Estado Sólido Difracción por Partículas

Scattering con ionesEs método para obtener las distrubuciones de energía con partículas cargadas las cuales dan información sobre el comportamiento del sólido.Al igual que los otros métodos, la difracción de iones y el scattering de Ruthenford proveen información adicional de la composición química y defectos en la estructura.

Proceso en el que un haz de iones es dirigido a una superficie (sputtering), fragmentos moleculares y atómicos son expulsados ya sea con carga (iones) o neutros de la muestra.Las particulas expelidas son analizadas mediante espectometría de masas y se ocupa principalmente para análisis de composición contra profundidad.

Caracteristicas Detecta todos los elementos hasta en partes por billón incluyendo muchos isótopos. Permite mediciones dinámicas de hasta 9 ordenes de magnitud. Permite crear imagenes tridimencionales de estructuras heterogéneas. Los iones más usados son O2

+ y Cs+ de 1-20KeV para muestras electrpositivas y electronegativas.

DescripciónEl haz es de muy alta energía comparado con los iones de la superficie. Se pueden considerar coliciones de particulas libres. De esta manera podemos hacer los siguientes calculos con el momentum y energia. Con y como los angulos entre p2’ y p1’ con p1 podemos obtener

Detección de Iónes secundarios

Se utilizan electrodos para acelerar iones secundarios hacia un campo magnético uniforme donde se hacen mediciones de espectometría al vuelo. Sabiendo Ecinética = Epotencial y q=Ze

Resultados experimentales: SIMS de un cristal SiO2

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

Backscattering de Rutherford (RBS) Es una de las técnicas más poderosas para examinar a profundidad la composición de sólidos. Se ocupan partículas con energías del orden de 1MeV dirigidas normalmente a la superficie. La energía de las partículas dispersadas es medida y se calcula la perdida de energía. La perdida de energía depende de la profundudad a la que penetro y el tipo de átomo con el que

colisionó. Los procesos fonónicos, exitaciones, etc. no son despresiables.

Perdida de energía debido a las ionizaciones y exitaciones electrónicas (Formula de Bethe).Z1-projectil E-energía v-velocidad de 1Z2-objetivo n-concentración m-me IE-energía de ionización

Colisiones Coulombianas Entre el nucleo y la particula

El área trasversal de las coliciones esta dada por

Haciendo los calculos para cada una de las energías del recorrido

I- corriente de partículas incidentes H- grosor de la muestra

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

El resultado de (w)=1,0 Entonces la función solo puede valer 1 ó 0. Lo que implica que hay energías de corte.Dado que F() es única para cada muestra, al identificar las energías de corte, se sabe de la presencia de cierto tipo de átomo.

Positrones – Creación y Aniquilación de paresEl positrón (e+) es la antipartícula del electrón (e-). Dicha partícula fue observada en rayos

cósmicos en 1932 por C.D. Anderson, sin embargo su existencia fue predicha varios años atrás por Dirac. Posee características similares a las del electrón, misma masa, mismo spin, carga y momento magnético opuestos. Esta partícula también se observa cuando radiación gama incide e interactúa con materia, experimentalmente se ha encontrado que cuando esto ocurre se da la reacción,

e+ + e-

A este proceso se le llama creación de pares. No obstante, este proceso solo ocurre cuando se interactúa con materia, jamás en el vacío, dado que la energía y el momentum no se conservan en ese caso, se necesita la interacción con otro cuerpo masivo (ej. núcleo) que proporcione el momentum faltante. En general se necesitan fotones con una energía un poco mayor que dos veces la energía en reposo del electrón (2 me c2 ~ 1.02 MeV) para que pueda darse la creación de pares e +e-, o sea, rayos gama. La probabilidad de la producción de un par se incrementa dramáticamente tanto con el incremento de energía en el fotón como con el número atómico Z del núcleo con el que se interactúa.

Sin embargo la vida de un positrón es muy corta y es por eso que no son fácilmente observables en la naturaleza. Debido a su interacción electromagnética con los electrones, cuando un positrón y un electrón están próximos aunque sea durante un tiempo corto ocurre el fenómeno opuesto, la aniquilación, se aniquila el par y su energía se transfiere al campo electromagnético (se producen

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

fotones). Un positrón que atraviesa la materia, rápidamente pierde su energía cinética mediante colisiones atómicas (termalización – equilibrio térmico) y con cierta probabilidad se aniquila con un electrón del medio. Una vez que el positrón es frenado hay una atracción Coulómbica con un electrón y es entonces cuando el par (antes de aniquilarse) forma una configuración llamada Positronium, en la cuál están rotando uno alrededor del otro hasta que eventualmente terminan aniquilándose (ocurre en alrededor de 10E-10). Si la aniquilación ocurre cerca de un núcleo masivo, existe la posibilidad de que se cree un solo fotón puesto que el momentum faltante lo absorbería el núcleo, y bajo ciertas condiciones incluso 3 fotones pueden ser creados (pPs, oPs), sin embargo la manera mas común de aniquilación es en la que se producen 2 fotones.

2me c2 = 2h h = 0.511 MeV.

PAS (Positron Annihilation Spectroscopy / Espectroscopia por Aniquilación de Positrones)

La Espectroscopia por Aniquilación de Positrones es una prueba, no destructiva, en la que se hace incidir un rayo de positrones en una muestra para obtener patrones gama producidos por la aniquilación de dichas partículas con los electrones presentes en la materia de determinada muestra.

Generalidades

Hay dos formas básicas de cómo los parámetros de PAS son afectados:

1.- A través del estado del electrón participante en la reacción de aniquilación. Esto establece la dependencia en la densidad electrónica local, la estructura electrónica, etc.

2.- A través del estado del positrón en el momento de la aniquilación: positrón libre, capturado en una cavidad, formación de Ps y sus diferentes estados en el medio. Dicho estado es un resultado de las interacciones del positrón previas a la aniquilación.

El proceso utilizado en esta técnica (aniquilación de pares) se caracteriza también por una taza/razón de aniquilación la cuál es simplemente el inverso del tiempo de vida del positrón ( tiempo trascurrido entre la inmersión de la partícula en el medio condensado, hasta su aniquilación). La vida de un positrón en un metal es de aproximadamente 600ps. El análisis teórico revela que es proporcional a la densidad electrónica efectiva, ne, cercana al positrón.

~ rc2 c ne (donde rc es el radio del electrón)

El rango típico de la energía de los rayos de positrones se encuentra entre 10eV y 100keV. La profundidad de penetración promedio de dichas partículas en una muestra varía de 1nm a unas cuantas micras, lo cuál nos da una idea de su uso potencial para el estudio de regiones cercanas a la superficie en la materia. Antes del proceso de aniquilación, los positrones experimentan distintos procesos los cuales influencian el estado a partir del cuál el positrón se aniquila con un electrón del ambiente. Primeramente cuando un positrón entra en un medio condensado, rápidamente pierde energía debido a colisiones (proceso de termalización/thermalization). Cuando el positrón tiene alta energía el mecanismo principal de pérdida de energía es ionización (el positrón excita electrones base en colisiones con sus átomos). Cuando ya la energía del positrón ha disminuido hasta solo una fracción de eV , la dispersión de fonones domina en la pérdida de energía.

Eventualmente y después de esta serie de procesos, los positrones alcanzan equilibrio térmico con el medio, el cuál es mantenido debido a la emisión y absorción de fonones . Durante la termalización/thermalization la energía cinética inicial del positrón disminuye a menos de 0.1eV. A pesar de tal cambio en energía, este proceso ocurre en un periodo de unos cuantos ps (muy pequeño comparado con la vida media del positrón). Los positrones que han alcanzado el equilibrio térmico se les caracteriza con una longitud de onda térmica y se comportan como una onda cuántica, es entonces

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

cuando se da el proceso de difusión. Durante este proceso, el positrón interactúa con los alrededores y se aniquila con un electrón. En un medio homogéneo, libre de defectos, todos los positrones se aniquilan con la misma taza/razón esto en la práctica se refleja como un patrón de aniquilación homogéneo, el cuál es característico del material.

Debido a la repulsión Coulómbica de los iones positivos, los positrones en un medio condensado residen preferentemente en el espacio interatómico. Dentro de zonas defectuosas (dislocaciones, espacios vacíos, agujeros, nanohuecos, etc.), el potencial experimentado por el positrón disminuye debido a que la repulsión diminuye también. A la transición de un estado libre (delocalized) a uno encerrado (localized) se le denomina confinamiento/intercepción (trapping). La energía de ligadura/atrapamiento de los positrones a estos defectos es típicamente de unos cuantos eV. Lograr que un positrón escape de un “defecto” (detrapping) es casi imposible y la partícula permanece ahí hasta el momento de aniquilarse. Solo en el caso de que la energía de ligadura/atrapamiento sea muy pequeña (Eb < 0.1eV) puede llegar a escapar con ayuda de la interacción con un fonón (phonon-assisted detrapping). Ya que la densidad electrónica local en el “defecto” disminuye, la vida de los positrones confinados aumenta = -1. El confinamiento de positrones se caracteriza por su taza/razón de intercepción , la cuál es proporcional a la concentración de defectos en la muestra ct,

= ct

El coeficiente de confinamiento , junto con la razón de aniquilación, , son característicos de cierto tipo de fallas en un material.

En muchos aislantes, el positrón puede llegar a formar un estado “límite” con un electrón, Positronium (Ps), el cuál hace cierta analogía al átomo de H. La energía de ligadura del Ps es de 6.1eV y su radio es de 0.106nm. El Ps puede existir en el estado “singlet” (parapositronium, pPs) o el “triplet” (orthopositronium, oPs). Debido a la interacción del “átomo” Ps con el medio en el que se encuentra, es repelido a un espacio vacío en el material.

Medios Experimentales

PAS/LT (Positron-lifetime measurements)Es requerimiento necesario que la fuente utilizada sea 22Na, debido a que además de emitir

positrones (545keV), emite rayos gama (1274keV). El positrón se interna en la muestra casi simultáneamente con la emisión del rayo gama 1274keV de la fuente. La vida del positrón puede ser medida como la diferencia de tiempo entre la emisión del gama 1274keV y los fotones emitidos por la aniquilación. Esto permite la fácil detección de huecos a través de los cambios en la vida del positrón (en una “falla” dentro del material, la vida del positrón aumenta).

PAS/AC (Angular Correlation)

P-,T / m0 c (aproximación no-relativista)

como función de la componente transversal del momentum del electrón puede ser medido mediante un arreglo adecuado de detectores. Gracias a esto se puede obtener la distribución de momentum dentro de la muestra.

PAS/DB (Doppler Broadening)La energía total de cierto evento de aniquilación incluye tanto la energía que concierne a la

masa (2 x 511keV), como la energía cinética correspondiente al movimiento de las partículas . Esta aportación energética causa un corrimiento o ensanchamiento de la línea del espectro de aniquilación; la longitud de onda de los rayos gama emitidos disminuye a lo largo de la dirección del movimiento y

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

crece en la dirección opuesta (efecto Doppler). Debido a esto se crea el ensanchamiento-Doppler de la línea espectral de aniquilación. Por este medio también se obtiene la distribución de momentum de los electrones e información de micro fallas.

Aplicaciones de la PAS

Históricamente las primeras aplicaciones de la PAS estuvieron dedicadas al estudio de metales y aleaciones y posteriormente extendidas al estudio de semiconductores . La tercer área de aplicación, la cuál se está desarrollando con rapidez tanto en el plano experimental como en el teórico, se dedica al estudio de polímeros.

Metales y aleacionesLa atracción Coulómbica entre el positrón y los electrones de conducción es muy alta, debido

a que la densidad electrónica local aumenta y por lo tanto disminuye el tiempo de vida del positrón dentro de una muestra. Las dislocaciones, nanohuecos y espacios vacíos dentro de estos materiales han sido ampliamente estudiados dado que el tiempo de vida dentro y fuera de un “defecto” es muy contrastante. Se puede medir la resistencia de un metal a los esfuerzos.

SemiconductoresDebido a que la atracción Coulómbica en este material no es tan efectiva como en los metales, la

vida de los positrones es mayor. Por esto es más difícil caracterizar huecos en estos materiales, sin embargo se tiene una estimación entre la razón del tiempo de vida dentro y fuera de un “defecto”.

v ~ 1.2 b

PolímerosA diferencia de las dos aplicaciones anteriores, en este caso, la herramienta principal es el

Ps formado y sus 2 estados (pPs / oPs) debido a que existe en estos compuestos demasiado espacio interatómico.

DIFRACCIÓN POR NEUTRONES

La longitud de onda de los neutrones es entre 0.5 Å a 5 Å que corresponde a las distancias interatómicas típicas de los sistemas de materia condensada. Entonces, los neutrones térmicos pueden detectar las disposiciones atómicas de estos sistemas.

La interacción entre los neutrones y la mayor parte de los átomos es muy débil por lo que pueden penetrar materiales con facilidad. Aunque los rayos difractados pueden no ser tan intensos, los rayos que traspasan la muestra pueden ser mejor detectados.

La energía de los neutrones, en la gama de los 3 meV - 300 meV, corresponden a las energías de numerosas excitaciones existentes en los sistemas de materia condensas. Por tanto, los neutrones térmicos puede medir las energías en juego en los movimientos atómicos. El cambio de energía en los neutrones térmicos debido a los procesos de dispersión inelástica involucrado en la creación y aniquilación de excitaciones en sólidos, líquidos y gases es frecuentemente del mismo orden de magnitud de su energía inicial.

Los neutrones poseen un momento magnético intrínseco y ellos interactúan con la variación espacial de la magnetización de los materiales a escala atómica. Ellos puede también ser utilizados para el estudio de estructuras y de excitaciones magnéticas.

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

Los neutrones son no destructivos y muy penetrantes, de tal forma que hacen un muestreo del interior de los materiales y muy poco influye en ellos el estado de la superficie. Estas técnicas de difusión neutrónica recientemente han permitido el estudio de superficies e interfaces (se trata de un estudio en pleno crecimiento de la investigación sobre la difusión neutrónica).

Debido a las propiedades del neutron, su interacción con los sistemas dispersores es, en general, la suma de dos partes, a saber:

1) La interacción del neutron con los núcleos del blanco a través de fuerzas puramente nucleares, y2) La interacción entre el momento magnético del neutron y el momento magnético de los electrones

del blanco.

Una tercera interacción entre el momento magnético del neutron y el campo coulombiano de los electrones y el núcleo puede, en casi todos los casos, ser despreciable en comparación con las contribuciones de las interacciones puramente nuclear y puramente magnética mencionadas anteriormente.

Un gran numero de neutrones se producen cuando protones de altas energías (provenientes de un acelerador) colisionan con núcleos de uranio. Esto es llamado “espalacion”. Este proceso ha sido desarrollado para obtener otra técnica como fuente de neutrones. A los neutrones se les puede disminuir su energía al hacerlos pasar por agua o hidrógeno liquido.

Una ráfaga de neutrones proveniente de un reactor nuclear se dirige hacia un sólido colisionando elástica e inelásticamente con obstáculos que se encuentran en el orden su longitud de onda. La contribución elástica produce un patrón de difracción y provee información útil acerca de la estructura del sólido como su espaciado intraatómico y las simetrías cristalinas. La colisión inelástica provee información concerniente al espectro de fonones y a la presencia de magnones en materiales magnéticos.

Los neutrones dispersan contra los núcleos mediante la interacción fuerte y se dispersan contra lo electrones mediante las interacciones magnéticas. Existe una diferencia si la muestra esta magnetizada o no, y las dispersión de neutrones es por tanto una valiosa herramienta para probar el ordenamiento magnético de la materia.

Difracción de neutrones por un cristal

Leyes de conservación

Consideremos un neutrón con momentum p y energía E = p2 / 2Mn, que incide sobre un cristal. Dado que el neutrón interactúa solamente de manera fuerte con el núcleo atómico del cristal, este pasará sin dificultada por el cristal y emergerá subsecuentemente con un momentum p´ y energía E´ = p´2 / 2Mn. (Asumimos que los iones en el cristal están bien descritos por la aproximación armónica.)

Supongamos que en al principio del experimento el cristal se encuentra en un estado con números de ocupación de fonones nks (están presentes nks fonones del tipo ks), y después del experimento, como resultado de la interacción con el neutrón, el cristal se encuentra en un estado con números de fonones n´ ks. La conservación de la energía requiere que:

Por ejemplo: El cambio en la energía del neutrón es igual a la energía de fonones que ha absorbido durante su paso, menos la energía de los fonones que ha este ha emitido. Por lo tanto el cambio de la energía del neutrón contiene información de las frecuencias del fonón.

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

Se requiere una segunda ley de conservación para desenredar esta información de la “data obtenida”. (Esta segunda ley se conoce como la conservación de momentum del cristal). Es una consecuencia general de la simetría de la interacción neutrón-ión.

Donde w es un potencial de interacción entre el neutrón y el núcleo atómico, r es la coordenada del neutrón, u(r) es la variable de desplazamiento del ión, y R es el vector de la red Bravais.

Dado que la interacción no se ve afectada por una transformación que cambia la coordenada r por cualquier vector de red Bravais Ro y con ayuda de uno de los resultados fundamentales de la teoría cuántica que las simetrías del Hamiltoniano implica leyes de conservación, se puede demostrar que esta simetría particular implica la siguiente ley de conservación:

Definimos el momentum cristalino de un fonón como ħ veces su vector de onda. Dado que existen dos leyes de conservación, se hace posible extraer de forma explícita ωs(k).

Difracción con ningún fonón (interacción elástica)

En este caso el estado final del cristal es idéntico a su estado inicial. La conservación de energía implica que la energía del neutrón no cambia, y la conservación de momentum cristalino implica que el momentum del neutrón solo puede cambiar por ħK, donde K es el vector de red recíproco. Si escribimos el momentum del neutrón incidente y difractado como:

Entonces con estas restricciones se observa:

Esta ecuación es precisamente la condición de Laue. (Analogía con rayos x y con los picos de Bragg). Podemos concluir que los neutrones difractados elásticamente, que no crean ni destruyen ningún fonón, se encuentran en las direcciones que satisfacen la condición de Bragg, y dan precisamente la misma información de estructura del cristal como la estudiada en la difracción elástica de rayos x.

Difracción con un fonón

La información más importante so obtiene con los neutrones que absorben o emiten precisamente un fonón. En el caso de absorción (el más importante) la conservación de energía y de momentum cristalina implica que:

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

Donde k es vector de onda y s es el índice de rama del fonón absorbido. En el caso de emisión

En cualquiera de los dos casos podemos utilizar la ley de momentum cristalino para representar k en términos de p´- p. El vector de red recíproco puede ser ignorado al reemplazar en la ecuación de energía, dado que cada ωs(k) es una función periódica en la red recíproca:

Con esto las dos ecuaciones combinadas dan una ecuación, que para cada caso son:

En un experimento, la energía y momentum iniciales son especificados. Por lo que las únicas incógnitas son las tres componentes del momentum final. Si solo examinamos neutrones que emergen en una dirección definida (especificamos la dirección de p´) y podemos obtener soluciones en un solo punto sobre la superficie.

Si seleccionamos una dirección veremos neutrones difractados solo en ciertos valores discretos de p´, y por lo tanto corresponden a ciertos valores discretos de energía E´ = p´2 / 2Mn. Sabiendo esto podemos construir p´-p y E´- E, y podemos concluir que el cristal tiene un modo normal cuya frecuencia es (E´- E)/ ħ y cuya vector onda es ± (p´-p)/ ħ. Hemos medido por lo tanto un punto del espectro fonónico del cristal. Cambiando los parámetros de incidencia (energía incidente, orientación del cristal y dirección de detección) podemos obtener muchos de estos puntos y construir todo el espectro.

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

Difracción magnética de neutrones

Los neutrones pueden “ver” otro aspecto del cristal, la distribución de magnetización electrónica.

El momento magnético del neutrón interactúa con el momento magnético del electrón. La interacción neutrón-electrón es de la misma magnitud de la interacción neutrón-núcleo. La difracción de los neutrones por un cristal magnético permite la determinación de la distribución, la dirección, y el orden de los momentos magnéticos.

Un neutrón puede ser difractado inelásticamente (completamente análogamente con los fonones) por la estructura magnética, con creación ó aniquilación de un magnón, por lo tanto es posible obtener experimentalmente el espectro “magnónico”.(La relación ω de este magnón con k).

En la creación de un magnón, se siguen las ecuaciones vistas con los fonones:

Y de una manera análoga a lo explicado anteriormente, experimentalmente se puede encontrar el espectro (punto por punto).

Espectroscopia de precesión de muones

La espectroscopía de precesión de muones permite medir la inhomogeneidad del campo magnético dentro de un material. Los muones son producidos en un acelerador al hacer chocar partículas de mucha energía con el núcleo. En estas colisiones los mesones π+ son producidos, pero posteriormente se “descomponen” en mesones μ+ (muones) y en neutrinos νμ. Los muones son inyectados con una energía típicamente de 50MeV para entrar a una muestra (en forma perpendicular a un campo magnético externo) donde bajan súbitamente de energía hasta los 2-3 keV en aproximadamente 0.1 – 1 ns. En este punto toman un electrón del material y forman un muonium, que es des-excitado rápidamente hasta llegar a una energía cinética de 15eV. Después aun de haber pasado por estas desaceleraciones, la dirección del spin del muón no cambia. El eje de rotación del muón entonces se “sacude” en círculo (precesión) en la dirección del vector magnético de inducción B0 a una frecuencia:

μB = magnetón de Bohr, mμ = masa del muón, gμ = factor del muón.

Cuando el muón finalmente decae completamente, el positrón es arrojado en la dirección del vector del spin del muón. La fracción de muones que sobreviven es exp[-t/τ] donde τ es la vida media. Los positrones producidos son los suficientes para ser capaces de determinar la dirección en la que el spin del muon

ITESM Campus Monterrey IFIs

Estado Sólido Difracción por Partículas

apuntaba cuando decaía. La señal de los positrones varía con respecto al ángulo y al tiempo de la siguiente forma:

Si existe una distribución de campos magnéticos en de la muestra, existirá una distribución de frecuencias de precesión y la señal de la distribución angular se desfasará. El tiempo en lo que esto ocurre da la medida de la inhomogeneidad espacial del campo magnético.Una de las aplicaciones donde este tipo de caracterización es para conocer información con respecto a la profundidad de penetración de campos magnéticos en superconductores, así como campos magnéticos localizados en materiales anti-ferromagnéticos, etc.

BIBLIOGRAFIA Introducción to Solid State Physics. Ch. Kittel. John Wiley, 1996 Solid State Physics. Ashcroft/Mermin. Harcourt.1976 Difractometría : apuntes del curso de Difracción de neutrones. Leonardo R. Macías Betanzos, Jesús Palacios Gómez. México : Sociedad Mexicana de Cristalografía, Asociación Mexicana de Microscopía, 1998 Diffraction from materials / by L. H. Schwartz and J. B. Cohen New York : Academic Press, 1977

Modern Physics for Scientists and Engineers; Stephen T. Thornton.

“Positron Annihilation Spectroscopy” ; I. Procházka, Department of low temperature Physics, Charles University in Prague.

ITESM Campus Monterrey IFIs