Técnicas de conteo

Cálculo combinatorio O El cálculo combinatorio nos permite calcular

de cuántas maneras podemos agrupar un determinado número de elementos, cumpliendo con algunas normas y características los objetos a combinar.

Existen tres tipos de combinatorias:

1. La combinación.

2. La variación.

3. La permutación.

7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos

procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar

resultados.

OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen

obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los elementos de un

conjunto dado.

¿Qué son las combinaciones? Es un arreglo de objetos donde el orden NO es

importante. O Ejercicio 1: Irene tiene 3 pantalones (rojo, verde,

negro) y 2 camisas (azul, rosa). ¿Cuántas vestimentas distintas puede elegir?

Solución: Cada camisa puede ponerse con cada pantalón. Por tanto, el número de vestimentas es:

𝐶 = 2 × 3 = 6

O La información se puede organizar en un diagrama de árbol.

¿Qué es un diagrama de árbol? Permiten representar gráficamente (con un dibujo) las posibles formas de combinar una colección de objetos.

Camisa Pantalón Combinaciones

rojo camisa rosa – pantalón rojo

rosa verde camisa rosa – pantalón verde

negro camisa rosa – pantalón negro

rojo camisa azul – pantalón rojo

azul verde camisa azul – pantalón verde

negro camisa azul – pantalón negro

Elabora el diagrama de árbol con los siguientes datos:

O Ejercicio 2: En la cafetería de la secundaria

hay dos refrigerios para elegir: tortas y

quesadillas, y cuatro bebidas: agua de

limón, de jamaica, refresco y jugo de

naranja.

Realiza las combinaciones: Refrigerio Bebida Combinaciones

¿Cuántas combinaciones hay?__________

7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos

procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar

resultados.

OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen

obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los elementos de un

conjunto dado.

¿Qué son las variaciones?

Las variaciones son aquellas formas de

agrupar los elementos de un conjunto

teniendo en cuenta: la selección de elementos,

orden en que se colocan y la repetición de

elementos.

Existen dos tipos:

• Variaciones sin repetición.

• Variaciones con repetición.

Variación sin repetición

O El calculo de las variaciones

ordinarias sin repetición se efectúan

de una manera rápida y lo único que

debemos hacer es realizar el producto

de los números. Con el siguiente

ejercicio se explicará en qué consiste

dicho calculo:

Ejercicio (variación sin repetición)

O Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9.

¿Cuántos números diferentes de tres y

cuatro cifras distintas es posible formar?

O Tenemos 5 elementos de los cuales

queremos agrupar números diferentes de 3

cifras.

Solución: basta con multiplicar los números

sucesivos desde el 5 hasta el 5 − 3 + 1. 𝑉 = 5 × 4 × 3 = 60

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠.

Ejercicio (variación sin repetición)

O Tenemos 5 elementos de los cuales

queremos agrupar números diferentes de 4

cifras.

Solución: basta con multiplicar los números

sucesivos desde el 5 hasta el 5 − 4 + 1. 𝑉 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 4 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠.

Resuelve el siguiente ejercicio:

O ¿Cuántas palabras de tres letras diferentes

se pueden escribir con las letras A, B, C, D?

O Tenemos 4 elementos de los cuales

queremos agrupar números diferentes de 3

cifras.

Solución:

O El calculo de las variaciones

ordinarias con repetición es tomando

el número de elementos del conjunto

n, elevado al número de elementos

del subconjunto m. Con el siguiente

ejercicio se explicará en qué consiste

dicho calculo:

Variación con repetición.

Ejercicio (variación con repetición)

O Se extraen 3 bolas sucesivamente de una

bolsa de 10 bolas numeradas, ¿Cuántos

resultados distintos se pueden producir si

se tiene en cuenta el orden de aparición de

cada bola y si se devuelven después de

extraerse?

Solución:

𝑉𝑅 = 103 = 10 × 10 × 10 =1,000 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠.

Resuelve el siguiente ejercicio:

O Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5: ¿Cuántos

números de 3 cifras se pueden formar?

Solución:

7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos

procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar

resultados.

OBJETIVO: Utilizarán diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen

obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los elementos de un

conjunto dado.

O La forma de calcular las permutaciones es muy sencilla, haciendo uso del factorial de un número.

O ¿Qué es el factorial de un número?

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplo:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

“4! ” se pronuncia “4 factorial”. También se puede decir “factorial de 4”.

¿Qué son las permutaciones? Las permutaciones permiten conocer el número de maneras diferentes

en las que un conjunto de elementos pueden ser ordenados.

Ejercicios

1) ¿De cuántas formas pueden sentarse 8

amigos en una fila de butacas de un cine?

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 403,209 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑠𝑒

2) ¿De cuántas formas diferentes se pueden

fotografiar 5 amigos frontalmente en línea

recta?

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑔𝑟𝑎𝑓í𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

Resuelve el siguiente ejercicio:

O Un técnico de sonido tiene que unir 6

terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al

azar. ¿De cuántas formas diferentes podría

completar las conexiones?