnética (fotones γ). Las radiaciones emitidas por un núcleo inestable natural son de tres tipos:

• Partículas α, que son núcleos de helio (formados por 2 p y 2 n) • Partículas β, que son electrones. En el núcleo no hay electrones, pero se forman

por transformación de un neutrón en un protón + electrón y más otra partícula llamada antineutrino, de la que ya hablaremos.

ν++→ −+ epn o bien ν++→ − ep n 0 1

11

1o

• Radiación γ que son fotones de energía ν= hE La carga de las tres clases de partículas puede ponerse de manifiesto con un campo eléctrico:

Las transformaciones que tienen lugar en un núcleo inestable se recogen en las leyes de Soddy y Fajans: 1. Cuando un núcleo emite partículas α se transforma en otro núcleo en el que suma es 4 unidades más pequeña y su número atómico 2 unidades menor (dos lugares antes en la tabla periódica). Ejemplo:

EnergíaThU 42

23490

23892 +α+→

La desintegración α es propia de los núcleos pesados y con ella tienen a convertirse en núcleos que se acerquen más a la curva de estabilidad. 2. Cuando un núcleo emite una partícula β se transforma en otro que aunque tiene la misma masa (son isóbaros) tiene un número atómico 1 unidad mayor (es el siguiente en la tabla periódica). Ejemplo:

EnergíaPaTh 01

23491

23490 +β+→ −

Este tipo de emisiones tiene lugar en los núcleos con demasiados neutrones. Son los que están por encima de la curva de estabilidad, los dibujados en azul en la gráfica de estabilidad. Fíjate que en realidad lo que hace es cambiar un neutrón por un protón ( ν++→ −+ epn ) 3. La emisión de un rayo γ no altera ni la carga ni la masa del núcleo. Ocurre cuando un núcleo se encuentra en estado excitado y se estabiliza emitiendo un fotón de energía hν. El proceso es similar al que tiene lugar con los electrones de la corteza, solo que aquí los fotones emitidos son de mucha mayor energía, ya que como sabes los rayos γ son los de mayor frecuencia del espectro electromagnético. Generalmente la radiación γ acompaña a las emisiones de partículas α y β. Además de las anteriores emisiones radiactivas se han observado otras dos más: la emisión de positrones y la captura de electrones. La emisión β+ es propia de los núcleos con un exceso de protones en relación con el número de neutrones. En este caso lo que ocurre es que un protón del núcleo se transforma en un neutrón, un positrón y un neutrino:

ν++→ ++ enp o bien ν++→ + enp 0 1

10

11

las partículas β+ por tanto son positrones, es decir, partículas en todo igual a los electrones pero que tienen carga positiva. En este caso el nuevo núcleo tiene la misma masa y su número atómico disminuye en una unidad (se ha cambiado un protón por un neutrón) y es el tipo de emisión que tienen lugar en los núcleos dibujados en rojo en la gráfica de estabilidad nuclear. Captura electrónica, llamada también captura K, es la que tiene lugar en algunos núcleos en los que, como en el caso de la emisión β+, tienen un exceso de protones y pueden capturar uno de sus electrones de la capa más interna y en tal caso reemplazan un protón por un neutrón, según:

ν+→+ −+ nep En este caso, aunque el resultado sea el de un átomo con un protón menos, lo mismo que en la emisión β+, el proceso es diferente y además en este caso la energía que se emite es menor y corresponde solo a un rayo X en lugar de a un rayo γ. Esta energía es

debida al salto de un electrón de la capa de valencia hasta la primera capa para ocupar el hueco que dejó el electrón capturado por el núcleo. Todos los procesos de desintegración anteriores, al igual que cualquier reacción nuclear, tienen lugar cumpliendo ciertas reglas:

• El número de nucleones (A) se debe conservar • La carga eléctrica se debe conservar • La energía se debe conservar • El momento lineal se debe conservar • El movimiento angular (incluyendo el movimiento angular Spín) se debe

conservar. Ejemplo: a) Describa la estructura de un núcleo atómico y explique en qué se diferencian los isótopos de un elemento. b) Razone cómo se transforman los núcleos al emitir radiación alfa, beta o gamma. c) Razone qué desviación sufren los distintos tipos de radiación al ser sometidos a un campo magnético. a) Teoría. Respecto a la estructura del núcleo debes explicar como las fuerzas de corto alcance son capaces de mantener unidos los nucleones. Hacer una breve referencia a los modelos nucleares y a la estabilidad nuclear en función de la relación de protones y neutrones. Al referirte a los isótopos debes justificar el tipo de emisión previsible según sea la relación de protones y neutrones. b) Explica las leyes de Soddy y Fajans c) Si en lugar de establecer un campo eléctrico sometemos los tipos de radiación que se producen en un proceso de desintegración a un campo magnético también podremos separarlos puesto que las partículas α y β tienen carga distinta:

Como puede verse en la figura, aplicado la regla de la mano izquierda, la fuerza magnética que actuaría sobre las partículas α y las partículas β tiene sentido contrario

porque, aunque se mueven en el seno del mismo campo Br

y con la misma velocidad vr

, tienen distinta carga.

Sin embargo el radio de sus trayectorias no es el mismo, ya que desde el punto de vista de un SRNI, teniendo en cuenta que la fuerza normal o centrípeta, en este caso es la fuerza magnética de Lorentz, el radio de la trayectoria será:

BvqR

vmF

2

== ⇒ qB

vmR =

Suponiendo que las partículas α y β salgan disparadas con la misma velocidad, tienen masa y carga distinta. Así que:

• La carga de las partículas α (núcleos de helio) es positiva y doble que la de las partículas β (electrones)

• La masa de las partículas α, al estar formada por 2 protones y dos neutrones, es aproximadamente 4*1800=7200 veces mayor que la de las partículas β

• Por tanto, como puede entenderse el radio de la trayectoria de las partículas α será aproximadamente 3600 veces mayor, lo que quiere decir que aun en el caso de que ambas partículas tuviesen la misma carga, también podríamos separarlas mediante un campo magnético. Precisamente ese es el fundamento del espectrógrafo de masas.

LEY DE LA DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Las leyes de la desintegración nuclear son de naturaleza estadística exponencial, eso quiere decir que no es posible saber cuando se va a desintegrar un núcleo, solamente la probabilidad de que ese proceso tenga lugar. Supongamos que inicialmente, en el instante t, tenemos un número N de átomos radiactivos, y supongamos que en el intervalo de tiempo dt se desintegran un número de núcleos dN. La velocidad de desintegración será –dN/dt donde el signo negativo indica que la desintegraciones dan lugar a una disminución del número de núcleos iniciales. Como cuanto mayor sea la muestra mayor será la probabilidad de que ocurra una desintegración, es decir, que como la velocidad de desintegración es proporcional al número de átomos existentes, se puede poner:

N dt

dN λ=−

donde λ es una constante característica de cada elemento radiactivo llamada constante de desintegración, y puede interpretarse como una medida de la rapidez con que se desintegran los núcleos o más exactamente como una medida de la probabilidad de que un núcleo se desintegre en la unidad de tiempo.

Escribiendo la expresión anterior de otra forma:

dt N

dN λ−=

si integramos y tenemos en cuenta que en el instante t=0 había No núcleos:

∫ ∫=

λ−=N

N

t

0to

dt N

dN

t0

NNo t Nln λ−=

t NlnNln o λ−=−

t N

Nln

o

λ−=

t

o

eN

N λ−=

t o e NN λ−=

• La ley de desintegración radiactiva de de decaimiento exponencial por el signo

negativo del exponente. • Como puede verse los elementos que tengan una λ elevada se desintegrarán

rápidamente y su vida media será pequeña ya que ambas magnitudes son recíprocas. • Nos da el número de núcleos (N) que “probablemente” quedan después de un tiempo

(t) y viceversa. El resto de las magnitudes que aparecen (No y λ) son constantes. Si representamos gráficamente el número de núcleos que quedan en función del tiempo:

Se llama periodo de semidesintegración 2/1T al tiempo necesario para que el número de

núcleos iniciales se reduzca a la mitad. Es decir que:

2/1Tt = ⇒ 2

NN o=

sustituyendo en la ecuación de la ley de desintegración radiactiva tenemos que:

2/1T o

o e N2

N λ−= ⇒ 2/1T e 2

1 λ−= ⇒ 2/1T 2

1ln λ−= ⇒ 2/1T 2ln1ln λ−=−

λ= 2ln

T 2/1

Se llama vida media (τ) al promedio de vida o tiempo de un núcleo, es decir, el promedio del tiempo que un núcleo tarda en desintegrarse . Es la inversa de la constante de desintegración:

λ=τ 1

Al valor absoluto de la velocidad de desintegración se le llama Actividad de la sustancia (A). Como puede verse, la actividad de una muestra radiactiva es proporcional al número de núcleos que haya en ese momento, ya que λ es una constante.

N T

2lnN

dt

dN A

2/1

=λ==

t o e NN λ−= ⇒ t

o e N N λ−λ=λ ⇒ t o e AA λ−=

Unidades de actividad:

• La actividad en el SI se mide en Rutherford (Rt), que es la actividad de una sustancia en la que se desintegran 106 núcleos por segundo

• La actividad también suele medirse en Curios (Ci). El curio es la actividad de una sustancia en la que se desintegran 3,7.1010 núcleos por segundo.

1 Rt = 106 núcleos/s

1 Ci = 3,7.1010 núcleos/s

• En medicina se utiliza la magnitud Exposición y se define como la carga eléctrica producida por ionización del aire de 1 Kg de muestra radiactiva. Su unidad, obviamente, será el Culombio/Kg, aunque suele medirse en Roentgen. 1 R=2,57.10−9 C/Kg

Ejemplo: En una muestra radiactiva hay 1020 átomos radiactivos. Si su periodo de semidesintegración es de 3 años. a) ¿cuántos átomos quedarán en la muestra después de 3 años? b) ¿cuántos átomos quedarán en la muestra después de 1,5 años? a) Obviamente, al cabo de un tiempo igual al periodo de semidesintegración, por definición deben quedar la mitad de los átomos iniciales, así que:

2/1Tt = ⇒ átomos1052

10

2

NN 19

20o ⋅===

Lo que es fácil de comprobar aplicando la ley de la desintegración:

átomos105e10e Ne NN 193

3

2ln20

t T

2ln

ot

o ⋅====−−λ−

b) Para cualquier otro valor de tiempo que no sea T1/2 debemos calcular el número de átomos siempre aplicando la ley de la desintegración radiactiva, ya que como ves el número de átomos y el tiempo no guardan una relación lineal, sino exponencial, así que nada de reglas de tres.

átomos1007,7e10e Ne NN 195,1

3

2ln20

t T

2ln

ot

o ⋅====−−λ−

Ejemplo: Una muestra radiactiva de 20gr tiene un periodo de semidesintegración de 170 días. ¿Qué cantidad quedará después de una semana? Como el número de átomos es proporcional a la masa (*) , podríamos escribir la ley de desintegración radiactiva como:

t o e NN λ−= ⇒

t T

2ln

ot

o e me mm−λ− ==

sustituyendo:

gr437,19e 20m7

170

2ln

==−

fíjate que no es necesario poner el tiempo en segundos, obviamente lo que sí debe estar es en las mismas unidades en que se mida el periodo de semidesintegración.

(*) El número de átomos (N) es proporcional a la masa (m), siendo Pat

NmN Av⋅

=

1 mol de átomos −−− tiene una masa Pat gr −−−− contiene NAv át.

m gr −−−−−−−−−−− N át.

Ejemplo: Una muestra de radio de 27,156 gr tiene una actividad de 1012 desintegraciones por segundo. Calcular el número de Avogadro, sabiendo que el tiempo de semidesintegración del radio es 1590 años y que el peso atómico del mismo es 226,1. De acuerdo con la definición de velocidad de desintegración o actividad:

NT

2lnN

dt

dNA

2/1

=λ==

Para calcular el número de átomos de radio que hay en la muestra de 27,15 gr. Tendremos en cuenta que en 1 mol de cualquier sustancia, en este caso de Ra, hay un número de Avogrado de átomos, por tanto:

1 mol de át.de Ra −−− tiene una masa de 226,1 gr −−−− contiene NAv át.de Ra 27,15 gr −−−−−−−−−−−−−−−−−−− N át.de Ra

AvNAtómico.P

gramosºnN =

sustituyendo:

Av2/1

NAt.P

grºn

T

2lnA ⋅=

Av12 N

1,226

156,27

3600243651590

2ln10 ⋅

⋅⋅⋅=

de donde: 23

Av 10023,6N ⋅= át/mol

(Fíjate que esta vez el tiempo lo hemos puesto en segundos, porque es la unidad en la que nos han expresado la actividad de la muestra) E4B.S2005 4. El núcleo radiactivo U232

92 se desintegra, emitiendo partículas alfa, con un período de

semidesintegración de 72 años. a) Escriba la ecuación del proceso de desintegración y determine razonadamente el número másico y el número atómico del núcleo resultante. b) Calcule el tiempo que debe transcurrir para que su actividad se reduzca al 75 % de la inicial. a) De acuerdo con las leyes de Soddy y Fajans, cuando un núcleo radiactivo emite una partícula alfa (núcleo de helio) se transforma en otro de número atómico dos unidades menor y de número de masa 4 unidades menos, por tanto el elemento sería el Th228

90

α+→ 4

2228

9023292 ThU

Como en todas las reacciones nucleares se conserva el número de nucleones (232=228+4) y la carga (92=90+2). Además debe conservarse la energía relativista, el momento lineal, angular y el spin. b) La ley de desintegración nuclear es t

o e NN λ−= . Teniendo en cuenta que la actividad

es en un momento determinado es proporcional al número de núcleos que quedan (A=λN) podemos escribir que t

o e AA λ−= . Sustituyendo, y teniendo en cuenta que:

• si la actividad inicial es Ao, cuando se reduzca un 75% la actividad final será un 25% de la actividad inicial, por tanto 0,25Ao

• la relación entre el periodo de semidesintegración y la constante de desintegración: λ=ln2/T

t o e NN λ−= ⇒ t

o e AA λ−= ⇒ t

72

2ln

oo e AA25,0−

= ⇒ t72

2ln25,0ln −= ⇒ t=150 años

FAMILIAS RADIACTIVAS NATURALES La radiactividad no es nada nuevo, en la naturaleza existen núcleos naturales que son inestables, es decir radiactivos, y que por tanto se descomponen dando lugar a su vez a otros, y estos a su vez a otros y así sucesivamente hasta que llegan finalmente a uno que es estable, el resultado es toda una cadena llamada serie o familia radiactiva. Existen 3 familias radiactivas naturales que se nombran con el nombre del elemento que las inicia o padre. Estas son; la del Uranio 238, la del Torio 232 y la del Actino 227. Como ejemplo, en la familia radiactiva del 238U que se representa mas abajo, podemos ver que el Uranio 238 emite una partícula α y se transforma en Torio. Este a su vez emite una partícula β y se transforma en Protactinio, y así sucesivamente se va desintegrando hasta finalmente llegar al Plomo 206 que es estable.

α+→ ThU 23490

23892

β+→ PaTh 234

91234

90

APLICACIONES DE LOS ISÓTOPOS RADIACTIVOS Aplicaciones en geología y arqueología: En este caso se utilizan para fechar muestras, ya que la ley de desintegración radiactiva permite relacionar la cantidad de núcleos radiactivos que tiene en la actualidad una muestra geológica o arqueológica con los que había inicialmente:

t o e NN λ−=

Podemos despejar el tiempo: Tomando logaritmos neperianos:

t N

Nln

o

λ−= ⇒ N

Nln

1

N

Nln

1t o

o λ=

λ−=

y teniendo en cuenta la relación entre la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración (T1/2=1/λ) nos quedaría que:

N

N lnT 44,1

N

Nln

2ln

Tt oo =⋅=

Como vemos, conociendo el periodo de semidesintegración de la sustancia radiactiva, si medimos el número de átomo iniciales de la muestra y conocemos los en la actualidad tiene una muestra igual, podemos saber el tiempo transcurrido. En arqueología se utiliza como reloj el Carbono 14, porque su tiempo de vida es comparable al tiempo a medir. El Carbono 14, que es radiactivo, se forma por la acción de los rayos cósmicos a partir del Nitrógeno 14 existente en la naturaleza en la siguiente reacción:

pCnN 11

146

10

147 +→+

• Cualquier ser vivo, al respirar, toma átomos de carbono 12 y de carbono 14, que

incorpora a su estructura (recuerda que los isótopos son indistinguibles químicamente)

• Naturalmente el 14C se va desintegrando por ser radiactivo, pero la proporción de 14C y 12C se mantiene constante mientras está vivo debido al aporte ordinario de CO2, donde existen ambos isótopos en proporción estable. El C14 se descompone dando de nuevo nitrógeno, una partícula β y un neutrino, según la reacción:

ν+β+→ NC 14

7146

• Cuando el organismo se muere, el carbono 14 continúa desintegrándose como

siempre, pero ahora no hay aporte que reemplace los átomos perdidos, así que la proporción de 14C y 12C se hace cada vez menor a medida que pasa el tiempo.

En geología, donde los tiempos que se miden son mucho más grandes se utiliza como reloj el 235U ya que tiene una vida mucho mayor que el carbono 14.

Ejemplo: Una muestra de madera recogida en la tumba de Ramsés II tiene una actividad de 470 partículas/hora, mientras que la madera actual tiene una actividad de 700 partículas/hora. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del C14 es de 5700 años ¿cuál es la época en la que vivió este faraón? Habría que empezar por despejar el tiempo a partir de la ley de desintegración hasta llegar a la expresión:

N

N lnT 44,1t o=

Teniendo en cuenta que el número de átomos en la muestra es directamente proporcional a la actividad de la muestra, recuerda que A=λN, podemos poner que:

años 269.3470

700ln570044,1

A

A lnT 44,1t o =⋅⋅==

Ejemplo: Una roca de uranio contiene un 2,2% de 235U y el resto 238U. Si se estima que inicialmente los dos isótopos existían en la misma proporción, calcula la edad de la roca sabiendo que el periodo de semidesintegración del 235U es de 109 años.

años 105,42,2

50ln1044,1

N

N lnT 44,1t 99o ⋅=⋅⋅==

4500 millones de años, que resulta un valor en consonancia con la edad de la tierra estimada por otros procedimientos. Aplicaciones en Biología y Química: Los isótopos radiactivos se utilizan como trazadores con el objeto de dilucidar los mecanismos de las reacciones y ello puede hacerse gracias al idéntico comportamiento químico de todos los isótopos de un elemento, ya que las propiedades químicas no residen en el núcleo del elemento sino en la disposición de los electrones de la última capa. Por ejemplo, en la reacción global del proceso de fotosíntesis que tiene lugar en las plantas tenemos que:

6 CO2 + 6 H2O → C6H12O6 + 6 O2 La pregunta es ¿de donde proviene el oxígeno que se desprende? ¿del CO2 o del agua?. Para contestar a esta pregunta no hay más que marcar el oxígeno de una de las dos sustancias, por ejemplo se utiliza agua sintetizada con oxígeno 15 que es radiactivo. Tras la reacción se puede comprobar que el oxígeno que desprende la planta es

radiactivo, lo que nos permite deducir, sin ninguna duda, que el oxígeno proviene del agua. Aplicaciones en Medicina: Los radioisótopos se utilizan en medicina para diagnosticar enfermedades y también para curarlas:

• Para ver el funcionamiento de órganos de difícil acceso. Así en cardiopatía se inyecta al paciente con 137Ba y del seguimiento de las señales que produce se puede ver el estado del corazón.

• Para descubrir hemorragias internas, ya que allí donde las haya la actividad radiactiva será mayor. Con el mismo fundamento se utilizan para detectar escapes o roturas en los oleoductos. El primero en utilizarlos como trazadores fue George de−Hevesy, quien recibió en Nóbel de medicina por sus aportaciones.

• En radioterapia para la destrucción de células cancerosas Aplicaciones en Genética: Debido a que la radiación puede producir mutaciones en el material genético de un organismo, se utiliza en semillas para inducir cambios genéticos que resulten benéficos para el cultivo como una mayor resistencia a alguna enfermedad específica, mejor adaptación a ciertas condiciones ambientales, o un mayor rendimiento en las cosechas. El problema es que no es posible controlar una irradiación para que sólo produzca mutaciones beneficiosas, ni mucho menos escoger la característica que deseamos modificar, por eso este tipo de experimentos son muy largos hasta conseguir mutaciones que podrían ser beneficiosas. Actualmente, las mejores variedades de cebada, trigo, arroz, etc. provienen de mutaciones inducidas. También es muy importante los trabajos realizados para crear especies de insectos incapaces de reproducirse. De esa forma se sueltan en lugares donde se quieren exterminar y al aparearse con sus congéneres evitan que las plagas se sigan extendiendo. Otras aplicaciones: Debido al alto poder ionizante de la radiación γ, también se utilizan los radioisótopos para la destrucción de gérmenes en materiales de uso médico y en la preservación de alimentos.

DETECTORES El fundamento de todos los medios de detección de partículas se basan en los efectos ionizantes de las mismas. Contador Geiger−Müller: Consiste en un filamento rodeado de un cilindro en el que hay un gas como argón:

Entre el filamento y el cilindro se establece una ddp elevada, pero insuficiente como para producir una descarga del gas, de manera que por el circuito no circulará corriente. Cuando incida la radiación sobre las moléculas de gas, éstas se ionizan y de esta forma se establece una corriente a través de la resistencia que es proporcional a la cantidad de radiación. Como puede comprenderse, dado su funcionamiento, los contadores Geiger pueden utilizarse para medir cualquier tipo de radiación ionizante, como por ejemplo las partículas α, β y la rayos X y γ. Detector de centelleo: Se basa en que cuando una partícula α choca contra una pantalla de sulfuro de zinc se produce un pequeño destello luminoso. Contando el número de destellos podemos saber el número de partículas emitidas por la muestra radiactiva. Utilizando otras sustancias, en lugar del ZnS, se puede producir este mismo destello con electrones, rayos X y radiación gamma. En lugar de contar los destellos lo que se hace es convertirlos en una corriente eléctrica utilizando una célula fotoeléctrica, y así la intensidad de la corriente que se produce nos mide la cantidad de radiación recibida.

Cámara de niebla de Wilson: Este dispositivo es mas bien para ver las trayectorias de las partículas que para medir la cantidad de radiación. Se basa en que los iones actúan como núcleos de condensación del vapor de agua saturado. Una cámara de niebla es simplemente una caja cerrada que contiene vapor de agua superenfriado y supersaturado, lo que se consigue expandiéndolo con la ayuda de un pistón una vez que se ha saturado de vapor. Cuando una partícula cargada, de suficiente energía, interacciona con el vapor lo ioniza y da lugar a pequeñas gotas de agua que dan lugar a una niebla, con lo que se produce un rastro a lo largo de su trayectoria similar al de los aviones reactores, de esta forma puede verse y fotografiarse.

Cámara de burbujas de Glaser: Su funcionamiento es parecido al de la cámara de niebla de Wilson, solo que aquí se utiliza un líquido a una temperatura justo por debajo de su punto de ebullición. Como sabemos, la temperatura de ebullición de un líquido depende de la presión, así que si se disminuye la presión con la ayuda de un émbolo podemos conseguir que quede justo a punto de hervir. En estas condiciones, al entrar la radiación, los iones hacen de núcleos de ebullición, de forma que puede verse y fotografiarse su trayectoria debido al rastro de burbujas que van dejando. La ventaja de la cámara de burbujas sobre la de niebla está en que en el líquido hay muchísimas más moléculas que en el gas y por tanto la resolución de la trayectoria de las partículas es muchísimo mayor.

BALANCE ENERGÉTICO MASA−ENERGÍA EN LAS REACCIONES NUCLEARES Las reacciones nucleares se producen normalmente bombardeando un núcleo A, que sirve de blanco, con un proyectil a, como por ejemplo un neutrón, protón o núcleo de helio, etc. El resultado es otro núcleo B, en su estado normal o excitado, y una partícula b.

bBaA +→+ también se escribe abreviadamente:

B)b,a (A En una reacción nuclear, por tanto, hay una redistribución de los nucleones de los núcleos por lo que dan lugar a átomos diferentes. Esta es una diferencia muy importante con las reacciones químicas, en las que solo hay una redistribución de los átomos, con lo que solo se obtienen moléculas diferentes, pero con los mismos átomos) La primera reacción nuclear la consiguió Rutherford bombardeando nitrógeno con partículas α y dando lugar a oxígeno y un protón:

pON 11

178

42

147 +→α+

En las reacciones nucleares la perdida de energía que experimenta la partícula que colisiona con el núcleo se invierte en formar un núcleo excitado que inmediatamente se transforma en otro, o se divide, emitiendo partículas y radiación, dependiendo de la energía de excitación. Así, la reacción anterior sería:

pOFN 11

178

*189

42

147 +→→α+

Muchas veces en las reacciones nucleares se suelen obtener isótopos que no existen en la naturaleza, como por ejemplo:

UnU 23992

10

23892 →+

Las reacciones nucleares pueden considerarse como procesos de choques elásticos entre partículas, en los que deben conservarse las siguientes magnitudes:

• El número de nucleones (A) se debe conservar • La carga eléctrica se debe conservar • La energía se debe conservar (*) • El momento lineal se debe conservar • El movimiento angular (incluyendo el movimiento angular Spín) se debe

conservar. (*) La conservación de la energía debe escribirse en términos de conservación relativista. Por ejemplo, suponiendo la reacción A(a,b)B y que inicialmente el núcleo A se encuentra en reposo se escribiría como:

)cmEc()cmEc()cmEc()cmEc( 2

bb2

BB2

aa2

AA +++=+++

es decir:

bB2

bBaAaA EcEcc)mmmm(EcEc +=−−+++

Factor de reacción Q El factor de reacción (Q) corresponde a la energía desprendida en la reacción como consecuencia de la transformación en energía, debida a pérdida de masa. Puede ser positivo o negativo.

( ) 2productosreactivos cmmQ ⋅−= ∑∑

• En el caso de que Q sea positivo la reacción ocurrirá para cualquier energía

cinética del proyectil. • En el caso de que Q sea negativo el proyectil deberá tener una energía cinética

umbral para producir la reacción. Ejemplo: Al bombardear el isótopo 10 del boro con un deuterón de una energía de 8,10 MeV se produce un neutrón y un núcleo residual de carbono 11, que sale formando un ángulo de 45,1º. a) Escribir la reacción que tiene lugar b) El factor de la reacción. c) Si el neutrón producido tienen una energía de 13,0 MeV ¿Cuál será su dirección? DATOS: Masas atómicas: B10=10,0161, H2=2,0147, n=1,0090, C11=11,0149 1 uma=1,66.10−27Kg, Carga e− =1,6.10−19C a) nCHB 1

0116

21

105 +→+

b) Para calcular el factor de reacción primero vamos a calcular la pérdida de masa que tiene lugar en la reacción y lo luego vemos a qué energía equivale de acuerdo a la ecuación de Einstein:

umas 0069,00090,10149,110147,20161,10mmm productosreactivos =−−+=−=∆ ∑∑

Antes de calcular su equivalencia en energía debemos pasar la masa de umas a Kg, de esa manera la energía la obtendremos en Julios.

Kg101454,11066,10069,0m 2927 −− ⋅=⋅⋅=∆ Así la el factor de reacción, o energía debida a la pérdida de masa de la reacción es:

Julios100309,1)103(101454,1cmQ 1228292 −− ⋅=⋅⋅=⋅∆= en MeV:

MeV43,6eV1043,6106,1

100309,1Q 6

19

12

=⋅=⋅

⋅= −

−

c) Para calcular la trayectoria de rechazo del neutrón, teniendo en cuenta que la reacción nuclear puede considerarse como un choque elástico entre partículas, no hay mas que aplicar las ecuaciones de conservación del momento lineal y de la energía:

nCHB pppprrrr

+=+

nCHB EcEcQEcEc +=++

De la segunda ecuación se puede calcular la EcC sustituyendo el resto de los valores en MeV tenemos:

8,10+6,43=13,0+EcC ⇒ EcC=1,53 MeV A partir de la conservación del momento lineal podemos escribir una ecuación para cada eje:

Eje X ⇒ β+α= cosvmcosvmvm CCnnHH

Eje Y ⇒ β−α= senvmsenvm0 CCnn

Con una de las ecuaciones es suficiente para resolver el problema, aunque antes de sustituir debemos calcular el módulo de la velocidad de cada partícula a partir del valor de su energía cinética, aunque dado lo engorrosos de los números hay un camino más corto:

2vm2

1Ec = ⇒ Ec m2vm =

por tanto:

β−α= senEcm2senEcm20 CCnn

1,45sen 53,10149,112sen 0,130090,120 ⋅⋅−α⋅⋅= ⇒ º4,53=α

En la reacción puede verse como, además, se conserva la carga (5+1=6+0) y también se conserva el número de nucleones (10+2=11+1) Ejemplo: Para producir la reacción nuclear Mg24(α,p)Al27 se aceleran las partículas α mediante un ciclotrón que tienen unas D de 1m de radio y están sometidas a un potencial de 10000senωt voltios, estando sometido a un campo magnético de 1 tesla. a) Calcular la velocidad y la energía que adquieren las partículas α b) Factor de reacción. ¿la reacción es posible? c) Cuantas vueltas da la partícula α en el ciclotrón antes de salir? d) Que tiempo tarda en dar esas vueltas? DATOS: Masas: mMg=23,9924, mα=4,0026, mAl=26,9899, mp=1,0076 1uma=1,66.10−27Kg, e=1,6.10−19C a) La velocidad de salida, que depende del radio del ciclotrón es, teniendo en cuenta que desde el punto de vista de un SRNI, la fuerza centrífuga del electrón la compensa la fuerza magnética:

BvqR

vmF

2

== ⇒ m

qBRv =

s/n10816,41066,10026,4

11106.12v 7

27

19

⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= −

−

Se ha tenido en cuenta que la carga de la partícula α es dos veces la del electrón, positiva.

La energía que adquiere la partícula α, que será cinética es:

MeV1,48Julios107,7)10816,4(1066,10026,42

1vm

2

1Ec 1227272 =⋅=⋅⋅⋅== −−

(la masa hay que expresarla en Kg para que la energía salga en julios. Luego dividiendo por la carga del electrón la podemos pasar a eV y si dividios por 106 serían MeV) b) El factor de reacción es:

2

pAlMg2 c)mmmm(cmQ ⋅−−+=⋅∆= α

2827 )103(1066,1)0076,19899,260026,49924,23(Q ⋅⋅⋅⋅−−+= −

MeV33,2Julios10735,3Q 13 −=⋅−= −

Como vemos, el factor de reacción es negativo, lo que indica que la reacción no es espontánea y se requiere de un proyectil, en este caso la partícula α, que tenga una energía como mínimo superior a 2,33 MeV. Como la partícula α acelerada en el ciclotrón ha alcanzado una energía igual a 48,1 MeV la reacción ocurrirá sin problemas. c) La partícula α cada vez que pasa de una D a otra es acelerada por el campo eléctrico creado por la ddp que hay entre las D, de acuerdo con:

qVvm2

1 2 =

por tanto, para obtener la energía cinética máxima debe atravesar x veces ese potencial, de manera que:

xqVvm2

1 2max ⋅=

de donde:

240810000106,122

)10816,4(1066,10026,4

qV2

vmx

19

27272

=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅== −

−

como cada vuelta que da la partícula atraviesa dos veces el potencial acelerador, el número de vueltas que tienen que dar es la mitad:

vueltas12042

xvueltasºn ==

Observa que la energía que adquiere la partícula proviene del potencial eléctrico. El campo magnético simplemente provoca una fuerza normal a la velocidad y por tanto solamente es responsable de que gire. d) Precisamente el funcionamiento del ciclotrón se basa en que el periodo de rotación de una partícula cargada en el interior de un campo magnético uniforme es independiente del radio y de la velocidad:

seg10305,110816,4

12

v

R2T 7

7−⋅=

⋅⋅π=π=

como da 1204 vueltas, el tiempo que estará dentro del ciclotrón será seg1057,1t 4−⋅=

REACCIONES DE FISIÓN Y FUSIÓN NUCLEAR. JUSTIFICACIÓ N A PARTIR DE LA CURVA DE ESTABILIDAD NUCLEAR Fisión nuclear: Consiste en la división de un núcleo pesado, de aproximadamente A=200, como el uranio o el torio, en dos fragmentos mas pequeños de tamaño comparable. El método normal para provocar una reacción de fisión es bombardear el núcleo pesado con neutrones previamente acelerados, por ejemplo:

n 3KrBanU 10

9236

14156

10

23592 ++→+

En una reacción de fisión hay dos hechos importantes:

• Se libera energía. En la gráfica de estabilidad nuclear en la que se representa la energía de enlace por nucleón ( A/E∆ ) en función del número de masa (A) puede observarse que la energía por nucleón de los núcleos de A=200 es del orden de 7,5 MeV/nucleón, mientras que las de los fragmentos de A=100 es del orden de 8,5 MeV/nucleón, que por tanto son más estables (se necesita más energía para romperlos).

Quiere decir que, en términos generales hay un aumento de estabilidad de 1 MeV/nucleón y si el núcleo pesado tuviera A=200, es decir 200 nucleones, pues ganaría una estabilidad de 200 MeV

Esta energía aparece en forma de calor y de energía cinética de los productos finales.

• En la fisión se absorbe un solo neutrón, pero se producen un promedio de 2 o 3

neutrones. Esto sugiere la posibilidad de una reacción en cadena, si no se

controla, ya que cada nueva etapa se producirán mas fisiones, creciendo exponencialmente y dando lugar a lo que sería una bomba atómica de fisión.

Si la reacción de fisión se controla, de manera que solo uno de los neutrones emitidos produzca una nueva fisión y así sucesivamente, tendríamos una reacción autosostenida que es lo que ocurre en las centrales de energía nuclear. En el núcleo de un reactor nuclear se coloca el combustible nuclear, que puede ser Uranio−235 o Plutonio−239, y entre este se sitúan unas barras de control de grafito (moderador), que tiene la propiedad de absorber neutrones. Introduciendo más o menos las barras se consigue acelerar o frenar la reacción.

Como puede verse en el esquema, la energía producida en el reactor, como consecuencia de la fisión, calienta un líquido y éste en un cambiador de calor se utiliza para generar vapor a presión que al chocar contra la turbina la hace girar. La turbina hace girar una bobina en el seno de un campo magnético y como consecuencia entre sus extremos se produce una corriente alterna.

Fusión Nuclear: Es un proceso inverso al de fisión. En este caso se forma un núcleo más pesado a partir de dos núcleos más ligeros que chocan. Como ejemplo vamos a ver las reacciones del ciclo protón−protón que tienen lugar en las estrellas:

ν++→+ +eHHH 211

312 HeHH →+

11433 HHHeHeHe ++→+ Las dos primeras reacciones ocurren 2 veces, así que el ciclo en su conjunto produce un átomo de helio a partir de cuatro protones. La energía que se desprende en el ciclo (despreciando la masa del positón y la de su neutrino) sería:

MeV94,25J1015,4)103(6610,1)002603,4007597,14(cmE 1228272 =⋅=⋅⋅−⋅=⋅∆= −− Como podemos ver en la gráfica de estabilidad nuclear, la energía de enlace de los elementos muy ligeros, como el hidrógeno, es menor que la de los más pesados que se obtienen por fusión, en este caso el helio, que por tanto es mucho más estable en más de 6 MeV según se ve en la gráfica. (En este caso al intervenir 4 átomos de hidrógeno la energía que se desprende es algo más de 24 MeV, exactamente 25,94 MeV.) El problema de la fisión está en que para que choquen los dos núcleos deben vencer la repulsión culombiana (barrera de Coulomb), y por tanto deben tener una cierta energía cinética que les permita acercarse tanto como para que puedan actuar las fuerzas nucleares de corto alcance (alrededor de 10−15 m). (Este problema no existía en la fisión, ya que los átomos pesados se bombardean con neutrones que al no tener carga no son rechazados por los núcleos que hacen de blanco. Es más, en el caso de los neutrones el problema casi es el inverso, ya que si tuvieran una energía cinética demasiado grande permanecerían muy poco tiempo cerca de los núcleos disminuyendo así la probabilidad penetrar en ellos, por eso para la fisión se utilizan neutrones lentos, llamados neutrones térmicos.)

La barrera de Coulomb puede entenderse si se compara con una cuesta. Para que una bola suba la pendiente necesita una cierta energía cinética, pero una vez que se consigue caería a un pozo con mayor estabilidad que la posición inicial. Aquí es lo mismo, a grandes distancias los núcleos se repelen, pero si tienen una cierta energía cinética pueden vencer esa barrera a una distancia ro y entonces ya se atraerían fuertemente.

La energía potencial correspondiente a dos cargas, en este caso dos núcleos de números atómicos Z1 y Z2, separados una distancia de 10−14 m que es la distancia a la que empiezan a actuar las fuerza nucleares de corto alcance sería:

212114

14

219219 ZZ13855ZZ103,2

10

)106,1(ZZ109

r

qqKEp ⋅=⋅=⋅⋅=⋅= −

−

−

MeV

Como vemos es enorme y, en todo caso, solo es razonable para núcleos muy ligeros, es decir, de bajo número atómico Z. Si la energía necesaria para poner en contacto los núcleos se le suministrara en forma de energía cinética, teniendo en cuenta que la energía media de una partícula debido a su temperatura es kTEc 2

3= donde k es la constante de Boltzman = 1,38.10−23 J/ºK, resulta que para tener la energía calculada anteriormente debería tener una temperatura:

EcEp =

T1038,12

3ZZ103,2 23

2114 −− ⋅=⋅ ⇒ 21

9 ZZ101,1T ⋅= ºK

como puedes imaginar una temperatura del orden de 109 ºK (mil millones de ºK) es muy elevada y por tanto la construcción de reactores de fusión presenta muchísimos problemas de tipo práctico. En la actualidad se está construyendo en Francia un prototipo que encierra el “plasma” mediante un confinamiento magnético con forma toroidal, ya que es imposible construir un confinamiento físico capaz de soportar esas temperaturas. No obstante, en las estrellas, y por supuesto en el sol, ocurren reacciones de este tipo. (El plasma, llamado también el cuarto estado de la materia, además de los tres conocidos sólido, líquido y gas, es una especie de gas formado por electrones e iones positivos debido a que por su elevada temperatura los átomos se han roto.) A pesar del inconveniente de la gran energía que se requiere para iniciar las reacciones de fusión y del inconveniente para conseguir un confinamiento adecuado, estas reacciones presentan muchas ventajas sobre las de fisión y por lo tanto son un reto importante a alcanzar

• Son unas reacciones muy limpias, ya que prácticamente no producen residuos radiactivos, al contrario que las de fisión donde los residuos son uno de sus mayores problemas.

• Tienen mayor rendimiento energético. En el ejemplo del ciclo protón−.protón hemos visto que se producen 25,94 MeV para un desgaste de 4 umas de combustible, mientras que en la de fisión teníamos 200 MeV para un desgaste de 200 umas.

• Otra ventaja es la gran cantidad de materia prima, ya que hidrógeno y deuterio hay en el agua del mar todo lo que se quiera, mientras que el uranio es limitado y difícil de enriquecer a 235.

Al igual que ocurría en las reacciones de fisión, también aquí puede originarse una reacción en cadena. En el caso de la fusión era porque para el inicio de cada reacción se necesitaba un neutrón y en ella se producían dos o tres de manera que evolucionaría exponencialmente. En la fusión ocurre parecido, solo que en este caso es la propia energía producida en la reacción la que activaría nuevos núcleos para que la reacción continúe. (Como ignición de una bomba de fusión se utiliza una bomba de fisión para proporcionar la temperatura necesaria para iniciar los procesos de fusión.) Ejemplo: Las siguientes reacciones, llamadas ciclo del carbono, ocurren en el sol y son la causa de la energía que radia:

C12 + H1 → N13 N13 → C13 + e+ C13 + H1 → N14 N14 + H1 → O15 O15 → N15 + e+ N15 + H1 → C12 + He4

Suponiendo que pudiésemos realizarlas de forma controlada en la tierra ¿Qué cantidad de hidrógeno se necesitaría para abastecer de energía a nuestro país, suponiendo que el consumo sea de 109 Kwh anuales? DATOS: Masas: mH1=1,673.10−27Kg, mHe4=6,644.10−27Kg, me+=9,110.10−31Kg Como puedes ver si sumas todas las reacciones, el C12 actúa simplemente de catalizador ya que al final del ciclo se recupera, y el proceso se puede resumir en:

4 H1 → He4 + 2 e+ De acuerdo con la equivalencia masa−energía de Einstein la energía desprendida en la reacción debido a la pérdida de masa es:

Jul10222,4)103()10110,9210644,610673,14(cmE 12283127272 −−−− ⋅=⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅=⋅∆=

hKw10173,13600

hKw1010222,4segwat10222,4E 1831212 ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= −−−−

Los 4 núcleos de H1 producen 1,173.10−18 Kwh, así que para obtener los 109 Kwh necesarios necesitaríamos:

12718

9

átomosH1041,310173,1

104N ⋅=

⋅⋅= −

Teniendo en cuanta ahora que 1 mol de átomos de hidrógeno tiene una masa de 1 gr y contiene un número de Avogadro de átomos (6,023.1023) podemos poner:

1 mol de át.de H −−− tiene una masa de 1 gr −−−− contiene 6,023.1023 át.de H m −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3,41.1027 át.de H

661,5gr566110023,6

1041,3m

23

27

==⋅

⋅= Kg de H

PARTÍCULAS ELEMENTALES. MODELO DE LOS QUARKS Hasta el primer tercio del siglo XX se pensó que la materia era una combinación de protones, neutrones y electrones en proporciones establecidas. Hacia 1940 Yukawa, para poder explicar el origen de las fuerzas nucleares de corto alcance, predijo la existencia en el núcleo de otras partículas que llamó mesones π. En el estudio de las desintegraciones β vimos que se emitía una nueva partícula llamada antineutrino

ν++→ − epn 01

11

10

El estudio de la radiación cósmica ha sido un campo importante donde se han descubierto muchas partículas elementales, sobre todo en los tiempos en los que no se disponía de grandes aceleradores de partículas. En 1932 Anderson descubrió el positrón estudiando la radiación cósmica con una cámara de niebla. El positrón e+ es una partícula idéntica en todo al electrón, con la excepción de que tiene carga positiva. Se le llama antipartícula del electrón. Un proceso de producción de antipartículas es conocido como producción de un par y puede ocurrir cuando un fotón de alta energía la pierde al chocar contra un núcleo:

+− +→γ ee Al proceso inverso se le llama aniquilación del par y consiste en que la partícula al chocar con su antipartícula se aniquilan convirtiéndose sus masas en radiación:

γ→+ +− 2ee Estos dos procesos son la prueba definitiva de la equivalencia masa−energía de Einstein. Todas las partículas tienen su correspondiente antipartícula, así para el protón existe el antiprotón y para el neutrón existe el antineutrón aunque en este caso la diferencia no radica en su distinta carga puesto que no tienen, sino en su spín, es decir en el sentido de giro de las partículas sobre sí mismas:

Ejemplo: Un positrón y un electrón se aniquilan al ponerse en contacto produciendo dos rayos γ a) Cual es la energía de los fotones b) Cual es su longitud de onda DATOS: me=9,1.10−31Kg, h=6,626.10−34 J/s a) Suponiendo que es despreciable la energía cinética inicial de las partículas, la energía de los fotones provendrá exclusivamente de la masa de las partículas. Como las partículas tienen la misma masa, la energía de cada fotón es:

J1019,8)103(101,9mcE 1428312 −− ⋅=⋅⋅== b) La longitud de onda de los fotones es:

λ=ν= c

hhE ⇒ m1042,21019,8

10310626,6

E

hc 1214

834−

−

−

⋅=⋅

⋅⋅⋅==λ

Ejemplo: Un fotón de 1,1 MeV se materializa produciendo un par electrón−positrón ¿Con qué velocidad salen disparadas las partículas, supuesta igual para ambas? Datos: me=9,1.10−31Kg, e=1,6.10−19C

+− +→γ ee La energía del fotón es igual a energía que se invierte en materializarlas + la energía cinética que adquieren, es decir:

+−γ ++= EcEcmc2E 2

sustituyendo, aunque teniendo en cuenta que hay que pasar los MeV a julios, y que la energía cinética del electrón y del positrón son iguales por tener la misma velocidad:

⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−− 2312831196 v101,92

12)103(101,92106,1101,1

de donde: s/m1014,1v 8⋅=

Con los modernos aceleradores de partículas, que es donde se producen y detectan se han llegado a conocer muchas otras, que se clasifican según su spín o según su estructura:

Según su spín

Fermiones

• Partículas con spín semientero (s=1/2, 3/2) • Cumplen el principio de exclusión de Pauli (no

puede haber 2 partículas en el mismo estado cuántico con los 4 números cuánticos iguales)

• Son partículas con masa (En el Modelo Estándar todas las partículas de materia son fermiones)

• Son fermiones: e−, p+, n

Bosones

• Partículas con spín entero (s=0, 1, 2) • No cumplen el principio de exclusión de Pauli

(muchos fotones pueden estar en el mismo estado cuántico como pasa en el láser)

• Son partículas sin masa, salvo los W y Z • Son bosones: el fotón y el gravitón, los

bosones W y Z de la interacción débil, los gluones de la interacción fuerte y el bosón de Higgs

Según su estructura

Leptones

• Son fermiones de masa ligera (de ahí su nombre)

• No poseen interacción fuerte • Son leptones: e−, muón µ− , tauón τ− y los

neutrinos y sus correspondientes antipartículas

Hadrones (formados por quarks)

Mesones • Tienen masa intermedia y su spin es cero

• Interacción fuerte • Son mesones: los piones π+ π− π0

, los kaones y sus antipartículas Bariones • Son fermiones de mayor masa

• Interacción fuerte • Son bariones: p+, n, lambda Λ0 y

sus antipartículas En los 60 había tal número de partículas elementales que Wolfgang Pauli llegó a decir

“si lo hubiera sabido me habría hecho biólogo” . En el año 1963 Gell−Mann e

independientemente el físico suizo Zweig propusieron una hipótesis, según la cual todos

los hadrones están constituidos por tres partículas más elementales denominadas quarks,

hoy día son 6 los quarks.

Los quarks tienen números cuánticos fraccionarios, en particular una carga eléctrica igual a +2/3, −1/3, +1/3 representan por las letras de la palabra que les da nombre:

Símb Nombre Carga Masa (GeV)

u up (arriba) +⅔ 0,3

d down (abajo) −⅓ 0,3

c charm (encanto) −⅓ 0,5

s strange (extraño) +⅔ 1,5

t top (cima) −⅓ 4,5

b bottom (fondo) +⅔ 175

Toda partícula se hace con la unión de estos quarks, y la interacción se realiza con el intercambio de los bosones portadores de las fuerzas llamados gluones (pegamento). Por ejemplo:

• El neutrón está formado por la unión de los quark udd (uno up y dos down) y estos se mantienen unidos gracias a un intercambio mutuo de gluones. Viendo las propiedades de los quarks que lo componen tendremos las características del neutrón, (carga eléctrica nula, y masa aproximada de 930 MeV).

• El Protón está formado por los quark uud Por tanto, las partículas elementales realmente serían los leptones y los quarks FUERZAS FUNDAMENTALES De acuerdo con el tipo de interacción en el que participan las partículas elementales, las fuerzas de la naturaleza se clasifican en cuatro tipos, que en orden de intensidad son: 1. Interacción nuclear fuerte: Se llama también interacción hadrónica, porque en ella intervienen los mesones y bariones. Es una fuerza de muy corto alcance, del orden de 1fermi=10−15m, decreciendo muy rápidamente para distancias mayores. Es la responsable de mantener unidos a los protones y neutrones y por tanto de la estabilidad nuclear. 2. Interacción electromagnética: Es debida a las partículas con la carga eléctrica. Es mucho menos fuerte que la nuclear fuerte, pero tiene mayor alcance.

3. Interacción nuclear débil: Es debida a todas las partículas. Tiene una distancia de interacción algo mayor que las fuerzas de corto alcance, alrededor de 10−16m y es la que explica la desintegración β y la de muchas otras partículas inestables. 4. Interacción gravitatoria: Es debida a las partículas con masa. Tiene un alcance infinito, como la electromagnética. Es la más débil de todas y solo tiene importancia en cuerpos con gran masa, pero es insignificante para las partículas elementales. La moderna Teoría Estándar considera las interacciones entre dos partículas como consecuencia del intercambio de unas partículas especiales llamadas partículas mediadoras o portadores de fuerza. Estas partículas mediadoras de fuerza son siempre bosones.

• La interacción electromagnética se explicaría mediante el intercambio de fotones.

• La fuerza nuclear débil se explicaría por el intercambio de dos tipos de bosones muy masivos llamados W y Z.

• La fuerza nuclear fuerte se explica mediante la existencia de unos portadores de fuerza que actúan a un nivel más profundo, llamados gluones, que son bosones sin masa.

• La interacción gravitatoria que sería la más difícil de explicar se debería a la existencia de unas partículas medidoras llamadas gravitones, pero que hasta ahora nadie ha podido encontrar.

Interacción Distancia de interacción

Partículas que interaccionan

Partícula mediadora

Fuerza relativa

Nuclear fuerte 10−15 m Hadrones Gluones 1 Electromagnética infinita Con carga Fotones 10−3 Nuclear débil 10−16 m Todas Bosones W y Z 10−8 Gravitatoria infinita Con masa Gravitones 10−45

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