Tema 1:

Vectores

• Definición de vector 3-d• Módulo de un vector• Vectores unitarios• Suma vectorial• Producto por un escalar• Producto escalar• Base Ortonormal• Producto vectorial

Derivadas• Concepto de derivada• Tabla de derivadas• Derivada de un vector

Integrales

• Concepto de integral• Integral definida• Tabla de integrales• Integral de un vector

A (ax , ay , a z)

B (bx , by , b z)

Vector equipolente: vectores con igual dirección sentido y módulo.

Vector libre: Conjunto de infinitos vectores equipolentes a uno dado.

Vector: Par ordenado AB

Características de un Vector:

•Dirección: Recta en la que está inscrito(y paralelas).• Sentido: Cada direcc. dos sentidos. Punta de flecha. •Módulo : Distancia del vector en las mismas unidades.

Cálculo del módulo de un Vector:

-1

x

y

zEjemplo: Calcula el módulo

del vector v= (-3, 2, -1)

2

74,314)1(2)3( 222 v

Ejemplos Físicos: • CELERIDAD (v)

• INTENSIDAD DE LA GRAVEDAD (g)

-3

PROPIEDADES DEL MÓDULO

Es definido positivo

0v

2

Escalar con unidades iguales a las del vector

IRv

1

El vector elemento neutro tiene módulo neutro

)0,0,0(0 vvSi

3

r

Definición: Es un vector de módulo 1

Utilidad: En Física se utilizan para marcar

direcciones sin afectar al módulo

x

y

z

Cálculo de unitario:

vv

uv

ˆ

v

vu v

1ˆ vu

x

y

z

r

v

Ejemplo: Halla el vector unitario que define la dirección del vector

v= (-3,0, 4)

En primer lugar se calcula el módulo de v

Cálculo de unitario:

)8.0,0,6.0(5

)4,0,3(ˆ

vv

uv

vu

525)4(0)3( 222 v

Ejemplo Físico: • Ley de Gravitación

Universal• Campo eléctrico

rg ur

GMmF

2

Los vectores en Física se suelen expresar:

xuxx

x

y

zx

xu

r

Es decir: • Sentido

• Módulo o intensidad• Dirección

rur

KQE

2

Definición: Sean los vectores a=(ax, ay, az ) y

b=(bx, by, bz )

Regla del paralelogramo

El vector suma (o resultante)a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz)

PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL

Propiedad conmutativa

vwwv 1

El módulo de la suma no es igual a la suma de los

módulos

vuwu 3

Elemento neutro2 vv 0

Ejemplos Físicos: • FUERZA RESULTANTE

(R)• CAMPO GRAVITATORIO

RESULTANTE (g)

Ejemplo: Calcula la resultante de los vectores v= (-3, 2, -1) y w= (2, 2, -2)Comprueba que el módulo de la suma es menor que la

suma de los módulos

n

iiFR

1

n

iiT gg

1

10,526)3(4)1(

46,312)2(22

74,314)1(2)3(

222

222

222

wv

w

v

)3,4,1(

)21,22,23(

wv

v

vk

Definición: Sean el vector v=(vx, vy, vz ) y el

escalar k

El producto de k por vkv =k(vx, vy, vz)= (kvx, kvy, kvz)

x

y

z Para k>1

Para k<0

Ejemplo Físico: • Momento Lineal

• Fuerza (2ª ley Newton)

amF

vmp

PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN

ESCALAR cambia el sentido

0kSi2

La dirección del vector resultante no cambia

vkv

1

El módulo también se multiplica k veces

vkvk 3

Definición: Conjunto de 3 vectores unitarios i, j, k, ortogonales entre sí, a

partir de los cuales, puede escribirse cualquier vector

como una combinación lineal de ellos.

)1,0,0(ˆ

)0,1,0(ˆ

)0,0,1(ˆ

k

j

i

),,(),0,0()0,,0()0,0,(

)1,0,0()0,1,0()0,0,1(ˆˆˆ

zyxzyx

zyxkzjyixv

Definición: Sean los vectores a=(ax, ay, az ) y

b=(bx, by, bz )

Interpretación geométrica

Proyección de a sobre b

cosaa Permite calcular la componente de un

vector en una dirección

Vectores perpendiculares ,

producto escalar nulo

El producto escalar:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Propiedad conmutativavwwv 1

Propiedad distributiva2 uvwvuwv )(

Propiedad distributiva (escalar)

3 wkvwvkwvk )(

4 02 vvv

TEOREMA DEL PRODUCTO ESCALAR

zzyyxx wvwvwvwv

DEMOSTRACIÓN(líneas maestras)

1ˆˆˆˆˆˆ

0ˆˆ;0ˆˆ

0ˆˆ;0ˆˆ

0ˆˆ;0ˆˆ

kkjjii

kiik

jkkj

ijji

APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL

PRODUCTO ESCALARyyyyxx wvwvwvwv

Calcular el ángulo que forman dos vectores entre sí wv

wv

cos

Ejemplo: Calcula el ángulo que forman los vectores v= (-3, 2, -1) y w= (2, 2, -2)

02·12·22·3 wv

º270º90

046,3·74,3

0cos

ó

wvwv

Ejemplo Físico: • Trabajo

¡ES UN ESCALAR!

rFW

cosrFW

rF

Definición: Sean los vectores u=(ux, uy, uz ) y

v=(vx, vy, vz )

El vector producto vectorial tiene las siguientes

características

Módulo:

senvuvu

Dirección:Perpendicular al plano que

forman u y v

Sentido:Queda determinado por la regla

de la mano izquierda

vuvu

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

Propiedad anticonmutativavwwv 1

Propiedad distributiva2 uvwvuwv )(

Propiedad distributiva (escalar)

3 wkvwvkwvk )(

Vectores paralelos4 00

vkvvv

TEOREMA DEL PRODUCTO VECTORIAL

DEMOSTRACIÓN(líneas maestras)

0ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ;ˆˆˆ

ˆˆˆ;ˆˆˆ

ˆˆˆ;ˆˆˆ

kkjjii

jkijik

ijkikj

kijkji

¡¡Necesitamos una regla de cálculo!!

REGLA DE CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL

zyx

zyx

www

vvv

kji

wv

ˆˆˆ

Paso 1: Se duplican las dos primeras filas

zyx

zyx

zyx

vvv

kji

www

vvv

kji

wv

ˆˆˆ

ˆˆˆ

zyx

zyx

zyx

vvv

kji

www

vvv

kji

wv

ˆˆˆ

ˆˆˆ

kwvjwviwv yxxzzyˆˆˆ

Paso 2: Los factores de estas diagonales son positivos

zyx

zyx

zyx

vvv

kji

www

vvv

kji

wv

ˆˆˆ

ˆˆˆ

kwvjwviwv yxxzzyˆˆˆ

Paso 2: Los factores de estas diagonales son negativos

kwvjwviwv xyzxyzˆˆˆ

zyx

zyx

www

vvv

kji

wv

ˆˆˆ kwvjwviwv yxxzzy

ˆˆˆ

kwvjwviwv xyzxyzˆˆˆ

Paso 3: Se suman los factores comunes

¡¡No hace falta aprender la fórmula de memoria, solo calcular!!

EJERCICIO DE CÁLCULO PRODUCTO VECTORIAL

231

523

ˆˆˆ

ˆ2ˆ3ˆ

ˆ5ˆ2ˆ3

kji

wv

kjiw

kjiv

kji ˆ9ˆ5ˆ4 kji ˆ2ˆ6)ˆ15(

Ejemplos Físicos: • Momento de la Fuerza

(M)•Momento angular o

cinético (L)

FrM

prL

Ejemplos Físicos: • Momento de la Fuerza

(M)•Momento angular o

cinético (L)

prL

Tasa de Variación Media (TVM)

Nos indica cambios de funciones

xxf

TVM

)(

Derivada:Nos indica cambios

instantáneos de funciones

dxxdf

f)(

Derivada:Nos indica cambios

instantáneos de funciones

dxxdf

f)(

Derivada:Nos indica cambios

instantáneos de funciones

dxxdf

f)(

Derivada:Nos indica cambios

instantáneos de funciones

dxxdf

f)(

xsendx

xde

dxde

xdxsenxd

nxdxdx

xdxxd

dxdk

xx

nn

cos

cos

1ln0

1

Tabla de derivadas necesaria para Física de

2ºBT

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

Derivada de la suma

hgfxhxgxf )()()(1

Derivada del producto de una k por una función

gkfxgkxf ·)(·)(2

Derivada de la función producto

hghgfxhxgxf ··)(·)()(3

Derivada de la función cociente2

··)()(

)(h

hghgf

xhxg

xf

4

Regla de la cadena

hhgfxhgxf ·)())(()( 5

La derivada de un vector es la derivada de una suma, por lo que se deriva componente a

componente

),,(ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

zyxkdttdz

jdttdy

idttdx

ktzjtyitxdtd

dttrd

Ejemplos Físicos: • Velocidad instantánea

(v=dr/dt)•Aceleración instantánea

(a=dv/dt)

2

2 )()(

)(

dt

trddttvd

a

dttrd

v

F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple que: )(

)(xf

dxxdF

Un ejemplo: Encuentra la primitiva de la función

f(x)=2x-5x2

kxxxFxxxf 322

35

)(52)(

Al conjunto de todas las primitivas de una función

f(x) se le llama integral indefinida

kxFdxxf )()(

Derivación

Integración

)(xf

)(xf

kxdxx

kedxenknx

dxx

kxdxxsenkCxdxC

kxsendxxkdx

xxn

n

ln1

1;1

cos

cos0

1

Tabla de integrales necesaria para Física de

2ºBT

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES

La integral de la suma es la suma de integrales2 dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

La integral de C veces la función es C veces la integral1 dxxfCdxxfC )(·)(·

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

TEOREMA DE BARROW b

aaFbFdxxf )()()(

Un ejemplo: Encuentra la integral de la función

f(x)=2x-5x2 entre los límites x=3 y x=5

5

3

2 )52( dxxx5

3

32

3

5xx

3232 3

35

3535

5 3,1473442

363550

La integral de un vector es la integral de una suma, por lo

que se integra componente a componente

dtktvdtjtvdtitv

dtktvjtvitvdtv

zyx

zyx

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ktrdtv )(

W=b·h/2

Ejemplo Físico: • Trabajo de una fuerza

no constante

b

ardFW

ikxF ˆ

kdzjdyidxrd ˆˆˆ

Jk

kxdxkxrdikxW225

21

)ˆ(5

0

25

0

5

0

F (N)

x (m) 5

5k

http://iescastelar.juntaextremadura.net/vectores_3d/vectores_3d.html www.lowy-robles.com/37_16.htm http://www.cucei.udg.mx/portal/etc/multimedia/swf/Derivadas.swf