TEMA 1: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES INTRODUCCIÓN El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por R. Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el cero) y se siguen manteniendo las mismas propiedades. También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales.

CLASIFICACION DE LOS NÚMEROS

NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Los números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica. Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica. Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos algunos:

- La diagonal del cuadrado de lado 1: √2

- Si p no es cuadrado perfecto, √𝑝 es irracional.

- En general, si p es un número entero y √𝑝𝑛 no es un número entero (es decir, p no es una potencia

n- ésima), entonces √𝑝𝑛 es irracional.

PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL

Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador.

FRACCIÓN GENERATRIZ

Todo decimal periódico puede expresarse en forma de fracción que llamaremos fracción generatriz del decimal en cuestión. En estos casos no es necesario aplicar la fórmula sino que resulta más sencillo proceder de la siguiente manera:

Decimal exacto.- Se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay.

Decimal periódico puro.- En el numerador se escribe la diferencia entre la parte entera seguida del periodo y la parte entera, en el denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo.

Decimal periódico mixto.- En el numerador se escribe la parte entera seguida de las cifras hasta acabar el primer periodo menos la parte entera seguida de las cifras hasta comenzar el periodo, en el denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el comienzo del periodo.

Ejercicios de aplicación:

1. Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:

- 5

2 ; √8 ; √8

3 ; 0,34 ;

𝜋

2

2. Hallar la fracción generatriz de:

A) 71,52 B) 853,11 C) 4,9368 D) 2,375 E) 43,6 F) 4,36

LA RECTA REAL

Todo número real queda representado por un punto de la recta y, recíprocamente, a todo punto de la recta le corresponde un número real. Observa en el gráfico como asignar un punto de la recta a un número irracional como π, mediante una sucesión de intervalos encajados. Esto permite definir una relación de orden en el conjunto de los números reales:

Dados dos números reales, a y b, diremos que a es menor que b, a < b, si al representarlos a está a la izquierda de b.

También podemos decir que los números a la derecha del cero son los positivos y los de la izquierda son los negativos, y a es menor que b si la diferencia b – a es positiva.

Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura especial:

Ejercicios de aplicación:

1. Representar en la recta numérica los siguientes números:

2

3;

5

7;

7

4; √2; √10; √26

2. Escriba como intervalo el conjunto definido sobre la recta real:

3. Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas:

4. Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso:

5. Representa en una misma recta las semirrectas: Hallar

6. Representa en la recta real:

VALOR ABSOLUTO

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero,

y opuesto de a, si a es negativo.

Ejercicios de aplicación:

1. Resolver y representar gráficamente lo siguiente:

a) l x l ≤ 3 b) l x l ˃ 3 c) l x - 6 l ≤ 7 d) l 5 - x l ≤ l 3 +x l e) 3 l 2x-9 l ˃ 27

e) l 2x + 6 l + 9 ≤ 7