TEM Managu

7/23/2019 TEM Managu

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TOPOLOGIA DE ESPACIOS METRICOS

Managua, enero de 2010


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Marta Macho StadlerDepartamento de Matematicas

Facultad de Ciencia y Tecnologa

Universidad del Pas VascoEuskal Herriko Unibertsitatea

Barrio Sarriena s/n, 48940 Leioa

e-mail:[email protected]

http://www.ehu.es/mtwmastmTlf: +34 946015352 Fax: +34 946012516

Portada:Vegetal, deJean-Yves Piffard,http://www.piffard.ch/


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Indice general

Introduccion 5

1. Conjuntos y aplicaciones 1

1.1. Nociones de Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Smbolos y conectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Los objetos del razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4. Los metodos de demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Funciones y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Propiedades de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Espacios metricos 23

2.1. Definicion de espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Definicion de distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2. Distancia entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3. Isometras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Bolas abiertas y cerradas. Esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Conjuntos abiertos y cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2. Topologa inducida por una metrica . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1. Clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.3. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Subespacios de un espacio metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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4 Indice general

2.6. Diametro de un conjunto. Conjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . 372.7. Conjuntos densos y espacios separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Continuidad en espacios metricos 55

3.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Aplicaciones continuas y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3. Aplicaciones uniformemente continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Completitud en espacios metricos 69

4.1. Definicion de sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. Sucesiones de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. Espacios metricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Conexion en espacios metricos 83

5.1. Espacios y conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3. Espacios totalmente disconexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4. Conexion en espacios eucldeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5. Conexion y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6. Compacidad en espacios metricos 95

6.1. Espacios y conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2. Compacidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3. Compacidad en espacios eucldeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Bibliografa 101


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Introduccion

La Topologa estudia aquellas propiedades de los espacios que permanecen inaltera-

bles al someterlas a deformaciones continuas, es decir, a distorsiones que ni rompen nipeganalgo que no lo estaba previamente.

Por ejemplo, el caracter circular de una circunferencia no es una propiedad topologica:

se pueden pegar las extremidades de una cuerda para hacer una circunferencia, y sin

cortar ni despegar, deformar esta figura en un cuadrado, una elipse, etc. Se dira que la

circunferencia, el cuadrado y la elipse son objetos topologicamente equivalentes: la cua-

lidad deno tener extremidadespermanece constante durante estas transformaciones, esta

si es una propiedad topologica.

Una conocida broma afirma que las personas que se dedican al estudio de la topologa

no distinguen una rosquilla de una taza de cafe:

en efecto, hemos pasado de la rosquilla a la taza sin realizar ni roturas ni cortes: ha sido

una transformacion topologica.

La topologa es pues matematica cualitativa, matematica sin numeros: trata de pro-

piedades cualitativas intrnsecas de los espacios, que son independientes de su tamano,

posicion y forma.

Los espacios metricos son los primeros ejemplos de espacios topologicos, los que

primero surgieron en el estudio cualitativo de espacios: generalizan las propiedades de

los espacios eucldeos, donde sabemosmedirla distancia entre dos puntos dados.

En este curso detopologa de espacios metricos, se trata de dar una introduccion a la

topologa, a traves de la teora de espacios metricos.

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6 Introduccion

Este texto esta organizado en seis captulos. El primero de ellos recopila aquellospreliminares sobre teora de conjuntos y logica matematica que son necesarios para una

buena comprension del texto.

Los siguientes cinco captulos estudian las propiedades mas importantes de espacios

metricos: solo estan demostrados aquellos enunciados cuya prueba no es trivial, se han

incluido una gran cantidad de ejemplos y cada captulo finaliza con una amplia coleccion

de ejercicios, donde los mas complicados estan marcados con el smbolo .La bibliografa indicada se refiere en su mayora a textos sobre espacios metricos,

aunque aparecen tambien algunos libros clasicos dedicados a los espacios topologicos en

general. Los cinco textos recomendados (por tratarse de una bibliografa amplia) para elcurso van marcados con: [D] y [H] por estar en castellano, la obra [R] por adaptarseperfectamente al contenido de este curso, [Se] y [SV] por tratarse de libros de reciente

aparicion... cualquiera de ellos sera un buen libro de consulta.

Managua, enero de 2010


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Captulo 1

Conjuntos y aplicaciones

1.1. Nociones de Logica

La Logica es una herramienta basica en Matematicas; damos aqu un breve repaso de

algunos conceptos fundamentales.

1.1.1. Smbolos y conectores

En Matematicas, es fundamental la utilizacion de smbolos y conectores que sirven

para modificar o combinar sentencias.

Definicion 1.1. Los siguientes smbolos se llamancuantificadores:

1) elcuantificador universal: (para todo);2) elcuantificador existencial: (existe).

Definicion 1.2. Tambien es esencial el uso de los llamados conectores:

1) lanegacion:no;

2) laconjuncion: (y);3) ladisyuncion: (o);4) laimplicacion:= (si , entonces);5) ladoble implicacion: (si y solo si, es equivalente a).

El manejo es sencillo, pero es preciso tener cuidado al utilizarlos. Por ejemplo, si P

y Q son propiedades relativas a los elementos de un conjuntoX(definicion1.11), paraexpresar quex cumple P, se escribira P(x). Y entonces:

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2 Captulo 1. Conjuntos y aplicaciones

Proposicion 1.1. El enunciado P(x) Q(x), significa una de las tres posibilidades (mu-tuamente excluyentes) siguientes:

(i) P(x)y Q(x);

(ii) P(x)y no-Q(x);

(iii) no-P(x)y Q(x).

Proposicion 1.2. Un enunciado se niega de la siguiente manera:

1) no-(xX, P(x))es lo mismo que decir que(xX :no-P(x));2) no-(xX : P(x))equivale a(xX, no-P(x));

3) no(xX, P(x) Q(x))es lo mismo que(xX :no-P(x) o no-Q(x));

4) no-(xX : P(x) = Q(x))es equivalente a(xX,P(x)= Q(x)).

Proposicion 1.3. Cuando aparecen varios cuantificadores en un enunciado, es indiferente

el orden en el que se escriben, siempre que los cuantificadores involucrados sean del

mismo tipo. Si P(x, y)es una propiedad relativa a los elementosx ey, entonces:

1)(x, y,P(x, y))es lo mismo que decir que (y, x, P(x, y));

2)(x, y: P(x, y))es equivalente a(yy: P(x, y)) .

Contraejemplo 1.1. Hay que tener cuidado cuando se ven involucrados cuantificadores

de distinto tipo. Por ejemplo, el enunciado (x, y : P(x, y))no equivale a la expresion(y :x,P(x, y)). En efecto, si X = Ny P(x, y) es la propiedad x y, la primeraexpresion se lee como que todo numero natural posee otro mayor (que es cierta) y la

segunda significa que existe un numero natural mayor que todos los demas (que es falsa).

Proposicion 1.4. El cuantificador existencial y el conector disyunci on se pueden inter-cambiar en la escritura de un enunciado, as como el cuantificador universal y el conector

conjunci on:

1)(x,P(x))y(y,Q(y))es lo mismo que(x,y,P(x) Q(y));

2)(x: P(x))o(y : Q(y))es equivalente a(x, y : P(x) Q(y)).

Contraejemplo 1.2. En general, no se pueden intercambiar cuantificadores y conectores

en la escritura de un enunciado:


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1.1. Nociones de Logica 3

1) la expresion(x,P(x) Q(x)) no equivale a(x,P(x)) (x: Q(x)). En efecto,siX= N, P y Q son las propiedades de ser par y ser impar respectivamente,entonces la primera expresion se lee como que un numero natural es par o impar

(que es verdadera) y la segunda dice que todo numero natural es par o todo numero

natural es impar (que es falsa);

2) la expresion(x: P(x)) (x: Q(x))no equivale a(x: P(x) Q(x)). En efecto,tomando de nuevo el ejemplo de 1), la primera expresion se lee como que existe un

numero natural par y existe un numero natural impar (que es cierta), y la segunda

significa que existe un numero natural a la vez par e impar (que es falsa).

1.1.2. Los objetos del razonamiento

Definir una teora matematica es establecer las reglas del juegosobre los objetos ma-

nipulados, los denominadosaxiomas.

Definicion 1.3. Unaxiomaes todo enunciado que:

1) sirve de fundamento para la construccion de una teora;

2) se admite como cierto y no es por lo tanto objeto de discusi on.

Cuando ununico axioma no basta para definir una teora, se pide ademas:

3) que los diferentes axiomas usados no se contradigan y sean independientes los unos

de los otros.

Ejemplos 1.1. Algunos ejemplos de axiomas son los siguientes:

1)axioma de Euclides, que es la base de la Geometra Eucldea: dos rectas paralelas del

plano eucldeo no se cortan;

2) axioma de eleccion: dado un conjunto X, existe una funcion (definicion 1.18) de

eleccion,f:P(X) {}X (definicion1.14), que asigna a todo conjuntoAnovaco, un punto distinguidof(A) =aA;

3) lema de Zorn: sea un conjunto parcialmente ordenado (X, ) (definicion 1.31), tal quetodo conjunto bien ordenado (definicion1.33) admite una cota superior (definicion

1.34); entonces(X, )posee un elemento maximal (definicion1.32);4)axioma de Zermelo: todo conjunto puede ser bien ordenado.

Observacion 1.1. 2), 3) y 4) son formulaciones equivalentes del mismo axioma.


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Definicion 1.4. Unadefiniciones un enunciado que sirve para explicar o introducir unanueva nocion.

Una vez conocidos los axiomas y algunas definiciones, el juego puede comenzar,

puesto que las reglas ya se conocen.

Definicion 1.5. Unteoremaes un enunciado que se deduce:

1) directamente de los axiomas o

2) de los axiomas y los teoremas precedentes, y

con las reglas de deduccion que se llamandemostraciones, que aseguran su validez.

Definicion 1.6. A veces, se da unicamente el nombre de teorema a los verdaderamente

importantes, a los que han pasado a la historia con un nombre, o a los que precisan una

demostracion muy larga, dejando el nombre de proposicional resto.

Definicion 1.7. Unlemaes una proposicion preliminar a la demostracion de un teorema.

Definicion 1.8. Un corolario es una proposicion que se deduce inmediatamente de un

teorema, por una demostracion si no inmediata, cuando menos corta y facil.

1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes

Definicion 1.9. (La implicacion) Sean X un conjunto y P y Q dos propiedades ma-tematicas definiendo los conjuntos A ={x X : P(x)} y B ={x X : Q(x)}respectivamente. SiAB (definicion1.12), todo elemento verificando P, cumple tam-bien Q. En este caso, se dice que P implica Q, y se escribe P =

Q. Se dice tambien

que P es unacondicion suficientede Q (para obtener Q basta con conocerP) o que Q esunacondicion necesariade P.

Definicion 1.10. (La equivalencia) En las condiciones de la definicion1.9, siA = B(definicion1.12), todo elemento verificando P cumple tambien Q y viceversa. En este

caso, se dice que P es equivalentea Q, y se escribe P Q. ComoA= B es identicoaA B yB A, la equivalencia P Q significa las dos implicaciones P = Qy Q = P. Es decir, las dos propiedades equivalentes P y Q caracterizan el mismoconjunto. Observar que en tal caso P es unacondicion necesaria y suficientede Q.


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1.1. Nociones de Logica 5

1.1.4. Los metodos de demostracionHay muchos metodos de demostracion, de los cuales citamos los mas importantes a

continuacion, usando la notacion de la definicion1.9:

(i) Metodo de la hipotesis auxiliar:para probar que P = Q, se suponeP cierta.Esta forma de razonamiento, la mas directa, es tambien la mas conocida. De manera

practica consiste en demostrar el teorema P = Q, donde P es la hipotesis y Q laconclusion o tesis, suponiendo que se verifica P (la hipotesis es cierta) y ayudandose de

los axiomas y de los otros teoremas de la teora demostrados anteriormente.

(ii) Disjuncion de los casos: para probar que P = Q, se descompone P en laforma P1 Pn, y se prueba que para cadai {1, . . . , n}, es Pi= Q.

Es decir, se descompone el conjuntoAde los elementos que cumplen P en una uniondisjunta (definicion1.13) de subconjuntos A1, , An. Entonces, se prueba que para cada1in esAiB ; y comoA = A1 An, se tendraAB .

Ejemplo 1.1. Probar que sinN, entoncesn(n + 1) es par.Demostracion: Distinguimos dos posibilidades: sin es par, existekN, tal quen = 2k,y entoncesn(n+ 1) = 2k(2k+ 1). Sin es impar, existek N, tal quen = 2k+ 1, yentoncesn(n + 1) = (2k+ 1)(2k+ 2) = 2(2k+ 1)(k+ 1), que es claramente par.

(iii) Metodo de contraposicion: para probar que P = Q, se demuestra el con-trarecproco no-Q =no-P.

Es un primer metodo de prueba indirecta. Descansa sobre el hecho de que la inclusion

AB es equivalente a decir que los conjuntos complementarios (definicion1.13) verifi-can la inclusionBc Ac.

Ejemplo 1.2. Probar que sinN es tal quen2 es par, entoncesnes par.Demostraci on: Si n

N es impar, entoncesn2 es impar.

(iv) Demostracion por reduccion al absurdo: para probar un enunciado P, se

supone su negacion no-P, y se busca una contradiccion en la teor a en la que se tra-

baja.

Como evidentemente se admite que esta teora no admite contradicciones, la suposi-

cion no-P sera falsa, lo cual es equivalente a decir que P es cierta. A que contradiccion

se debe llegar? A contradecir un axioma, un teorema anteriormente probado o la propia

suposicion no-P.


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De modo similar, para probar que P = Q razonando por reduccion al absurdo, seadmite lo contrario, es decir, que no-(P = Q), o lo que es equivalente, P y no-Q. Y sebusca entonces encontrar una contradiccion.

(v) El contraejemplo: para probar que un propiedad matematica P es cierta para un

conjuntoX, hay que probar que todos los elementos deXla verifican. Pero, se sabe quela negacion de(xX, P(x))es(xX, no-P(x)). As, para probar que esta formulaes falsa, basta con encontrar un elemento de Xque no verifique P: esto es lo que se llamadar un contraejemplo.

Ejemplo 1.3. SixR, es cierto que sixx2, entonces esx1?Demostraci on: La respuesta es falsa, tomandox=2.

(vi) La demostracion por recurrencia: este tipo de demostracion esta ligada a la

definicion del conjunto de los enteros naturales. Es una tecnica util para probar que una

propiedad P(n) es cierta para todos los enteros naturales n, o para los que son igualeso superiores a un cierton0. Seann0 un entero natural y P(n)una propiedad matematicaque depende de un entero n. Para probar que P(n) se verifica para cadan n0, bastacon probar que:

1) P(n0)es cierta,

2) demostrar, bajo la hipotesis de que P(n)se verifica paran {n0, n0+ 1, . . . k}, queP(k+ 1) es cierta.

La etapa 1) es una simple verificacion y la 2) es, de hecho, el objeto de una demostracion.

Ejemplo 1.4. Probar que para cadanN,1 + + n= n(n+1)2

.

Demostraci on: Para n = 1, es cierto que 1 = 1(1+1)2

. Si la propiedad se verifica para

n {1, . . . , k}, entonces: 1+2+ +k+(k+1)=(1+2+ +k)+(k+1)=k(k+1)2

+(k+1)=(k+2)(k+1)

2 .

Observacion 1.2. Hay una forma debil de la demostracion por recurrencia: para probarque P(n)se verifica para cadann0, basta con probar que:

1) P(n0)es cierta,

2) demostrar, bajo la hipotesis de que P(k) se verifica parak > n0, que P(k+ 1) escierta.

En este caso, para probar que P(k+ 1)se verifica, nos apoyamos solo sobre la hipotesisde que P(k)es cierta.


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1.2. Teora de conjuntos 7

1.2. Teora de conjuntosDefinicion 1.11. Unconjuntoes una coleccion de objetos, llamadoselementoso puntos.

Six es un elemento deX, se denota por x X. Analogamente, x / Xdenota la nopertenencia dex aX. Elconjunto vaco es el conjunto sin elementos.

Son conjuntos importantes en Matematicas N, Z, Q, R, .Se puede definir un conjunto:

1) por extension, nombrando todos sus elementos: por ejemplo, el conjunto de los numeros

naturales pares es

{2, 4, 6, 8,

};

2) a traves de una propiedadP valida en un universo U, que servira para caracterizarlo

{xU : P(x)}. Por ejemplo, el conjunto de los numeros naturales pares se puedeexpresar por {xN : x es multiplo de2}.

Definicion 1.12. DadosA, B X, se dice queA est a contenidoen B ,A B, si paracadaxA, es xB . Y A esigualaB,A = B , siAB y BA.Definicion 1.13. SiA, BX, se definen:

1) la interseccion deA y B, porAB ={x X : x Ax B}. Claramente,A

B

A, B.A yB se dicendisjuntossiA

B=

;

2) launi ondeA yB , porA B ={xX :xA xB}. Es decirxA B, sise verifica una (y solo una) de las condiciones siguientes:

(i)xA yxB ,(ii)xA yxB ,(iii)xA yxB .

Claramente,A, BA B;

3) el complementariode A en X, porX A ={x X : x A}. Si no hay duda derespecto a que conjunto se esta tomando el complementario, se suele denotar porAc;

4) ladiferenciadeA yB , porA B =A Bc ={xX :xA xB}.Proposicion 1.5. Las anteriores operaciones verifican las siguientes propiedades:

1) leyes idempotentes:A A= A = A A;2) leyes asociativas:(A B) C=A (B C)y(A B) C=A (B C);


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3) leyes conmutativas:A B=B AyA B=B A;4) leyes distributivas: A(BC) = (AB)(AC)y A(BC) = (AB)(AC);5) identidades:A X=A = A ,A X=XyA =;6) propiedades del complementario:A Ac =X,A Ac =,(Ac)c =A yXc =;7) leyes de De Morgan:(A B)c =Ac Bc y(A B)c =Ac Bc.

Definicion 1.14. Se llamapartes deXo conjunto potencia deXal conjunto de todos lossubconjuntos deX, y se denota por

P(X)o2X. Es decir,A

Xsi y solo siA

P(X).

Definicion 1.15. A B ={(a, b) :aA bB} es elproducto cartesianodeA porB. Sus elementos sonpares ordenados.

Claramente,AB= BA. YAB =, si y solo si A = oB =. Dos paresordenados(a1, b1), (a2, b2)A B, son iguales(a1, b1) = (a2, b2)si y solo sia1=a2yb1 = b2. Luego,(a1, b1)= (a2, b2)si y solo sia1=a2o b1=b2.

En general, dada una familia finita de conjuntos {A1, , An}, se define su productocartesiano por

n

i=1Ai = A1 An ={(a1, , an) : ai Ai, i {1, , n}}. Si

Ai=A para cadai {1, , n}, el producto cartesiano se denota porAn.Proposicion 1.6. El producto cartesiano verifica las siguientes propiedades:

1)A (B C) = (A B) (A C);2)A (B C) = (A B) (A C);3) siC= yA C=B C, entoncesA = B;4)A (B C) = (A B) (A C);5)(A B) (C D) = (A C) (B D);6)(A B)c = (Ac Bc) (Ac B) (A Bc);7) siBC, entoncesA BA C;8)(A B) (C D) = (A D) (C B);9) siA, B,CyD son conjuntos no vacos, entoncesA BC Dsi y solo siAC

yBD.


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1.3. Funciones y sus propiedades 9

Definicion 1.16. Sea I= unconjunto de ndices. Se considera una familia de conjuntos{Ai : i I}, y se dice que esta familia estaindicadapor I. Los conjuntosAi no tienenporque ser diferentes.

Definicion 1.17. Dada una familia indicada {Ai : iI}, conAiX, se define:1) la interseccion generalizada

iI

Ai ={xX :iI , xAi}, y

2) launi on generalizadaiI

Ai={xX :iItal quexAi}.

Si el conjunto de ndicesIes finito, estas definiciones coinciden con las dadas en ladefinicion1.13.Se cumplen tambien en este caso las propiedades distributivas, las leyes

de De Morgan

iI

Ai

c=iI

Aci y

iI

Ai

c=iI

Aci ,etc.

1.3. Funciones y sus propiedades

Definicion 1.18. Dados dos conjuntosX eY, una aplicaciono funcionf: XY, esuna correspondencia que asocia a cada x X, un elemento y solo uno de Y, que sedenota porf(x).

Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de aplicaciones son:

1) laaplicacion identidad,1X: XX, definida por1X(x) =x;2) laaplicacion inclusion: siAX,iA : AX, se define poriA(x) =x;3) laaplicacion constante,cy0 :XY, definida porcy0(x) =y0, dondey0es un punto

fijo deY;

4) la i-esima proyeccion coordenada,pi : A1 AnAi, definida por la igualdadpi((a1,

, an)) =ai;

5) lainyeccion diagonal,d : XXn, definida pord(x) = (x, , x);6) lafuncion caracterstica de un conjunto: siAX,A :X{0, 1}, definida por

A(x) =

0 si xA1 si xA

7) dadaf: XY yAX, larestriccionde f aA,f|A : AY, esta definida porf|A(a) =f(a);


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8) sig : AY yAX, entoncesf: XYes unaextensiondeg aX, si f|A=g;una aplicacion puede tener varias extensiones;

9) sif: AY yg :B Yson dos aplicaciones, dondeA B=Xyf(x) =g(x),para cadaxA B, se puede definir la combinadade f yg, como la aplicacionh : XYdefinida por

h(x) =

f(x) si xAg(x) si xB

Definicion 1.19. Dada una aplicacionf: X

Y,Xse llama eldominiodefeYes su

codominio. Elgrafo de f es el conjuntoGf ={(x, f(x)) : x X} X Y, que enmuchas ocasiones se identifica conf.

Definicion 1.20. Dos aplicacionesf: XY yg : ZW soniguales, cuando coin-ciden sus dominios (X=Z), sus codominios (Y =W) yf(x) =g(x), para cadaxX.Por ejemplo, sif: XYes una aplicacion y AX,f yf|Ano son iguales.Definicion 1.21. Dadaf: XY,f(A) ={y Y :a Atal quef(a) = y}es laimagen directadeA.f(X)se llamarangode la aplicacion.

Definicion 1.22. SiB

Y,f1(B) =

{x

X :f(x)

B

}es suimagen recproca.

Proposicion 1.7. Dadaf: XY, se verifica:1)f() =,f(X)Y y si A=, entoncesf(A)=;2) siA1, A2X, y A1A2, entoncesf(A1)f(A2);

3) SiAiXparaiI,f

iI

Ai

=iI

f(Ai)yf

iI

Ai

iI

f(Ai);

4) si A1, A2

X, f(A1)

f(A2)

f(A1

A2) y en particularf(X)

f(A2)

f(X A2). EntreY f(A2)yf(X A2)no hay en general ninguna relacion;5)f1() =, y puede existir =BY, tal quef1(B) =;6)f1(Y) =X;

7) siB1, B2Y yB1B2, entoncesf1(B1)f1(B2);

8) siBiY paraiI,f1

iI

Bi

=iI

f1(Bi)yf1

iI

Bi

=iI

f1(Bi);


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1.3. Funciones y sus propiedades 11

9) Si B1, B2Y, f1

(B1B2) =f1

(B1)f1

(B2), y en particular, f1

(YB2) =X f1(B2);10) siAX,Af1(f(A));11) siBY,f(f1(B)) =f(X) BB;12) siAXyBY,f(A f1(B)) =f(A) B.

Definicion 1.23. Dadasf: XY yg : YZ, se define lacomposiciondeg yf, porg f: XZ, donde(g f)(x) =g(f(x)), para cadaxX.

Proposicion 1.8. Seanf: XY,g : YZyh : ZW aplicaciones, entonces:1) la composici on de funciones es asociativa:h (g f) = (h g) f;2)f 1X=f y1Y g=g;3) siCZ, es (g f)1(C) =f1(g1(C));4) sif: XY yg : YX, en general,f g=g f.

Definicion 1.24. Se dice que f: XY es sobreyectiva, sif(X) = Y, es decir, paracaday

Y, existex

X, tal quef(x) = y. Y es inyectiva, si dadosx1

= x2 enX, es

f(x1)=f(x2)(o equivalentemente, sif(x1) =f(x2), entoncesx1 = x2).Proposicion 1.9. Seaf: XY, entonces:

1)B =f(f1(B))para cadaBY, si y s olo sifes sobreyectiva;2)Y f(A)f(X A)para cadaAXsi y solo sifes sobreyectiva;3) sig, h : YZy fes sobreyectiva, entoncesg f=h fimplica queh = g;4) sig :YXyf g= 1Y, entoncesfes sobreyectiva;

5)A = f1

(f(A))para cadaAX, si y solo sifes inyectiva;

6)f

iI

Ai

=iI

f(Ai) para cada familia indicada de conjuntos{Ai X}iI si ysolo sifes inyectiva;

7) sifes sobreyectiva, entonces para cadaAXesY f(A) =f(X A)si y s olosifes inyectiva;

8) sig, h : ZXyfes inyectiva, entoncesf g=f himplica queh = g;


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9) sig :YXyg f= 1X, entoncesfes inyectiva.Definicion 1.25. f: XY es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. En talcaso, la correspondencia definida por f1 : YX, donde f1(y) = x si y solo sif(x) =y, es una funcion.

Proposicion 1.10. Seaf: XY, entonces:1) sifes biyectiva, entoncesf1 tambien lo es;

2) sifes biyectiva, entoncesf1 f= 1X,f f1 = 1Y y(f1)1 =f;

3) sig :YXyg f= 1Xyf g= 1Y, entoncesfes biyectiva yg = f1

;

4) sif: XY yg :YZson biyectivas, entoncesg flo es y ademas(g f)1 =f1 g1.

1.4. Relaciones binarias

Definicion 1.26. Dado un conjuntoX, unarelacion binariaes R X X. R se llama:1)reflexiva, si para cadaxX, es (x, x) R;

2)simetrica, si dado(x, y) R, entonces(y, x) R;3)antisimetrica, si (x, y) R e(y, x) R implica quex = y;4) transitiva, si dados(x, y), (y, z) R, entonces(x, z) R.

Definicion 1.27. Una relacion deequivalenciaes una relacion binaria reflexiva, simetrica

y transitiva. Se suele denotar porxRyen vez de(x, y) R.Definicion 1.28. Dada R una relacion de equivalencia, se llama clase dex al conjunto[x] ={y X : xRy}. Elconjunto cocienteX/R, es el conjunto de todas las clases deequivalencia.

Proposicion 1.11. Algunas propiedades son:

1)x[x](xse llama representante de su clase), luego[x]=;2)xRysi y s olo si[x] = [y];

3)[x]= [y]si y solo si[x] [y] =.Definicion 1.29. Unaparticionde Xes una familiaP ={Pi : i I}de subconjuntosno vacos deX, tales que:


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1.5. Propiedades de los numeros reales 13

(i)X= iI

Pi, y

(ii) siPi=Pj , entoncesPi Pj =.Lema 1.12. Es equivalente dar una particion de X que una relacion de equivalenciasobreel.

Definicion 1.30. Existe una aplicacion canonica, p : XX/R, que asigna a cada ele-mento x su clase de equivalenciap(x) = [x]. Se llamaaplicacion cocientey es sobreyecti-va. Una vez dada la aplicacion cociente, cada clase de equivalencia enXes precisamentep1(p(x)).

Definicion 1.31. Una relacion sobreXes unorden parcialsi es una relacion reflexiva,antisimetrica y transitiva. Se dice tambien queX esta parcialmente ordenado. El ordense llamatotal, si dos elementos cualesquiera deXson comparables por esta relacion.

Definicion 1.32. SiXesta parcialmente ordenado por , entonces:(i)aXse llamaelemento maximodeX, si para cadaxX, es xa;(ii)aXes unelemento maximaldeX, si ax para cadax=a;

(iii)aXse llamaelemento mnimodeX, si para cadaxX, es xa,(iv)aXes unelemento minimaldeX, si xa para cadax=a.

Ejemplo 1.5. Si X ={a,b,c} con el orden parcial a b y a c, entonces b es unelemento maximal deX, pero no un maximo.

Definicion 1.33. Un conjunto parcialmente ordenado en el cual todo A Xno vacoposee un elemento mnimo, se llama conjunto bien ordenado. Por ejemplo, (Z, ) noesta bien ordenado.

1.5. Propiedades de los numeros reales

(R, )es un conjunto totalmente ordenado, donde denota el orden usual en R.Definicion 1.34. SiAR, se tiene:

1) siuR es tal queau para cadaaA, se dice queu es unacota superiordeA;2) la menor de las cotas superiores deA (es decir,u es cota superior deA y para cadaz

cota superior deA eszu) es elsupremodeA, y se denotasup(A);


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3) silR es tal queal para cadaaA, se dice quel es unacota inferiordeA;4) la mayor de las cotas inferiores de A (es decir,l es cota inferior de A y para cadaz

cota inferior deA eszl) es elnfimodeA, y se denota nf(A).Teorema 1.13. (Axioma de la cota superior) SiAR est a acotado superiormente (esdecir, existeM R, tal queM a, para cadaaA), existe el supremo deA. Y en talcaso,s = sup(A)si y solo si:

(i) para cadaaA, es as, y(ii) para todo >0, existeaA tal quea> s .

Del axioma anterior, se deduce que:Corolario 1.14. SiA R esta acotado inferiormente (es decir, existe m R, tal quema, para cadaaA), existe elnfimo deA. Y entonces,i = nf(A)si y solo si:

(i) para cadaaA, es ai, y(ii) para todo >0, existeaA tal quea< i + .

Teorema 1.15.R es arquimediano, es decir, el conjuntoN no est a acotado superiormente.

Demostracion: Si lo estuviera, existira r0 R, tal que n r0 para cadan N. Peron0 = [r0] + 1N, yn0r0.

Del teorema1.15se deducen inmediatamente:

Corolario 1.16. (Propiedad arquimediana) Para todo x > 0, existen N, tal que0< 1

n< x.

Corolario 1.17. (Densidad de los racionales) Dados dos numeros realesx < y, existerQ, tal quex < r < y.Demostracion: Por la propiedad arquimediana (corolario 1.16), existe n0 N tal que1n0

< yx. El conjunto M ={m N : x < mn0

} es no vaco y esta bien ordenado,es decir, existem0 Mtal quex < m0n0 yx m01n0 . Es inmediato probar que ademasm0n0

< y.

Corolario 1.18. (Propiedad de los intervalos de encaje) Dada{[an, bn] : n N}, unafamilia de intervalos cerrados y encajados (es decir, sin m, es[am, bm] [an, bn]),entonces

nN

[an, bn]=.

Demostraci on: Para cada m, n N, esan < bm, luego para todo m N, bm es cotasuperior del conjuntoA ={an}nN. Si p= sup(A), es claro quep

nN

[an, bn].


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1.6. Cardinalidad de conjuntos 15

1.6. Cardinalidad de conjuntosDefinicion 1.35. Dos conjuntos se llaman equipotentes, si existe una correspondencia

biyectiva entre ellos.

Definicion 1.36. Xse dicefinitosi existenN, tal queXes equipotente a {1, , n}.Xesinfinito, si no es finito, lo cual equivale a decir que es equipotente a un subconjuntopropio de s mismo. X es numerable si es equipotente a N y es contable si es finito onumerable.

Observacion 1.3. Dos conjuntos finitos son equipotentes si y solo si poseen el mismo

numero de elementos. No sucede lo mismo siXes infinito: N es equipotente al conjuntoP de los numeros pares, y sin embargo PN.Lema 1.19. La relaci on de equipotencia es una relaci on de equivalencia.

Definicion 1.37. A cada clase de equipotencia se le puede asignar un numero cardinal,

que es un objeto matematico tal que existe un conjuntoXconCard(X) =.

Definicion 1.38. Un conjuntoA es de potencia menor o igual queB , si existe una apli-cacion f:AB inyectiva, con lo cual Card(A) Card(B) (equivalentemente, siexiste una aplicacionf:B Asobreyectiva).Definicion 1.39. Dados dos numeros cardinales1 y 2, se dice que12, si existenconjuntosX eY conCard(X) = 1 yCard(Y) = 2 y tales que la potencia de X esmenor o igual a la potencia de Y. Se trata de una relacion de orden. Si 12y 1=2,se dice que1es estrictamente menor que2.

Proposicion 1.20. Se verifican las siguientes propiedades:

1) siXes contable yAX, entoncesA es contable;2) siXno es contable yXY, entoncesYno es contable;3) siXes infinito, existeAX, numerable y propio.

Teorema 1.21. NN es numerable.Demostraci on: Se define la siguiente relacion binaria: dados(m1, n1), (m2, n2)NN,(m1, n1)(m2, n2)si:

1)m1+ n1 < m2+ n2, o

2)m1+ n1 = m2+ n2y m1 < m2.


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es un orden total, gracias al cual se pueden escribir los elementos de NN en una lista.La aplicacionf: NNN dada porf(m, n) = 1

2(m + n1)(m + n2) + m, asigna

a cada elemento(m, n) N Nel lugar que ocupa en esta lista, y es por lo tanto unabiyeccion.

Corolario 1.22. Del teorema1.21se deduce:

1) el producto cartesiano de una familia finita de conjuntos contables, es contable;

2) la uni on de una familia contable de conjuntos contables es contable;

3) Z y Q son numerables.

Demostraci on: Para probar 3), basta con usar 2). Z = N {0} N. Ademas, Q ={m

n : m Z, n N} se puede escribir como la union numerable Q =

nN

An, donde

An={mn :mZ}, que es equipotente a Z.

Contraejemplo 1.3. R no es numerable.

Demostraci on: Basta con demostrar que[0, 1] no es numerable. Si lo fuera, se escribira

[0, 1] ={xn}nN. Se construye una sucesion de intervalos encajados del modo siguiente:x1 no puede pertenecer a los tres intervalos

0, 1

3

,13

, 23

y23

, 1

. SeaI1 = [a1, b1]unode estos tres intervalos, tal que x1 I1. Se divide I1 en tres intervalos de amplitud 19 :

a1, a1+ 13

,

a1+ 13

, a1+ 23

y

a1+ 13

, b1

. De nuevo, existe uno de ellosI2 I1, talque x2 I2. Se continua de manera inductiva, obteniendo una sucesion de intervalosencajados{In}nN, cada In de longitud 13n y tal que xn In. Por la propiedad de losintervalos de encaje (corolario1.18), existep

nN

In[0, 1], lo que es imposible.

ElCard() = 0, es el cardinal mnimo. Sin embargo no existe un cardinal maximo:

Teorema 1.23. (de Cantor)Para cada conjuntoX,Card(X)< Card(P(X)).

Demostraci on: Si X =, Card(P(X)) = 1, puesP(X) ={}. Si X=, es ob-vio que Card(X) Card(P(X)), porque la aplicacion h : XP(X) definida porh(x) ={x} es inyectiva. Supongamos queCard(X) = Card(P(X)), es decir, existeuna aplicacionf: XP(X)biyectiva. SeaA ={x X : x f(x)} P(X). Co-mo fes sobreyectiva, existe x0 X tal que f(x0) = A. Si x0 A, esto significaraque x0 f(x0) = A, lo cual es imposible. Luego, es x0 A, lo cual significa quex0f(x0) =A, imposible de nuevo.


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1.7. Ejercicios 17

En particular, Card(N) =0 < Card(P(N) ) = 20

(notacion que proviene dela propiedad descrita en el ejercicio 9 del apartado 1.7). Puede probarse que 20 =Card(R) =c, que se llama elcardinal del continuo. De aqu se concluye que 0 < c.

Desde principios de siglo, se ha intentado en vano establecer si existe un n umero

cardinal 1, entre 0y c. Georg Cantor (1845-1918) hace la siguiente conjetura:Teorema 1.24. (Hipotesis del continuo)c =1, es decir, no existe ningun conjuntoA,tal que 0 < Card(A)< c.Paul Joseph Cohen (1934-2007) establece en 1963 que la hipotesis del continuo es in-

decidible: anadiendo como axioma su veracidad o su falsedad, los fundamentos de laMatematica siguen siendo coherentes.

1.7. Ejercicios

1.-Con ayuda del lenguaje simbolico, decidir si son correctas las siguientes deducciones:

a) Los gusanos reptan. Todo lo que repta se mancha. Luego, los gusanos estan sucios.

b) Si aumenta la temperatura o cae un meteorito, los osos polares moriran de hambre. Se

sabe que los osos polares van a sobrevivir, por lo tanto, caera pronto un meteorito.

c) Ninguna pelota de tenis es de cristal. Ningun objeto de cristal es indestructible. Luego,

ninguna pelota de tenis es indestructible.

d) Si se abandona la utilizacion de gasolina o se incrementa el uso de energa solar,

la contaminacion disminuira. Si se abandona el uso de gasolina, el pas entrara en

crisis. La utilizacion de la energa solar no aumentara, a no ser que no haya crisis.

Por lo tanto, la contaminacion no va a disminuir.

e) Los profesores son sadicos. Algunos sadicos usan latigo. Por lo tanto, algunos profe-

sores usan latigo.

f) Los caramelos son dulces. Ningun alimento dulce contiene sal. Luego, los caramelos

no contienen sal.

g) Los pajaros silban. Algunos habitantes de Nicaragua son pajaros. Luego, algunas cria-

turas de Nicaragua silban.

h) Si no trabajo duro, me dormire. Si estoy preocupado, no dormire. Por lo tanto, si estoy

preocupado, trabajare duro.


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i) Las nubes son esponjosas. Algunos objetos esponjosos son rosas. Luego, algunasnubes son rosas.

j) Los osos polares tocan el violn. Los violinistas no vuelan. Por lo tanto, los osos

polares no vuelan.

k) Las tortugas ven CSI-Las Vegas. Algunas criaturas de Galapagos son tortugas. Por lo

tanto, algunos habitantes de Galapagos ven CSI-Las Vegas.

l) Las polillas salen de noche. Algunos caminantes nocturnos son vampros. Por lo tanto,

las polillas son vampros.

m) Si Thor se enfada, hay tormentas. Esta comenzando una tormenta. Por lo tanto, Thor

esta enfadado.

n) Si en Marte hubiera grandes cantidades de agua, podra haber vida. No hay grandes

extensiones de agua en Marte. Por lo tanto, no hay vida en Marte.

n) Los buenos polticos son honestos. Juan es honesto. Juan sera un buen poltico.

o) Algunas personas no beben cafe. Los matematicos son humanos. Por lo tanto, algunos

matematicos no beben cafe.

p) Ningun elefante sabe tricotar. Yo no se tricotar. Luego, soy un elefante.

q) Algunos poetas son nerviosos. Hay gente nerviosa que se come las unas. Luego,

algunos poetas se comen las unas.

r) Si hago estos ejercicios, aprendere logica. Ya he terminado de hacerlos... Se logica!

2.-Negar los siguientes enunciados:

a) Los polticos son gordos y feos. b) Hay un matematico que sabe sumar.

c) Algunas personas de Estel tienen paraguas. d) El Athletic ganara la Liga.

e) Nadie en Managua habla swahili. f) Al menos dos faraones egipcios eran ciegos.

g) A veces, llueve en El Sahara. h) Siempre hace fro en Groenlandia.

i) Ni Alejandro Magno, ni Julio Cesar eran pelirrojos. j)AB .k)xA oxB . l)xA yxB . m)xA, peroxB .n) para cadaiI, es xAi. o) existeiI, tal quexAi.


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1.7. Ejercicios 19

3.- SeaXel conjunto de los estudiantes de la Facultad de Ciencias de la UNAN Man-agua,Hel conjunto de los hombres,Mel de la mujeres,Cel de los estudiantes que vancaminando a la Universidad,A el de los estudiantes que van en autobus a la Universidad,Eel de los estudiantes de Matematicas yFel de los estudiantes de Fsicas. Describir lossiguientes conjuntos:X H,X M,X C,X A,X E,X F,H C,H A,H E,H F,M C,M A,M E,M F,C A,C E,C F,A E,A F,E F,M H,H M,H C,H A,H E,H F,H M,M H,M C,MA,M E,M F,C A,C E,C F,A C,A M,A H,A E,A F,E H,E M,E C,E AyE F.4.-Cuatro companeros han faltado a la clase de Matematicas en el Instituto. Delante del

Jefe de Estudios y en presencia de su profesor, se defienden del modo siguiente:Pedro: No he faltado.

Elena: Lo admito, he faltado, pero estaba con Juan.

Juan: Yo tambien he faltado; pero no estaba con Elena, sino con Pedro.

Mar a: Yo estaba en clase, pero no he visto a Pedro.

El profesor: Estaba concentrado en mis cosas, pero he visto a Pedro en clase.

Puedes ayudar al Jefe de Estudios, sabiendo que solo tres de estas sentencias son ciertas?

5.-Traducir las siguientes frases del lenguaje natural en un lenguaje simbolico utilizando

una o varias propiedades P. Negar cada enunciado y traducirlo al lenguaje natural:

a) Una puerta esta abierta o cerrada. b) Las verdades son faciles de decir.

c) Ser o no ser. d) Prefiero la poesa a la novela historica.

6.-Probar la siguiente propiedad: Si xR y para cada >0, es |x|< , entoncesx= 0.7.-Dado el conjuntoA ={a, b}, son validas las siguientes expresiones?

(i)aA; (ii) {a} A; (iii) A; (iv) {a} P(A); (v) P(A).8.- Sean A, B y C tres conjuntos finitos, de cardinales a, b y c, respectivamente. Seap = Card(AB),q = Card(BC),r = Card(AC) y s = Card(ABC).Calcular el cardinal deA B,A C,B Cy A B C.9.-Se pide:

a) calcular P(X), si X={1, 2},X={} yX={1, 2, 3, 4};b) probar que siCard(X) =n, entoncesCard(P(X)) = 2n;c) probar que siAB , entonces P(A) P(B). Es cierto el recproco?

10.-SiA, BX, probar que son equivalentes las siguientes expresiones:


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(i)AB ; (ii)A B=A; (iii)A B=B ;(iv)Bc Ac; (v)A Bc =; (vi)B Ac =X.

11.-Probar las propiedades siguientes para conjuntos, dando un contraejemplo en el caso

de inclusion estricta:

a)A

iI

Bi

=iI

(A Bi); b)A

iI

Bi

=iI

(A Bi);

c)A

iIBi = iI(A Bi); d) iIAi jJBj = (i,j)IJ(Ai Bj);e)

iI

Ai

jJ

Bj

=

(i,j)IJ

(Ai Bj); f)

(i,j)I2

(Ai Bj)iI

(Ai Bi);

g)

iI

Ai

iI

Bi

iI

(Ai Bi); h)iI

(Ai Bi)

(i,j)I2

(Ai Bj);

i) iIAi

jJ

Bj=

(i,j)IJ(Ai Bj);

j)

iI

Ai

jJ

Bj

=

(i,j)IJ

(Ai Bj); k)

iI

Ai

iI

Bi

=iI

(Ai Bi);

l)

iI

Ai

jJ

Bj

=iI

jJ

(Ai Bj); m)

iI

Ai

jJ

Bj

=iI

jJ

(Ai Bj).

12.-Para cada uno de los siguientes conjuntos de ndicesIy cada familia dada de con-juntos indicados porI, hallar los conjuntos pedidos:

a) siI= R2 y parapI,Sp ={p}, hallar pI

Sp;

b) siI= (0, )y paraxI,Cx = [0, x], hallarxI

CxyxI

Cx;

c) siI =12

, 1

y parar I,Br es el crculo de centro(0, 0)y radior, hallarrI

Br yrI

Br;


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1.7. Ejercicios 21

d) siI= (0, 1)y pararI,Nr es el interior del crculo de radiory centro(0, 0), hallarrI

Nr yrI

Nr;

e) siI= [1, 2]y paraxI,Ax= [x2 , 3x2], hallarxI

Ax yxI

Ax;

f) siI= N y paranI,An = 1

n, 1n

, hallar

nI

An ynI

An;

g) siI= N y paranI,Bn = ( 1n , 1], hallar nIBn y nI

Bn;

h) siI= N y paranI,Cn= (n, n), hallarnI

Cn ynI

Cn.

13.-DadosA, BX, probar:a)AB =A.B; b)AB =A+ B AB;c)AB =A AB; d)Ac = 1 A.

14.-Seanf:XY yg :YZdos aplicaciones. Probar:

a) sifygson sobreyectivas, entoncesg ftambien lo es, pero el recproco no es cierto;b) sig fes sobreyectiva, entoncesg tambien lo es, pero el recproco no es cierto;c) sig fes sobreyectiva yg es inyectiva, entoncesfes sobreyectiva;d) sifyg son inyectivas, entoncesg ftambien lo es, pero el recproco no es cierto;e) sig fes inyectiva, entoncesf tambien lo es, pero el recproco no es cierto;f) sig fes inyectiva yfes sobreyectiva, entoncesg es inyectiva.

15.-Seaf: XY; probar:a) si existeg : YX, tal queg f= 1X, entoncesfes inyectiva;b) si existeh :YX, tal quef h= 1Y, entoncesfes sobreyectiva;c)fes biyectiva si y solo si existeng, h : YX, tales queg f = 1X,f h= 1Y y

en tal casoh = f1 =g .

16.-Sean dos conjuntos X1, X2y para cada i {1, 2}, AiXi. Seapi : X1 X2Xila i-esima proyeccion coordenada. Probar las siguientes propiedades:


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a)A1 X2 = p11 (A1),X1 A2 = p

12 (A2)yA1 A2=p

11 (A1) p

12 (A2);

b) siAX1 X2, entoncesAp1(A) p2(A);c)pi(A1 A2) =Ai (i {1, 2}).

17.-Seanf, g : RR, dadas por:

f(x) =

x2 si x0

2 si x 2} yB2=N;

d)f(x) =x3 3x,A1 = [0, ),B1= (0, 2)yB2 ={2}.22.-Dadosx, yR, utilizando el caracter arquimediano de R, probar:

a) six >0 ey >0, existenN, tal quenx > y;b) six >0, existenN, tal que0 < 1

n< x;

c) six >0, existenN, tal quen 1x < n.


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Captulo 2

Espacios metricos

2.1. Definicion de espacio metrico

2.1.1. Definicion de distancia

Un espacio metrico es un conjunto en donde se introduce la nocion de distancia entre

sus elementos. Se intenta generalizar lo que sucede en el plano o el espacio: aqu cono-

cemos perfectamente lo que es la distancia entre dos puntos. El problema, siendo X unconjunto abstracto, es definir lo que se entiende por distancia entre dos de sus elementos

cuya naturaleza especfica desconocemos. Para abstraer el concepto dedistancia, hay quecaptar lo esencial de dicha nocion, lo que da lugar a la siguiente definicion:

Definicion 2.1. Dado un conjunto X=, unametricaodistanciasobre Xes una funciond :X XR, verificando:

(i)positividad: para cadax, yX, es d(x, y)0,(ii)propiedad identica: dadosx, yX,d(x, y) = 0si y solo six= y,(iii)simetr a: para cadax, yX,d(x, y) =d(y, x),(iv)desigualdad triangular: para cadax, y,z

X,d(x, z)

d(x, y) + d(y, z).

La expresion d(x, y) se lee como distancia de x a y, y el par (X, d) se denominaespacio metrico.

Definicion 2.2. En la definicion2.1, si se debilita la condicion (ii) reemplazandola por

(ii)* para cadaxX,d(x, x) = 0,estamos contemplando la posibilidad de que existanx= y enX cond(x, y) = 0. En-toncesd recibe el nombre depseudometrica.

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24 Captulo 2. Espacios metricos

Sobre un mismo conjunto pueden definirse distintas metricas, que dan lugar a diferen-tes espacios metricos, como se comprueba en los siguientes ejemplos.

Ejemplos 2.1. Los primeros ejemplos de espacios metricos son:

1)(X, ddis)dondeddises lametrica discretasobreX:

ddis(x, y) =

0 si x= y1 si x=y

2) el par(R, du), dondedu(x, y) =|xy|, se llama la recta real ydu es la distanciausualo eucldea;

3) sean(X1, d1), ..., (Xn, dn) una familia finita de espacios metricos. Vamos a definirlo que se denomina el espacio metrico producto de tres maneras diferentes. Sean X =X1 Xnyx= (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)X. Podemos definir tres distanciassobre X:

a)dmax : X XR definida pordmax(x, y) = max{di(xi, yi) : 1in};

b)dsum : X XR definida pordsum(x, y) =n

i=1

di(xi, yi);

c)du : X XRdefinida pordu(x, y) = n

i=1

d2i (xi, yi), es la distancia eucldea.

La unica propiedad de metrica no trivial para du es la desigualdad triangular, queen este caso recibe el nombre de desigualdad de Minkowski. Para demostrarla, es

preciso probar algunos resultados previos:

Lema 2.1. (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Dadas dos familias de n umeros reales

{ai}ni=1, {bi}ni=1, se cumple:

ni=1

(aibi) ni=1

a2i ni=1

b2i .

Demostraci on: Suponemos que

ni=1

a2i= 0=n

i=1

b2i ; en caso contrario, para todoi sera

ai= 0 =bi, y la desigualdad sera trivial. Sean, R, entonces:

0n

i=1

(ai bi)2 =n

i=1

2a2i +

2b2i 2aibi

,


31/108

2.1. Definicion de espacio metrico 25

es decir, 2n

i=1

aibi 2 ni=1

a2i +2 ni=1

b2i . Tomando = n

i=1

b2i y = n

i=1

a2i ,

queda probado el resultado.

Lema 2.2. (Desigualdad de Minkowski) En las condiciones del lema2.1,es

ni=1

(ai+ bi)2

ni=1

a2i +

ni=1

b2i

Demostraci on: Lo que se desea probar equivale a demostrar que

ni=1

(ai+ bi)2

ni=1

a2i +n

i=1

b2i + 2

ni=1

a2i

ni=1

b2i ,

es decir, simplificando

ni=1

(aibi) n

i=1

a2i

ni=1

b2i , que es el lema2.1.

Observacion 2.1. Comprobar la desigualdad triangular del ejemplo 2.13c), equivale aprobar que n

i=1

d2i (xi, zi) n

i=1

d2i (xi, yi) +

ni=1

d2i (yi, zi);

para ello basta con tomarai=di(xi, yi)ybi=di(yi, zi)en la desigualdad de Minkowski(lema2.2) y utilizar la desigualdad triangular para las metricasdi,1in.

Las tres metricas del ejemplo2.13) estan muy relacionadas, en el sentido dado en la

siguiente definicion:

Definicion 2.3. SeaXun conjunto no vaco yd1, d2 dos metricas sobreX. Se dice qued1 es metricamente equivalentead2, si existen, 0 tales que0 < < y para cadax, yXes

d1(x, y)d2(x, y)d1(x, y).Lema 2.3. La relaci on ser metricamente equivalente a es una relacion de equivalencia

sobre el conjunto de todas las metricas sobreX.

Gracias a este lema, decimos sencillamente qued1 yd2 son distancias m etricamenteequivalentesy que(X, d1)y(X, d2)son espaciosmetricamente equivalentes.


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Proposicion 2.4. Las metricasdmax,dsumydudel ejemplo2.13) son metricamente equi-valentes, y cualquiera de los tres espacios asociados se llamaespacio metrico producto

de la familia {(Xi, di) : 1in}.Demostraci on: dmax(x, y) dsum(x, y). Y dsum(x, y) ndmax(x, y). Luego dmax ydsum son metricamente equivalentes. Por otro lado,dmax(x, y) du(x, y). Ydu(x, y)

ndmax(x, y). Luego dmaxy duson metricamente equivalentes. Por tratarse de una relacionde equivalencia, se deduce quedsumy duson tambien metricamente equivalentes.

Ejemplos 2.2. En particular, sobre Rn puede definirse la metrica producto inducida por la

usual sobre la recta (denotamos los puntos por x= (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)Rn):a)dmax : R

n RnR definida pordmax(x, y) = max{|xi yi|: 1in};

b)dsum : Rn RnR dada pordsum(x, y) =

ni=1

|xi yi|;

c) ladistancia eucldea du : Rn RnRdefinida pordu(x, y) =

ni=1

|xi yi|2. Elpar(Rn, du)se llamaespacio eucldeo de dimensionn.

dsum(x, y), du(x, y), y dos ejemplos dedmax(x, y)

Proposicion 2.5. Sean(X, d)un espacio metrico yx, y, z, wX. Entonces

|d(x, z) d(y, w)| d(x, y) + d(z, w).

En particular, es |d(x, z) d(y, z)| d(x, y).Demostraci on: Aplicando dos veces consecutivas la desigualdad triangular, se tiene que

d(x, z) d(x, y) +d(y, w) +d(z, w), luego d(x, z)d(y, w) d(x, y) + d(z, w).Del mismo modo, d(y, w) d(y, x) + d(x, z) +d(w, z), luego d(y, w)d(x, z)d(y, x) + d(w, z).


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2.1. Definicion de espacio metrico 27

2.1.2. Distancia entre conjuntosDados(X, d), = AXyxX, la familia de numeros reales{d(x, y) :y A}

esta acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, existe nf{d(x, y) :yA} 0, se denotapord(x, A)y se llamadistancia dexaA.

Ejemplo 2.1. SixA, es claro qued(x, A) = 0. El recproco no es cierto: en(R, du), siA= (0, 1)yx= 0, es xA, perodu(A, x) = 0.Proposicion 2.6. Sean un espacio metrico(X, d), = A X yx0, y0 X. Entonces,es |d(x0, A) d(y0, A)| d(x0, y0).

Demostraci on: Para cada x A es d(x0, x) d(x0, y0) + d(y0, x), por lo tanto esd(x0, A) d(x0, y0) +d(y0, x) para cadax A. As,d(x0, A) d(x0, y0) es una cotainferior de la familia {d(y0, x) :xA}, con lo qued(x0, A) d(x0, y0)d(y0, A). Demodo similar se demuestra la desigualdadd(y0, A) d(x0, y0)d(x0, A), con lo que seobtiene el resultado deseado.

Dados(X, d)y =A, BX, la familia de numeros reales {d(a, b) :aA, bB}esta acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, existe nf{d(a, b) :aA, bB} 0, sedenota pord(A, B)y se llamadistancia deA aB .

Ejemplo 2.2. Si A

B

=

, es claro que d(A, B) = 0. El recproco no es cierto: en

(R, du), los conjuntosA = (0, 1)yB = (1, 0)son disjuntos, perodu(A, B) = 0.Proposicion 2.7. Dados(X, d) y = A, B X,d(A, B) = nf{d(A, y) : y B} =nf{d(x, B) :xA}.Demostraci on: SeaxA. Para cadayB esd(A, B)d(x, y). Luegod(A, B)es cotainferior de la familia {d(x, y) :yB}, y as d(A, B)d(x, B). Luego, para cada xAes d(A, B)d(x, B), con lo que d(A, B) es cota inferior de la familia {d(x, B) :xA},y entonces d(A, B) nf{d(x, B) : x A}. Por la definicion de d(A, B), para cada >0, existe xA, yB tal que d(A, B)+ > d(x, y). Como d(x, B)d(x, y),esd(x, B) < d(A, B) + para cada > 0. Como nf

{d(x, B) : x

A

} d(x, B),

concluimos que para cada > 0 es nf{d(x, B) : x A} < d(A, B) +, es decir,nf{d(x, B) :xA} d(A, B).

2.1.3. Isometras

Definicion 2.4.Sean (X, d) e (Y, ) espacios metricos. Una isometr a entre (X, d) e (Y, )es una aplicacion biyectivaf: (X, d)(Y, )que preserva la distancia, es decir, paracadaa, bX, esd(a, b) =(f(a), f(b)). Se dice que(X, d)esisometricoa(Y, ).


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Proposicion 2.8. La relacion ser isometrico es una relacion de equivalencia sobre lafamilia de espacios metricos.

As, podemos hablar sencillamente de espacios metricos isometricos. Dos espacios

metricos isometricos pueden diferir en la naturaleza especfica de sus puntos, pero son

indistinguibles en cuanto a su comportamiento como espacios metricos.

2.2. Bolas abiertas y cerradas. Esferas

Definicion 2.5. Sea(X, d)yr >0. Se llama:

1)bola abiertade centroxy radior, al conjuntoB(x, r) ={yX :d(x, y)< r};2)bola cerradade centrox y radior, al conjuntoB(x, r) ={yX :d(x, y)r};3)esferade centrox y radior, al conjuntoS(x, r) ={yX :d(x, y) =r}.

Ejemplos 2.3. Damos algunos ejemplos de bolas en algunos espacios metricos:

(i) en(X, ddis),B(x, 1) ={x},B(x, 2) =X,B(x, 1) =X,B(x, 12) ={x},S(x, 1) =X {x} yS(x, 2) =;

(ii) en(R, du), B(x, r) = (xr, x+r), B(x, r) = [xr, x+r]y S(x, r) ={xr, x+r};(iii) en(Rn, dmax), la bolaB(x, r) = (x1 r, x1+ r) (xn r, xn+ r)es el cubo

de dimensionn, centrado enx y arista2r;

(iv) en(Rn, dsum), la bolaB(x, r)es el cubo de dimensionn centrado enx, de arista2ry girado 45 grados;

(v) en(Rn, du),B(x, r)es la bola abierta de dimensionn, centrada enx y de radior.

Proposicion 2.9. En un espacio metrico(X, d), se cumplen las siguientes propiedades:

(i) para cadaxXyr >0, esB(x, r)= =B(x, r); peroS(x, r)puede ser vaca;(ii) si0 < r

s, esB(x, r)

B(x, s),B(x, r)

B(x, s),B(x, r)

B(x, s)(sir < s)

yS(x, r) S(x, s) = sis=r;(iii)B(x, r) S(x, r) =B(x, r)yB(x, r) S(x, r) =;(iv) sir1, . . . , rn>0,B(x, r1) B(x, rn) =B(x, r)yB(x, r1) B(x, rn) =

B(x, r), donder = mn{r1, . . . , rn}.Observacion 2.2. La interseccion arbitraria de bolas no tiene porque serlo; por ejemplo,

en(R, du),nN

B

0,

1

n

=nN

1

n,1

n

={0}, que no es una bola.


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2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 29

Teorema 2.10. (Propiedad de Hausdorff) En un espacio metrico(X, d), dos puntos dis-tintos se puedenseparar por bolas abiertas disjuntas.

Demostracion: Seanx= y. Entoncesd(x, y) = r > 0. Las bolasB(x, r2

)y B(y, r2

)sonobviamente disjuntas.

2.3. Conjuntos abiertos y cerrados

2.3.1. Conjuntos abiertos

Definicion 2.6. En(X, d), un subconjuntoA se diceabierto, si para cadaa A, existera > 0 (que depende solo dea) tal queB(a, ra)A.Teorema 2.11. En un espacio metrico(X, d), los conjuntosXy son abiertos.Teorema 2.12. En un espacio metrico(X, d), para cadaxXyr >0, la bola B(x, r)es un conjunto abierto.

Demostraci on: SeayB(x, r)ys= d(x, y)< r; es B(y, r s)B(x, r).

Ejemplos 2.4. Algunos ejemplos de conjuntos abiertos son:

(i) en(R, du), los intervalos abiertos son conjuntos abiertos;

(ii) en(X, ddis), cualquier conjunto es abierto.

Teorema 2.13. En(X, d), sea {Ai}iIuna familia de conjuntos abiertos. Entonces(i)iI

Ai es abierto;

(ii) siIes finito, entoncesiI

Ai es abierto.

Demostracion: (i) Six iI

Ai, existei Ital quex Ai. ComoAi es abierto, existe

rx > 0 tal queB(x, rx)AiiI

Ai.

(ii) SixiI

Ai, para cadai I esx Ai. Para todoi I, existeri > 0 tal que

B(x, ri)Ai. Si r = mn{r1, . . . , rn}, es B(x, r)iI

Ai.


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Observacion 2.3. En el teorema2.13(ii), el conjunto de ndices debe de ser finito: enefecto, en (R, du), si se toma I = N y la familia de abiertos An = ( 1n , 1n), entoncesnN

An={0}, que no es abierto.

Teorema 2.14. En(X, d),A es abierto si y s olo si es union de bolas abiertas.

Demostraci on: Por los teoremas 2.12 y 2.13, la union de bolas abiertas es un conjun-

to abierto. Y recprocamente, si A es abierto, para cada a A existe ra > 0 tal queB(a, ra)A. Es obvio queA=

aA

B(a, ra).

Observacion 2.4. No todo abierto es una bola abierta, por ejemplo, en (R, du),A= R esabierto y no es una bola abierta.

2.3.2. Topologa inducida por una metrica

Definicion 2.7. Sean un conjuntoXy una familia P(X)verificando:1) , X,2) si

{Ai

}iI

, entonces iIAi,

3) si {A1, . . . , An} , entoncesA1 An.Se dice quees unatopologasobreXy el par(X, )se llamaespacio topologico.

Como consecuencia de los teoremas2.11y2.13, se obtiene:

Proposicion 2.15. En(X, d), la familiad ={U X : Ues abierto}es una topologasobreX, llamada topologa metrica.

Ejemplos 2.5. Algunos ejemplos de topologas son:

(i) para(Rn, du), se tiene latopologa eucldeadu;

(ii) para(X, ddis),ddis =P(X)se llama latopologa discreta.Definicion 2.8. Un espacio topologico(X, )se llamametrizable, si existe una metricadsobreXtal qued=.

Observacion 2.5. No todo espacio topologico es metrizable: por ejemplo, dado(R, ind),dondeind ={,R} (la topologa indiscreta) no es metrizable, pues no se cumple lapropiedad de Hausdorff (teorema2.10).


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2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 31

Definicion 2.9. Dos metricasd1 yd2 sobreX se llaman topologicamente equivalentes,si inducen la misma topologa sobreX, y en tal caso se dice que (X, d1) y(X, d2) sonespacios metricostopologicamente equivalentes.

Lema 2.16. La relacion ser topol ogicamente equivalentes es una relaci on de equiva-

lencia en el conjunto de todas las m etricas sobreX.

Lema 2.17. Con las notaciones obvias, (X, d1) y(X, d2) son topologicamente equiva-lentes si y solo si para cadax X yr > 0, existens1, s2 > 0 tales queBd2(x, s2)Bd1(x, r)yBd1(x, s1)Bd2(x, r).Lema 2.18. Si(X, d1)y(X, d2)son metricamente equivalentes, tambien son topologica-

mente equivalentes.

Observacion 2.6. El recproco no es cierto: sobre N, las metricas discreta y usual son

topologicamente equivalentes (ambas inducen la topologa discreta), pero no son metri-

camente equivalentes.

Observacion 2.7. Cualquier propiedad enunciada para espacios metricos en terminos de

conjuntos abiertos puede reformularse tambien para espacios topologicos: en este curso

se trata precisamente de dar un repaso de los conceptos topologicos mas importantes

restringiendonos al caso particular de los espacios metrizables.

2.3.3. Conjuntos cerrados

Definicion 2.10. Dados(X, d) yA X,x Xes un punto de acumulacion de A (opunto lmite), si para cadar >0 es(B(x, r) {x}) A=.Definicion 2.11. Sean(X, d)y AX. Elderivadode A, A, es el conjunto de los puntosde acumulacion deA. Si xA A, se dice quex es unpunto aislado.Definicion 2.12. Sean(X, d)yAX.A se llamacerradosiA A.Ejemplos 2.6. Algunos ejemplos de puntos de acumulacion son:

(i) en(R, du),(0, ) = [0, ), 1n :nN ={0}, N = y Q = R;(ii) en(X, ddis), para cadaAXesA =.

Lema 2.19. Sean(X, d)yAX. SixA, entonces para cadar >0, la interseccion(B(x, r) {x}) Atiene infinitos puntos.Demostracion: Supongamos que para r > 0 es(B(x, r) {x})A ={x1, . . . , xn}.Si r0 = mn{d(x, xk) : 1 k n}, entonces (B(x, r0) {x})A =, contra lahipotesis.


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Corolario 2.20. En(X, d), siAXes finito, entonces es cerrado.Demostraci on: En este caso, es claramenteA =.

Teorema 2.21. En(X, d),A es cerrado si y solo siX Aes abierto.Demostraci on: Si A es cerrado, sea xXA. Como A A y xA, es xA. Luego,existerx > 0 tal que(B(x, rx) {x}) A=, es decir,B(x, rx) {x} X A, y porlo tantoX Aes abierto. Recprocamente, siX Aes abierto yx A, supongamosquexA. Existerx > 0 tal queB(x, rx)X A, es decir,(B(x, rx) {x}) A=,contra la hipotesis.

De los teoremas2.11y2.21, se deduce:

Teorema 2.22. En(X, d),Xy son conjuntos cerrados.Teorema 2.23. En(X, d), para cadaxXyr >0,B(x, r)es un conjunto cerrado.Demostraci on: Basta con probar que X B(x, r) es abierto: sea y X B(x, r),entoncesd(x, y)> r. Parar1=d(x, y) r, es B(y, r1)X B(x, r).

Ejemplos 2.7. Algunos ejemplos de conjuntos cerrados son:

(i) en(R, du), los puntos y los intervalos del tipo[a, b]son cerrados;

(ii) en(X, ddis), todoAXes cerrado.Usando el teorema2.21,se deducen las propiedades duales del teorema2.13:

Teorema 2.24. En(X, d), sea {Ai}iIuna familia de conjuntos cerrados. Entonces(i)iI

Ai es cerrado;

(ii) siIes finito, entonces iIAi es cerrado.Observacion 2.8. En 2.24(ii), el conjunto de ndices debe de ser finito: en efecto, en

(R, du), si se tomaI= Ny la familia de cerrados An = [1n

, 1], entoncesnN

An = (0, 1],

que no es cerrado.

Corolario 2.25. En(X, d), para cadaxXyr >0,S(x, r)es un conjunto cerrado.Demostraci on: Es una consecuencia de la igualdad S(x, r) =B(x, r) B(x, r).


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2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 33

2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto2.4.1. Clausura de un conjunto

Definicion 2.13. En(X, d), siA X, la clausura de A es el conjuntoA = A A. SixA, se dice que es unpunto adherentedeA.Teorema 2.26. En(X, d),AXes cerrado si y s olo siA = A.Observacion 2.9. En particular,X=Xy =.Teorema 2.27. En(X, d),x

A si y solo si para cadar >0 esB(x, r)

A

=

.

Demostraci on: Sea x A. Si x A, la condicion se cumple trivialmente. En casocontrario, debe ser xA y entonces(B(x, r) {x})A=, y se concluye el resultado.Recprocamente, si para cadar >0 esB(x, r) A=, pueden suceder dos cosas:

(i) sixA, es xA;(ii) six A, es(B(x, r) {x}) A = B(x, r) A=para cadar > 0, con lo que

xA A.

Teorema 2.28. En(X, d), si A, B

Xse verifica:

(i) siAB, es AB, es decir, la clausura preserva las inclusiones;(ii)A es cerrado.

Demostracion: Veamos (ii), y para ello basta con ver que A A. Seax A, es decir,para cadar > 0 es B (x, r)A=. Seaxr B(x, r)A y sr = rd(x, xr) > 0.Comoxr A esB(xr, sr)A=. Claramente, es B(xr, sr) B(x, r), con lo queB(x, r) A=, y se deduce quexA.

Teorema 2.29. (Caracterizacion de la clausura) En(X, d), se cumple:(i) siFes cerrado yAF, esAF;(ii)A=

{F cerrado:AF}, es decir,A es elmenor cerrado que contiene aA.Demostraci on: (i) SiAF, por el teorema2.28(i), esAF, y comoFes cerrado, sededuce queAF.

(ii) SiFes cerrado yAF, esAF, luegoA {Fcerrado:AF}. Ademas,Aes cerrado y contiene aA, luegoA {F cerrado:AF}.


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Teorema 2.30. En(X, d), si A, BXse verifica:(i)A B=A B;(ii)A BA B.

Demostraci on: (i) ComoA, B A B, por el teorema2.28(i) esA, B A B. Porotro lado,A B A B (que es cerrado) yA B es el menor cerrado que contiene aA B, luegoA BA B.

(ii) ComoA BA, B, por el teorema2.28(i) esA BA, B.

Observacion 2.10. En2.30(ii), la igualdad no es cierta en general: en (R, du), siA =(0, 1)yB = (1, 2), es A B = yA B={1}.Ejemplos 2.8. Algunos ejemplos de clausuras son:

(i) en(R, du), Q= R, RQ= R, N= N;(ii) en(X, ddis), para todoAXesA = A.

2.4.2. Interior de un conjunto

Definicion 2.14. En(X, d), siA X, x A, se llama punto interiordeA si existerx >0tal queB(x, rx)A. El conjunto de los puntos interiores deA se llamainteriordeA y se denota por

A. Es claro que

AA.

Teorema 2.31. En(X, d), si AX, se cumple:X A=

X AyX

A=X A.Demostraci on: Si xA, existe r >0 tal que B(x, r)A=, es decir, B(x, r)XA,

con lo quex

X A. Por otro lado, six

A, para cadar >0 esB(x, r)A, es decir,B(x, r)

(X

A)

=

, luegox

X

A.

Teorema 2.32. En(X, d),AXes abierto si y solo si

A=A.

Demostraci on:A es abierto si y solo si XA es cerrado, es decir,XA = X A,equivalentemente

A=A, por2.31(ii).

Observacion 2.11. En particular,

X=Xy

=.


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2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 35

Usando la dualidad con la clausura dada por el teorema 2.31y el teorema 2.28,sedemuestra facilmente:

Teorema 2.33. En(X, d), si A, BXse verifica:

(i) siAB, es

A

B;

(ii)

Aes abierto.

Teorema 2.34. (Caracterizacion del interior) En(X, d)se cumple:

(i) siUes abierto yUA, esU

A;

(ii)

A={U abierto:UA}, es decir, Aes elmayor abierto contenido enA.

Demostracion: (i) SiUes abierto y esta contenido enA, por el teorema2.33(i) es

U

A,

yU=

Upor ser abierto.(ii) Como todo abierto contenido en A esta tambien contenido en su interior, se verifica

que

A{Uabierto:U A}. Y como Aes abierto contenido enA, es uno de los queparticipan en la union, por lo que

A

{Uabierto:UA}.

Usando la dualidad con la clausura dada por el teorema 2.31y las propiedades delteorema2.30, se deduce que:

Teorema 2.35. En(X, d), si A, BXse verifica:

(i)

A

B=

A B;

(ii)

A

B

A B.Observacion 2.12. En2.35(ii), la igualdad no es cierta en general: en (R, du), siA =

[0, 1]yB = [1, 2], es

A B= (0, 2)y A B= (0, 2) {1}.2.4.3. Frontera de un conjunto

Definicion 2.15. En(X, d), siAX,xXse llamapunto fronteradeA si para cadar >0 esB(x, r) A= =B(x, r) (X A). El conjunto de los puntos frontera deAse llamafronteradeA y se denota porfr(A).

Ejemplos 2.9. Algunos ejemplos de fronteras son:


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(i) en(R, du),fr((a, b]) ={a, b},fr(Q) = R,fr(N) = N;(ii) en(X, ddis), para todoAXesfr(A) =.

Teorema 2.36. En(X, d), paraAXesfr(A) =A X A= A

A.

Corolario 2.37. En(X, d), siAX, se cumple:(i)fr(A)es un conjunto cerrado;

(ii)fr(A) = fr(X A);(iii)fr(A)

fr(A)yfr(

A)

fr(A);

(iv)fr(X) = fr() =.

Demostracion: (iii)fr(A) =A X A= A X A= A

X AA X A=fr(A). Del mismo modo,fr(

A) =

AX

A=

AX A=

AX AAX A=fr(A).

Observacion 2.13. En (iii) no se da en general la igualdad: en(R, du), esfr(Q) = R,

perofr(

Q) = fr() == fr(Q) = fr(R).Teorema 2.38. En(X, d), si AXse verifica:

(i)A es abierto si y s olo siA fr(A) =;(ii)A es cerrado si y solo sifr(A)A.

Demostraci on: (i) SiA es abierto, esA =

Ay A fr(A) = A (A A) =. Recpro-camente, siA fr(A) =, esA X A =, con lo queA X X A =

A y sededuce queA es abierto.

(ii) Se deduce usando (i) y por dualidad.

El siguiente teorema nos permite dar una clara interpretacion del interior, la clausura

y la frontera de un conjunto:

Teorema 2.39. En(X, d), si AXse verifica:

(i)

A=A fr(A) =A fr(A);(ii)A= A fr(A) =

Afr(A).


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2.5. Subespacios de un espacio metrico 37

2.5. Subespacios de un espacio metricoDado (X, d) y A X no vaco, la restriccion d a AA, dA :A AR, es

una distancia sobreA, que se denota por dA. Se dice tambien que el par (A, dA) es unsubespacio de(X, d).

Es importante distinguir entre los espacios metricos(X, d)y (A, dA), intentando daruna relacion entre los abiertos de ambos espacios:

Lema 2.40. En (X, d), si A X y x A, parar > 0 la bola en el subespacio esBA(x, r) =B(x, r) A.

Observacion 2.14. En(X, d), con las notaciones obvias, si AXyxA, parar >0esBA(x, r) =B(x, r) AySA(x, r) =S(x, r) A.Teorema 2.41. En(X, d), seanBAX, entonces:

(i)B es abierto en(A, dA)si y solo si existeUabierto en(X, d)tal queB =U A;(ii)B es cerrado en(A, dA)si y solo si existeFcerrado en(X, d)tal queB =F A.

Observacion 2.15. Puede suceder queB AXsea abierto (respectivamente, cerra-do) en(A, dA)y no lo sea en(X, d). Por ejemplo, en(R, du), paraA= [0, 1):

(i)[0,

1

2)es abierto en(A, dA), pero no lo es en(R, du);(ii)[ 1

2, 1)es cerrado en(A, dA), pero no lo es en (R, du).

Pero se cumple la propiedad:

Teorema 2.42. Sea(X, d)yAX, entonces:(i) todo subconjunto de A que es abierto en (A, dA) es tambien abierto en(X, d) si y

solo siA es abierto en(X, d);

(ii) todo subconjunto deA que es cerrado en(A, dA)es tambien cerrado en(X, d)si ysolo siA es cerrado en(X, d).

2.6. Diametro de un conjunto. Conjuntos acotados

Definicion 2.16. Sean un espacio metrico(X, d)y AX. Eldiametrode A es el numero(A) = sup{d(x, y) :x, yA} si este supremo existe y es infinito en caso contrario. Pordefinicion,() = 0.Observacion 2.16. (A)esta definido si la familia de numeros reales {d(x, y) :x, yA}esta acotada superiormente.


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Definicion 2.17. En(X, d), un conjuntoAXse llamaacotadosi(A)R.Ejemplos 2.10. Algunos ejemplos de conjuntos acotados son:

(i) en(R, du),A esta acotado si lo esta superior e inferiormente;

(ii) en (X, ddis), todo A X esta acotado, ya que si A tiene mas de un punto, es(A) = 1.

Observacion 2.17. Si(A) = r, no tienen porque existir dos puntosx, y Atales qued(x, y) =r . Por ejemplo, en(R, du),((0, 1)) = 1, pero los puntos en(0, 1)distan entreellos menos que 1.

Teorema 2.43. En(X, d), si A, BXson no vacos, se cumple:(i) siAB, es (A)(B);(ii) si(A) = 0, entoncesA se reduce a un punto;

(iii)(B(x, r))(B(x, r))2r.Demostraci on: (i) SiA o B no estan acotados, es inmediato. Supongamos entonces queambos conjuntos estan acotados, entonces{d(x, y) : x, y A} {d(x, y) : x, y B},y se deduce la propiedad. Observar que aunque la inclusion sea propia, puede darse la

igualdad: en(R, du),((0, 1)) = 1 =([0, 1]).

(iii) Sia, b B(x, r), esd(a, b) d(a, x) +d(x, b) < 2r. As,2r es cota superiorde la familia{d(a, b) : a, b B(x, r)}, y por lo tanto, (B(x, r)) 2r. Para la bolacerrada, se hace de manera similar. La igualdad no se verifica en general: para (R, ddis),es (B(x, 1)) = 0 < 2 y (B(x, 50)) = 1 < 100. Sin embargo, para (Rn, d) donded= dmax, dsumo du, es (B(x, r)) =(B(x, r)) = 2r.

Lema 2.44. En(X, d), si A, BXestan acotados yaA,bB, entonces para cadax, yA B esd(x, y)d(a, b) + (A) + (B).Demostraci on: Hay tres posibles casos:

(i) six, yA, es d(x, y)(A)d(a, b) + (A) + (B);(ii) six, yB , esd(x, y)(B)d(a, b) + (A) + (B);(iii) sixA eyB , esd(x, y)d(x, a) + d(a, b) + d(b, y)(A) + d(a, b) + (B).

Teorema 2.45. En(X, d), la union de cualquier familia finita de conjuntos acotados esun conjunto acotado.


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2.7. Conjuntos densos y espacios separables 39

Demostraci on: SeanA yB conjuntos acotados. Por el lema2.44, fijadosaA ybB ,el numerod(a, b) + (A) + (B)es cota superior de la familia {d(x, y) :x, yA B},por lo que existe(A B).

Observacion 2.18. En el teorema 2.45, la union debe ser finita: en (R, du), para cada

xR, {x} es un conjunto acotado, pero R=xR

{x} no lo es.

Teorema 2.46. En(X, d), un conjunto no vacoAXes acotado si y solo si est a con-tenido en alguna bola cerrada.

Demostraci on: Si existen x X y r > 0 tales que A B(x, r), A esta acotado porestarloB(x, r). Recprocamente, seaA acotado yxXun punto cualquiera. Si aA,sear = d(x, a) + (A). Entonces,AB(x, r).

2.7. Conjuntos densos y espacios separables

Definicion 2.18. En(X, d), un conjuntoAXse llamadensoenXsiA = X.

Ejemplos 2.11. Algunos ejemplos de conjuntos densos son:

(i) en(R, du), Q y RQ son densos;(ii) en(X, ddis),A es denso si y solo siA= X.

Teorema 2.47. En(X, d),A Xes denso si y solo el unico cerrado que contiene aAesX.

Teorema 2.48. En(X, d), AXes denso si y s olo A corta a cualquier abierto no vaco.

Proposicion 2.49. En(X, d), para cada A

Xlos conjuntos A

(X

A)y(X

A)

Ason densos.

Definicion 2.19. (X, d) se llama separable si existe un subconjunto denso y contable.AXse llamaseparablesi(A, dA)lo es.Ejemplos 2.12. Algunos ejemplos de conjuntos separables son:

(i)(R, du)es separable, ya que Q es denso;

(ii)(X, ddis)es separable si y solo siXes contable.


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2.8. Ejercicios1.-Si es una pseudometrica sobreXyx, yX, se define una relacion binaria sobreXpor:xy si y solo si(x, y) = 0. Se pide:

(i) probar que es una relacion de equivalencia enX;(ii) dados x1, x2, y1, y2 X, tales que x1 x2 e y1 y2, probar que (x1, y1) =

(x2, y2);

(iii) sean Y =X/,[x], [y]Y. Dados a[x]y b[y], se define d([x], [y]) =(a, b).Probar qued es una metrica enY, que se llamaasociada a.

2.-SeankN,1kn yd : Rn RnR, definida pord(x, y) =|xk yk|, dondex= (x1, , xn)ey = (y1, , yn). Esduna metrica en Rn?3.- Decidir si las siguientes funciones son metricas sobreR: d1(x, y) =|x2y2|, d2(x, y) =|x 13 y 13 |,d3(x, y) =e|xy| yd4(x, y) =e

1

|xy| .

4.-Dadasd1, , dn metricas sobreX, se pide:

(i) probar qued(x, y) =n

i=1di(x, y)es una metrica sobreX;

(ii) demostrar qued(x, y) = max1in

di(x, y)es una metrica sobreX;

(iii) defined(x, y) = mn1in

di(x, y)una metrica sobreX?

5.-Sean(X, d)e(Y, )espacios metricos yf: XY. Se pide:(i) sea D : X XR definida por D(x, y) =(f(x), f(y)); cuando es Duna metri-

ca enX?

(ii) si(X, d) = (Y, ) = (R, du)yf: R

R es creciente; esD metrica?

(iii) seaf(x) =x3 como en (ii); esD equivalente adu?

6.-Sea(X, d)un espacio metrico. Parai = 1, 2, sean las aplicacionesdi :X XR,donded1(x, y) = mn{1, d(x, y)}y d2(x, y) = d(x,y)1+d(x,y) . Probar qued1 y d2 son metricasacotadas sobreX.

7.-Sea SCel conjunto de las sucesiones convergentes de numeros reales. Dadas las suce-siones{xn}nN, {yn}nN SC, se defined({xn}, {yn}) = lm

n|xn yn|; esd metrica

sobre SC?


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2.8. Ejercicios 41

8.-Sea SAel conjunto de las sucesiones acotadas de numeros reales (es decir, {xn} SAsi y solo si existe K > 0 tal que|xn| K para cadan N). Probar que la igualdadd({xn}, {yn}) = sup

nN|xn yn| define una metrica en SA.

9.- Sean R A= yB(A) ={f: AR :K > 0 :x A, |f(x)| K} elconjunto de las funciones acotadas sobre A. Probar que la funcion d :B(A) B(A)Rdada pord(f, g) = sup

xA|f(x) g(x)|, es una metrica en B(A).

10.-SeaX={f: [0, 1]R, fcontinua}. Probar que las siguientes aplicaciones sondistancias enX:d1(f, g) =

1

0 |f(x)

g(x)

|dxyd2(f, g) = sup

x[0,1]|f(x)

g(x)

|.

Si Y ={f: [0, 1]R, fintegrables en el sentido de Riemann}, es d1 una distanciasobreY?

11.- Sean la recta ampliada R = R {} {} y la aplicacion f: R [1, 1]definida porf(x) = x

1+|x| sixR,f() =1yf() = 1. Probar que la aplicacion

d(x, y) =|f(x) f(y)| es una distancia sobre R.12.- Probar que las siguientes aplicaciones son metricas. En los espacios metricos obtenidos,

caracterizar las bolas, el interior, el derivado, la clausura y la frontera:

(i)d : R2

R2

R donde parax = (x1, x2), y = (y1, y2)R2

,

d(x, y) =

|x2 y2| si x1 = y1|x1 y1| + |x2| + |y2| si x1=y1

(ii)d : RRR donde parax, yR,

d(x, y) =

|x y| si sg(x) =sg(y)|x + y| + 1 si sg(x)=sg(y)

(donde0 se considera con signo positivo),

(iii)d : RRR donde parax, yR,

d(x, y) =

x + y si x=y,x >0, y >0|x y| en otro caso

(iv)d : [0, ) [0, )R donde parax, y[0, ),

d(x, y) =

x + y si x=y

0 si x= y


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(v)d : [0, 1] [0, 1]R donde parax, y[0, 1],d(x, y) =

2 x y si x=y

0 si x= y

(vi)d : RRR donde parax, yR yaR,

d(x, y) =

|x + a| + |y+ a| si x=y0 si x= y

(vii)d : R2

R2

R donde parax= (x1, x2), y= (y1, y2)

R2,

d(x, y) =

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 si x21+ x22=y21+ y22

x21+ x22+

y21+ y

22 si x

21+ x

22=y21+ y22

(viii)d : N NR donde parax, yN,

d(x, y) =

1 + 1

x+y si x=y

0 si x= y

(ix)d : [0, ) [0, )R donde parax, y[0, ),

d(x, y) = max{x, y} si x=y

0 si x= y

(x)d : R2 R2R donde parax = (x1, x2), y= (y1, y2)R2,

d(x, y) =

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 si x1y2=y1x2

x21+ x22+

y21+ y

22 si x1y2=y1x2

13.-Probar que hay exactamente dos isometras de(R, du)en (R, du), que dejan fijo unpunto dadoa

R.

14.-Probar que estas funciones son isometras:

(i) si aRn, latraslacion de vectora, ta : (Rn, du)(Rn, du), dada por ta(x) =a+x;(ii) siR, larotacion elemental deangulo,r : (R2, du)(R2, du), dada por

r(x1, x2) = (x1cos() x2sin(), x1sin() + x2cos());

(iii) laaplicacion antipodal,a : (Rn, du)(Rn, du), dada pora(x) =x.


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2.8. Ejercicios 43

15.-En el espacio metrico(X, d), paraaXyr >0,probar las propiedades siguientes:(i)B(a, r) =

s>r

B(a, s) =nN

B

a, r+

1

n

;

(ii) {a}=s>0

B(a, s) =nN

B

a,

1

n

;

(iii)B(a, r) =s0 yV(A, r) = xA

B(x, r). Se pide probar:

(i)V(A B, r)V(A, r) V(B, r);(ii) sis < r,V(A, s)V(A, r);(iii)V(A B, r) =V(A, r) V(B, r);(iv)d(a, A) = nf{r >0 :aV(A, r)};


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(v)A= nN

VA,1n. Concluir qued(a, A) = 0si y solo siaA.18.- Sean(X, d) un espacio metrico y R una relacion de equivalencia sobreX verifi-cando:

a) para cadaxX, el conjuntoCx ={yX :xRy} es cerrado enX,b) si[x]= [y]X/R, todo representantea[x], verifica qued(a, Cy) =d(Cx, Cy).

Para[x], [y]X/R,se define([x], [y]) =d(Cx, Cy). Se pide:(i) probar que es un distancia en X/R. Se dice que (X/R, ) es el espacio metrico

cociente de(X, d)porR;

(ii) sea p : XX/R la proyeccion canonica. Probar que para cada x, y X, secumple la desigualdad(p(x), p(y))d(x, y). Hallarp(B(a, r)), si aX;

(iii) siA es abierto en(X, d), probar quep(A) es abierto en(X/R, ). Demostrar queBX/R es abierto en(X/R, )si y solo sip1(B)es abierto en(X, d);

(iv) probar queB X/R es cerrado en (X/R, ) si y solo si p1(B) es cerrado en(X, d);

(v) sea(X, d) = (R, du)y la relacion sobre R dada por (xRysi y solo six y2Z):

1) demostrar que se cumplen a) y b);

2) probar que existe un cerrado A en (R, du), tal que p(A) no es cerrado en(R/R, );

3) sea la aplicacion f: R/RS1 ={(x, y)R2 :x2 + y2 = 1} definida porf([x]) = (cos(x), sin(x)). Probar que f esta bien definida y es biyectiva;cual es la distancia0 obtenida sobre S

1 al transportarporf? Probar que

0es equivalente a la distancia inducida por la distancia eucldea de R2.

19.-Sea el espacio metrico(X, d),a X y = A X. Sid(a, A) = 2, probar queexister >0 tal qued(x, A)> 1,sixB(a, r).20.-Sea(X, d)un espacio metrico yA, BX. Probar:

(i) siA es abierto, para cadaBX,A B= si y solo siA B=;

(ii) siAes abierto, probar que para cadaBX,esA BA ByA B=A B;


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2.8. Ejercicios 45

(iii) probar queA es abierto si y solo si para cadaBX, esA BA B.21.-Sea(X, d)un espacio metrico. Para cada AX definimos (A) =

A y (A) =

A.Se pide:

(i) siA es abierto (respectivamente, cerrado), probar que A (A) (respectivamente,(A)A);

(ii) probar que para cadaAX, es ((A)) =(A)y((A)) =(A);

(iii) encontrar conjuntos A en(R, du) tales que sean distintos los conjuntos A,

A, A,

(A), (A), (

A)y(A);

(iv) siA, B son abiertos disjuntos, entonces(A)y(B)son tambien disjuntos.

22.-Sea(X, d)un espacio metrico. DadosA, B y {Ai}iIsubconjuntos deX, probar:

(i)

iI

AiiI

AiyiI

Ai

iI

Ai;

(ii) siA B entoncesA B. Ademas,(A B) A B,(A B) = A B,

(A) A (es decir,A es cerrado), iI

Ai

iI

Ai y

iIAi

iIAi

;

(iii)iI

AiiI

Ai,iI

AiiI

Ai,A BA B y (A) =A.

23.- Sea (X, d) un espacio metrico y{Ai}iIuna familia de conjuntos en X tales queexiste un >0 tal que sii=j, entoncesd(Ai, Aj). Probar que

iI

Ai =iI

Ai.

24.-Sea(X, d)un espacio metrico. Una familia {Ci}iIde subconjuntos deXse llamalocalmente finitasi para cadax

X, existerx > 0tal queB(x, rx)

Ci

=

solo para

un numero finito deiI .Se pide:(i) probar que{B(0, n) : n N} no es localmente finita en (R, du), pero si lo es la

familia de sus complementarios;

(ii) dar una familia de conjuntos abiertos localmente finita en(R, du)cuya union sea R;

(iii) si{Ci}iI es una familia localmente finita, probar que cada punto deXpertenecea lo mas a un numero finito de conjuntosCi (es decir, la familia es puntualmente

finita). Probar que no toda familia puntualmente finita es localmente finita;


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(iv) si la familia{Ci}iIes localmente finita, probar que iI

Ci = iI

Ci. Concluir de

aqu, que la reunion localmente finita de cerrados es cerrada.

25.-En(X, d), probar:

(i) siAX,A=nN

xA

B(x,1

n);

(ii) todo cerrado puede expresarse como una interseccion numerable de abiertos;

(iii) todo abierto puede escribirse como una reunion numerable de cerrados.

26.-Dado un espacio metrico(X, d)yA, BXno vacos, probar:(i)d(A, B) =d(A, B);

(ii)A= B si y solo si para cadaxX, es d(x, A) =d(x, B).27.-Sea(X, d)un espacio metrico. Probar:

(i) siA no posee puntos aislados, entoncesA tampoco los posee;

(ii) siXno posee puntos aislados, tampoco tendran puntos aislados los abiertos deX.

28.-SeaXun conjunto numerable. Probar que puede definirse sobre el una metrica, talque ninguno de sus puntos sea aislado.

29.-Sea(X, d)un espacio metrico, dondeXposee mas de un punto; pueden sery Xlos unicos abiertos?

30.-Sean los espacios metricos(X1, d1), , (Xn, dn)y consideremos su producto carte-siano(X=X1 Xn, dmax). Probar:

(i)

A1

An=

A1 An y A1 An= A1 An;(ii)A1 Anes abierto en(X, dmax)si y solo siAi es abierto en(Xi, di)para cada

iI(analogamente para cerrados).31.-Sea(X, d)un espacio metrico. Se pide probar las siguientes generalizaciones de lapropiedad de Hausdorff (teorema2.10):

(i) six= y X, existenU yV abiertos disjuntos en X, tales quex U,y V yU V =;


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2.8. Ejercicios 47

(ii) todo espacio metrico esnormal: dadosA y B conjuntos cerrados y disjuntos enX,existen abiertosU yVdisjuntos tales queAUyBV.

32.- Sea (X, d) y la diagonal en el espacio metrico producto (X X, D) (D escualquiera de las metricas producto definidas). Si el punto x = (x1, x2) , probarqueD(x, )> 0.

33.- Un espacio metrico (X, d) se llama ultrametrico, si para cada x, y,z X, severifica la desigualdadd(x, y)max{d(x, z), d(z, y)}. Demostrar:

(i) sid(x, z)=d(y, z), entoncesd(x, y) = max{d(x, z), d(z, y)};

(ii)B(a, r)yB(a, r)son abiertos y cerrados a la vez;

(iii) siyB(x, r), entoncesB(x, r) =B (y, r); se tiene un resultado analogo para lasbolas cerradas?

(iv) si B(x, r) y B(y, s) se cortan, entonces una de estas bolas contiene a la otra (lomismo para bolas cerradas);

(v) siB(x, r)yB(y, r)son distintas y estan contenidas enB(z, r), su distancia esr;

(vi)(X, ddis)es un espacio ultrametrico.

34.-Sea(X, d)un espacio metrico. Se pide:

(i) sea = A X. Si (X, d) es separable, probar que A es separable (es decir, elsubespacio metrico(A, dA)es separable);

(ii) siA es separable, probar queA es separable;

(iii) siA1, , An son separables, entoncesA1 An es separable.

35.-Sea(X, d)un espacio metrico. SeaAXtal que para cadaaA, existea > 0 talqueB(a, a) Aes contable. Si(X, d)es separable, probar queA es contable.36.-Sea(X, d)un espacio metrico separable y =AX. Se pide:

(i) probar que el conjunto de los puntos aislados deA es contable;

(ii) siA =,probar queA es contable;

(iii) siA es discreto enX, probar queA es contable.


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37.- Se dice que(X, d) posee la propiedad de interseccion contable, si dada cualquierfamil

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