ECUACIONES DE EQUILIBRIO

En cursos previos al presente, hemos aprendido las condiciones necesarias para que un cuerpo se encuentre en equilibrio. En forma sencilla, podemos citarlas de la siguiente forma: Donde el trmino F representa las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo en las direcciones x, y, z de un sistema coordenado ortogonal. Anlogamente, el trmino M est referido a los momentos que se ejercen en el cuerpo, en las direcciones x, y, z.

Supongamos que tenemos un cuerpo que se encuentra en equilibrio, con cargas (fuerzas, momentos) aplicadas sobre el mismo. Si le hacemos un corte transversal imaginario dividindolo en dos partes, observaremos que deben generarse fuerzas internas en su seccin transversal para que pueda mantenerse en equilibrio.

FUERZAS INTERNAS

Las fuerzas internas que se generan en la seccin transversal se denominan esfuerzos. Para determinar stos, se hace necesario definir las cargas que estn ejercidas sobre dicha seccin; esto se logra aplicando las condiciones de esttica que recordamos lneas atrs. Tendremos entonces que, en la seccin de inters, estn aplicados una fuerza y un momento resultante (FR y MR respectivamente).

Realicemos ahora una descomposicin de la fuerza resultante sobre la seccin de inters. Obtendremos una fuerza que es normal al plano de la seccin; sta es la carga axial (P). El resto de fuerzas estn contenidas en el plano, y se llaman cortantes (V). Observe que la fuerza cortante total es la sumatoria vectorial de las fuerzas contenidas en el plano de la seccin.

Desarrollemos ahora el mismo procedimiento para el momento resultante. Obtendremos una componente que es normal al plano de la seccin; sta representa el momento torsor (T). Las componentes restantes de momento estn contenidas en el plano, y se denominan momentos flectores (M). La sumatoria vectorial de todos los momentos contenidos en el plano resulta en el momento flector total en la seccin.

En resumen, podemos tener cuatro tipo de cargas sobre

una seccin transversal:

CARGA AXIAL Es la componente normal al plano de la fuerza resultante sobre el mismo.

FUERZA CORTANTE Es la componente de la fuerza resultante contenida en el plano de la seccin

transversal.

MOMENTO TORSOR Es la componente normal al plano del momento resultante sobre el mismo.

MOMENTO FLECTOR Es la componente del momento resultante contenida en el plano de la seccin

transversal.

RESUMEN

Problema 1: Repaso de Esttica

La fuerza interna del elemento en realidad representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas a lo largo de toda el rea A de la seccin transversal y la intensidad promedio de estas fuerzas distribuidas es igual a la fuerza por unidad de rea, F/A, en la seccin. La fuerza por unidad de rea, o la intensidad de las fuerzas distribuidas a travs de una seccin dada, se llama esfuerzo sobre esa seccin.

= P/ A

CONCEPTO DE ESFUERZO

(*) Se emplear un signo positivo para indicar un esfuerzo de

tensin y un signo negativo para indicar un esfuerzo compresivo.

LAS UNIDADES DEL SISTEMA SI :

Con P expresada en newtons (N) y A en metros cuadrados (m2),

el esfuerzo se expresar en N/m2. Esta unidad se denomina

pascal (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad muy pequea,

por lo que, en la prctica, deben emplearse mltiplos de esta

unidad, como el kilopascal (kPa), el megapascal (MPa) y el

gigapascal (GPa). Se tiene que:

1 KPa = 103 Pa = 103 N/m2

1 MPa = 106 Pa = 106 N/m2

1 GPa = 109 Pa = 109 N/m2

Problemas 2 y 3: Anlisis de Diseo

La Carga Axial es la carga dirigida a lo largo del eje del elemento. El plano de estudio del elemento sobre el que se determina la fuerza interna y su correspondiente esfuerzo es perpendicular a su eje, lo que resulta un esfuerzo de compresin o de traccin. La frmula da el esfuerzo normal en un elemento bajo carga axial es: Esto es, el valor promedio del esfuerzo a travs de la seccin transversal, y no el valor de un esfuerzo en un punto especfico de la seccin transversal.

= P/ A

CARGA AXIAL

Debe considerarse una pequea rea A. Al aproximarse A a cero, se halla el esfuerzo en el punto Q:

ESFUERZO EN UN PUNTO DADO Q

vara a travs de la seccin. En una varilla delgada sujeta a cargas concentradas, P y P, iguales y opuestas, la variacin es pequea en una seccin que se encuentre lejos de los puntos de aplicacin de las cargas concentradas; pero es bastante notoria en el vecindario de estos puntos.

Cuando se supone una distribucin uniforme de los esfuerzos en la seccin, la resultante P de las fuerzas internas debe aplicarse en el centroide C de la seccin. Una distribucin uniforme del esfuerzo es posible slo si la lnea de accin de las cargas concentradas P y pasa a travs del centroide de la seccin considerada. No se puede inferir, sin embargo, que si la fuerza es tal que su lnea de accin para por el centroide de la seccin, resulte siempre una distribucin uniforme de esfuerzos.

RESULTANTE DE LAS FUERZAS INTERNAS

En el caso de un elemento cargado de manera axial, pero excntricamente, las fuerzas internas en una seccin dada deben ser equivalentes a una fuerza P aplicada al centroide de la seccin y a un par M (esfuerzo flector) cuyo momento es M=Pd. La distribucin de fuerzas y, por lo tanto, la correspondiente distribucin de esfuerzos no puede ser uniforme

RESULTANTE DE LAS FUERZAS INTERNAS

Se obtiene cuando se aplican fuerzas transversales P y P a un elemento AB. Al dividir el cortante P entre el rea A de la seccin transversal, se obtiene el esfuerzo cortante promedio

ESFUERZO CORTANTE

ESFUERZO CORTANTE SIMPLE

Considere una conexin que consiste en una barra plana A, una horquilla C y un perno B que pasa por agujeros en la barra y en la horquilla, sometidos a una fuerza P. El diagrama de cuerpo libre de la figura c muestra que hay una tendencia a cortar el perno a lo largo de las secciones transversales mn y pq.

ESFUERZO CORTANTE DOBLE

DEFORMACIN DE UN PERNO

Para el equilibrio de los elementos se requiere que el momento producido por 1 est equilibrado por un momento igual y opuesto resultante de los esfuerzos cortantes actuando sobre las caras superior e inferior del elemento 2. Por lo que:

1 = 2

ESFUERZOS CORTANTES EN PLANOS PERPENDICULARES

A fin de que el elemento est en equilibrio en la direccin y, la fuerza cortante total que acta sobre la cara derecha se debe equilibrar por una fuerza cortante igual pero en direccin opuesta en la cara izquierda. Como las reas de estas dos caras son iguales, se deduce que los esfuerzos cortantes sobre las dos caras deben ser iguales.

Tanto las fuerzas axiales como las transversales causan esfuerzos normales y cortantes en planos que no son perpendiculares al eje del elemento. Considere un elemento de dos fuerzas que se encuentra sometido a fuerzas axiales P y P, que forme un ngulo con un plano normal

Dibujando el diagrama de cuerpo libre, y separando las componentes de la resultante:

F = Pcos V = Psen

ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO

ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO

Tambin llamado esfuerzo de apoyos en conexin, o de contacto. Ocurre cuando se transmiten cargas a travs de superficies que presentan contactos puntuales o a lo largo de una lnea. Ejemplos: La presin sobre el terreno bajo una columna, la presin en las placas de apoyo, los pernos, pasadores y remaches crean tambin esfuerzos en la superficie de apoyo o superficie de contacto de los elementos que conectan (placas).

ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

Considere dos placas A y B conectadas por un perno CD

El perno ejerce una fuerza P sobre la placa A igual y opuesta a la fuerza F ejercida por la placa sobre el perno. La fuerza P representa la resultante de las fuerzas elementales distribuidas en la superficie interior de un medio cilindro de dimetro d y longitud t igual al espesor de la placa.

ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

La distribucin de estas fuerzas, y de los esfuerzos correspondientes, es muy complicada y no es constante, por lo que se suele suponer que el esfuerzo de contacto se distribuye uniformemente sobre un rea ms pequea, que es la proyeccin de la superficie de contacto sobre un plano diametral del orificio, perpendicular a la direccin de la fuerza. El rea del rectngulo que representa la proyeccin del perno sobre la seccin de la placa es igual a td, donde t es el espesor de la placa y d el dimetro del perno. La frmula para el esfuerzo de aplastamiento queda representada de la siguiente manera:

ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

Problemas 4: Determinacin de Esfuerzos

Un depsito cilndrico que contenga un fluido a una presin P N/m2 est sometido a fuerzas de tensin segn sus secciones longitudinales y transversales, y las paredes han de resistir estas fuerzas para evitar que estalle. Consideremos en primer lugar una seccin longitudinal cualquiera A-A que corte diametralmente al cilindro de la figura sometido a presin interior.

FUERZAS DE TENSIN

Por simetra, a cada dF le corresponde otra cuya componente horizontal ser igual, pero de sentido contrario, por lo que todas las parejas de componentes horizontales se anulan y la fuerza total F se reduce a:

La fuerza total F, es resistida por las fuerzas iguales P que actan en las dos secciones cortadas de la pared del cilindro. Por tanto: V=0

FUERZAS DE TENSIN

Un procedimiento ms sencillo para determinar la fuerza F, es considerar que la mitad inferior del cilindro est ocupada por un fluido, y puesto que ste transmite por igual las presiones en todas las direcciones, la distribucin de presiones y de fuerzas elementales es la misma. La fuerza F, por lo tanto, es igual a la presin por el rea en la que acta. Como esta rea es la superficie libre del fluido, o sea, DL, se obtiene, como antes, que:

FUERZAS DE TENSIN

ESFUERZO CIRCUNFERENCIAL

ESFUERZO CIRCUNFERENCIAL SECCIN TRANSVERSAL

Si consideramos ahora el DCL de una parte del depsito cilndrico separada del resto por una seccin transversal cualquiera B-B, se observa que la fuerza F que tiende a separar esta parte del cilindro de la otra, ha de ser contrarrestada por la

La experiencia y la intuicin ayudan a comprender y formular de una mejor manera el problema.

El planteamiento del problema deber ser claro y preciso. Necesitar incluir los datos dados e indicar el tipo de informacin que se requiere. Deber incluir un dibujo simplificado (DCL).

Una vez que el problema ha sido planteado con claridad, debe basarse en los principios fundamentales de la esttica y en los principios que se analizan en este curso.

Primero se determinan las reacciones en los apoyos, las fuerzas y los pares internos, luego el resto de informacin requerida.

Despus de que se ha obtenido una respuesta, sta deber verificarse, utilizando el sentido comn y la experiencia personal.

* Cuidado con las unidades

SOLUCIN DE PROBLEMAS

CONSIDERACIONES DE DISEO

Se determina realizando ensayos

especficos sobre muestras preparadas

del material.

La mxima fuerza que puede aplicarse

a la probeta, con la cual la probeta se

rompe o comienza a soportar menos

carga, se llama la carga ltima del

material y se denota como PU.

La resistencia ltima a la tensin del

material, es:

a) Determinacin de la resistencia ltima del material

b) Carga permisible y esfuerzo permisible. Factor de seguridad.

La seleccin del factor de seguridad que debe usarse en distintas aplicaciones es una de las tareas ms importantes de los ingenieros, y no es un asunto simple. Las consideraciones a tener en cuenta para elegir el factor de seguridad son:

1. Variaciones que pueden ocurrir en las propiedades del elemento bajo consideracin 2. Nmero de cargas que puedan esperarse durante la vida de la estructura o mquina 3. Tipo de cargas que se han planeado para el diseo, o que puedan ocurrir en el futuro 4. Tipo de falla que pueda ocurrir. 5. Incertidumbre debida a los mtodos de anlisis 6. Deterioro que pueda ocurrir en el futuro por mantenimiento incorrecto o por causas naturales inevitables. 7. Importancia de un elemento dado a la integridad de la estructura completa.

c) Seleccin de un factor de seguridad adecuado.

Este mtodo permite al diseador distinguir entre las incertidumbres asociadas con la carga viva, PV, esto es, con la carga que ser soportada por la estructura, y con la carga muerta, PM. El diseo propuesto es aceptable si se satisface la siguiente desigualdad:

MPM + VPV PU

El coeficiente se denomina factor de resistencia y normalmente ser menor de 1. Los coeficientes M y V se conocen como los factores de carga; tienen en cuenta las incertidumbres asociadas, respectivamente, con la carga muerta y la carga viva, y sern normalmente mayores que 1, siendo V generalmente mayor que M.

d) Diseo por carga y por factor de resistencia.

ESFUERZO NORMAL

La Fuerza P es normal al rea A

ESFUERZO CORTANTE

TRACCIN COMPRESIN

Cortante Simple:

Cortante Doble:

ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

CILINDROS DE PARED DELGADA

Esfuerzo en la seccin longitudinal:

Esfuerzo en la seccin transversal:

ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO

es mximo cuando =0 0 al aproximarse a 90 = 0 para =0 y para =90 es mximo cuando =45

CONSIDERACIONES DE DISEO