Tecnicas INTEGRACION

8/17/2019 Tecnicas INTEGRACION

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TECNICAS/METODOS DE

INTEGRACION



INTEGRALES INMEDIATAS



SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE

En muchas ocasiones, cuando la ine!"aci#n di"eca no esan o$%ia, es &osi$le "esol%e" la ine!"al sim&lemene conhace" un cam$io de %a"ia$le adecuado' ese &"ocedimienose conoce como integración por sustitución(

Conside"e el si!uiene e)em&lo*

Ima!ine aho"a*

( ) nnnnnn

bn

n

abn

n

ba

n

ba

n

a

n

ba + −++ + + =+ −−− 1221

1...

210

( )∫ + dx x x 221

( ) ( )

( )

C x x x

xdxdx xdx x

dx x x x

dx x x xdx x x

+++=

++=

++=

++=+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

226

2

2

121

246

35

35

242

2



SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE

+a"a e%ia" ese i&o de incon%enienes, eise un m-odo.ue &e"mie encon"a" ese i&o de ine!"ales de unamane"a sencilla( dicho m-odo se conoce comointegración por sustitución, consise en hace" uncam$io de %a"ia$le .ue &e"mia e&"esa" la ine!"al dadaen una ine!"al .ue en!a la 0o"ma de las ine!"alesinmediaas o $1sicas(

Encontramos su derivada:

Despejamos dx:

sustituimos nuevamente porequivalente

( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ===+ dU U dU U

x

dU xU dx x x

10

10

1010

2

2

1

221

12

+= xU

xdx

dU 2=

x

dU dx

2=

( ) C

U

dx x x +=+∫ 112

1

1

1110

2

U

( ) ( )C

xdx x x +

+=+

∫ 22

11

112102



INTEGRACION +OR +ARTES

Ese m-odo &e"mie "esol%e" un !"an n2me"o de ine!"ales no inmediaas( 1. Sean u v dos 0unciones de&endienes de la %a"ia$le x ' es deci", u = f(x), v = g(x). 2. La 0#"mula de la de"i%ada de un &"oduco de dos 0unciones, a&licada a f(x) ·

g(x), &e"mie esc"i$i", d(f(x) · g(x)) = g(x) · f'(x)dx + f(x) · g'(x)dx 3. Ine!"ando los dos miem$"os,

3sa no es la 0#"mula usual de la ine!"aci#n &o" &a"es( +ueso .ue u = f(x), du =f'(x)dx , al se" v = g(x), dv = g'(x)dx ( Lle%ando esos "esulados a la i!ualdadane"io",




Cómo se resuelve una integral por partesEse m-odo consise en ideni4ca" u con una &a"e de la ine!"al dv con el"eso, con la &"eensi#n de .ue al a&lica" la 0#"mula o$enida, la ine!"al delse!undo miem$"o sea m1s sencilla de o$ene" .ue la &"ime"a( No ha, -sees el mao" &"o$lema de ese &"ocedimieno, una "e!la 4)a &a"a hace" lasideni4caciones m1s con%enienes( La "esoluci#n de un $uen n2me"o de&"o$lemas es el me)o" camino &a"a ad.ui"i" la -cnica necesa"ia(No o$sane, se suelen ideni4ca" con u las 0unciones de la 0o"ma x m si m es&osii%o' si m es ne!ai%o, es &"e0e"i$le ideni4ca" con dv a x mdx ( Tam$i-nsuelen ideni4ca"se con u las 0unciones ln x, arc senx, arc tg x con dv, edx,sen x dx, cos x dx, ec(Anes de em&e5a" a &"acica" ese m-odo se ha de ene" &"esene .ue alhace" la ideni4caci#n de dv , -sa de$e conene" siem&"e a dx (




Se &uede "esol%e" e0ecuando cam$ios disinos* a6 La ideni4caci#n, en ese caso, &uede se" u = sen x y

dv = sen x dx

De u = sen x se deduce, di0e"enciando, .ue du = cos x

dx.

+ueso .ue cos7 x = 8 9 sen7 x,

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