Tema 08 - Campos Vectoriales - Integrales Curvilineas y de Superficies

7/23/2019 Tema 08 - Campos Vectoriales - Integrales Curvilineas y de Superficies

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Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nac ional de Río Cuarto VIII. 1

TEMA VIII CAMPOS VECTORIALES - INTEGRALES CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIES

VIII.1 CAMPOS VECTORIALES.

En física una magnitud es un campo cuando está definida en todo el plano o espacio. Si

esta magnitud es un número, un escalar, tendremos un campo escalar, si es en cambio un

vector, será un campo vec torial.

Por ejemplo, en un día con mucho viento, la temperatura que haga en cualquier parte de

una ciudad será un campo escalar. De este modo podemos saber cuántos grados de

temperatura hay en cualquier punto de la ciudad. Si para esta misma ciudad tomamos la

intensidad y dirección del viento como un vector tendremos un campo vectorial.

Análogamente podremos asignar un vector velocidad del viento para cada punto de la

ciudad. Tendremos definida una c ierta magnitud vec torial en todos los puntos del espacio.

Un campo vectorial es una función de n nℜ → ℜ . Los campos vectoriales de uso en la física

son aquellos que a cada punto del plano o del espacio le asignan respectivamente un

vector en el plano o en el espacio.

VIII.1.1 Definición

2 2: F D ⊂ ℜ → ℜ

es un campo vectorial que

le asigna a cada punto ( ) x, y del plano, un

vector ( ) ( ) ( ) x yˆ ˆ F x, y F x, y i F x, y j= +

.

3 3: F D ⊂ ℜ → ℜ

es un campo vectorial que le

asigna a cada punto ( ) x, y, z del espacio, un vector

( ) ( ) ( ) ( ) x y z ˆ ˆ ˆ F x, y, z F x, y, z i F x, y, z j F x, y, z k = + +

.

x

y

x

( ) F x

con ( ) x x, y=

Figura 1

x

y

z

x

( ) F x

con ( ) x x, y, z =

Figura 2



Cálculo II – Facultad de Ingeniería - Universidad Nac ional de Río Cuarto VIII.2

Notemos que las componentes del campo vectorial son funciones escalares y podemos

definir la continuidad de los campos vectoriales y mostrar que F

es continuo si y sólo si sus

funciones componentes son contínuas.

VIII.1.2 Representación gráfica . Líneas de flujo.

Un modo de representar un campo vectorial es dibujar en algunos puntos del dominio

(plano o espacio) el vector campo vectorial evaluado en dicho punto, para lo cual suele ser

útil la construcción de una tabla, tal como se muestra a continuación.

Ejemplo 1

Sea ( ) ˆ ˆ F x, y y i x j= −

un campo vectorial sobre 2ℜ ,

obtener su representac ión gráfica.

Solución:

Conocida la función, construimos la siguiente tabla:

La información de la tabla es llevada a la figura 3, en la cual se muestra la representación

gráfica del campo vectorial F

. La representación gráfica de un campo vectorial no es en

todos los casos sencillo, una manera más fácil de lograrlo es mediante el concepto de las

líneas de flujo o líneas de fuerza.

Líneas de flujo o líneas de fuerza.

Una línea de flujo de un campo vectorial es una trayectoria, cuya derivada está en la

dirección del campo vectorial, esto es son líneas tangentes en todo punto a la dirección del

campo.

Si F

es un campo vectorial, una línea de flujo o de fuerza para F

es una trayectoria

( )t σ

tal que: ( ) ( )t k F t ′σ = σ⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) x, y ( ) F x, y

eje x ( )0 x, ( )0 , x−

eje y ( )0 , y ( )0 y,

recta a 45º ( ) x, x ( ) x, x−

rec ta a 135º ( ) x, x− ( ) x, x− −

y

x

Figura 3




Algunas propiedades de estas líneas es que no pueden cortarse pues, si así fuera,

tendríamos que en ese punto habría dos valores para el mismo campo. Para lograr que las

líneas de flujo nos hablen del módulo del campo (es decir, de su intensidad) se dibujan de

tal manera que la densidad de líneas sea proporcional a dicho módulo.

Por ejemplo, si se tratara de un campo de velocidades, estas líneas coincidirían con las

trayectorias de las partículas (líneas de corriente) ya que su movimiento es consecuencia de

dicho campo. Si además el movimiento es estacionario las trayec torias o líneas de corriente,

que son también las líneas de campo o de flujo, se mantienen dentro de un tubo de

vectores sin cruzarlo. Esta superficie imaginaria, se obtiene a partir de las líneas de flujo que

se apoyan sobre una curva cerrada C (figura 4).

Si el fluido es incompresible, la velocidad

debe aumentar cuando el tubo se

estrecha y recíprocamente. Esto es, la

intensidad en los puntos de una línea de

fuerza crece o decrece según las líneas

se aproximen o se separen.

Cuando un campo es conservativo, a los puntos donde las líneas se juntan, se denominan

sumideros, y a aquellos de donde surgen o nacen fuentes. Así cualquier planeta es un

sumidero de campo gravitatorio, y un protón sería una fuente de campo electrostático.

Los campos cuyas líneas son cerradas, como el campo magnético B

, se los llama campos

solenoidales, en honor al campo magnético de una bobina o solenoide.

Ejemplo 2

Sea ( ) ˆ ˆ F x, y y i x j= −

un campo vectorial sobre 2ℜ , obtener su representación gráfica,

utilizando las líneas de flujo.

Solución:

Si ( )t σ

representa las trayectorias de las líneas de flujo, entonces: ( )t k F ′σ =

, esto es:

( ) ( ) ( )( ) ( )t x t , y t k y, x′ ′ ′σ = = −

x ky

y kx

′ =⎧⇒ ⎨ ′ = −⎩

sistema de ecuac iones diferenciales

dxky

dt

dykx

dt

⎧ =⎪⎪⇒ ⎨

⎪ =⎪⎩

v

v

Figura 4

C




Si ( ) x x t = y ( ) y y t =

dxdx dt ky dt

dt

dydy dt kx dt

dt

⎧ = =⎪⎪⇒ ⎨

⎪ = = −⎪⎩

luego:dx dy

y x= − x dx ydy⇒ − =∫ ∫ ,

2 2

2 2

x yC ⇒ + = , o 2 2 x y K + =

Esto significa que las trayectorias de las líneas de flujo son circunferencias concéntricas y el

campo vectorial es tangente a estas trayectorias, como se muestra en la figura 5.

VIII.1.3 Algunos ejemplos de campos vec toriales.

Campo Gravitacional

La ley de Newton de la gravitación dice que la magnitud de la fuerza gravitacional entre

dos objetos con masa m y está dada por:

2

mMG F

r =

siendo r la distancia entre los objetos y G la constante gravitacional.

Si el objeto de masa se ubica en el origen de coordenadas ( )3en ℜ la distancia r

representa también el módulo del vector posición de la masa m , esto es:

si ( )r x, y,z =

, r r =

Finalmente si representa la masa de la Tierra, la fuerza gravitacional ejercida sobre el

segundo objeto ac túa en dirección hac ia el origen y viene dada por:

( ) 2 3

mMG r mMG F r r

r r r = − = −

La función F

se conoce con el nombre de campo gravitac ional.

y

x

Figura 5




Campo eléctrico

Supongamos que una carga eléctrica Q se ubica en el origen de coordenadas. De

acuerdo a la ley de Coulomb, la fuerza eléctrica F

ejercida por esta carga sobre una carga

q , con vector posición r

es:

( ) 3

qQ F r r

r

ε=

siendo ε una constante. Si las cargas son iguales la fuerza es repulsiva, de otro modo es

atractiva.

El campo eléctrico de Q , es la fuerza por unidad de carga que experimentará una carga

en cierta posición del espacio y obedece a la fórmula:

( ) ( ) F r E r q

=

Campo Gradiente

La operación por la cual a partir de una función escalar lográbamos una función vectorial

la llamamos gradiente, y teníamos que F f = ∇

, esto es:

Si ( ) f x, y, z xy xz yz = + + entonces ( ) ( ) ( ) f f f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f i j k y z i x z j x y k x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + = + + + + +

∂ ∂ ∂

Así pues la operación gradiente es una forma de, a partir de un campo escalar, lograr un

campo vectorial.

Integrales curvilíneas y de superficies

Llamamos integrales curvilíneas, a aquellas integrales cuya región de integración es una

curva; cuando la región de integración es una superficie en 3ℜ , las integrales son de

superficies. Estudiaremos en particular la integración de funciones escalares y funciones

vectoriales sobre trayectorias y superficies.

VIII.2 INTEGRALES DE TRAYECTORIA.

Para introducirnos en el tema de las integrales de trayectoria o integrales curvilíneas de

campos escalares, utilizaremos el siguiente problema:




Sea ( ) x, y, z ρ la densidad de masa en un punto ( ) z , y , x P , de un alambre, esto es un sólido

con una única dimensión significativa, que ocupa la posición de una curva ( )r t

, con

extremos en A y B . Se pide calcular la masa de dicho sólido.

La masa de un diferencial curva, vendrádada por:

( )dm x, y,z ds= ρ

luego la masa del alambre será:

( ) ( ) ( ) ( ) B b

A a

dm x, y,z ds r t r t dt γ

′γ = = ρ = ρ ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫


La integral obtenida en el problema anterior puede generalizarse considerando que

( ) z , y , xρ es una función escalar cualquiera.

Sea ρ: D ⊂ ℜ → ℜ3 y sea γ una curva regular o suave. Se llama integral de ρ

respecto a la longitud del arco, o integral curvilínea del campo escalar ( ) z , y , xρ a lo

largo de la curva γ , a cualquiera de las siguientes integrales:

ρ ργ

ds r t r t dt

a

b

= ′z z

b g b g = z ρ r t s t dt

a

b

b g b g ( )( )

( ) s b

s a

r t ds= ρ ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

siendo ( ) bt a ,t r ≤≤

una representac ión paramétrica cualquiera de γ .

Propiedades

Si +γ indica un determinado sentido de recorrido, entonces −γ representa la misma

trayectoria recorrida en sentido inverso.

De la definición, y con las condiciones impuestas en la misma, es inmediato comprobar que:

a. ∫∫ −γ+γ ρ=ρ dsds

b. Linealidad: ( ) ∫∫∫ γγγ ρβ+ρα=βρ+αρ dsdsds 2121 con α y β ℜ∈

c. Si 0≥ρ en γ , entonces: 0≥ρ

∫γ

ds

ds

B

A

Figura 6 x

y

z ( )r t




d. Aditividad: Si 1γ y 2γ constituyen una partición de γ y existen dos de las siguientes

integrales, existe la tercera: ∫∫∫ γγγ ρ+ρ=ρ

21

dsdsds

Observaciones:

La integral de la definición anterior ρ r t r t dt

a

b

b g b g′z no cambia al sustituir la

representación paramétrica ( ) bt a ,t r ≤≤

por otra equivalente ( ) d wc ,wu ≤≤

, ambas

regulares o suaves.

Se han supuesto las curvas en el espacio, naturalmente todo lo dicho puede restringirse al

plano.

Las definiciones y observaciones citadas para arcos regulares γ , siguen siendo válidas si

γ es únicamente regular a trozos.

VIII.2.2 Aplicaciones

Considérese un sólido S , con una única dimensión significativa, por ejemplo un alambre,

que ocupa la posición de una curva γ en el espacio (o en el plano), teniendo densidad de

masa lineal ( ) z , y , xρ en cada punto ( ) γ∈ z , y , x P , entonces:

a. Longitud de γ : ( ) L dsγ

γ = ∫

b. Masa de S : ( ) ( ) x, y, z dsγ

γ = ρ∫

c. Valor promedio de la función ( ) z , y , x f a lo largo del alambre: ( )( ) f x, y,z ds

f

ds

γ

γ

γ = ∫

∫

d. Momentos estáticos de S respecto a los planos coordenados (en el espacio):

( ) ( )∫γ ρ= ds z , y , x z S M xy

( ) ( )∫γ ρ= ds z , y , x yS M xz

( ) ( )∫γ ρ= ds z , y , x xS M yz




e. Momentos estáticos de S respecto a los ejes coordenados (en el plano):

( ) ( )∫γ ρ= ds y , x yS M x

( ) ( )∫γ ρ= ds y , x xS M y

f. Centro de gravedad de S :

( ) ( )

( )

( )

( )∫∫

γ

γ

ρ

ρ==

ds z , y , x

ds z , y , x x

S M

S M S x

yz

G , etc.

g. Momentos de inercia:

En el plano:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 x y I S y ds I S x ds I S x y ds

γ γ γ= ρ = ρ = + ρ∫ ∫ ∫

En el espacio:

( ) ( )2 2 x

I S y z dsγ

= + ρ∫ , etc. ( ) ( )2 2 20 I S x y z ds

γ= + + ρ∫

h. Área de superficies cilíndricas

Sea la superficie cilíndrica cuyas

generatrices son paralelas a (figura 8) y

se apoyan en la curva directrizr ub g del

plano xy . Esta superficie está limitada

superiormente por otra superficie, que es la

gráfica de una función explícita ( ) y , x f z = .

La altura h de cualquier franja infinitésima

(como la rayada) está dada por lacomposición de funciones f r u

b g .

El área de esa franja, cuya base tiene una longitud dr r u du= ′

b g es

dA f r u r u du= ′ b g b g , de modo que el área de la superficie cilíndrica AA' B'B es:

( )[ ] ( ) ( )∫∫ =′2

1

2

1

u

u

u

u

duuGduur ur f

' A ' B

r f

( )ur

)1ur )2ur

y

x

h

A

B

dr

Figura 7




Ejemplo 3

Calcular la temperatura promedio en un alambre que tiene una distribución de temperatura

( ) z , y , xT . El alambre tiene la forma de la figura 6, es decir, su forma corresponde a la imagen

de una funciónr t b g .

Solución

Luego la temperatura promedio vendrá dada por:

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 1

2 2

1 1

t t

t t

t t

t t

T r dr T r t r t dt

T

dr r t dt

′⎡ ⎤⎣ ⎦γ = =

′

∫ ∫

∫ ∫

Ejemplo 4

Calcular la integral de trayectoria ( ) x y dsΓ

+∫ , siendo Γ el triángulo de vértices ( )0 0O , ,

( )10 A , , ( )01 B , .

Solución:

Por la aditividad es: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

1 2 3 I x y ds x y ds x y ds x y ds I I I Γ Γ Γ Γ

= + = + + + + + = + +∫ ∫ ∫ ∫

( )1: 0

x t r t

y

=⎧Γ ⎨

=⎩

[ ]01t ,∈ ds dt = , luego

1

1

0

12

I t dt = =∫

( )2: 1

x t r t

y t

=⎧Γ ⎨

= −⎩

[ ]01t ,∈ ( ) ( )

2 22ds x t y t dt dt ′ ′= + =

por lo tanto1

2

0

1 2 2 I dt = =∫

y ( )3

0:

xr t

y t

=⎧Γ ⎨

=⎩

[ ]01t ,∈ ds dt = ,

1

30

12

I t dt = =∫ ,

entonces ( ) 1 2 x y dsΓ

+ = +∫

Finalmente 1 2 3

1 12 24142

2 2 I I I I .= + + = + + ≈

( )10 A ,

( )01 B ,

x

y

3Γ 2Γ

1Γ O

Figura 8




Ejemplo 5

Hallar el momento de inercia respecto al eje y , de un alambre delgado, con densidad de

masa lineal constante ( )( ) x, y, z k ρ = cubriendo la curva frontera del semicírculo superior con

centro en ( )0a, y radio a .

Solución

El momento de inercia respecto al eje y , está dado por ( )2 y I x x, y, z ds

Γ

= ρ∫

En este caso ( ) ( ) ( )1 2 y y y I I I Γ = Γ + Γ siendo

1 2yΓ Γ el diámetro y la semicircunferencia

respectivamente, que forman la frontera del

semicírculo.

1: 0

x x

y

=⎧Γ ⎨

=⎩ [ ]0 2 x , a∈ ds dx= , 2:

x a acos t

y a sent

= +⎧Γ ⎨

=⎩ [ ]0 x ,∈ π ds a dt =

luego: ( ) ( ) ( )1 2 y y y I I I Γ = Γ + Γ ( )2

22 2

0 0

1a

x k dx k a cos t a dt π

= + +

∫ ∫

( ) y I Γ ( )23 3

3 2 3

00

8 31 2

3 3 2

a

kx a k ka cos t cos t dt ka

π⎤ π= + + + = +⎥

⎦ ∫

Es decir: ( ) 3 8 33 2 y I a k

π⎛ ⎞Γ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

VIII.3 INTEGRALES DE LÍNEA

Llamaremos integrales de líneas a las integrales de campos vectoriales sobre trayectorias.

Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea consiste en hallar el

trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Para ver como

usar una integral de línea con este fin, consideremos el siguiente problema:

( )0a,

γ

x

y

2Γ

1Γ O

Figura 9




Problema introductorio

Se desea calcular el trabajo realizado

por el campo de fuerzas F

sobre una

partícula que recorre la curva regular Γ ,

desde A a B , tal como se muestra en

la figura 10 y supongamos que F

está

definido al menos en los puntos de Γ .

Para comenzar tengamos en cuenta que para determinar el trabajo realizado por el

campo, sólo es necesario considerar la parte del campo F

que actúa en la dirección del

movimiento (dirección del vector tangente de la curva), esto significa que la componente

del campo que contribuye al trabajo en cada punto de Γ , es la componente del vector

fuerza F

sobre la dirección del vector tangente unitario ˆ T , que es ˆ F T ⋅

.

Por otro lado, dividamos la curva Γ en n pequeños subarcos de longitud sΔ , y llamemos

P ′ a la longitud del subarco más largo.

Luego, para una partícula que se desplaza a lo largo del subarco i sΔ , el incremento de

trabajo puede aproximarse como:

( ) ( ) ( )( )fuerza distanciai i i i i i i iˆ W F x , y ,z T x , y ,z sΔ = ⋅ ≈ ⋅ Δ

donde ( )i i i x , y ,z es un punto del i–ésimo subarco. En consecuencia, una aproximación al

trabajo total realizado viene dado por:

( ) ( )( )1 1

n n

i i i i i i i i

i i

ˆ W W F x , y ,z T x , y ,z s= =

≈ Δ = ⋅ Δ∑ ∑

Se trata de una suma de Riemann de la función ( ) ( )ˆ H t F T = ⋅

. Luego tomando limite de las

sumas de Riemann cuando 0 P ′ → o n → ∞ nos queda:

( ) ( )0

1

límn

i P

i

ˆ ˆ W F T s F T ds′ →

= Γ

= ⋅ Δ = ⋅∑ ∫

Esta integral de línea, que aparece en otros contextos, es la base de la siguiente definición

de integral de línea de un campo vectorial. Observemos que:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

r t r t ˆ F T ds F ds F r t dt F dr

r t r t

′ ′′⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

′ ′

Figura 10

x

y

z

A

B

Γ

( )i i i F x , y ,z

ˆ T i

sΔ




Así tenemos la siguiente definición:


Sea F

un campo vectorial contínuo definido en una región 3 D ⊂ ℜ y sea Γ una curva

regular, con DΓ ⊂ . La integral de línea del campo vectorial F

sobre Γ , se define

como: [ ] F r dr +Γ

⋅∫

y se calcula como ( ) ( )b

a

F r t r t dt ′⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫

donde ( ) [ ] ( ) ( ) r t , t a,b / r a A r b B∈ = ∧ =

es una

representación paramétrica cualquiera de Γ , que conserva la orientación de Γ .

Para las integrales de línea de funciones vectoriales, la orientación de la curva Γ es

importante. Si la orientación de la curva se invierte, el vector tangente unitario ( )ˆ T t cambia

a ( )ˆ T t − , con lo que:

F dr F dr Γ −Γ

⋅ =− ⋅∫ ∫

Además, puede demostrarse que la integral no depende de la parametrizac ión concreta

que se tome para la curva Γ .

Propiedades

Si Γ indica que un determinado sentido de recorrido, entonces −Γ representa la misma

trayectoria recorrida en sentido inverso.

Es posible mostrar que:

a. F dr F dr Γ −Γ

⋅ =− ⋅∫ ∫

b. Linealidad ( )1 2 1 2 F F dr F dr F dr Γ Γ Γ

α + β ⋅ =α ⋅ + β ⋅∫ ∫ ∫

con ,α β ∈ ℜ

c. Aditividad Si 1Γ y 2Γ constituyen una partición de Γ , entonces:

1 2

F dr F dr F dr Γ Γ Γ

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

donde la orientación directa de 1Γ y 2Γ es la inducida por la orientación de Γ




Diversas expresiones

a. Se ha visto que F dr Γ

⋅∫

significa ( ) ( )b

a

F r t r t dt ′⋅⎡ ⎤⎣ ⎦∫

, siendo ( ) [ ] r t , t a,b∈

una

representación paramétrica regular cualquiera de Γ , tal que ( ) ( )r a A r b B= ∧ =

.

b. Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F r X x, y, z i Y x, y, z j Z x, y, z k r t x t i y t j z t k = + + ∧ = + +

, entonces

la integral: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }b

a

X x t , y t ,z t x t Y x t , y t ,z t y t Z x t , y t ,z t z t dt ′ ′ ′+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

se representa como: ( ) ( ) ( ) X x, y, z dx Y x, y, z dy Z x, y, z dz +Γ

+ +∫

c. Si Γ está representada parametricamente en función del parámetro s , como ( ) ˆ r s T ′ =

(vector tangente unitario), resulta:( ) ( ) [ ]ˆ J F r dr F r T ds X cos Y cos Z cos ds

Γ Γ Γ

= ⋅ = ⋅ = α + β + γ∫ ∫ ∫

siendo ˆ ˆ ˆ ˆ T cos i cos j cos k = α + β + γ . Se observa que F dr Γ

⋅∫

es en realidad una integral de

campo escalar con ˆ G F T = ⋅

d. Si Γ es un arco de extremos A y B , suele escribirse: ( ) ( ) B

A

F r dr F r dr Γ

⋅ = ⋅∫ ∫

si se

sobreentiende Γ . Si Γ es cerrada, suele escribirse F dr Γ

⋅

∫

Observaciones:

La integral de la definición anterior

F r t r t dt

a

b

b g b g′z es invariante si se reemplaza la

representación paramétrica ) bt a ,t r ≤≤

por otra equivalente ) d wc ,wu ≤≤

y que

describe la curva en el mismo sentido. Si la nueva representac ión equivalente describe la

curva en sentido opuesto, cambia únicamente de signo.

Se han supuesto las curvas en el espacio, naturalmente todo lo dicho puede restringirse al

plano.

Las definiciones y observaciones citadas para arcos regulares γ , siguen siendo válidas si

γ es únicamente regular a trozos.




Ejemplo 6

Calcular ( )1

J F r dr Γ

= ⋅∫

, siendo ˆ ˆ F xj yi= −

y 1Γ el segmento de recta que une los puntos

( )10 A ,= y ( )01 B ,= .

Solución:

La recta es 1 x y+ = es dec ir que viene dada por

( ) [ ]101

x t r t t ,

y t

=⎧= ∈⎨

= −⎩

Luego:dx dt

dy dt

=⎧⎨

= −⎩

Por tanto: ( ) ( )1

0 1

1 01 1 J xdy ydx t dt t dt dt

Γ= − = − − − = =∫ ∫ ∫ , es decir: 1 J =

Ejemplo 7

Calcular2

K xdy ydxΓ

= −∫ siendo 2Γ el arco de circunferencia, mostrado en la figura anterior y

que une A y B .

Solución

La curva 2Γ viene dada por: ( ) x cost

r t y sent

=⎧= ⎨

=⎩

0

2t ,

π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

luego:dx sen t dt

dy cost dt

= −⎧⎨

=⎩

resolviendo, nos queda:

( )2

2 22

0 2 K xdy ydx cos t sen t dt

π

Γ

π= − = + =∫ ∫

2 K

π=

Ejemplo 8

Calcular 2 2 J y dx x dy−Γ

= −∫ , siendo Γ la frontera de la región acotada determinada por la

recta y x= y la parábola 2 y x= , estando Γ orientada en el sentido antihorario.

2Γ

1Γ

x

y

A

B

Figura 11




Solución:

Puede escribirse 1 2Γ = Γ ∪ Γ

( )1 2

x t r t

y t

=⎧Γ = ⎨

=⎩

[ ]01

2

dx dt t ,

dy tdt

=⎧∈ ⇒ ⎨

=⎩

( )2

x ur

y u

=⎧Γ μ = ⎨

=⎩

[ ]10

dx duu ,

dy du

=⎧∈ ⇒ ⎨

=⎩

Luego1 2

1 04 3 2 2

0 1

32

10 J F dr F dr t t dt u u du

Γ Γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ = − + − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

, entonces:3

10 J = −

Ejemplo 9

Calcular J ydx xdy zdz Γ

= + +∫ , siendo Γ el arco de hélice circular:

[ ]0 2

x a cos t

y a sent t ,

z bt

=⎧⎪ = ∈ π⎨⎪ =⎩

Solución:

( ) ( ) ( )2

0

J asent asent a cos t a cos t bt b dt

π

= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦∫

( )22 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

22 2

2 2a sen t b t

J a cos t sen t b t dt a cos t b t dt b

ππ π ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = + = + = π⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎦∫ ∫

VIII.3.2 Traba jo y circulación

Si el campo vectorial es un campo de fuerzas, tal como ocurrió en el ejemplo introductorio,

entonces la integral de línea, se interpreta como el trabajo.

Trabajo de una fuerza variable ( )r F

en una trayectoria ( )t r

Ya hemos visto que cuando una partícula P (figura 13), sobre la que actúa una fuerza

( ) ( ) z y x F , F , F z , y , x F =

, se desplaza un dr (en un intervalo de tiempo dt ), se realiza un trabajo

dW F dr = ⋅

. El trabajo total de A a B es:

x

y

( )11 A ,

B

Figura 12

2 y x= y x=

1Γ

2Γ




W F dr F r t r t dt

r t

r t

t

t

= ⋅ = ⋅ ′z z

1

2

1

2

b g

b g

b g b g

El vector ( )r t ′

es la velocidad instantánea,que sabemos es tangente a la trayectoria.

Efectuando el producto escalar, en

coordenadas cartesianas, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

1 1

t t

x y z

t t

F r t r t dt F r t x t F r t y t F r t z t dt ′ ′ ′⋅ = + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Circulac ión o circuitación de un campo vectorial V

Sea una curva cerrada en un campo vectorial V

(figura

14), que se recorre de modo tal que si nos imaginamos

caminando sobre ella, el sentido positivo de recorrido es

tal que el interior de la superficie quede a nuestra

izquierda.

La curva C puede ser el contorno o frontera de cualquier superficie (abierta) S , no

necesariamente de área mínima. Definimos entonces la circulación como:

∫ →⋅=

C

dr V V

circ

Si V

es un campo de fuerza, esta integral da el trabajo al recorrer el circuito.

VIII.4 INTEGRALES DE FUNCIONES ESCALARES SOBRE SUPERFICIES.

Se considerará Σ como una superficie simple y lisa siendo ( )v ,ur

una representación

paramétrica de la misma tal que 2 3:r D ⊂ ℜ → ℜ

.

( )1r t

B A

t r

F

y x

dr P

( )2t r

z

Figura 13

Figura 14

C dr

V




Ejemplo introductorio

Supóngase que Σ representa una lámina alabeada en el espacio, con pequeño grosor y

con densidad superficial ρ x y z , ,b g en cada punto P x y z , ,b g . Se trata de obtener la masa de

la lámina.

De forma análoga a lo visto para la obtención de la masa de un alambre, efectuamos una

partición P en D y la correspondiente partición en Σ, como se muestra en la figura 16.

Ya hemos visto que la expresión ( ) u v

D A T T du dvΣ = ×∫∫

nos permite calcular el área de una

superficie, luego el área de cada porción vendrá dada por:

( ) k u v D

k

A T T du dvΣ = ×∫∫

N , ,k 1=

Para cada N , ,k 1= existirá algún ( )k k k u ,v D∈ , tal que:

( )( )k u vu ,v

k k

A T T u vΣ = × Δ Δ

.

Luego si ( ) ( )k k k k k r u ,v x , y ,z =

, la masa de la lámina ( )Σ M vendrá dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

lím =lím N N

k k k k k k u vu ,v N N k k k= k=

x , y ,z A r u ,v T T u v→∞ →∞

⎡ ⎤Σ = ρ Σ ρ × Δ Δ⎣ ⎦∑ ∑

con ∞→ N de modo que ( ) 0→Σ k A , luego:

( ) ( ) u v D Dr u ,v T T du dv dS Σ = ρ × = ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ ∫∫

z Σ

y x

O

)v ,ur

u k u

Figura 15

v

k v D

k P

R

k D k Σ





Se trata de generalizar la idea utilizada en el ejemplo al caso en que la función densidad

superficial anterior ρ x y z , ,b g , se sustituya por cualquier función escalar G x y z , ,b g .

Sea Σ una región suave en el espacio y ( )G x ,y ,z un campo escalar, entonces si

( ) u vG r u,v T T ×⎡ ⎤⎣ ⎦

es integrable sobre D , la integral ( ) u v

DG r u,v T T du dv×⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫

recibe

el nombre de integral de superficie de G x y z , ,b g sobre la superficie Σ y se representa

por: ( )∫∫Σ dS z , y , xG

Observaciones:

Esta integral ( )∫∫Σ dS z , y , xG depende únicamente del campo escalar G y de la superficieΣ,

es decir, que no cambia si se reemplaza la representación paramétrica ( ) 32 ℜ→ℜ∈ D:v ,ur

de Σ por otra equivalente, según puede demostrarse fác ilmente.

También es inmediato comprobar que esta integral de superficie cumple, al igual que las

integrales curvilíneas, la propiedad de linealidad así como la aditividad respecto a la

superficie.

VIII.4.2 Aplicaciones.

Estas integrales se utilizan en muchas aplicaciones físicas, por ejemplo en conexión con

distribuciones superficiales de masas o de carga eléctrica.

Así, por ejemplo, si Σ es una lámina alabeada y delgada, (no se considera su grosor), con

densidad superficial de masas ρ x y z , ,b g en cada punto P x y z , ,b g , entonces:

Área de Σ: ( ) u v Σ D

A dS T T dudvΣ = = ×∫∫ ∫∫

Promedio de funciones: ( ) dS

dS f f

∫∫∫∫

Σ

Σ=Σ

Masa de Σ: ( ) ( )∫∫Σ ρ=Σ dS z , y , x M




Centro de masa: ( ) ( )1

G x x x, y, z dS Σ

Σ = ⋅ρ∫∫ , etc.

Momentos de inercia: ( ) ( ) ( )2 2 z

I x y x, y, z dS Σ

Σ = + ρ∫∫ , etc.

Ejemplo 10

Hallar el centro de gravedad de la porción de

superficie esférica Σ con radio R y altura h , entre

z a= y z b= , ( )con h a b= − , siendo su densidad

superficial de masa ( ) x, y,z k δ = .

Solución

Es evidente por la simetría que 0G G x y= = .

Calcularemos ahora G z

( )

( )

( )

( ) A

G

A

z x, y, z dS z x, y,z T T d d

z x, y, z dS x, y, z T T d d

θ ϕΣ

θ ϕΣ

δ δ × θ ϕ

= =δ δ × θ ϕ

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

Parametrizando la superficie, obtenemos:

x R cos sen

y R sen sen

z R cos

= θ ϕ⎧⎪

= θ ϕ⎨⎪ = ϕ⎩

con0 2

a b

≤ θ < π

ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ siendo:

a

b

acos

R

bcos

R

⎧ ϕ =⎪⎪⎨⎪ ϕ =⎪⎩

o

a

a

b

b

r sen

R

r sen

R

⎧ϕ =⎪⎪

⎨⎪ ϕ =⎪⎩

luego: 0

ˆ ˆ ˆ i j k

T T R sen sen R cos sen R cos cos R sen cos R sen

θ ϕ× = − θ ϕ θ ϕθ ϕ θ ϕ − ϕ

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2T T R sen cos R sen sen R cos sen R senθ ϕ× = − ϕ θ + − ϕ θ + − ϕ ϕ = ϕ

resolviendo, obtenemos:

222 3

00

2 22

0 0

2

b

b

a a

b

a

arcsen r R

arcsen r R

G arccos b R

arccos a R

sen R d

k R cos sen d d z

k R sen d d cos d

ππ ϕ

ϕ

π ϕ π

ϕ

ϕθ

ϕ ϕ ϕ θ= =

ϕ ϕ θ − ϕ θ

∫∫ ∫

∫ ∫ ∫

R

r a r b

A

x

z=a z=b

Figura 16

x

r a

r b

A

Figura 17




2 2 2

2

2

b

a

arcsen r R

b a

arcsen r R

G arccos b R

arccos a R

sen r r R R R R

z b R a Rcos

ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= =

⎜ ⎟−ϕ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

como: 2 2 2 2 yb ar R b r R a= − = − , reemplazando nos queda:

2

12G

R z =

2 2b R− − ( ) ( )

22 2

2

a a ba b

a b

⎛ ⎞− −−⎜ ⎟ = =⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )2

a b

a b

+

− 2a b+

=

Luego el centro de gravedad está en 0 02

a b , ,

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

VIII.5 INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES SOBRE SUPERFICIES.

Antes de introducirnos de lleno en este tema, nos hace falta saber sobre la orientación de

una superficie.

VIII.5.1 Orientac ión de una superficie

Sea Σ una superficie lisa y P un punto arbitrario en Σ, entonces un vector unitario n normal

a Σ , puede tener dos sentidos.

Una superficie lisa es orientable si al escoger la normal en un punto arbitrario 0 P de Σ y

desplazarla con continuidad a lo largo de cualquier curva cerrada Σ⊂γ , el sentido de tal

normal no se invierte al volver a 0 P .

Una porción suficientemente pequeña de una superficie siempre es orientable. Pero para

partes mayores, puede no ocurrir lo mismo, es decir que existen superficies no orientables.

Por ejemplo es orientable una superficie esférica completa y también cualquier superficie

cerrada lisa, en estas superficies pueden distinguirse dos caras.

Un ejemplo de superficie no orientable

es la cinta de Möbius. Se construye

tomando un trozo rectangular de

papel como en figura 19 y uniendo los

lados más cortos tras un giro de 180°, Figura 18

A

A

B

B

γ




de forma que coincidan los dos puntos A y los dos B . En este caso, si se da un vector

normal en 0 P y se le desplaza con continuidad a lo largo de la curva γ , el vector normal

resultante tras regresar a 0 P , es el opuesto al vector normal original en 0 P .

Sea Σ

+

una superficie lisa orientada pormedio de sus normales, teniendo como

frontera una curva simple cerrada γ .

Por convención, se entiende como orientación positiva de γ (u orientación consecuente

con la orientación Σ+) a aquella tal que si un observador recorre γ con la cabeza en el

sentido de las normales n a Σ, entonces va dejando Σ a su izquierda.

Para superficies Σ seccionalmente lisas, se

dice que Σ es orientable si cada porción lisa

de Σ lo es, pudiendo orientarse de tal forma,

que a lo largo de cada curva C o frontera

común a dos porciones Σ1 y Σ2, la dirección

positiva de C relativa a Σ+1 es opuesta a la

dirección positiva de C relativa a Σ+2.

III.5.2 Flujo

El flujo de un campo vectorial es la cantidad de campo que atraviesa cierta área. Ahora

bien, no es lo mismo que la superficie que atraviese sea perpendicular al campo, en cuyo

caso entraría “de lleno”, a que dicha superficie esté situada de forma paralela, pues en este

último caso no atravesaría nada de campo.

Veremos a continuac ión como obtener una expresión matemática del flujo, esto es, la masa

de fluido que atraviesa una superficie Σ en una unidad de tiempo (figura 21).

Consideremos un fluido con densidad ( ) z , y , xρ y velocidad de desplazamiento ( ) z , y , xv

, en

cada punto ( ) z , y , x P . Se efec túa una partición P de Σ en porciones k Σ con n , ,k 1= ,

cuya norma P , se define como la longitud de la diagonal más larga de las n–porciones

k Σ .

Se toma un punto ( )k k k k z , y , x P en cada k Σ . Sean k ρ y k v

la densidad de masa y velocidad

del fluido en dicho punto k P respectivamente y k S Δ el área de k Σ .

n

n

γ γ

+Σ +Σ

Figura 19

Figura 20

1n

1Σ

Curva C 2n

2Σ




Una aproximación a la masa de fluido que

atraviesa k Σ en la unidad de tiempo, será la masa

de fluido contenida en un cilindro oblicuo de base

k Σ y eje determinado por el vector velocidad k v

.

Dicha masa serák k k k

ˆ v n S ρ ⋅ Δ

, luego una

aproximación a la masa de fluido por unidad de

tiempo que atraviesa Σ es:

∑∑==

Δ⋅=Δ⋅ρ N

k

k k k

N

k

k k k k S n F S nv11

con k k k v F

ρ=

El flujo (masa por unidad de tiempo) buscado será0

1

lím N

k k k P

k

F n S F n dS +Σ→

=

= ⋅ Δ = ⋅∑ ∫∫

Definición

Sea 3 3: F ℜ → ℜ

y Σ una superficie simple y lisa, orientada mediante n en cada

( ) z , y , x P .

Se llama flujo del campo vectorial

F a través de la superficie orientada +Σ , o integral

de superficie del campo vectorial

F sobre +Σ y se representa por:

ˆ F n dS Σ

Φ = ⋅ =∫∫

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )dudvT T

T T

T T v ,ur F dudvT T v ,ur nv ,ur F vu

vu

vu

D

vu

D

×⋅×

×⋅±=×⋅⋅ ∫∫∫∫

donde ( )v ,ur

) es cualquier representación paramétrica Σ y el signo ± de la última

integral depende del signo que tenga ( )vu T T

× , esto es será positiva si ( )vu T T

× tiene el

sentido de n, de otro modo tendrá el signo negativo.

Propiedades

Puede demostrarse fác ilmente que:

a) Al cambiar el sentido de orientación de Σ , cambia el signo de la integral:

∫∫∫∫ +Σ−Σ ⋅−=⋅ dS n F dS n F

b) Aditividad respecto a la superficie:

Figura 21

z

y x

O

Σ

k Σ P

v

n



Si 21 Σ∪Σ=Σ , teniendo 1Σ y 2Σ intersección de área nula resulta:

∫∫∫∫ ∫∫ Σ ⋅+

Σ Σ ⋅=⋅ ++ +

21

dS n F dS n F dS n F

donde las orientaciones de Σ1 y Σ2 son las inducidas por la orientación de Σ.

c) Linealidad

Si 1α , ℜ∈α2 y 1 F

, 2 F

son funciones 33 ℜ→ℜ entonces:

( ) dS n F αdS n F αdS n F F Σ Σ

⋅+⋅=⋅α+α ∫∫∫∫∫∫ +++Σ 22112211

Ejemplo 11

Utilizando la definición de integrales de superficie, calcular F n dS +Σ

⋅∫∫

, siendo ˆ ˆ ˆ F xi yj zk = + +

y Σ la superficie total de sólido cilíndrico W determinado por 2 2 4 x y+ = , 0 5 z ≤ ≤ con la

normal orientada hac ia el exterior de W .

Solución

Es 1 2 3Σ = Σ + Σ + Σ orientada como se indica en la figura 22 por medio de las normales.

Luego3

1 2 31

i

i

F n d F n d ++Σ Σ

=

Φ = ⋅ σ = ⋅ σ = Φ + Φ + Φ∑∫∫ ∫∫

Sobre 1+Σ es

( )

( )

0 0

0 0 1

F x, y, F n

n , ,

⎧ =⎪⋅ =⎨

=⎪⎩

; luego 1 0Φ =

Sobre 2+Σ es

( )( )

5 5

0 0 1

F x, y, F n

n , ,

⎧ =⎪ ⋅ =⎨=⎪⎩

;2

2 5 20d +Σ

Φ = σ = π∫∫

Sobre 3+Σ ( )

2

: 2

x cos

r ,z y sen

z z

= θ⎧⎪

θ = θ⎨⎪ =⎩

con

0 2

0 5 z

≤ θ ≤ π

≤ ≤ ( )2 2 0 2 2 0

0 0 1 z

ˆ ˆ ˆ i j k

T T sen cos cos , sen ,θ × = − θ θ = θ θ

luego ( ) ( )2 2 F r ,z cos , sen ,z θ = θ θ⎡ ⎤⎣ ⎦

y ( ) ( )5 2 5 2

3 0 0 0 0 4 40 z F r ,z T T d dz d dz

π π

θΦ = θ ⋅ × θ = θ = π⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Por tanto: 1 2 3 60 F n d +ΣΦ = ⋅ σ = Φ + Φ + Φ = π∫∫

.

z

y

x

n

n

n

1Σ

2Σ

3Σ

5

Figura 22

Tema 08 - Campos Vectoriales - Integrales Curvilineas y de Superficies

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